EXERCICES SUR LE COURS DE TRANSMISSIONS NUMERIQUES

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1 EXERCICES SUR LE COURS DE TRANSMISSIONS NUMERIQUES Première année télécommunications et réseaux I. EXERCICE : SIGNAL BIPHASE On veut générer un signal de type biphase dans lequel les bits à seront codés par un front descendant, tandis que les bits à 0 seront codés par un front montant. La période symbole sera notée. Donner un mapping et une réponse impulsionnelle du filtre de mise en forme premettant de générer ce signal. Mapping : 0 V, V ; Filtre de mise en forme : front descendant (+, sur 2 Tracer le signal biphase généré pour transmettre la suite de bits suivante : Déterminer la densité spectrale de puissance du signal biphase, en supposant que les symboles émis sont indépendants et équiprobables. S x (f = V 2 sin 4 ( πf Ts 2 ( πf 2 2 Tracé : voir transparents de cours. 4 Comparer le signal biphase au signal NRZ. Identifiez quels pourraient être ses avantages et ses inconvénients? Même efficacité en puissance si NRZ ±V, meilleure efficacité spectrale pour le NRZ, avantage du biphase sur support de type cable car peu de puissance en 0 II. EXERCICE 2 :CHOIX D UN SYSTÈME DE TRANSMISSION SUR FRÉQUENCE PORTEUSE On considère les trois systèmes de transmission définis dans le tableau suivant ( SRRCF signifie Square Root Raised Cosine Filter ou filtre en racine de csinus surélevé en français : Modulation : 6-QAM 6-PSK 6-ASK Filtre d emission : SRRCF, α = 0, 5 SRRCF, α = 0, 5 SRRCF, α = 0, 5 Filtre de reception : SRRCF, α = 0, 5 SRRCF, α = 0, 5 SRRCF, α = 0, 5 Debit binaire : 32 kbps 32 kbps 32 kbps TEB : Donner le schéma des modulateurs pour les trois systèmes de transmission considérés. Le schéma du modulateur est ce qui permet de passer de l information binaire à transmettre au signal transmis dans le canal. Il comprend le mapping (ici 4 bits codés par symbole avec des a k, b k indépendants en 6- QAM, dépendants tels que les d k = a k + jb k soient de module constant en 6-PSK et uniquement des a k en 6-ASK, le filtre de mise en forme (ici filtre en racine de cosinus surélevé de roll off 0.5 et le passage sur fréquence porteuse (on peut le modéliser par une e j2πfpt puis prise de la partie réelle. 2 Tracer les constellations des trois modulations considérées. Voir transparents de cours pour 6-QAM et 6-PSK ; pour la 6-ASK on est sur l axe réel avec 6 points, 8 de chaque côté de 0 3 Déterminez le débit symbole (R s dans les trois cas. R s = 8 kbauds dans les 3 cas. 4 Comparer les trois modulations en terme d efficacité spectrale. Même efficacité spectrale 2.67 bits/s/hz 5 En considérant que les trois systèmes émettent à la même puissance, comparer l espacement entre les symboles émis dans les trois cas. Pour émettre avec une puissance de il faut V = / 85 en 6-ASK, V = / 0 en 6-QAM, V = en 6-PSK. Pourra t-on alors leur assurer le même taux d erreur binaire (TEB? NON, TEB(6-ASK>TEB(6-PSK>TEB(6-QAM 6 La figure donne les courbes de TEB obtenus en fonction du rapport signal à bruit par bit à l entrée du récepteur (E b / en db pour les trois modulations considérées. En déduire les E b / nécessaires pour

2 2 satisfaire à la spécification du TEB? Quel est le système le plus efficace en terme de puissance? Justifiez votre réponse? Les résultats obtenus sont ils coférents avec ceux de la question précédente? Justifiez votre réponse. E b / (6 ASK > E b / (6 P SK > E b / (6 QAM η P (6 ASK < η P (6 P SK < η P (6 QAM 7 Qu est ce qui pourrait justifier l utilisation de la modulation 6-PSK comparée à la modulation 6-QAM? La présence de non linéarités III. EXERCICE 3 : CRITÈRE DE NYQUIST Soit le système de transmission donné par la figure 2. On place en émission et en réception deux filtres de même réponse impulsionnelle h r (t = h(t donnée par la figure 3. a La chaîne de communication vérifie t elle le critère de Nyquist? Justifiez votre réponse. OUI b Sans bruit, tracer le signal y(t pour la suite de bits émise suivante : Retrouve t on sur le signal y(t le fait que la chaine de transmission respecte le critère de Nyquist? OUI c Tracer le diagramme de l oeil avec une base de temps de. Retrouve t on sur le diagramme de l oeil le fait que la chaine de transmission respecte le critère de Nyquist? OUI 2 On place en émission et en réception des filtres de réponses impulsionnelles h(t et h r (t données par la figure 4. a La chaîne de communication vérifie t elle le critère de Nyquist? Justifiez votre réponse. OUI b Sans bruit, tracer le signal y(t pour la suite de bits émise suivante : Retrouve t on sur le signal y(t le fait que la chaine de transmission respecte le critère de Nyquist? OUI c Tracer le diagramme de l oeil avec une base de temps de. Retrouve t on sur le diagramme de l oeil le fait que la chaine de transmission respecte le critère de Nyquist? OUI 3 On place en émission et en réception deux filtres de même réponse impulsionnelle : h r (t = h(t = sinc(πt/. a Vérifier dans le domaine temporel que la chaîne de communication vérifie bien le critère de Nyquist. Quel instant de décision t 0 choisira t on? OUI, t 0 = 0 b Vérifier dans le domaine fréquentiel que la chaine de transmission vérifie bien le critère de Nyquist. Fonction porte de durée /T S, cas limite : bande de Nyquist c On suppose maintenant que le canal de transmission introduit un filtrage et que le module de sa réponse en fréquence C(f est donné par la figure 5. Peut-on, en présence de ce canal, continuer à respecter le critère de Nyquist? Si oui, à quelle condition? OUI si B C /2T S 4 En supposant que l on échantillonne aux instants optimaux, calculer les rapports signal sur bruit obtenus dans les configurations des questions, 2 et 3 précédentes. SNR = 2Ts, SNR 2 = Ts, SNR 3 = 2Ts Dans quel(s cas aura-t-on le TEB minimum? cas et 3 Pouvait on s attendre à ce résultat? Oui car filtrage adapté ou pas. Remarque : On donne les résultats des produits de convolution nécessaires à cet exercice dans la figure 6 IV. EXERCICE 4 : COSINUS SURÉLEVÉ Soit un signal émis x(t qui se compose de symboles équiprobables et indépendants {±} mis en forme par un filtre en racine de cosinus surélevé de roll off égal à 0, 2. On transmet ce signal en bande de base dans un canal de transmission idéal de bande 200 Hz. Le filtre de réception est identique au filtre de mise en forme. Le critère de Nyquist peut il être respecté pour cette transmission? Si oui à quelle condition? Oui si B C > 0.6R s 2 En déduire le débit symbole Rs maximal pour une transmission sans interférence entre les symboles. (R s max = 2000 bauds V. EXERCICE 5 : EFFET D UN CANAL MULTITRAJETS SUR LE TEB Soit la chaîne de transmission donnée par la figure 7, dans laquelle le filtre d émission a une réponse impulsionnelle donnée par la figure 8.

3 3 A. Canal AWGN On suppose dans cette partie que le canal se résume à un ajout de bruit blanc et gaussien (c(t = δ(t. Déterminer h r (t tel que ce soit le filtre adapté à h(t et qu il soit causal.h r (t = h(t ( 2 Déterminer la réponse impulsionnelle globale g(t de la chaîne de transmission. g(t = Ts 2 /2 t 2 3 Tracer le signal r(t obtenu sans bruit en sortie de h r (t pour la suite binaire suivante : Tracer le diagramme de l oeil en sortie du filtre adapté sans bruit. 5 On prend les décisions à t 0 + m avec t 0 = /2, a-t-on de l interférence entre symboles? NON 6 On prend les décisions à t 0 + m avec t 0 = /2 + /8, a-t-on de l interférence entre symboles? NON 7 Donner le TEB de la liaison en fonction de la variance 2 du bruit en sortie de h r (t, de V et de T S dans le cas où on échantillonne à t 0 + m avec t 0 = /2. T EB = Q ( V 8 On suppose maintenant que les instants de prise de décision sont affectés d une gigue de phase. Les instants de décision sont égaux à t 0 +m avec t 0 = /2+g, g étant une variable aléatoire qui prend ses valeurs parmi 0, /8, /8 avec les probabilités respectives /3, /3, /3. Calculer le TEB de la liaison avec gigue de phase, en fonction de la variance 2 du bruit en sortie de h r (t, de V et de. T EB = 2 3 Q ( 0.75V + 3 Q ( V 9 En prenant de manière arbitraire V Ts =, comparer le TEB obtenu avec gigue au TEB idéal (sans gigue. T EB ideal = Q( = 0.587, T EB gigue = 2 3Q( Q( = B. Canal multitrajets En conservant les mêmes filtres h(t et h r (t, on considère à présent la présence d un canal (c(t δ(t. Il s agit du canal multitrajets donné par la figure suivante : Ecrire y(t en fonction de x(t et des paramètres du canal. y(t = α 0 x(t τ 0 + α x(t τ 2 Donner la réponse impulsionnelle du canal c(t. c(t = α 0 δ(t τ 0 + α δ(t τ 3 On prend τ 0 = 0, τ = τ 0 +, α 0 = et α = 0, 6. Sans bruit, tracer le signal en sortie du filtre de réception h r (t pour la séquence binaire transmise suivante Tracer le diagramme de l oeil. A-t-on de l interférence entre symboles? OUI 5 Le critère de Nyquist peut il être respecté? NON 6 En supposant que l on échantillonne à t 0 + m avec t 0 = /2 et que l on utilise un détecteur à seuil avec un seuil à 0 (chaîne de transmission pour canal AWGN, calculer le TEB de la liaison. T EB = 2 Q ( 0.4V + 2 Q (.6V 7 En prenant de manière arbitraire V Ts =, comparer le TEB obtenu sur canal multitrajet avec le TEB obtenu sur canal idéal sans erreurs de synchronisation. T EB ideal = Q( = 0.587, T EB multitrajet = 2 Q( Q(.6 = La fonction Q(x = + 2π e u 2 2 du est donnée par la figure 0. x VI. EXERCICE 6 : ETUDE D UN NRZ À 4 NIVEAUX On veut transmettre une suite de bits équiprobables et indépendants de débit R b à travers un canal de transmission AWGN. Le bruit n(t additif, blanc et gaussien a une densité spectrale de puissance S n (f = /2 f. Le modulateur utilisé est un codeur de type NRZ avec M = 4 niveaux. Les différents niveaux du NRZ sont régulièrement espacés et le signal NRZ résultant est à valeur moyenne nulle. A. Modulateur Sachant que l écart d amplitude entre deux niveaux voisins du NRZ est égale à 2V, donner le schéma du modulateur. Mapping : 00 : 3V, 0 : V, : +V, 0 : +3V, h(t = Π Ts (t /2 B. Filtrage adapté Calculer la réponse impulsionnelle du filtre adapté en réception. h r (t = h(t 2 Montrer que l effet du filtre adapté est équivalent à un intégrateur sur une durée. y(t = h r (t x(t = t t x(udu

4 4 3 En utilisant le mapping suivant : 00 : 3V, 0 : V, : +V, 0 : +3V, dessiner l allure du signal en sortie du filtre adapté pour la suite de bits à transmettre suivante : Dessiner le diagramme de l oeil en sortie du filtre adapté. 5 La chaîne de transmission vérifie t-elle le critère de Nyquist? Justifiez votre réponse.oui C. Taux d Erreur Symbole (TES Calculer le TES en fonction de V, et. T ES = 3 2 Q (V 2 D. Etude du mapping Calculer la probabilité de détecter ( le symbole ( V alors que l on a émis 3V. P (â k = V/a k = 3V = Q V g(t0 Q 3V g(t0 2 Calculer la probabilité de détecter ( le symbole ( +V alors que l on a émis 3V. P (â k = +V/a k = 3V = Q 3V g(t0 Q 5V g(t0 3 Calculer la probabilité de détecter le symbole +3V alors que l on a émis 3V. P (â k = +3V/a k = 3V = Q ( 5V g(t0 4 AN : V =, = 0 3 V 2 /Hz, R b = Kbps P (â k = V/a k = 3V = Q(2 Q(6 = P (â k = +V/a k = 3V = Q(6 Q(0 = P (â k = +3V/a k = 3V = Q(0 = La règle de codage choisie vous parait-elle intéressante? Si oui quel est son intérêt? On déduit de la question précédente l intérêt du mapping de GRAY E. Taux d Erreur Binaire (TEB Calculer le TEB de cette liaison en fonction du TES. T EB T ES 2 ( 2 Calculer le TEB de la liaison en fonction de E b /. T EB 3 4 Q 4 E b 5 F. Comparaison des NRZ à 2 et 4 niveaux Comparer les NRZ à 2 et à 4 niveaux en termes d efficacité spectrale et d efficacité en puissance. η S (4 NRZ > η S (2 NRZ mais η P (4 NRZ < η P (2 NRZ La fonction Q(x = + 2π e u 2 2 du est donnée par la figure 0. x VII. EXERCICE 7 :PERFORMANCE D UNE MODULATION BPSK Soit un signal émis modulé en BPSK (Binary Phase Shift Keying. Ce signal est affecté par un bruit blanc gaussien de densité spectrale de puissance /2 f. On appelle H(f et H r (f les fonctions de transfert des filtres d émission et de réception. On suppose que la fonction de transfert du canal C(f est telle que C(f = f. Donner le schéma de l émetteur permettant de générer un signal modulé en BPSK. Tracer la constellation de la modulation. Mapping ±V, somme de diracs pondérés, filtre h(t, cos(2πf p t Constellation = deux points ±V sur l axe des abscisses 2 Donner l expression du signal modulé ainsi que celle de son enveloppe complexe. x(t = k a kh(t k cos(2πf p t, x e (t = k a kh(t k 3 A partir du schéma de la chaîne passe-bas équivalente à la chaîne de transmission BPSK, a Dans le cas où G(f = H(fH r (f est donné par : { Ts cos G(f = 2 ( πf Ts 2 pour f ( 0 ailleurs.

5 5 Fig.. Comparaison des TEB pour les modulations ASK, PSK et QAM dans le cas où M = 6 Fig. 2. Chaine de transmission considérée dans l exercice 3 i Montrez que G(f satisfait le critère de Nyquist. En linéarisant le cosinus on obtient un cosinus surélevé qui respecte le critère de Nyquist (faire un dessin. ii Quel est le choix optimal de H(f et H r (f qui minimise le taux d erreur symbole (TES? Deux racines de cosinus surélevé. iii En considérant que le choix optimal a été effectué pour H(f et H r (f, exprimez le TEB de cette chaîne de transmission en fonction de E b /. On supposera les symboles émis équiprobables et ( indépendants. A partir de la chaine passe bas équivalente on obtient : T EB = Q b Dans le cas où on utilise les filtres d émission H(f et de réception H r (f donnés par : { Ts cos H(f = 2 ( πf Ts 2 pour f 0 ailleurs. { pour f H r (f = 0 ailleurs. 2E b i Montrez que G(f = H(fH r (f satisfait le critère de Nyquist. Même ( forme que précédemment. ii Expliquez pourquoi le taux d erreur binaire doit être supérieur à Q 2 Eb. Car pas de filtrage adapté ici. ( 4 E iii Calculer le TEB de cette nouvelle chaîne de transmission en fonction de E b /. T EB = Q b (2 (3 3

6 6 Fig. 3. Réponses impulsionnelles des filtres d émission et de réception pour l exercice, question Fig. 4. Réponses impulsionnelles des filtres d émission et de réception pour l exercice, question 2 Fig. 5. Fonction de transfert du canal exercice, question 3 (a Fig. 6. Produits de convolution pour l exercice (b

7 7 Fig. 7. Chaine de transmission considérée pour l exercice 5 Fig. 8. Réponse impulsionnelle du filtre de mise en forme pour l exercice 5 Fig. 9. Canal multi trajets de l exercice 5 Fig. 0. Fonction Q(x

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