Théorème de Thalès Exercices corrigés

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1 Théorème de Thalès Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercices 1, 2 et 3 : calculs de longueurs Exercice 4 : partage d un segment sans règle graduée Exercice 5 : problème avec plusieurs configurations de Thalès Exercice 6 : agrandissement d une figure, détermination d un facteur d agrandissement Rappel : Théorème de Thalès Soient deux droites et sécantes en un point. Soient deux points et de, distincts de. Soient deux points et de, distincts de. Si les droites et sont parallèles, alors d après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes : Trois configurations sont envisageables : d d d d d d Les points, et sont alignés dans cet ordre. Les points, et sont alignés dans cet ordre. Les points, et sont alignés dans cet ordre. Les points, et sont alignés dans cet ordre. Les points, et sont alignés dans cet ordre. Les points, et sont alignés dans cet ordre. SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 1

2 Remarque importante : Les longueurs des côtés du triangle sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle. Dans les conditions ci-dessus, on peut donc présenter la double égalité sous la forme d un tableau de proportionnalité : ôtés du triangle ôtés du triangle ôtés portés par la droite ôtés portés par la droite ôtés portés par les droites parallèles quoi sert le théorème de Thalès? à calculer une longueur à partager un segment et placer sur un segment un point en respectant un rapport donné à agrandir ou réduire une figure SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 2

3 Exercice 1 (1 question) iveau : facile Soit la figure ci-contre. On sait que les droites et sont parallèles et que, et. alculer. orrection de l exercice 1 nalysons tout d abord la figure et récapitulons les informations fournies par l énoncé. D après la figure ci-contre, les droites sont sécantes en. et D après l énoncé, on sait par ailleurs que sont parallèles. et Enfin, on sait que : Proposons désormais une correction détaillée, étape par étape, de l exercice. On sait que : 1 ère étape : On repère la configuration de Thalès. 1) les droites et sont sécantes en (d après la figure) 2) les droites et sont parallèles (d après l énoncé) La configuration proposée réfère donc à la 1 ère configuration mentionnée dans le rappel. En effet, les points, et sont alignés dans cet ordre, et les points, et sont alignés dans cet ordre. 2 ème étape : On précise le théorème auquel on va faire appel. Donc, d après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes : SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 3

4 3 ème étape : On applique le théorème de Thalès en prenant le soin de bien écrire les égalités. 4 ème étape : On remplace les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la même unité. est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives, 5 ème étape : On isole l égalité utile pour résoudre l équation. Par conséquent, on a : D où, en utilisant le produit en croix : Il faut toujours veiller à écrire une fraction sous sa forme irréductible. La mesure de la longueur «tombe juste» (il s agit d un nombre décimal), donc on peut aussi écrire :, 6 ème étape : On conclut. La longueur du segment, notée, est égale à. Remarques : Dans cet exercice, il n est précisé aucune unité de longueur donc il n y a pas lieu d écrire quelque unité de longueur que ce soit (cm, m, km ). Sinon, ce serait une erreur! On voit donc bien là l importance de lire attentivement l énoncé et la figure, puisque l un comme l autre peuvent imposer une unité de longueur et par conséquent induire un certain résultat. Exercice 2 (2 questions) iveau : facile Sur la figure ci-contre, on a noté différentes longueurs connues. On sait par ailleurs que les droites et sont parallèles. 1- alculer. 2- En déduire la longueur du segment. m O I m m E S SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 4

5 orrection de l exercice 2 1- D après la figure, on sait que les droites et sont sécantes en. On sait par ailleurs, d après l énoncé, que les droites et sont parallèles. Donc, d après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes : est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives, D où l égalité : l aide d un produit en croix, on obtient donc que : La longueur du segment, notée, est égale à mètres. 2- donc. D où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives, l égalité suivante :. Par conséquent,. Le segment mesure 6 mètres. Remarque : Dans cet exercice, l unité de longueur est commune à tous les segments puisqu il s agit du mètre. Il ne faut jamais oublier d exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les calculs. SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 5

6 Exercice 3 (2 questions) iveau : moyen Dans les deux cas suivants, les droites et sont parallèles. alculer la longueur. as n 1 : as n 2 : x x orrection de l exercice 3 as n 1 : D après la figure, les droites et sont sécantes en. On sait par ailleurs, d après l énoncé, que les droites et sont parallèles. Donc, d après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes : est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives, D où l égalité : l aide d un produit en croix, on obtient donc que : La longueur est égale à. as n 2 : D après la figure, les droites et sont sécantes en. SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 6

7 On sait par ailleurs, d après l énoncé, que les droites et sont parallèles. Donc, d après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes : est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives, En effet,. D où l égalité : l aide d un produit en croix, on obtient donc que : Résolvons l équation. ttention! Il ne faut pas oublier les parenthèses. équivaut à, c est-à-dire. D où :. insi,. La longueur est égale à,. Pour supprimer les parenthèses, on utilise la distributivité de la multiplication sur l addition : k k k Exercice 4 (1 question) iveau : moyen Tracer un segment. Placer le point sur tel que, sans règle graduée. orrection de l exercice 4 Traçons un segment puis plaçons le point sur tel que, sans règle graduée. SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 7

8 1- ommençons par tracer un segment de longueur quelconque. 2- Traçons désormais une demi-droite, que nous allons graduer régulièrement à l aide du compas, de sorte à obtenir segments de longueur identique. x x 3- Plaçons dorénavant les points et sur la demi-droite tels que et. x 4- Traçons maintenant la droite parallèle à et passant par. ette droite coupe le segment en un point que nous appellerons. Il s agit du point recherché. x Quelques explications pour bien comprendre : Les droites et sont sécantes en. D autre part, par construction, les droites et sont parallèles. Toutes les conditions sont par conséquent réunies pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès. D après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes : SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 8

9 Or, par construction, on a l égalité suivante : est-à-dire : Par conséquent, on obtient que : est-à-dire : Il en résulte, après un produit en croix, que : On a donc bien placé le point tel que. Exercice 5 (1 question) iveau : difficile est un trapèze de bases et et de centre. On appelle J le point de concours des droites et. omparer les rapports de longueurs et. orrection de l exercice 5 est un trapèze de bases et et de centre. On appelle J le point de concours des droites et. ommençons par tracer la figure. SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 9

10 J D I 1 ère étape : herchons à identifier le rapport de longueurs. D une part, par construction, les droites et sont sécantes en. D autre part, comme est un trapèze de bases et, les droites et sont parallèles. Par conséquent, d après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante : 2 ème étape : herchons à identifier le rapport de longueurs. D une part, par construction, est le centre du trapèze donc est le point d intersection des diagonales et. utrement dit, les droites et sont sécantes en. D autre part, comme est un trapèze de bases et, les droites et sont parallèles. Par conséquent, d après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante : 3 ème étape : omparons les rapports de longueurs et. D après ce qui précède, on a : et On a donc en particulier : et Il s ensuit que : SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 10

11 Exercice 6 (2 questions) iveau : facile 1- Pourquoi le triangle ci-contre est-il un agrandissement du triangle? 2- Déterminer le facteur d agrandissement. R U O L orrection de l exercice 6 Rappel : grandissement ou réduction d une figure Une figure est une RÉDUTIO ou un GRDISSEET d une autre figure : si les angles de ont les mêmes mesures que ceux de ou si toutes les longueurs de la figure sont proportionnelles aux longueurs de la figure Le FTEUR de réduction ou d agrandissement correspond au coefficient de proportionnalité. Si, on a un agrandissement. Si, on a une réduction. Remarque : Lorsque est une réduction ou un agrandissement de, et sont dites SELLES. 1- ontrons que le triangle est un agrandissement du triangle. 1 ère démonstration possible : D une part, et, donc D autre part, d après le codage de la figure, les triangles et sont respectivement rectangles en et, donc. Enfin, les droites et sont toutes les deux perpendiculaires à une même droite, la droite, donc les droites et sont parallèles entre elles. Les angles et sont alors correspondants. Donc. R O U L SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 11

12 En résumé, les triangles et sont semblables puisqu ils ont les mêmes mesures d angles. utrement dit, le triangle est un agrandissement du triangle. 2 ème démonstration possible : Propriété : Soient deux droites et sécantes en un point. Si et sont deux points de, distincts de, si et sont deux points de, distincts de, et si les droites et sont parallèles, alors le triangle est une réduction ou un agrandissement du triangle. D une part, les droites et sont sécantes en. D autre part, et. Enfin, d après le codage de la figure, les droites et sont toutes deux perpendiculaires à une même droite, la droite donc les droites et sont parallèles entre elles. Par conséquent, le triangle est un agrandissement du triangle. 2- Déterminons le facteur d agrandissement. D après la question précédente, le triangle est un agrandissement du triangle. Donc les longueurs de sont proportionnelles aux longueurs de. D après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes : Or, d après la figure, et. Donc : Par un produit en croix, on a : Par conséquent, le triangle est un agrandissement du triangle par le facteur d agrandissement. SOS DEVOIRS ORRIGES (marque déposée) 12