TP n 4 Programme MATLAB pour l étude des oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

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1 UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENE FACULTÉ DE PHYSIQUE - ANNÉE UNIVERSITAIRE LICENCE DE PHYSIQUE - TROISIÈME ANNÉE - CINQUIÈME SEMESTRE. MODULE : PROGRAMMATION MATLAB. TP n 4 Programme MATLAB pour l étude des oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 1 Introduction On se propose d écrire un programme sous MATLAB pour l étude des oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté. Après un rappel des notions de mécanique se rapportant aux oscillations libres des systèmes dynamiques à plusieurs degrés de liberté, nous utiliserons les fonctions de MATLAB consacrées au calcul matriciel pour écrire un programme de simulation de ce type d oscillateurs. 2 Rappels de dynamique des oscillations 2.1 Equations de Lagrange Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à deux degrés de liberté. Pour l étude de ces systèmes, il est nécessaire d écrire deux équations différentielles du mouvement que l on peut obtenir à partir des équations de Lagrange : d dt d dt L q 1 L 2.2 Formulation matricielle des équations différentielles q 2 L q 1 0 (1) L q 2 0 (2) Dans le cas des oscillations de faible amplitude, l énergie cinétique T et l énergie potentielle U d un système à deux degrés de liberté s écrivent sous les formes quadratiques suivantes : T 1 2 m 11 q m 22 q m 12 q 1 q 2 (3) U 1 2 k 11 q k 22 q k 12 q 1 q 2 (4) Les coefficients m ij et k ij peuvent être obtenus par une double dérivation partielle de l énergie cinétique et de l énergie potentielle : m ij k ij 2 T q i q j (5) 2 U q i q j (6) 1

2 On remarque que m ij m ji et que k ij k ji. Les équations de Lagrange permettent d obtenir les équations différentielles du mouvement m 11 q 1 + m 12 q 2 + k 11 q 1 + k 12 q 2 0 (7) m 12 q 1 + m 22 q 2 + k 12 q 1 + k 22 q 2 0 (8) Ces deux équations peuvent s écrire sous la forme matricielle suivante : m11 m 12 q1 k11 k + 12 q1 0 m 12 m 22 q 2 k 12 k 22 q 2 0 La matrice énergie cinétique T et la matrice énergie potentielle U sont les matrices carrées symétriques définies respectivement par : m11 m T 12 k11 k et U 12 (10) m 12 m 22 k 12 k 22 Le vecteur déplacement {q} et le vecteur accélération { q} sont deux matrices 2 1 (des vecteurs colonnes) définies respectivement par : q1 q1 {q} et { q} (11) q 2 q 2 Ce qui nous permet d écrire le système d équations différentielles sous une forme matricielle condensée : T { q} + U{q} {0} (12) ou en transposant : U{q} T { q} (13) Multiplions à gauche, chaque membre de cette équation par la matrice T 1 qui est la matrice inverse de T, c est-à -dire qui vérifie la relation T 1 T I où I est la matrice identité. On obtient T 1 U{q} T 1 T { q} (14) On appelle matrice lagrangien ou matrice dynamique, la matrice carréel définie par L T 1 U (15) Le système d équations différentielles peut donc s écrire sous une forme matricielle condensée L{q} I{ q} (16) Remarquons que contrairement aux matrices T et U, la matrice lagrangien L n est généralement pas symétrique. 2.3 Calcul des pulsations propres Puisque le système est non amorti, les solutions de ce système d équations différentielles sont la superposition de composantes harmoniques de la forme : A1 cos (ωt + φ) {q} (17) A 2 cos (ωt + φ) Le vecteur accélération s écrit dans ce cas : { q} ω 2 {q} (18) En notation matricielle, le système d équations différentielles s écrit alors : L{q} ω 2 I{q} (19) On remarque que ω 2 représente une valeur propre de la matrice L. Les carrés des pulsations propres ω 1 et ω 2 sont donc les valeurs propres de la matrice lagrangien L. 2 (9)

3 2.4 Calcul des amplitudes relatives. Vecteurs modaux Un mode propre de vibration apparaît quand le système entier exécute un mouvement sinusoïdal synchrone. Soit {q} 1 le vecteur déplacement associé à la pulsation propre ω 1 et soit {q} 2 le vecteur déplacement associé à la pulsation propre ω 2. Nous avons alors : L{q} 1 ω 2 1{q} 1 (20) L{q} 2 ω 2 2{q} 2 (21) avec A11 cos (ω {q} 1 1 t + φ 1 ) A 21 cos (ω 1 t + φ 1 ) A12 cos (ω {q} 2 2 t + φ 2 ) A 22 cos (ω 2 t + φ 2 ) A11 A 21 A12 A 22 cos (ω 1 t + φ 1 ) (22) cos (ω 2 t + φ 2 ) (23) {q} 1 et {q} 2 constituent les vecteurs propres de L associés respectivement aux pulsations ω 1 et ω 2. Les vecteurs propres {q} 1 et {q} 2 peuvent s écrire également sous la forme 1 {q} 1 1 {q} 2 A 11 cos (ω 1 t + φ 1 ) (24) A 12 cos (ω 2 t + φ 2 ) (25) Par superposition, le vecteur déplacement {q} est une combinaison linéaire des vecteurs propres {q} 1 et {q} 2 correspondant respectivement au premier mode (fondamental) et au second mode (harmonique. Il peut donc s écrire sous la forme : {q} q1 q A 11 cos (ω 1 t + φ 1 ) + A 12 cos (ω 2 t + φ 2 ) (26) où A 11, A 12, φ 1 et φ 2 sont des constantes d intégration dont les valeurs sont fixées par les conditions initiales. Il y a quatre constantes parce que le système est décrit par deux équations différentielles du second ordre. Remarquons que ω 1, ω 2, et ne dépendent que des éléments physiques qui constituent le système étudié et sont indépendantes des conditions initiales. Les vecteurs et sont appelés vecteurs modaux ou vecteurs propres de 1 1 L associés respectivement aux valeurs propres ω1 2 et ω2 2. Ils représentent l amplitude relative des coordonnées q 1 et q 2 dans le premier mode et dans le second mode respectivement. On peut vérifier que le vecteur déplacement peut alors s écrire sous la forme matricielle suivante 1 1 {q} ou sous une forme matricielle condensée équivalente : A11 cos (ω 1 t + φ 1 ) A 12 cos (ω 2 t + φ 2 ) (27) {q} µ{p} (28) La matrice µ dont les colonnes sont constituées par les vecteurs modaux est appelée matrice modale, elle est définie par 1 1 µ (29) 3

4 2.5 Détermination des constantes A ij et φ i Sachant qu à l instant initial (t 0), q 1 (0) q 10 et q 2 (0) q 20, les conditions initiales pour le vecteur déplacement s écrivent alors q10 q A11 cos (φ 1 ) A 12 cos (φ 2 ) Multiplions à gauche, par µ 1, chacun des deux membres de l équation aux conditions initiales précédente, on obtient A11 cos (φ 1 ) A 12 cos (φ 2 ) µ 1 q10 q 20 De manière similaire, si l on tient compte des conditions initiales sur les vitesses q 1 (0) q 10 et q 2 (0) q 20, on obtient q ω1 A 11 sin (φ 1 ) (32) q 20 ω 2 A 12 sin (φ 2 ) (30) (31) Après multiplication par µ 1, on obtient ω1 A 11 sin (φ 1 ) ω 2 A 12 sin (φ 2 ) µ 1 q10 q 20 (33) A partir de ces quatre équations, on calcule tan(φ 1 ) et tan (φ 2 ) puis on déduit les expressions de A 11 et A Programme MATLAB 3.1 Description des étapes du programme Ecrire un programme MATLAB remplissant les différentes fonctions suivantes : 1. Saisie des données : Nombre de degrés de liberté Eléments de la matrice T Eléments de la matrice U Conditions initiales Déplacement initiaux q 0 Vitesses initiales q 0 2. Calcul de la matrice dynamique L T 1 U 3. Calcul des vecteurs propres et des valeurs propres de L 4. Déduction et affichage des pulsations propres ω i 5. Calcul et affichage des rapports des amplitudes dans les modes µ i 6. Calcul de la matrice µ 7. Tenir compte des conditions initiales pour calculer la forme finale des solutions 8. Représentation graphique des déplacements et des vitesses en fonction du temps 4

5 FIG. 1: Système masses-ressorts à deux degrés de liberté 3.2 Application : Système masses-ressorts Ce programme sera testé au fur et à mesure de sa mise au point, sur le système suivant constitué de deux masses m 1 et m 2, telles que m 1 m 2 m, reliées à deux bâtis fixes par deux ressorts de raideur k 1 et k 2 tels que k 1 k 2 k. Les deux masses sont reliées par un ressort de couplage de raideur K. x 1 (t) et x 2 (t) sont les coordonnées généralisées. Pour un tel système l énergie cinétique et l énergie potentielle s écrivent : T 1 2 m 1 ẋ m 2 ẋ 2 2 U 1 2 (k + K) x (k + K) x2 2 Kx 1x 2 (34) Les matrices T et U s écrivent alors m 0 T 0 m k + K K U K k + K (35) Tester le programme sur cet exemple avec les valeurs suivantes : m 1 m 2 1kg k 1 k 2 1N.m 1 K 0.1N.m1 (36) 3.3 Interprétation des résultats Vérifier par un calcul à la main, les résultats obtenus. Commenter les résultats obtenus. 5