Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Déterminants

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1 Cours de remise à niveau Maths 2ème année Déterminants C. Maugis-Rabusseau GMM Bureau 116 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 1 / 22

2 Plan 1 Déterminant de deux vecteurs en dimension 2 2 Déterminant de trois vecteurs en dimension 3 3 Déterminant de n vecteurs en dimension n 4 Déterminant d une matrice carrée d ordre n C. Maugis-Rabusseau (INSA) 2 / 22

3 Introduction Dans ce chapitre, on se place dans l espace vectoriel R n muni de sa base canonique E = (e 1,..., e n ). Une présentation plus générale des déterminants est disponible dans le polycopié d algèbre de première année. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 3 / 22

4 Sommaire 1 Déterminant de deux vecteurs en dimension 2 2 Déterminant de trois vecteurs en dimension 3 3 Déterminant de n vecteurs en dimension n 4 Déterminant d une matrice carrée d ordre n C. Maugis-Rabusseau (INSA) 4 / 22

5 Déterminant en dimension 2 Définition Soit a = (a 1, a 2 ) et b = (b 1, b 2 ) deux vecteurs de R 2. Le déterminant de a et b est le réel défini par det(a, b) = a 1 b 1 a 2 b 2 = a 1b 2 a 2 b 1. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 5 / 22

6 Déterminant en dimension 2 Proposition Soit a, b et c trois vecteurs de R 2. 1 det(e 1, e 2 ) = 1. 2 (a, b) libre det(a, b) 0. 3 Pour tous réels α et β, det(αa, b) = αdet(a, b) et det(a, βb) = βdet(a, b). 4 det(a, b + c) = det(a, b) + det(a, c) et det(a + c, b) = det(a, b) + det(c, b). 5 det(b, a) = det(a, b). C. Maugis-Rabusseau (INSA) 6 / 22

7 Sommaire 1 Déterminant de deux vecteurs en dimension 2 2 Déterminant de trois vecteurs en dimension 3 3 Déterminant de n vecteurs en dimension n 4 Déterminant d une matrice carrée d ordre n C. Maugis-Rabusseau (INSA) 7 / 22

8 Déterminant en dimension 3 Définition Soit a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) et c = (c 1, c 2, c 3 ) trois vecteurs de R 3. Le déterminant de a, b et c est défini par le réel det(a, b, c) = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 2 b 1 c 3 a 1 b 3 c 2 a 3 b 2 c 1 Il représente le volume "orientée" du parallélépipède défini par les vecteurs a, b et c. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 8 / 22

9 Déterminant en dimension 3 "Croquis de calcul" : FIGURE : volume orienté du parallélépipède défini par les vecteurs a, b et c. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 9 / 22

10 Déterminant en dimension 3 Proposition Soit a, b et c trois vecteurs de R 3. 1 det(e 1, e 2, e 3 ) = 1. 2 (a, b, c) libre det(a, b, c) 0. 3 det(b, a, c) = det(a, b, c) et det(b, c, a) = det(a, b, c). C. Maugis-Rabusseau (INSA) 10 / 22

11 Sommaire 1 Déterminant de deux vecteurs en dimension 2 2 Déterminant de trois vecteurs en dimension 3 3 Déterminant de n vecteurs en dimension n 4 Déterminant d une matrice carrée d ordre n C. Maugis-Rabusseau (INSA) 11 / 22

12 Déterminant en dimension n Définition Soit φ : R n R une application linéaire. On dit qu elle est n-linéaire alternée si i {1,..., n}, λ R, V 1,..., V n, W n+1 vecteurs de R n 1 φ(v 1, V 2,..., V i + λw,..., V n ) = φ(v 1, V 2,..., V i,..., V n ) + λφ(v 1, V 2,..., W,..., V n ). (on dit que φ est n-linéaire). 2 φ(v 1, V 2,..., V i,..., V j,..., V n ) = 0 si V i = V j. On appelle déterminant, noté det, la forme n-linéaire alternée sur R n qui prend la valeur 1 en (e 1,..., e n ). Géométriquement, le dét. de n vecteurs de R n représente le volume orienté du parallélépipède défini par ces vecteurs. "n-linéaire" : additivité de deux volumes disjoints + la multiplication d une arête par λ multiplie le volume par λ. "alterné" : dit qu un volume plat est nul. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 12 / 22

13 Déterminant en dimension n Proposition Soit V 1,..., V n n vecteurs de R n. 1 det est une forme n-linéaire alternée. 2 det(e 1, e 2,, e n ) = 1. 3 (V 1, V 2, V n ) libre det(v 1, V 2, V n ) 0. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 13 / 22

14 Sommaire 1 Déterminant de deux vecteurs en dimension 2 2 Déterminant de trois vecteurs en dimension 3 3 Déterminant de n vecteurs en dimension n 4 Déterminant d une matrice carrée d ordre n C. Maugis-Rabusseau (INSA) 14 / 22

15 Déterminant d une matrice carrée d ordre n Définition Soit A = (a ij ) i,j {1,2,...,n} M n (R). On appelle déterminant de la matrice A le réel défini par : où les C i sont les colonnes de A. det(a) = det(c 1, C 2,..., C n ), C. Maugis-Rabusseau (INSA) 15 / 22

16 Déterminant d une matrice carrée d ordre n Proposition Le déterminant de A est une forme n-linéaire alternée par rapport aux colonnes de A. C est aussi une forme n-linéaire alternée par rapport aux lignes de A car det( t A) = det(a). En conséquence : 1 Échanger 2 colonnes de la matrice A change le signe du déterminant. 2 Échanger 2 lignes de la matrice A change le signe du déterminant. 3 Ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes ne modifie pas le déterminant. 4 Ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes ne modifie pas le déterminant. 5 λ R, det(λa) = λ n det(a). C. Maugis-Rabusseau (INSA) 16 / 22

17 Exemples Soit A = Calculez det(a) Calculez de deux façons différentes = Déduisez-en les valeurs de = , = et = C. Maugis-Rabusseau (INSA) 17 / 22

18 Développement du det Proposition Soit A = (a ij ) i,j {1,2,...,n} M n (R). Développement suivant une colonne j : det(a) = n ( 1) i+j ij a ij i=1 Développement suivant une ligne i : det(a) = n ( 1) i+j ij a ij j=1 où ij est le déterminant de la matrice A à laquelle on a enlevé la ième ligne et la jème colonne. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 18 / 22

19 Déterminant d une matrice carrée d ordre n Remarque En pratique, on utilise les propriétés énoncées précédemment pour faire apparaître des "0" dans det(a) puis on développe selon la ligne ou la colonne contenant le plus de "0". Exemple Calculez de deux manières différentes le déterminant λ = 0 1 λ 2 1 λ 2 0. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 19 / 22

20 Déterminant des matrices triangulaires supérieures Proposition a 11 a a 1n 1 a 1n 0 a a 2n 1 a 2n.... Si A = a ii a in a n 1n 1 a n 1n a nn alors det(a) = n a ii. i=1 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 20 / 22

21 Déterminant des matrices diagonales Proposition alors λ λ Si A = λ n λ n det(a) = n λ i. i=1 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 21 / 22

22 Propriétés des det Théorème (A, B) M n (K ) 2, det(b A) = det(a B) = det(a) det(b). ATTENTION : En général, det(a + B) det(a) + det(b). Théorème Soit A une matrice de M n (K ). A inversible det(a) 0. De plus, si A est inversible, det(a 1 ) = det(a) 1. Exemple Déterminez les valeurs de λ pour lesquelles A est inversible λ A = 0 1 λ 2 1 λ 2 0 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 22 / 22