Chapitre 03 : THÉORÈME DE THALÈS
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- Mireille Favreau
- il y a 7 ans
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1 hapitre 03 : THÉORÈME DE THALÈS I) Activité d'introduction 1 : Utilisation de la propriété de vue en 4ème + limite Nécessité d'étendre la propriété. II) : 1) Théorème : : (Admis) Soient et deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de la droite, distincts de A. Soient et N deux points de la droite, distincts de A. Si les droites (B) et (MN) sont parallèles, alors on a : MN B onfigurations possibles : Situations pouvant se ramener à la propriété de (programme de 4ème) N N A M Nouvelle configuration : B M A B M A B N Relation de : MN k < 1. B Relation de : MN k > 1. B Relation de : MN k B Lorsque : k<1, on dit que le triangle rouge ANM est une réduction de rapport k du triangle vert AB. k>1, on dit que le triangle rouge ANM est un agrandissement de rapport k du triangle vert AB. Remarque : Il suffit de multiplier les longueurs des triangles verts pour obtenir les longueurs des triangles rouges. 1
2 III) Trois applications possibles du : 1) Exercice rédigé : alcul d'une longueur Sur la figure ci-contre, A (BM), A (N), (B) // (MN). 7 cm 5 cm 4 cm alculer MN. Schéma : Données : onclusions : ANM est une réduction de AB Diagramme : (MB) et (N) se coupent en A (MN) // (B) MN B Rédaction : Les droites (MN) et (N) se coupent en A. Les droites (MN) et (B) sont parallèles. D'après le théorème de : MN B En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient : 4 AN MN 5 A 7 D'après l'égalité des produits en croix, on a : 5 MN Donc MN 5 2
3 2) Exercice rédigé : Partage d'un segment Tracer un segment [EF]. onstruire le point M du segment [EF] tel que EM 3 EF. 7 Solution étape par étape : 1. On commence par tracer un segment [EF] de longueur arbitraire : 2. On trace une demi-droite d'origine E ne passant pas par F : 3. On gradue cette demi-droite à l'aide du compas puis on y place les points et D d'abscisses respectives 3 et 7 : D 4. On construit la parallèle à la droite (DF) passant par le point. On place le point M à l'intersection entre cette droite et la droite (EF). Justification : (MF) et (D) se coupent en E (M) // (FD) EM E 3 EF ED 7 3
4 3) Exercice rédigé : Montrer que deux droites NE sont PAS parallèles On considère la figure ci-contre pour laquelle : AB 9 cm ; AM 3 cm ; AN 2 cm et A 7 cm ; Les droites (BM) et (N) sont sécantes au point A. 7 cm 9 cm 3 cm 2 cm Les droites (MN) et (B) sont-elles parallèles? Schéma : Données : onclusions : non vérifié. tel que : Les droites (MN) et (B) NE sont PAS parallèles. Diagramme : (MB) et (N) se coupent en A non vérifié. Les droites (MN) et (B) NE sont PAS parallèles. Rédaction : Les droites (BM) et (N) se coupent en A. On a d'une part : AM 3 AB 9 On a d'autre part : AN 2 A 7 Or : On en déduit que : Le théorème de N'est PAS vérifié, les droites (MN) et (B) NE sont PAS parallèles. 4
5 IV) Réciproque du théorème de : 1) Théorème : Réciproque du théorème de : (Admis) Soient et deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de la droite, distincts de A. Soient et N deux points de la droite, distincts de A. Si les points A, B, M et les points A,, N sont alignés dans le même ordre et que, alors les droites (B) et (MN) sont parallèles. onfigurations possibles : 2) Exercice rédigé : Montrer que deux droites sont parallèles On considère la figure ci-contre pour laquelle : AN 2 cm ; AM 3 cm ; AB 9 cm et A 6 cm ; Les droites (BM) et (N) sont sécantes au point A. 6 cm 9 cm 2 cm Les droites (MN) et (B) sont-elles parallèles? Schéma : Données : 3 cm onclusions : Réciproque du théorème de tel que : Les droites (MN) et (B) sont parallèles. Diagramme : (MB) et (N) se coupent en A Les points M, A, B et N, A, sont alignés dans le même ordre Réciproque du théorème de Les droites (MN) et (B) sont parallèles. 5
6 Rédaction : Les droites (BM) et (N) se coupent en A. Les points M, A, B et N, A, sont alignés dans le même ordre On a d'une part : AM 3 AB 9 On a d'autre part : AN 2 A 6 Or : On en déduit que : D'après la réciproque du théorème de, les droites (MN) et (B) sont parallèles. Remarque : Pour la réciproque du théorème de, constater l'égalité des rapports ne suffit pas, il faut impérativement que les points soient alignés dans le MÊME ordre. En considérant la figure ci-contre avec : AB 10, AM 3, AN 1,5 et A 5, les points M, A, B et A, N, sont alignés et Pourtant les droites (MN) et (B) ne sont pas parallèles. 6
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