Géométrie analytique dans le plan. Notes de cours

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1 Géométrie analytique dans le plan Notes de cours Le plan affine est muni d'un repère point. ; x désigne l'abscisse d'un point, et y l'ordonnée de ce Droite Une droite affine (c'est-à-dire une droite au sens habituel, un ensemble de points) est représentée par une équation du premier degré à deux inconnues : ax + by + c = 0 (1) Si c est nul, alors la droite passe par l'origine O. Si deux droites sont parallèles, alors leurs coefficients a et b sont proportionnels. Si b n'est pas nul, cette équation peut se réécrire : y = a x + b a = - a/b est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite, et b = - c/b est appelé ordonnée à l'origine (offset ou intercept en anglais) ; deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Avec cette forme là, on voit aisément que la droite passe par le point (0,b ), qui est également appelé ordonnée à l'origine (le terme désigne donc à la fois le point et l'ordonnée de ce point). Si a est nul, on a une droite horizontale y = b passant par le point (0,b ). Si b est nul, on a une droite verticale passant par le point (- c/a,0). x = - c/a Pour tracer une droite à partir de son équation, il suffit de connaître deux points. Le plus simple est de prendre l'intersection avec les axes, c'est-à-dire de considérer successivement x = 0 et y = 0 (sauf si la droite est parallèle à un axe, auquel cas le tracé est trivial). On peut aussi prendre l'ordonnée à l'origine et un point «éloigné» (c'est-à-dire au bord de la figure tracée sur le papier, par exemple considérer x = 10 si l'on va jusqu'à 10), ou encore deux points éloignés (un à chaque bord de la figure) ; en effet, plus les points sont éloignés, plus le tracé de la droite est précis. Une droite vectorielle (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs colinéaires, proportionnels entre eux) est représentée simplement par une équation de droite avec c nul : au 1 + bu 2 = 0 où u 1 et u 2 sont les composantes des vecteurs. On en déduit que pour une droite affine ou vectorielle, le vecteur de composantes

2 est un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé, d'après une propriété du produit scalaire, le vecteur est un vecteur normal à la droite. Quel que soit le repère, si A(x A,y A ) est un point de la droite et point M(x M,y M ) de la droite, on a un vecteur directeur, alors pour tout puisque est colinéaire à. Ceci nous donne une équation paramétrique de la droite : qui peut s'écrire (2) en éliminant le paramètre k, on retrouve une équation de la forme (1). Point Un point est représenté par un système de deux équations du premier degré à deux inconnues : ce qui est logique puisque, un point étant l'intersection de deux droites non-parallèles, ses coordonnées doivent vérifier les équations des deux droites : la réduction de ce système d'équations donne la forme ci-dessus. Ceci est bien évidemment la représentation du point (a, b). Intersection de droites Le plan est rapporté à un repère. Une droite (non verticale) peut être définie par une équation : y = ax + b. Si on considère 2 droites définies par les équations y = ax + b et y = a'x + b', on peut savoir s'il y a une intersection ou non grâce à l'un des 3 cas suivant :

3 si a = a' et b b', alors les droites sont parallèles et il n'y a pas d'intersection ; si a = a' et b = b', alors les 2 droites sont confondues et il y a donc une infinité de points d'intersection ; si a a', quels que soient b et b', il y a forcément un point d'intersection ; on obtient comme coordonnées du point d'intersection : et La démonstration se fait grâce à la résolution d'un système de deux équations à deux inconnues : y = ax + b et y = a'x + b'. Le cercle et le disque Le cercle de centre A et de rayon r est l'ensemble des points situés à une distance r de A. Son équation est donc : que l'on peut écrire : (x x A ) 2 + (y y A ) 2 = r 2. Cette forme porte le nom «d'équation cartésienne du cercle». Son équation paramétrique est : où θ est un réel, qui peut être pris sur un intervalle de largeur 2π ; on prend en général [-π,π] ou [0,2π]. L'équation du disque s'obtient en remplaçant le signe «égal» par un signe «inférieur ou égal».

4 Définition: La fonction f de type f(x)=ax+b où a et b sont des constantes, x étant l'élément variable, est représentée par une droite. Réciproquement nous démontrons aussi qu'une droite dans un repère du plan (droite non parallèle à l'axe des ordonnées) est la représentation graphique d'une fonction affine. Dans un repère du plan, tout point est situé à l'aide de ses coordonnées (abscisse; ordonnée). Chaque point d'une droite de ce plan est donc repéré par (x;y) où x est son abscisse lue sur l'axe des abscisses (souvent nommé x'x) et y son ordonnée lue sur l'axe des ordonnées (souvent nommé y'y). Comme cette droite représente une fonction affine f(x)=ax+b, nous pouvons en déduire que pour un point quelconque P(x;y) de cette droite comme x est l'abscisse de P alors f(x) est l'ordonnée de P. Ce qui peut donc s'écrire: y=ax+b. Une équation d'une droite, dans un repère du plan, est de la forme y=ax+b. Le coefficient a est appelé coefficient directeur de la droite. Remarque : nous écrivons "UNE équation d'une droite", ce qui signifie qu'il y en a d'autres. Par exemple, pour une droite donnée nous pouvons avoir y=2x+1 mais aussi y- 2x=1 ou 2x-y+1=0 ou 4x-2y=-2 ou... Mais chacune de ces équations, après simplification et repositionnement des termes, est équivalente à y=2x+1 (si vous ajoutez 2x aux deux membres de l'équation y-2x=1 vous obtenez y-2x+2x=1+2x et y=2x+1,.. etc.). Notation : pour une droite (D) d'équation y=ax+b, il est parfois intéressant d'adopter la notation suivante : (D):y=ax+b Points particuliers: - Ordonnée à l'origine : Une droite non parallèle à (y'y) coupe cet axe en un point (0,b): d'abscisse 0 (tous les points de (y'y) ont pour abscisse 0) et d'ordonnée b (ordonnée à l'origine). - Abscisse à l'origine : Si la droite coupe l'axe des abscisses, elle le fait au point (-b/a;0) d'abscisse -b/a (abscisse à l'origine) et d'ordonnée 0 (tous les points de (x'x) ont pour ordonnée 0).

5 Droites particulières: Dans un repère du plan d'axes (x'x) et (y'y), nous avons les trois possibilités suivantes: - (D1) Droite passant par l'origine du repère: b=0. Elle représente une fonction linéaire. Son équation est donc du type y=ax. Une fonction linéaire est une fonction affine, la réciproque est fausse. - (D2) Droite parallèle à l'axe des abscisses: a=0. Tous ses points ont la même ordonnée b. Son équation est donc y=b. - (D3) Droite parallèle à l'axe des ordonnées : tous ses points ont la même abscisse quelque soit y. Son équation est de la forme x=cte où Cte est un nombre constant. C'est un cas d'exception. Calcul d'une équation d'une droite : Dans chacun des cas suivants, nous utilisons un repère du plan d'axes (x'x) et (y'y), d'origine O. 1. Droite passant par 2 point connus : Remarque: Il faut vérifier, en étudiant les coordonnées des deux points, si la droite est parallèle à l'un des deux axes (son équation est immédiate: soit y=cte (parallèle à (x'x) ) soit x=cte (parallèle à (y'y) ). Exemples: * Soient A(2;1) et B(2;4) : comme x A = x B = 2 alors (AB) est parallèle à (y'y) et son équation est x=2. * Soient A(4;3) et B(2;3) : comme y A = y B = 3 alors (AB) est parallèle à (x'x) et son équation est y=3. Soient les points A(2;5) et B(-3;-4). Méthode : Comme x A x B ety A y B alors (AB) n'est pas parallèle aux axes de coordonnées L'équation de la droite est donc de la forme y=ax+b : En A nous avons y A =5 et x A =2, donc 5=2a+b (1) En B nous avons y B =-4 et x B =-3 donc -4=-3a+b (2). a et b doivent vérifier les équations (1) et (2) donc être solutions du système :

6 2a + b = 5 { -3a + b = -4 ( - 1) { { { 2a + b = 5 3a - b = 4 { 2a + b = 5 3a - b + 2a + b = b = 5-2a b = 5-2a b = 5-2(9/5) 5a = 9 { a = 9/5 { a = 9/5 b = 5-18/5 b = 25/5-18/5 b = 7/5 a = 9/5 { a = 9/5 { a = 9/5 Vérification des calculs: pour (1) : 2a + b = 2(9/5) + 7/5 = 18/5 + 7/5 = 25/5 = 5. (1) est vérifiée pour (2) : -3a + b = -3(9/5) + 7/5 = -27/5 + 7/5 = -20/5 = -4. (2) est vérifiée Conclusion : La fonction recherchée est donc : y = (9/5)x + 7/5 Nous pouvons aussi écrire l équation de la droite passant par deux points connus comme: x x y y AB x x y y A A : = B A B A x Ou 1 AB : x y 1 = 0 x A B Chacune de ces équations, après simplification et repositionnement des termes, est équivalente à ax + by + c = Droite passant par un point connu et parallèle à une droite connue par son équation: Soient le point A(1;4) et la droite (D) : y = 2x+3. Calculer une équation de la droite (d) passant par A et parallèle à (D). Méthode : Nous savons que des droites parallèles ont même coefficient directeur. Comme les droites (D) et (d) sont parallèles alors le coefficient directeur de (d) est le même que celui de (D). Donc a =2 et (d):y=2x+b. Les coordonnées du point A vont nous permettre de calculer b. En A: y=4 et x=1. Donc (d):4=2 1+b et 4=2+b d'où b=2. Une équation de (d) est donc y=2x+2. y y A B 1

7 3. Droite passant par un point et perpendiculaire à une droite connue par son équation : Dans ce cas, le repère doit être orthonormé (on utilise un théorème dont la démonstration fait appel au théorème de Pythagore pour le calcul de distances, ce qui nécessite un repère orthonormé). Soient le point A(1;4) et la droite (D) : y = 2x+3. Calculer une équation de la droite (d) passant par A et perpendiculaire à (D). Méthode : Nous savons que les coefficients directeurs a et a' de deux droites perpendiculaires sont tels que aa'=-1. Une équation de (d) est de la forme y=ax+b. Le coefficient directeur de (D) est 2. Comme (d) et (D) sont perpendiculaires alors 2 a= -1 d'où a= -1/2. Une équation de (d) a donc la forme (d):y= (-1/2)x+b. Comme au 2. le calcul de b se fait à l'aide des coordonnées de A. En A: y=4 et x=1. Donc (d): 4 =(-1/2) 1+b. Nous obtenons b=9/2. Une équation de (d) est donc y=(-1/2)x+9/2. Pour démontrer que : Un point appartient à une droite : Si les coordonnées d'un point vérifient une équation de la droite alors ce point appartient à la droite (la réciproque est vraie). Plusieurs (au moins trois) points sont alignés : Si plusieurs points vérifient la même équation de droite alors ces points sont alignés (la réciproque est vraie). Pratiquement vous calculerez une équation de la droite passant par deux de ces points, et vous vérifierez ensuite pour chaque point restant, si ses coordonnées vérifient cette équation. Deux droites sont parallèles : Si les équations des deux droites sont soit de la forme y=cte, soit de la forme x=cte alors ces deux droites sont parallèles. La notation "Cte" signifie qu'il s'agit d'une valeur numérique constante. Si deux droites ont même coefficient directeur alors ces deux droites sont parallèles (la réciproque est vraie).

8 Deux droites sont perpendiculaires : Ce théorème n'est appliquable que dans un repère orthonormé. Si le produit des coefficient directeurs des deux droites est égal à -1 alors ces deux droites sont perpendiculaires (la réciproque est vraie). Problème : Ce problème permet de comprendre comment: - calculer une équation d'une droite. - calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites. - démontrer qu'un point est milieu d'un segment. - utiliser le parallélisme de deux droites. - utiliser les propriétés d'un parallélogramme. - démontrer l'appartenance d'un point à une droite. Énoncé: Dans un repère d'axes (x'x) et (y'y), d'origine O, on donne A(-2;5), B(6;4) et C(-2;0). 1- Calculer une équation de la droite (AB). 2- Calculer une équation de la droite (d) de coefficient directeur 3/2 et passant par C. 3- Calculer les coordonnées du point P commun aux droites (AB) et (d). 4- La droite (d) coupe l'axe des ordonnées (y'y) en N. a) Calculer les coordonnées de N. b) Calculer les coordonnées du point E si N est le milieu du segment [EC]. 5- La droite parallèle à la droite (BC) et passant par N coupe la droite (AB) en Q. Calculer les coordonnées du point Q. 6 -Soit K un point tel que AKBN est un parallélogramme. Calculer les coordonnées de K.