Cours de Mathématiques

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1 Cours de Mathématiques Classe de MPSI B Auteur : Marc Lorenzi Mis à jour le 11 décembre 2014 Lycée Camille Guérin Année

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3 Table des matières 1 Un peu de logique 21 I Propositions I.1 Le langage des mathématiques I.2 Équivalence de deux propositions II Connecteurs logiques II.1 Le connecteur «ET» II.2 Le connecteur «OU» II.3 Le connecteur «NON» II.4 Le connecteur «IMPLIQUE» II.5 Équivalence logique III Quantificateurs III.1 Quantificateurs universel et existentiel III.2 Négation d une phrase quantifiée III.3 Échange de quantificateurs IV Exercices Ensembles 31 I Notion d ensemble I.1 Ensembles, éléments I.2 Les difficultés du concept d ensemble I.3 Égalité d ensembles I.4 Inclusion I.5 Ensemble vide I.6 Parties d un ensemble II Opérations sur les ensembles II.1 Réunion II.2 Intersection II.3 Différence, Complémentaire II.4 Couples, produit cartésien II.5 Notion de famille

4 4 TABLE DES MATIÈRES III Exercices Récurrence 39 I L ensemble des entiers naturels II Raisonnement par récurrence II.1 Le théorème de démonstration par récurrence II.2 Exemples fondamentaux II.3 La formule du binôme III Extensions du principe de récurrence III.1 Récurrence forte III.2 Récurrence à 2 rangs IV Suites définies par récurrence V Annexe : suites récurrentes VI Exercices Applications et relations 47 I Applications I.1 Définitions I.2 Restrictions, prolongements I.3 Injections, surjections, bijections I.4 Composition I.5 Application réciproque I.6 Images directes, Images réciproques I.7 Fonctions indicatrices II Relations d ordre II.1 Relations binaires II.2 Ensembles ordonnés II.3 Majorants, Minorants III Relations d équivalence III.1 Notion de relation d équivalence III.2 Exemples simples III.3 Congruences sur Z III.4 Congruences sur R III.5 Classes d équivalences III.6 Une réciproque IV Exercices Nombres complexes 59 I Le corps des complexes I.1 Construction des nombres complexes I.2 Affixe, image I.3 Conjugué I.4 Module II Nombres complexes et trigonométrie

5 TABLE DES MATIÈRES 5 II.1 Nombres complexes de module II.2 Arguments d un complexe non nul II.3 Forme trigonométrique II.4 Exponentielle complexe II.5 Application à la linéarisation de sinus et cosinus II.6 Opération inverse : délinéarisation? III Résolution d équations algébriques III.1 Racine carrée d un nombre complexe III.2 Méthode algébrique III.3 Équation du second degré III.4 Racines nièmes de l unité III.5 Racines nièmes d un nombre complexe IV Interprétations géométriques IV.1 Somme, produit par un réel IV.2 Module, Argument IV.3 Produit V Exercices Le corps des nombres réels 75 I Le corps des réels I.1 Corps ordonnés I.2 Valeur absolue II Borne supérieure II.1 Notion de borne supérieure II.2 Le Théorème fondamental II.3 La droite réelle achevée II.4 Propriété d Archimède II.5 Partie entière, Approximations décimales II.6 Densité des rationnels et des irrationnels III Intervalles III.1 Notion d intervalle III.2 Parties convexes IV Exercices Fonctions 85 I Fonctions à valeurs réelles I.1 Fonctions à valeurs réelles I.2 Fonctions bornées I.3 Fonctions monotones I.4 Extrema I.5 Parité, périodicité II Dérivation II.1 Notion de dérivée II.2 Opérations sur les dérivées

6 6 TABLE DES MATIÈRES II.3 Monotonie II.4 Réciproque d une fonction dérivable III Logarithmes et exponentielles III.1 Logarithme népérien III.2 Exponentielle III.3 Logarithmes et exponentielles en base quelconque III.4 Représentations graphiques IV Puissances IV.1 Définition IV.2 Représentations graphiques IV.3 variations IV.4 Racines IV.5 Comparaison des logarithmes, puissances et exponentielles V Fonctions circulaires V.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente V.2 Fonctions Arc sinus et Arc cosinus V.3 Fonction Arc tangente VI Fonctions hyperboliques VI.1 Fonctions cosinus et sinus hyperbolique VI.2 Trigonométrie hyperbolique VI.3 Fonction tangente hyperbolique VI.4 Fonctions hyperboliques réciproques VII Exercices Primitives et Équations différentielles 105 I Calculs de primitives I.1 Notion de primitive I.2 Primitives usuelles I.3 Intégration par parties I.4 Changement de variable II Notion d équation différentielle II.1 C est quoi? II.2 Exemple II.3 Exemple III Équations linéaires du premier ordre III.1 Équation homogène III.2 Équation avec second membre III.3 Une équation fonctionnelle III.4 Le problème de Cauchy IV Résolution approchée V Équations du second ordre V.1 Équation homogène V.2 Le cas réel V.3 Équation avec second membre

7 TABLE DES MATIÈRES 7 V.4 Problème de Cauchy VI Exercices Suites réelles 117 I Limite d une suite I.1 Limite réelle I.2 Limite infinie I.3 Opérations sur les limites I.4 Limites et ordre I.5 Suites extraites II Théorèmes d existence de limites II.1 Suites monotones II.2 Suites adjacentes II.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass III Suites complexes III.1 Introduction III.2 Limites IV Récurrences linéaires IV.1 Suites arithmétiques et géométriques IV.2 Récurrences linéaires à deux termes V Exercices Limites - Continuité 131 I Étude locale d une fonction I.1 Topologie I.2 Limite et continuité en un point I.3 Reformulations de la notion de limite I.4 Opérations sur les limites I.5 Limites de fonctions, limites de suites I.6 limites et ordre I.7 Limites dans une direction I.8 Fonctions monotones II Propriétés des fonctions continues II.1 Opérations sur les fonctions continues II.2 Prolongement par continuité II.3 Image d un intervalle II.4 Image d un segment II.5 Fonctions continues strictement monotones II.6 Fonctions lipschitziennes III Fonctions à valeurs complexes IV Exercices

8 8 TABLE DES MATIÈRES 11 Dérivation 145 I Notion de dérivée I.1 Définitions I.2 Dérivées à droite et à gauche I.3 Classes de fonctions I.4 Opérations sur les dérivées II Accroissements finis II.1 Extrema locaux II.2 Théorème de Rolle II.3 Accroissements finis II.4 Fonctions monotones II.5 Passage à la limite dans une dérivée II.6 Passage à la limite pour les fonctions de classe C k III Fonctions à valeurs complexes III.1 Dérivation III.2 Rolle et accroissements finis III.3 Intégration IV Exercices Analyse asymptotique 157 I Comparaison des fonctions au voisinage d un point I.1 Négligeabilité, domination I.2 Fonctions équivalentes I.3 Équivalents classiques I.4 Fonctions de référence II Développements limités II.1 Formule de Taylor-Young II.2 Notion de DL II.3 Utilité des développements limités II.4 Développements classiques II.5 Somme de DLs II.6 Produit de DLs II.7 Inverse d un DL II.8 Composition de DLs II.9 Primitivation de DLs III Développements asymptotiques III.1 Notion de DA III.2 Quelques exemples III.3 La formule de Stirling IV Exercices

9 TABLE DES MATIÈRES 9 13 Groupes, anneaux, corps 173 I Lois de composition interne I.1 Définition I.2 Propriétés fondamentales des lois de composition II Groupes II.1 Définitions II.2 Puissances d un élément II.3 Sous-groupes II.4 Morphismes de groupes II.5 Noyau et image d un morphisme III Anneaux et corps III.1 Définitions III.2 Sommes et produits III.3 Puissances et multiples III.4 Sous-Anneaux III.5 Éléments inversibles d un anneau III.6 Morphismes d anneaux III.7 Identités remarquables IV Exercices Arithmétique 187 I Divisibilité dans Z I.1 Diviseurs, multiples I.2 Division euclidienne II PGCD, PPCM II.1 Somme de deux sous-groupes II.2 PGCD II.3 Théorème de Bézout II.4 Théorème de Gauss II.5 Algorithme d Euclide II.6 Complexité de l algorithme d Euclide II.7 Coefficients de Bézout II.8 Propriétés utiles II.9 PPCM II.10 Résolution d une équation diophantienne simple II.11 PGCD d un nombre fini d entiers III Nombres premiers III.1 Définition III.2 Propriétés III.3 Décomposition en produit de facteurs premiers III.4 Valuation p-adique III.5 Application au pgcd et au ppcm IV Congruences IV.1 Rappels

10 10 TABLE DES MATIÈRES IV.2 Opérations sur les congruences IV.3 Le petit théorème de Fermat V Exercices Polynômes 203 I L algèbre des polynômes I.1 Notion de polynôme I.2 Degré I.3 Produit de polynômes I.4 Écriture définitive I.5 composée II L anneau des polynômes II.1 Multiples, diviseurs, d un polynôme II.2 Division euclidienne III Fonctions polynômes III.1 C est quoi? III.2 Polynômes et fonctions polynômes III.3 Racines d un polynôme III.4 Racines multiples IV Dérivation IV.1 Dérivée d un polynôme IV.2 Formule de Taylor V Factorisation des polynômes V.1 Polynômes irréductibles V.2 Polynômes scindés V.3 Relations coefficients-racines VI Pgcd,Ppcm VI.1 L algorithme d Euclide VI.2 Théorème de Bézout VI.3 Théorème de Gauss VI.4 Propriétés utiles VI.5 Ppcm VI.6 Calculs pratiques VII Interpolation de Lagrange VII.1 Qu est-ce que l interpolation? VII.2 Existence et unicité VIII Exercices Fractions rationnelles 219 I Le corps des fractions rationnelles I.1 Notion de fraction rationnelle I.2 Degré d une fraction rationnelle I.3 Racines, pôles I.4 Fonctions rationnelles

11 TABLE DES MATIÈRES 11 II Éléments simples II.1 C est quoi? II.2 Exemples de base II.3 Partie entière d une F.R II.4 Parties polaires d une fraction II.5 Décomposition en éléments simples sur les complexes II.6 Pôles simples II.7 Pôles multiples II.8 Fractions réelles III Primitives des fractions rationnelles III.1 Primitives d un élément simple de première espèce III.2 Primitives d un élément simple de deuxième espèce d ordre III.3 Primitives d un élément simple de deuxième espèce d ordre au moins 2224 IV Exercices Calcul des primitives 227 I Primitives usuelles II Primitives se ramenant à des primitives de F.R II.1 Fractions en sinus et cosinus II.2 Fractions d exponentielles II.3 Intégrales abéliennes (I) II.4 Intégrales abéliennes (II) III Autres primitives III.1 Primitives de fonctions faisant intervenir un logarithme ou un arc tangente III.2 Exponentielle-polynôme IV Exercices Espaces vectoriels 235 I Généralités I.1 Notion d espace vectoriel I.2 Propriétés immédiates I.3 Exemples I.4 Combinaisons linéaires II Applications linéaires II.1 C est quoi? II.2 Quelques exemples II.3 Endomorphismes du plan II.4 Vocabulaire, notations II.5 Opérations sur les applications linéaires III Sous-espaces vectoriels III.1 C est quoi? III.2 Caractérisation III.3 Exemples

12 12 TABLE DES MATIÈRES III.4 Image directe et réciproque par une application linéaire III.5 Noyau et image d une application linéaire IV Opérations sur les s.e.v IV.1 Intersection IV.2 s.e.v engendré par une partie IV.3 Quelques propriétés V Sous-espaces supplémentaires V.1 Somme de deux s.e.v V.2 Sommes directes - s.e.v supplémentaires V.3 Somme directe de n sous-espaces vectoriels V.4 Projecteurs V.5 Symétries VI Familles remarquables de vecteurs VI.1 Famille libre, famille génératrice, base VI.2 Vocabulaire VI.3 Propriétés faciles VI.4 Familles remarquables et applications linéaires VI.5 Familles libres maximales, génératrices minimales VI.6 bases et sev supplémentaires VII Exercices Dimension finie 253 I Dimension I.1 Espaces de dimension finie I.2 Cardinal des familles libres I.3 Le théorème de la base incomplète I.4 Bilan II Sev d un espace de dimension finie II.1 Dimension d un sev II.2 Sev supplémentaires III Dimensions classiques III.1 Image d un sev par une application linéaire III.2 Espaces isomorphes III.3 Somme de sous-espaces vectoriels III.4 Produit d espaces vectoriels III.5 Dimension des espaces d applications linéaires IV Notion de rang IV.1 Rang d une famille de vecteurs IV.2 Rang d une application linéaire IV.3 Le théorème du rang IV.4 Quelques conséquences IV.5 Calcul pratique d un rang V Dual d un espace vectoriel V.1 Rappels

13 TABLE DES MATIÈRES 13 V.2 Formes coordonnées, base duale V.3 Hyperplans V.4 Noyau d une forme linéaire non nulle V.5 Équations d un hyperplan V.6 Intersections d hyperplans VI Exercices Matrices 269 I Notion de matrice I.1 C est quoi? I.2 Structure d espace vectoriel sur les ensembles de matrices II Vecteurs, applications linéaires et matrices II.1 Matrice d un vecteur, d une famille de vecteurs II.2 Matrice d une application linéaire III Produit matriciel III.1 Analyse du problème III.2 Produit de deux matrices III.3 Associativité du produit matriciel III.4 L algèbre des matrices carrées III.5 Matrices inversibles III.6 Image d un vecteur par une application linéaire III.7 matrices triangulaires III.8 Blocs IV Transposition IV.1 C est quoi? IV.2 Propriétés IV.3 Matrices symétriques, antisymétriques V Changements de base V.1 Matrices de passage V.2 Changement de base pour un vecteur V.3 Changement de bases pour une application linéaire VI Trace VI.1 Trace d une matrice carrée VI.2 Propriétés VI.3 Trace d un endomorphisme VII Rang VII.1 Rang d une matrice VII.2 Matrice canonique d une application linéaire VII.3 Équivalence des matrices VII.4 Rang et transposition VII.5 Rang et matrices extraites VIII Similitude IX Exercices

14 14 TABLE DES MATIÈRES 21 Groupes Symétriques 289 I Compléments sur les groupes finis I.1 Groupes cycliques I.2 Sous-groupes d un groupe cyclique I.3 Ordre d un élément, ordre d un sous-groupe I.4 Le théorème de Lagrange II Notion de permutation II.1 Permutations d un ensemble II.2 Exemples III Orbites III.1 Notion d orbite III.2 Étude des orbites III.3 Cycles, Transpositions IV Signature IV.1 Décomposition en produit de transpositions IV.2 Signature d une permutation IV.3 Groupe alterné V Exercices Déterminants 301 I Applications multilinéaires I.1 Définitions I.2 Structure des ensembles d applications n-linéaires I.3 Formes n-linéaires alternées II Déterminant d une famille de vecteurs II.1 Notations II.2 Calculs II.3 Bilan II.4 Déterminant d une famille de vecteurs II.5 Déterminant d une matrice carrée II.6 exemples II.7 Déterminants, bases, matrices inversibles III Calcul des déterminants III.1 Déterminant d une matrice triangulaire III.2 Déterminant d une matrice triangulaire par blocs III.3 Opérations sur les lignes et les colonnes III.4 Développement suivant une ligne ou une colonne III.5 Un exemple plus compliqué IV Déterminant d un endomorphisme IV.1 Construction IV.2 Calcul pratique IV.3 Interprétation IV.4 Propriétés de morphisme du déterminant IV.5 Orientation d un espace vectoriel réel

15 TABLE DES MATIÈRES 15 V Inversion des matrices V.1 Définitions, Notations V.2 Produit d une matrice et de sa transcomatrice V.3 Application au calcul de l inverse VI Exercices Systèmes linéaires 319 I Sous-espaces affines d un espace vectoriel I.1 Espaces affines - Points et vecteurs I.2 Translations - sous-espaces affines I.3 Parallélisme I.4 Intersection de sous-espaces affines I.5 Barycentres-Parties convexes I.6 hyperplans affines II Introduction aux systèmes linéaires II.1 Position du problème II.2 Interprétations II.3 Structure des solutions - Systèmes homogènes II.4 Structure des solutions - Cas général III Systèmes de Cramer III.1 Définitions III.2 Formules de Cramer IV Opérations sur les lignes et les colonnes des matrices IV.1 Matrices élémentaires IV.2 Multiplication d une colonne par un scalaire IV.3 Échange de colonnes IV.4 Ajout à une colonne d un multiple d une autre colonne IV.5 Application aux systèmes linéaires V Algorithme du Pivot de Gauss V.1 Première étape V.2 Étape générale V.3 Conclusion VI Compléments VI.1 Calcul du déterminant d une matrice carrée VI.2 Inversion d une matrice carrée VI.3 Évaluation de la complexité de la méthode du pivot VII Exercices Espaces préhilbertiens réels 335 I Produits scalaires I.1 Notion de produit scalaire I.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz I.3 Norme euclidienne I.4 Distance euclidienne

16 16 TABLE DES MATIÈRES I.5 Relations utiles II Orthogonalité II.1 Vecteurs orthogonaux II.2 Sous-ensembles orthogonaux II.3 Orthogonal d une partie II.4 Algorithme de Gram-Schmidt II.5 Conséquences II.6 Calculs en bases orthonormées III Projecteurs orthogonaux - Symétries orthogonales III.1 Définitions III.2 Cas particuliers III.3 Distance d un vecteur à un sous-espace vectoriel IV Hyperplans affines d un espace euclidien IV.1 Vecteur normal à un hyperplan IV.2 Distance d un point à un hyperplan affine V Exercices Endomorphismes orthogonaux 347 I Généralités I.1 Notion d endomorphisme orthogonal I.2 Propriétés élémentaires I.3 Endomorphismes orthogonaux et bases orthonormées I.4 Matrices orthogonales I.5 Produit mixte II Le groupe orthogonal du plan II.1 Recherche des matrices orthogonales II.2 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant II.3 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant II.4 Angle orienté de deux vecteurs non nuls II.5 Générateurs du groupe orthogonal III Produit vectoriel III.1 Notion de produit vectoriel III.2 Propriétés essentielles III.3 Calculs en base orthonormée directe III.4 Annexe : double produit vectoriel IV Le groupe orthogonal de l espace IV.1 Sous espaces stables IV.2 Cas 1 : Les invariants forment tout l espace IV.3 Cas 2 : Les invariants forment un plan IV.4 Cas 3 : Les invariants forment une droite IV.5 Cas 4 : Le seul invariant est IV.6 Conclusion IV.7 Générateurs de O(E) et de SO(E) IV.8 Compléments sur les rotations

17 TABLE DES MATIÈRES 17 V Exercices Intégration 363 I Intégration des fonctions en escalier I.1 Subdivisions d un segment I.2 Notion de fonction en escalier I.3 Intégrale d une fonction en escalier I.4 Propriétés II Continuité uniforme II.1 Définitions III Construction de l intégrale III.1 Fonctions continues par morceaux III.2 Intégrale d une fonction continue par morceaux IV Propriétés de l intégrale IV.1 Linéarité IV.2 Croissance IV.3 Formule de Chasles IV.4 Nullité de l intégrale IV.5 Inégalité de Schwarz V Approximations de l intégrale V.1 Sommes de Riemann - Méthode des rectangles V.2 Méthode des trapèzes VI Primitives VI.1 Notion de primitive VI.2 Existence et unicité des primitives VI.3 Application VI.4 Intégration par parties VI.5 Changement de variable VII Formules de Taylor VII.1 Introduction VII.2 Formule de Taylor avec reste intégral VII.3 Inégalité de Taylor-Lagrange VIII Fonctions à valeurs complexes IX Exercices Étude des Fonctions 381 I Ensemble de définition II Réduction de l ensemble d étude III Régularité de la fonction IV Variations V Points remarquables réels V.1 Point réel où la fonction n est pas définie V.2 Points où la fonction est définie VI Étude à l infini

18 18 TABLE DES MATIÈRES VI.1 Limite à l infini VI.2 Direction asymptotique VI.3 Asymptote, branche parabolique VI.4 Position courbe/asymptote VII Concavité VIII Tracé IX Exercices Séries 387 I Généralités I.1 Notion de série I.2 linéarité de la somme I.3 Restes I.4 Condition nécessaire de convergence I.5 Lien entre suites et séries II Séries à termes positifs II.1 Une CNS très évidente de convergence II.2 Une CS évidente de convergence II.3 Une CS un peu moins évidente de convergence III Comparaison entre séries et intégrales III.1 Séries vs intégrales III.2 Un exemple complet : la série harmonique IV Convergence absolue IV.1 Séries absolument convergentes IV.2 Convergence absolue et convergence V Appendice - Représentations p-adiques des réels V.1 Représentation en base p des entiers naturels V.2 Représentations d un réel en base p V.3 Unicité du développement VI Exercices Dénombrements 401 I Notion d ensemble fini I.1 Cardinal I.2 Propriétés I.3 Dénombrements et ensembles finis II Opérations sur les ensembles finis II.1 Union disjointe II.2 Différence, union II.3 Produit cartésien III Applications entre ensembles finis III.1 Dénombrements d applications III.2 Dénombrements d injections, de bijections IV Parties d un ensemble fini

19 TABLE DES MATIÈRES 19 IV.1 Nombre total de parties IV.2 Nombre de parties de cardinal donné V Exercices Probabilités 411 I Expérience aléatoire et univers I.1 Notion d univers I.2 Notion d événement I.3 Systèmes complets d événements II Espaces probabilisés finis II.1 Notion de probabilité II.2 Un exemple II.3 Propriétés des probabilités II.4 Tirages avec remise dans une urne : la loi binomiale II.5 Tirages sans remise dans une urne : la loi hypergéométrique III Probabilités conditionnelles III.1 C est quoi? III.2 Probabilités composées, probabilités totales III.3 Formule de Bayes III.4 Événements indépendants IV Exercices Variables aléatoires 427 I Notion de variable aléatoire I.1 C est quoi? I.2 Loi d une variable aléatoire I.3 Image d une variable aléatoire par une fonction II Lois usuelles II.1 Loi uniforme II.2 Loi de Bernoulli II.3 Loi binomiale II.4 Un exemple : tirages avec remise III Couples de variables aléatoires III.1 Loi conjointe, lois marginales III.2 Un exemple III.3 Loi conditionnelle III.4 Généralisation à n variables aléatoires IV Variables aléatoires indépendantes IV.1 C est quoi? IV.2 Généralisation IV.3 Fonctions de variables aléatoires indépendantes IV.4 Retour à la loi binomiale V Espérance V.1 Notion d espérance

20 20 TABLE DES MATIÈRES V.2 Espérance des variables aléatoires usuelles V.3 Propriétés élémentaires V.4 Linéarité de l espérance V.5 Formule de transfert V.6 Inégalité de Markov V.7 Espérance d un produit de variables aléatoires indépendantes VI Variance, écart-type, covariance VI.1 Variance, écart-type VI.2 Variance des variables aléatoires usuelles VI.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev VI.4 Covariance VI.5 Quelques propriétés de la covariance VI.6 Variance d une somme de variables aléatoires VII Exercices Index 449

21 Chapitre 1 Un peu de logique 21

22 22 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE I Propositions I.1 Le langage des mathématiques Faire des mathématiques, c est écrire des propositions vraies. Mais qu est ce qu une proposition? Et qu est ce que la vérité? Ceci n est pas un cours de logique, et nous nous contenterons de quelques idées très vagues sur la question. Une proposition est une assemblage de symboles, formé à partir de règles strictes. Par exemple, «1 + 1 = 2» est une proposition. Un autre exemple de proposition est «tous les nombres entiers sont pairs», ou encore «tout corps fini est commutatif». Où sont les symboles dans ces propositions? Eh bien ils sont cachés dans les mots que le mathématicien a définis. Par exemple, «n est pair» veut dire «p N, n = 2 p». Et les symboles N et sont eux mêmes des résumés pour des assemblages d autres symboles encore plus primitifs. En réalité, le seul symbole primitif de la théorie dans laquelle nous faisons des mathématiques (la théorie des ensembles) est le symbole d appartenance. Étant donnée une proposition, celle-ci est vraie ou fausse, mais jamais les deux à la fois (nous ne chercherons pas à définir les mots VRAI et FAUX). La véracité ou la fausseté d une proposition est ce que l on appelle parfois sa valeur de vérité. L activité principale d un mathématicien consiste à écrire, en utilisant un certain nombre de règles, des propositions vraies. Nous conviendrons que, dorénavant, toutes les propositions que nous écrivons sont vraies. Ceci ressemble à une évidence, mais elle ne l est pas complètement. En effet, nous pourrons dorénavant écrire = 2, au lieu de «la proposition «1 + 1 = 2»est vraie». Le terme générique «proposition» convient pour toutes les phrases mathématiques vraies. On utilise parfois d autres mots, pour insister sur l objectif de la proposition. Citons entre-autres : Théorème : une proposition d une grande importance, parfois l aboutissement d années de recherches. Lemme : une proposition de moindre importance, souvent nécessaire à la démonstration d un théorème. Cela ne signifie pas forcément qu un lemme est simple à démontrer, ni qu un lemme n est pas important. Tout est relatif. Corollaire : une proposition qui est une conséquence (souvent) immédiate d une proposition qui vient juste d être établie. Axiome : une proposition arbitrairement décidée comme vraie dans la théorie mathématique dans laquelle on se place. Seuls les grands mathématiciens ont le droit de changer les axiomes des mathématiques. I.2 Équivalence de deux propositions Deux propositions peuvent avoir l air très différentes, et être pourtant simultanément vraies ou simultanément fausses. C est ce qui fait toute la difficulté des mathématiques! Définition 1.1 : On dit que deux propositions P et Q sont équivalentes, et on note P Q, lorsque P et Q sont simultanément vraies ou simultanément fausses.

23 II. CONNECTEURS LOGIQUES 23 Remarque 1.1 : Comment montrer une équivalence? Nous verrons que pour des propositions très simples, ce que l on appelle une table de vérité suffit. Mais bien entendu, cela ne va pas durer. Une démonstration d équivalence peut être très difficile. Nous allons en gros passer le reste de l année à démontrer des équivalences. Remarque 1.2 : Étant données deux propositions P et Q, P Q est en fait une nouvelle proposition, soit vraie, soit fausse. Le symbole fait partie de la famille des connecteurs, dont nous allons maintenant étudier quelques exemples. II Connecteurs logiques Le discours mathématique a tendance à relier, à connecter des propositions entre-elles, ceci afin de fabriquer de nouvelles propositions. La question est de savoir quand ces nouvelles propositions sont vraies. II.1 Le connecteur «ET» Définition 1.2 : Étant données deux propositions P et Q, le connecteur (ET) permet de fabriquer la nouvelle proposition P Q. Cette nouvelle proposition est vraie exactement lorsque les deux propositions P et Q sont vraies. Remarque 1.3 : Voici la table de vérité du «ET» FAUX et VRAI sont représentés par 0 et 1. Par exemple, à l intersection de la ligne étiquetée par 0 et de la colonne étiquetée par 1, on trouve 0, ce qui veut dire que P Q est FAUX lorsque P est FAUX et Q est VRAI. Proposition 1.1 : Soient P, Q, R des propositions. On a P P P (idempotence) P Q Q P (commutativité) (P Q) R P (Q R) (associativité) Démonstration : Ceci se prouve en faisant des tables de vérité. Montrons par exemple

24 24 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE l associativité. P Q R P Q Q R (P Q) R P (Q R) On constate que les deux dernières colonnes de ce tableau sont identiques, ce qui veut dire que les propositions correspondantes sont équivalentes. Remarque 1.4 : En tant que mathématicien, le reste de votre vie va être consacré à démontrer des propositions. La rédaction d une démonstration est un acte parfaitement codifié. Pour chaque type de proposition, il existe un ou plusieurs types de démonstrations. Il s agit pour vous de parfaitement connaître la façon dont on démontre chaque type de proposition, puisque votre vie d étudiant en mathématiques consistera à être noté sur vos démonstrations. Comment montrer un «ET»? Eh bien, on montre d abord l une des deux propositions, PUIS on montre l autre. Histoire d être bien clair, pour montrer un «ET», il faut faire deux démonstrations distinctes. II.2 Le connecteur «OU» Définition 1.3 : Étant données deux propositions P et Q, le connecteur (OU) permet de fabriquer la nouvelle proposition P Q. Cette nouvelle proposition est vraie exactement lorsque l une au moins des deux propositions P et Q est vraie. Remarque 1.5 : Voici la table de vérité du «OU» Remarque 1.6 : Comment montrer un «OU»? Ce n est pas si évident que cela. Il va falloir attendre de connaître l implication. Voici quelques propriétés du connecteur «OU» : Proposition 1.2 : Soient P, Q, R des propositions. On a P P P P Q Q P

25 II. CONNECTEURS LOGIQUES 25 (P Q) R P (Q R) Démonstration : Ceci se prouve en faisant des tables de vérité. Proposition 1.3 : Soient P, Q, R des propositions. On a P (Q R) (P Q) (P R) (distributivité du OU par rapport au ET) P (Q R) (P Q) (P R) (distributivité du ET par rapport au OU) II.3 Le connecteur «NON» Définition 1.4 : Étant donnée une proposition P, le connecteur (NON) permet de fabriquer la nouvelle proposition P. Cette nouvelle proposition est vraie exactement lorsque la proposition P est fausse. Remarque 1.7 : Voici la table de vérité du «NON». P P Proposition 1.4 : Soient P, Q des propositions. On a P P (P P ) (non contradiction) P P (tiers exclu) (P Q) ( P ) ( Q) (P Q) ( P ) ( Q) (lois de Morgan) II.4 Le connecteur «IMPLIQUE» Définition 1.5 : Étant données deux propositions P et Q, on crée une nouvelle proposition P Q. Cette proposition est fausse exactement dans le cas où P est vraie et Q est fausse. Remarque 1.8 : Voici la table de vérité de «IMPLIQUE» Proposition 1.5 : Soient P, Q, R des propositions. On a ((P Q) (Q R)) (P R) (transitivité de l implication) (P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) (P Q) (P Q)

26 26 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE Exemple : L exemple qui suit est destiné à nous faire comprendre la nature du connecteur implique. Donnons nous un entier naturel n. Je vais partir du principe que tout le monde sera d accord lorsque j affirme que si n est multiple de 4, alors n est pair. Prenons quelques valeurs de n pour voir.... Commençons par n = 8. Alors n est multiple de 4 et n est également pair. Donc, si l on veut que la table de vérité du connecteur IMPLIQUE ne dépende que des valeurs de vérité des propositions, et pas de la nature de ces propositions, on doit avoir que VRAI implique VRAI. Maintenant, attention! Prenons n = 2. Alors, n n est pas multiple de 4, et pourtant il est pair. Donc, FAUX implique VRAI. Pour finir, prenons n = 3. Cette fois ci, FAUX implique FAUX. Un seul cas n a pas été envisagé : a-t-on aussi VRAI implique FAUX? Si c était le cas, toutes les implications seraient vraies. Donc, si l on veut que le connecteur IMPLIQUE ne soit pas un connecteur trivial, on doit poser que VRAI implique FAUX est FAUX. Remarque 1.9 : Comment montrer que P Q? La proposition P est soit vraie soit fausse. Si P est fausse, alors P Q sera vraie, ceci quelle que soit Q. On n a donc pas à s occuper de ce cas, et on peut donc supposer que P est vraie. Puis, il s agit de vérifier que Q est vraie. Pour résumer : Pour montrer P Q : On suppose P. On montre Q. S il y a une seule chose à retenir dans ce chapitre, c est celle-ci. Nous en ferons un usage quotidien. Remarque 1.10 : On a vu qu il existe un lien entre «OU» et «IMPLIQUE». Ainsi : Pour montrer P Q, on suppose que P est fausse, et on montre que Q est vraie. Proposition 1.6 : Soient P et Q deux propositions. On a P Q Q P Il s agit du principe de contraposition. Pour montrer une implication, on suppose que le membre de droite est faux, et on montre que celui de gauche l est aussi. Proposition 1.7 : Soit P une proposition. Soit F une proposition fausse. On a ( P F ) P Il s agit du principe de démonstration par l absurde. Pour montrer que P est vraie, on suppose que P est fausse et on arrive à une contradiction. Il ne faut pas abuser de ce genre de démonstrations, car elles sont souvent difficiles à lire (pour ne pas dire incompréhensibles), et paraissent artificielles. Moralité, on ne fait une démonstration par l absurde que si on ne voit pas comment faire autrement. Et une fois qu on a fait la démo par l absurde, on cherche à faire autrement. II.5 Équivalence logique Nous revenons ici à l étude du connecteur d équivalence. Rappelons la Définition 1.6 : Étant données deux propositions P et Q, on crée une nouvelle proposition P Q. Cette proposition est vraie exactement dans le cas où P et Q ont la même valeur de vérité.

27 III. QUANTIFICATEURS 27 Remarque 1.11 : Voici la table de vérité de «EQUIVAUT» Proposition 1.8 : (P Q) ((P Q) (Q P )) (P Q) (Q R) (P R) (transitivité de l équivalence) Remarque 1.12 : Nous savons donc comment montrer que deux propositions sont équivalentes : on montre deux implications. III Quantificateurs III.1 Quantificateurs universel et existentiel Soit P (x) une proposition «dépendant» d une variable x (on dit aussi un prédicat), cette variable appartenant à un certain ensemble E. Définition 1.7 : Le symbole est appelé quantificateur universel. Il permet de former la proposition x E, P (x). Cette proposition est vraie si et seulement si la proposition P (x) est vraie pour tous les éléments x de l ensemble E. Définition 1.8 : Le symbole est appelé quantificateur existentiel. Il permet de former la proposition x E, P (x). Cette proposition est vraie si et seulement si la proposition P (x) est vraie pour au moins un élément x de l ensemble E. Remarque 1.13 : Lorsque la proposition P (x) est vraie pour exactement un élément x de l ensemble E, on note! x E, P (x) III.2 Négation d une phrase quantifiée Proposition 1.9 : Soit P (x) un prédicat, la variable x appartenant à un ensemble E. On a ( x E, P (x)) ( x E, P (x)) ( x E, P (x)) ( x E, P (x)) Démonstration : Supposons ( x E, P (x)). Soit x E. D après l hypothèse, on n a pas P (x). Donc on a P (x). Inversement, supposons x E, P (x). Tous les x E vérifient P (x), ce qui veut dire qu aucun x E ne vérifie P (x). Exercice : équivalence. Prouver la deuxième équivalence en prenant la négation de la première

28 28 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE III.3 Échange de quantificateurs Il arrivera fréquemment que l on ait à écrire des propositions comportant une succession de quantificateurs. Soit P (x, y) une proposition dépendant de deux variables x E et y F. Considérons les propositions A = x E, y F, P (x, y) et B = y F, x E, P (x, y). Ces deux propositions sont équivalentes, et sont aussi équivalentes à C = (x, y) E F, P (x, y). (voir plus loin pour le produit cartésien). Lorsque E = F, on commet l abus d écrire x, y E, P (x, y). Il en va de même si l on met des quantificateurs existentiels à la place des quantificateurs universels. Considérons maintenant les deux propositions A = x E, y F, P (x, y) B = y F, x E, P (x, y) Proposition 1.10 : On a B A. La réciproque est fausse en général. Démonstration : Supposons B. Il existe donc un élément y 0 de F tel que que x E, P (x, y 0 ). Soit maintenant x E. On a P (x, y 0 ) donc y F, P (x, y) (prendre y = y 0 ). On a montré A. Pour voir que la réciproqiue est fausse, prenons E = F = N et P (x, y) = «y = x + 1». On a bien A (tout entier naturel possède un successeur), mais B est fausse (aucun entier n est le successeur de TOUS les entiers).

29 IV. EXERCICES 29 IV Exercices 1. Les expressions logiques ci-dessous sont-elles toujours vraies? Toujours fausses? Parfois vraies et parfois fausses? (a) A (B C) (A B) C (b) ((A B) C) (A (B C)) (c) (A (B A)) A (d) (A (A B)) ((B A) B) (e) A B B (B A) (f) ((A C) (B C)) (A B) (g) ((A B) (B C)) (A C) 2. Quelle signification pourrait-on donner donner à l écriture sans parenthèses «A B C»? 3. Les assertions sans «prime» ci-dessous sont-elles équivalentes aux assertions «prime» correspondantes? En cas de réponse négative, l une implique-t elle l autre? (a) P = A (B C) et P = (A B) (A C) (b) Q = A (B C) et Q = (A B) (A C) (c) R = (B C) A et R = (B A) (C A) (d) S = (B C) A et S = (B A) (C A) 4. Même question avec (a) P = x(p (x) Q(x)) et P = ( xp (x)) ( x, Q(x)) (b) P = x(p (x) Q(x)) et P = ( x, P (x)) ( x, Q(x)) 5. Reprendre l exercice précédent en remplaçant par. 6. f est une application de R dans R. Écrire la négation de la proposition suivante : Que signifie cette proposition? x R, x R, f(x) = f(x ) x = x 7. Soit A une partie de R. Écrire la négation des propositions suivantes : (a) M R, x A, x M. (b) x A, M R, x M. (c) x A, M R, x M. (d) M R, x A, x M. Que signifient ces propositions?

30 30 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE 8. Soit f : R R une application vérifiant a R, α > 0, ε > 0, x R, x a α f(x) f(a) ε Écrire la négation de la propriété ci-dessus. Que dire d une fonction f vérifiant cette propriété? 9. Soit P la proposition «Tout entier naturel peut s écrire comme la somme des carrés de deux entiers naturels». (a) Écrire P en langage symbolique (quantificateurs, variables, connecteurs). (b) Écrire la négation de P, toujours en langage symbolique. (c) P est-elle vraie ou fausse? 10. Soit f : R R une application. Que signifient les propositions ci-dessous? (a) a R, b R, f(b) = a. (b) b R, a R, f(b) = a. (c) b R, a R, f(b) = a. (d) a R, b R, f(b) = a. Dans chacun des cas, donner également un exemple d une fonction f vérifiant la proposition.

31 Chapitre 2 Ensembles 31

32 32 CHAPITRE 2. ENSEMBLES I Notion d ensemble I.1 Ensembles, éléments Un ensemble est, naïvement, une collection d objets unis par une propriété commune. Un objet appartient à l ensemble lorsqu il possède cette propriété. Nous considérons la notion d ensemble comme une notion «première», que nous ne chercherons pas à définir. Étant donnés un ensemble E et un objet x, on écrira x E lorsque x est élément de E (ou appartient à E), et x E dans le cas contraire. On peut décrire un ensemble de plusieurs façons, les plus courantes étant les suivantes : En listant ses éléments : A = {1, 2, 3} ou B = {0, 2, 4,...}. En donnant une propriété caractérisant ses éléments : B est l ensemble des nombres pairs, ce que l on peut écrire B = {n N, p N, n = 2p}. En regardant ses éléments comme les images des éléments d un autre ensemble par une fonction : B = {F (x), x N} où F (x) = 2x. Nous reviendrons sur ces descriptions dans la suite du chapitre. I.2 Les difficultés du concept d ensemble Le concept naïf d ensemble mène assez facilement à des contradictions. Ces contradictions, mises en évidence vers la fin du XIXe siècle, ont conduit les mathématiciens à concevoir la Théorie des ensembles. Donnons un exemple de telle contradiction : Étant donné un ensemble X, la question de se demander si X X a un sens. Par exemple, si X = {1, 2, 3}, alors X X. En effet, X a trois éléments qui sont 1, 2 et 3. Et aucun de ces éléments n est égal à {1, 2, 3}! En fait, il est extrêmement difficile de trouver un ensemble qui appartienne à lui-même (bon, j avoue : l un des axiomes de la théorie des ensembles classique dit que c est impossible). Considérons l ensemble de tous les ensembles qui n appartiennent pas à eux-mêmes : On a donc, pour tout ensemble X : E = {X, X X} X E X X Posons-nous la question suivante : E appartient-il à E? Remplaçant X par E dans la propriété ci-dessus, on trouve E E E E, ce qui est clairement contradictoire. Conclusion : E n est pas un ensemble. Il est bon de savoir qu un tel souci ne peut arriver à condition de prendre des précautions : Axiome I.1 Soit E un ensemble. Soit P une propriété. Il existe alors un ensemble A tel que, pour tout objet x, x A x E et P(x). Cet ensemble A est noté A = {x E, P(x)}. Exercice : Prouver que l ensemble de tous les ensembles n existe pas.

33 I. NOTION D ENSEMBLE 33 I.3 Égalité d ensembles Axiome I.2 Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments. Remarque 2.1 : Ainsi, soient A et B deux ensembles. Pour montrer que A = B, on prouve les deux propriétés : x A, x B. x B, x A. I.4 Inclusion Définition 2.1 : Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B, et on note A B, lorsque x A, x B Proposition 2.1 : On a, pour tous ensembles A, B et C : A A (réflexivité) A B et B A A = B (antisymétrie) A B et B C A C (transitivité) Remarque 2.2 : On dit que la relation d inclusion est une relation d ordre. Nous reviendrons sur la notion de relation d ordre dans un chapitre ultérieur. Démonstration : La réflexivité est évidente. L antisymétrie résulte de l axiome sur l égalité de deux ensembles. Supposons maintenant A B et B C. Soit x A. On a x B puisque A B. Donc x C puisque B C. Ainsi, A C. I.5 Ensemble vide Axiome I.3 Il existe un ensemble qui n a pas d élément. On l appelle l ensemble vide, et on le note ou parfois {}. Remarque 2.3 : (Réservé aux spécialistes). Il existe un unique ensemble vide. Soient en effet 1 et 2 deux ensembles vides. Alors, pour tout x 1, on a x 2. Donc, 1 2. De même, 2 1. D où 1 = 2. I.6 Parties d un ensemble Axiome I.4 Soit E un ensemble. Il existe un ensemble, noté P(E), tel que pour tout objet X, X P(E) X E L ensemble P(E) est l ensemble des parties de E. Exemple :

34 34 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Soit E = {1, 2}. Alors, P(E) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. Soit E = {a, b, c}. Alors, P(E) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Exemple : P( ) = { }. Attention, cet ensemble possède un élément (cet élément étant d ailleurs égal à l ensemble vide). P(P( )) = {, { }}. P(P(P( ))) = {, { }, {{ }}, {, { }}}. Exercice : Calculer P(P(P(P( )))). II Opérations sur les ensembles II.1 Réunion Définition 2.2 : Soient A et B deux ensembles. On appelle réunion de A et B l ensemble A B = {x, x A ou x B} Remarque 2.4 : bien un ensemble. L un des axiomes de la théorie des ensembles affirme que A B est Définition 2.3 : Plus, généralement, étant donnée une famille d ensembles (A i ) i I) (c est à dire des ensembles A i indexés par un indice i variant lui-même dans un ensemble I), on appelle réunion des A i l ensemble i I A i = {x, i I, x A i } Exemple : On a n 1 [0, 1 1/n] = [0, 1[. Soit x un élément de la réunion. Il existe n 1 tel que 0 x 1 1 n < 1. Donc x [0, 1[. Inversement, soit x [0, 1[. Soit n un entier non nul vérifiant n 1 1 x. Alors, x 1 1 n et donc x [0, 1 1 n ]. Le réel x est donc un élément de la réunion. Proposition 2.2 : On a les propriétés suivantes (toutes les lettres représentent des ensembles) : 1. A B = B A (commutativité) 2. (A B) C = A (B C) (associativité) 3. A = A ( est élément neutre pour la réunion) 4. A A = A (idempotence) 5. A B = A B A. 6. A B et C D A C B D. Démonstration : Montrons la commutativité. Soit x un objet. On a x A B si et seulement si x A OU x B. Mais OU est commutatif. Ceci équivaut donc à x B OU x A, c est à dire à x B A. Les autres propriétés sont laissées en exercice.

35 II. OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 35 II.2 Intersection Définition 2.4 : l ensemble Soient A et B deux ensembles. On appelle intersection de A et B A B = {x, x A et x B} Remarque 2.5 : Pas besoin d axiome pour affirmer que A B est un ensemble, puisque A B = {x A, x B}. Définition 2.5 : Plus, généralement, étant donnée une famille d ensembles (A i ) i I), on appelle réunion des A i l ensemble i I A i = {x, i I, x A i } Exercice : On a n 1 [0, 1 + 1/n[= [0, 1]. Proposition 2.3 : On a les propriétés suivantes (toutes les lettres représentent des ensembles) : A B = B A. (A B) C = A (B C). A =. A A = A. A B = A A B. A B et C D A C B D. Démonstration : Exercice. Proposition 2.4 : On a les propriétés suivantes : A (B C) = (A B) (A C) (distributivité de par rapport à ) A (B C) = (A B) (A C) (distributivité de par rapport à ) Démonstration : Soit x un objet. On a x A (B C) si et seulement si (x A) ((x B) (x C)). On termine en utilisant la distributivité de par rapport à. II.3 Différence, Complémentaire Définition 2.6 : l ensemble Soient A et B deux ensembles. On appelle différence de A et B A \ B = {x A, x B} Lorsque B A, on dit aussi complémentaire de B (dans A), et on note aussi C A B ou encore B. Proposition 2.5 : On a les propriétés (lois de Morgan) : A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).

36 36 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Démonstration : Soit x un objet. On a x A \ (B C) si et seulement si (x A) (x B x C). On termine en utilisant les lois de Morgan du chapitre de logique. II.4 Couples, produit cartésien La notion de couple est capitale : de façon, vague, un couple (a, b) est composé de deux objets a et b. Ce qui est important, c est que deux couples (a, b) et (c, d) sont égaux si et seulement si a = c et b = d. Il y a plusieurs façons de définir le concept de couple. Peu importe comment on définit les couples, ce qui importe c est à quelle condition deux couples sont égaux. Nous allons ci-dessous donner une construction possible. Puis nous l oublierons. Définition 2.7 : Soient a et b deux objets. On appelle couple de première composante a et de seconde composante b l ensemble Proposition 2.6 : b = d. (a, b) = {{a}, {a, b}} Deux couples (a, b) et (c, d) sont égaux si et seulement si a = c et Démonstration : Dans un sens, c est évident. Supposons maintenant que (a, b) = (c, d). Commençons par le cas où c d : alors, vu que {a} {c, d} on a donc forcément {a} = {c}, et donc a = c. Maintenant, {c, d} = {a, b}. Et comme d a = c, on a forcément d = b. Considérons maintenant le cas où c = d : on a donc (c, d) = {{c}}. D où {a, b} = {c}, donc a = b = c = d. Remarque 2.6 : Il faut maintenant s empresser d oublier la définition des couples pour ne retenir que leur propriété caractéristique! Définition 2.8 : B l ensemble Soient A et B deux ensembles. On appelle produit cartésien de A et A B = {(a, b), a A, b B} II.5 Notion de famille Cette section fait appel de façon informelle au concept d application. Soit E un ensemble. Le paragraphe précédent nous permet de parler d un couple dd éléments de E. On peut définir de la même façon la notion de triplet, quadruplet,... mais il y a une autre possibilité. Étant donné un entier naturel n 1, on peut définir un n-uplet d éléments de E comme une application φ : {1, 2,..., n} E. L application φ est alors notée φ = (x 1, x 2,..., x n ) où x i = φ(i). De là à généraliser la généralisation, il n y a qu un pas (franchissons-le) : Définition 2.9 : Soient E et I deux ensembles. On appelle famille d éléments de E indexée par i toute application φ : I E.

37 II. OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 37 Notation : Une telle famille est alors notée φ = (x i ) i I. L objet x i = φ(i) est le ième élément de la famille. On fait comme pour les couples : on oublie la définition de famille aussitôt énoncé la proposition qui suit : Proposition 2.7 : Deux familles (x i ) i I et (y i ) i I d éléments d un ensemble E sont égales si et seulement si i I, x i = y i Démonstration : Deux applications sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de départ, même ensemble d arrivée, et même image en tout point de l ensemble de départ.

38 38 CHAPITRE 2. ENSEMBLES III Exercices 1. Soient A, B, C trois parties d un ensemble E. Démontrer que A B = A C si et seulement si A B = A C, où X désigne pour toute partie X de E le complémentaire de X dans E. 2. Soient A, B, C trois parties d un même ensemble E. Montrer (a) A \ B = B \ A. (b) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (c) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) 3. On pose 0 =, et on définit, pourt tout entier naturel n, n + 1 = n {n}. Que vaut 4? 4. Soient A et B deux ensembles. Comparer (inclusion, égalité éventuelle) les ensembles : (a) P(A B) et P(A) P(B) (b) P(A B) et P(A) P(B) 5. Soient A, B, C trois ensembles. Montrer : { A B A C A B A C B C 6. Soit E un ensemble, et A et B deux parties de E. Pour X E, on pose f(x) = (A X) (B X) où X = E \ X. Trouver tous les X E tels que f(x) =. 7. Trouver tous les ensembles A et B tels que A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A {5, 6, 7} =, B {1, 2} = et A B = {3, 4}. 8. Déterminer n 1 ]1 1 n, n ]. 9. Soient A = {(x, y) R 2, a R, x = a(a + 1) et y = a 2 + (a + 1) 2 } et B = {(x, y) R 2, y = 2x + 1}. A-t-on A = B? 10. Soient A = {(x, y) R 2, (a, b) R 2, x = ab et y = a 2 + b 2 } et B = {(x, y) R 2, y 2x 0 et y + 2x 0}. A-t-on A = B? 11. Soient A = {(x, y) R 2, (x + 1) 2 + y 2 = x 2 + y 2 + 1} et B = R {0}. A-t-on A = B?

39 Chapitre 3 Récurrence 39

40 40 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE I L ensemble des entiers naturels On admet les principales propriétés des entiers naturels : l ensemble N = {0, 1, 2,...} est un ensemble infini, muni d une addition et d une multiplication possédant les propriétés bien connues de tous. Cet ensemble est muni de deux relations d ordre : L ordre naturel : a b lorsqu il existe un entier naturel c tel que b = a + c. Cet ordre est total. On note alors b a l unique entier c ainsi défini. La divisibilité : a divise b (on note a b) lorsqu il existe un entier naturel c tel que b = ac. Cet ordre est partiel. Si a 0, l entier c ainsi défini est unique, et on le note c = b a. II Raisonnement par récurrence II.1 Le théorème de démonstration par récurrence Axiome II.1 Toute partie non vide de N possède un plus petit élément. Proposition 3.1 : élément. Toute partie non vide ET majorée de N possède un plus grand Démonstration : Soit A une partie de N non vide et majorée. Considérons l ensemble B des majorants de A. L ensemble B est une partie non vide de N, et possède donc un plus petit élément M. Montrons que M est le plus grand élément de A. Tout d abord, le cas où M = 0 : dans ce cas, A = {0} et possède donc un plus grand élément. Supposons maintenant M 1. M 1 ne majore pas A, puisque M est le plus petit majorant de A. Donc, il existe a A tel que M 1 < a M. D où a = M et donc M A. Proposition 3.2 : Soit A une partie de N. On suppose : 0 A. n N, n A n + 1 A. Alors, A = N. Démonstration : Supposons que A N, et considérons B = N \ A. L ensemble B est une partie non vide de N, et admet donc un plus petit élément n 0. On a n 0 0, puisque n 0 A. Considérons alors m = n 0 1. Cet entier n est pas dans B. Donc il est dans A, donc n 0 = m + 1 A. Contradiction. Proposition 3.3 : Soit P(n) une propriété dépendant de l entier n. On suppose P (0) n N, P (n) P (n + 1) Alors n N, P (n). Démonstration : On considère A = {n N, P (n)} et on applique la proposition précédente.

41 II. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE 41 Remarque 3.1 : On peut bien sûr «commencer la récurrence»à un rang différent de 0. Il faut alors adapter la conclusion du théorème. II.2 Exemples fondamentaux Proposition 3.4 : Soit n N. On a n k=0 k = n(n+1) 2 et n k=0 k2 = n(n+1)(2n+1) 6 Démonstration : Par récurrence sur n. Exercice : Montrer que pour tout entier n 2, 10 divise 2 2n 6. Montrer qu il existe 4 réels a, b, c, d tels que, pour tout entier naturel n, n k=0 k3 = an 4 + bn 3 + cn 2 + d n. Proposition 3.5 : Soit n N. Soit x C. Si x = 1, n k=0 xk = n + 1. Si x 1, n k=0 xk = xn+1 1 x 1. Démonstration : Par récurrence sur n. Proposition 3.6 : Soient a, b C. Soit n N. On a a n+1 b n+1 = (a b) n k=0 ak b n k. Remarque 3.2 : Lorsque b = 1 on retrouve la proposition précédente. Plusieurs démonstrations sont possibles, la plus directe étant de développer le membre de droite : S = (a b) n k=0 ak b n k = n k=0 ak+1 b n k n k=0 ak b n+1 k. Explicitons : S = a 1 b n + a 2 b n a n b 1 + a n+1 b 0 a 0 b n+1 a 1 b n a 2 b n 1... a n b 1. On voit que tous les termes s éliminent deux à deux, sauf a n+1 et b n+1. II.3 La formule du binôme Définition 3.1 : Soit n N. On appelle factorielle de n l entier n! = n k=1 k. On convient également de poser 0! = 1. Définition 3.2 : Soient n, k N. Lorsque k n, on pose ( ) n k = n! k!(n k)!. On convient également de poser ( ( n k) = 0 lorsque k > n.les nombres n k) sont appelés coefficients binomiaux. Les coefficients binomiaux possèdent un très grand nombre de propriétés remarquables. Nous en reparlerons en fin d année. Pour l instant, nous nous limitons à un petit nombre de formules importantes. Proposition 3.7 : On a n N, ( ( n 0) = n n) = 1 n, k N, k n, ( ) ( n k = n n k). n, k N, ( ) ( n k + n ) ( k+1 = n+1 k+1).

42 42 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE Démonstration : Il suffit d appliquer la définition des coefficients binomiaux. Pour le troisième point, il convient de distinguer les deux cas k < n et k = n. Remarque 3.3 : La dernière formule est ce que l on appelle une formule de récurrence. Elle permet de calculer les coefficients binomiaux pour n + 1 lorsqu on les connaît pour n. Ceci peut être résumé dans un tableau appelé le triangle de Pascal, qui contient à la ligne n et à la colonne k le coefficient ( n k) Voici maintenant l une des formules les plus importantes de l année. Il s agit de la formule du binôme. Proposition 3.8 : Soient a, b C. Soit n N. On a (a + b) n = n k=0 ( n k) a k b n k. Démonstration : On fait une récurrence sur n. Pour n = 0, c est évident. Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier n. On a alors X = (a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n = (a + b) n ( n ) k=0 k a k b n k = n ( n ) k=0 k a k+1 b n k + n ( n k=0 k) a k b n k+1. On pose dans la première somme k = k + 1. Il vient X = n+1 ( n ) k=1 k 1 a k b n+1 k + n ( n k=0 k) a k b n+1 k = a n+1 + b n+1 + ( n ( n ( k=1 k 1) + n k) ) a k b n+1 k. Il ne reste qu à appliquer la formule sur les coefficients binomiaux vue un peu plus haut. Exercice : Soit n N. Appliquer judicieusement la formule du binôme pour montrer que n ( n ) k=0 k = 2 n. Que vaut n k=0 ( 1)k( n k)? III Extensions du principe de récurrence III.1 Récurrence forte Proposition 3.9 : Soit P(n) une propriété dépendant de l entier n. On suppose P (0) n N, [ k n, P (k)] P (n + 1) Alors n N, P (n). Démonstration : On pose Q(n) = k n, P (k) et on montre par récurrence simple sur n que Q(n) est vraie pour tous les entiers naturels n. P (n) est donc a fortiori vraie.

43 IV. SUITES DÉFINIES PAR RÉCURRENCE 43 Exemple : Montrons que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède un diviseur premier. C est vrai pour n = 2. Soit maintenant n 2 et supposons que tous les entiers entre 2 et n ont un diviseur premier. Si n+1 est premier, il a clairement un diviseur premier : lui-même. Sinon, n + 1 = ab où a et b sont deux entiers entre 2 et n. Par l hypothèse de récurrence, a possède un diviseur premier. Ce nombre premier divise également n + 1. III.2 Récurrence à 2 rangs Proposition 3.10 : Soit P(n) une propriété dépendant de l entier n. On suppose P (0) P (1) n N, P (n) et P (n + 1) P (n + 2) Alors n N, P (n). Démonstration : On le montre par récurrence forte sur n. Exemple : Soit (F n ) n 0 la suite d entiers définie par F 0 = 0, F 1 = 1, F n+2 = F n+1 + F n. Soient φ et φ les racines de l équation x = x + 1. On a alors pour tout entier n, F n = φn φ n φ φ. On peut bien sûr avoir également des récurences à 3, 4,... termes. IV Suites définies par récurrence Nous admettrons le résultat suivant. Il est démontré dans l annexe ci-dessous. Proposition 3.11 : Soit f : E E une application. Soit a E. Il existe une unique suite (u n ) n 0 à valeurs dans E, telle que { u0 = a n N, u n+1 = f(u n ) Remarque 3.4 : L unicité est simple à montrer. C est l existence qui est difficile. On pourra trouver la preuve en annexe. Remarque 3.5 : En utilisant les corollaires du principe de récurrence, on peut également définir des suites récurrentes à deux trois,...voire n termes. Nous l avons déjà fait dans l un des exemples ci-dessus. Exemple : u 0 = 0, u 1 = 1, u n+2 = u n+1 + u n. Calculer u n en fonction de n. u 0 = 1, u n+1 = u 0 + u u n. Même question.

44 44 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE V Annexe : suites récurrentes Rappelons le théorème sur les suites récurrentes. La démonstration de l existence est non triviale et nécessite quelques lemmes. Théorème 3.12 : Soit E un ensemble non vide. Soit a E. Soit f : E E. Il existe une unique suite u : N E telle que u 0 = a et pour tout entier n, u n+1 = f(u n ). Démonstration : On pose pour tout entier n, E n = {s E N, s 0 = a, k < n, s k+1 = f(s k )}. Lemme V.1 E 0 E 1 E Démonstration : C est évident. Lemme V.2 Soient n N, s, s E n. On a k n, s k = s k. Démonstration : C est une récurrence triviale sur k. Lemme V.3 n N, E n. Démonstration : Récurrence sur n. La suite (a, a, a,...) est dans E 0 qui est donc non vide. Soit n N. Supposons que E n est non vide. Soit s E n. La suite s = (s 0, s 1,..., s n, f(s n ), a, a,...) est bien dans E n+1 qui est ainsi non vide. Lemme V.4 Soit n N. Soit s E n, soit s E n+1. On a alors k n, s k = s k. Démonstration : Soient s E 0, s E 1. On a s 0 = a = s 0. La propriété est donc vraie pour n = 0. Soit n N. Supposons la propriété vraie pour n. Soient s E n+1, s E n+2. Alors, s E n, s E n+1, donc par l hypothèse de récurrence k n, s k = s k. Puis s n+1 = f(s n ) = f(s n) = s n+1. Pour tout entier n, choisissons s n E n. Soit u : N E définie par u n = s n n. On a u 0 = s 0 0 = a. Et pour tout entier n, u n+1 = s n+1 n+1 = f(sn+1 n ) = f(s n n) = f(u n ). La suite u répond bien à la question. L unicité est quant à elle facile. Si deux suites u et v répondent à la question, on a u 0 = a = v 0. Et si u n = v n pour un entier n, alors u n+1 = f(u n ) = f(v n ) = v n+1. On a donc u = v.

45 VI. EXERCICES 45 VI Exercices 1. Montrer : n N, 41 divise 5 7 2(n+1) + 2 3n. 2. Soit P (n) la propriété «l entier 9 divise 10 n + 1». Montrer que pour tout entier n, P (n) P (n + 1). Montrer que P (n) n est pas vraie en général. Montrer plus précisément que P (n) n est jamais vraie. 3. Calculer n k k=0 (k+1)! et n k=0 k.k!. 4. Calculer pour n 2 les produits n k=2 (1 1 k ) et n k=2 (1 1 k 2 ) 5. Déterminer les entiers naturels n vérifiant n(n + 1)(n + 2) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + 2) 6. Calculer, pour tout entier n 0, la somme des n premiers entiers impairs. 7. Soit (u n ) n 0 la suite définie par u 0 = 2, u 1 = 1 et n 0, u n+2 = u n+1 + 2u n. Déterminer, pour tout entier n, u n en fonction de n. 8. Calculer, pour tout entier naturel n, n k=0 k4. 9. Calculer, pour tout n 1, ( n ) ( 0 2k n 2k et n 0 2k+1 n 2k+1). On pourra considérer les quantités (1 + 1) n et (1 1) n. 10. Calculer n k=0 k( ) n k et n k=0 ( 1)k k ( n k). On pourra considérer la fonction f : R R définie par f(x) = (1 + x) n. 11. Calculer n ( n k) k=0 k Soit (u n ) n 0 une suite décroissante d entiers naturels. Montrer que (u n ) est stationnaire (c est à dire constante à partir d un certain rang). 13. Soit n un entier naturel. Montrer que n k=0 ( n k) 2 = ( 2n n ). On pourra développer de deux façons différentes la quantité (1 + x) 2n et regarder le terme de degré n dans l égalité obtenue. 14. Soit n 1. Déterminer une expression simple des sommes (a) n ( n k=0 k). (b) n k=0 k( n k). (c) n k=0 k(k 1)( n k). (d) n k=0 k2( n k). 15. Montrer que (n, p) N 2 tels que p n, ( n+1 p+1) = n ( k k=p p). 16. Soient deux entiers naturels p n. (a) Montrer que pour tout k compris entre 0 et p, on a ( n (b) En déduire p k=0 ( n k )( n k p k). )( n k k p k) = ( n p)( p k).

46 46 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE

47 Chapitre 4 Applications et relations 47

48 48 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS I Applications I.1 Définitions Définition 4.1 : Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E vers F tout triplet f = (E, F, G) où G est une partie de E F, vérifiant de plus : x E!y F (x, y) G E et F sont respectivement l ensemble de départ et l ensemble d arrivée de f, et G est le graphe de f. Définition 4.2 : Soit f = (E, F, G) une application. Pour tout x E, l unique y F tel que (x, y) G est appelé l image de x par f et est noté f(x). On note de façon concise f : E F. x f(x) Notation : On note F(E, F ) ou encore F E l ensemble des applications de E dans F. Remarque 4.1 : Une suite à valeurs dans E est une application u : N E. Tout le monde sait que l image de l entier n par la suite u est notée u n et pas u(n). Usuellement, on se donne la suite (u n ) n N, et pas la suite u : N E. C est juste une question de notation et de vocabulaire. Plus généralement : Définition 4.3 : Soient I et E deux ensembles. On appelle famille d éléments de E indexée par I toute application F : I E ; i x i. On note F = (x i ) i I. I.2 Restrictions, prolongements La donnée d une application entraîne la donnée de ses ensembles de départ et d arrivée. Il arrive que l on veuille modifier ceux-ci, en les élargissant ou en les restreignant. Définition 4.4 : Soit f : E F. Soit E E. On appelle restriction de f à E l application f E : E F définie par x E f E (x) = f(x) Définition 4.5 : Soit f : E F. Soit E E. On appelle UN prolongement de f à E toute application g : E F telle que g E = f. On peut également s occuper de l ensemble d arrivée, et parler de co-restriction ou de co-prolongement.

49 I. APPLICATIONS 49 I.3 Injections, surjections, bijections Définition 4.6 : Soit f : E F. Soit y F. On appelle UN antécédent de y par f tout élément x de E tel que f(x) = y. Un élément de F peut avoir zéro, un ou plusieurs (voire une infinité) d antécédents. On ne note pas de façon particulière un antécédent. Évidemment, il serait plus simple que tout élément de F ait un et un seul antécédent par f. Ceci suggère trois définitions : Définition 4.7 : Soit f : E F. On dit que f est : injective lorsque tout élément de F a au plus un antécédent par f. surjective lorsque tout élément de F a au moins un antécédent par f. bijective lorsque tout élément de F a exactement un antécédent par f. Ainsi, une application est bijective lorsqu elle est à la fois injective et surjective. Proposition 4.1 : Soit f : E F. f est injective si et seulement si x, x E f(x) = f(x ) x = x Démonstration : Supposons que f a la propriété ci-dessus. Soit y F. Supposons que y a deux antécédents x et x par f. On a alors y = f(x) = f(x ) d où x = x. y a donc au plus un antécédent, et f est injective. Supposons inversement que f est injective. Soient x et x deux éléments de E tels que f(x) = f(x ). Soit y la valeur commune des images. y a au plus un antécédent par f, or x et x sont des antécédents de y. Donc x = x. Remarque 4.2 : L injectivité peut aussi être formulée en x x f(x) f(x ) mais il vaut mieux si possible utiliser la caractérisation ci-dessus avec les égalités. I.4 Composition Définition 4.8 : Soient f : E F et g : F G. On appelle composée de f et g l application g f : E G définie par x E g f(x) = g(f(x)) Proposition 4.2 : La composition des applications est associative. Démonstration : Soient f : E F, g : F G et h : G H trois applications. Les applications (h g) f et h (g f) ont mêmes ensembles de départ et d arrivée, à savoir E et H. Soit x E. On a (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x)) = (h g)(f(x)) = ((h g) f)(x). Proposition 4.3 : Soit id E : E E; x x l application «identité de E. On a pour toute application f : E F, f id E = f et id F f = f.

50 50 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS Remarque 4.3 : La composition des applications n est pas commutative. Par exemple, soient les deux applications de R vers R f : x x 2 et g : x x + 1. On a (g f)(1) = 2 alors que (f g)(1) = 4. Les applications f g et g f sont donc différentes. Proposition 4.4 : La composée de deux injections (resp : surjections, bijections) est une injection (resp : surjection, bijection). Démonstration : Démonstration laissée en exercice. I.5 Application réciproque Proposition 4.5 : Soit f : E F où E est un ensemble non vide. L application f est injective si et seulement si il existe une application g : F E telle que g f = id E (inversibilité à gauche) L application f est surjective si et seulement si il existe une application h : F E telle que f h = id F (inversibilité à droite) Démonstration : Supposons f injective. Soit x 0 E. Soit g : F E définie comme suit : pour tout y F, si y a un antécédent x par f (forcément unique), g(y) = x. Sinon, g(y) = x 0. On a bien g f = id E. Inversement, supposons l existence d un tel g. Soient x, x E tels que f(x) = f(x ). En composant par g, on obtient x = x. Supposons f surjective. Soit h : F E définie comme suit : pour tout y F, h(y) = un antécédent de y par f (il en existe au moins un puisque f est surjective). On a bien f h = id F. Supposons inversement l existence d un tel h. Soit y F. On a f(h(y)) = y, donc y a un antécédent par f : h(y). f est bien surjective. Proposition 4.6 : Soit f : E F. L application f est bijective si et seulement si elle est inversible à gauche et à droite. De plus, une bijection a un unique inverse à gauche et un unique inverse à droite, et ceux ci sont égaux. Démonstration : L équivalence entre bijectivité et existence des inverse est immédiate d après la proposition précédente. Supposons maintenant que la bijection f a deux inverses à gauche g et g. On a id E = g f = g f. En composant à droite par un inverse à droite h, on obtient g = g = h. D où l unicité de l inverse à gauche, et son égalité avec tout inverse à droite (et donc l unicité de l inverse à droite). Définition 4.9 : Soit f : E F une bijection. L unique application g vérifiant g f = id E et f g = id F est appelée la réciproque de f, et est notée f 1. Proposition ( 4.7 : Soit f : E F une bijection. La réciproque de f est bijective, et f 1 ) 1 = f. Soient f : E F et g : F G deux bijections. L application g f est bijective, et (g f) 1 = f 1 g 1 Démonstration : En composant f 1 par f des deux côtés, on obtient l identité. Donc f est bien la réciproque de f 1. De même, en composant g f par f 1 g 1, on obtient bien l identité.

51 II. RELATIONS D ORDRE 51 I.6 Images directes, Images réciproques Définition 4.10 : Soit f : E F. Pour tout ènsemble A E, on note f(a) = {f(x), x A}. Cet ensemble est appelé l image directe de A par f. Pour tout ènsemble B F, on note f 1 (B) = {x E, f(x) B}. Cet ensemble est appelé l image réciproque de B par f. Remarque 4.4 : Prendre bien garde au fait que les notations sont ambigues. En particulier, f 1 ne désigne PAS la réciproque de f, qui peut d ailleurs très bien ne pas exister. Exemple : On a sin R = [ 1, 1], sin 1 {0} = 2πZ, exp R + = [1, + [ I.7 Fonctions indicatrices Définition 4.11 : Soit E un ensemble. Soit A E. On appelle fonction indicatrice (ou parfois fonction caractéristique) de A l application 1 A : E {0, 1} définie par 1 A (x) = 1 si x A et 1 A (x) = 0 si x E \ A. Exemple : Prenons par exemple E = R. La fonction 1 R est la fonction constante égale à 1. La fonction 1 est la fonction nulle. La fonction1 [0,1] est la fonction qui vaut 1 sur le segment [0, 1] et qui est nulle partout aileurs. Proposition 4.8 : Soit E un ensemble. On a, pour toutes parties A et B de E : 1 A B = 1 A 1 B. 1 A B = 1 A + 1 B 1 A 1 B. 1 A B = 1 A + 1 B 21 A 1 B. 1 E\B = 1 1 B. 1 A\B = 1 A (1 1 B ). Démonstration : Montrons par exemple la formule pour la réunion. Soit x E. Si x n est ni dans A, ni dans B, les deux membres de l égalité sont nuls. Si x est dans A mais pas dans B, les deux membres de l égalité valent 1. On fait de même dans les deux cas restants. II Relations d ordre II.1 Relations binaires Définition 4.12 : Soit E un ensemble. On appelle relation (binaire) sur E tout couple R = (E, G) où G E E. L ensemble G est appelé le graphe de la relation R. Étant donnés deux éléments x et y de E ont peut avoir ou pas (x, y) G. Lorsque c est le cas, on dit que x et y sont en relation par la relation R, et on note xry.

52 52 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS II.2 Ensembles ordonnés Définition 4.13 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que R est une relation d ordre sur E lorsque : R est réflexive : x E, xrx R est antisymétrique : x, y E, xry et yrx x = y R est transitive : x, y, z E, xry et yrz xrz Un couple (E, R) où R est une relation d ordre sur E est appelé un ensemble ordonné. Exemple : R et ses sous ensembles sont ordonnés par l ordre naturel. L ensemble C, en revanche, n a pas d ordre naturel. Il peut bien sûr être ordonné, par exemple par l ordre lexicographique, mais cet ordre n est pas compatible avec la multiplication. Si E et F sont deux ensembles, et que F est ordonné, l ensemble F E est ordonné en posant f g x E, f(x) g(x). L ensemble P(E) est ordonné par l inclusion. Remarque 4.5 : La notion de relation d ordre que l on vient de définir est celle d ordre large. Il existe, pour chaque ordre large, un ordre strict associé, défini par x < y x y et x y Un ordre strict n est pas un ordre au sens de notre définition! Définition 4.14 : Soit (E, ) un ensemble ordonné. On dit que l ordre est total lorsque x, y E x y ou y x Sinon, on dit que l ordre est partiel. Exemple : L ordre naturel sur R est total. L ordre défini ci-dessus sur R R est partiel. Dès que l ensemble E a au moins deux éléments, la relation d inclusion sur P(E) est un ordre partiel. II.3 Majorants, Minorants Définition 4.15 : Soit (E, ) un ensemble ordonné. Soit A E. Soit x E. On dit que x est un majorant de A lorsque a A a x De même, on dit que x est un minorant de A lorsque a A x a Exemple : Dans R muni de l ordre naturel, le réel 7 majore l ensemble [0, 1]. Ce n est bien sûr pas le seul, il y a aussi, π, 53, et... 1, qui a l air «mieux» que les autres.

53 III. RELATIONS D ÉQUIVALENCE 53 Définition 4.16 : Une partie A de l ensemble ordonné E admet un plus grand élément lorsqu il existe x A majorant de A. On définit de même la notion de plus petit élément. Proposition 4.9 : Le plus petit (resp : plus grand) élément de l ensemble A, s il existe, est unique. On le note min A (resp : max A). Démonstration : Si x et y sont deux plus petits éléments de A, on a x y et y x, d où x = y par antisymétrie. Exemple : Dans R muni de l ordre naturel, le plus grand élément de [0, 1]. est 1. En revanche, [0, 1[ n a pas de plus grand élément. Remarque 4.6 : Si l on reprend l exemple ci-dessus, on a dit que 1 était un majorant de [0, 1] mieux que les autres. Si l on se demande pourquoi, on s aperçoit qu il y a deux raisons. La première, c est que 1 [0, 1]. Cela nous donne la notion de plus grand élément. La seconde raison, c est que 1 est le plus petit des majorants de [0, 1]. Pour cet ensemble cela n est pas très intéressant. En revanche, on s aperçoit que, bien que [0, 1[ n ait pas de plus grand élément, il possède un plus petit majorant. Cela nous conduira à la notion de borne supérieure, que nous aborderons dans le chapitre sur les nombres réels. III Relations d équivalence III.1 Notion de relation d équivalence Définition 4.17 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que R est une relation d équivalence sur E lorsque : R est réflexive : x E, xrx R est symétrique : x, y E, xry yrx R est transitive : x, y, z E, xry et yrz xrz III.2 Exemples simples L égalité est une relation d équivalence sur tout ensemble. Pour tout ensemble E, la relation triviale T définie par x, y E, xt y est une relation d équivalence. Soit f : E F une application. La relation R sur E définie par x, y E, xry f(x) = f(y) est une relation d équivalence. L identité et la relation triviale sur E en sont deux cas particuliers. III.3 Congruences sur Z Prenons E = Z, l ensemble des entiers relatifs. Soit n Z.

54 54 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS Définition 4.18 : note a b[n] lorsque Étant donnés a, b Z, on dit que a est congru à b modulo n, et on k Z, b = a + kn Remarque 4.7 : Pour n = 0, on obtient la relation d égalité. Pour n = 1, on obtient la relation triviale. Par ailleurs, la relation obtenue pour l entier n est la même que celle obtenue pour l entier n. Nous supposerons donc dorénavant que n N. Remarque 4.8 : Notons nz = {kn, k Z} l ensemble des multiples de n. On a alors a b[n] b a nz. Proposition 4.10 : d équivalence sur Z. Soit n N. La relation de congruence modulo n est une relation Démonstration : L ensemble nz vérifie les propriétés suivantes : il continent le nombre 0, il est stable par passage à l opposé, et il est stable pour l addition. Nous résumerons plus tard ces trois propriétés en disant que nz est un sous-groupe de Z. Montrons par exemple la transitivité. Soient a, b, c Z. Supposons que a b[n] et b c[n]. On a alors c a = (c b) + (b a). Mais c b et b a sont dans nz, qui est stable pour l addition. Donc c a nz et donc a c[n]. III.4 Congruences sur R Prenons E = R, l ensemble des nombres réels. Soit α R. Définition 4.19 : note a b[α] lorsque Étant donnés a, b R, on dit que a est congru à b modulo α, et on k Z, b = a + kα Remarque 4.9 : Mêmes remarques que sur Z. Nous utiliserons en particulier cette notion avec α = π ou α = 2π, en relation avec la trigonométrie est les nombres complexes. Remarque 4.10 : Notons αz = {kα, k Z} l ensemble des multiples de α. On a alors a b[α] b a αz. Proposition 4.11 : d équivalence sur R. Soit α R. La relation de congruence modulo α est une relation Démonstration : Même démonstration que sur Z. III.5 Classes d équivalences Définition 4.20 : Soit E un ensemble. Soit R une relation d équivalence sur E. Soit x E. On appelle classe de x modulo R et on note x l ensemble x = {y E, xry}

55 III. RELATIONS D ÉQUIVALENCE 55 Notation : On note E/R l ensemble des classes modulo R. Proposition 4.12 : Avec les notations ci-dessus : Les classes sont non vides : C E/R, C. Les classes sont disjointes : C, C E/R, C C C C =. Les classes recouvrent E : C E/R C = E. On dit que les classes modulo R forment une partition de E. Démonstration : La réflexivité de R montre que x E, x x. Cela prouve les points 1 et 3. Soient maintenant deux classes C = x et C = x. Supposons que C C. Il existe donc z C C. Montrons que C C, la démonstration de l autre inclusion étant identique. Soit y C. On a xry et xrz. Donc, par symétrie et transitivité, zry. Mais on a aussi x Rz donc, toujours par transitivité, x Ry, et y C. Proposition 4.13 : Soit n N. La relation sur Z de congruence modulo n possède exactement n classes, qui sont (par exemple) 0, 1,..., n 1. Remarque 4.11 : Au lieu de Z/, on note Z/nZ l ensemble des classes modulo n. Démonstration : Nous admettons provisoirement le résultat suivant, qui sera prouvé dans le chapitre sur les entiers relatifs : Étant donné a Z, il existe un unique q Z et un unique r {0,..., n 1} tels que a = qn + r. Il s agit de ce que l on appelle la division euclidienne de a par n. Cette égalité montre que a Z, r {0,..., n 1}, a r[n], oiu encore a r. Ainsi, Z/nZ {0, 1,..., n 1}. L autre inclusion est évidente. Il y a donc au plus n classes dans Z/nZ. Attention, il reste maintenant à montrer que ces classes sont bien distinctes! Soient donc 0 i < j < n. On a 0 < j i < n, donc j i nz. Ainsi, i j. Remarque 4.12 : Pour n = 0 on a une infinité de classes, toutes constituées d un singleton. Soit α R, α > 0. La relation sur R de congruence modulo α comporte une infinité de classes. On peut par exemple prendre les classes des x [0, α[, ou des x ] α 2, α 2 ]. Les relations de congruence sur Z possèdent bien d autres propriétés, que nous verrons en temps utile. En particulier, elles sont compatibles avec l addition et la multiplication (on peut multiplier et ajouter des congruences, comme s il s agissait d égalités). III.6 Une réciproque Proposition 4.14 : Soit E un ensemble. Soit P une partition de E. Il existe une et une seule relation d équivalence R sur E telle que E/R = P. Démonstration : Soit R une telle relation. Soient x, y E. Supposons que xry. Alors, C P, x, y C, puisque x et y sont par définition dans la même classe modulo R. Inversement, supposons C P, x, y C. x et y sont donc dans la même classe modulo R,

56 56 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS et ainsi xry. En conclusion, si R est une relation d équivalence sur E telle que E/R = P, alors x, y E, xry C P, x, y C Nous venons donc de montrer qu il existe au plus une telle relation. Inversement, on vérifie sans peine que la relation définie ci-dessus est bien une relation d équivalence, et que ses classes sont justement les éléments de la partition P.

57 IV. EXERCICES 57 IV Exercices 1. Les applications ci-dessous sont-elles injectives? Surjectives? Bijectives? On justifiera à chaque fois la réponse. (a) ρ : R R définie par ρ(x) = x 2 x 1. (b) ψ : C C définie par ψ(z) = z 2 z 1. On admettra que toute équation du second degré admet au moins une solution complexe. (c) ϕ : N 5 N \{1} définie par ϕ(a, b, c, d, e) = 2 a 3 b 5 c 7 d 11 e. On admettra que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 s écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers. (d) ζ : R 2 R 2 définie par ζ(x, y) = (x + y, xy). 2. Trouver toutes les injections f : N N telles que n N, f(n) n. 3. Soit E un ensemble. Soient A et B deux parties de E. Soit f : P(E) P(A) P(B) définie par f(x) = (X A, X B) (a) Montrer que f est injective si et seulement si A B = E. (b) Montrer que f est surjective si et seulement si A B =. 4. Soit f : E E une application telle que f f f = f. Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective. 5. Soit E un ensemble. On suppose donnée une application ϕ : E P (E). On pose A = {x E, x ϕ(x)} et on suppose qu il existe un élément a de E tel que ϕ(a) = A. A-t-on a A? Que vient-on de démontrer? 6. Soit f : E F. (a) Soient A et B deux parties de E. Montrer que si A B alors f(a) f(b). (b) Soient A et B deux parties de F. Montrer que si A B alors f 1 (A ) f 1 (B ). 7. Soit f : E F. (a) Soient A, B E. Comparer f(a B) et f(a) f(b). Comparer de même f(a B) et f(a) f(b). (b) Soient A, B F. Comparer f 1 (A B ) et f 1 (A ) f 1 (B ). Comparer de même f 1 (A B ) et f 1 (A ) f 1 (B ). 8. Soit f : E F. Montrer : (a) A E, f 1 (f(a)) A. (b) f est injective A E, f 1 (f(a)) = A. 9. Créer (et résoudre!) un exercice similaire au précédent, mais faisant intervenir f f 1 au lieu de f 1 f. 10. Soit f : [0, 1] [0, 1] définie par f(x) = 2x si 0 x < 1 2 et f(x) = 2(1 x) si 1 2 x 1.

58 58 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS (a) Tracer les graphes de f, de f f et de f f f. (b) On pose f 0 = id puis, pour tout entier naturel n, f n+1 = f n f. Calculer, pour tout entier naturel n, f n ([ 3 7, 4 7 ]). 11. Soit f : E F. Démontrer que f est surjective si et seulement si pour tout ensemble G, pour toutes applications g : F G et h : F G, on a g f = h f g = h. 12. Créer (et résoudre) un exercice similaire pour les injections. 13. Soient f et g deux applications telles que g f soit bijective. Que dire de f et g? Réciproque? 14. Soit (E, ) un ensemble ordonné. Étant donnés x, y E, on dit que y est successeur de x lorsque x < y et pour tout z E, x < z y z. (a) Montrer que si le successeur d un élément existe, alors il est unique. (b) Donner un exemple d ensemble ordonné dans lequel aucun élément n admet de successeur. (c) Dessiner les entiers de 0 à 12 et relier chaque entier à son successeur (lorsqu il existe) pour l ordre usuel des entiers. (d) Dessiner les entiers de 0 à 12 et relier chaque entier à son successeur, lorsqu il existe, pour l ordre «divise» défini par x y si et seulement si il existe k N tel que y = kx. 15. Soit (E, ) un ensemble ordonné. On dit qu un élément x de E est minimal lorsque y E, y x y = x. (a) Si l ensemble E est totalement ordonné, que dire de ses éléments minimaux? (b) On prend E = N \ {1}, muni de la relation «divise»(voir exercice précédent). Quels sont les éléments minimaux de E? (c) Montrer qu un ensemble ordonné fini non vide possède au moins un élément minimal. 16. On définit sur R la relation R par xry si et seulement si sin x = sin y. (a) Montrer que R est une relation d équivalence. (b) Quelle est la classe de 0? La classe de π 2? (c) Plus généralement, décrire la classe de x pour tout réel x. 17. On définit sur Z la relation R par xry si et seulement si x 2 y 2 [10]. (a) Montrer que R est une relation d équivalence. (b) Combien R possède-t-elle de classes?

59 Chapitre 5 Nombres complexes 59

60 60 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES I Le corps des complexes Nous verrons dans un chapitre ultérieur la notion de corps. Sans entrer pour l instant dans les détails, un corps est un ensemble K dans lequel existent deux opérations : une addition (+) et une multiplication ( ). Ces opérations vérifient un certain nombre de propriétés, comme la commutativité, l associativité, l existence d éléments neutres, etc. Nous allons passer ces propriétés en revue dans le cas des nombres complexes. I.1 Construction des nombres complexes Théorème 5.1 : Il existe un corps C vérifiant les propriétés suivantes : R C Il existe dans C un élément i tel que i 2 = 1 Tout élément z C s écrit de façon unique z = x + iy avec x et y réels. Un tel corps est «unique». Démonstration : Nous ne détaillons pas ici la question de l unicité. On se contente de donner les étapes de la preuve de l existence. On pose C = R 2. Puis on définit les opérations + et sur C par (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) et (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + x y). On montre que (C, +, ) possède toutes les propriétés de corps. En particulier, le neutre pour l addition est (0, 0) et le neutre pour la multiplication est (1, 0). L inverse de l élément x y (x, y) est (, ) à condition que (x, y) (0, 0). On pose ensuite R = {(x, 0), x R} x 2 +y 2 x 2 +y 2 et on constate que R est un corps isomorphe à R. On identifie alors le couple (x, 0) avec le réel x pour tout réel x. Avec cet abus, on a bien R C. Puis on pose i = (0, 1). Il est alors facile de vérifier que tout élément z = (x, y) de C s écrit aussi x + iy et que c est la seule façon de l écrire ainsi. Enfin, une simple vérification prouve que i 2 = ( 1, 0) = 1. Les opérations sur C sont donc : (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + y ) (x + iy) (x + iy ) = (xx yy ) + i(xy + x y) On vérifie également que (x + iy) x iy x 2 +y 2 = 1. Définition 5.1 : Soit z C. Soit (x, y) l unique couple de réels tel que z = x + iy. x est appelé la partie réelle de z, et y est la partie imaginaire de z. On note x = Rz, y = Iz. Le nombres de la forme iy, avec y réel sont dits imaginaires purs. On note ir l ensemble des imaginaires purs. Remarque 5.1 : Sauf mention contraire, lorsqu on écrira «z = x+iy» dans ce qui suit, on supposera que x et y sont réels. Dans une rédaction complète, il faudrait le préciser à chaque fois.

61 I. LE CORPS DES COMPLEXES 61 I.2 Affixe, image Dans notre construction de C un nombre complexe EST un point du plan. Mais il faut garder à l esprit qu il existe d autres constructions, fort différentes, du corps des complexes. Nous distinguerons donc l ensemble C des nombres complexes et l ensemble P des points du plan, ou encore l ensemble P des vecteurs du plan, même si les éléments de ces trois ensembles peuvent tous être modélisés par des couples de nombres réels. Considérons les deux applications ϕ : P C et ψ : C P définies comme suit : si A = (x, y) est un point du plan, ϕ(a) = x + iy. Et si z = x + iy C, ψ(z) = (x, y) P. On a bien évidemment A P, ψ(ϕ(a)) = A et z C, ϕ(ψ(z)) = z. Les fonctions ϕ et ψ sont des bijections, et chacune est la réciproque de l autre. Définition 5.2 : Pour tout point A P, le nombre complexe z = ϕ(a) est appelé l affixe de A. On notera parfois A(z) pour indiquer que A est le point d affixe z. Pour tout z C, le point A = ψ(z) est appelé l image de z. Remarque 5.2 : On peut dans tout ce qui précède remplacer l ensemble P des points du plan par l ensemble P des vecteurs du plan, et parler ainsi du vecteur u d affixe z ou du vecteur u image du nombre complexe z. I.3 Conjugué Définition 5.3 : Soit z = x + iy un complexe. Le conjugué de z est z = x iy. Remarque 5.3 : Géométriquement, le conjugué de z est le symétrique de z par rapport à l axe Ox. Pour être précis, le point dont l affixe est le conjugué de z est le symétrique par rapport à la droite Ox du point d affixe z. Nous commettrons parfois l abus de confondre les nombres complexes et leur image dans le plan P. Proposition 5.2 : Soit z un complexe. On a : Rz = z+ z 2 et Iz = z z 2i. z = z. z R z = z. z ir z = z. Démonstration : Il suffit de poser z = x + iy avec x, y R. Proposition 5.3 :. Le conjugué d une somme est la somme des conjugués. Le conjugué d un produit est le produit des conjugués. Le conjugué d un quotient est le quotient des conjugués. Démonstration : Il suffit de poser z = x + iy, z = x + iy avec x, x, y, y R. Exercice : Déterminons tous les nombres complexes z tels que z+i z i ir. Soit z C, z i. z est solution du problème si et seulement si z+i z i = z+i z i = z i z+i. On réduit au

62 62 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES même dénominateur : (z +i)(z +i) = (z i)(z i) qui se simplifie en zz = 1. Les solutions du problème sont les nombres complexes de module 1, i excepté. Remarque 5.4 : Soit φ : C C un endomorphisme du corps C laissant les réels invariants. Soit z = x + iy C. On a alors φ(z) = φ(x) + φ(i)φ(y) = x + φ(i)y. Mais i 2 = 1, donc φ(i) 2 = φ( 1) = 1. On en déduit que φ(i) = ±i. Si φ(i) = i, alors, pour tout complexe z, φ(z) = z : φ est l identité de C. Si, au contraire, φ(i) = i, alors, pour tout complexe z, φ(z) = z : φ est la conjugaison. En résumé, la conjugaison est l unique endomorphisme non trivial de C laissant les réels invariants. C est donc une application extrêmement précieuse : si vous la perdez, vous n en aurez pas d autre. I.4 Module Proposition 5.4 : Soit z un complexe. Alors z z est un réel positif. Démonstration : Soit z = x + iy. Alors z z = x 2 + y 2 R +. Définition 5.4 : On appelle module du complexe z le réel positif z = z z. Proposition 5.5 : Pour tout complexe z, on a z = 0 z = 0 z = z Rz Rz z Iz Iz z Démonstration : On a z 2 = zz donc z = 0 si et seulement si z = 0 ou z = 0, c est à dir si et seulement si z = 0. On a z 2 = z z = zz = z 2. On pose z = x + iy où x, y R. On a z 2 = x 2 + y 2 x 2. Donc, en passant à la racine carrée, x z. Même preuve pour la partie imaginaire. Proposition 5.6 : Pour tout complexe z non nul, on a 1 z = z z 2. z = 1 1 z = z. Démonstration : On a 1 z = z encore z = 1 z. zz = Proposition 5.7 : Pour tous complexes z 1 et z 2, on a z 1 z 2 = z 1 z 2. Si z 2 0, z 1 z 2 = z 1 z 2. z 1 + z 2 z 1 + z 2 (inégalité triangulaire) z 1 z 2 z 1 z 2 (inégalité triangulaire 2) z z 2. Et aussi, z = 1 si et seulement si zz = 1 ou Démonstration : On a z 1 z 2 2 = (z 1 z 2 )z 1 z 2 = z 1 z 1 z 2 z 2 = z 1 2 z 2 2. L inégalité triangulaire est évidente si z 2 = 0. Sinon, on pose u = z 1 z 2. Il suffit de prouver que 1+u 1+ u.

63 II. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 63 Or, 1 + u 2 (1 + u ) 2 = 2( u Ru). La dernière inégalité se prouve à l aide de la précédente : z 1 = z 1 z 2 + z 2, donc z 1 z 1 z 2 + z 2. Ainsi, z 1 z 2 z 1 z 2. On obtient de même que z 2 z 2 z 1 z 2. D où le résultat. Remarque 5.5 : Il y a égalité dans l inégalité triangulaire si et seulement si z 2 = 0 ou z 1 = λz 2, avec λ R +. II Nombres complexes et trigonométrie II.1 Nombres complexes de module 1 Proposition 5.8 : L ensemble U des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de (C, ). Démonstration : Ici, petite incursion dans la théorie des groupes, avant d en avoir parlé en cours. Pas d inquiétude... Un élément de U est non nul car de module 1. Donc U C. Le produit de deux complexes de module 1, l inverse d un complexe de module 1, sont encore de module 1. Nous verrons que cela prouve exactement que U est un sous-groupe de C. Définition 5.5 : On suppose connues les propriétés élémentaires des fonctions trigonométriques. Pour tout réel θ, on pose e iθ = cos θ + i sin θ. Proposition 5.9 : On a U = {e iθ, θ R}. Démonstration : On a e iθ = 1 d où l inclusion réciproque. Inversement, soit z = x + iy U. On a x 2 + y 2 = 1. Il existe donc un réel θ tel que z = e iθ d où l inclusion. Proposition 5.10 : (Formules d Euler) Pour θ R, on a cos θ = eiθ + e iθ 2 et sin θ = eiθ e iθ 2i Démonstration : C est immédiat. On utilise la parité du cosinus et l imparité du sinus. Proposition 5.11 : On a, pour θ et φ réels : e i(θ+φ) = e iθ e iφ. e iθ = 1/e iθ e i(θ φ) = e iθ /e iφ. e iθ = 1 θ 0[2π]. e iθ = e iφ θ φ[2π].

64 64 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES Démonstration : La première égalité se vérifie par un petit calcul. La deuxième résulte de la première. La troisième résulte des deux premières. Soit maintenant un réel θ. On a e iθ = 1 si et seulement si cos θ = 1 et sin θ = 0, c est à dire si et seulement si θ est multiple de 2π. La dernière propriété est alors immédiate : e iθ = e iφ e i(θ φ) = 1 θ φ 0[2π]. Remarque 5.6 : On vient de prouver que l application θ e iθ est un morphisme surjectif du groupe (R, +) vers le groupe (U, ) dont le noyau est 2πZ. Proposition 5.12 : (Formule de Moivre) Pour θ R et n Z, on a (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ Démonstration : C est immédiat en utilisant le fait que l application θ e iθ est un morphisme. Exercice : Soit x un réel et n un entier. On se propose de calculer S n = n k=0 cos kx et T n = n k=0 sin kx. Pour cela, on forme S n + it n = n k=0 eikx. On reconnaît la somme des termes d une suite géométrique de raison e ix. Si x 0[2π], alors e ix = 1, donc S n + it n = n + 1, d où S n = n + 1 et T n = 0. Si, au contraire, x 0[2π], alors e ix 1, donc S n + it n = ei(n+1)x 1. On factorise au numérateur et au dénominateur de cette fraction la e ix 1 quantité e ix/2. Il vient alors S n + it n = ei(n+1/2)x e ix/2 = ei(n+1/2)x e ix/2 2i sin(x/2). Il vient alors facilement S n = sin(n )x 2 sin x 2 e ix/2 e ix/2 et T n = cos x 2 cos(n )x 2 sin x 2 II.2 Arguments d un complexe non nul Soit z un complexe non nul. Le complexe z z est alors de module 1, donc il existe θ R tel que z z = eiθ. Ainsi, z = re iθ où r = z Définition 5.6 : Soit s un complexe non nul. On appelle argument de z tout réel θ tel que z = z e iθ. Proposition 5.13 : Soit z un complexe non nul. Soit θ 0 un argument de z. L ensemble des arguments de z est {θ 0 + 2kπ, k Z} Si z est un complexe et θ est un argument de z, on note arg z θ[2π]. Souvent, on écrit abusivement arg z = θ. Remarque 5.7 :

65 II. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 65 Si z est sous la forme z = ae iθ avec a et θ réels, il convient de discuter sur le signe de a pour connaître son module et un de ses arguments. Si l on astreint l argument à demeurer dans un intervalle d amplitude 2π, tel que [0, 2π[ ou ] π, π], on a alors unicité de l argument. Exemple : Trouvons le module et un argument de z = 3+i. On a z 2 = ( 3) 2 +1 = 4, z donc z = 2. Maintenant, z = i. Un argument de z est donc un réel θ tel que cos θ = 3 2 et sin θ = 1 2. Par exemple, θ = π 3. II.3 Forme trigonométrique Soit z C. On dit que z est mis sous forme trigonométrique lorsqu on a écrit z = re iθ avec r R + et θ R. La forme trigonométrique est particulièrement adaptée aux calculs de produits, quotients, puissances, et pas du tout adaptée aux calculs de sommes. Proposition 5.14 : Si z 1 = r 1 e iθ 1 et z 2 = r 2 e iθ 2, alors : z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ) Corollaire 5.15 : Soient z 1 et z 2 deux complexes non nuls. On a : arg(z 1 z 2 ) arg z 1 + arg z 2 [2π] arg( z 1 z 2 ) arg z 1 arg z 2 [2π] Corollaire 5.16 : Soient z un complexe non nul et n un entier relatif. On a : arg z n n arg z[2π] II.4 Exponentielle complexe On suppose connues les propriétés de la fonction exponentielle sur R. Définition 5.7 : Soit z = x+iy un complexe. On appelle exponentielle de z le complexe e z = e x e iy Proposition 5.17 : Soit z un complexe. On a e z = e z, e z = e Rz et arg e z Iz[2π]. Proposition 5.18 : Soient z, z C. On a : e z+z = e z e z. 1 e z = e z.

66 66 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES Proposition 5.19 : Soit z C. On a e z = 1 z 2iπZ. Démonstration : Posons z = x + iy. Supposons e z = 1. On a e x e iy = 1. En passant au module, on obtient e x = 1 d où x = 0 puisque x est réel. On reporte, on en déduit e iy = 1, donc y 2πZ, comme vu plus haut. On a donc bien z 2iπZ. La réciproque est immédiate. Corollaire 5.20 : Soient z, z C. On a e z = e z z z 2iπZ. Démonstration : C est évident, puisque e z = e z si et seulement si e z z = 1. Proposition 5.21 : Tout nombre complexe non nul a est de la forme e z 0, avec z 0 C. Ses antécédents sont alors les z 0 + 2ikπ, avec k Z. Démonstration : On écrit a = a e iθ où θ est un argument de a. Soit z 0 = ln a + iθ. Alors e z 0 = a. De plus, e z = a e z = e z 0 e z z 0 = 1 c est à dire z z 0 2iπZ. II.5 Application à la linéarisation de sinus et cosinus ( ) m Soient m un entier naturel et θ un réel. On écrit cos m θ = e iθ +e iθ 2 et on développe par la formule du binôme de Newton : cos m θ = 1 m ( ) m 2 m e ikθ e i(m k)θ = 1 m ( ) m k 2 m e i(2k m)θ k k=0 On sait par ailleurs que cette quantité est réelle. Elle est donc égale à sa partie réelle. Ainsi, cos m θ = 1 m ( ) m 2 m cos(2k m)θ k k=0 La même opération peut bien entendu être réalisée avec un sinus. Il faut alors distinguer suivant la parité de m. II.6 Opération inverse : délinéarisation? On écrit cette fois-ci la formule de Moivre : cos mθ + i sin mθ = (cos θ + i sin θ) m = m k=0 k=0 ( ) m i k cos k θ sin m k θ k Si l on veut par exemple cos mθ, il suffit de prendre la partie réelle : cos mθ = ( ) m ( 1) p cos 2p θ sin m 2p θ 2p De même : sin mθ = 0 2p m 0 2p+1 m ( ) m ( 1) p cos 2p+1 θ sin m 2p 1 θ 2p + 1

67 III. RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES 67 III Résolution d équations algébriques III.1 Racine carrée d un nombre complexe Définition 5.8 : On appelle racine carrée du complexe a tout complexe z tel que z 2 = a. Proposition 5.22 : carrées. Exemple : Les racines carrées de i sont ± Tout nombre complexe non nul possède exectement deux racines 2 2 (1 + i). Démonstration : Soit a = re iθ, r > 0. Soit z = ρe iφ, ρ > 0. Alors, z 2 = a si et seulement si ρ 2 = r et 2φ θ[2pi], c est-à-dire ρ = r et φ θ 2 [π]. On trouve donc deux racines carrées de a qui sont ± re i θ 2. III.2 Méthode algébrique Soit a = x + iy, où y 0. Soit z = X + iy. Alors z 2 = a si et seulement si z 2 = a et z 2 = a, c est-à-dire X 2 Y 2 = x, X 2 + Y 2 = x 2 + y 2, et XY du signe de y. Les deux premières relations donnent facilement X et Y au signe près, et la dernière relie les signes de X et Y. Exercice : Calculons les racines carrées de 1 + i par la méthode algébrique. Soit z = X + iy. On a z 2 = 1 + i si et seulement si X 2 Y 2 = 1, X 2 + Y 2 = 2 et X et Y de même signe. On en tire X 2 = 1 2 ( 2 + 1) et Y 2 = 1 2 ( 2 1). Avec les conditions de signe, on en déduit ( ) 1 1 z = ± 2 ( 2 + 1) + i 2 ( 2 1) III.3 Équation du second degré Proposition 5.23 : Soient a, b, c trois complexes avec a 0. On considère l équation (E) az 2 + bz + c = 0 et son discriminant = b 2 4ac. Si = 0, l équation (E) a pour unique racine racine z = b 2a. Sinon, en appelant δ une racine carrée de, l équation (E) a deux racines distinctes qui sont b±δ 2a. Démonstration : On écrit az 2 + bz + c = a(z + b 2a )2 4a si et seulement si (z + b 2a )2 = ( ) δ 2, 2a ou encore z + b 2a = ± δ 2a.. Ainsi, z est solution de E Exemple : Résolvons l équation z 2 (1 + 2i)z + i 1 = 0. Son discriminant est = 1. Nous avons de la chance, le discriminant aurait pu être non réel. Une racine carrée de est δ = 1. Les solutions de l équation sont donc 1 2 ((1+2i)+1) = 1+i et 1 2 ((1+2i) 1) = i.

68 68 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES Proposition 5.24 : Avec les mêmes notations que dans la proposition précédente, le produit des racines de (E) est c b a et la somme des racines est a. Proposition 5.25 : Soient z, z, s, p 4 nombres complexes. On a z + z = s et zz = p si et seulement si z et z sont les racines de l équation X 2 sx + p = 0. Démonstration : Soient α et β les racines de cette équation. On a α+β = s et αβ = p d où l un des deux sens de l équivalence. Inversement, supposons z + z = s et zz = p. z et z sont évidemment les racines de l équation (X z)(x z ) = 0. Mais justement, (X z)(x z ) = X 2 sx + p. III.4 Racines nièmes de l unité Définition 5.9 : Soit z un complexe et n un entier non nul. On appelle racine nième de z tout complexe Z tel que Z n = z. Les racines nièmes de 1 sont appelées les racines nièmes de l unité. Proposition 5.26 : L ensemble, noté U n, des racines nièmes de l unité est un sousgroupe du groupe (U, ) des nombres complexes de module 1. Démonstration : Si z n = 1, alors z n = 1 = 1 donc z = 1. Ainsi, U n U. Le reste de ( la preuve est facile : stabilité par produit car (zz ) n = z n z n et stabilité par inverse car 1 ) n z = 1 z. n Proposition 5.27 : Il y a exactement n racines nièmes de l unité. Ce sont les complexes ξ k = e 2ikπ n, k [ 0, n 1 ] Démonstration : Soit z = e iθ U. Alors z U n si et seulement si z n = e inθ = 1 c est à dire nθ 2πZ ou encore θ = 2kπ n où k Z. Ainsi, U n = {ζ k, k Z}. Soit maintenant k Z. On effectue la division euclidienne de k par n : k = nq + r où 0 r < n. On a alors ζ k = (ζ n ) q ζ r = ζ r. Donc, U n = {ζ k, 0 k < n}. Enfin, si 0 i < j < n, alors 0 < i j < n donc 0 < (2π(i j))/n < 2π donc ζ i ζ j. L ensemble U n contient bien exactement n éléments. Remarque 5.8 : On a ξ k = ξ k en posant ξ = ξ 1. On en déduit par exemple que la somme des racines nièmes de l unité est puisque ξ n = ξ + ξ ξ n 1 = ξn 1 ξ 1 = 0 Exemple : On a U 1 = {1}, U 2 = { 1, 1}, U 4 = { 1, 1, i, i}. On a U 3 = {1, j, j 2 } où j = e 2iπ/3. Le nombre j apparaît dans un grand nombre de calculs. Il faut absolument se souvenir que 1 j = j = j 2, 1 + j + j 2 = 0.

69 IV. INTERPRÉTATIONS GÉOMÉTRIQUES 69 Plus généralement, si l on dessine U n dans le plan (en identifiant le complexe x + iy et le point (x, y)), on obtient le polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, dont l un des sommets est le point (1, 0). Exercice : Dessiner U 6. III.5 Racines nièmes d un nombre complexe Proposition 5.28 : Soit z un complexe non nul. Si u est une racine nième de z, alors l ensemble des racines nièmes de z est {uξ, ξ U n } Démonstration : On a w n = z si et seulement si w n = u n, c est à dire w u U n. Corollaire 5.29 : Soit z un complexe non nul de module r et d argument θ. Les racines nièmes de z sont les complexes Z k = k re i( θ n + 2kπ n ), k [ 0, n 1 ] Démonstration : C est clair, puisque k re iθ/n est clairement une racine nième de z. Exercice : Calculer les racines cubiques de 2. IV Interprétations géométriques IV.1 Somme, produit par un réel Ces opérations sur les complexes correspondent dans le plan euclidien aux opérations d espace vectoriel sur les vecteurs. Ces opérations fournissent d importantes transformations du plan (affine ou vectoriel ou complexe). Définition 5.10 : Soit u(z 0 ) R 2. L application τ : R 2 R 2 définie par M(z) M(z + z 0 ) est appelée la translation de vecteur u. Définition 5.11 : Soit Ω(z 0 ) R 2. Soit λ R. L application τ : R 2 R 2 définie par M(z) M(z 0 + λ(z z 0 )) est appelée l homothétie de centre Ω et de rapport λ. IV.2 Module, Argument Module et argument représentent respectivement des distances et des angles dans le plan euclidien. Ainsi, soient A(a) et B(b) deux points du plan, on a d(a, B) = b a. Si A(a), B(b) et C(c) sont trois points distincts, l angle orienté entre les vecteurs AB et AC est donné par arg c a b a.

70 70 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES IV.3 Produit C est l opération la plus intéressante. Commençons par le produit d un nombre complexe par un complexe de module 1 : Soit z C et θ R. On a alors : ze iθ = z arg(ze iθ ) arg z + θ mod 2π Définition 5.12 : Soient Ω(z 0 ) un point du plan et θ un réel. L application M(z) M(z 0 + (z z 0 )e iθ ) est appelée la rotation de centre Ω et d angle θ. Plus, généralement, la multiplication par un nombre complexe non nul est la composée d es deux opérations suivantes : Produit par un nombre complexe de module 1 (rotation) Produit par un réel non nul (homothétie) Définition 5.13 : Soient Ω(z 0 ) un point du plan, λ un réel non nul, et θ un réel. L application M(z) M(z 0 + λ(z z 0 )e iθ ) est appelée la similitude (directe) de centre Ω, de rapport λ et d angle θ. Plus généralement, on appelle similitude (directe) du plan toute application M(z) M(az + b), où a, b C, a 0. Proposition 5.30 : Les similitudes directes sont Les translations. Les similitudes «à centre». Démonstration : Soient a, b C, a 0. Soit f : z az+b la similitude correspondante (nous confondons les points et leurs affixes pour alléger la lecture). Il y a deux cas à considérer. Si a = 1, l application f est une translation. Supposons maintenant a 1. Soit ω C. On a f(ω) = ω si et seulement si ω =. L application f a donc un unique point fixe. Mais alors, pour tout z C, f(z) ω = f(z) f(ω) = a(z ω). f est donc la similitude de centre ω, de rapport a et d angle arg a. b 1 a Proposition 5.31 : Les similitudes conservent les angles. Démonstration : On pose f(z) = az + b, avec a 0. Alors f(w) f(u) w u v u f(v) f(u) = aw+b (au+b) av+b (au+b) =. Les arguments de ces quantités sont donc égaux, et f conserve les angles. On peut en fait prouver le résultat plus général suivant : Proposition 5.32 : Soit f : R 2 R 2 une application injective (i.e. deux points distincts ont des images distinctes). Alors, f conserve les angles si et seulement si f est une similitude directe. Démonstration : Seul le sens direct est à prouver. Supposons donc que f est une injection qui conserve les angles. Posons g(z) = f(z) f(0) f(1) f(0). L application g est encore une injection, et conserve toujours les angles. De plus, g(0) = 0 et g(1) = 1. Soit z C \ R. On considère l angle formé par 1, 0 et z. Cet angle étant conservé par g, on a donc arg g(z) = arg z Donc, g(z) = λz, avec λ R +. De même, l angle 0,1,z est conservé, donc arg g(z) = arg z Il existe donc µ R + tel que 1 g(z) = µ(1 z).

71 IV. INTERPRÉTATIONS GÉOMÉTRIQUES 71 D où 1 λz = µ(1 z) et 1 µ = (λ µ)z. Mais comme on a supposé z non réel, on a nécessairement λ = µ = 1, d où g(z) = z. Si z est réel, on recommence avec 0,i et z (on sait maintenant que g(i) = i). Finalement, on a g(z) = z pour tout complexe z. Donc, f(z) = az+b, où a = f(1) f(0) 0 et b = f(0). L application f est donc une similitude directe.

72 72 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES V Exercices 1. Déterminer {z C, z+1 z 1 ir}. 2. Déterminer les nombres complexes z tels que les points du plan d affixes 1, z 2 et z 3 soient alignés. 3. Déterminer les nombres complexes z tels que les points du plan d affixes 1, z et z 4 soient alignés. 4. Trouver tous les z C tels que le triangle de sommets d affixes 1, z et z 2 soit équilatéral. 5. Déterminer les nombres complexes z tels que z, z 1 et 1 z aient le même module. 6. Déterminer module et argument de ( 1+i 3 1 i ) Soient n un entier naturel non nul et ω une racine nième de 1. Calculer : (a) n 1 k=0 ωk (b) n 1 k=0 ( 1)k ω k (c) n 1 k=0 (k + 1)ωk 8. Calculer ( n 0 3k n 3k). Considérer pour cela (1 + 1) n, (1 + j) n et (1 + j 2 ) n où 1, j et j 2 sont les racines cubiques de Soient α R et n N. Calculer (a) n k=0 sin2 kα. (b) n k=0 cos(kα) cos k α et n k=0 sin(kα) cos k α 10. Soient α, β R et n N. Calculer n k=0 ( n k) cos(α + kβ) et n k=0 ( n k) sin(α + kβ) 11. Déterminer les primitives de sin 5 x, de cos 4 x. 12. Soit z C de module 1 et d argument θ. Déterminer module et argument de 1 + z, de 1 z, de 1 + z + z 2. Les arguments donnés devront appartenir à l intervalle ] π, π]. 13. Trouver les racines carrées de 10 4i Résoudre : (a) z 2 + (5 2i)z + 5 5i = 0. (b) z 8 = 1 i 3 i. (c) z 4 30z = Soit a C. Montrer que l équation z C, ( 1+iz 1 iz )n = a a toutes ses racines réelles si et seulement si a = 1. Calculer dans ce cas les racines de l équation. 16. Trouver une CNS sur les nombres complexes α et β pour que les racines de l équation z 2 2αz + β = 0 aient le même module. ( ) 3 ( ) Trouver tous les nombres complexes z vérifiant z+i z i + z+i z i + z+i z i + 1 = 0

73 V. EXERCICES Soient a, b C tels que ab 1 et c = a b 1 ab. Montrer que c = 1 si et seulement si a = 1 ou b = Résoudre l équation z 2 + 8i = z 2 2, d inconnue z C. 20. Résoudre l équation iz 2 2z + z i = 0, d inconnue z C. 21. Résoudre le système d inconnues u, v C : { (1 + i)u + v = 3 + 7i u + v = 2 + i 22. Soit θ R. Exprimer tan 5θ en fonction de tan θ. 23. Déterminer l ensemble des z C tels que arg z i z+i π 4 [π]. 24. Déterminer l ensemble des z C tels que z = 2 z i. 25. Déterminer l ensemble des z C tels que z2 z+i ir. 26. Trouver les racines de l équation z 3 + (1 2i)z 2 + (1 i)z 2i = 0, sachant que l une des racines est un imaginaire pur. 27. Trouver les racines de l équation z 4 + 4iz (1 + i)z 45 = 0, sachant que l une des racines est un imaginaire pur et que l une des racines est un réel. 28. Soit n N. Soit p Z. Soit ω une racine nième de 1. Calculer n 1 k=0 ωkp. 29. Soient x et θ deux réels. Soit n N. Calculer n k=0 xk cos kθ et n k=0 xk sin kθ.

74 74 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES

75 Chapitre 6 Le corps des nombres réels 75

76 76 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS I Le corps des réels I.1 Corps ordonnés Définition 6.1 : Soit K un corps. On suppose que K est partitionné en trois parties disjointes : K = P N {0}. On dit que K est un corps ordonné lorsque P est stable pour l addition et la multiplication. Pour tout élément x de K, on a x P si et seulement si x N. Exemple : Q, R, {a + b 2, a, b Q} sont des corps ordonnés lorsqu on prend pour P l ensemble des éléments strictement positifs du corps et pour N l ensemble des éléments strictement négatifs. On suppose jusqu à la fin de cette section que K est un corps ordonné. Proposition 6.1 : Soient x, y K. On a x, y P xy P x, y N xy P x P, y N xy N Démonstration : Par exemple, si x P et y N, on a (xy) = x( y) P donc xy N. Proposition 6.2 : On a x K, x 2 P 1 P, 1 N x K, x P 1 x P Démonstration : Si x P, on a x 2 = xx P. De même si x N. Pour le second point, 1 = 1 2 P. Pour le dernier point, on a x 1 x = 1 P donc x et 1 x sont tous les deux dans P ou tous les deux dans N. Proposition 6.3 : On a x, y N, x + y N Démonstration : Car x + y = (( x) + ( y)). Définition 6.2 : Pour x, y K, on pose x < y y x P et x y x < y ou x = y. On définit de même x > y et x y. Remarque 6.1 : Pour tout élément x de K, on a donc x > 0 si et seulement si x P, et x < 0 si et seulement si x N. Les propositions ci-dessus nous indiquent donc que la règle des signes est vraie dans K, que tout carré est positif, que l inverse d un élément positif est positif, etc. Proposition 6.4 : La relation est un ordre total sur K. Démonstration : La réflexivité est évidente. Si x < y alors y x P donc x y P. Ainsi, si x y et y x, on a x = y d où l antisymétrie. Si x < y et y < z alors

77 II. BORNE SUPÉRIEURE 77 z x = (z y) + (y x) P donc x < z d où la transitivité. Soient enfin x, y K. y x est soit dans N auquel cas y < x, soit dans P auquel cas x < y soit nul auquel cas x = y. L ordre est total. Proposition 6.5 : Pour tous éléments x, y, z de K, on a x < y x + z < y + z x < y, z > 0 xz < yz x < y, z < 0 xz < yz Démonstration : Supposons x < y. Alors (y+z) (x+z) = y x P donc x+z < y+z. La réciproque et les autres points se démontrent de façon identique. Remarque 6.2 : On ne peut pas munir C d une structure de corps ordonné. En effet 1 = i 2, or 1 < 0 et tout carré est positif. I.2 Valeur absolue Définition 6.3 : Pour tout x K, on a appelle valeur absolue de x, et on note x, l élément de K x = max( x, x). Remarque 6.3 : On bien sûr x = x si x 0 et x = x si x 0. Proposition 6.6 : La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : x K, x 0. x K, x = 0 x = 0. x, y K, xy = x y. x, y K, x + y x + y. x, y K, x y x y. Démonstration : Seules les inégalités sont non triviales. On a x + y = max( x y, x + y) max( x y, x + y = x + max( y, y) = x + y. II Borne supérieure II.1 Notion de borne supérieure Définition 6.4 : Soit (E, ) un ensemble ordonné. Soit A E. On appelle borne supérieure de A le plus petit élément, lorsqu il existe, de l ensemble des majorants de A. On définit de même la notion de borne inférieure. En d autres termes, la borne supérieure M de l ensemble A est caractérisée par x A, x M. y < M, x A, y < x.

78 78 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS Notation : On note sup A la borne supérieure de A, lorsqu elle existe. De même on note inf A sa borne inférieure. Proposition 6.7 : Si A possède un plus grand élément, alors A possède une borne supérieure, et sup A = max A. La réciproque est fausse. Démonstration : Soit a = max A. Soit A + l ensemble des majorants de A. Soit y E. Supposons a y. Alors, pour tout x A, x a y, donc x y. Ainsi, y A +. Inversement, soit y A +. Comme a A, on a a y. Ainsi, y A + si et seulement si a y. Donc, A + a un plus petit élément : a. Exemple : On se place sur R muni de l ordre usuel. On a sup[0, 1] = 1, sup[0, 1[= 1. R + n a pas de borne supérieure. On se place dans R R muni de l ordre usuel. Soientt f, g R R, et A = {f, g}. L ensemble A n a pas, en général, de plus grand élément (prendre par exemple f(x) = sin x et g(x) = cos x). En revanche, A a une borne supérieure. C est la fonction h définie par h(x) = max(f(x), g(x)) pour tout réel x. Cette fonction est notée sup(f, g). Remarque 6.4 : Soit A une partie de l ensemble R. Supposons que A possède une borne supérieure. Alors : A est évidemment majorée puisque, par définition de la borne sup, l ensemble des majorants de A possède un plus petit élément (et donc, possède un élément!). A est non vide. En effet, tout réel majore l ensemble vide, et R n a pas de plus petit élément. Ainsi, si A possède une borne supérieure, alors A est non vide et majorée. Ce qui est tout à fait remarquable dans le cas des réels, c est que la réciproque est vraie. Exemple : On se place dans Q. Soit A = {x Q +, x 2 2}. Montrer que A est non vide et majoré, mais que A ne possède pas de borne supérieure. L ensemble A est clairement non vide puisque 1 A. De même, pour tout x A, on a x donc x 2 et A est majoré. Supposons que A possède une borne supérieure α. Nous allons montrer que α 2 = 2, ce qui est impossible car il n existe pas de rationnel dont le carré vaut 2. Tout d abord, supposons α 2 < 2. Soit h un rationnel tel que 0 < h < 2 α2 2α+1. On a alors (α + h) 2 = α 2 + h(2α + h) < α 2 + h(2α + 1) < 2. Mais alors, on a que α + h A, ce qui n est pas possible puisque α majore A. Donc, α 2 2. Supposons maintenant que α 2 > 2. Soit h un rationnel 0 < h < α2 2 2α. On a alors (α h)2 = α 2 2αh + h 2 > α 2 2αh > α 2 (α 2 2) = 2. Mais on aurait alors pour tout x A, x 2 2 α h, donc x α h. Ceci n est pas possible : α h ne majore pas A puisque α est le plus petit majorant de A. Remarque 6.5 : Dans tout ce qui suit, on ne parlera que de borne sup. Il existe évidemment des propriétés identiques pour la borne inférieure, que l on obtient par exemple en passant à l opposé.

79 II. BORNE SUPÉRIEURE 79 II.2 Le Théorème fondamental Théorème 6.8 : Il existe un corps K totalement ordonné contenant Q, et tel que toute partie non vide et majorée de K possède une borne supérieure. Un tel corps est unique à isomorphisme près. On choisit un tel corps, et on l appelle R. Lequel? Cela n a pas d importance, puisque tous ces corps sont isomorphes. Remarque 6.6 : Reprenons l exemple du paragraphe précédent, mais dans R au lieu de Q. Soit donc A = {x R +, x 2 2}. A est non vide et majorée, donc A possède une borne supérieure α. La même démonstration que ci-dessus nous prouve que α 2 = 2. Nous avons donc prouvé l existence d un réel α > 0 tel que α 2 = 2. Si l on remplace 2 par un réel t > 0 quelconque une démonstration identique nous dira que tout réel positif possède une racine carrée positive. Exercice : Montrer l unicité de la racine positive d un réel positif. II.3 La droite réelle achevée Pour simplifier certaines discussions dans le cours, on rajoute ici à R deux éléments, notés + et, pour fabriquer ce que l on appelle la droite réelle achevée, notée R.On va voir que toute partie de R posséde une borne supérieure. En contrepartie, les opérations ne sont plus que partiellement définies. Définition 6.5 : On appelle droite numérique achevée l ensemble R = R {, + } où et + sont deux objets sans signification. On étend ensuite les opérations et l ordre sur R à R. Définition 6.6 : On étend l ordre de R à R en posant, pour tout réel x, < x < +. Définition 6.7 : On étend partiellement l addition de R à R par le tableau suivant : + y R + N.D. x R x + y + + N.D. + + Définition 6.8 : On étend partiellement la multiplication de R à R par le tableau suivant : y R 0 y R N.D. x R + xy 0 xy 0 N.D N.D. x R + xyy 0 xy + + N.D. + +

80 80 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS Remarque 6.7 : On peut également convenir que l inverse des infinis est 0. En revanche l inverse de 0 pose problème d un point de vue algébrique à cause d une ambiguité de signe. Proposition 6.9 : Toute partie de R possède une borne supérieure. Démonstration : Soit A R. Si A =, alors sup A =. Sinon, on considère différents cas : Si + A, alors A possède un plus grand élément, qui est aussi sa borne supérieure : +. Si A = { }, alors sup A =. Sinon A \ { } est une partie non vide de R. Si cette partie est majorée dans R elle possède une borne supérieure réelle. Sinon, sup A = +. Les cas intéressants pour nous sont ceux où A est une partie non vide de R : Si A est majorée, alors A possède une borne supérieure réelle. Si A n est pas majorée, alors sup A = +. Remarque 6.8 : Soit A une partie non vide de R. Soit a A. Alors, les majorants de A sont plus grands que a, les minorants de A sont plus petits que a, et donc inf A sup A II.4 Propriété d Archimède Proposition 6.10 : Soient a et b deux réels positifs, avec b 0. Il existe alors un entier naturel n tel que nb > a. Démonstration : On suppose le contraire. L ensemble E = {nb, n N} est alors une partie de R, non vide, et majorée par a. Elle possède une borne supérieure M. Mais alors, M b n est pas un majorant de E. On peut donc trouver un entier n tel que nb > M b. D où (n + 1)B > M ce qui contredit le fait que M majore E. Corollaire 6.11 : tel que Soient a et b deux réels, b > 0. Il existe un unique entier relatif n nb a < (n + 1)b Démonstration : On suppose d abord a 0. Soit E l ensemble des entiers naturels n tels que nb > a. C est une partie de N, non vide d après la proposition précédente. Donc E a un plus petit élément m. L entier n = m 1 répond à la question. Supposons maintenant a < 0. Alors, a > 0 et il existe donc un entier n tel que nb a < (n + 1)b. Si a nb, l entier n 1 répond à la question. Sinon, l entier n répond à la question. Pour l unicité, on suppose que deux entiers m et n conviennent. On a nb a < (m + 1)b d où n < m + 1 et donc n m. De même m n et donc m = n. Une application importante de ce théorème est obtenue avec b = 1.

81 II. BORNE SUPÉRIEURE 81 II.5 Partie entière, Approximations décimales Définition 6.9 : Soit a R. On appelle partie entière de a l unique entier relatif n tel que n a < n + 1. On note E(a) ou a la partie entière de a. Remarque 6.9 : La partie entière de a est caractérisée par a Z et a a < a +1. Remarque 6.10 : On peut de la même façon définir le plafond de a, le plus petit entier supérieur ou égal à a. Il est caractérisé par a Z et a < a a + 1. Proposition 6.12 : Soit a un nombre réel. Il existe un unique entier relatif p tel que p 10 n a < p 10 n n Démonstration : On a 10 n a 10 n a < 10 n a + 1. En posant p = E(10 n a), on a le résultat. Définition 6.10 : Soit a un nombre réel et n N. On appelle valeur approchée de a à 10 n près par défaut tout réel x tel que x a x + 10 n. On définit de même une valeur approchée de a à 10 n près par excès comme tout réel x tel que x 10 n a x. Si on réinterprète le le résultat de la proposition précédente en termes de valeurs approchées, on obtient donc Proposition 6.13 : Le rationnel 10n a 10 est une valeur approchée de a à 10 n près par n défaut. Le rationnel 10n a n 10 est une valeur approchée de a à 10 n près par excès. n Exemple : 3.14 est une valeur approchée de π à 10 2 près par défaut est une valeur approchée de 2 à 10 3 près par excès. II.6 Densité des rationnels et des irrationnels Proposition 6.14 : Soient x et y deux réels distincts. Entre x et y, il y a au moins un rationnel et un irrationnel. Remarque 6.11 : Il y en a donc une infinité. Démonstration : Supposons par exemple x < y. Soit ε > 0. D après la propriété d Archimède, il existe un entier q tel que q > 1 ε, ou encore 0 < 1 q < ε. Prenons alors ε = y x. Toujours d après Archimède, il existe un entier p tel que (p 1) 1 q x < p 1 q. La première inégalité s écrit aussi p 1 q x + 1 q < x + ε < y. Donc x < p q < y et il y a bien un rationnel entre x et y. 1 Pour l irrationnel, il n y a qu à utiliser q à la place de 1 2 q. Remarque 6.12 : Cette propriété peut s écrire de bien des manières. Par exemple :

82 82 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS Pour tout réel x, pour tout ε > 0, il existe q Q tel que x q ε. Tout réel est la limite d une suite de rationnels. Et encore bien d autres façons... III Intervalles III.1 Notion d intervalle On distingue diverses familles d intervalles de R : Les intervalles bornés, qui peuvent être de 4 sortes : [a, b], [a, b[, ]a, b], ou ]a, b[, où a et b sont deux réels. L ensemble vide est donc a priori un intervalle. Les singletons aussi. Un cas important est celui des intervalles de la forme [a, b], appelés aussi segments. Les intervalles non bornés, qui peuvent être de 5 types : ], b], ], b[, ]a, + [, [a, + [ et ], + [= R. Parmi les intervalles, certains sont ouverts, d autres sont fermés. Précisément, et R sont à la fois ouverts et fermés. À part ces deux cas bizarres, sont ouverts les intervalles du type ]a, b[, ], b[, ]a, + [. Sont fermés les intervalles du type [a, b], ], b], [a, + [. III.2 Parties convexes Définition 6.11 : Soit A une partie de R. On dit que A est convexe lorsque pour tous éléments x et y de A, avec x y, le segment [x, y] est inclus dans A. Proposition 6.15 : est un intervalle. Soit A une partie de R. Alors A est convexe si et seulement si A Démonstration : Il est évident que tout intervalle est convexe (10 cas). Inversement, soit A une partie convexe de R. Si A est vide, c est bien un intervalle. Supposons donc A non vide. Prenons par exemple le cas où A est minorée et pas majorée. Alors A possède une borne inférieure, que l on va noter a. On va prouver que A = a, + [, ouvert ou fermé en a. Montrons que ]a, + [ A : soit z > a. z n est donc pas un minorant de A, et il existe x A tel que x < z. z n est pas non plus majorant de A, vu que A n est pas majorée. Donc, il existe y A tel que z < y. Mais A est convexe, donc [x, y] A et on a bien z A. Montrons que A [a, + [ : a minore A, donc pour tout z de A, on a a z. D où le résultat.

83 IV. EXERCICES 83 IV Exercices 1. Soient a et b deux réels positifs tels que a b. Simplifier a + 2 a b b + a 2 a b b. 2. Montrer : (a) a, b 0, a + b a + b (b) a, b R, a b a b 3. Soient A et B deux parties non vides et bornées de R telles que B A. Comparer les quantités sup A, sup B, inf A, inf B. 4. Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. Soit A + B = {x + y, x A, y B}. Prouver que A + B admet une borne supérieure, et que sup(a + B) = sup A + sup B. 5. Soit A une partie de R non vide et bornée. Soit B = { x y, x A, y A}. (a) Montrer que B est non vide et bornée. (b) Montrer que sup B = sup A inf A. (c) Montrer que B admet un plus petit élément, et que min B = Soit E = { p 2, p Z, n N}. Montrer que E est dense dans R. n 7. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a n + 1 n < 1 n n 1. En déduire la partie entière de Montrer que (a) x, y R, x + y x + y + x y. ( (b) x, y R, 1 + xy 1 (1 + x 1 )(1 + y 1 ). k=1 ) 1 k 9. Soit A = { 1 n + ( 1)n, n N }. Calculer, s ils existent, inf A et sup A. 10. Soit x R. Calculer x + x. 11. Soient x un nombre réel et n un entier naturel non nul. Démontrer que 12. Soient x et y deux réels. Comparer x y et x y. 2 n < nx n = x. 13. Pour x réel on appelle arrondi de x le réel α(x) = x On pose également δ(x) = x α(x). (a) Tracer le graphe de la fonction α. (b) Prouver que la fonction δ est 1-périodique. Tracer son graphe. (c) Tracer le graphe de la fonction x δ(x) δ(2x) δ(4x). (d) Si vous avez un ordinateur sous la main, tracez le graphe de la fonction ϕ n : x n δ(2 k x) k=0 pour des valeurs de n de plus en plus grandes. 2 k 14. Déterminer les applications f : R R vérifiant f(x) f(y) = x y pour tous réels x et y.

84 84 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS 15. Soit f : R + R définie par f(x) = x 1+x. Soit g : R R définie par g(x) = f( x ). (a) Montrer que f est croissante. (b) Soient x, y R tels que x + y x. Vérifier que g(x + y) g(x). (c) Soient x, y R tels que x + y y. Vérifier que g(x + y) g(y). (d) Soient x, y R tels que x + y > x et x + y > y. Montrer que g(x + y) g(x) + g(y). (e) Montrer que pour tous réels x et y, g(x + y) g(x) + g(y). 16. Soit f : [0, 1] [0, 1] croissante. Soit A = {x [0, 1], x f(x)}. (a) Montrer que A admet une borne supérieure a. (b) Montrer que f(a) majore A. (c) En déduire que f(a) A. (d) Prouver que f(a) = a. 17. Soient A et B deux parties non vides de R telles que a A, b B, a b. Montrer que sup A et inf B existent, et sup A inf B. 18. Soient a 1, a 2,..., a n n nombres réels tels que n k=1 a k = n k=1 a2 k = n. Calculer n k=1 (a k 1) 2 et en déduire que pour tout k entre 1 et n on a a k = Soient a 1, a 2,..., a n n nombres réels et b 1, b 2,..., b n n nombres réels strictement positifs. Montrer que min( a 1 b 1, a 2 b 2,..., an b n ) a 1+a a n b 1 +b b n. 20. Soit n N. Soit x R. Montrer que n 1 k=0 x + k n = nx. 21. Soit A une partie non vide de R. On suppose que A [a, b] où 0 < a < b. Soit B = { x y, x A, y A}. Prouver l existence de inf B et sup B et calculer ces deux réels.

85 Chapitre 7 Fonctions 85

86 86 CHAPITRE 7. FONCTIONS I Fonctions à valeurs réelles Dans cette section, l ensemble X désigne un ensemble quelconque. On s intéresse aux propriétés algébriques de l ensemble R X des fonctions de X vers R. Deux cas sont particulièrement intéressants : celui où X est un intervalle de R (c est ce qui se passe dans le cours d Analyse) et celui où X = N (ou une partie de N) dans le cours sur les suites à valeurs réelles. I.1 Fonctions à valeurs réelles On dispose sur R X des opérations suivantes : L addition, définie par (f + g)(x) = f(x) + g(x). La multiplication, définie par (fg)(x) = f(x)g(x). Le produit par un nombre réel, défini par (λf)(x) = λf(x). Proposition 7.1 : L ensemble R X, muni des opérations ci-dessus est un espace vectoriel et un anneau commutatif (on dit aussi une algèbre). Démonstration : Aucune difficulté. L élément neutre pour l addition est la fonction nulle. L élément neutre pour la multiplication est la fonction constante égale à 1. Remarque 7.1 : Une fonction est inversible pour la multiplication si et seulement si elle ne s annule pas. Or, pour un ensemble X ayant au moins deux éléments, il existe des fonctions X R différentes de la fonction nulle, et qui pourtant s annulent. L anneau R X n est donc pas un corps. Définition 7.1 : Pour f, g R X, on dit que f g lorsque x X, f(x) g(x) Proposition 7.2 : Cette relation est une relation d ordre partiel. Démonstration : Laissé en exercice. Pour l ordre partiel, prendre par exemple la fonction x x et x x. Aucune de ces fonctions n est plus petite que l autre. Définition 7.2 : Pour f, g R X, on appelle sup(f, g) la fonction définie par On définit de même inf(f, g). sup(f, g)(x) = max(f(x), g(x)) Remarque 7.2 : On a sup(f, g) = f+g 2 + f g f+g 2 et inf(f, g) = 2 f g 2. Exemple : On pose f + = sup(f, 0) et f = inf(f, 0). Alors, f + et f sont positives, et on a f = f + f et f = f + + f.

87 I. FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 87 I.2 Fonctions bornées Définition 7.3 : Soit f : X R. On dit que f est majorée lorsqu il existe M R tel que x X, f(x) M. minorée lorsqu il existe m R tel que x X, f(x) m. bornée lorsqu elle est majorée et minorée, ce qui peut s écrire : M R, x X, f(x) M Proposition 7.3 : L ensemble des fonctions bornées sur X est une algèbre. Démonstration : Laissé en exercice. I.3 Fonctions monotones Dans cette section, on suppose que X est une partie de R. Définition 7.4 : Soit f : X R. On dit que f est croissante lorsque x, y X, x y f(x) f(y). f est strictement croissante lorsque x, y X, x < y f(x) < f(y). On définit de même (strictement) décroissante. Enfin, f est (strictement) monotone lorsqu elle est croissante OU décroissante (strictement). Remarque 7.3 : La somme de deux fonctions croissantes est croissante. On ne peut en revanche rien dire de la différence de deux fonctions croissantes. Proposition 7.4 : La composée de deux fonctions monotones est monotone. Le sens de monotonie obéit à la règle des signes. Démonstration : Laissé en exercice. ( ) Exemple : La fonction x exp 2x+1 3x 4 pas 4 3. est monotone sur tout intervalle ne contenant I.4 Extrema Définition 7.5 : Soit f : I R. Soit a I. On dit que f admet un maximum (global) en a lorsque x I, f(x) a. On définit de même la notion de minimum. Définition 7.6 : Soit f : I R. Soit a I. On dit que f admet un maximum local en a lorsque il existe un réel δ > 0 tel que x I, x a δ f(x) a. On définit de même la notion de minimum local. Remarque 7.4 : Si une fonction admet un extremum global en un point, c est aussi bien entendu un extremum local. La réciproque est fausse, bien entendu aussi. Nous verrons plus tard des conditions d existence d extrema locaux ou globaux, liées à la nature de l intervalle I (segment) et à la régularité de f (continuité, dérivabilité).

88 88 CHAPITRE 7. FONCTIONS I.5 Parité, périodicité Définition 7.7 : Soit f : X R, où X est une partie de R symétrique par rapport à 0. On dit que f est paire lorsque On dit que f est impaire lorsque x X, f( x) = f(x) x X, f( x) = f(x) Proposition 7.5 : Les ensembles P(X, R) et I(X, R) des fonctions paires et des fonctions impaires sont des espaces vectoriels. De plus, toute fonction X R s écrit de façon unique comme somme d une fonction paire et d une fonction impaire. Démonstration : La structure d espace vectoriel est évidente. Soit f : X R. Supposons que f = g + h où g est paire et h est impaire. On a pour tout x X les deux égalités f(x) = g(x) + h(x) et f( x) = g(x) h(x). On en déduit g(x) = f(x)+f( x) 2 et h(x) = f(x) f( x) 2, d où l unicité. Inversement, on vérifient que ces deux fonctions sont bien respectivement paire et impaire, et que leur somme est f, d où l existence. Exemple : On a e x = cosh x + sinh x où cosh x = ex +e x 2 et sinh x = ex e x 2. Ces deux fonctions sont les fonctions cosinus et sinus hyperboliques. Nous les étudierons dans un chapitre ultérieur. Définition 7.8 : Soit f : X R. Soit T R. On dit que T est une période de f lorsque x X, x + T X. x X, f(x + T ) = f(x). La fonction f est dite périodique si elle admet au moins une période non nulle. Proposition 7.6 : Soit f : X R. L ensemble T (f) est un groupe pour la loi +. Démonstration : Il est clair que 0 est une période de f. Donc T (f). Soit T une période de f. On a pour tout x X f(x T ) = f(x T + T ) = f(x). Donc T est une période de f. Enfin, si T 1 et T 2 sont deux périodes de f, on a pour tout x X f(x + T 1 + T 2 ) = f(x + T 1 ) = f(x) donc T 1 + T 2 est une période de f. Ainsi, T (f) est un sous-groupe de R. Remarque 7.5 : On peut montrer que si G est un sous-groupe de R, alors on est dans un (et un seul) des trois cas ci-dessous : G = {0}. G possède un plus petit élément strictement positif : dans ce cas, il existe un réel α > 0 tel que G = αz. G ne possède pas de plus petit élément strictement positif : G est alors dense dans R.

89 II. DÉRIVATION 89 Ceci signifie qu il existe deux types de fonctions périodiques : Les fonctions dont le groupe des périodes est dense dans R. Ce sont des fonctions très compliquées. Les fonctions dont le groupe des périodes est de la forme T 0 Z avec T 0 > 0. On peut montrer que c est par exemple le cas lorsque la fonction est continue en au moins 1 point. C est le cas simple, la fonction possède alors une plus petite période strictement positive que l on appelle SA période. Proposition 7.7 : Soit T un réel. L ensemble des fonctions T -périodiques sur l ensemble X est une algèbre. Démonstration : exercice II Dérivation II.1 Notion de dérivée Nous faisons pour l instant une présentation rapide. Nous reviendrons plus en détail sur la notion de dérivée dans un chapitre ultérieur. Soit f : I R, où I est un intervalle. Soit a I. On dit que f est dérivable en a lorsque la quantité f(x) f(a) x a a une limite en a lorsque x tend vers a. Cette limite, notée f (a) peut alors être interprétée comme la pente de la tangente à la courbe de f au point d abscisse a. On obtient ainsi une équation cartésienne de cette tangente : (T ) y f(a) = f (a)(x a) On généralise sans difficulté la notion de dérivée à des fonctions f : I C, en prenant la même définition. On montre alors qu une telle fonction est dérivable si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont. II.2 Opérations sur les dérivées Nous admettons dans ce paragraphe un certain nombre de théorèmes sur les fonctions dérivables. Proposition 7.8 : Soit I un intervalle de R. Soient f, g : I R ou C deux fonctions dérivables. Soit λ R. La fonction λf est dérivable sur I et (λf) = λf. La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g) = f + g. La fonction fg est dérivable sur I et (fg) = f g + fg. Si g ne s annule pas, 1 g est dérivable sur I et ( 1 g ) = g. g 2 Proposition 7.9 : Soient I et J deux intervalles de R. Soient f : I J et g : J R ou C deux fonctions dérivables. Alors, g f est dérivable sur I et (g f) = f g f. Un cas important pour les fonctions à valeurs complexes, non couvert par le théorème précédent, est le suivant :

90 90 CHAPITRE 7. FONCTIONS Proposition 7.10 : Soit f : I C dérivable. Soit g = exp f. Alors, g est dérivable sur I et x I, g (x) = f (x) exp(f(x)). II.3 Monotonie Proposition 7.11 : Soit I un intervalle de R. Soit f : I R une fonction dérivable. La fonction f est croissante sur I si et seulement si f 0 sur I. constante sur I si et seulement si f = 0 sur I. décroissante sur I si et seulement si f 0 sur I. Proposition 7.12 : Soit I un intervalle de R. Soit f : I R une fonction dérivable. La fonction f est strictement croissante sur I si et seulement si f 0 sur I, et l ensemble des points où f s annule ne contient aucun intervalle non réduit à un point. Remarque 7.6 : C est par exemple le cas lorsque f s annule en un nombre fini de points, mais pas seulement. II.4 Réciproque d une fonction dérivable Proposition 7.13 : Soient I et J deux intervalles de R. Soit f : I J une bijection dérivable telle que f ne s annule pas. Alors, f 1 : J I est dérivable, et (f 1 ) = 1. f f 1 Remarque 7.7 : Tentons une interprétation géoétrique de la formule ci-dessus. Le graphe de f 1 est obtenue à partir du graphe de f par une symétrie par rapport à la droite d équation y = x. Soit a I, soit b = f(a) J. La formule nous dit que (f 1 ) (b) = 1 f (a). Par ailleurs, f (a) = tan α où α est l angle entre l axe Ox et la tangente au graphe de f au point (a, b). De même, (f 1 ) (b) = tan β où β est l angle entre l axe Ox et la tangente au graphe de f 1 au point (a, b). La formule nous dit que tan β = 1 tan α = tan( π 2 α). C est à dire que β = π 2 α. Logique, la symétrie par rapport à la droite y = x change un angle θ en l angle π 2 θ. III Logarithmes et exponentielles III.1 Logarithme népérien Définition 7.9 : La fonction logarithme népérien, notée ln, est l unique primitive sur R + de x 1 x qui s annule en 1. Elle est donc définie sur R + par ln x = x 1 dt t

91 III. LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 91 Proposition 7.14 : La fonction logarithme vérifie : x, y R +, ln(xy) = ln x + ln y Démonstration : Pour y > 0 fixé, la fonction f : x ln(xy) est dérivable sur R + et sa dérivée vaut f (x) = 1 x. La fonction x f(x) ln x est donc constante. Or celle-ci vaut ln y en x = 1. Remarque 7.8 : On en déduit pour x, y > 0 et n Z : ln x y = ln x ln y ln x n = n ln x Proposition 7.15 : La fonction logarithme est une bijection strictement croissante de ]0, + [ sur R, vérifiant lim ln x = + et lim ln x = x + x 0 Démonstration : Sa dérivée est strictement positive, d où la croissance stricte. De là, ln 2 > ln 1 = 0. Donc, ln(2 n ) = n ln 2 + lorsque n +. Donc, la fonction logarithme n est pas majorée, et tend vers + en +. On en déduit que ln x = ln 1 x lorsque x 0. Remarque 7.9 : Le logarithme népérien est un isomorphisme du groupe (R +, ) sur le groupe (R, +). III.2 Exponentielle Définition 7.10 : La fonction exponentielle, notée exp est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. C est une bijection strictement croissante de R sur R + vérifiant lim exp x = + et lim exp x = 0 x + x Elle est de classe C sur R et égale à sa dérivée. Remarque 7.10 : En tant que réciproque d un isomorphisme, l exponentielle est un isomorphisme du groupe R sur le groupe R +. Démonstration : On a exp = ln 1. D où la monotonie stricte, la continuité, les limites. De plus, ln est C et ln > 0 sur R + donc exp C (R). Enfin, pour tout x réel, exp (x) = = exp x. 1 ln (exp x) Proposition 7.16 : On a pour x, y R et n Z : exp 0 = 1 exp(x + y) = exp x exp y exp(x y) = exp x exp y

92 92 CHAPITRE 7. FONCTIONS exp(nx) = (exp x) n Démonstration : L exponentielle est un morphisme de groupes. Définition 7.11 : On note e = exp 1 l unique réel tel que ln e = 1. III.3 Logarithmes et exponentielles en base quelconque Définition 7.12 : Soit a > 0, a 1. On appelle logarithme de base a l application log a : R + R définie par log a x = ln x ln a Exemple : Pour a = 10, on a le logarithme décimal, noté simplement log. Pour a = e, on retrouve le logarithme népérien. Pour a = 2, on a le logarithme binaire, encore noté lg. Les propriétés du logarithme de base a sont tout à fait similaires à celles du logarithme népérien. Ces fonctions ne diffèrent que d une constante multiplicative 1 ln a. Définition 7.13 : Soi a > 0, a 1. La fonction logarithme de base a est une bijection de R + sur R. Sa réciproque est donc une bijection de R sur R +. On l appelle exponentielle de base a, et on la note (provisoirement) exp a. Les propriétés de l exponentielle de base a sont identiques à celles de l exponentielle. Proposition 7.17 : Soit a > 0, a 1. On a pour tout réel x exp a x = exp(x ln a) Démonstration : On a log a (exp(x ln a)) = Donc exp a (x) = exp(x ln a). ln(exp(x ln a)) ln a = x. Remarque 7.11 : On a pour tout entier naturel n (récurrence) exp a n = a n. Par passage à l inverse, c est encore vrai pour tout entier relatif n. On étend la notation à tout réel x en posant a x = exp(x ln a) Ainsi, e x = exp x. Dorénavant, nous n utiliserons plus la notation «exp», sauf lorsqu elle s avère plus pratique. III.4 Représentations graphiques.

93 IV. PUISSANCES 93 (a) Exponentielles (b) Logarithmes Figure 7.1 Exponentielles et logarithmes IV Puissances IV.1 Définition Définition 7.14 : avec a R. On appelle fonction puissance toute fonction φ a : R + R, x x a Remarque 7.12 : Il convient ici de faire une remarque sur l ensemble de définition des fonctions puissance. Pour a réel quelconque, cet ensemble de définition est R +, puisque, par définition, x a = e a ln x. Maintenant, si a est un entier naturel, x a = x x... x n fois. et la fonction x x a est définie sur R. Si a est un entier négatif, cette même fonction est définie sur R. Nous verrons un peu plus bas que si a est l inverse d un entier impair, la fonction est encore définie sur R. Bref, pour un a quelconque, les fonctions puissances sont définies sur R +, mais leur ensemble de définition peut être plus gros pour certaines valeurs de a. Proposition 7.18 : Pour a, b réels et x, y > 0 on a : x a y a = (xy) a x a x b = x a+b (x a ) b = x ab 1 a = 1 x 0 = 1 ln x a = a ln x Démonstration : (xy) a = exp(a ln(xy)) = exp(a(ln x + ln y)) qui se développe en exp(a ln x) exp(a ln y) = x a y a. Même démonstration pour toutes les égalités.

94 94 CHAPITRE 7. FONCTIONS Figure 7.2 Puissances IV.2 IV.3 Représentations graphiques variations On a d dx xa = ax a 1. On en déduit les variations de φ a, les limites en 0 et à l infini, et la courbe représentative. Remarque 7.13 : Si a > 0, la fonction x x a tend vers 0 lorsque x 0. Elle est donc prolongeable par continuité en 0 en posant 0 a = 0. Attention, cependant : on n a évidemment pas 0 a = exp(a ln 0)! Quand ce prolongement est-il dérivable en 0? Formons des taux d accroissement : xa 0 x 0 = xa 1 a une liite en 0 si et seulement si a 1. Pour a = 1, la dérivée en 0 vaut 1. Pour a > 1, cette dérivée est nulle. Remarque 7.14 : On rappelle que pour tout réel x, on a x 0 = 1. L élévation à la puissance 0 ne pose AUCUN problème. Ce qui est problématique, c est le calcul de limites de puissances dont l exposant TEND vers 0 (et pas dont l exposant VAUT zéro). IV.4 Racines Soit n un entier naturel non nul. La fonction R + R + définie par x x n est une bijection de R + sur R +. Sa réciproque est appelée fonction racine nème. On note n x l image du réel x 0 par cette application. Si n est un entier naturel impair la fonction x x n est une bijection R R ce qui permet de définir une fonction racine nème sur R. Pour n > 0 et x > 0, on a ( n x) n = x, donc n x = x 1 n. Ainsi, pour x > 0, d n d x = dx dx x 1 1 n = n x 1 n 1 = 1 n n x n 1 Lorsue n est impair et x < 0 la formule de dérivation ci-dessus reste encore valable.

95 V. FONCTIONS CIRCULAIRES 95 IV.5 Comparaison des logarithmes, puissances et exponentielles Proposition 7.19 : Si a et b sont deux réels strictement positifs, on a : (ln x) b lim x + x a = 0 et lim x 0 x a (ln x) b = 0 Démonstration : On montre d abord que ln x x t 1, on a t t, donc, pour x 1 : 0 ln x = x Ainsi, 0 ln x x 2 x. Dans le cas général, on a 1 (ln x) b x a = 0 lorsque x tend vers l infini. Pour dt x t dt = 2 x 2 2 x 1 t ( ) ( b b a ) b ln(x a/b ) x a/b En remplaçant x par 1 x on a le résultat lorsque x tend vers 0. Proposition 7.20 : Si a et b sont deux réels strictement positifs, on a exp(ax) lim x + x b = + et lim x x b exp(ax) = 0 Remarque 7.15 : Si a, b < 0, un passage à l inverse donne les limites demandées. Si a et b sont de signes contraires, il n y a aucune indétermination. V Fonctions circulaires V.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente Nous rappelons ici les principaux résultats sur les fonctions trigonométriques : Les fonctions sin et cos sont de classe C sur R, et de période 2π. La fonction sinus est impaire sa dérivée est cos. La fonction cosinus est paire, sa dérivée est sin. Nous n énumérerons pas les différentes symétries de ces fonctions : sin(π x) = sin x, sin(π +x) = sin x, etc. Elles se retrouvent facilement à l aide du cercle trigonométriques.les formules suivantes sont à connaître

96 96 CHAPITRE 7. FONCTIONS sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a b) = sin a cos b cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x sin a cos b = 1 2 (sin(a + b) + sin(a b)) cos a cos b = 1 2 (cos(a + b) + cos(a b)) sin a sin b = 1 2 (cos(a + b) cos(a b)) sin p sin q = 2 sin p q p+q cos cos p cos q = 2 sin p q p+q sin 2 La fonction tangente est quant à elle définie par tan x = sin x cos x. Elle est impaire, π-périodique. Son ensemble de définition est D = R \ { π 2 + kπ, k Z}. Elle est de classe C sur son ensemble de définition. On a x D, tan x = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x. On a tan a+tan b 1 tan a tan b tan a tan b 1+tan a tan b tan(a + b) = tan(a b) = tan 2x = 2 tan x 1 tan 2 x tan( π 2 + x) = 1 tan x tan( π 2 x) = 1 tan x Exercice : Pour quelles valeurs de a, b, x ces formules sont-elles vraies? Proposition 7.21 : Soit x R \ {π + 2kπ, k Z}, Soit t = tan x 2. On a cos x = 1 t2 1+t 2 sin x = 2t 1+t 2 tan x = 2t 1 t 2 V.2 Fonctions Arc sinus et Arc cosinus Proposition 7.22 : La fonction f : x sin x est une bijection continue et strictement croissante de [ π 2, π 2 ] sur [ 1, 1] Définition 7.15 : arcsin. La réciproque de f est appelée le fonction Arc sinus. On la note Remarque 7.16 : arcsin n est PAS la réciproque de sin, mais de l application que nous avons appelée f. Pour x [ 1, 1], arcsin x est l unique élément de [ π 2, π 2 ] dont le sinus vaut x. Par exemple, arcsin 0 = 0 puisque sin 0 = 0. Autre exemple, arcsin 1 = π 2 puisque sin π 2 = 1.

97 V. FONCTIONS CIRCULAIRES 97 (a) Sinus et cosinus (b) Tangente Figure 7.3 Sinus, cosinus, tangente Proposition 7.23 : La fonction arcsin est une bijection continue strictement croissante et continue de [ 1, 1] sur [ π 2, π 2 ]. Elle est impaire, puisque réciproque d une fonction impaire. Remarque 7.17 : On a pour tout x [ 1, 1], sin(arcsin x) = x. En revanche, la relation arcsin(sin x) = x n est valable que pour x [ π 2, π 2 ]. À titre d exercice, tracer le graphe de la fonction f : R R. x arcsin(sin x) Proposition 7.24 : La fonction g : x cos x est une bijection continue et strictement décroissante de [0, π] sur [ 1, 1] Définition 7.16 : arccos. La réciproque de g est appelée le fonction Arc cosinus. On la note Remarque 7.18 : arccos n est PAS la réciproque de cos, mais de l application que nous avons appelée g. Pour x [ 1, 1], arccos x est l unique élément de [0, π] dont le cosinus vaut x. Par exemple, arccos 0 = π 2 puisque cos π 2 = 0. Autre exemple, arccos 1 = 0 puisque cos 0 = 1. Proposition 7.25 : La fonction arccos est une bijection continue strictement décroissante de [ 1, 1] sur [0, π]. Elle n est ni paire, ni impaire. Remarque 7.19 : On a pour tout x [ 1, 1], cos(arccos x) = x. En revanche, la relation arccos(cos x) = x n est valable que pour x [0, π]. À titre d exercice, tracer le graphe de la fonction f : R R. x arccos(cos x) Exercice : 1. Simplifier cos(arcsin x) où x [ 1, 1]. 2. Faire de même avec sin(arccos x).

98 98 CHAPITRE 7. FONCTIONS 3. Montrer la relation arcsin x + arccos x = π 2 pour x [ 1, 1]. On pose pour cela y = π 2 arcsin x et on prouve que y [0, π] et cos y = x. Proposition 7.26 : Les fonctions Arc sinus et Arc cosinus sont de classe C sur ] 1, 1[ et x ] 1, 1[, arcsin 1 x = 1 x 2 x ] 1, 1[, arccos 1 x = 1 x 2 Remarque 7.20 : Ces fonctions ne sont pas dérivables en ±1, puisque les dérivées de leurs réciproques au point correspondant sont nulles. On a en ces points une tangente verticale. Représentations graphiques (a) Arc sinus (b) Arc cosinus Figure 7.4 Fonctions circulaires inverses V.3 Fonction Arc tangente Proposition 7.27 : La fonction h : x tan x est une bijection continue strictement croissante de ] π 2, π 2 [ sur R Définition 7.17 : arctan. La réciproque de h est appelée le fonction Arc tangente. On la note Remarque 7.21 : arctan n est PAS la réciproque de tan, mais de l application que nous avons appelée h. Pour x R, arctan x est l unique élément de ] π 2, π 2 [ dont la tangente

99 VI. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 99 vaut x. Par exemple, arctan 0 = 0 puisque tan 0 = 0. Autre exemple, arctan 1 = π 4 puisque tan π 4 = 1. Proposition 7.28 : La fonction arctan est une bijection continue strictement croissante de R sur ] π 2, π 2 [. Elle est impaire, puisque réciproque d une fonction impaire. Remarque 7.22 : On a pour tout x R, tan(arctan x) = x. En revanche, la relation arctan(tan x) = x n est valable que pour x ] π 2, π 2 [. À titre d exercice, tracer le graphe de la fonction f : R R. x arctan(tan x) Proposition 7.29 : La fonction Arc tangente est de classe C sur R, et : x R, arctan x = 1 x Remarque 7.23 : Pour x R, posons f(x) = arctan x + arctan 1 x. La fonction f est dérivable sur les intervalles R + et R, et sa dérivée y est nulle (le vérifier). Elle y est donc constante. De plus, f(1) = π 2 et f( 1) = π 2. On en déduit que x > 0, arctan x + arctan 1 x = π 2 et x < 0, arctan x + arctan 1 x = π 2. Représentation graphique Figure 7.5 Arc tangente VI Fonctions hyperboliques VI.1 Fonctions cosinus et sinus hyperbolique Définition 7.18 : On définit les fonctions sinus et cosinus hyperbolique pour tout x réel par : sinh x = ex e x et cosh x = ex + e x 2 2

100 100 CHAPITRE 7. FONCTIONS Proposition 7.30 : La fonction sinh est impaire, la fonction cosh est paire. Ces deux fonctions sont de classe C sur R et on a pour tout x R : sinh x = cosh x et cosh x = sinh x VI.2 Trigonométrie hyperbolique Proposition 7.31 : Les formules ci-dessous sont vraies pour tous réels x, a, b : e x = sinh x + cosh x cosh 2 x sinh 2 x = 1 sinh(a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b sinh(a b) = sinh a cosh b cosh a sinh b cosh(a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b cosh(a b) = cosh a cosh b sinh a sinh b sinh 2x = 2 sinh x cosh x cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x = 2 cosh 2 x 1 = sinh 2 x Remarque 7.24 : La formule cosh 2 t sinh 2 t = 1 permet de paramétrer l hyperbole x 2 y2 = 1 par x = ±a cosh t, y = b sinh t. a 2 b 2 VI.3 Fonction tangente hyperbolique Définition 7.19 : La fonction tangente hyperbolique, notée tanh, est définie sur R par tanh x = sinh x cosh x = e2x 1 e 2x + 1 = ex e x e x + e x Proposition 7.32 : La fonction tanh est impaire, de classe C sur R, et : x R, tanh x = 1 cosh 2 x = 1 tanh2 x Représentation graphique VI.4 Fonctions hyperboliques réciproques Définition 7.20 : La fonction «sinus hyperbolique» est continue et strictement croissante sur R. elle définit une bijection de R sur R dont la réciproque est appelée Argument sinus hyperbolique et notée argsh. La fonction argsh est ainsi une bijection continue, strictement croissante, et impaire, de R sur R.

101 VI. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 101 (a) Sinus et cosinus hyperboliques (b) Tangente hyperbolique Figure 7.6 Fonctions hyperboliques Définition 7.21 : La fonction cosinus hyperbolique est continue et strictement croissante sur R +. elle définit une bijection de R + sur [1, + [ dont la réciproque est appelée Argument cosinus hyperbolique et notée argch. La fonction argch est ainsi une bijection continue, strictement croissante, de [1, + [ sur R +. Proposition 7.33 : La fonction argsh est dérivable sur R, et x R, argsh x = x 2 La fonction argch est dérivable sur [1, + [, et x > 1, argch x = 1 x 2 1 Démonstration : Faisons-le pour argsh. On a pour tout réel x, argsh 1 x = sinh (argsh x) = 1 cosh(argsh x) = 1 = 1. 1+sinh 2 (argsh x) 1+x 2 Définition 7.22 : La fonction tangente hyperbolique est continue et strictement croissante sur R. elle définit une bijection de R sur ] 1, 1[ dont la réciproque est appelée Argument tangente hyperbolique et notée argth. La fonction argth est ainsi une bijection continue, strictement croissante, de ] 1, 1[ sur R. Proposition 7.34 : La fonction argth est dérivable sur R, et x R, argth x = 1 1 x 2

102 102 CHAPITRE 7. FONCTIONS (a) Arguments sinus et cosinus hyperboliques (b) Argument tangente hyperbolique Figure 7.7 Fonctions hyperboliques inverses Représentations graphiques Expression à l aide logarithmes Proposition 7.35 : On a : x R, argsh x = ln(x + x 2 + 1). x [1, + [, argch x = ln(x + x 2 1). x ] 1, 1[, argth x = 1 2 ln ( 1+x 1 x ). Démonstration : Faisons-le pour l argument sinus hyperbolique. Soient x, t R. On a sinh t = x si et seulement si e t e t = 2x ou encore T 2 2xT 1 = 0, où l on a posé T = e t. T > 0, et l unique racine strictement positive de l équation en T est x + x On en tire t = argsh x = ln(x + x 2 + 1).