Cours de Mathématiques

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1 Cours de Mathématiques Classe de MPSI B Auteur : Marc Lorenzi Mis à jour le 11 décembre 2014 Lycée Camille Guérin Année

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3 Table des matières 1 Un peu de logique 21 I Propositions I.1 Le langage des mathématiques I.2 Équivalence de deux propositions II Connecteurs logiques II.1 Le connecteur «ET» II.2 Le connecteur «OU» II.3 Le connecteur «NON» II.4 Le connecteur «IMPLIQUE» II.5 Équivalence logique III Quantificateurs III.1 Quantificateurs universel et existentiel III.2 Négation d une phrase quantifiée III.3 Échange de quantificateurs IV Exercices Ensembles 31 I Notion d ensemble I.1 Ensembles, éléments I.2 Les difficultés du concept d ensemble I.3 Égalité d ensembles I.4 Inclusion I.5 Ensemble vide I.6 Parties d un ensemble II Opérations sur les ensembles II.1 Réunion II.2 Intersection II.3 Différence, Complémentaire II.4 Couples, produit cartésien II.5 Notion de famille

4 4 TABLE DES MATIÈRES III Exercices Récurrence 39 I L ensemble des entiers naturels II Raisonnement par récurrence II.1 Le théorème de démonstration par récurrence II.2 Exemples fondamentaux II.3 La formule du binôme III Extensions du principe de récurrence III.1 Récurrence forte III.2 Récurrence à 2 rangs IV Suites définies par récurrence V Annexe : suites récurrentes VI Exercices Applications et relations 47 I Applications I.1 Définitions I.2 Restrictions, prolongements I.3 Injections, surjections, bijections I.4 Composition I.5 Application réciproque I.6 Images directes, Images réciproques I.7 Fonctions indicatrices II Relations d ordre II.1 Relations binaires II.2 Ensembles ordonnés II.3 Majorants, Minorants III Relations d équivalence III.1 Notion de relation d équivalence III.2 Exemples simples III.3 Congruences sur Z III.4 Congruences sur R III.5 Classes d équivalences III.6 Une réciproque IV Exercices Nombres complexes 59 I Le corps des complexes I.1 Construction des nombres complexes I.2 Affixe, image I.3 Conjugué I.4 Module II Nombres complexes et trigonométrie

5 TABLE DES MATIÈRES 5 II.1 Nombres complexes de module II.2 Arguments d un complexe non nul II.3 Forme trigonométrique II.4 Exponentielle complexe II.5 Application à la linéarisation de sinus et cosinus II.6 Opération inverse : délinéarisation? III Résolution d équations algébriques III.1 Racine carrée d un nombre complexe III.2 Méthode algébrique III.3 Équation du second degré III.4 Racines nièmes de l unité III.5 Racines nièmes d un nombre complexe IV Interprétations géométriques IV.1 Somme, produit par un réel IV.2 Module, Argument IV.3 Produit V Exercices Le corps des nombres réels 75 I Le corps des réels I.1 Corps ordonnés I.2 Valeur absolue II Borne supérieure II.1 Notion de borne supérieure II.2 Le Théorème fondamental II.3 La droite réelle achevée II.4 Propriété d Archimède II.5 Partie entière, Approximations décimales II.6 Densité des rationnels et des irrationnels III Intervalles III.1 Notion d intervalle III.2 Parties convexes IV Exercices Fonctions 85 I Fonctions à valeurs réelles I.1 Fonctions à valeurs réelles I.2 Fonctions bornées I.3 Fonctions monotones I.4 Extrema I.5 Parité, périodicité II Dérivation II.1 Notion de dérivée II.2 Opérations sur les dérivées

6 6 TABLE DES MATIÈRES II.3 Monotonie II.4 Réciproque d une fonction dérivable III Logarithmes et exponentielles III.1 Logarithme népérien III.2 Exponentielle III.3 Logarithmes et exponentielles en base quelconque III.4 Représentations graphiques IV Puissances IV.1 Définition IV.2 Représentations graphiques IV.3 variations IV.4 Racines IV.5 Comparaison des logarithmes, puissances et exponentielles V Fonctions circulaires V.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente V.2 Fonctions Arc sinus et Arc cosinus V.3 Fonction Arc tangente VI Fonctions hyperboliques VI.1 Fonctions cosinus et sinus hyperbolique VI.2 Trigonométrie hyperbolique VI.3 Fonction tangente hyperbolique VI.4 Fonctions hyperboliques réciproques VII Exercices Primitives et Équations différentielles 105 I Calculs de primitives I.1 Notion de primitive I.2 Primitives usuelles I.3 Intégration par parties I.4 Changement de variable II Notion d équation différentielle II.1 C est quoi? II.2 Exemple II.3 Exemple III Équations linéaires du premier ordre III.1 Équation homogène III.2 Équation avec second membre III.3 Une équation fonctionnelle III.4 Le problème de Cauchy IV Résolution approchée V Équations du second ordre V.1 Équation homogène V.2 Le cas réel V.3 Équation avec second membre

7 TABLE DES MATIÈRES 7 V.4 Problème de Cauchy VI Exercices Suites réelles 117 I Limite d une suite I.1 Limite réelle I.2 Limite infinie I.3 Opérations sur les limites I.4 Limites et ordre I.5 Suites extraites II Théorèmes d existence de limites II.1 Suites monotones II.2 Suites adjacentes II.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass III Suites complexes III.1 Introduction III.2 Limites IV Récurrences linéaires IV.1 Suites arithmétiques et géométriques IV.2 Récurrences linéaires à deux termes V Exercices Limites - Continuité 131 I Étude locale d une fonction I.1 Topologie I.2 Limite et continuité en un point I.3 Reformulations de la notion de limite I.4 Opérations sur les limites I.5 Limites de fonctions, limites de suites I.6 limites et ordre I.7 Limites dans une direction I.8 Fonctions monotones II Propriétés des fonctions continues II.1 Opérations sur les fonctions continues II.2 Prolongement par continuité II.3 Image d un intervalle II.4 Image d un segment II.5 Fonctions continues strictement monotones II.6 Fonctions lipschitziennes III Fonctions à valeurs complexes IV Exercices

8 8 TABLE DES MATIÈRES 11 Dérivation 145 I Notion de dérivée I.1 Définitions I.2 Dérivées à droite et à gauche I.3 Classes de fonctions I.4 Opérations sur les dérivées II Accroissements finis II.1 Extrema locaux II.2 Théorème de Rolle II.3 Accroissements finis II.4 Fonctions monotones II.5 Passage à la limite dans une dérivée II.6 Passage à la limite pour les fonctions de classe C k III Fonctions à valeurs complexes III.1 Dérivation III.2 Rolle et accroissements finis III.3 Intégration IV Exercices Analyse asymptotique 157 I Comparaison des fonctions au voisinage d un point I.1 Négligeabilité, domination I.2 Fonctions équivalentes I.3 Équivalents classiques I.4 Fonctions de référence II Développements limités II.1 Formule de Taylor-Young II.2 Notion de DL II.3 Utilité des développements limités II.4 Développements classiques II.5 Somme de DLs II.6 Produit de DLs II.7 Inverse d un DL II.8 Composition de DLs II.9 Primitivation de DLs III Développements asymptotiques III.1 Notion de DA III.2 Quelques exemples III.3 La formule de Stirling IV Exercices

9 TABLE DES MATIÈRES 9 13 Groupes, anneaux, corps 173 I Lois de composition interne I.1 Définition I.2 Propriétés fondamentales des lois de composition II Groupes II.1 Définitions II.2 Puissances d un élément II.3 Sous-groupes II.4 Morphismes de groupes II.5 Noyau et image d un morphisme III Anneaux et corps III.1 Définitions III.2 Sommes et produits III.3 Puissances et multiples III.4 Sous-Anneaux III.5 Éléments inversibles d un anneau III.6 Morphismes d anneaux III.7 Identités remarquables IV Exercices Arithmétique 187 I Divisibilité dans Z I.1 Diviseurs, multiples I.2 Division euclidienne II PGCD, PPCM II.1 Somme de deux sous-groupes II.2 PGCD II.3 Théorème de Bézout II.4 Théorème de Gauss II.5 Algorithme d Euclide II.6 Complexité de l algorithme d Euclide II.7 Coefficients de Bézout II.8 Propriétés utiles II.9 PPCM II.10 Résolution d une équation diophantienne simple II.11 PGCD d un nombre fini d entiers III Nombres premiers III.1 Définition III.2 Propriétés III.3 Décomposition en produit de facteurs premiers III.4 Valuation p-adique III.5 Application au pgcd et au ppcm IV Congruences IV.1 Rappels

10 10 TABLE DES MATIÈRES IV.2 Opérations sur les congruences IV.3 Le petit théorème de Fermat V Exercices Polynômes 203 I L algèbre des polynômes I.1 Notion de polynôme I.2 Degré I.3 Produit de polynômes I.4 Écriture définitive I.5 composée II L anneau des polynômes II.1 Multiples, diviseurs, d un polynôme II.2 Division euclidienne III Fonctions polynômes III.1 C est quoi? III.2 Polynômes et fonctions polynômes III.3 Racines d un polynôme III.4 Racines multiples IV Dérivation IV.1 Dérivée d un polynôme IV.2 Formule de Taylor V Factorisation des polynômes V.1 Polynômes irréductibles V.2 Polynômes scindés V.3 Relations coefficients-racines VI Pgcd,Ppcm VI.1 L algorithme d Euclide VI.2 Théorème de Bézout VI.3 Théorème de Gauss VI.4 Propriétés utiles VI.5 Ppcm VI.6 Calculs pratiques VII Interpolation de Lagrange VII.1 Qu est-ce que l interpolation? VII.2 Existence et unicité VIII Exercices Fractions rationnelles 219 I Le corps des fractions rationnelles I.1 Notion de fraction rationnelle I.2 Degré d une fraction rationnelle I.3 Racines, pôles I.4 Fonctions rationnelles

11 TABLE DES MATIÈRES 11 II Éléments simples II.1 C est quoi? II.2 Exemples de base II.3 Partie entière d une F.R II.4 Parties polaires d une fraction II.5 Décomposition en éléments simples sur les complexes II.6 Pôles simples II.7 Pôles multiples II.8 Fractions réelles III Primitives des fractions rationnelles III.1 Primitives d un élément simple de première espèce III.2 Primitives d un élément simple de deuxième espèce d ordre III.3 Primitives d un élément simple de deuxième espèce d ordre au moins 2224 IV Exercices Calcul des primitives 227 I Primitives usuelles II Primitives se ramenant à des primitives de F.R II.1 Fractions en sinus et cosinus II.2 Fractions d exponentielles II.3 Intégrales abéliennes (I) II.4 Intégrales abéliennes (II) III Autres primitives III.1 Primitives de fonctions faisant intervenir un logarithme ou un arc tangente III.2 Exponentielle-polynôme IV Exercices Espaces vectoriels 235 I Généralités I.1 Notion d espace vectoriel I.2 Propriétés immédiates I.3 Exemples I.4 Combinaisons linéaires II Applications linéaires II.1 C est quoi? II.2 Quelques exemples II.3 Endomorphismes du plan II.4 Vocabulaire, notations II.5 Opérations sur les applications linéaires III Sous-espaces vectoriels III.1 C est quoi? III.2 Caractérisation III.3 Exemples

12 12 TABLE DES MATIÈRES III.4 Image directe et réciproque par une application linéaire III.5 Noyau et image d une application linéaire IV Opérations sur les s.e.v IV.1 Intersection IV.2 s.e.v engendré par une partie IV.3 Quelques propriétés V Sous-espaces supplémentaires V.1 Somme de deux s.e.v V.2 Sommes directes - s.e.v supplémentaires V.3 Somme directe de n sous-espaces vectoriels V.4 Projecteurs V.5 Symétries VI Familles remarquables de vecteurs VI.1 Famille libre, famille génératrice, base VI.2 Vocabulaire VI.3 Propriétés faciles VI.4 Familles remarquables et applications linéaires VI.5 Familles libres maximales, génératrices minimales VI.6 bases et sev supplémentaires VII Exercices Dimension finie 253 I Dimension I.1 Espaces de dimension finie I.2 Cardinal des familles libres I.3 Le théorème de la base incomplète I.4 Bilan II Sev d un espace de dimension finie II.1 Dimension d un sev II.2 Sev supplémentaires III Dimensions classiques III.1 Image d un sev par une application linéaire III.2 Espaces isomorphes III.3 Somme de sous-espaces vectoriels III.4 Produit d espaces vectoriels III.5 Dimension des espaces d applications linéaires IV Notion de rang IV.1 Rang d une famille de vecteurs IV.2 Rang d une application linéaire IV.3 Le théorème du rang IV.4 Quelques conséquences IV.5 Calcul pratique d un rang V Dual d un espace vectoriel V.1 Rappels

13 TABLE DES MATIÈRES 13 V.2 Formes coordonnées, base duale V.3 Hyperplans V.4 Noyau d une forme linéaire non nulle V.5 Équations d un hyperplan V.6 Intersections d hyperplans VI Exercices Matrices 269 I Notion de matrice I.1 C est quoi? I.2 Structure d espace vectoriel sur les ensembles de matrices II Vecteurs, applications linéaires et matrices II.1 Matrice d un vecteur, d une famille de vecteurs II.2 Matrice d une application linéaire III Produit matriciel III.1 Analyse du problème III.2 Produit de deux matrices III.3 Associativité du produit matriciel III.4 L algèbre des matrices carrées III.5 Matrices inversibles III.6 Image d un vecteur par une application linéaire III.7 matrices triangulaires III.8 Blocs IV Transposition IV.1 C est quoi? IV.2 Propriétés IV.3 Matrices symétriques, antisymétriques V Changements de base V.1 Matrices de passage V.2 Changement de base pour un vecteur V.3 Changement de bases pour une application linéaire VI Trace VI.1 Trace d une matrice carrée VI.2 Propriétés VI.3 Trace d un endomorphisme VII Rang VII.1 Rang d une matrice VII.2 Matrice canonique d une application linéaire VII.3 Équivalence des matrices VII.4 Rang et transposition VII.5 Rang et matrices extraites VIII Similitude IX Exercices

14 14 TABLE DES MATIÈRES 21 Groupes Symétriques 289 I Compléments sur les groupes finis I.1 Groupes cycliques I.2 Sous-groupes d un groupe cyclique I.3 Ordre d un élément, ordre d un sous-groupe I.4 Le théorème de Lagrange II Notion de permutation II.1 Permutations d un ensemble II.2 Exemples III Orbites III.1 Notion d orbite III.2 Étude des orbites III.3 Cycles, Transpositions IV Signature IV.1 Décomposition en produit de transpositions IV.2 Signature d une permutation IV.3 Groupe alterné V Exercices Déterminants 301 I Applications multilinéaires I.1 Définitions I.2 Structure des ensembles d applications n-linéaires I.3 Formes n-linéaires alternées II Déterminant d une famille de vecteurs II.1 Notations II.2 Calculs II.3 Bilan II.4 Déterminant d une famille de vecteurs II.5 Déterminant d une matrice carrée II.6 exemples II.7 Déterminants, bases, matrices inversibles III Calcul des déterminants III.1 Déterminant d une matrice triangulaire III.2 Déterminant d une matrice triangulaire par blocs III.3 Opérations sur les lignes et les colonnes III.4 Développement suivant une ligne ou une colonne III.5 Un exemple plus compliqué IV Déterminant d un endomorphisme IV.1 Construction IV.2 Calcul pratique IV.3 Interprétation IV.4 Propriétés de morphisme du déterminant IV.5 Orientation d un espace vectoriel réel

15 TABLE DES MATIÈRES 15 V Inversion des matrices V.1 Définitions, Notations V.2 Produit d une matrice et de sa transcomatrice V.3 Application au calcul de l inverse VI Exercices Systèmes linéaires 319 I Sous-espaces affines d un espace vectoriel I.1 Espaces affines - Points et vecteurs I.2 Translations - sous-espaces affines I.3 Parallélisme I.4 Intersection de sous-espaces affines I.5 Barycentres-Parties convexes I.6 hyperplans affines II Introduction aux systèmes linéaires II.1 Position du problème II.2 Interprétations II.3 Structure des solutions - Systèmes homogènes II.4 Structure des solutions - Cas général III Systèmes de Cramer III.1 Définitions III.2 Formules de Cramer IV Opérations sur les lignes et les colonnes des matrices IV.1 Matrices élémentaires IV.2 Multiplication d une colonne par un scalaire IV.3 Échange de colonnes IV.4 Ajout à une colonne d un multiple d une autre colonne IV.5 Application aux systèmes linéaires V Algorithme du Pivot de Gauss V.1 Première étape V.2 Étape générale V.3 Conclusion VI Compléments VI.1 Calcul du déterminant d une matrice carrée VI.2 Inversion d une matrice carrée VI.3 Évaluation de la complexité de la méthode du pivot VII Exercices Espaces préhilbertiens réels 335 I Produits scalaires I.1 Notion de produit scalaire I.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz I.3 Norme euclidienne I.4 Distance euclidienne

16 16 TABLE DES MATIÈRES I.5 Relations utiles II Orthogonalité II.1 Vecteurs orthogonaux II.2 Sous-ensembles orthogonaux II.3 Orthogonal d une partie II.4 Algorithme de Gram-Schmidt II.5 Conséquences II.6 Calculs en bases orthonormées III Projecteurs orthogonaux - Symétries orthogonales III.1 Définitions III.2 Cas particuliers III.3 Distance d un vecteur à un sous-espace vectoriel IV Hyperplans affines d un espace euclidien IV.1 Vecteur normal à un hyperplan IV.2 Distance d un point à un hyperplan affine V Exercices Endomorphismes orthogonaux 347 I Généralités I.1 Notion d endomorphisme orthogonal I.2 Propriétés élémentaires I.3 Endomorphismes orthogonaux et bases orthonormées I.4 Matrices orthogonales I.5 Produit mixte II Le groupe orthogonal du plan II.1 Recherche des matrices orthogonales II.2 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant II.3 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant II.4 Angle orienté de deux vecteurs non nuls II.5 Générateurs du groupe orthogonal III Produit vectoriel III.1 Notion de produit vectoriel III.2 Propriétés essentielles III.3 Calculs en base orthonormée directe III.4 Annexe : double produit vectoriel IV Le groupe orthogonal de l espace IV.1 Sous espaces stables IV.2 Cas 1 : Les invariants forment tout l espace IV.3 Cas 2 : Les invariants forment un plan IV.4 Cas 3 : Les invariants forment une droite IV.5 Cas 4 : Le seul invariant est IV.6 Conclusion IV.7 Générateurs de O(E) et de SO(E) IV.8 Compléments sur les rotations

17 TABLE DES MATIÈRES 17 V Exercices Intégration 363 I Intégration des fonctions en escalier I.1 Subdivisions d un segment I.2 Notion de fonction en escalier I.3 Intégrale d une fonction en escalier I.4 Propriétés II Continuité uniforme II.1 Définitions III Construction de l intégrale III.1 Fonctions continues par morceaux III.2 Intégrale d une fonction continue par morceaux IV Propriétés de l intégrale IV.1 Linéarité IV.2 Croissance IV.3 Formule de Chasles IV.4 Nullité de l intégrale IV.5 Inégalité de Schwarz V Approximations de l intégrale V.1 Sommes de Riemann - Méthode des rectangles V.2 Méthode des trapèzes VI Primitives VI.1 Notion de primitive VI.2 Existence et unicité des primitives VI.3 Application VI.4 Intégration par parties VI.5 Changement de variable VII Formules de Taylor VII.1 Introduction VII.2 Formule de Taylor avec reste intégral VII.3 Inégalité de Taylor-Lagrange VIII Fonctions à valeurs complexes IX Exercices Étude des Fonctions 381 I Ensemble de définition II Réduction de l ensemble d étude III Régularité de la fonction IV Variations V Points remarquables réels V.1 Point réel où la fonction n est pas définie V.2 Points où la fonction est définie VI Étude à l infini

18 18 TABLE DES MATIÈRES VI.1 Limite à l infini VI.2 Direction asymptotique VI.3 Asymptote, branche parabolique VI.4 Position courbe/asymptote VII Concavité VIII Tracé IX Exercices Séries 387 I Généralités I.1 Notion de série I.2 linéarité de la somme I.3 Restes I.4 Condition nécessaire de convergence I.5 Lien entre suites et séries II Séries à termes positifs II.1 Une CNS très évidente de convergence II.2 Une CS évidente de convergence II.3 Une CS un peu moins évidente de convergence III Comparaison entre séries et intégrales III.1 Séries vs intégrales III.2 Un exemple complet : la série harmonique IV Convergence absolue IV.1 Séries absolument convergentes IV.2 Convergence absolue et convergence V Appendice - Représentations p-adiques des réels V.1 Représentation en base p des entiers naturels V.2 Représentations d un réel en base p V.3 Unicité du développement VI Exercices Dénombrements 401 I Notion d ensemble fini I.1 Cardinal I.2 Propriétés I.3 Dénombrements et ensembles finis II Opérations sur les ensembles finis II.1 Union disjointe II.2 Différence, union II.3 Produit cartésien III Applications entre ensembles finis III.1 Dénombrements d applications III.2 Dénombrements d injections, de bijections IV Parties d un ensemble fini

19 TABLE DES MATIÈRES 19 IV.1 Nombre total de parties IV.2 Nombre de parties de cardinal donné V Exercices Probabilités 411 I Expérience aléatoire et univers I.1 Notion d univers I.2 Notion d événement I.3 Systèmes complets d événements II Espaces probabilisés finis II.1 Notion de probabilité II.2 Un exemple II.3 Propriétés des probabilités II.4 Tirages avec remise dans une urne : la loi binomiale II.5 Tirages sans remise dans une urne : la loi hypergéométrique III Probabilités conditionnelles III.1 C est quoi? III.2 Probabilités composées, probabilités totales III.3 Formule de Bayes III.4 Événements indépendants IV Exercices Variables aléatoires 427 I Notion de variable aléatoire I.1 C est quoi? I.2 Loi d une variable aléatoire I.3 Image d une variable aléatoire par une fonction II Lois usuelles II.1 Loi uniforme II.2 Loi de Bernoulli II.3 Loi binomiale II.4 Un exemple : tirages avec remise III Couples de variables aléatoires III.1 Loi conjointe, lois marginales III.2 Un exemple III.3 Loi conditionnelle III.4 Généralisation à n variables aléatoires IV Variables aléatoires indépendantes IV.1 C est quoi? IV.2 Généralisation IV.3 Fonctions de variables aléatoires indépendantes IV.4 Retour à la loi binomiale V Espérance V.1 Notion d espérance

20 20 TABLE DES MATIÈRES V.2 Espérance des variables aléatoires usuelles V.3 Propriétés élémentaires V.4 Linéarité de l espérance V.5 Formule de transfert V.6 Inégalité de Markov V.7 Espérance d un produit de variables aléatoires indépendantes VI Variance, écart-type, covariance VI.1 Variance, écart-type VI.2 Variance des variables aléatoires usuelles VI.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev VI.4 Covariance VI.5 Quelques propriétés de la covariance VI.6 Variance d une somme de variables aléatoires VII Exercices Index 449

21 Chapitre 1 Un peu de logique 21

22 22 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE I Propositions I.1 Le langage des mathématiques Faire des mathématiques, c est écrire des propositions vraies. Mais qu est ce qu une proposition? Et qu est ce que la vérité? Ceci n est pas un cours de logique, et nous nous contenterons de quelques idées très vagues sur la question. Une proposition est une assemblage de symboles, formé à partir de règles strictes. Par exemple, «1 + 1 = 2» est une proposition. Un autre exemple de proposition est «tous les nombres entiers sont pairs», ou encore «tout corps fini est commutatif». Où sont les symboles dans ces propositions? Eh bien ils sont cachés dans les mots que le mathématicien a définis. Par exemple, «n est pair» veut dire «p N, n = 2 p». Et les symboles N et sont eux mêmes des résumés pour des assemblages d autres symboles encore plus primitifs. En réalité, le seul symbole primitif de la théorie dans laquelle nous faisons des mathématiques (la théorie des ensembles) est le symbole d appartenance. Étant donnée une proposition, celle-ci est vraie ou fausse, mais jamais les deux à la fois (nous ne chercherons pas à définir les mots VRAI et FAUX). La véracité ou la fausseté d une proposition est ce que l on appelle parfois sa valeur de vérité. L activité principale d un mathématicien consiste à écrire, en utilisant un certain nombre de règles, des propositions vraies. Nous conviendrons que, dorénavant, toutes les propositions que nous écrivons sont vraies. Ceci ressemble à une évidence, mais elle ne l est pas complètement. En effet, nous pourrons dorénavant écrire = 2, au lieu de «la proposition «1 + 1 = 2»est vraie». Le terme générique «proposition» convient pour toutes les phrases mathématiques vraies. On utilise parfois d autres mots, pour insister sur l objectif de la proposition. Citons entre-autres : Théorème : une proposition d une grande importance, parfois l aboutissement d années de recherches. Lemme : une proposition de moindre importance, souvent nécessaire à la démonstration d un théorème. Cela ne signifie pas forcément qu un lemme est simple à démontrer, ni qu un lemme n est pas important. Tout est relatif. Corollaire : une proposition qui est une conséquence (souvent) immédiate d une proposition qui vient juste d être établie. Axiome : une proposition arbitrairement décidée comme vraie dans la théorie mathématique dans laquelle on se place. Seuls les grands mathématiciens ont le droit de changer les axiomes des mathématiques. I.2 Équivalence de deux propositions Deux propositions peuvent avoir l air très différentes, et être pourtant simultanément vraies ou simultanément fausses. C est ce qui fait toute la difficulté des mathématiques! Définition 1.1 : On dit que deux propositions P et Q sont équivalentes, et on note P Q, lorsque P et Q sont simultanément vraies ou simultanément fausses.

23 II. CONNECTEURS LOGIQUES 23 Remarque 1.1 : Comment montrer une équivalence? Nous verrons que pour des propositions très simples, ce que l on appelle une table de vérité suffit. Mais bien entendu, cela ne va pas durer. Une démonstration d équivalence peut être très difficile. Nous allons en gros passer le reste de l année à démontrer des équivalences. Remarque 1.2 : Étant données deux propositions P et Q, P Q est en fait une nouvelle proposition, soit vraie, soit fausse. Le symbole fait partie de la famille des connecteurs, dont nous allons maintenant étudier quelques exemples. II Connecteurs logiques Le discours mathématique a tendance à relier, à connecter des propositions entre-elles, ceci afin de fabriquer de nouvelles propositions. La question est de savoir quand ces nouvelles propositions sont vraies. II.1 Le connecteur «ET» Définition 1.2 : Étant données deux propositions P et Q, le connecteur (ET) permet de fabriquer la nouvelle proposition P Q. Cette nouvelle proposition est vraie exactement lorsque les deux propositions P et Q sont vraies. Remarque 1.3 : Voici la table de vérité du «ET» FAUX et VRAI sont représentés par 0 et 1. Par exemple, à l intersection de la ligne étiquetée par 0 et de la colonne étiquetée par 1, on trouve 0, ce qui veut dire que P Q est FAUX lorsque P est FAUX et Q est VRAI. Proposition 1.1 : Soient P, Q, R des propositions. On a P P P (idempotence) P Q Q P (commutativité) (P Q) R P (Q R) (associativité) Démonstration : Ceci se prouve en faisant des tables de vérité. Montrons par exemple

24 24 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE l associativité. P Q R P Q Q R (P Q) R P (Q R) On constate que les deux dernières colonnes de ce tableau sont identiques, ce qui veut dire que les propositions correspondantes sont équivalentes. Remarque 1.4 : En tant que mathématicien, le reste de votre vie va être consacré à démontrer des propositions. La rédaction d une démonstration est un acte parfaitement codifié. Pour chaque type de proposition, il existe un ou plusieurs types de démonstrations. Il s agit pour vous de parfaitement connaître la façon dont on démontre chaque type de proposition, puisque votre vie d étudiant en mathématiques consistera à être noté sur vos démonstrations. Comment montrer un «ET»? Eh bien, on montre d abord l une des deux propositions, PUIS on montre l autre. Histoire d être bien clair, pour montrer un «ET», il faut faire deux démonstrations distinctes. II.2 Le connecteur «OU» Définition 1.3 : Étant données deux propositions P et Q, le connecteur (OU) permet de fabriquer la nouvelle proposition P Q. Cette nouvelle proposition est vraie exactement lorsque l une au moins des deux propositions P et Q est vraie. Remarque 1.5 : Voici la table de vérité du «OU» Remarque 1.6 : Comment montrer un «OU»? Ce n est pas si évident que cela. Il va falloir attendre de connaître l implication. Voici quelques propriétés du connecteur «OU» : Proposition 1.2 : Soient P, Q, R des propositions. On a P P P P Q Q P

25 II. CONNECTEURS LOGIQUES 25 (P Q) R P (Q R) Démonstration : Ceci se prouve en faisant des tables de vérité. Proposition 1.3 : Soient P, Q, R des propositions. On a P (Q R) (P Q) (P R) (distributivité du OU par rapport au ET) P (Q R) (P Q) (P R) (distributivité du ET par rapport au OU) II.3 Le connecteur «NON» Définition 1.4 : Étant donnée une proposition P, le connecteur (NON) permet de fabriquer la nouvelle proposition P. Cette nouvelle proposition est vraie exactement lorsque la proposition P est fausse. Remarque 1.7 : Voici la table de vérité du «NON». P P Proposition 1.4 : Soient P, Q des propositions. On a P P (P P ) (non contradiction) P P (tiers exclu) (P Q) ( P ) ( Q) (P Q) ( P ) ( Q) (lois de Morgan) II.4 Le connecteur «IMPLIQUE» Définition 1.5 : Étant données deux propositions P et Q, on crée une nouvelle proposition P Q. Cette proposition est fausse exactement dans le cas où P est vraie et Q est fausse. Remarque 1.8 : Voici la table de vérité de «IMPLIQUE» Proposition 1.5 : Soient P, Q, R des propositions. On a ((P Q) (Q R)) (P R) (transitivité de l implication) (P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) (P Q) (P Q)

26 26 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE Exemple : L exemple qui suit est destiné à nous faire comprendre la nature du connecteur implique. Donnons nous un entier naturel n. Je vais partir du principe que tout le monde sera d accord lorsque j affirme que si n est multiple de 4, alors n est pair. Prenons quelques valeurs de n pour voir.... Commençons par n = 8. Alors n est multiple de 4 et n est également pair. Donc, si l on veut que la table de vérité du connecteur IMPLIQUE ne dépende que des valeurs de vérité des propositions, et pas de la nature de ces propositions, on doit avoir que VRAI implique VRAI. Maintenant, attention! Prenons n = 2. Alors, n n est pas multiple de 4, et pourtant il est pair. Donc, FAUX implique VRAI. Pour finir, prenons n = 3. Cette fois ci, FAUX implique FAUX. Un seul cas n a pas été envisagé : a-t-on aussi VRAI implique FAUX? Si c était le cas, toutes les implications seraient vraies. Donc, si l on veut que le connecteur IMPLIQUE ne soit pas un connecteur trivial, on doit poser que VRAI implique FAUX est FAUX. Remarque 1.9 : Comment montrer que P Q? La proposition P est soit vraie soit fausse. Si P est fausse, alors P Q sera vraie, ceci quelle que soit Q. On n a donc pas à s occuper de ce cas, et on peut donc supposer que P est vraie. Puis, il s agit de vérifier que Q est vraie. Pour résumer : Pour montrer P Q : On suppose P. On montre Q. S il y a une seule chose à retenir dans ce chapitre, c est celle-ci. Nous en ferons un usage quotidien. Remarque 1.10 : On a vu qu il existe un lien entre «OU» et «IMPLIQUE». Ainsi : Pour montrer P Q, on suppose que P est fausse, et on montre que Q est vraie. Proposition 1.6 : Soient P et Q deux propositions. On a P Q Q P Il s agit du principe de contraposition. Pour montrer une implication, on suppose que le membre de droite est faux, et on montre que celui de gauche l est aussi. Proposition 1.7 : Soit P une proposition. Soit F une proposition fausse. On a ( P F ) P Il s agit du principe de démonstration par l absurde. Pour montrer que P est vraie, on suppose que P est fausse et on arrive à une contradiction. Il ne faut pas abuser de ce genre de démonstrations, car elles sont souvent difficiles à lire (pour ne pas dire incompréhensibles), et paraissent artificielles. Moralité, on ne fait une démonstration par l absurde que si on ne voit pas comment faire autrement. Et une fois qu on a fait la démo par l absurde, on cherche à faire autrement. II.5 Équivalence logique Nous revenons ici à l étude du connecteur d équivalence. Rappelons la Définition 1.6 : Étant données deux propositions P et Q, on crée une nouvelle proposition P Q. Cette proposition est vraie exactement dans le cas où P et Q ont la même valeur de vérité.

27 III. QUANTIFICATEURS 27 Remarque 1.11 : Voici la table de vérité de «EQUIVAUT» Proposition 1.8 : (P Q) ((P Q) (Q P )) (P Q) (Q R) (P R) (transitivité de l équivalence) Remarque 1.12 : Nous savons donc comment montrer que deux propositions sont équivalentes : on montre deux implications. III Quantificateurs III.1 Quantificateurs universel et existentiel Soit P (x) une proposition «dépendant» d une variable x (on dit aussi un prédicat), cette variable appartenant à un certain ensemble E. Définition 1.7 : Le symbole est appelé quantificateur universel. Il permet de former la proposition x E, P (x). Cette proposition est vraie si et seulement si la proposition P (x) est vraie pour tous les éléments x de l ensemble E. Définition 1.8 : Le symbole est appelé quantificateur existentiel. Il permet de former la proposition x E, P (x). Cette proposition est vraie si et seulement si la proposition P (x) est vraie pour au moins un élément x de l ensemble E. Remarque 1.13 : Lorsque la proposition P (x) est vraie pour exactement un élément x de l ensemble E, on note! x E, P (x) III.2 Négation d une phrase quantifiée Proposition 1.9 : Soit P (x) un prédicat, la variable x appartenant à un ensemble E. On a ( x E, P (x)) ( x E, P (x)) ( x E, P (x)) ( x E, P (x)) Démonstration : Supposons ( x E, P (x)). Soit x E. D après l hypothèse, on n a pas P (x). Donc on a P (x). Inversement, supposons x E, P (x). Tous les x E vérifient P (x), ce qui veut dire qu aucun x E ne vérifie P (x). Exercice : équivalence. Prouver la deuxième équivalence en prenant la négation de la première

28 28 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE III.3 Échange de quantificateurs Il arrivera fréquemment que l on ait à écrire des propositions comportant une succession de quantificateurs. Soit P (x, y) une proposition dépendant de deux variables x E et y F. Considérons les propositions A = x E, y F, P (x, y) et B = y F, x E, P (x, y). Ces deux propositions sont équivalentes, et sont aussi équivalentes à C = (x, y) E F, P (x, y). (voir plus loin pour le produit cartésien). Lorsque E = F, on commet l abus d écrire x, y E, P (x, y). Il en va de même si l on met des quantificateurs existentiels à la place des quantificateurs universels. Considérons maintenant les deux propositions A = x E, y F, P (x, y) B = y F, x E, P (x, y) Proposition 1.10 : On a B A. La réciproque est fausse en général. Démonstration : Supposons B. Il existe donc un élément y 0 de F tel que que x E, P (x, y 0 ). Soit maintenant x E. On a P (x, y 0 ) donc y F, P (x, y) (prendre y = y 0 ). On a montré A. Pour voir que la réciproqiue est fausse, prenons E = F = N et P (x, y) = «y = x + 1». On a bien A (tout entier naturel possède un successeur), mais B est fausse (aucun entier n est le successeur de TOUS les entiers).

29 IV. EXERCICES 29 IV Exercices 1. Les expressions logiques ci-dessous sont-elles toujours vraies? Toujours fausses? Parfois vraies et parfois fausses? (a) A (B C) (A B) C (b) ((A B) C) (A (B C)) (c) (A (B A)) A (d) (A (A B)) ((B A) B) (e) A B B (B A) (f) ((A C) (B C)) (A B) (g) ((A B) (B C)) (A C) 2. Quelle signification pourrait-on donner donner à l écriture sans parenthèses «A B C»? 3. Les assertions sans «prime» ci-dessous sont-elles équivalentes aux assertions «prime» correspondantes? En cas de réponse négative, l une implique-t elle l autre? (a) P = A (B C) et P = (A B) (A C) (b) Q = A (B C) et Q = (A B) (A C) (c) R = (B C) A et R = (B A) (C A) (d) S = (B C) A et S = (B A) (C A) 4. Même question avec (a) P = x(p (x) Q(x)) et P = ( xp (x)) ( x, Q(x)) (b) P = x(p (x) Q(x)) et P = ( x, P (x)) ( x, Q(x)) 5. Reprendre l exercice précédent en remplaçant par. 6. f est une application de R dans R. Écrire la négation de la proposition suivante : Que signifie cette proposition? x R, x R, f(x) = f(x ) x = x 7. Soit A une partie de R. Écrire la négation des propositions suivantes : (a) M R, x A, x M. (b) x A, M R, x M. (c) x A, M R, x M. (d) M R, x A, x M. Que signifient ces propositions?

30 30 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE 8. Soit f : R R une application vérifiant a R, α > 0, ε > 0, x R, x a α f(x) f(a) ε Écrire la négation de la propriété ci-dessus. Que dire d une fonction f vérifiant cette propriété? 9. Soit P la proposition «Tout entier naturel peut s écrire comme la somme des carrés de deux entiers naturels». (a) Écrire P en langage symbolique (quantificateurs, variables, connecteurs). (b) Écrire la négation de P, toujours en langage symbolique. (c) P est-elle vraie ou fausse? 10. Soit f : R R une application. Que signifient les propositions ci-dessous? (a) a R, b R, f(b) = a. (b) b R, a R, f(b) = a. (c) b R, a R, f(b) = a. (d) a R, b R, f(b) = a. Dans chacun des cas, donner également un exemple d une fonction f vérifiant la proposition.

31 Chapitre 2 Ensembles 31

32 32 CHAPITRE 2. ENSEMBLES I Notion d ensemble I.1 Ensembles, éléments Un ensemble est, naïvement, une collection d objets unis par une propriété commune. Un objet appartient à l ensemble lorsqu il possède cette propriété. Nous considérons la notion d ensemble comme une notion «première», que nous ne chercherons pas à définir. Étant donnés un ensemble E et un objet x, on écrira x E lorsque x est élément de E (ou appartient à E), et x E dans le cas contraire. On peut décrire un ensemble de plusieurs façons, les plus courantes étant les suivantes : En listant ses éléments : A = {1, 2, 3} ou B = {0, 2, 4,...}. En donnant une propriété caractérisant ses éléments : B est l ensemble des nombres pairs, ce que l on peut écrire B = {n N, p N, n = 2p}. En regardant ses éléments comme les images des éléments d un autre ensemble par une fonction : B = {F (x), x N} où F (x) = 2x. Nous reviendrons sur ces descriptions dans la suite du chapitre. I.2 Les difficultés du concept d ensemble Le concept naïf d ensemble mène assez facilement à des contradictions. Ces contradictions, mises en évidence vers la fin du XIXe siècle, ont conduit les mathématiciens à concevoir la Théorie des ensembles. Donnons un exemple de telle contradiction : Étant donné un ensemble X, la question de se demander si X X a un sens. Par exemple, si X = {1, 2, 3}, alors X X. En effet, X a trois éléments qui sont 1, 2 et 3. Et aucun de ces éléments n est égal à {1, 2, 3}! En fait, il est extrêmement difficile de trouver un ensemble qui appartienne à lui-même (bon, j avoue : l un des axiomes de la théorie des ensembles classique dit que c est impossible). Considérons l ensemble de tous les ensembles qui n appartiennent pas à eux-mêmes : On a donc, pour tout ensemble X : E = {X, X X} X E X X Posons-nous la question suivante : E appartient-il à E? Remplaçant X par E dans la propriété ci-dessus, on trouve E E E E, ce qui est clairement contradictoire. Conclusion : E n est pas un ensemble. Il est bon de savoir qu un tel souci ne peut arriver à condition de prendre des précautions : Axiome I.1 Soit E un ensemble. Soit P une propriété. Il existe alors un ensemble A tel que, pour tout objet x, x A x E et P(x). Cet ensemble A est noté A = {x E, P(x)}. Exercice : Prouver que l ensemble de tous les ensembles n existe pas.

33 I. NOTION D ENSEMBLE 33 I.3 Égalité d ensembles Axiome I.2 Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments. Remarque 2.1 : Ainsi, soient A et B deux ensembles. Pour montrer que A = B, on prouve les deux propriétés : x A, x B. x B, x A. I.4 Inclusion Définition 2.1 : Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B, et on note A B, lorsque x A, x B Proposition 2.1 : On a, pour tous ensembles A, B et C : A A (réflexivité) A B et B A A = B (antisymétrie) A B et B C A C (transitivité) Remarque 2.2 : On dit que la relation d inclusion est une relation d ordre. Nous reviendrons sur la notion de relation d ordre dans un chapitre ultérieur. Démonstration : La réflexivité est évidente. L antisymétrie résulte de l axiome sur l égalité de deux ensembles. Supposons maintenant A B et B C. Soit x A. On a x B puisque A B. Donc x C puisque B C. Ainsi, A C. I.5 Ensemble vide Axiome I.3 Il existe un ensemble qui n a pas d élément. On l appelle l ensemble vide, et on le note ou parfois {}. Remarque 2.3 : (Réservé aux spécialistes). Il existe un unique ensemble vide. Soient en effet 1 et 2 deux ensembles vides. Alors, pour tout x 1, on a x 2. Donc, 1 2. De même, 2 1. D où 1 = 2. I.6 Parties d un ensemble Axiome I.4 Soit E un ensemble. Il existe un ensemble, noté P(E), tel que pour tout objet X, X P(E) X E L ensemble P(E) est l ensemble des parties de E. Exemple :

34 34 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Soit E = {1, 2}. Alors, P(E) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. Soit E = {a, b, c}. Alors, P(E) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Exemple : P( ) = { }. Attention, cet ensemble possède un élément (cet élément étant d ailleurs égal à l ensemble vide). P(P( )) = {, { }}. P(P(P( ))) = {, { }, {{ }}, {, { }}}. Exercice : Calculer P(P(P(P( )))). II Opérations sur les ensembles II.1 Réunion Définition 2.2 : Soient A et B deux ensembles. On appelle réunion de A et B l ensemble A B = {x, x A ou x B} Remarque 2.4 : bien un ensemble. L un des axiomes de la théorie des ensembles affirme que A B est Définition 2.3 : Plus, généralement, étant donnée une famille d ensembles (A i ) i I) (c est à dire des ensembles A i indexés par un indice i variant lui-même dans un ensemble I), on appelle réunion des A i l ensemble i I A i = {x, i I, x A i } Exemple : On a n 1 [0, 1 1/n] = [0, 1[. Soit x un élément de la réunion. Il existe n 1 tel que 0 x 1 1 n < 1. Donc x [0, 1[. Inversement, soit x [0, 1[. Soit n un entier non nul vérifiant n 1 1 x. Alors, x 1 1 n et donc x [0, 1 1 n ]. Le réel x est donc un élément de la réunion. Proposition 2.2 : On a les propriétés suivantes (toutes les lettres représentent des ensembles) : 1. A B = B A (commutativité) 2. (A B) C = A (B C) (associativité) 3. A = A ( est élément neutre pour la réunion) 4. A A = A (idempotence) 5. A B = A B A. 6. A B et C D A C B D. Démonstration : Montrons la commutativité. Soit x un objet. On a x A B si et seulement si x A OU x B. Mais OU est commutatif. Ceci équivaut donc à x B OU x A, c est à dire à x B A. Les autres propriétés sont laissées en exercice.

35 II. OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 35 II.2 Intersection Définition 2.4 : l ensemble Soient A et B deux ensembles. On appelle intersection de A et B A B = {x, x A et x B} Remarque 2.5 : Pas besoin d axiome pour affirmer que A B est un ensemble, puisque A B = {x A, x B}. Définition 2.5 : Plus, généralement, étant donnée une famille d ensembles (A i ) i I), on appelle réunion des A i l ensemble i I A i = {x, i I, x A i } Exercice : On a n 1 [0, 1 + 1/n[= [0, 1]. Proposition 2.3 : On a les propriétés suivantes (toutes les lettres représentent des ensembles) : A B = B A. (A B) C = A (B C). A =. A A = A. A B = A A B. A B et C D A C B D. Démonstration : Exercice. Proposition 2.4 : On a les propriétés suivantes : A (B C) = (A B) (A C) (distributivité de par rapport à ) A (B C) = (A B) (A C) (distributivité de par rapport à ) Démonstration : Soit x un objet. On a x A (B C) si et seulement si (x A) ((x B) (x C)). On termine en utilisant la distributivité de par rapport à. II.3 Différence, Complémentaire Définition 2.6 : l ensemble Soient A et B deux ensembles. On appelle différence de A et B A \ B = {x A, x B} Lorsque B A, on dit aussi complémentaire de B (dans A), et on note aussi C A B ou encore B. Proposition 2.5 : On a les propriétés (lois de Morgan) : A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).

36 36 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Démonstration : Soit x un objet. On a x A \ (B C) si et seulement si (x A) (x B x C). On termine en utilisant les lois de Morgan du chapitre de logique. II.4 Couples, produit cartésien La notion de couple est capitale : de façon, vague, un couple (a, b) est composé de deux objets a et b. Ce qui est important, c est que deux couples (a, b) et (c, d) sont égaux si et seulement si a = c et b = d. Il y a plusieurs façons de définir le concept de couple. Peu importe comment on définit les couples, ce qui importe c est à quelle condition deux couples sont égaux. Nous allons ci-dessous donner une construction possible. Puis nous l oublierons. Définition 2.7 : Soient a et b deux objets. On appelle couple de première composante a et de seconde composante b l ensemble Proposition 2.6 : b = d. (a, b) = {{a}, {a, b}} Deux couples (a, b) et (c, d) sont égaux si et seulement si a = c et Démonstration : Dans un sens, c est évident. Supposons maintenant que (a, b) = (c, d). Commençons par le cas où c d : alors, vu que {a} {c, d} on a donc forcément {a} = {c}, et donc a = c. Maintenant, {c, d} = {a, b}. Et comme d a = c, on a forcément d = b. Considérons maintenant le cas où c = d : on a donc (c, d) = {{c}}. D où {a, b} = {c}, donc a = b = c = d. Remarque 2.6 : Il faut maintenant s empresser d oublier la définition des couples pour ne retenir que leur propriété caractéristique! Définition 2.8 : B l ensemble Soient A et B deux ensembles. On appelle produit cartésien de A et A B = {(a, b), a A, b B} II.5 Notion de famille Cette section fait appel de façon informelle au concept d application. Soit E un ensemble. Le paragraphe précédent nous permet de parler d un couple dd éléments de E. On peut définir de la même façon la notion de triplet, quadruplet,... mais il y a une autre possibilité. Étant donné un entier naturel n 1, on peut définir un n-uplet d éléments de E comme une application φ : {1, 2,..., n} E. L application φ est alors notée φ = (x 1, x 2,..., x n ) où x i = φ(i). De là à généraliser la généralisation, il n y a qu un pas (franchissons-le) : Définition 2.9 : Soient E et I deux ensembles. On appelle famille d éléments de E indexée par i toute application φ : I E.

37 II. OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 37 Notation : Une telle famille est alors notée φ = (x i ) i I. L objet x i = φ(i) est le ième élément de la famille. On fait comme pour les couples : on oublie la définition de famille aussitôt énoncé la proposition qui suit : Proposition 2.7 : Deux familles (x i ) i I et (y i ) i I d éléments d un ensemble E sont égales si et seulement si i I, x i = y i Démonstration : Deux applications sont égales si et seulement si elles ont même ensemble de départ, même ensemble d arrivée, et même image en tout point de l ensemble de départ.

38 38 CHAPITRE 2. ENSEMBLES III Exercices 1. Soient A, B, C trois parties d un ensemble E. Démontrer que A B = A C si et seulement si A B = A C, où X désigne pour toute partie X de E le complémentaire de X dans E. 2. Soient A, B, C trois parties d un même ensemble E. Montrer (a) A \ B = B \ A. (b) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (c) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) 3. On pose 0 =, et on définit, pourt tout entier naturel n, n + 1 = n {n}. Que vaut 4? 4. Soient A et B deux ensembles. Comparer (inclusion, égalité éventuelle) les ensembles : (a) P(A B) et P(A) P(B) (b) P(A B) et P(A) P(B) 5. Soient A, B, C trois ensembles. Montrer : { A B A C A B A C B C 6. Soit E un ensemble, et A et B deux parties de E. Pour X E, on pose f(x) = (A X) (B X) où X = E \ X. Trouver tous les X E tels que f(x) =. 7. Trouver tous les ensembles A et B tels que A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A {5, 6, 7} =, B {1, 2} = et A B = {3, 4}. 8. Déterminer n 1 ]1 1 n, n ]. 9. Soient A = {(x, y) R 2, a R, x = a(a + 1) et y = a 2 + (a + 1) 2 } et B = {(x, y) R 2, y = 2x + 1}. A-t-on A = B? 10. Soient A = {(x, y) R 2, (a, b) R 2, x = ab et y = a 2 + b 2 } et B = {(x, y) R 2, y 2x 0 et y + 2x 0}. A-t-on A = B? 11. Soient A = {(x, y) R 2, (x + 1) 2 + y 2 = x 2 + y 2 + 1} et B = R {0}. A-t-on A = B?

39 Chapitre 3 Récurrence 39

40 40 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE I L ensemble des entiers naturels On admet les principales propriétés des entiers naturels : l ensemble N = {0, 1, 2,...} est un ensemble infini, muni d une addition et d une multiplication possédant les propriétés bien connues de tous. Cet ensemble est muni de deux relations d ordre : L ordre naturel : a b lorsqu il existe un entier naturel c tel que b = a + c. Cet ordre est total. On note alors b a l unique entier c ainsi défini. La divisibilité : a divise b (on note a b) lorsqu il existe un entier naturel c tel que b = ac. Cet ordre est partiel. Si a 0, l entier c ainsi défini est unique, et on le note c = b a. II Raisonnement par récurrence II.1 Le théorème de démonstration par récurrence Axiome II.1 Toute partie non vide de N possède un plus petit élément. Proposition 3.1 : élément. Toute partie non vide ET majorée de N possède un plus grand Démonstration : Soit A une partie de N non vide et majorée. Considérons l ensemble B des majorants de A. L ensemble B est une partie non vide de N, et possède donc un plus petit élément M. Montrons que M est le plus grand élément de A. Tout d abord, le cas où M = 0 : dans ce cas, A = {0} et possède donc un plus grand élément. Supposons maintenant M 1. M 1 ne majore pas A, puisque M est le plus petit majorant de A. Donc, il existe a A tel que M 1 < a M. D où a = M et donc M A. Proposition 3.2 : Soit A une partie de N. On suppose : 0 A. n N, n A n + 1 A. Alors, A = N. Démonstration : Supposons que A N, et considérons B = N \ A. L ensemble B est une partie non vide de N, et admet donc un plus petit élément n 0. On a n 0 0, puisque n 0 A. Considérons alors m = n 0 1. Cet entier n est pas dans B. Donc il est dans A, donc n 0 = m + 1 A. Contradiction. Proposition 3.3 : Soit P(n) une propriété dépendant de l entier n. On suppose P (0) n N, P (n) P (n + 1) Alors n N, P (n). Démonstration : On considère A = {n N, P (n)} et on applique la proposition précédente.

41 II. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE 41 Remarque 3.1 : On peut bien sûr «commencer la récurrence»à un rang différent de 0. Il faut alors adapter la conclusion du théorème. II.2 Exemples fondamentaux Proposition 3.4 : Soit n N. On a n k=0 k = n(n+1) 2 et n k=0 k2 = n(n+1)(2n+1) 6 Démonstration : Par récurrence sur n. Exercice : Montrer que pour tout entier n 2, 10 divise 2 2n 6. Montrer qu il existe 4 réels a, b, c, d tels que, pour tout entier naturel n, n k=0 k3 = an 4 + bn 3 + cn 2 + d n. Proposition 3.5 : Soit n N. Soit x C. Si x = 1, n k=0 xk = n + 1. Si x 1, n k=0 xk = xn+1 1 x 1. Démonstration : Par récurrence sur n. Proposition 3.6 : Soient a, b C. Soit n N. On a a n+1 b n+1 = (a b) n k=0 ak b n k. Remarque 3.2 : Lorsque b = 1 on retrouve la proposition précédente. Plusieurs démonstrations sont possibles, la plus directe étant de développer le membre de droite : S = (a b) n k=0 ak b n k = n k=0 ak+1 b n k n k=0 ak b n+1 k. Explicitons : S = a 1 b n + a 2 b n a n b 1 + a n+1 b 0 a 0 b n+1 a 1 b n a 2 b n 1... a n b 1. On voit que tous les termes s éliminent deux à deux, sauf a n+1 et b n+1. II.3 La formule du binôme Définition 3.1 : Soit n N. On appelle factorielle de n l entier n! = n k=1 k. On convient également de poser 0! = 1. Définition 3.2 : Soient n, k N. Lorsque k n, on pose ( ) n k = n! k!(n k)!. On convient également de poser ( ( n k) = 0 lorsque k > n.les nombres n k) sont appelés coefficients binomiaux. Les coefficients binomiaux possèdent un très grand nombre de propriétés remarquables. Nous en reparlerons en fin d année. Pour l instant, nous nous limitons à un petit nombre de formules importantes. Proposition 3.7 : On a n N, ( ( n 0) = n n) = 1 n, k N, k n, ( ) ( n k = n n k). n, k N, ( ) ( n k + n ) ( k+1 = n+1 k+1).

42 42 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE Démonstration : Il suffit d appliquer la définition des coefficients binomiaux. Pour le troisième point, il convient de distinguer les deux cas k < n et k = n. Remarque 3.3 : La dernière formule est ce que l on appelle une formule de récurrence. Elle permet de calculer les coefficients binomiaux pour n + 1 lorsqu on les connaît pour n. Ceci peut être résumé dans un tableau appelé le triangle de Pascal, qui contient à la ligne n et à la colonne k le coefficient ( n k) Voici maintenant l une des formules les plus importantes de l année. Il s agit de la formule du binôme. Proposition 3.8 : Soient a, b C. Soit n N. On a (a + b) n = n k=0 ( n k) a k b n k. Démonstration : On fait une récurrence sur n. Pour n = 0, c est évident. Supposons que la formule soit vraie pour un certain entier n. On a alors X = (a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n = (a + b) n ( n ) k=0 k a k b n k = n ( n ) k=0 k a k+1 b n k + n ( n k=0 k) a k b n k+1. On pose dans la première somme k = k + 1. Il vient X = n+1 ( n ) k=1 k 1 a k b n+1 k + n ( n k=0 k) a k b n+1 k = a n+1 + b n+1 + ( n ( n ( k=1 k 1) + n k) ) a k b n+1 k. Il ne reste qu à appliquer la formule sur les coefficients binomiaux vue un peu plus haut. Exercice : Soit n N. Appliquer judicieusement la formule du binôme pour montrer que n ( n ) k=0 k = 2 n. Que vaut n k=0 ( 1)k( n k)? III Extensions du principe de récurrence III.1 Récurrence forte Proposition 3.9 : Soit P(n) une propriété dépendant de l entier n. On suppose P (0) n N, [ k n, P (k)] P (n + 1) Alors n N, P (n). Démonstration : On pose Q(n) = k n, P (k) et on montre par récurrence simple sur n que Q(n) est vraie pour tous les entiers naturels n. P (n) est donc a fortiori vraie.

43 IV. SUITES DÉFINIES PAR RÉCURRENCE 43 Exemple : Montrons que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède un diviseur premier. C est vrai pour n = 2. Soit maintenant n 2 et supposons que tous les entiers entre 2 et n ont un diviseur premier. Si n+1 est premier, il a clairement un diviseur premier : lui-même. Sinon, n + 1 = ab où a et b sont deux entiers entre 2 et n. Par l hypothèse de récurrence, a possède un diviseur premier. Ce nombre premier divise également n + 1. III.2 Récurrence à 2 rangs Proposition 3.10 : Soit P(n) une propriété dépendant de l entier n. On suppose P (0) P (1) n N, P (n) et P (n + 1) P (n + 2) Alors n N, P (n). Démonstration : On le montre par récurrence forte sur n. Exemple : Soit (F n ) n 0 la suite d entiers définie par F 0 = 0, F 1 = 1, F n+2 = F n+1 + F n. Soient φ et φ les racines de l équation x = x + 1. On a alors pour tout entier n, F n = φn φ n φ φ. On peut bien sûr avoir également des récurences à 3, 4,... termes. IV Suites définies par récurrence Nous admettrons le résultat suivant. Il est démontré dans l annexe ci-dessous. Proposition 3.11 : Soit f : E E une application. Soit a E. Il existe une unique suite (u n ) n 0 à valeurs dans E, telle que { u0 = a n N, u n+1 = f(u n ) Remarque 3.4 : L unicité est simple à montrer. C est l existence qui est difficile. On pourra trouver la preuve en annexe. Remarque 3.5 : En utilisant les corollaires du principe de récurrence, on peut également définir des suites récurrentes à deux trois,...voire n termes. Nous l avons déjà fait dans l un des exemples ci-dessus. Exemple : u 0 = 0, u 1 = 1, u n+2 = u n+1 + u n. Calculer u n en fonction de n. u 0 = 1, u n+1 = u 0 + u u n. Même question.

44 44 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE V Annexe : suites récurrentes Rappelons le théorème sur les suites récurrentes. La démonstration de l existence est non triviale et nécessite quelques lemmes. Théorème 3.12 : Soit E un ensemble non vide. Soit a E. Soit f : E E. Il existe une unique suite u : N E telle que u 0 = a et pour tout entier n, u n+1 = f(u n ). Démonstration : On pose pour tout entier n, E n = {s E N, s 0 = a, k < n, s k+1 = f(s k )}. Lemme V.1 E 0 E 1 E Démonstration : C est évident. Lemme V.2 Soient n N, s, s E n. On a k n, s k = s k. Démonstration : C est une récurrence triviale sur k. Lemme V.3 n N, E n. Démonstration : Récurrence sur n. La suite (a, a, a,...) est dans E 0 qui est donc non vide. Soit n N. Supposons que E n est non vide. Soit s E n. La suite s = (s 0, s 1,..., s n, f(s n ), a, a,...) est bien dans E n+1 qui est ainsi non vide. Lemme V.4 Soit n N. Soit s E n, soit s E n+1. On a alors k n, s k = s k. Démonstration : Soient s E 0, s E 1. On a s 0 = a = s 0. La propriété est donc vraie pour n = 0. Soit n N. Supposons la propriété vraie pour n. Soient s E n+1, s E n+2. Alors, s E n, s E n+1, donc par l hypothèse de récurrence k n, s k = s k. Puis s n+1 = f(s n ) = f(s n) = s n+1. Pour tout entier n, choisissons s n E n. Soit u : N E définie par u n = s n n. On a u 0 = s 0 0 = a. Et pour tout entier n, u n+1 = s n+1 n+1 = f(sn+1 n ) = f(s n n) = f(u n ). La suite u répond bien à la question. L unicité est quant à elle facile. Si deux suites u et v répondent à la question, on a u 0 = a = v 0. Et si u n = v n pour un entier n, alors u n+1 = f(u n ) = f(v n ) = v n+1. On a donc u = v.

45 VI. EXERCICES 45 VI Exercices 1. Montrer : n N, 41 divise 5 7 2(n+1) + 2 3n. 2. Soit P (n) la propriété «l entier 9 divise 10 n + 1». Montrer que pour tout entier n, P (n) P (n + 1). Montrer que P (n) n est pas vraie en général. Montrer plus précisément que P (n) n est jamais vraie. 3. Calculer n k k=0 (k+1)! et n k=0 k.k!. 4. Calculer pour n 2 les produits n k=2 (1 1 k ) et n k=2 (1 1 k 2 ) 5. Déterminer les entiers naturels n vérifiant n(n + 1)(n + 2) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + 2) 6. Calculer, pour tout entier n 0, la somme des n premiers entiers impairs. 7. Soit (u n ) n 0 la suite définie par u 0 = 2, u 1 = 1 et n 0, u n+2 = u n+1 + 2u n. Déterminer, pour tout entier n, u n en fonction de n. 8. Calculer, pour tout entier naturel n, n k=0 k4. 9. Calculer, pour tout n 1, ( n ) ( 0 2k n 2k et n 0 2k+1 n 2k+1). On pourra considérer les quantités (1 + 1) n et (1 1) n. 10. Calculer n k=0 k( ) n k et n k=0 ( 1)k k ( n k). On pourra considérer la fonction f : R R définie par f(x) = (1 + x) n. 11. Calculer n ( n k) k=0 k Soit (u n ) n 0 une suite décroissante d entiers naturels. Montrer que (u n ) est stationnaire (c est à dire constante à partir d un certain rang). 13. Soit n un entier naturel. Montrer que n k=0 ( n k) 2 = ( 2n n ). On pourra développer de deux façons différentes la quantité (1 + x) 2n et regarder le terme de degré n dans l égalité obtenue. 14. Soit n 1. Déterminer une expression simple des sommes (a) n ( n k=0 k). (b) n k=0 k( n k). (c) n k=0 k(k 1)( n k). (d) n k=0 k2( n k). 15. Montrer que (n, p) N 2 tels que p n, ( n+1 p+1) = n ( k k=p p). 16. Soient deux entiers naturels p n. (a) Montrer que pour tout k compris entre 0 et p, on a ( n (b) En déduire p k=0 ( n k )( n k p k). )( n k k p k) = ( n p)( p k).

46 46 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE

47 Chapitre 4 Applications et relations 47

48 48 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS I Applications I.1 Définitions Définition 4.1 : Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E vers F tout triplet f = (E, F, G) où G est une partie de E F, vérifiant de plus : x E!y F (x, y) G E et F sont respectivement l ensemble de départ et l ensemble d arrivée de f, et G est le graphe de f. Définition 4.2 : Soit f = (E, F, G) une application. Pour tout x E, l unique y F tel que (x, y) G est appelé l image de x par f et est noté f(x). On note de façon concise f : E F. x f(x) Notation : On note F(E, F ) ou encore F E l ensemble des applications de E dans F. Remarque 4.1 : Une suite à valeurs dans E est une application u : N E. Tout le monde sait que l image de l entier n par la suite u est notée u n et pas u(n). Usuellement, on se donne la suite (u n ) n N, et pas la suite u : N E. C est juste une question de notation et de vocabulaire. Plus généralement : Définition 4.3 : Soient I et E deux ensembles. On appelle famille d éléments de E indexée par I toute application F : I E ; i x i. On note F = (x i ) i I. I.2 Restrictions, prolongements La donnée d une application entraîne la donnée de ses ensembles de départ et d arrivée. Il arrive que l on veuille modifier ceux-ci, en les élargissant ou en les restreignant. Définition 4.4 : Soit f : E F. Soit E E. On appelle restriction de f à E l application f E : E F définie par x E f E (x) = f(x) Définition 4.5 : Soit f : E F. Soit E E. On appelle UN prolongement de f à E toute application g : E F telle que g E = f. On peut également s occuper de l ensemble d arrivée, et parler de co-restriction ou de co-prolongement.

49 I. APPLICATIONS 49 I.3 Injections, surjections, bijections Définition 4.6 : Soit f : E F. Soit y F. On appelle UN antécédent de y par f tout élément x de E tel que f(x) = y. Un élément de F peut avoir zéro, un ou plusieurs (voire une infinité) d antécédents. On ne note pas de façon particulière un antécédent. Évidemment, il serait plus simple que tout élément de F ait un et un seul antécédent par f. Ceci suggère trois définitions : Définition 4.7 : Soit f : E F. On dit que f est : injective lorsque tout élément de F a au plus un antécédent par f. surjective lorsque tout élément de F a au moins un antécédent par f. bijective lorsque tout élément de F a exactement un antécédent par f. Ainsi, une application est bijective lorsqu elle est à la fois injective et surjective. Proposition 4.1 : Soit f : E F. f est injective si et seulement si x, x E f(x) = f(x ) x = x Démonstration : Supposons que f a la propriété ci-dessus. Soit y F. Supposons que y a deux antécédents x et x par f. On a alors y = f(x) = f(x ) d où x = x. y a donc au plus un antécédent, et f est injective. Supposons inversement que f est injective. Soient x et x deux éléments de E tels que f(x) = f(x ). Soit y la valeur commune des images. y a au plus un antécédent par f, or x et x sont des antécédents de y. Donc x = x. Remarque 4.2 : L injectivité peut aussi être formulée en x x f(x) f(x ) mais il vaut mieux si possible utiliser la caractérisation ci-dessus avec les égalités. I.4 Composition Définition 4.8 : Soient f : E F et g : F G. On appelle composée de f et g l application g f : E G définie par x E g f(x) = g(f(x)) Proposition 4.2 : La composition des applications est associative. Démonstration : Soient f : E F, g : F G et h : G H trois applications. Les applications (h g) f et h (g f) ont mêmes ensembles de départ et d arrivée, à savoir E et H. Soit x E. On a (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x)) = (h g)(f(x)) = ((h g) f)(x). Proposition 4.3 : Soit id E : E E; x x l application «identité de E. On a pour toute application f : E F, f id E = f et id F f = f.

50 50 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS Remarque 4.3 : La composition des applications n est pas commutative. Par exemple, soient les deux applications de R vers R f : x x 2 et g : x x + 1. On a (g f)(1) = 2 alors que (f g)(1) = 4. Les applications f g et g f sont donc différentes. Proposition 4.4 : La composée de deux injections (resp : surjections, bijections) est une injection (resp : surjection, bijection). Démonstration : Démonstration laissée en exercice. I.5 Application réciproque Proposition 4.5 : Soit f : E F où E est un ensemble non vide. L application f est injective si et seulement si il existe une application g : F E telle que g f = id E (inversibilité à gauche) L application f est surjective si et seulement si il existe une application h : F E telle que f h = id F (inversibilité à droite) Démonstration : Supposons f injective. Soit x 0 E. Soit g : F E définie comme suit : pour tout y F, si y a un antécédent x par f (forcément unique), g(y) = x. Sinon, g(y) = x 0. On a bien g f = id E. Inversement, supposons l existence d un tel g. Soient x, x E tels que f(x) = f(x ). En composant par g, on obtient x = x. Supposons f surjective. Soit h : F E définie comme suit : pour tout y F, h(y) = un antécédent de y par f (il en existe au moins un puisque f est surjective). On a bien f h = id F. Supposons inversement l existence d un tel h. Soit y F. On a f(h(y)) = y, donc y a un antécédent par f : h(y). f est bien surjective. Proposition 4.6 : Soit f : E F. L application f est bijective si et seulement si elle est inversible à gauche et à droite. De plus, une bijection a un unique inverse à gauche et un unique inverse à droite, et ceux ci sont égaux. Démonstration : L équivalence entre bijectivité et existence des inverse est immédiate d après la proposition précédente. Supposons maintenant que la bijection f a deux inverses à gauche g et g. On a id E = g f = g f. En composant à droite par un inverse à droite h, on obtient g = g = h. D où l unicité de l inverse à gauche, et son égalité avec tout inverse à droite (et donc l unicité de l inverse à droite). Définition 4.9 : Soit f : E F une bijection. L unique application g vérifiant g f = id E et f g = id F est appelée la réciproque de f, et est notée f 1. Proposition ( 4.7 : Soit f : E F une bijection. La réciproque de f est bijective, et f 1 ) 1 = f. Soient f : E F et g : F G deux bijections. L application g f est bijective, et (g f) 1 = f 1 g 1 Démonstration : En composant f 1 par f des deux côtés, on obtient l identité. Donc f est bien la réciproque de f 1. De même, en composant g f par f 1 g 1, on obtient bien l identité.

51 II. RELATIONS D ORDRE 51 I.6 Images directes, Images réciproques Définition 4.10 : Soit f : E F. Pour tout ènsemble A E, on note f(a) = {f(x), x A}. Cet ensemble est appelé l image directe de A par f. Pour tout ènsemble B F, on note f 1 (B) = {x E, f(x) B}. Cet ensemble est appelé l image réciproque de B par f. Remarque 4.4 : Prendre bien garde au fait que les notations sont ambigues. En particulier, f 1 ne désigne PAS la réciproque de f, qui peut d ailleurs très bien ne pas exister. Exemple : On a sin R = [ 1, 1], sin 1 {0} = 2πZ, exp R + = [1, + [ I.7 Fonctions indicatrices Définition 4.11 : Soit E un ensemble. Soit A E. On appelle fonction indicatrice (ou parfois fonction caractéristique) de A l application 1 A : E {0, 1} définie par 1 A (x) = 1 si x A et 1 A (x) = 0 si x E \ A. Exemple : Prenons par exemple E = R. La fonction 1 R est la fonction constante égale à 1. La fonction 1 est la fonction nulle. La fonction1 [0,1] est la fonction qui vaut 1 sur le segment [0, 1] et qui est nulle partout aileurs. Proposition 4.8 : Soit E un ensemble. On a, pour toutes parties A et B de E : 1 A B = 1 A 1 B. 1 A B = 1 A + 1 B 1 A 1 B. 1 A B = 1 A + 1 B 21 A 1 B. 1 E\B = 1 1 B. 1 A\B = 1 A (1 1 B ). Démonstration : Montrons par exemple la formule pour la réunion. Soit x E. Si x n est ni dans A, ni dans B, les deux membres de l égalité sont nuls. Si x est dans A mais pas dans B, les deux membres de l égalité valent 1. On fait de même dans les deux cas restants. II Relations d ordre II.1 Relations binaires Définition 4.12 : Soit E un ensemble. On appelle relation (binaire) sur E tout couple R = (E, G) où G E E. L ensemble G est appelé le graphe de la relation R. Étant donnés deux éléments x et y de E ont peut avoir ou pas (x, y) G. Lorsque c est le cas, on dit que x et y sont en relation par la relation R, et on note xry.

52 52 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS II.2 Ensembles ordonnés Définition 4.13 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que R est une relation d ordre sur E lorsque : R est réflexive : x E, xrx R est antisymétrique : x, y E, xry et yrx x = y R est transitive : x, y, z E, xry et yrz xrz Un couple (E, R) où R est une relation d ordre sur E est appelé un ensemble ordonné. Exemple : R et ses sous ensembles sont ordonnés par l ordre naturel. L ensemble C, en revanche, n a pas d ordre naturel. Il peut bien sûr être ordonné, par exemple par l ordre lexicographique, mais cet ordre n est pas compatible avec la multiplication. Si E et F sont deux ensembles, et que F est ordonné, l ensemble F E est ordonné en posant f g x E, f(x) g(x). L ensemble P(E) est ordonné par l inclusion. Remarque 4.5 : La notion de relation d ordre que l on vient de définir est celle d ordre large. Il existe, pour chaque ordre large, un ordre strict associé, défini par x < y x y et x y Un ordre strict n est pas un ordre au sens de notre définition! Définition 4.14 : Soit (E, ) un ensemble ordonné. On dit que l ordre est total lorsque x, y E x y ou y x Sinon, on dit que l ordre est partiel. Exemple : L ordre naturel sur R est total. L ordre défini ci-dessus sur R R est partiel. Dès que l ensemble E a au moins deux éléments, la relation d inclusion sur P(E) est un ordre partiel. II.3 Majorants, Minorants Définition 4.15 : Soit (E, ) un ensemble ordonné. Soit A E. Soit x E. On dit que x est un majorant de A lorsque a A a x De même, on dit que x est un minorant de A lorsque a A x a Exemple : Dans R muni de l ordre naturel, le réel 7 majore l ensemble [0, 1]. Ce n est bien sûr pas le seul, il y a aussi, π, 53, et... 1, qui a l air «mieux» que les autres.

53 III. RELATIONS D ÉQUIVALENCE 53 Définition 4.16 : Une partie A de l ensemble ordonné E admet un plus grand élément lorsqu il existe x A majorant de A. On définit de même la notion de plus petit élément. Proposition 4.9 : Le plus petit (resp : plus grand) élément de l ensemble A, s il existe, est unique. On le note min A (resp : max A). Démonstration : Si x et y sont deux plus petits éléments de A, on a x y et y x, d où x = y par antisymétrie. Exemple : Dans R muni de l ordre naturel, le plus grand élément de [0, 1]. est 1. En revanche, [0, 1[ n a pas de plus grand élément. Remarque 4.6 : Si l on reprend l exemple ci-dessus, on a dit que 1 était un majorant de [0, 1] mieux que les autres. Si l on se demande pourquoi, on s aperçoit qu il y a deux raisons. La première, c est que 1 [0, 1]. Cela nous donne la notion de plus grand élément. La seconde raison, c est que 1 est le plus petit des majorants de [0, 1]. Pour cet ensemble cela n est pas très intéressant. En revanche, on s aperçoit que, bien que [0, 1[ n ait pas de plus grand élément, il possède un plus petit majorant. Cela nous conduira à la notion de borne supérieure, que nous aborderons dans le chapitre sur les nombres réels. III Relations d équivalence III.1 Notion de relation d équivalence Définition 4.17 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que R est une relation d équivalence sur E lorsque : R est réflexive : x E, xrx R est symétrique : x, y E, xry yrx R est transitive : x, y, z E, xry et yrz xrz III.2 Exemples simples L égalité est une relation d équivalence sur tout ensemble. Pour tout ensemble E, la relation triviale T définie par x, y E, xt y est une relation d équivalence. Soit f : E F une application. La relation R sur E définie par x, y E, xry f(x) = f(y) est une relation d équivalence. L identité et la relation triviale sur E en sont deux cas particuliers. III.3 Congruences sur Z Prenons E = Z, l ensemble des entiers relatifs. Soit n Z.

54 54 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS Définition 4.18 : note a b[n] lorsque Étant donnés a, b Z, on dit que a est congru à b modulo n, et on k Z, b = a + kn Remarque 4.7 : Pour n = 0, on obtient la relation d égalité. Pour n = 1, on obtient la relation triviale. Par ailleurs, la relation obtenue pour l entier n est la même que celle obtenue pour l entier n. Nous supposerons donc dorénavant que n N. Remarque 4.8 : Notons nz = {kn, k Z} l ensemble des multiples de n. On a alors a b[n] b a nz. Proposition 4.10 : d équivalence sur Z. Soit n N. La relation de congruence modulo n est une relation Démonstration : L ensemble nz vérifie les propriétés suivantes : il continent le nombre 0, il est stable par passage à l opposé, et il est stable pour l addition. Nous résumerons plus tard ces trois propriétés en disant que nz est un sous-groupe de Z. Montrons par exemple la transitivité. Soient a, b, c Z. Supposons que a b[n] et b c[n]. On a alors c a = (c b) + (b a). Mais c b et b a sont dans nz, qui est stable pour l addition. Donc c a nz et donc a c[n]. III.4 Congruences sur R Prenons E = R, l ensemble des nombres réels. Soit α R. Définition 4.19 : note a b[α] lorsque Étant donnés a, b R, on dit que a est congru à b modulo α, et on k Z, b = a + kα Remarque 4.9 : Mêmes remarques que sur Z. Nous utiliserons en particulier cette notion avec α = π ou α = 2π, en relation avec la trigonométrie est les nombres complexes. Remarque 4.10 : Notons αz = {kα, k Z} l ensemble des multiples de α. On a alors a b[α] b a αz. Proposition 4.11 : d équivalence sur R. Soit α R. La relation de congruence modulo α est une relation Démonstration : Même démonstration que sur Z. III.5 Classes d équivalences Définition 4.20 : Soit E un ensemble. Soit R une relation d équivalence sur E. Soit x E. On appelle classe de x modulo R et on note x l ensemble x = {y E, xry}

55 III. RELATIONS D ÉQUIVALENCE 55 Notation : On note E/R l ensemble des classes modulo R. Proposition 4.12 : Avec les notations ci-dessus : Les classes sont non vides : C E/R, C. Les classes sont disjointes : C, C E/R, C C C C =. Les classes recouvrent E : C E/R C = E. On dit que les classes modulo R forment une partition de E. Démonstration : La réflexivité de R montre que x E, x x. Cela prouve les points 1 et 3. Soient maintenant deux classes C = x et C = x. Supposons que C C. Il existe donc z C C. Montrons que C C, la démonstration de l autre inclusion étant identique. Soit y C. On a xry et xrz. Donc, par symétrie et transitivité, zry. Mais on a aussi x Rz donc, toujours par transitivité, x Ry, et y C. Proposition 4.13 : Soit n N. La relation sur Z de congruence modulo n possède exactement n classes, qui sont (par exemple) 0, 1,..., n 1. Remarque 4.11 : Au lieu de Z/, on note Z/nZ l ensemble des classes modulo n. Démonstration : Nous admettons provisoirement le résultat suivant, qui sera prouvé dans le chapitre sur les entiers relatifs : Étant donné a Z, il existe un unique q Z et un unique r {0,..., n 1} tels que a = qn + r. Il s agit de ce que l on appelle la division euclidienne de a par n. Cette égalité montre que a Z, r {0,..., n 1}, a r[n], oiu encore a r. Ainsi, Z/nZ {0, 1,..., n 1}. L autre inclusion est évidente. Il y a donc au plus n classes dans Z/nZ. Attention, il reste maintenant à montrer que ces classes sont bien distinctes! Soient donc 0 i < j < n. On a 0 < j i < n, donc j i nz. Ainsi, i j. Remarque 4.12 : Pour n = 0 on a une infinité de classes, toutes constituées d un singleton. Soit α R, α > 0. La relation sur R de congruence modulo α comporte une infinité de classes. On peut par exemple prendre les classes des x [0, α[, ou des x ] α 2, α 2 ]. Les relations de congruence sur Z possèdent bien d autres propriétés, que nous verrons en temps utile. En particulier, elles sont compatibles avec l addition et la multiplication (on peut multiplier et ajouter des congruences, comme s il s agissait d égalités). III.6 Une réciproque Proposition 4.14 : Soit E un ensemble. Soit P une partition de E. Il existe une et une seule relation d équivalence R sur E telle que E/R = P. Démonstration : Soit R une telle relation. Soient x, y E. Supposons que xry. Alors, C P, x, y C, puisque x et y sont par définition dans la même classe modulo R. Inversement, supposons C P, x, y C. x et y sont donc dans la même classe modulo R,

56 56 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS et ainsi xry. En conclusion, si R est une relation d équivalence sur E telle que E/R = P, alors x, y E, xry C P, x, y C Nous venons donc de montrer qu il existe au plus une telle relation. Inversement, on vérifie sans peine que la relation définie ci-dessus est bien une relation d équivalence, et que ses classes sont justement les éléments de la partition P.

57 IV. EXERCICES 57 IV Exercices 1. Les applications ci-dessous sont-elles injectives? Surjectives? Bijectives? On justifiera à chaque fois la réponse. (a) ρ : R R définie par ρ(x) = x 2 x 1. (b) ψ : C C définie par ψ(z) = z 2 z 1. On admettra que toute équation du second degré admet au moins une solution complexe. (c) ϕ : N 5 N \{1} définie par ϕ(a, b, c, d, e) = 2 a 3 b 5 c 7 d 11 e. On admettra que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 s écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers. (d) ζ : R 2 R 2 définie par ζ(x, y) = (x + y, xy). 2. Trouver toutes les injections f : N N telles que n N, f(n) n. 3. Soit E un ensemble. Soient A et B deux parties de E. Soit f : P(E) P(A) P(B) définie par f(x) = (X A, X B) (a) Montrer que f est injective si et seulement si A B = E. (b) Montrer que f est surjective si et seulement si A B =. 4. Soit f : E E une application telle que f f f = f. Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective. 5. Soit E un ensemble. On suppose donnée une application ϕ : E P (E). On pose A = {x E, x ϕ(x)} et on suppose qu il existe un élément a de E tel que ϕ(a) = A. A-t-on a A? Que vient-on de démontrer? 6. Soit f : E F. (a) Soient A et B deux parties de E. Montrer que si A B alors f(a) f(b). (b) Soient A et B deux parties de F. Montrer que si A B alors f 1 (A ) f 1 (B ). 7. Soit f : E F. (a) Soient A, B E. Comparer f(a B) et f(a) f(b). Comparer de même f(a B) et f(a) f(b). (b) Soient A, B F. Comparer f 1 (A B ) et f 1 (A ) f 1 (B ). Comparer de même f 1 (A B ) et f 1 (A ) f 1 (B ). 8. Soit f : E F. Montrer : (a) A E, f 1 (f(a)) A. (b) f est injective A E, f 1 (f(a)) = A. 9. Créer (et résoudre!) un exercice similaire au précédent, mais faisant intervenir f f 1 au lieu de f 1 f. 10. Soit f : [0, 1] [0, 1] définie par f(x) = 2x si 0 x < 1 2 et f(x) = 2(1 x) si 1 2 x 1.

58 58 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS (a) Tracer les graphes de f, de f f et de f f f. (b) On pose f 0 = id puis, pour tout entier naturel n, f n+1 = f n f. Calculer, pour tout entier naturel n, f n ([ 3 7, 4 7 ]). 11. Soit f : E F. Démontrer que f est surjective si et seulement si pour tout ensemble G, pour toutes applications g : F G et h : F G, on a g f = h f g = h. 12. Créer (et résoudre) un exercice similaire pour les injections. 13. Soient f et g deux applications telles que g f soit bijective. Que dire de f et g? Réciproque? 14. Soit (E, ) un ensemble ordonné. Étant donnés x, y E, on dit que y est successeur de x lorsque x < y et pour tout z E, x < z y z. (a) Montrer que si le successeur d un élément existe, alors il est unique. (b) Donner un exemple d ensemble ordonné dans lequel aucun élément n admet de successeur. (c) Dessiner les entiers de 0 à 12 et relier chaque entier à son successeur (lorsqu il existe) pour l ordre usuel des entiers. (d) Dessiner les entiers de 0 à 12 et relier chaque entier à son successeur, lorsqu il existe, pour l ordre «divise» défini par x y si et seulement si il existe k N tel que y = kx. 15. Soit (E, ) un ensemble ordonné. On dit qu un élément x de E est minimal lorsque y E, y x y = x. (a) Si l ensemble E est totalement ordonné, que dire de ses éléments minimaux? (b) On prend E = N \ {1}, muni de la relation «divise»(voir exercice précédent). Quels sont les éléments minimaux de E? (c) Montrer qu un ensemble ordonné fini non vide possède au moins un élément minimal. 16. On définit sur R la relation R par xry si et seulement si sin x = sin y. (a) Montrer que R est une relation d équivalence. (b) Quelle est la classe de 0? La classe de π 2? (c) Plus généralement, décrire la classe de x pour tout réel x. 17. On définit sur Z la relation R par xry si et seulement si x 2 y 2 [10]. (a) Montrer que R est une relation d équivalence. (b) Combien R possède-t-elle de classes?

59 Chapitre 5 Nombres complexes 59

60 60 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES I Le corps des complexes Nous verrons dans un chapitre ultérieur la notion de corps. Sans entrer pour l instant dans les détails, un corps est un ensemble K dans lequel existent deux opérations : une addition (+) et une multiplication ( ). Ces opérations vérifient un certain nombre de propriétés, comme la commutativité, l associativité, l existence d éléments neutres, etc. Nous allons passer ces propriétés en revue dans le cas des nombres complexes. I.1 Construction des nombres complexes Théorème 5.1 : Il existe un corps C vérifiant les propriétés suivantes : R C Il existe dans C un élément i tel que i 2 = 1 Tout élément z C s écrit de façon unique z = x + iy avec x et y réels. Un tel corps est «unique». Démonstration : Nous ne détaillons pas ici la question de l unicité. On se contente de donner les étapes de la preuve de l existence. On pose C = R 2. Puis on définit les opérations + et sur C par (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) et (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + x y). On montre que (C, +, ) possède toutes les propriétés de corps. En particulier, le neutre pour l addition est (0, 0) et le neutre pour la multiplication est (1, 0). L inverse de l élément x y (x, y) est (, ) à condition que (x, y) (0, 0). On pose ensuite R = {(x, 0), x R} x 2 +y 2 x 2 +y 2 et on constate que R est un corps isomorphe à R. On identifie alors le couple (x, 0) avec le réel x pour tout réel x. Avec cet abus, on a bien R C. Puis on pose i = (0, 1). Il est alors facile de vérifier que tout élément z = (x, y) de C s écrit aussi x + iy et que c est la seule façon de l écrire ainsi. Enfin, une simple vérification prouve que i 2 = ( 1, 0) = 1. Les opérations sur C sont donc : (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + y ) (x + iy) (x + iy ) = (xx yy ) + i(xy + x y) On vérifie également que (x + iy) x iy x 2 +y 2 = 1. Définition 5.1 : Soit z C. Soit (x, y) l unique couple de réels tel que z = x + iy. x est appelé la partie réelle de z, et y est la partie imaginaire de z. On note x = Rz, y = Iz. Le nombres de la forme iy, avec y réel sont dits imaginaires purs. On note ir l ensemble des imaginaires purs. Remarque 5.1 : Sauf mention contraire, lorsqu on écrira «z = x+iy» dans ce qui suit, on supposera que x et y sont réels. Dans une rédaction complète, il faudrait le préciser à chaque fois.

61 I. LE CORPS DES COMPLEXES 61 I.2 Affixe, image Dans notre construction de C un nombre complexe EST un point du plan. Mais il faut garder à l esprit qu il existe d autres constructions, fort différentes, du corps des complexes. Nous distinguerons donc l ensemble C des nombres complexes et l ensemble P des points du plan, ou encore l ensemble P des vecteurs du plan, même si les éléments de ces trois ensembles peuvent tous être modélisés par des couples de nombres réels. Considérons les deux applications ϕ : P C et ψ : C P définies comme suit : si A = (x, y) est un point du plan, ϕ(a) = x + iy. Et si z = x + iy C, ψ(z) = (x, y) P. On a bien évidemment A P, ψ(ϕ(a)) = A et z C, ϕ(ψ(z)) = z. Les fonctions ϕ et ψ sont des bijections, et chacune est la réciproque de l autre. Définition 5.2 : Pour tout point A P, le nombre complexe z = ϕ(a) est appelé l affixe de A. On notera parfois A(z) pour indiquer que A est le point d affixe z. Pour tout z C, le point A = ψ(z) est appelé l image de z. Remarque 5.2 : On peut dans tout ce qui précède remplacer l ensemble P des points du plan par l ensemble P des vecteurs du plan, et parler ainsi du vecteur u d affixe z ou du vecteur u image du nombre complexe z. I.3 Conjugué Définition 5.3 : Soit z = x + iy un complexe. Le conjugué de z est z = x iy. Remarque 5.3 : Géométriquement, le conjugué de z est le symétrique de z par rapport à l axe Ox. Pour être précis, le point dont l affixe est le conjugué de z est le symétrique par rapport à la droite Ox du point d affixe z. Nous commettrons parfois l abus de confondre les nombres complexes et leur image dans le plan P. Proposition 5.2 : Soit z un complexe. On a : Rz = z+ z 2 et Iz = z z 2i. z = z. z R z = z. z ir z = z. Démonstration : Il suffit de poser z = x + iy avec x, y R. Proposition 5.3 :. Le conjugué d une somme est la somme des conjugués. Le conjugué d un produit est le produit des conjugués. Le conjugué d un quotient est le quotient des conjugués. Démonstration : Il suffit de poser z = x + iy, z = x + iy avec x, x, y, y R. Exercice : Déterminons tous les nombres complexes z tels que z+i z i ir. Soit z C, z i. z est solution du problème si et seulement si z+i z i = z+i z i = z i z+i. On réduit au

62 62 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES même dénominateur : (z +i)(z +i) = (z i)(z i) qui se simplifie en zz = 1. Les solutions du problème sont les nombres complexes de module 1, i excepté. Remarque 5.4 : Soit φ : C C un endomorphisme du corps C laissant les réels invariants. Soit z = x + iy C. On a alors φ(z) = φ(x) + φ(i)φ(y) = x + φ(i)y. Mais i 2 = 1, donc φ(i) 2 = φ( 1) = 1. On en déduit que φ(i) = ±i. Si φ(i) = i, alors, pour tout complexe z, φ(z) = z : φ est l identité de C. Si, au contraire, φ(i) = i, alors, pour tout complexe z, φ(z) = z : φ est la conjugaison. En résumé, la conjugaison est l unique endomorphisme non trivial de C laissant les réels invariants. C est donc une application extrêmement précieuse : si vous la perdez, vous n en aurez pas d autre. I.4 Module Proposition 5.4 : Soit z un complexe. Alors z z est un réel positif. Démonstration : Soit z = x + iy. Alors z z = x 2 + y 2 R +. Définition 5.4 : On appelle module du complexe z le réel positif z = z z. Proposition 5.5 : Pour tout complexe z, on a z = 0 z = 0 z = z Rz Rz z Iz Iz z Démonstration : On a z 2 = zz donc z = 0 si et seulement si z = 0 ou z = 0, c est à dir si et seulement si z = 0. On a z 2 = z z = zz = z 2. On pose z = x + iy où x, y R. On a z 2 = x 2 + y 2 x 2. Donc, en passant à la racine carrée, x z. Même preuve pour la partie imaginaire. Proposition 5.6 : Pour tout complexe z non nul, on a 1 z = z z 2. z = 1 1 z = z. Démonstration : On a 1 z = z encore z = 1 z. zz = Proposition 5.7 : Pour tous complexes z 1 et z 2, on a z 1 z 2 = z 1 z 2. Si z 2 0, z 1 z 2 = z 1 z 2. z 1 + z 2 z 1 + z 2 (inégalité triangulaire) z 1 z 2 z 1 z 2 (inégalité triangulaire 2) z z 2. Et aussi, z = 1 si et seulement si zz = 1 ou Démonstration : On a z 1 z 2 2 = (z 1 z 2 )z 1 z 2 = z 1 z 1 z 2 z 2 = z 1 2 z 2 2. L inégalité triangulaire est évidente si z 2 = 0. Sinon, on pose u = z 1 z 2. Il suffit de prouver que 1+u 1+ u.

63 II. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 63 Or, 1 + u 2 (1 + u ) 2 = 2( u Ru). La dernière inégalité se prouve à l aide de la précédente : z 1 = z 1 z 2 + z 2, donc z 1 z 1 z 2 + z 2. Ainsi, z 1 z 2 z 1 z 2. On obtient de même que z 2 z 2 z 1 z 2. D où le résultat. Remarque 5.5 : Il y a égalité dans l inégalité triangulaire si et seulement si z 2 = 0 ou z 1 = λz 2, avec λ R +. II Nombres complexes et trigonométrie II.1 Nombres complexes de module 1 Proposition 5.8 : L ensemble U des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de (C, ). Démonstration : Ici, petite incursion dans la théorie des groupes, avant d en avoir parlé en cours. Pas d inquiétude... Un élément de U est non nul car de module 1. Donc U C. Le produit de deux complexes de module 1, l inverse d un complexe de module 1, sont encore de module 1. Nous verrons que cela prouve exactement que U est un sous-groupe de C. Définition 5.5 : On suppose connues les propriétés élémentaires des fonctions trigonométriques. Pour tout réel θ, on pose e iθ = cos θ + i sin θ. Proposition 5.9 : On a U = {e iθ, θ R}. Démonstration : On a e iθ = 1 d où l inclusion réciproque. Inversement, soit z = x + iy U. On a x 2 + y 2 = 1. Il existe donc un réel θ tel que z = e iθ d où l inclusion. Proposition 5.10 : (Formules d Euler) Pour θ R, on a cos θ = eiθ + e iθ 2 et sin θ = eiθ e iθ 2i Démonstration : C est immédiat. On utilise la parité du cosinus et l imparité du sinus. Proposition 5.11 : On a, pour θ et φ réels : e i(θ+φ) = e iθ e iφ. e iθ = 1/e iθ e i(θ φ) = e iθ /e iφ. e iθ = 1 θ 0[2π]. e iθ = e iφ θ φ[2π].

64 64 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES Démonstration : La première égalité se vérifie par un petit calcul. La deuxième résulte de la première. La troisième résulte des deux premières. Soit maintenant un réel θ. On a e iθ = 1 si et seulement si cos θ = 1 et sin θ = 0, c est à dire si et seulement si θ est multiple de 2π. La dernière propriété est alors immédiate : e iθ = e iφ e i(θ φ) = 1 θ φ 0[2π]. Remarque 5.6 : On vient de prouver que l application θ e iθ est un morphisme surjectif du groupe (R, +) vers le groupe (U, ) dont le noyau est 2πZ. Proposition 5.12 : (Formule de Moivre) Pour θ R et n Z, on a (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ Démonstration : C est immédiat en utilisant le fait que l application θ e iθ est un morphisme. Exercice : Soit x un réel et n un entier. On se propose de calculer S n = n k=0 cos kx et T n = n k=0 sin kx. Pour cela, on forme S n + it n = n k=0 eikx. On reconnaît la somme des termes d une suite géométrique de raison e ix. Si x 0[2π], alors e ix = 1, donc S n + it n = n + 1, d où S n = n + 1 et T n = 0. Si, au contraire, x 0[2π], alors e ix 1, donc S n + it n = ei(n+1)x 1. On factorise au numérateur et au dénominateur de cette fraction la e ix 1 quantité e ix/2. Il vient alors S n + it n = ei(n+1/2)x e ix/2 = ei(n+1/2)x e ix/2 2i sin(x/2). Il vient alors facilement S n = sin(n )x 2 sin x 2 e ix/2 e ix/2 et T n = cos x 2 cos(n )x 2 sin x 2 II.2 Arguments d un complexe non nul Soit z un complexe non nul. Le complexe z z est alors de module 1, donc il existe θ R tel que z z = eiθ. Ainsi, z = re iθ où r = z Définition 5.6 : Soit s un complexe non nul. On appelle argument de z tout réel θ tel que z = z e iθ. Proposition 5.13 : Soit z un complexe non nul. Soit θ 0 un argument de z. L ensemble des arguments de z est {θ 0 + 2kπ, k Z} Si z est un complexe et θ est un argument de z, on note arg z θ[2π]. Souvent, on écrit abusivement arg z = θ. Remarque 5.7 :

65 II. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 65 Si z est sous la forme z = ae iθ avec a et θ réels, il convient de discuter sur le signe de a pour connaître son module et un de ses arguments. Si l on astreint l argument à demeurer dans un intervalle d amplitude 2π, tel que [0, 2π[ ou ] π, π], on a alors unicité de l argument. Exemple : Trouvons le module et un argument de z = 3+i. On a z 2 = ( 3) 2 +1 = 4, z donc z = 2. Maintenant, z = i. Un argument de z est donc un réel θ tel que cos θ = 3 2 et sin θ = 1 2. Par exemple, θ = π 3. II.3 Forme trigonométrique Soit z C. On dit que z est mis sous forme trigonométrique lorsqu on a écrit z = re iθ avec r R + et θ R. La forme trigonométrique est particulièrement adaptée aux calculs de produits, quotients, puissances, et pas du tout adaptée aux calculs de sommes. Proposition 5.14 : Si z 1 = r 1 e iθ 1 et z 2 = r 2 e iθ 2, alors : z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ) Corollaire 5.15 : Soient z 1 et z 2 deux complexes non nuls. On a : arg(z 1 z 2 ) arg z 1 + arg z 2 [2π] arg( z 1 z 2 ) arg z 1 arg z 2 [2π] Corollaire 5.16 : Soient z un complexe non nul et n un entier relatif. On a : arg z n n arg z[2π] II.4 Exponentielle complexe On suppose connues les propriétés de la fonction exponentielle sur R. Définition 5.7 : Soit z = x+iy un complexe. On appelle exponentielle de z le complexe e z = e x e iy Proposition 5.17 : Soit z un complexe. On a e z = e z, e z = e Rz et arg e z Iz[2π]. Proposition 5.18 : Soient z, z C. On a : e z+z = e z e z. 1 e z = e z.

66 66 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES Proposition 5.19 : Soit z C. On a e z = 1 z 2iπZ. Démonstration : Posons z = x + iy. Supposons e z = 1. On a e x e iy = 1. En passant au module, on obtient e x = 1 d où x = 0 puisque x est réel. On reporte, on en déduit e iy = 1, donc y 2πZ, comme vu plus haut. On a donc bien z 2iπZ. La réciproque est immédiate. Corollaire 5.20 : Soient z, z C. On a e z = e z z z 2iπZ. Démonstration : C est évident, puisque e z = e z si et seulement si e z z = 1. Proposition 5.21 : Tout nombre complexe non nul a est de la forme e z 0, avec z 0 C. Ses antécédents sont alors les z 0 + 2ikπ, avec k Z. Démonstration : On écrit a = a e iθ où θ est un argument de a. Soit z 0 = ln a + iθ. Alors e z 0 = a. De plus, e z = a e z = e z 0 e z z 0 = 1 c est à dire z z 0 2iπZ. II.5 Application à la linéarisation de sinus et cosinus ( ) m Soient m un entier naturel et θ un réel. On écrit cos m θ = e iθ +e iθ 2 et on développe par la formule du binôme de Newton : cos m θ = 1 m ( ) m 2 m e ikθ e i(m k)θ = 1 m ( ) m k 2 m e i(2k m)θ k k=0 On sait par ailleurs que cette quantité est réelle. Elle est donc égale à sa partie réelle. Ainsi, cos m θ = 1 m ( ) m 2 m cos(2k m)θ k k=0 La même opération peut bien entendu être réalisée avec un sinus. Il faut alors distinguer suivant la parité de m. II.6 Opération inverse : délinéarisation? On écrit cette fois-ci la formule de Moivre : cos mθ + i sin mθ = (cos θ + i sin θ) m = m k=0 k=0 ( ) m i k cos k θ sin m k θ k Si l on veut par exemple cos mθ, il suffit de prendre la partie réelle : cos mθ = ( ) m ( 1) p cos 2p θ sin m 2p θ 2p De même : sin mθ = 0 2p m 0 2p+1 m ( ) m ( 1) p cos 2p+1 θ sin m 2p 1 θ 2p + 1

67 III. RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES 67 III Résolution d équations algébriques III.1 Racine carrée d un nombre complexe Définition 5.8 : On appelle racine carrée du complexe a tout complexe z tel que z 2 = a. Proposition 5.22 : carrées. Exemple : Les racines carrées de i sont ± Tout nombre complexe non nul possède exectement deux racines 2 2 (1 + i). Démonstration : Soit a = re iθ, r > 0. Soit z = ρe iφ, ρ > 0. Alors, z 2 = a si et seulement si ρ 2 = r et 2φ θ[2pi], c est-à-dire ρ = r et φ θ 2 [π]. On trouve donc deux racines carrées de a qui sont ± re i θ 2. III.2 Méthode algébrique Soit a = x + iy, où y 0. Soit z = X + iy. Alors z 2 = a si et seulement si z 2 = a et z 2 = a, c est-à-dire X 2 Y 2 = x, X 2 + Y 2 = x 2 + y 2, et XY du signe de y. Les deux premières relations donnent facilement X et Y au signe près, et la dernière relie les signes de X et Y. Exercice : Calculons les racines carrées de 1 + i par la méthode algébrique. Soit z = X + iy. On a z 2 = 1 + i si et seulement si X 2 Y 2 = 1, X 2 + Y 2 = 2 et X et Y de même signe. On en tire X 2 = 1 2 ( 2 + 1) et Y 2 = 1 2 ( 2 1). Avec les conditions de signe, on en déduit ( ) 1 1 z = ± 2 ( 2 + 1) + i 2 ( 2 1) III.3 Équation du second degré Proposition 5.23 : Soient a, b, c trois complexes avec a 0. On considère l équation (E) az 2 + bz + c = 0 et son discriminant = b 2 4ac. Si = 0, l équation (E) a pour unique racine racine z = b 2a. Sinon, en appelant δ une racine carrée de, l équation (E) a deux racines distinctes qui sont b±δ 2a. Démonstration : On écrit az 2 + bz + c = a(z + b 2a )2 4a si et seulement si (z + b 2a )2 = ( ) δ 2, 2a ou encore z + b 2a = ± δ 2a.. Ainsi, z est solution de E Exemple : Résolvons l équation z 2 (1 + 2i)z + i 1 = 0. Son discriminant est = 1. Nous avons de la chance, le discriminant aurait pu être non réel. Une racine carrée de est δ = 1. Les solutions de l équation sont donc 1 2 ((1+2i)+1) = 1+i et 1 2 ((1+2i) 1) = i.

68 68 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES Proposition 5.24 : Avec les mêmes notations que dans la proposition précédente, le produit des racines de (E) est c b a et la somme des racines est a. Proposition 5.25 : Soient z, z, s, p 4 nombres complexes. On a z + z = s et zz = p si et seulement si z et z sont les racines de l équation X 2 sx + p = 0. Démonstration : Soient α et β les racines de cette équation. On a α+β = s et αβ = p d où l un des deux sens de l équivalence. Inversement, supposons z + z = s et zz = p. z et z sont évidemment les racines de l équation (X z)(x z ) = 0. Mais justement, (X z)(x z ) = X 2 sx + p. III.4 Racines nièmes de l unité Définition 5.9 : Soit z un complexe et n un entier non nul. On appelle racine nième de z tout complexe Z tel que Z n = z. Les racines nièmes de 1 sont appelées les racines nièmes de l unité. Proposition 5.26 : L ensemble, noté U n, des racines nièmes de l unité est un sousgroupe du groupe (U, ) des nombres complexes de module 1. Démonstration : Si z n = 1, alors z n = 1 = 1 donc z = 1. Ainsi, U n U. Le reste de ( la preuve est facile : stabilité par produit car (zz ) n = z n z n et stabilité par inverse car 1 ) n z = 1 z. n Proposition 5.27 : Il y a exactement n racines nièmes de l unité. Ce sont les complexes ξ k = e 2ikπ n, k [ 0, n 1 ] Démonstration : Soit z = e iθ U. Alors z U n si et seulement si z n = e inθ = 1 c est à dire nθ 2πZ ou encore θ = 2kπ n où k Z. Ainsi, U n = {ζ k, k Z}. Soit maintenant k Z. On effectue la division euclidienne de k par n : k = nq + r où 0 r < n. On a alors ζ k = (ζ n ) q ζ r = ζ r. Donc, U n = {ζ k, 0 k < n}. Enfin, si 0 i < j < n, alors 0 < i j < n donc 0 < (2π(i j))/n < 2π donc ζ i ζ j. L ensemble U n contient bien exactement n éléments. Remarque 5.8 : On a ξ k = ξ k en posant ξ = ξ 1. On en déduit par exemple que la somme des racines nièmes de l unité est puisque ξ n = ξ + ξ ξ n 1 = ξn 1 ξ 1 = 0 Exemple : On a U 1 = {1}, U 2 = { 1, 1}, U 4 = { 1, 1, i, i}. On a U 3 = {1, j, j 2 } où j = e 2iπ/3. Le nombre j apparaît dans un grand nombre de calculs. Il faut absolument se souvenir que 1 j = j = j 2, 1 + j + j 2 = 0.

69 IV. INTERPRÉTATIONS GÉOMÉTRIQUES 69 Plus généralement, si l on dessine U n dans le plan (en identifiant le complexe x + iy et le point (x, y)), on obtient le polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, dont l un des sommets est le point (1, 0). Exercice : Dessiner U 6. III.5 Racines nièmes d un nombre complexe Proposition 5.28 : Soit z un complexe non nul. Si u est une racine nième de z, alors l ensemble des racines nièmes de z est {uξ, ξ U n } Démonstration : On a w n = z si et seulement si w n = u n, c est à dire w u U n. Corollaire 5.29 : Soit z un complexe non nul de module r et d argument θ. Les racines nièmes de z sont les complexes Z k = k re i( θ n + 2kπ n ), k [ 0, n 1 ] Démonstration : C est clair, puisque k re iθ/n est clairement une racine nième de z. Exercice : Calculer les racines cubiques de 2. IV Interprétations géométriques IV.1 Somme, produit par un réel Ces opérations sur les complexes correspondent dans le plan euclidien aux opérations d espace vectoriel sur les vecteurs. Ces opérations fournissent d importantes transformations du plan (affine ou vectoriel ou complexe). Définition 5.10 : Soit u(z 0 ) R 2. L application τ : R 2 R 2 définie par M(z) M(z + z 0 ) est appelée la translation de vecteur u. Définition 5.11 : Soit Ω(z 0 ) R 2. Soit λ R. L application τ : R 2 R 2 définie par M(z) M(z 0 + λ(z z 0 )) est appelée l homothétie de centre Ω et de rapport λ. IV.2 Module, Argument Module et argument représentent respectivement des distances et des angles dans le plan euclidien. Ainsi, soient A(a) et B(b) deux points du plan, on a d(a, B) = b a. Si A(a), B(b) et C(c) sont trois points distincts, l angle orienté entre les vecteurs AB et AC est donné par arg c a b a.

70 70 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES IV.3 Produit C est l opération la plus intéressante. Commençons par le produit d un nombre complexe par un complexe de module 1 : Soit z C et θ R. On a alors : ze iθ = z arg(ze iθ ) arg z + θ mod 2π Définition 5.12 : Soient Ω(z 0 ) un point du plan et θ un réel. L application M(z) M(z 0 + (z z 0 )e iθ ) est appelée la rotation de centre Ω et d angle θ. Plus, généralement, la multiplication par un nombre complexe non nul est la composée d es deux opérations suivantes : Produit par un nombre complexe de module 1 (rotation) Produit par un réel non nul (homothétie) Définition 5.13 : Soient Ω(z 0 ) un point du plan, λ un réel non nul, et θ un réel. L application M(z) M(z 0 + λ(z z 0 )e iθ ) est appelée la similitude (directe) de centre Ω, de rapport λ et d angle θ. Plus généralement, on appelle similitude (directe) du plan toute application M(z) M(az + b), où a, b C, a 0. Proposition 5.30 : Les similitudes directes sont Les translations. Les similitudes «à centre». Démonstration : Soient a, b C, a 0. Soit f : z az+b la similitude correspondante (nous confondons les points et leurs affixes pour alléger la lecture). Il y a deux cas à considérer. Si a = 1, l application f est une translation. Supposons maintenant a 1. Soit ω C. On a f(ω) = ω si et seulement si ω =. L application f a donc un unique point fixe. Mais alors, pour tout z C, f(z) ω = f(z) f(ω) = a(z ω). f est donc la similitude de centre ω, de rapport a et d angle arg a. b 1 a Proposition 5.31 : Les similitudes conservent les angles. Démonstration : On pose f(z) = az + b, avec a 0. Alors f(w) f(u) w u v u f(v) f(u) = aw+b (au+b) av+b (au+b) =. Les arguments de ces quantités sont donc égaux, et f conserve les angles. On peut en fait prouver le résultat plus général suivant : Proposition 5.32 : Soit f : R 2 R 2 une application injective (i.e. deux points distincts ont des images distinctes). Alors, f conserve les angles si et seulement si f est une similitude directe. Démonstration : Seul le sens direct est à prouver. Supposons donc que f est une injection qui conserve les angles. Posons g(z) = f(z) f(0) f(1) f(0). L application g est encore une injection, et conserve toujours les angles. De plus, g(0) = 0 et g(1) = 1. Soit z C \ R. On considère l angle formé par 1, 0 et z. Cet angle étant conservé par g, on a donc arg g(z) = arg z Donc, g(z) = λz, avec λ R +. De même, l angle 0,1,z est conservé, donc arg g(z) = arg z Il existe donc µ R + tel que 1 g(z) = µ(1 z).

71 IV. INTERPRÉTATIONS GÉOMÉTRIQUES 71 D où 1 λz = µ(1 z) et 1 µ = (λ µ)z. Mais comme on a supposé z non réel, on a nécessairement λ = µ = 1, d où g(z) = z. Si z est réel, on recommence avec 0,i et z (on sait maintenant que g(i) = i). Finalement, on a g(z) = z pour tout complexe z. Donc, f(z) = az+b, où a = f(1) f(0) 0 et b = f(0). L application f est donc une similitude directe.

72 72 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES V Exercices 1. Déterminer {z C, z+1 z 1 ir}. 2. Déterminer les nombres complexes z tels que les points du plan d affixes 1, z 2 et z 3 soient alignés. 3. Déterminer les nombres complexes z tels que les points du plan d affixes 1, z et z 4 soient alignés. 4. Trouver tous les z C tels que le triangle de sommets d affixes 1, z et z 2 soit équilatéral. 5. Déterminer les nombres complexes z tels que z, z 1 et 1 z aient le même module. 6. Déterminer module et argument de ( 1+i 3 1 i ) Soient n un entier naturel non nul et ω une racine nième de 1. Calculer : (a) n 1 k=0 ωk (b) n 1 k=0 ( 1)k ω k (c) n 1 k=0 (k + 1)ωk 8. Calculer ( n 0 3k n 3k). Considérer pour cela (1 + 1) n, (1 + j) n et (1 + j 2 ) n où 1, j et j 2 sont les racines cubiques de Soient α R et n N. Calculer (a) n k=0 sin2 kα. (b) n k=0 cos(kα) cos k α et n k=0 sin(kα) cos k α 10. Soient α, β R et n N. Calculer n k=0 ( n k) cos(α + kβ) et n k=0 ( n k) sin(α + kβ) 11. Déterminer les primitives de sin 5 x, de cos 4 x. 12. Soit z C de module 1 et d argument θ. Déterminer module et argument de 1 + z, de 1 z, de 1 + z + z 2. Les arguments donnés devront appartenir à l intervalle ] π, π]. 13. Trouver les racines carrées de 10 4i Résoudre : (a) z 2 + (5 2i)z + 5 5i = 0. (b) z 8 = 1 i 3 i. (c) z 4 30z = Soit a C. Montrer que l équation z C, ( 1+iz 1 iz )n = a a toutes ses racines réelles si et seulement si a = 1. Calculer dans ce cas les racines de l équation. 16. Trouver une CNS sur les nombres complexes α et β pour que les racines de l équation z 2 2αz + β = 0 aient le même module. ( ) 3 ( ) Trouver tous les nombres complexes z vérifiant z+i z i + z+i z i + z+i z i + 1 = 0

73 V. EXERCICES Soient a, b C tels que ab 1 et c = a b 1 ab. Montrer que c = 1 si et seulement si a = 1 ou b = Résoudre l équation z 2 + 8i = z 2 2, d inconnue z C. 20. Résoudre l équation iz 2 2z + z i = 0, d inconnue z C. 21. Résoudre le système d inconnues u, v C : { (1 + i)u + v = 3 + 7i u + v = 2 + i 22. Soit θ R. Exprimer tan 5θ en fonction de tan θ. 23. Déterminer l ensemble des z C tels que arg z i z+i π 4 [π]. 24. Déterminer l ensemble des z C tels que z = 2 z i. 25. Déterminer l ensemble des z C tels que z2 z+i ir. 26. Trouver les racines de l équation z 3 + (1 2i)z 2 + (1 i)z 2i = 0, sachant que l une des racines est un imaginaire pur. 27. Trouver les racines de l équation z 4 + 4iz (1 + i)z 45 = 0, sachant que l une des racines est un imaginaire pur et que l une des racines est un réel. 28. Soit n N. Soit p Z. Soit ω une racine nième de 1. Calculer n 1 k=0 ωkp. 29. Soient x et θ deux réels. Soit n N. Calculer n k=0 xk cos kθ et n k=0 xk sin kθ.

74 74 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES

75 Chapitre 6 Le corps des nombres réels 75

76 76 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS I Le corps des réels I.1 Corps ordonnés Définition 6.1 : Soit K un corps. On suppose que K est partitionné en trois parties disjointes : K = P N {0}. On dit que K est un corps ordonné lorsque P est stable pour l addition et la multiplication. Pour tout élément x de K, on a x P si et seulement si x N. Exemple : Q, R, {a + b 2, a, b Q} sont des corps ordonnés lorsqu on prend pour P l ensemble des éléments strictement positifs du corps et pour N l ensemble des éléments strictement négatifs. On suppose jusqu à la fin de cette section que K est un corps ordonné. Proposition 6.1 : Soient x, y K. On a x, y P xy P x, y N xy P x P, y N xy N Démonstration : Par exemple, si x P et y N, on a (xy) = x( y) P donc xy N. Proposition 6.2 : On a x K, x 2 P 1 P, 1 N x K, x P 1 x P Démonstration : Si x P, on a x 2 = xx P. De même si x N. Pour le second point, 1 = 1 2 P. Pour le dernier point, on a x 1 x = 1 P donc x et 1 x sont tous les deux dans P ou tous les deux dans N. Proposition 6.3 : On a x, y N, x + y N Démonstration : Car x + y = (( x) + ( y)). Définition 6.2 : Pour x, y K, on pose x < y y x P et x y x < y ou x = y. On définit de même x > y et x y. Remarque 6.1 : Pour tout élément x de K, on a donc x > 0 si et seulement si x P, et x < 0 si et seulement si x N. Les propositions ci-dessus nous indiquent donc que la règle des signes est vraie dans K, que tout carré est positif, que l inverse d un élément positif est positif, etc. Proposition 6.4 : La relation est un ordre total sur K. Démonstration : La réflexivité est évidente. Si x < y alors y x P donc x y P. Ainsi, si x y et y x, on a x = y d où l antisymétrie. Si x < y et y < z alors

77 II. BORNE SUPÉRIEURE 77 z x = (z y) + (y x) P donc x < z d où la transitivité. Soient enfin x, y K. y x est soit dans N auquel cas y < x, soit dans P auquel cas x < y soit nul auquel cas x = y. L ordre est total. Proposition 6.5 : Pour tous éléments x, y, z de K, on a x < y x + z < y + z x < y, z > 0 xz < yz x < y, z < 0 xz < yz Démonstration : Supposons x < y. Alors (y+z) (x+z) = y x P donc x+z < y+z. La réciproque et les autres points se démontrent de façon identique. Remarque 6.2 : On ne peut pas munir C d une structure de corps ordonné. En effet 1 = i 2, or 1 < 0 et tout carré est positif. I.2 Valeur absolue Définition 6.3 : Pour tout x K, on a appelle valeur absolue de x, et on note x, l élément de K x = max( x, x). Remarque 6.3 : On bien sûr x = x si x 0 et x = x si x 0. Proposition 6.6 : La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : x K, x 0. x K, x = 0 x = 0. x, y K, xy = x y. x, y K, x + y x + y. x, y K, x y x y. Démonstration : Seules les inégalités sont non triviales. On a x + y = max( x y, x + y) max( x y, x + y = x + max( y, y) = x + y. II Borne supérieure II.1 Notion de borne supérieure Définition 6.4 : Soit (E, ) un ensemble ordonné. Soit A E. On appelle borne supérieure de A le plus petit élément, lorsqu il existe, de l ensemble des majorants de A. On définit de même la notion de borne inférieure. En d autres termes, la borne supérieure M de l ensemble A est caractérisée par x A, x M. y < M, x A, y < x.

78 78 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS Notation : On note sup A la borne supérieure de A, lorsqu elle existe. De même on note inf A sa borne inférieure. Proposition 6.7 : Si A possède un plus grand élément, alors A possède une borne supérieure, et sup A = max A. La réciproque est fausse. Démonstration : Soit a = max A. Soit A + l ensemble des majorants de A. Soit y E. Supposons a y. Alors, pour tout x A, x a y, donc x y. Ainsi, y A +. Inversement, soit y A +. Comme a A, on a a y. Ainsi, y A + si et seulement si a y. Donc, A + a un plus petit élément : a. Exemple : On se place sur R muni de l ordre usuel. On a sup[0, 1] = 1, sup[0, 1[= 1. R + n a pas de borne supérieure. On se place dans R R muni de l ordre usuel. Soientt f, g R R, et A = {f, g}. L ensemble A n a pas, en général, de plus grand élément (prendre par exemple f(x) = sin x et g(x) = cos x). En revanche, A a une borne supérieure. C est la fonction h définie par h(x) = max(f(x), g(x)) pour tout réel x. Cette fonction est notée sup(f, g). Remarque 6.4 : Soit A une partie de l ensemble R. Supposons que A possède une borne supérieure. Alors : A est évidemment majorée puisque, par définition de la borne sup, l ensemble des majorants de A possède un plus petit élément (et donc, possède un élément!). A est non vide. En effet, tout réel majore l ensemble vide, et R n a pas de plus petit élément. Ainsi, si A possède une borne supérieure, alors A est non vide et majorée. Ce qui est tout à fait remarquable dans le cas des réels, c est que la réciproque est vraie. Exemple : On se place dans Q. Soit A = {x Q +, x 2 2}. Montrer que A est non vide et majoré, mais que A ne possède pas de borne supérieure. L ensemble A est clairement non vide puisque 1 A. De même, pour tout x A, on a x donc x 2 et A est majoré. Supposons que A possède une borne supérieure α. Nous allons montrer que α 2 = 2, ce qui est impossible car il n existe pas de rationnel dont le carré vaut 2. Tout d abord, supposons α 2 < 2. Soit h un rationnel tel que 0 < h < 2 α2 2α+1. On a alors (α + h) 2 = α 2 + h(2α + h) < α 2 + h(2α + 1) < 2. Mais alors, on a que α + h A, ce qui n est pas possible puisque α majore A. Donc, α 2 2. Supposons maintenant que α 2 > 2. Soit h un rationnel 0 < h < α2 2 2α. On a alors (α h)2 = α 2 2αh + h 2 > α 2 2αh > α 2 (α 2 2) = 2. Mais on aurait alors pour tout x A, x 2 2 α h, donc x α h. Ceci n est pas possible : α h ne majore pas A puisque α est le plus petit majorant de A. Remarque 6.5 : Dans tout ce qui suit, on ne parlera que de borne sup. Il existe évidemment des propriétés identiques pour la borne inférieure, que l on obtient par exemple en passant à l opposé.

79 II. BORNE SUPÉRIEURE 79 II.2 Le Théorème fondamental Théorème 6.8 : Il existe un corps K totalement ordonné contenant Q, et tel que toute partie non vide et majorée de K possède une borne supérieure. Un tel corps est unique à isomorphisme près. On choisit un tel corps, et on l appelle R. Lequel? Cela n a pas d importance, puisque tous ces corps sont isomorphes. Remarque 6.6 : Reprenons l exemple du paragraphe précédent, mais dans R au lieu de Q. Soit donc A = {x R +, x 2 2}. A est non vide et majorée, donc A possède une borne supérieure α. La même démonstration que ci-dessus nous prouve que α 2 = 2. Nous avons donc prouvé l existence d un réel α > 0 tel que α 2 = 2. Si l on remplace 2 par un réel t > 0 quelconque une démonstration identique nous dira que tout réel positif possède une racine carrée positive. Exercice : Montrer l unicité de la racine positive d un réel positif. II.3 La droite réelle achevée Pour simplifier certaines discussions dans le cours, on rajoute ici à R deux éléments, notés + et, pour fabriquer ce que l on appelle la droite réelle achevée, notée R.On va voir que toute partie de R posséde une borne supérieure. En contrepartie, les opérations ne sont plus que partiellement définies. Définition 6.5 : On appelle droite numérique achevée l ensemble R = R {, + } où et + sont deux objets sans signification. On étend ensuite les opérations et l ordre sur R à R. Définition 6.6 : On étend l ordre de R à R en posant, pour tout réel x, < x < +. Définition 6.7 : On étend partiellement l addition de R à R par le tableau suivant : + y R + N.D. x R x + y + + N.D. + + Définition 6.8 : On étend partiellement la multiplication de R à R par le tableau suivant : y R 0 y R N.D. x R + xy 0 xy 0 N.D N.D. x R + xyy 0 xy + + N.D. + +

80 80 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS Remarque 6.7 : On peut également convenir que l inverse des infinis est 0. En revanche l inverse de 0 pose problème d un point de vue algébrique à cause d une ambiguité de signe. Proposition 6.9 : Toute partie de R possède une borne supérieure. Démonstration : Soit A R. Si A =, alors sup A =. Sinon, on considère différents cas : Si + A, alors A possède un plus grand élément, qui est aussi sa borne supérieure : +. Si A = { }, alors sup A =. Sinon A \ { } est une partie non vide de R. Si cette partie est majorée dans R elle possède une borne supérieure réelle. Sinon, sup A = +. Les cas intéressants pour nous sont ceux où A est une partie non vide de R : Si A est majorée, alors A possède une borne supérieure réelle. Si A n est pas majorée, alors sup A = +. Remarque 6.8 : Soit A une partie non vide de R. Soit a A. Alors, les majorants de A sont plus grands que a, les minorants de A sont plus petits que a, et donc inf A sup A II.4 Propriété d Archimède Proposition 6.10 : Soient a et b deux réels positifs, avec b 0. Il existe alors un entier naturel n tel que nb > a. Démonstration : On suppose le contraire. L ensemble E = {nb, n N} est alors une partie de R, non vide, et majorée par a. Elle possède une borne supérieure M. Mais alors, M b n est pas un majorant de E. On peut donc trouver un entier n tel que nb > M b. D où (n + 1)B > M ce qui contredit le fait que M majore E. Corollaire 6.11 : tel que Soient a et b deux réels, b > 0. Il existe un unique entier relatif n nb a < (n + 1)b Démonstration : On suppose d abord a 0. Soit E l ensemble des entiers naturels n tels que nb > a. C est une partie de N, non vide d après la proposition précédente. Donc E a un plus petit élément m. L entier n = m 1 répond à la question. Supposons maintenant a < 0. Alors, a > 0 et il existe donc un entier n tel que nb a < (n + 1)b. Si a nb, l entier n 1 répond à la question. Sinon, l entier n répond à la question. Pour l unicité, on suppose que deux entiers m et n conviennent. On a nb a < (m + 1)b d où n < m + 1 et donc n m. De même m n et donc m = n. Une application importante de ce théorème est obtenue avec b = 1.

81 II. BORNE SUPÉRIEURE 81 II.5 Partie entière, Approximations décimales Définition 6.9 : Soit a R. On appelle partie entière de a l unique entier relatif n tel que n a < n + 1. On note E(a) ou a la partie entière de a. Remarque 6.9 : La partie entière de a est caractérisée par a Z et a a < a +1. Remarque 6.10 : On peut de la même façon définir le plafond de a, le plus petit entier supérieur ou égal à a. Il est caractérisé par a Z et a < a a + 1. Proposition 6.12 : Soit a un nombre réel. Il existe un unique entier relatif p tel que p 10 n a < p 10 n n Démonstration : On a 10 n a 10 n a < 10 n a + 1. En posant p = E(10 n a), on a le résultat. Définition 6.10 : Soit a un nombre réel et n N. On appelle valeur approchée de a à 10 n près par défaut tout réel x tel que x a x + 10 n. On définit de même une valeur approchée de a à 10 n près par excès comme tout réel x tel que x 10 n a x. Si on réinterprète le le résultat de la proposition précédente en termes de valeurs approchées, on obtient donc Proposition 6.13 : Le rationnel 10n a 10 est une valeur approchée de a à 10 n près par n défaut. Le rationnel 10n a n 10 est une valeur approchée de a à 10 n près par excès. n Exemple : 3.14 est une valeur approchée de π à 10 2 près par défaut est une valeur approchée de 2 à 10 3 près par excès. II.6 Densité des rationnels et des irrationnels Proposition 6.14 : Soient x et y deux réels distincts. Entre x et y, il y a au moins un rationnel et un irrationnel. Remarque 6.11 : Il y en a donc une infinité. Démonstration : Supposons par exemple x < y. Soit ε > 0. D après la propriété d Archimède, il existe un entier q tel que q > 1 ε, ou encore 0 < 1 q < ε. Prenons alors ε = y x. Toujours d après Archimède, il existe un entier p tel que (p 1) 1 q x < p 1 q. La première inégalité s écrit aussi p 1 q x + 1 q < x + ε < y. Donc x < p q < y et il y a bien un rationnel entre x et y. 1 Pour l irrationnel, il n y a qu à utiliser q à la place de 1 2 q. Remarque 6.12 : Cette propriété peut s écrire de bien des manières. Par exemple :

82 82 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS Pour tout réel x, pour tout ε > 0, il existe q Q tel que x q ε. Tout réel est la limite d une suite de rationnels. Et encore bien d autres façons... III Intervalles III.1 Notion d intervalle On distingue diverses familles d intervalles de R : Les intervalles bornés, qui peuvent être de 4 sortes : [a, b], [a, b[, ]a, b], ou ]a, b[, où a et b sont deux réels. L ensemble vide est donc a priori un intervalle. Les singletons aussi. Un cas important est celui des intervalles de la forme [a, b], appelés aussi segments. Les intervalles non bornés, qui peuvent être de 5 types : ], b], ], b[, ]a, + [, [a, + [ et ], + [= R. Parmi les intervalles, certains sont ouverts, d autres sont fermés. Précisément, et R sont à la fois ouverts et fermés. À part ces deux cas bizarres, sont ouverts les intervalles du type ]a, b[, ], b[, ]a, + [. Sont fermés les intervalles du type [a, b], ], b], [a, + [. III.2 Parties convexes Définition 6.11 : Soit A une partie de R. On dit que A est convexe lorsque pour tous éléments x et y de A, avec x y, le segment [x, y] est inclus dans A. Proposition 6.15 : est un intervalle. Soit A une partie de R. Alors A est convexe si et seulement si A Démonstration : Il est évident que tout intervalle est convexe (10 cas). Inversement, soit A une partie convexe de R. Si A est vide, c est bien un intervalle. Supposons donc A non vide. Prenons par exemple le cas où A est minorée et pas majorée. Alors A possède une borne inférieure, que l on va noter a. On va prouver que A = a, + [, ouvert ou fermé en a. Montrons que ]a, + [ A : soit z > a. z n est donc pas un minorant de A, et il existe x A tel que x < z. z n est pas non plus majorant de A, vu que A n est pas majorée. Donc, il existe y A tel que z < y. Mais A est convexe, donc [x, y] A et on a bien z A. Montrons que A [a, + [ : a minore A, donc pour tout z de A, on a a z. D où le résultat.

83 IV. EXERCICES 83 IV Exercices 1. Soient a et b deux réels positifs tels que a b. Simplifier a + 2 a b b + a 2 a b b. 2. Montrer : (a) a, b 0, a + b a + b (b) a, b R, a b a b 3. Soient A et B deux parties non vides et bornées de R telles que B A. Comparer les quantités sup A, sup B, inf A, inf B. 4. Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. Soit A + B = {x + y, x A, y B}. Prouver que A + B admet une borne supérieure, et que sup(a + B) = sup A + sup B. 5. Soit A une partie de R non vide et bornée. Soit B = { x y, x A, y A}. (a) Montrer que B est non vide et bornée. (b) Montrer que sup B = sup A inf A. (c) Montrer que B admet un plus petit élément, et que min B = Soit E = { p 2, p Z, n N}. Montrer que E est dense dans R. n 7. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a n + 1 n < 1 n n 1. En déduire la partie entière de Montrer que (a) x, y R, x + y x + y + x y. ( (b) x, y R, 1 + xy 1 (1 + x 1 )(1 + y 1 ). k=1 ) 1 k 9. Soit A = { 1 n + ( 1)n, n N }. Calculer, s ils existent, inf A et sup A. 10. Soit x R. Calculer x + x. 11. Soient x un nombre réel et n un entier naturel non nul. Démontrer que 12. Soient x et y deux réels. Comparer x y et x y. 2 n < nx n = x. 13. Pour x réel on appelle arrondi de x le réel α(x) = x On pose également δ(x) = x α(x). (a) Tracer le graphe de la fonction α. (b) Prouver que la fonction δ est 1-périodique. Tracer son graphe. (c) Tracer le graphe de la fonction x δ(x) δ(2x) δ(4x). (d) Si vous avez un ordinateur sous la main, tracez le graphe de la fonction ϕ n : x n δ(2 k x) k=0 pour des valeurs de n de plus en plus grandes. 2 k 14. Déterminer les applications f : R R vérifiant f(x) f(y) = x y pour tous réels x et y.

84 84 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS 15. Soit f : R + R définie par f(x) = x 1+x. Soit g : R R définie par g(x) = f( x ). (a) Montrer que f est croissante. (b) Soient x, y R tels que x + y x. Vérifier que g(x + y) g(x). (c) Soient x, y R tels que x + y y. Vérifier que g(x + y) g(y). (d) Soient x, y R tels que x + y > x et x + y > y. Montrer que g(x + y) g(x) + g(y). (e) Montrer que pour tous réels x et y, g(x + y) g(x) + g(y). 16. Soit f : [0, 1] [0, 1] croissante. Soit A = {x [0, 1], x f(x)}. (a) Montrer que A admet une borne supérieure a. (b) Montrer que f(a) majore A. (c) En déduire que f(a) A. (d) Prouver que f(a) = a. 17. Soient A et B deux parties non vides de R telles que a A, b B, a b. Montrer que sup A et inf B existent, et sup A inf B. 18. Soient a 1, a 2,..., a n n nombres réels tels que n k=1 a k = n k=1 a2 k = n. Calculer n k=1 (a k 1) 2 et en déduire que pour tout k entre 1 et n on a a k = Soient a 1, a 2,..., a n n nombres réels et b 1, b 2,..., b n n nombres réels strictement positifs. Montrer que min( a 1 b 1, a 2 b 2,..., an b n ) a 1+a a n b 1 +b b n. 20. Soit n N. Soit x R. Montrer que n 1 k=0 x + k n = nx. 21. Soit A une partie non vide de R. On suppose que A [a, b] où 0 < a < b. Soit B = { x y, x A, y A}. Prouver l existence de inf B et sup B et calculer ces deux réels.

85 Chapitre 7 Fonctions 85

86 86 CHAPITRE 7. FONCTIONS I Fonctions à valeurs réelles Dans cette section, l ensemble X désigne un ensemble quelconque. On s intéresse aux propriétés algébriques de l ensemble R X des fonctions de X vers R. Deux cas sont particulièrement intéressants : celui où X est un intervalle de R (c est ce qui se passe dans le cours d Analyse) et celui où X = N (ou une partie de N) dans le cours sur les suites à valeurs réelles. I.1 Fonctions à valeurs réelles On dispose sur R X des opérations suivantes : L addition, définie par (f + g)(x) = f(x) + g(x). La multiplication, définie par (fg)(x) = f(x)g(x). Le produit par un nombre réel, défini par (λf)(x) = λf(x). Proposition 7.1 : L ensemble R X, muni des opérations ci-dessus est un espace vectoriel et un anneau commutatif (on dit aussi une algèbre). Démonstration : Aucune difficulté. L élément neutre pour l addition est la fonction nulle. L élément neutre pour la multiplication est la fonction constante égale à 1. Remarque 7.1 : Une fonction est inversible pour la multiplication si et seulement si elle ne s annule pas. Or, pour un ensemble X ayant au moins deux éléments, il existe des fonctions X R différentes de la fonction nulle, et qui pourtant s annulent. L anneau R X n est donc pas un corps. Définition 7.1 : Pour f, g R X, on dit que f g lorsque x X, f(x) g(x) Proposition 7.2 : Cette relation est une relation d ordre partiel. Démonstration : Laissé en exercice. Pour l ordre partiel, prendre par exemple la fonction x x et x x. Aucune de ces fonctions n est plus petite que l autre. Définition 7.2 : Pour f, g R X, on appelle sup(f, g) la fonction définie par On définit de même inf(f, g). sup(f, g)(x) = max(f(x), g(x)) Remarque 7.2 : On a sup(f, g) = f+g 2 + f g f+g 2 et inf(f, g) = 2 f g 2. Exemple : On pose f + = sup(f, 0) et f = inf(f, 0). Alors, f + et f sont positives, et on a f = f + f et f = f + + f.

87 I. FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 87 I.2 Fonctions bornées Définition 7.3 : Soit f : X R. On dit que f est majorée lorsqu il existe M R tel que x X, f(x) M. minorée lorsqu il existe m R tel que x X, f(x) m. bornée lorsqu elle est majorée et minorée, ce qui peut s écrire : M R, x X, f(x) M Proposition 7.3 : L ensemble des fonctions bornées sur X est une algèbre. Démonstration : Laissé en exercice. I.3 Fonctions monotones Dans cette section, on suppose que X est une partie de R. Définition 7.4 : Soit f : X R. On dit que f est croissante lorsque x, y X, x y f(x) f(y). f est strictement croissante lorsque x, y X, x < y f(x) < f(y). On définit de même (strictement) décroissante. Enfin, f est (strictement) monotone lorsqu elle est croissante OU décroissante (strictement). Remarque 7.3 : La somme de deux fonctions croissantes est croissante. On ne peut en revanche rien dire de la différence de deux fonctions croissantes. Proposition 7.4 : La composée de deux fonctions monotones est monotone. Le sens de monotonie obéit à la règle des signes. Démonstration : Laissé en exercice. ( ) Exemple : La fonction x exp 2x+1 3x 4 pas 4 3. est monotone sur tout intervalle ne contenant I.4 Extrema Définition 7.5 : Soit f : I R. Soit a I. On dit que f admet un maximum (global) en a lorsque x I, f(x) a. On définit de même la notion de minimum. Définition 7.6 : Soit f : I R. Soit a I. On dit que f admet un maximum local en a lorsque il existe un réel δ > 0 tel que x I, x a δ f(x) a. On définit de même la notion de minimum local. Remarque 7.4 : Si une fonction admet un extremum global en un point, c est aussi bien entendu un extremum local. La réciproque est fausse, bien entendu aussi. Nous verrons plus tard des conditions d existence d extrema locaux ou globaux, liées à la nature de l intervalle I (segment) et à la régularité de f (continuité, dérivabilité).

88 88 CHAPITRE 7. FONCTIONS I.5 Parité, périodicité Définition 7.7 : Soit f : X R, où X est une partie de R symétrique par rapport à 0. On dit que f est paire lorsque On dit que f est impaire lorsque x X, f( x) = f(x) x X, f( x) = f(x) Proposition 7.5 : Les ensembles P(X, R) et I(X, R) des fonctions paires et des fonctions impaires sont des espaces vectoriels. De plus, toute fonction X R s écrit de façon unique comme somme d une fonction paire et d une fonction impaire. Démonstration : La structure d espace vectoriel est évidente. Soit f : X R. Supposons que f = g + h où g est paire et h est impaire. On a pour tout x X les deux égalités f(x) = g(x) + h(x) et f( x) = g(x) h(x). On en déduit g(x) = f(x)+f( x) 2 et h(x) = f(x) f( x) 2, d où l unicité. Inversement, on vérifient que ces deux fonctions sont bien respectivement paire et impaire, et que leur somme est f, d où l existence. Exemple : On a e x = cosh x + sinh x où cosh x = ex +e x 2 et sinh x = ex e x 2. Ces deux fonctions sont les fonctions cosinus et sinus hyperboliques. Nous les étudierons dans un chapitre ultérieur. Définition 7.8 : Soit f : X R. Soit T R. On dit que T est une période de f lorsque x X, x + T X. x X, f(x + T ) = f(x). La fonction f est dite périodique si elle admet au moins une période non nulle. Proposition 7.6 : Soit f : X R. L ensemble T (f) est un groupe pour la loi +. Démonstration : Il est clair que 0 est une période de f. Donc T (f). Soit T une période de f. On a pour tout x X f(x T ) = f(x T + T ) = f(x). Donc T est une période de f. Enfin, si T 1 et T 2 sont deux périodes de f, on a pour tout x X f(x + T 1 + T 2 ) = f(x + T 1 ) = f(x) donc T 1 + T 2 est une période de f. Ainsi, T (f) est un sous-groupe de R. Remarque 7.5 : On peut montrer que si G est un sous-groupe de R, alors on est dans un (et un seul) des trois cas ci-dessous : G = {0}. G possède un plus petit élément strictement positif : dans ce cas, il existe un réel α > 0 tel que G = αz. G ne possède pas de plus petit élément strictement positif : G est alors dense dans R.

89 II. DÉRIVATION 89 Ceci signifie qu il existe deux types de fonctions périodiques : Les fonctions dont le groupe des périodes est dense dans R. Ce sont des fonctions très compliquées. Les fonctions dont le groupe des périodes est de la forme T 0 Z avec T 0 > 0. On peut montrer que c est par exemple le cas lorsque la fonction est continue en au moins 1 point. C est le cas simple, la fonction possède alors une plus petite période strictement positive que l on appelle SA période. Proposition 7.7 : Soit T un réel. L ensemble des fonctions T -périodiques sur l ensemble X est une algèbre. Démonstration : exercice II Dérivation II.1 Notion de dérivée Nous faisons pour l instant une présentation rapide. Nous reviendrons plus en détail sur la notion de dérivée dans un chapitre ultérieur. Soit f : I R, où I est un intervalle. Soit a I. On dit que f est dérivable en a lorsque la quantité f(x) f(a) x a a une limite en a lorsque x tend vers a. Cette limite, notée f (a) peut alors être interprétée comme la pente de la tangente à la courbe de f au point d abscisse a. On obtient ainsi une équation cartésienne de cette tangente : (T ) y f(a) = f (a)(x a) On généralise sans difficulté la notion de dérivée à des fonctions f : I C, en prenant la même définition. On montre alors qu une telle fonction est dérivable si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont. II.2 Opérations sur les dérivées Nous admettons dans ce paragraphe un certain nombre de théorèmes sur les fonctions dérivables. Proposition 7.8 : Soit I un intervalle de R. Soient f, g : I R ou C deux fonctions dérivables. Soit λ R. La fonction λf est dérivable sur I et (λf) = λf. La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g) = f + g. La fonction fg est dérivable sur I et (fg) = f g + fg. Si g ne s annule pas, 1 g est dérivable sur I et ( 1 g ) = g. g 2 Proposition 7.9 : Soient I et J deux intervalles de R. Soient f : I J et g : J R ou C deux fonctions dérivables. Alors, g f est dérivable sur I et (g f) = f g f. Un cas important pour les fonctions à valeurs complexes, non couvert par le théorème précédent, est le suivant :

90 90 CHAPITRE 7. FONCTIONS Proposition 7.10 : Soit f : I C dérivable. Soit g = exp f. Alors, g est dérivable sur I et x I, g (x) = f (x) exp(f(x)). II.3 Monotonie Proposition 7.11 : Soit I un intervalle de R. Soit f : I R une fonction dérivable. La fonction f est croissante sur I si et seulement si f 0 sur I. constante sur I si et seulement si f = 0 sur I. décroissante sur I si et seulement si f 0 sur I. Proposition 7.12 : Soit I un intervalle de R. Soit f : I R une fonction dérivable. La fonction f est strictement croissante sur I si et seulement si f 0 sur I, et l ensemble des points où f s annule ne contient aucun intervalle non réduit à un point. Remarque 7.6 : C est par exemple le cas lorsque f s annule en un nombre fini de points, mais pas seulement. II.4 Réciproque d une fonction dérivable Proposition 7.13 : Soient I et J deux intervalles de R. Soit f : I J une bijection dérivable telle que f ne s annule pas. Alors, f 1 : J I est dérivable, et (f 1 ) = 1. f f 1 Remarque 7.7 : Tentons une interprétation géoétrique de la formule ci-dessus. Le graphe de f 1 est obtenue à partir du graphe de f par une symétrie par rapport à la droite d équation y = x. Soit a I, soit b = f(a) J. La formule nous dit que (f 1 ) (b) = 1 f (a). Par ailleurs, f (a) = tan α où α est l angle entre l axe Ox et la tangente au graphe de f au point (a, b). De même, (f 1 ) (b) = tan β où β est l angle entre l axe Ox et la tangente au graphe de f 1 au point (a, b). La formule nous dit que tan β = 1 tan α = tan( π 2 α). C est à dire que β = π 2 α. Logique, la symétrie par rapport à la droite y = x change un angle θ en l angle π 2 θ. III Logarithmes et exponentielles III.1 Logarithme népérien Définition 7.9 : La fonction logarithme népérien, notée ln, est l unique primitive sur R + de x 1 x qui s annule en 1. Elle est donc définie sur R + par ln x = x 1 dt t

91 III. LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 91 Proposition 7.14 : La fonction logarithme vérifie : x, y R +, ln(xy) = ln x + ln y Démonstration : Pour y > 0 fixé, la fonction f : x ln(xy) est dérivable sur R + et sa dérivée vaut f (x) = 1 x. La fonction x f(x) ln x est donc constante. Or celle-ci vaut ln y en x = 1. Remarque 7.8 : On en déduit pour x, y > 0 et n Z : ln x y = ln x ln y ln x n = n ln x Proposition 7.15 : La fonction logarithme est une bijection strictement croissante de ]0, + [ sur R, vérifiant lim ln x = + et lim ln x = x + x 0 Démonstration : Sa dérivée est strictement positive, d où la croissance stricte. De là, ln 2 > ln 1 = 0. Donc, ln(2 n ) = n ln 2 + lorsque n +. Donc, la fonction logarithme n est pas majorée, et tend vers + en +. On en déduit que ln x = ln 1 x lorsque x 0. Remarque 7.9 : Le logarithme népérien est un isomorphisme du groupe (R +, ) sur le groupe (R, +). III.2 Exponentielle Définition 7.10 : La fonction exponentielle, notée exp est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. C est une bijection strictement croissante de R sur R + vérifiant lim exp x = + et lim exp x = 0 x + x Elle est de classe C sur R et égale à sa dérivée. Remarque 7.10 : En tant que réciproque d un isomorphisme, l exponentielle est un isomorphisme du groupe R sur le groupe R +. Démonstration : On a exp = ln 1. D où la monotonie stricte, la continuité, les limites. De plus, ln est C et ln > 0 sur R + donc exp C (R). Enfin, pour tout x réel, exp (x) = = exp x. 1 ln (exp x) Proposition 7.16 : On a pour x, y R et n Z : exp 0 = 1 exp(x + y) = exp x exp y exp(x y) = exp x exp y

92 92 CHAPITRE 7. FONCTIONS exp(nx) = (exp x) n Démonstration : L exponentielle est un morphisme de groupes. Définition 7.11 : On note e = exp 1 l unique réel tel que ln e = 1. III.3 Logarithmes et exponentielles en base quelconque Définition 7.12 : Soit a > 0, a 1. On appelle logarithme de base a l application log a : R + R définie par log a x = ln x ln a Exemple : Pour a = 10, on a le logarithme décimal, noté simplement log. Pour a = e, on retrouve le logarithme népérien. Pour a = 2, on a le logarithme binaire, encore noté lg. Les propriétés du logarithme de base a sont tout à fait similaires à celles du logarithme népérien. Ces fonctions ne diffèrent que d une constante multiplicative 1 ln a. Définition 7.13 : Soi a > 0, a 1. La fonction logarithme de base a est une bijection de R + sur R. Sa réciproque est donc une bijection de R sur R +. On l appelle exponentielle de base a, et on la note (provisoirement) exp a. Les propriétés de l exponentielle de base a sont identiques à celles de l exponentielle. Proposition 7.17 : Soit a > 0, a 1. On a pour tout réel x exp a x = exp(x ln a) Démonstration : On a log a (exp(x ln a)) = Donc exp a (x) = exp(x ln a). ln(exp(x ln a)) ln a = x. Remarque 7.11 : On a pour tout entier naturel n (récurrence) exp a n = a n. Par passage à l inverse, c est encore vrai pour tout entier relatif n. On étend la notation à tout réel x en posant a x = exp(x ln a) Ainsi, e x = exp x. Dorénavant, nous n utiliserons plus la notation «exp», sauf lorsqu elle s avère plus pratique. III.4 Représentations graphiques.

93 IV. PUISSANCES 93 (a) Exponentielles (b) Logarithmes Figure 7.1 Exponentielles et logarithmes IV Puissances IV.1 Définition Définition 7.14 : avec a R. On appelle fonction puissance toute fonction φ a : R + R, x x a Remarque 7.12 : Il convient ici de faire une remarque sur l ensemble de définition des fonctions puissance. Pour a réel quelconque, cet ensemble de définition est R +, puisque, par définition, x a = e a ln x. Maintenant, si a est un entier naturel, x a = x x... x n fois. et la fonction x x a est définie sur R. Si a est un entier négatif, cette même fonction est définie sur R. Nous verrons un peu plus bas que si a est l inverse d un entier impair, la fonction est encore définie sur R. Bref, pour un a quelconque, les fonctions puissances sont définies sur R +, mais leur ensemble de définition peut être plus gros pour certaines valeurs de a. Proposition 7.18 : Pour a, b réels et x, y > 0 on a : x a y a = (xy) a x a x b = x a+b (x a ) b = x ab 1 a = 1 x 0 = 1 ln x a = a ln x Démonstration : (xy) a = exp(a ln(xy)) = exp(a(ln x + ln y)) qui se développe en exp(a ln x) exp(a ln y) = x a y a. Même démonstration pour toutes les égalités.

94 94 CHAPITRE 7. FONCTIONS Figure 7.2 Puissances IV.2 IV.3 Représentations graphiques variations On a d dx xa = ax a 1. On en déduit les variations de φ a, les limites en 0 et à l infini, et la courbe représentative. Remarque 7.13 : Si a > 0, la fonction x x a tend vers 0 lorsque x 0. Elle est donc prolongeable par continuité en 0 en posant 0 a = 0. Attention, cependant : on n a évidemment pas 0 a = exp(a ln 0)! Quand ce prolongement est-il dérivable en 0? Formons des taux d accroissement : xa 0 x 0 = xa 1 a une liite en 0 si et seulement si a 1. Pour a = 1, la dérivée en 0 vaut 1. Pour a > 1, cette dérivée est nulle. Remarque 7.14 : On rappelle que pour tout réel x, on a x 0 = 1. L élévation à la puissance 0 ne pose AUCUN problème. Ce qui est problématique, c est le calcul de limites de puissances dont l exposant TEND vers 0 (et pas dont l exposant VAUT zéro). IV.4 Racines Soit n un entier naturel non nul. La fonction R + R + définie par x x n est une bijection de R + sur R +. Sa réciproque est appelée fonction racine nème. On note n x l image du réel x 0 par cette application. Si n est un entier naturel impair la fonction x x n est une bijection R R ce qui permet de définir une fonction racine nème sur R. Pour n > 0 et x > 0, on a ( n x) n = x, donc n x = x 1 n. Ainsi, pour x > 0, d n d x = dx dx x 1 1 n = n x 1 n 1 = 1 n n x n 1 Lorsue n est impair et x < 0 la formule de dérivation ci-dessus reste encore valable.

95 V. FONCTIONS CIRCULAIRES 95 IV.5 Comparaison des logarithmes, puissances et exponentielles Proposition 7.19 : Si a et b sont deux réels strictement positifs, on a : (ln x) b lim x + x a = 0 et lim x 0 x a (ln x) b = 0 Démonstration : On montre d abord que ln x x t 1, on a t t, donc, pour x 1 : 0 ln x = x Ainsi, 0 ln x x 2 x. Dans le cas général, on a 1 (ln x) b x a = 0 lorsque x tend vers l infini. Pour dt x t dt = 2 x 2 2 x 1 t ( ) ( b b a ) b ln(x a/b ) x a/b En remplaçant x par 1 x on a le résultat lorsque x tend vers 0. Proposition 7.20 : Si a et b sont deux réels strictement positifs, on a exp(ax) lim x + x b = + et lim x x b exp(ax) = 0 Remarque 7.15 : Si a, b < 0, un passage à l inverse donne les limites demandées. Si a et b sont de signes contraires, il n y a aucune indétermination. V Fonctions circulaires V.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente Nous rappelons ici les principaux résultats sur les fonctions trigonométriques : Les fonctions sin et cos sont de classe C sur R, et de période 2π. La fonction sinus est impaire sa dérivée est cos. La fonction cosinus est paire, sa dérivée est sin. Nous n énumérerons pas les différentes symétries de ces fonctions : sin(π x) = sin x, sin(π +x) = sin x, etc. Elles se retrouvent facilement à l aide du cercle trigonométriques.les formules suivantes sont à connaître

96 96 CHAPITRE 7. FONCTIONS sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a b) = sin a cos b cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x sin a cos b = 1 2 (sin(a + b) + sin(a b)) cos a cos b = 1 2 (cos(a + b) + cos(a b)) sin a sin b = 1 2 (cos(a + b) cos(a b)) sin p sin q = 2 sin p q p+q cos cos p cos q = 2 sin p q p+q sin 2 La fonction tangente est quant à elle définie par tan x = sin x cos x. Elle est impaire, π-périodique. Son ensemble de définition est D = R \ { π 2 + kπ, k Z}. Elle est de classe C sur son ensemble de définition. On a x D, tan x = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x. On a tan a+tan b 1 tan a tan b tan a tan b 1+tan a tan b tan(a + b) = tan(a b) = tan 2x = 2 tan x 1 tan 2 x tan( π 2 + x) = 1 tan x tan( π 2 x) = 1 tan x Exercice : Pour quelles valeurs de a, b, x ces formules sont-elles vraies? Proposition 7.21 : Soit x R \ {π + 2kπ, k Z}, Soit t = tan x 2. On a cos x = 1 t2 1+t 2 sin x = 2t 1+t 2 tan x = 2t 1 t 2 V.2 Fonctions Arc sinus et Arc cosinus Proposition 7.22 : La fonction f : x sin x est une bijection continue et strictement croissante de [ π 2, π 2 ] sur [ 1, 1] Définition 7.15 : arcsin. La réciproque de f est appelée le fonction Arc sinus. On la note Remarque 7.16 : arcsin n est PAS la réciproque de sin, mais de l application que nous avons appelée f. Pour x [ 1, 1], arcsin x est l unique élément de [ π 2, π 2 ] dont le sinus vaut x. Par exemple, arcsin 0 = 0 puisque sin 0 = 0. Autre exemple, arcsin 1 = π 2 puisque sin π 2 = 1.

97 V. FONCTIONS CIRCULAIRES 97 (a) Sinus et cosinus (b) Tangente Figure 7.3 Sinus, cosinus, tangente Proposition 7.23 : La fonction arcsin est une bijection continue strictement croissante et continue de [ 1, 1] sur [ π 2, π 2 ]. Elle est impaire, puisque réciproque d une fonction impaire. Remarque 7.17 : On a pour tout x [ 1, 1], sin(arcsin x) = x. En revanche, la relation arcsin(sin x) = x n est valable que pour x [ π 2, π 2 ]. À titre d exercice, tracer le graphe de la fonction f : R R. x arcsin(sin x) Proposition 7.24 : La fonction g : x cos x est une bijection continue et strictement décroissante de [0, π] sur [ 1, 1] Définition 7.16 : arccos. La réciproque de g est appelée le fonction Arc cosinus. On la note Remarque 7.18 : arccos n est PAS la réciproque de cos, mais de l application que nous avons appelée g. Pour x [ 1, 1], arccos x est l unique élément de [0, π] dont le cosinus vaut x. Par exemple, arccos 0 = π 2 puisque cos π 2 = 0. Autre exemple, arccos 1 = 0 puisque cos 0 = 1. Proposition 7.25 : La fonction arccos est une bijection continue strictement décroissante de [ 1, 1] sur [0, π]. Elle n est ni paire, ni impaire. Remarque 7.19 : On a pour tout x [ 1, 1], cos(arccos x) = x. En revanche, la relation arccos(cos x) = x n est valable que pour x [0, π]. À titre d exercice, tracer le graphe de la fonction f : R R. x arccos(cos x) Exercice : 1. Simplifier cos(arcsin x) où x [ 1, 1]. 2. Faire de même avec sin(arccos x).

98 98 CHAPITRE 7. FONCTIONS 3. Montrer la relation arcsin x + arccos x = π 2 pour x [ 1, 1]. On pose pour cela y = π 2 arcsin x et on prouve que y [0, π] et cos y = x. Proposition 7.26 : Les fonctions Arc sinus et Arc cosinus sont de classe C sur ] 1, 1[ et x ] 1, 1[, arcsin 1 x = 1 x 2 x ] 1, 1[, arccos 1 x = 1 x 2 Remarque 7.20 : Ces fonctions ne sont pas dérivables en ±1, puisque les dérivées de leurs réciproques au point correspondant sont nulles. On a en ces points une tangente verticale. Représentations graphiques (a) Arc sinus (b) Arc cosinus Figure 7.4 Fonctions circulaires inverses V.3 Fonction Arc tangente Proposition 7.27 : La fonction h : x tan x est une bijection continue strictement croissante de ] π 2, π 2 [ sur R Définition 7.17 : arctan. La réciproque de h est appelée le fonction Arc tangente. On la note Remarque 7.21 : arctan n est PAS la réciproque de tan, mais de l application que nous avons appelée h. Pour x R, arctan x est l unique élément de ] π 2, π 2 [ dont la tangente

99 VI. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 99 vaut x. Par exemple, arctan 0 = 0 puisque tan 0 = 0. Autre exemple, arctan 1 = π 4 puisque tan π 4 = 1. Proposition 7.28 : La fonction arctan est une bijection continue strictement croissante de R sur ] π 2, π 2 [. Elle est impaire, puisque réciproque d une fonction impaire. Remarque 7.22 : On a pour tout x R, tan(arctan x) = x. En revanche, la relation arctan(tan x) = x n est valable que pour x ] π 2, π 2 [. À titre d exercice, tracer le graphe de la fonction f : R R. x arctan(tan x) Proposition 7.29 : La fonction Arc tangente est de classe C sur R, et : x R, arctan x = 1 x Remarque 7.23 : Pour x R, posons f(x) = arctan x + arctan 1 x. La fonction f est dérivable sur les intervalles R + et R, et sa dérivée y est nulle (le vérifier). Elle y est donc constante. De plus, f(1) = π 2 et f( 1) = π 2. On en déduit que x > 0, arctan x + arctan 1 x = π 2 et x < 0, arctan x + arctan 1 x = π 2. Représentation graphique Figure 7.5 Arc tangente VI Fonctions hyperboliques VI.1 Fonctions cosinus et sinus hyperbolique Définition 7.18 : On définit les fonctions sinus et cosinus hyperbolique pour tout x réel par : sinh x = ex e x et cosh x = ex + e x 2 2

100 100 CHAPITRE 7. FONCTIONS Proposition 7.30 : La fonction sinh est impaire, la fonction cosh est paire. Ces deux fonctions sont de classe C sur R et on a pour tout x R : sinh x = cosh x et cosh x = sinh x VI.2 Trigonométrie hyperbolique Proposition 7.31 : Les formules ci-dessous sont vraies pour tous réels x, a, b : e x = sinh x + cosh x cosh 2 x sinh 2 x = 1 sinh(a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b sinh(a b) = sinh a cosh b cosh a sinh b cosh(a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b cosh(a b) = cosh a cosh b sinh a sinh b sinh 2x = 2 sinh x cosh x cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x = 2 cosh 2 x 1 = sinh 2 x Remarque 7.24 : La formule cosh 2 t sinh 2 t = 1 permet de paramétrer l hyperbole x 2 y2 = 1 par x = ±a cosh t, y = b sinh t. a 2 b 2 VI.3 Fonction tangente hyperbolique Définition 7.19 : La fonction tangente hyperbolique, notée tanh, est définie sur R par tanh x = sinh x cosh x = e2x 1 e 2x + 1 = ex e x e x + e x Proposition 7.32 : La fonction tanh est impaire, de classe C sur R, et : x R, tanh x = 1 cosh 2 x = 1 tanh2 x Représentation graphique VI.4 Fonctions hyperboliques réciproques Définition 7.20 : La fonction «sinus hyperbolique» est continue et strictement croissante sur R. elle définit une bijection de R sur R dont la réciproque est appelée Argument sinus hyperbolique et notée argsh. La fonction argsh est ainsi une bijection continue, strictement croissante, et impaire, de R sur R.

101 VI. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 101 (a) Sinus et cosinus hyperboliques (b) Tangente hyperbolique Figure 7.6 Fonctions hyperboliques Définition 7.21 : La fonction cosinus hyperbolique est continue et strictement croissante sur R +. elle définit une bijection de R + sur [1, + [ dont la réciproque est appelée Argument cosinus hyperbolique et notée argch. La fonction argch est ainsi une bijection continue, strictement croissante, de [1, + [ sur R +. Proposition 7.33 : La fonction argsh est dérivable sur R, et x R, argsh x = x 2 La fonction argch est dérivable sur [1, + [, et x > 1, argch x = 1 x 2 1 Démonstration : Faisons-le pour argsh. On a pour tout réel x, argsh 1 x = sinh (argsh x) = 1 cosh(argsh x) = 1 = 1. 1+sinh 2 (argsh x) 1+x 2 Définition 7.22 : La fonction tangente hyperbolique est continue et strictement croissante sur R. elle définit une bijection de R sur ] 1, 1[ dont la réciproque est appelée Argument tangente hyperbolique et notée argth. La fonction argth est ainsi une bijection continue, strictement croissante, de ] 1, 1[ sur R. Proposition 7.34 : La fonction argth est dérivable sur R, et x R, argth x = 1 1 x 2

102 102 CHAPITRE 7. FONCTIONS (a) Arguments sinus et cosinus hyperboliques (b) Argument tangente hyperbolique Figure 7.7 Fonctions hyperboliques inverses Représentations graphiques Expression à l aide logarithmes Proposition 7.35 : On a : x R, argsh x = ln(x + x 2 + 1). x [1, + [, argch x = ln(x + x 2 1). x ] 1, 1[, argth x = 1 2 ln ( 1+x 1 x ). Démonstration : Faisons-le pour l argument sinus hyperbolique. Soient x, t R. On a sinh t = x si et seulement si e t e t = 2x ou encore T 2 2xT 1 = 0, où l on a posé T = e t. T > 0, et l unique racine strictement positive de l équation en T est x + x On en tire t = argsh x = ln(x + x 2 + 1).

103 VII. EXERCICES 103 VII Exercices 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f. Cette fonction est-elle paire? Impaire? (a) f(x) = 1 2x + 3 arcsin 3x 1 2 (b) f(x) = x 2 x sin x (c) f(x) = 2 x + 2 x (d) f(x) = ln x+3 x 3 (e) f(x) = 1 (f) f(x) = xe x x 2 cos(2x) (g) f(x) = 2x2 +3 x x 2 4 (h) f(x) = x 2 x sin x 2. Calculer la dérivée de la fonction f (a) f(x) = ln tan x 2 (b) f(x) = ln(x + x 2 + 1) (c) f(x) = arcsin 2x2 x 4 +1 (d) f(x) = e x arctan e x ln 1 + e 2x (e) f(x) = sin x 1+sin x + ln cos 2 x cos x 3. Soient m, n R, α, β R +. On pose f(x) = m x 2 + 2αx + β + (mα + n) arcsin x α. Quel est l ensemble de définition de f? Où la fonction f est-elle α 2 +β dérivable? Calculer la dérivée de f. 4. Résoudre : { 2 logx y + 2 log x, y > 0, y x = 5 xy = e 5. Résoudre : x R, ln x + 1 ln 2x + 1 ln Trouver la limite lorsque x +, de (xx ) x x xx. 7. Résoudre : x R +, x x = ( x) x. 8. Calculer Arccos(cos 2π 3 ), 2π 13π Arccos(cos ), Arcsin(sin 3 2 ), Arctan(tan 3π 4 ) 9. Calculer tan(arcsin x), sin(arccos x), cos(arctan x). On précisera à chaque fois les valeurs du réel x pour lesquelles les expressions ont un sens. 10. Simplifier : ch(ln x)+sh(ln x) (a) x où x 0.

104 104 CHAPITRE 7. FONCTIONS (b) sh 2 x cos 2 y + ch 2 x sin 2 y où x R. 11. Résoudre : x R, ch x = Montrer que le réel Arctan(e x ) Arctan(th x 2 ) ne dépend pas de x. Calculer sa valeur. 13. Pour quelles valeurs des réels x et y les expressions x un sens? Simplifier les expressions en question. ln(ln x) ln x et log x (log x x xy ) ont-elles 14. Soient a et b deux réels et n un entier naturel. Calculer n k=0 ch(a + kb). 15. Déterminer les limites en + des fonctions suivantes : (a) abx bax où 1 < a < b. (b) aax xxa où a > Pour chacune des expressions ci-dessous : dire pour quelles valeurs du réel x l expression a un sens, et simplifier l expression. (a) Argsh x2 1 2x (b) Argch(2x 2 1) (c) Argth 17. Résoudre : ch x 1 ch x+1 { Argsh x = 2 Argsh y x, y R, 3 ln x = 2 ln y 18. Tracer le graphe de la fonction x Arccos cos x + Arcsin sin x.

105 Chapitre 8 Primitives et Équations différentielles 105

106 106 CHAPITRE 8. PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES I Calculs de primitives I.1 Notion de primitive Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C. Définition 8.1 : Soit f : I K une fonction définie sur un intervalle I. Soit F : I K. On dit que F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I, et F = f. Exemple : Soit α C\{ 1}. Une primitive de x x α sur R + (ou plus selon les valeurs de α) est x xα+1 α+1. Une primitive sur R + de x 1 x est x ln x. Nous admettons le théorème suivant. Il sera démontré dans le chapitre d intégration. Proposition 8.1 : Soit f : I K une fonction continue. La fonction f admet des primitives sur I. Si F 0 est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions F = F 0 + c où c K. Notation : Soit f : I K continue. Soit F : I K une primitive de f sur I. Pour tous a, b I, on note b a f(x) dx = F (b) F (a), ou plus simplement b a f. Remarque 8.1 : Nous verrons plus tard que ceci est plus qu une notation, mais il faudra d abord avoir étudié la notion d intégrale. I.2 Primitives usuelles Le tableau ci-dessous résume les primitives à connaître. On trouve dans la première colonne la fonction à primitiver. Dans la deuxième colonne sont indiqués le ou les intervalles (les plus grands possibles) où la fonction possède des primitives. La dernière colonne contient l expression d une primitive de la fonction, valable sur tous les intervalles cités dans la colonne précédente. Pour avoir toutes les primitives, il convient bien entendu de rajouter des constantes.

107 I. CALCULS DE PRIMITIVES 107 Fonction f Intervalle(s) I Primitive f(x)dx sur I e αx (α C 1 ) R α eαx cosh αx(α R 1 ) R α sinh αx 1 sinh αx R α cosh αx 1 cos αx R α sin αx sin αx R 1 α cos αx x α (α C \ { 1}) R x +(au moins) α+1 α+1 1 x R + ou R ln x ln x R + ou R x ln x x 1 cosh 2 x = 1 tanh2 x R tanh x 1 sinh 2 x = coth2 x 1 R + ou R coth x 1 cos 2 x = 1 + tan2 x ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[, k Z tan x 1 sin 2 x = 1 + cot2 x ]kπ, (k + 1)π[, k Z cot x tan x ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[, k Z ln cos x cot x ]kπ, (k + 1)π[, k Z ln sin x tanh x R ln(cosh x) coth x R + ou R ln sinh x 1 cosh x R 2 arctan e x 1 sinh x R + ou R ln tanh x 2 1 cos x ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[, k Z ln ( tan x 2 + π ) 4 1 sin x ]kπ, (k + 1)π[, k Z ln tan x 2 1 (a R 1 ) R x 2 +a 2 a arctan x a 1 (a R 1 ) R \ { a, a } a 2 x 2 2a ln x+a x a 1 (a a 2 x 2 R ) ] a, a [ arcsin x a 1 (h x 2 +h R ) tout intervalle où x 2 + h 0 ln x + x 2 + h I.3 Intégration par parties Définition 8.2 : Soit f : I K. On dit que f est de classe C 1 sur I lorsque f est dérivable sur I et que sa dérivée, f, est elle-même une fonction continue sur I. On note C 1 (I) l ensemble des fonctions de classe C 1 sur I. Proposition 8.2 : Soient f, g C 1 (I). Soient a, b I. On a b ce que l on note plus simplement a f g = f(b)g(b) f(a)g(a) b a f g = fg b a b a fg b a fg

108 108 CHAPITRE 8. PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Démonstration : La fonction fg est une primitive sur I de la fonction (fg), continue sur I. On a donc b a (fg) = fg b a. Mais b a (fg) = b a (f g + fg ) = b a f g + b a fg. Exemple : Pour tout n N, notons I n (x) = x 0 tn e t dt. Soit n 1. On intègre par parties en posant f(t) = t n et g (t) = e t. Il vient I n (x) = t n e t x 0 + ni n 1(x) = e x + ni n 1 (x). Exercice : Calculer I n (x) sous forme d une somme puis trouver la limite de I n (x) lorsque x tend vers +. I.4 Changement de variable Proposition 8.3 : Soit ϕ : I R une fonction de classe C 1. Soit f une fonction continue sur ϕ(i) à valeurs réelles ou complexes. Soient a, b I. On a ϕ(b) ϕ(a) f(x) dx = b a f(ϕ(t))ϕ (t) dt Démonstration : Soit F une primitive de f sur l intervalle (voir cours sur les fonctions continues) ϕ(i). Une telle primitive existe car f est continue. On a b a f(ϕ(t))ϕ (t) dt = b a F (ϕ(t))ϕ (t) dt = b a (F ϕ) (t) dt = F ϕ b a. Mais cette dernière quantité est aussi F ϕ(b) ϕ(a) = ϕ(b) ϕ(a) f(x) dx. II Notion d équation différentielle II.1 C est quoi? Une équation différentielle est une équation où l inconnue est une fonction, définie sur un intervalle I de R, à valeurs dans R ou C, et régulière (dérivable un certain nombre de fois). L équation différentielle nous donne l existence d une relation entre la fonction inconnue, la variable (x), et les dérivées de la fonction jusqu à un certain ordre (ce que l on appelle l ordre de l équation différentielle). Une équation différentielle est donc quelque chose du genre : (E)F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 Résoudre (E), c est trouver tous les intervalles I et toutes les fonctions φ : I R ou C, n fois dérivables sur I, telles que x I, F (x, φ(x), φ (x), φ (x),..., φ (n) (x)) = 0 On ne sait pas en général résoudre les équations différentielles. Dans certains cas, il existe des théorèmes permettant d affirmer l existence de solutions, voire leur unicité lorsque l on impose des conditions initiales. Nous nous intéresserons dans les sections suivantes uniquement à des équations d un type très particulier, dites linéaires.

109 III. ÉQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE 109 II.2 Exemple Considérons l équation (E) y = y. Soit f : R R dérivable. Écrivons f(x) = e x g(x). La fonction g est elle aussi dérivable. f est solution de E sur R si et seulement si pour tout réel x on a f (x) = e x g(x) + e x g (x) = e x g(x), c est à dire si et seulement si g = 0 c est à dire g est constante. Les solutions de E sur R sont donc les multiples de la fonction exponentielle. II.3 Exemple Considérons l équation (E) y = 2 y. Cherchons les solutions de E sur R. Soit f dérivable sur R. Si f est solution de E, alors f 0 (à cause de la racine), et f 0 (à cause de la racine) donc f est croissante. Si f s annule en un réel a, alors, puisque f est positive et croissante, f est nulle sur ], a]. Et si f est non nulle en un réel a, alors f > 0 sur [a, + [ (croissance). Soit E = {x R, f(x) = 0}. Les remarques précédentes montrent qu les seules possibilités pour E sont (1), les intervalles (2)], a[ ou (3)], a] avec a réel, et (4)R. Le cas 2 est à exclure, car si f(x) = 0 pour tout x < a, alors, par continuité de f, f(a) = 0. Le cas 4 est évident : la fonction nulle est solution de E. Regardons les cas 1 et 3 : sur I = R ou ]a, +, f ne s annule pas, et f = 2 f, ou encore ( f) = 1. Il existe donc un réel b tel que pour tout x I, f(x) = (x b) 2. Mais cette fonction n est croissante et non nulle que sur ]b, + [. On voit donc que le cas 1 est aussi à exclure, et que b a. Mieux, f est nulle à gauche de a, et dérivable en a, donc f (a) = 0. Mais f d (a) = 2(a b), donc b = a. Finalement, f(x) = 0 si x a et f(x) = (x a) 2 si x a. Inversement, on vérifie que ces fonctions sont bien solutions de E. III Équations linéaires du premier ordre III.1 Équation homogène Proposition 8.4 : Soit a : I R ou C une fonction continue. Les solutions sur I de l équation différentielle (H) y + a(x)y = 0 sont les fonctions φ : x k exp( A(x)) où A est une primitive sur I de a et k R ou C. Démonstration : Soit φ 0 : x exp( A(x)). La fonction φ 0 est dérivable sur I, et on a pour tout x I, φ 0 (x) = A (x)φ 0 (x) = a(x)φ 0 (x). La fonction φ 0 est solution de (H). Soit maintenant une fonction φ dérivable sur I. On écrit φ = gφ 0, où g est dérivable sur I. Alors φ est solution de (H) si et seulement si φ + aφ = 0, c est à dire g φ 0 + gφ 0 + aφ 0 = 0. Mais φ 0 étant solution de (H), ceci équivaut à g φ 0 = 0, ou encore g = 0 puisque φ 0 ne s annule pas. En d autres termes, g est constante. Corollaire 8.5 : L ensemble S H des solutions de (H) sur I est une droite vectorielle, engendrée par φ 0.

110 110 CHAPITRE 8. PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Exercice : sur R. Résoudre l équadif (x + 1)y xy + 1 = 0 sur ], 1[, ] 1, + [, puis III.2 Équation avec second membre Proposition 8.6 : Soient a, b : I R ou C deux fonctions continues. Les solutions sur I de l équation différentielle (E) y + a(x)y = b(x) sont les fonctions φ : x k exp( A(x)) + φ 1 (x) où A est une primitive sur I de a,k R ou C et φ 1 est une primitive sur I de x b(x) exp A(x) Démonstration : Supposons trouvée une solution φ 1 de (E). Alors, pour toute fonction φ, φ est solution de (E) si et seulement si φ φ 1 est solution de (H). Il suffit donc de trouver UNE solution de (E) pour avoir TOUTES les solutions de (H) Cherchons une solution de (E) de la forme φ 1 (x) = g(x)φ 0 (x). Un calcul analogue à celui fait pour l équation homogène conduit à g (x)φ 0 (x) = b(x). Il suffit donc de prendre pour g une primitive de x b(x) exp A(x). Corollaire 8.7 : L ensemble S E des solutions de (E) sur I est une droite affine dont la direction est la droite vectorielle S H Exercice : Résoudre l équadif (x 1)y + (x 2)y = x(x 1) 2 sur ], 1[, ]1, + [, puis sur R. III.3 Une équation fonctionnelle Proposition 8.8 : Les applications f : R C dérivables vérifant sont les applications x ke λx où k, λ C. t, u R, f(t + u) = f(t)f(u) Démonstration : Soit f une telle application. On a alors f (t + u) = f (t)f(u). En particulier, on a f (t) = f(0)f(t), ou encore f = λf en posant λ = f(0). On en déduit que f(x) = ke λx avec k C. Inversement, une telle application convient. Proposition 8.9 : Les applications f : R + R dérivables vérifant sont les applications x k ln x où k, λ C. t, u R +, f(tu) = f(t) + f(u) Démonstration : Soit f une telle application. Posons g(x) = f(e x ). On a alors g(x) + g(y) = f(e x ) + f(e y ) = f(e x e y ) = f(e x+y ) = g(x + y). On en déduit que g(x) = kx avec k C et donc f(x) = k ln x Inversement, une telle application convient.

111 IV. RÉSOLUTION APPROCHÉE 111 III.4 Le problème de Cauchy On reprend les notations du paragraphe précédent. On s intéresse ici à la résolution de l équation (E) avec conditions initiales. Proposition 8.10 : Soit x 0 I et y 0 R ou C. Il existe une unique solution φ de l équation (E) telle que φ(x 0 ) = y 0. Démonstration : C est immédiat : on a l expression générale de φ. IV Résolution approchée On donne ici sans justification une méthode permettant d obtenir une valeur approchée d une solution φ de l équation différentielle (E)y = F (x, y), avec condition initiale : la méthode d Euler. On se fixe un réel δ > 0 supposé «petit». On pose x n = x 0 + nδ, et y n = φ(x n ) pour tout entier n tel que x n I. On part de φ(x 0 ) = y0. Le réel δ étant supposé «petit», on a φ(x 0 + h) φ(x 0 ) δ φ (x 0 ) = F (x 0, φ(x 0 ) ou encore φ(x 0 + δ) φ(x 0 ) + δf (x 0, y 0 ). Finalement : y 1 y 0 + δf (x 0, y 0 ) L erreur commise est liée à l identification entre le taux d accroissement avec la dérivée! Rien n empêche de poursuivre avec l approximation obtenue et d itérer le procédé. On a donc y n+1 y n + δf (x n, y n ) Prenons par exemple l équation y = y avec x 0 = 0 et y 0 = 1, c est à dire F (x, y) = y. La solution φ est l équation est bien sûr φ(x) = e x. La relation de récurrence devient y n+1 = y n + δy n = (1 + δ)y n, c est à dire que y n = (1 + δ) n. Particularisons encore, en posant h = 1/N. On a alors ( x N = 1, y N = ) N N La «vraie»valeur de y N est bien sûr e 1 = e. On peut montrer (on le fera!!) que ( ) N N tend vers e lorsque N tend vers l infini : si l on diminue la taille du pas de la méthode, on obtient a priori une meilleure approcimation des solutions. V Équations du second ordre On ne s intéresse qu à des équations à coefficients constants.

112 112 CHAPITRE 8. PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES V.1 Équation homogène Soient a, b, c trois nombres complexes, a 0. On considère dans ce paragraphe l équation différentielle (H)ay + by + cy = 0 Nous noterons C l équation caractéristique de (H) : (C)aX 2 + bx + c = 0 et = b 2 4ac le discriminant de cette équation. Proposition 8.11 : Si 0, les solutions de (H) sont les fonctions x λ 1 exp α 1 x + λ 2 exp α 2 x où λ 1 et λ 2 sont des nombres complexes, et α 1 et α 2 sont les racines de (C). Si = 0, les solutions de (H) sont les fonctions x (λ 1 x + λ 2 ) exp αx où λ 1 et λ 2 sont des nombres complexes, et α est l unique racine de (C). Démonstration : Soit µ C. f : x e µx. f est solution de H si et seulement si µ est une racine de l équation caractéristique. Soit maintenant φ : R C deux fois dérivable sur R.on pose φ(x) = g(x)e αx où α est une racine de (C). La fonction φ est solution de H si et seulement si aφ + bφ + cφ = 0, ou encore ag + (2aα + b)g + (aα 2 + bα + c)g = 0. Mais α est racine de C, donc g convient si et seulement si ah + (2aα + b)h = 0 où h = g. Ceci est une équation linéaire d ordre 1 en h. Il s agit maintenant de distinguer deux cas. Première possibilité, 2aα+b 0, c est à dire que le discriminant de l équation caractéristique est non nul. On obtient h(x) = k exp(λx) où k C et λ = 2aα+b a. De là, g(x) = K exp(λx) + K avec K, K C et φ(x) = K exp((λ + α)x) + K exp(αx). Mais λ + α = β, où β est l autre racine de l équation caractéristique. Ainsi, les solutions de H sont les fonctions de la forme φ(x) = K exp(αx) + K exp(βx). Deuxième cas, 2aα + b = 0. On obtient g(x) = Kx + K, d où φ(x) = (Kx + K ) exp(αx). Corollaire 8.12 : L ensemble S H des solutions de (H) est un plan vectoriel, engendré par Si 0 : x e α 1x et x e α 2x. Si = 0 : x e αx et x xe αx. Exercice : Résoudre les équations différentielles y +y = 0, y y = 0 et y 2y +y = 0. V.2 Le cas réel On suppose ici que a, b, c R et on cherche les solutions réelles de l équation H. Il y a maintenant trois cas, selon que le discriminant de l équation caractéristique est > 0, nul ou < 0. Les deux premiers cas donnent les mêmes solutions que dans le cas complexes (prendre évidemment K et K réels). Traitons le cas où < 0. Les racines de l équation caractéristique sont λ ± iω où λ R, ω R. Soit φ(x) = K exp((λ + iω)x) + K exp((λ iω)x). Cette fonction est à valeurs réelles si et seulement si, pour tout réel

113 V. ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE 113 x, φ(x) = φ(x), c est à dire K exp((λ + iω)x) + K exp((λ iω)x) = K exp((λ iω)x) + K exp((λ + iω)x) ou encore K exp(iωx) + K exp( iωx) = K exp( iωx) + K exp(iωx). La famille (x exp( iωx), x exp(iωx)) est libre dans le C-espace vectoriel C R, donc, une telle fonction convient si et seulement si K = K. Les solutions réelles de H sont les fonctions φ(x) = e λ x((p + iq)e iωx + (p iq)e iωx ) = e λ x(2p cos ωx 2q sin ωx), ou encore φ(x) = e λ x(a cos ωx + B sin ωx) avec A, B R. V.3 Équation avec second membre On s intéresse ici à l équation où g est une fonction continue (E)ay + by + cy = g(x) Proposition 8.13 : On suppose connue une solution φ 0 de (E). Alors une fonction φ est solution de (E) si et seulement si φ φ 0 est solution de (H). Corollaire 8.14 : L ensemble S E des solutions de (E), s il est non vide, est un plan affine dont la direction est S H. Il reste évidemment à trouver UNE solution de E. Nous allons nous concentrer sur un cas particulier : on considère un second membre de la forme g(x) = Ae αx où A et α sont deux nombres complexes, A 0. Proposition 8.15 : Il existe une solution de (E) de la forme Q(x)e αx, où Q est un polynôme. Plus précisément : Si α n est pas racine de l équation caractéristique, alors deg Q = 0. Si α est racine de l équation caractéristique, et que l équation caractéristique a deux racines distinctes, alors deg Q = 1. Si α est racine de l équation caractéristique, et que l équation caractéristique a une racine double, alors deg Q = 2. Démonstration : Soit φ(x) = Q(x)e αx. La fonction φ est solution de (E) si et seulement si aq + (2aα + b)q + (aα 2 + bα + c)q = A Si α n est pas racine de l équation caractéristique, le degré du premier membre est celui de Q. Ainsi, si une solution existe, on doit avoir d o Q = 0. Si α est racine de l équation caractéristique, l équation devient aq + (2aα + b)q = A. Encore deux cas. Si l équation caractéristique a deux racines distinctes, alors 1aα + b 0 et on doit donc avoir d o Q = 1. Sinon, l équation devient aq = A, et Q est alors évident : on prend une primitive d une primitive de A a X2. Regardons quelques exemples. Remarque 8.2 : Soient (E 1 ) et (E 2 ) les équations différentielles (E 1 )ay + by + c y = g 1 (x)

114 114 CHAPITRE 8. PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES (E 2 )ay + by + c y = g 2 (x) Si f 1 est solution de (E 1 ) et f 2 est solution de (E 2 ), alors f 1 + f 2 est solution de : (E)ay + by + c y = g 1 (x) + g 2 (x) On peut donc résoudre toute une classe d équations différentielles, puisque, par exemple, un sinus ou un cosinus sont des combinaisons d exponentielles. Exercice : Résoudre les équations différentielles y + y = e x et y y = e x. Exercice : Résoudre l équation différentielle y + y = cos x. V.4 Problème de Cauchy Proposition 8.16 : Soit l équation différentielle (E)ay + by + cy = g(x) où g est continue sur l intervalle I. On suppose que l équation (E) a une solution. Soit x 0 I. Soient y 0, y 1 C. Il existe une unique solution φ de (E) telle que φ(x 0 ) = y 0 et φ (x 0 ) = y 1. Démonstration : On a φ(x) = λ 1 φ 1 (x) + λ 2 φ 2 (x) + ψ(x) où (φ 1, φ 2 ) est une base de l espace des solutions de (H) (tout dépend du discriminant de l équation caractéristique), et ψ est une solution particulière de (E). L écriture des conditions initiales fournit le système { λ1 φ 1 (x 0 ) + λ 2 φ 2 (x 0 ) + ψ(x 0 ) = y 0 λ 1 φ 1 (x 0) + λ 2 φ 2 (x 0) + ψ (x 0 ) = y 1 Ce système de deux équations à deux inconnues a pour déterminant D = (φ 1 φ 2 φ 2φ 1 )(x 0). On trouve, si 0, D = (α 2 α 1 )e (α 1+α 2 )x 0, et si = 0, D = e 2αx 0. Ce système a donc une unique solution.

115 VI. EXERCICES 115 VI Exercices 1. Calculer les primitives des fonctions f ci-dessous. (a) f(x) = 1 x x 2 +x+1 (b) f(x) = sin3 x cos 5 x (c) f(x) = 1 cos x 1 sin x (d) f(x) = x x. Poser t = sin x.. Poser t = (e) f(x) = 1 x 1 3 x. Poser t = 6 x. (f) f(x) = arctan (g) f(x) = (h) f(x) = 1+x 3+x 1+x x x2 1 x arcsin x. Poser t = arcsin x, puis intégrer par parties. 2 sin x cos x+sin x (i) f(x) = (x 3 x 1)e x (j) f(x) = e x sin x ln ln x (k) f(x) = x (l) f(x) = x 2 arctan(3x) (m) f(x) = sin ln x (n) f(x) = arcsin 2 x (o) f(x) = 1 2+3x 2x 2 et g(x) = cos x cos x+sin x. On pourra intégrer f + g et f g. 2. Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles où la fonction en facteur de y ne s annule pas. Résoudre ensuites ces mêmes équations sur l intervalle «le plus grand possible». (a) y + 2y = x 2 2x + 3. (b) xy ln x y = 1 x (ln x + 1). (c) (1 + x)y + y = 1 + ln(1 + x). (d) y + y = 1 1+e x. (e) y sin x y cos x + 1 = 0. (f) 2xy + y = x n (n entier naturel). (g) (x 1)y + (x 2)y = x(x 1) 2. (h) (x + 1)y xy + 1 = Déterminer les fonctions f : R R continues vérifiant x R f(x) = cos x x x 0 (x t)f(t) dt

116 116 CHAPITRE 8. PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 4. Trouver toutes les fonctions f dérivables sur R vérifiant x R f (x) = f(1 x) On montrera auparavant que de telles fonctions sont nécessairement deux fois dérivables. 5. Résoudre sur R les équations linéaires d ordre 2 ci-dessous. (a) y + 3y + 2y = e x. (b) y + 3y + 2y = e x. (c) y y = cosh x. (d) y + y = x sin x. 6. Soit l équation différentielle y cos x + y sin x y cos 3 x = 0. Montrer qu il existe une fonction φ telle que, en posant y = z φ, on puisse ramener la résolution de cette équation différentielle à celle d une équation différentielle en z à coefficients constants. Résoudre sur les intervalles où cos x ne s annule pas. 7. Soit l équation différentielle x 2 y + xy (x 2 + x + 1)y = 0 Poser y = z e x x et résoudre sur R + et sur R. Donner ensuite les solutions sur R. 8. Soit l équation différentielle (1 + x 2 ) 2 y + 2x(1 + x 2 )y + y = 0 (a) S inspirer de l exercice 5 pour se ramener à une équation différentielle à coefficients constants. (b) Résoudre sur R. 9. Soit l équation différentielle (E) ax 2 y + bxy + cy = 0 où a, b, c sont trois réels, a 0. (a) En posant z(t) = y(e t ), montrer que y est solution de (E) sur R + si et seulement si z est solution d une équation du second ordre à coefficients constants que l on déterminera. (b) Résoudre l équation x 2 y xy + y = 0 sur R +, sur R, puis sur R.

117 Chapitre 9 Suites réelles 117

118 118 CHAPITRE 9. SUITES RÉELLES Une suite à valeurs dans l ensemble E est une application u : N E. Dans ce chapitre nous ne considérerons quasiment que des suites à valeurs dans R ou C. L image de l entier n par la suite u et est appelée le nième terme de la suite. La suite u est aussi notée (u n ) n N. On considère parfois des suites «démarrant au rang n 0» c est à dire des applications u : [n 0, + [ E. I Limite d une suite I.1 Limite réelle Définition 9.1 : lorsque Soit u une suite réelle. Soit l R. On dit que la suite u tend vers l ε > 0, N N, n N, n N u n l ε Exemple : La suite de terme général u n = 3n 1 tend vers 0. Soit pour cela ε > 0. Alors, n 2 +5 u n ε dès que 3 n ε, puisque 3n 1 3n et n2 + 5 n 2. Donc, en posant N = 3 ε + 1, on a pour tout n N l inégalité u n ε. Exercice : Montrer que la suite de terme général u n = 2n 1 3n+5 tend vers 2 3. Exemple : Soit q un réel, q < 1. Alors, q n tend vers 0 lorsque n tend vers l infini. Posons en effet 1 q = 1 + h, avec h > 0. Alors, 1 q = (1 + h) n 1 + nh. Donc, q n ε dès n 1 ε, ou encore dès que n 1 ε 1 h. que 1 q n Proposition 9.1 : Une suite possède au plus une limite. Démonstration : Soit u une suite. Supposons que u tend vers le l et aussi vers l l. Soit ε = 1 3 l l. Il existe un entier N tel que pour tout n N, u n l ε et un entier N tel que pour tout n N, u n l ε. Soit N = max(n, N ). On a l l l u N + u N l 2ε 2 3 l l d où 1 2 3, contradiction. Remarque 9.1 : On dit ainsi que l est LA limite de la suite u. On note u l, ou u n l lorsque n, ou l = lim n u n, ou l = lim u. Définition 9.2 : Une suite est dite convergente lorsqu elle a une limite réelle. Sinon, on dit qu elle est divergente. Proposition 9.2 : Toute suite convergente est bornée, la réciproque étant fausse. Démonstration : Supposons que u l R. Il existe un entier N tel que pour tout n, on ait n N u n l 1 ce qui entraîne u n 1 + l. On en déduit que, pour TOUT entier n, u n max( u 0, u 1,..., u N 1, 1 + l )

119 I. LIMITE D UNE SUITE 119 Il est facile de trouver des suites bornées divergentes, comme par exemple la suite (( 1) n ) n 0. Proposition 9.3 : Le produit d une suite bornée par une suite qui tend vers 0 est une suite qui tend vers 0. Si une suite tend vers l R, sa valeur absolue tend vers l. Une suite tend vers 0 si et seulement si sa valeur absolue tend vers 0. Démonstration : Soient u une suite bornée et v une suite qui tend vers 0. Il existe donc un réel M > 0 tel que pour tout entier n, u n M. Soit ε > 0. Il existe un entier N tel que pour tout n N, v n ε/m. Mais alors u n v n M ε M = ε. Supposons que u tend vers l. On a pour tout entier n u n l u n l donc u tend vers l. Enfin, u n 0 = u n 0 d où l équivalence lorsque la suite tend vers 0. Proposition 9.4 : Soient u et v deux suites. On suppose que v 0, et que pour tout n assez grand, u n v n. Alors u 0. Démonstration : Soit ε > 0. Il existe N tel que pour tout n N, on ait v n ε. Soit N tel que pour tout n N on ait u n v n. Alors, pour tout n max(n, N ), on a u n ε. Donc, u tend vers 0. I.2 Limite infinie Définition 9.3 : Soit u une suite réelle. On dit que la suite tend vers + lorsque M R, N N, n N, n N u n M On définit de même une suite tendant vers. Exemple : La suite de terme général u n = n2 +5 3n 1 tend vers +. On remarque pour cela que u n n2 3n = n/3 donc u n M dès que n 3M. Exemple : Soit q un réel, q > 1. Alors q n tend vers +. Posons en effet q = 1 + h, avec h > 0. Alors, q n = (1 + h) n 1 + nh. Étant donné un réel M, on aura donc q n M dès que n M 1 h. Proposition 9.5 : Une suite possède au plus une limite, finie ou infinie. Démonstration : Une suite convergente est bornée, alors qu une suite qui tend vers l infini ne l est pas. Une suite ne peut pas tendre à la fois vers l infini, et vers une limite finie. Une suite qui tend vers + sera supérieure à 1 pour n assez grand. Une telle suite ne peut donc pas tendre vers. Enfin, on a déjà vu qu une suite ne peut pas tendre vers deux réels distincts.

120 120 CHAPITRE 9. SUITES RÉELLES I.3 Opérations sur les limites Proposition 9.6 : Soient u et v deux suites réelles. On suppose que u n l et v n l lorsque n. Soit λ R. Alors : u + v l + l. uv ll. λu λl. Démonstration : On a (u n + v n ) (l + l ) u n l + v n l ε dès que u n l ε/2 et v n l ε/2, ce qui est le cas pour n assez grand. Plus subtil, u n v n ll = u n (v n l ) + l (u n l) u n v n l + l u n l. La suite u converge, ε 2( l +1) donc u n est majoré par un réel M > 0. On aura u n v n ll ε dès que u n l et v n l ε 2M, ce qui est le cas pour n assez grand. En ce qui concerne le produit par λ, preuve laissée en exercice. Remarque 9.2 : Le théorème ci-dessus nous dit que l ensemble R N c des suites réelles convergentes est une algèbre, et que l application u lim u est un morphisme de cette algèbre vers R. Proposition 9.7 : Les résultats ci-dessus restent vrais pour des limites infinies, à condition de ne pas être dans un cas d indétermination. Remarque 9.3 : Les indéterminations en question sont et 0. Se reporter aux tableaux des opérations sur la droite réelle achevée. Proposition 9.8 : Soit u une suite tendant vers l R +. Alors : Il existe un réel m > 0 et un entier n 0 tels que n n 0, u n m. 1 u tend vers 1 l lorsque n tend vers l infini. Démonstration : Faisons la preuve pour l R +. On applique la définition de limite avec ε = l 2 : pour tout n assez grand, on a l 2 u n 3 l 2. D où le premier point en posant m = l 1 2. Puis, pour n assez grand, u n 1 l = un l u n l un l ml qui est inférieur à tout ε > 0 pourvu que u n l mlε. Proposition 9.9 : Soit u une suite strictement positive tendant vers 0. ALors, 1 u tend vers + lorsque n tend vers l infini. Proposition 9.10 : Soit u une suite tendant vers l R. Soit f une fonction définie au voisinage de l, et telle que f(x) l R lorsque x tend vers l. Alors, f(u n ) tend vers l lorsque n tend vers l infini. Nous admettons pour l instant ce théorème, puisque la notion de limite pour les fonctions n a pas encore été abordée de façon théorique. On l utilisera sur des cas simples. Exemple : nulle. Si u n, alors e un 0 puisque la limite de l exponentielle en est Exemple : Soit (u n ) la suite définie par récurrence par u 0 = 0, et n 0, u n+1 = 1 + un. Supposons que lu n converge vers un réel l. Alors, 1 + u n converge vers 1 + l.

121 I. LIMITE D UNE SUITE 121 De plus, u n+1 converge aussi vers l (voir suites extraites). Par unicité de la limite, il vient L = 1 + l. Comme les u n (et donc l) sont des réels positifs, on en déduit que SI la suite converge, c est forcément vers I.4 Limites et ordre Proposition 9.11 : Soient u et v deux suites tendant respectivement vers les réels achevés l et l. On suppose que pour tout entier n assez grand, on a u n v n. ALors, l l. Démonstration : Soit ε > 0. Il existe trois entiers N, N, N tels que n N, u n l ε, n N, v n l ε et n N, u n v n. On a donc pour tout n max(n, N, N ), l ε u n v n l + ε. Ainsi, l l + 2ε, ceci pour tout ε > 0. D où l l. Ne pas confondre ce résultat (passage à la limite dans une inégalité) avec le suivant (théorème d encadrement) Théorème 9.12 : Soient u, v, w trois suites réelles. On suppose que u et w convergent vers une même limite réelle l et que, de plus, la double inégalité u n v n w n est vérifiée pour tout n assez grand. Alors, la suite v converge vers l. Démonstration : On a pour tout n assez grand l ε u n v n w n l + ε. Théorème 9.13 : Soient u, v deux suites réelles. On suppose que u tend vers + et que, de plus, l inégalité u n v n est vérifiée pour tout n assez grand. Alors, la suite v tend vers +. Démonstration : Soit M R. On a pour tout n assez grand M u n v n. Exemple : Soit u n = 2 n k=1 1 k. On a u n+1 u n = 2 n+1 k=2 n +1 1 k 1 2. Minorer chaque terme 1 de la somme par et remarquer que cette somme comporte 2 n termes. Donc, u 2 n+1 n n 2 et u n tend vers +. I.5 Suites extraites Définition 9.4 : Soit u une suite. On appelle suite extraite de u toute suite v pour laquelle pour tout n v n = u φ(n), où φ est une fonction strictement croissante de N vers N. Proposition 9.14 : Toute suite extraite d une suite tendant vers l R tend également vers l. Démonstration : On montre d abord par une récurrence triviale sur n que φ(n) n. Faisons par exemple la preuve pour l réel. Étant donné ε > 0, il existe N tel que n N u n l ε. Mais alors, si n N, φ(n) n N, donc u φ(n) l ε. Donc, v n l. Cette proposition sert essentiellement à montrer qu une suite est divergente, ou à trouver des conditions pour qu elle converge. Prenons deux exemples.

122 122 CHAPITRE 9. SUITES RÉELLES Exemple : La suite de terme général u n = ( 1) n n a pas de limite. En effet, u 2n tend vers 1 et u 2n+1 tend vers 1. Exemple : Soit la suite définie par u n = cos nx, où x R et supposons que cette suite converge vers un réel l. Alors u 2n = 2 cos 2 nx 1 = 2u 2 n 1, extraite de u, tend aussi vers l. Mais elle tend aussi vers 2ll 2 1. Donc, par unicité de la limite, l = 2l 2 1, d où l = 0 ou l = 1 2. De la même façon, u 3n = 4u 3 n 3u n donc l = 4l 3 3l et donc l = 0, 1 ou 1. En réunissant les deux, on en déduit que l = 1. Mais alors, sin 2 nx = 1 u 2 n tend vers 0. Donc, sin nx tend aussi vers 0. On considère enfin u n+1 = cos nx cos x + sin nx sin x qui tend vers cos x. Mais c est encore une suite extraite de u, elle tend donc vers 1. Ainsi, cos x = 1 donc x 2πZ. Bilan : si x n est pas un multiple de 2π, la suite diverge. Et sinon, la suite est constante égale à 1, donc converge. Ce résultat possède un certain nombre de «réciproques» utiles. Citons la suivante : Proposition 9.15 : Soit u une suite réelle. On suppose que les deux suites (u 2n ) n 0 et (u 2n+1 ) n 0 tendent vers une même limite l lorsque n tend vers l infini. Alors, la suite u tend vers l. Démonstration : Soit ε > 0. Il existe deux entiers N et N tels que, pour tout n N, on ait u 2n l ε et pour tout n N on ait u 2n+1 l ε. Alors, pour tout n max(2n, 2N + 1), on a u n l ε. ( 1) k+1 Exemple : Considérons u n = n k=1 k. Posons v n = u 2n et w n = u 2n+1. On montre alors que ces deux suites sont adjacentes, donc convergent vers une même limite (voir plus loin). Ainsi, la suite u converge. Sa limite est ln 2, mais ceci est une autre histoire! II Théorèmes d existence de limites II.1 Suites monotones Proposition 9.16 : Une suite u est croissante si et seulement si pour tout entier n, u n u n+1. Démonstration : On rappelle qu une suite u est croissante si et seulement si pour tous entiers n et n, l inégalité n n entraîne u n u n. Si u est croissante, on a clairement la propriété demandée. Supposons inversement que pour tout entier n, on ait u n u n+1. Une récurrence triviale montre que pour tous entiers n et p, on a u n u n+p. Mais ceci n est autre que la croissance de u. Proposition 9.17 : Soit u une suite croissante de réels. Si u est majorée, alors u n converge vers l = sup{u n, n 0}. Si u n est pas majorée, alors u n diverge vers +.

123 II. THÉORÈMES D EXISTENCE DE LIMITES 123 Démonstration : Supposons u majorée. L ensemble E = {u n, n N} est une partie de R non vide et majorée, qui possède donc une borne supérieure l. Soit ε > 0. Le réel l ε ne majore pas E, il existe donc N tel que u N > l ε. Mais alors, pour tout n N, on a l ε u N u n l l + ε, donc u n l ε. Le cas où u n est pas majorée est laissé en exercice. II.2 Suites adjacentes Définition 9.5 : Soient u et v deux suites réelles. On dit qu elles sont adjacentes lorsque L une croît, l autre décroît. Leur différence tend vers 0. Proposition 9.18 : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Démonstration : Supposons par exemple que u croît et v décroît. La suite (v n u n ) est donc décroissante, et tend vers 0. Donc, v n u n 0 pour tout n. En conséquence, on a pour tout n u n v n v 0. La suite u est croissante et majorée, donc converge vers un réel l. De même, v n u n u0, donc v converge vers un réel l. Comme v n u n tend vers 0, on conclut enfin que l = l. Exercice : On pose pour tout entier n 1, u n = n k=1 1 k, et v n = n k=1 1 k ln n. Ces deux suites sont adjacentes. Leur limite commune, γ , est appelée la constante d Euler. Remarque 9.4 : vérifie Étant données deux suites adjacentes u et v, leur limite commune l n N, u n l v n On dispose donc d un ecadrement de la limite. La précision de cet encadrement, ε n = v n u n, tend vers 0 lorsque n tend vers l infini. Proposition 9.19 : théorème des segments emboîtés. Soit (I n ) une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0. Alors, l intersection des I n est un singleton. Démonstration : Posons I n = [a n, b n ]. Les hypothèses du théorème nous disent que (a n ) croît, (b n ) décroît, et b n a n tend vers 0. Les suites a et b sont donc adjacentes, et convergent vers une même limite l. Posons I = n N I n. On a tout d abord a n l b n pour tout n, donc l I. Par ailleurs soit x I. On a alors a n x b n pour tout n. On en tire facilement x l b n a n pour tout n. D où, en passant à la limite, x = l. II.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass Théorème 9.20 : converge. Soit u une suite réelle bornée. Il existe une suite extraite de u qui

124 124 CHAPITRE 9. SUITES RÉELLES Démonstration : Posons, pour tout n 0, v n = sup k n u k. La borne sup existe car u est majorée. De plus, v décroît. Enfin, v est minorée car u l est. Donc, v converge vers un réel l. Montrons qu il existe une suite extraite de u qui converge vers l. Soit ε > 0. On a alors pour tout n assez grand v n l ε/2 et il existe donc, pour tout n assez grand, un entier k n tel que u k l ε. D autre part, pour tout n assez grand v n l + ε et donc, pour tout n assez grand, pour tout k n, u k l + ε. On a donc pour tout ε > 0, pour tout n assez grand, l existence d un entier k n n tel que u kn l ε. On prend successivement ε = 1, 1 2, 1 3,... pour construire une suite strictement croissante d entiers naturels k 1, k 2, k 3 telle que pour tout i 1, u ki l 1 i. La suite de terme général u ki est extraite de la suite u et converge vers l. III Suites complexes III.1 Introduction Soit (z n ) une suite à valeurs complexes. On peut fabriquer à partir de (z n ) un certain nombre de suites : (Re z n ), (Im z n ), et ( z n ), qui sont des suites réelles. (z n ), qui est une suite complexes. Définition 9.6 : La suite (z n ) est dite bornée lorsque la suite réelle ( z n ) est bornée. Proposition 9.21 : Une suite complexe est bornée si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont bornées. Démonstration : Ceci résulte des inégalités Re z z Re z + Im z et Im z z Re z + Im z valable pour tout nombre complexe z. III.2 Limites La définition de limite dans C reste inchangée pour les suites complexes, le module remplaçant la valeur absolue. En revanche, on ne parle pas de limite infinie pour une suite complexe. Proposition 9.22 : Une suite complexe est convergente si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont convergentes. Plus précisément, si L C, on a z n L Re z n Re L et Im z n Im L Démonstration : Dans un sens, on a z n l Re z n Re l + Im z n Im l. Donc, si partie réelle et partie imaginaire convergent, la suite aussi. Inversement, on a Re z n Re l z n l, donc si la suite converge il en va de même pour sa partie réelle. Idem pour la partie imaginaire.

125 IV. RÉCURRENCES LINÉAIRES 125 Restent vrais tous les théorèmes «ayant un sens», c est à dire ne faisant pas appel à des comparaisons de termes de la suite (il n y a pas de relation d ordre dans C!) : opérations sur les limites, théorèmes sur les suites extraites, relations de comparaison, Bolzano-Weierstrass. Proposition 9.23 : Soit q C. Si q < 1, la suite (q n ) tend vers 0. Si q > 1, la suite (q n ) diverge. Plus précisément, q n tend vers l infini. Si q = 1, et q 1 la suite (q n ) diverge. Démonstration : On a déjà vu que q n tend vers 0 ou + selon que q < 1 ou q > 1. Seul le cas q = 1 est non trivial. Posons dans ce cas q = e ix. On s intéresse donc à la suite u n = e inx, où x n est pas un multiple de 2π. Supposons un instant que cette suite converge vers l C. Or, u n+1 = e ix u n est une suite extraite de u n. En passant à la limite, on obtient que l(1 e ix ) = 0. Donc l = 0. Mais ceci est absurde, puisque u n = 1 pour tout n et donc, toujours par passage à la limite, l = 1. IV Récurrences linéaires IV.1 Suites arithmétiques et géométriques Définition 9.7 : La suite complexe u est dite arithmétique lorsqu il existe a C tel que n N, u n+1 = a + u n. Le nombre a est appelé la raison de la suite. Proposition 9.24 : n, u n = an + u 0. Soit u une suite arithmétique de raison a. On a pour tout entier Proposition 9.25 : Soit u une suite arithmétique de raison a. Alors, n n(n + 1) u k = (n + 1)u 0 + a 2 k=0 Définition 9.8 : La suite complexe u est dite géométrique lorsqu il existe q C tel que n N, u n+1 = qu n. Le nombre q est appelé la raison de la suite. Proposition 9.26 : Soit u une suite géométrique de raison q. On a pour tout entier n, u n = u 0 q n. Proposition 9.27 : Soit u une suite géométrique de raison q. Alors, si q 1, n q n+1 1 u k = u 0 q 1 Si q = 1, k=0 n u k = (n + 1)u 0 k=0

126 126 CHAPITRE 9. SUITES RÉELLES Exercice : Calculons en fonction de n du nième terme de la suite définie par récurrence par u n+1 = au n + b. Supposons a 1. Si a = 1, la suite est arithmétique et on sait faire. Soit ω l unique complexe vérifiant ω = aω + b. On a alors pour tout entier n, u n+1 ω = a(u n ω). On retrouve une suite géométrique, d où pour tout n, u n ω = a n (u 0 ω). IV.2 Récurrences linéaires à deux termes On se donne deux nombres complexes a et b 0 et on s intéresse aux suites vérifiant la relation de récurrence (R) n 0, u n+2 = au n+1 + bu n Cherchons tout d abord les suites géométriques (q n ), avec q 0 qui vérifient cette relation. q convient si et seulement si q 2 = q + 1. Cette équation est l équation caractéristique de la récurrence. Deux cas surviennent. Dans un premier cas, l équation caractéristique a deux racines distinctes q et q. Montrons qu une suite u vérifie R si et seulement si existe α, β C tels que pour tout n, u n = αq n + βq n. Une tel α et un tel β doivent vérifier u 0 = α + β et u 1 = αq + βq. Le déterminant de ce système est q q 0 d où un unique couple (α, β) vérifiant l égalité aux rangs 0 et 1. On montre ensuite par une récurrence sur n que ce couple convient pour tout n. Supposons maintenant que l équation caractéristique a une racine double q. Montrons qu une suite u vérifie R si et seulement si existe α, β C tels que pour tout n, u n = αq n + βnq n. Une tel α et un tel β doivent vérifier u 0 = α et u 1 = αq + βq. Le déterminant de ce système est q 0 d où un unique couple (α, β) vérifiant l égalité aux rangs 0 et 1. On montre ensuite par une récurrence sur n que ce couple convient pour tout n. Exemple : La suite de Fibonacci est définie par F 0 = 0, F 1 = 1 et pour tout entier n, F n+2 = F n+1 + F n. Son équation caractéristique est q 2 = q + 1. Elle possède deux racines φ et ˆφ. Les valeurs de ces racines importent peu. Remarquons simplement que φ + ˆφ = 1 et φ ˆφ = 1. Il existe α, β R tels que pour tout n, F n = αφ n + β ˆφ n. Ces deux nombres sont les racines du système α + β = 0, αφ + β ˆφ = 1, d où α = 1 φ ˆφ, β = F n = φn ˆφ n φ ˆφ. 1, et donc φ ˆφ Exemple : Considérons la suite u définie par u 0 = 2, u 1 = 1 et pour tout entier n, u n+2 = 4u n+1 4u n. Son équation caractéristique est q 2 = 4q 4. Elle possède une unique racine qui est 2. Il existe α, β R tels que pour tout n, u n = α2 n + βn2 n. Ces deux nombres sont les racines du système α = 2, 2α + 2β = 1, d où α = 2, β = 3 2, et donc u n = 2 n+1 3n2 n 1.

127 V. EXERCICES 127 V Exercices 1. Montrer l existence de trois réels a, b et c tels que k 1, 1 k(k + 1)(k + 2) = a k + En déduire une expression simplifiée de u n = n u n. b k k=1 c k k(k+1)(k+2), puis la limite de 2. Pour les suites récurrentes ci-dessous, donner une expression de u n en fonction de n. (a) u n+1 = 4(u n u 2 n), 0 u 0 1. On pourra poser u 0 = sin 2 α. (b) u n+1 = 2 + u n, 2 u 0 2. On pourra poser u 0 = 2 cos θ. 3. Soit (u n ) une suite réelle telle que les suites extraites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) convergent. Montrer que la suite (u n ) est convergente. 4. Soit (u n ) n 0 la suite définie par récurrence par u 0 = 0 et n 0, u n+1 = 1 1+u n. (a) Soient φ et ψ les deux racines de l équation x(x + 1) = 1. Pour n 0, soit v n = un φ u n ψ. Calculer v n+1 en fonction de v n. (b) En déduire v n en fonction de n, puis u n en fonction de n. (c) En déduire le comportement de u n lorsque n. 5. Soit A une partie de R. Démontrer que A est dense dans R si et seulement si pour tout réel x, il existe une suite (a n ) n 0 d éléments de A telle que a n x lorsque n tend vers l infini. 6. Soit (u n ) n 0 une suite réelle. On pose, pour n 1, U n = 1 n n k=1 u k. (a) On suppose que la suite u tend vers un réel L. On se donne un réel ε > 0. Soit N tel que n N, u n L ε. Soit n N. Montrer que U n L 1 n N k=1 u k L + ε. (b) En déduire l existence d un entier N tel que n N, U n L 2ε. Conclusion? (c) Le résultat ci-dessus (si une suite est convergente, alors elle est convergente en moyenne ) est appelé le théorème de Cesaro. Sa réciproque est-elle vraie? 7. Soient a et b deux réels strictement positifs. Étudier les deux suites (u n ) et (v n ) définies par récurrence par u 0 = a, v 0 = b, et { un+1 = un+vn n 0, 2 v n+1 = u n v n 8. Soient a et b deux réels strictement positifs. Étudier les deux suites (u n ) et (v n ) définies par récurrence par u 0 = a, v 0 = b, et { un+1 = un+vn n 0, 2 v n+1 = 2unvn u n+v n

128 128 CHAPITRE 9. SUITES RÉELLES 9. Pour n 0, on pose u n = n k=0 1 ( n k). Étudier la convergence de la suite (u n). 10. Soient u n = n k=1 1 k ln n et v n = n k=1 1 k ln(n + 1). Montrer que ces deux suites sont adjacentes. Leur limite commune γ est appelée la constante d Euler. Elle intervient dans de nombreux problèmes mathématiques. 11. Soit u n = n ( 1) k k=0 2k+1. En étudiant deux suites extraites, prouver que cette suite est convergente. On peut prouver que la limite de la suite (u n ) est π Soit a un réel strictement positif fixé. On considère la suite (u n ) n 0 définie par u 0 = a, et pour tout entier n, u n+1 = 1 2 (u n + a u n ). (a) Montrer que cette suite converge vers L = a. (b) Montrer l existence d un réel K tel que n 0, u n+1 L K. u n L 2. (c) En déduire un majorant de u n L fonction de K, u 0, n et L. (d) On prend a = 2. Quelle est l erreur commise en approchant 2 par u 10? 13. Pour n 0 on pose e n = n k=0 1 k!. (a) Montrer que cette suite est convergente. On note e sa limite. (b) Soient n, p deux entiers naturels, n < p. Montrer que 0 < e p e n 1 n!n. (c) En déduire que n 0, 0 < e e n 1 n!n. (d) Déduire de ce qui précède que e Q. 14. Déterminer, pour les suites ci-dessous, u n en fonction de n. (a) u 0 = 1, u 1 = 2, n 0, u n+2 = 5u n+1 6u n. (b) u 0 = 3, n 0, u n+1 = 3u n + 2. (c) u 0 = 1, u 1 = 2, n 0, u n+2 = 4u n+1 4u n. 15. Soient (u n ) n 1 et (v n ) n 1 les deux suites définies par u n = n k=0 1 k! et v n = u n + 1 n n!. (a) Montrer que ces deux suites sont adjacentes. (b) Montrer que leur limite commune est irrationnelle. 16. Soient (u n ) n 0 et (v n ) n 0 les suites définies par u 0 = 1, v 0 = 2 et n N, u n+1 = un v n et v n+1 = un+vn 2. (a) Montrer que n N, u n v n. (b) Montrer que ces deux suites sont monotones. (c) Montrer que ces deux suites sont convergentes et qu elles convergent vers une même limite. 17. (a) Montrer que si une suite u est convergente, alors la suite de terme général u 2n u n converge vers 0. (b) Montrer que la suite de terme général u n = n k=1 1 k est divergente.

129 V. EXERCICES Soient (u n ) n 1 et (v n ) n 1 les deux suites définies par u n = n k=1 1 k 2 et v n = u n + 1 n. (a) Étudier le sens de variation de ces suites. (b) Montrer qu elles sont convergentes. 19. Soit u une suite à valeurs dans Z. Montrer que si u converge, alors u est stationnaire (c est à dire constante à partir d un certain rang). 20. Pour tout n N, on pose u n = (2n 1) (2n). (a) Exprimer u n à l aide de factorielles. (b) Montrer que la suite u est convergente. (c) Soit v n = (n + 1)u 2 n. Montrer que la suite v est convergente et en déduire la limite de la suite u. 21. Pour tout n N, on pose s n = n k=1 1 k. (a) Montrer que pour tout n N, 1 n+1 2( n + 1 n) 1 n. (b) En déduire que (s n ) tend vers l infini lorsque n tend vers l infini. (c) On pose pour tout n 1 u n = s n 2 n. Montrer que la suite u est convergente. 22. Soit u une suite réelle vérifiant n N, u n > 0. On suppose que u n+1 u n tend vers un réel a < 1 lorsque n tend vers l inifni. Montrer que u n tend vers 0 lorsque n tend vers l infini. 23. Soit u la suite complexe définie par u 0 C et n N, u n+1 = 1 5 (3u n + 2u n ). La suite u est-elle convergente? Si oui, donner sa limite. 24. Pour tout n N, on pose u n = ( 2n) n n4 n. (a) Considérer le quotient u n+1 u n et en déduire que la suite u est croissante. (b) Considérer la différence ln u n+1 ln u n, sommer, et en déduire que u n u 1 e 1 8. (c) En déduire que la suite u est convergente. On note l sa limite. (d) En considérant la suite de terme général ln u n + 1 8n, montrer que n N, le 1 u n l. (e) On admet la formule de Stirling : n! ( n e ) n n 2π lorsque n tend vers l infini. Calculer l. 8n

130 130 CHAPITRE 9. SUITES RÉELLES

131 Chapitre 10 Limites - Continuité 131

132 132 CHAPITRE 10. LIMITES - CONTINUITÉ I Étude locale d une fonction I.1 Topologie Définition 10.1 : Soit a R. Si a R, un voisinage de a est un segment [a ɛ, a + ɛ] où ɛ > 0. Si a = +, un voisinage de a est un intervalle [M, + [, où M R. Si a =, un voisinage de a est un intervalle ], M], où M R. Les trois propositions ci-dessous sont faciles à montrer. Leur preuve est laissée en exercice. Proposition 10.1 : voisinage de a. Soit a R. L intersection de deux voisinages de a est encore un Proposition 10.2 : Soit a R. Si a R, l intersection des voisinages de a est le singleton {a}. Si a = ±, l intersection des voisinages de a est vide. Proposition 10.3 : Soient a, b R, a b. Il existe un voisinage V de a et un voisinage W de b tels que V W =. Notation : On note V(a) l ensemble des voisinages de a. Définition 10.2 : Soit A une partie de R. Soit a R. On dit que a est adhérent à A lorsque tout voisinage de a rencontre A. Exemple : bornes. Les points adhérents à un intervalle sont les points de l intervalle et ses Notation : On note A l ensemble des points adhérents à A. Cet ensemble est appelé l adhérence de A. Exemple : L adhérence d un intervalle est l intervalle fermé correspondant. Définition 10.3 : Soit P(x) une propriété du réel x. Soit a R. On dit que la propriété P est vraie au voisinage de a lorsque V V(a), x V, P(x). I.2 Limite et continuité en un point Définition 10.4 : Soit A une partie de R. Soit f : A R. Soit a A. Soit l R. On dit que f tend vers l en a lorsque Notation : On note f(x) x a l. V V(l), W V(a), x W A, f(x) W Remarque 10.1 : Les ensembles A et les objets a que nous considérerons usuellement seront de l une des formes ci-dessous :

133 I. ÉTUDE LOCALE D UNE FONCTION 133 A est un intervalle et a est un point de A. A est un intervalle et a est une borne de A, a A. A est un intervalle privé d un point a. On parle alors quelquefois d intervalle épointé. Proposition 10.4 : La limite d une fonction en un point, si elle existe, est unique. Démonstration : Supposons que f a deux limites l et l en a. Soient V un voisinage de l et V un voisinage de l. Il existe W, W voisinages de a tels que f(w A) V et f(w A) V. Mais W W est encore un voisinage de a et f(w W A) f(w A) V. De même f(w W A) V. Ainsi, V V. Ceci étant vrai pour tous les voisinages de l et l, on a donc l = l. Remarque 10.2 : On parle donc de LA limite de f en a (si elle existe!). L unicité de la limite justifie la notation l = lim a f ou notations semblables. Proposition 10.5 : Si une fonction a une limite finie en un point a, cette fonction est bornée au voisinage de a. Démonstration : Supposons que f tend vers l R. Pour tout x assez proche de a, on a donc f(x) l 1, donc l 1 f(x) l + 1. La fonction f est donc bornée au voisinage de a. Proposition 10.6 : Soit f : A R. Soit a A. Si f a une limite en a, ce ne peut être que f(a). Démonstration : Supposons f(x) l lorsque x a. Pour tout voisinage V de l, il existe un voisinage W de a tel que f(w A) V. Mais a appartient à W A, donc, f(a) V. Ainsi, f(a) est dans tous les voisinages de l. Donc, l est réel et l = f(a). Remarque 10.3 : Ce que nous venons de montrer peut se révéler gênant dans certains cas. Ainsi, il arrive parfois que l on «retire» a de l ensemble de définition de f et que l on considère la limite de f(x) lorsque x tend vers a, x a. Définition 10.5 : Soit f : A R. Soit a A. On dit que f est continue en a lorsque f a une limite en a (qui est donc forcément f(a)). On note C 0 (A) l ensemble des fonctions continues sur (en tout point de) A. Remarque 10.4 : On a donc f continue en a si et seulement si ε > 0, α > 0, x A, x a α f(x) f(a) ε I.3 Reformulations de la notion de limite La définition de limite par les voisinages a l avantage d être valable dans tous les cas, en un point fini ou pas, pour une limite finie ou pas. C est très bien pour faire des démonstrations très générales, mais cela l est beaucoup moins dans les situations concrètes. On se donne f : A R. Soit a A. Soit l R. On réécrit selon la finitude ou non de a et l la définition de limite.

134 134 CHAPITRE 10. LIMITES - CONTINUITÉ Limite réelle en un point réel Proposition 10.7 : f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si et seulement si ε > 0, α > 0, x A, x a α f(x) l ε Limite finie à l infini Proposition 10.8 : f(x) tend vers l lorsque x tend vers + si et seulement si ε > 0, M R, x A, x M f(x) l ε Remarque 10.5 : On définit de même la notion de limite réelle en. Limite nulle Les fonctions ayant une limite nulle en un point donné possèdent des propriétés remarquables. Proposition 10.9 : Soit I un intervalle de R. Soit a I. Une fonction f a une limite nulle en a si et seulement si f a une limite nulle en a. Si f a une limite nulle en a, et g est bornée au voisinage de a, alors fg a une limite nulle en a. Démonstration : Démonstration analogue à celle qui a été faite pour les suites. Limite infinie en un point réel Définition 10.6 : f(x) tend vers + lorsque x tend vers a R si et seulement si M R, α > 0, x A, x a α f(x) M Limite infinie à l infini Définition 10.7 : f(x) tend vers + lorsque x tend vers + si et seulement si M R, M R, x A, x M f(x) M On définit de même des limites en, égales à ±. Il suffit de changer le sens des inégalités.

135 I. ÉTUDE LOCALE D UNE FONCTION 135 I.4 Opérations sur les limites Proposition : Soient f, g : A R. Soit a A. Soit λ R. Soient l, l R. On suppose que f(x) l et g(x) l lorsque x a. Alors : f(x) + g(x) l + l lorsque x a. f(x)g(x) ll lorsque x a. λf(x) λl lorsque x a. Démonstration : Démonstration analogue à celle qui a été faite pour les suites. Remarque 10.6 : Les résultats précédents subsistent lorsque l, l R, sauf dans les cas d indétermination et «0». Proposition : Soit g : A R. Soit a A. Soit l R +. On suppose que g(x) tend vers l lorsque x tend vers a. Alors : Il existe un réel m > 0 tel que g(x) m au voisinage de a. 1 g(x) tend vers 1 l lorsque x tend vers a. Démonstration : Démonstration analogue à celle qui a été faite pour les suites. Remarque 10.7 : Le résultat précédent s adapte évidemment au cas où l < 0. Il convient en revanche de faire attention au cas où l = 0. Il faut dans ce cas supposer que la fonction g a un signe constant au voisinage de a pour conclure que g tend vers l infini en a. Lemme I.1 Soient A et B deux parties de R. Soit f : A B. Soit a A. Soit b R. On suppose que f(x) b lorsque x a. Alors b appartient à B. Démonstration : Soit V un voisinage de b. Il existe un voisinage W de a tel que f(w A) V. Comme a est adhérent à A, W A est non vide, donc f(w A) est non vide aussi. Mais f(w A) B, donc V B est non vide. Ceci étant vrai pour tout voisinage V de b, on a bien b B. Proposition : Théorème de composition des limites. Soient f : A B et g : B R. Soit a A, b B, l R. On suppose que f(x) b lorsque x a, et g(y) l lorsque y b. Alors g f(x) l lorsque x a. Démonstration : Soit V un voisinage de l. Il existe un voisinage W de b tel que g(w B) V. Il existe ensuite un voisinage X de a tel que f(x A) W. On a alors g f(x A) g(w B) W. La fonction g f tend bien vers l en a.

136 136 CHAPITRE 10. LIMITES - CONTINUITÉ I.5 Limites de fonctions, limites de suites Proposition : Caractérisation séquentielle des limites. Soit f : A R. Soit a A. Soit l R. On a f(x) l lorsque x a si et seulement si pour toute suite (x n ) de points de A qui tend vers a, la suite (f(x n )) tend vers l. Démonstration : On fait la démonstration pour a et l réels. Supposons que f(x) l lorsque x a. Soit (x n ) une suite de points de A qui converge vers a. Soit ε > 0. Il existe δ > 0 tel que x A, x a δ f(x) l ε. Soit N N tel que pour tout n N, x n a δ. On a alors f(x n ) l ε. La suite (f(x n )) tend donc vers l. Supposons maintenant que f(x) l lorsque x tend vers a. Il existe donc ε > 0 tel que pour tout δ > 0 il existe x A tel que x a δ et f(x) l > ε. Pour tout entier n 1, prenons δ n = 1 n. Soit x n A tel que x n a 1 n et f(x n) l > ε. On a x n a lorsque n. Mais si l on suppose que f(x n ) l, on obtient, par passage à la limite, 0 ε, contradiction. La suite (f(x n )) ne tend donc pas vers l. Exemple : La fonction f : x sin 1 x n a pas de limite en 0. En effet, supposons que f a une limite l en 0. Alors 0 = f( 1 2nπ ) l donc l = 0. Mais aussi, 1 = f( 1 2nπ+ π ) l donc 2 l = 1, contradiction. I.6 limites et ordre Proposition : passage à la limite dans une inégalité. Soient f, g : A R. Soit a A. On suppose : f(x) l lorsque x a. g(x) l lorsque x a. f g au voisinage de a. Alors, l l. Démonstration : Démonstration analogue à celle du théorème correspondant sur les suites. Proposition : théorème d encadrement. Soient f, g, h : A R. Soit a A. Soit l R. On suppose : f g h au voisinage de a. f(x) l lorsque x a. h(x) l lorsque x a. Alors, g(x) l lorsque x a. Démonstration : Démonstration analogue à celle du théorème correspondant sur les suites. Proposition : théorème d encadrement. Soient f, g : A R. Soit a A. On suppose : f g au voisinage de a.

137 I. ÉTUDE LOCALE D UNE FONCTION 137 f(x) + lorsque x a. Alors, g(x) + lorsque x a. Démonstration : Démonstration analogue à celle du théorème correspondant sur les suites. I.7 Limites dans une direction Définition 10.8 : Soit f : I R, où I est un intervalle de R. Soit a I. On suppose que a n est pas la borne inférieure de I. On définit la limite à gauche de f en a comme la limite (si elle existe!) de la restriction de f à I ], a[, en a. On note cette limite lim x a,x<a f(x) ou encore f(a ). On définit de même la limite à droite de f en a. Remarque 10.8 : Si a est la borne inférieure de I, la notion de limite à droite de f(x) lorsque x a et celle de limite de f(x) lorsque x a, x a coïncident. Même remarque pour la limite à gauche lorsque a est la borne supérieure de I. Proposition : Soit f : I R. Soit a I, a n étant pas la borne inférieure de I. La fonction f admet une limite en a si et seulement si elle y admet une limite à gauche et une limite à droite, et si celles-ci sont égales à f(a). On a alors lim a f = f(a ) = f(a + ) = f(a). Démonstration : Laissée en exercice. Remarque 10.9 : Si f est définie sur l intervalle épointé I \ {a}, il convient d adapter la proposition précédente en y enlevant les références à f(a). I.8 Fonctions monotones Dans ce paragraphe, les fonctions sont définies sur des intervalles. On se donne une fonction f : I R croissante. Soit également a I. Cas où a n est pas une borne de I Proposition : f admet une limite à gauche et une limite à droite réelles en a. De plus, f(a ) = sup{f(x), x < a}. f(a + ) = inf{f(x), x > a}. f(a ) f(a) f(a + ). Démonstration : Soit E = {f(x), x I, x < a} = f(i ], a[). L ensemble E est non vide car a n est pas la borne inférieure de I. De plus, E est majoré par f(a) puisque f est croissante. Donc, E possède une borne supérieure l f(a). Soit ε > 0. Comme l ε < l, il existe y 0 E tel que y 0 > l ε. Autrement dit, il existe x 0 I, x0 < a tel que f(x 0 ) > l ε. Posons δ = a x 0. On a alors pour tout x I, x < a, x a = a x δ x 0 x < a l ε f(x 0 ) f(x). De plus, f(x) E donc f(x) l l + ε. Bref,

138 138 CHAPITRE 10. LIMITES - CONTINUITÉ f(x) l ε. Ainsi, f(a ) existe et vaut l. Même démonstration pour la limite à droite. Cas où a est la borne supérieure de I, et a I Proposition : f admet une limite à gauche réelle en a. De plus, f(a ) = sup{f(x), x < a}. f(a ) f(a). Démonstration : Voir le cas précédent. Cas où a est la borne supérieure de I, mais a I Proposition : f admet une limite à gauche réelle ou égale à + en a. De plus, f(a ) = sup{f(x), x < a} (éventuellement infini). Démonstration : La seule différence, c est que E n est plus nécessairement majoré. S il l est, f a une limite réelle en a. S il ne l est pas, f tend vers + en a. Le cas de la borne inférieure de I, et celui des fonctions décroissantes, se traitent évidemment de façon identique. II Propriétés des fonctions continues II.1 Opérations sur les fonctions continues Proposition : Soit A R. L ensemble C 0 (A) des fonctions continues sur A est une algèbre. Démonstration : Ce sont tout simplement les opérations sur les limites qui nous le disent. Proposition : La composée de deux fonctions continues est encore une fonction continue. Démonstration : Théorème de composition des limites. Remarque : La fonction identité x x est clairement continue sur R. Il s ensuit que tout polynôme P (x) = n k=0 a kx k est continu sur R. De là, les fractions rationnelles F (x) = P (x) Q(x) sont continues en tout point où Q ne s annule pas. Nous verrons plus tard que la fonction exponentielle, les fonctions sinus et cosinus, sont continues sur R. La fonction logarithme, les fonctions x x α (où α R) sont continues sur R +.

139 II. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS CONTINUES 139 II.2 Prolongement par continuité Étant donnée une fonction f :]a,... R, on cherche souvent à prolonger f à [a,.... Un tel prolongement est particulièrement intéressant lorsqu il est continu. Définition 10.9 : Soit a R. Soit f :]a,... R continue sur ]a,.... On dit que f est prolongeable par continuité en a lorsqu il existe un prolongement de f à [a,... qui soit continu. Proposition : Un tel prolongement existe si et seulement si f admet une limite finie en a. Démonstration : Supposons l existence d un prolongement g. On a g(x) g(a) lorsque x a. Mais hormis en a, f et g coïncident. donc f(x) g(a) lorsque x a. Inversement, supposons que f(x) l R lorsque x a. Le prolongement g de f en a défini par g(a) = l est alors continu. II.3 Image d un intervalle Proposition : théorème des valeurs intermédiaires. Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b]. On suppose f(a) < 0 et f(b) > 0. Alors, il existe c [a, b] tel que f(c) = 0. Démonstration : Soit E = {x [a, b], f(x) 0}. E est non vide (il contient a) et majoré par b, donc il admet une borne supérieure c. Comme f(a) < 0, par continuité de f en a, f < 0 au voisinage de a. Donc, c > a. De même, comme f(b) > 0, on a f > 0 au voisinage de b. Donc E est majoré par un réel < b, donc c < b. Pour tout n 1 assez grand, on a c < c + 1 n [a, b] et donc f(c + 1 n ) > 0. Par passage à la limite et continuité de f en c on en déduit f(c) 0. De même pour tout n assez grand c > c 1 n [a, b]. Comme c 1 n < c, il existe x n ]c 1 n, c] tel que f(x n) 0. La suite (x n ) tend vers c. Passage à la limite et continuité de f en c : f(c) 0. Finalement, f(c) = 0. Exemple : Soit f : [0, 1] [0, 1] continue. Il existe x [0, 1] tel que f(x) = x. Il suffit de considérer la fonction g : x f(x) x. Cette fonction est continue, g(0) 0 et g(1) 0. Proposition : Soit f : [a, b] R continue. Soient α = f(a), β = f(b). Soit γ un réel compris entre α et β. Il existe c [a, b] tel que f(c) = γ. Démonstration : Supposons par exemple α β. Considérons la fonction g : x f(x) γ. Cette fonction est continue, négative en a et positive en b. Donc, elle s annule. Corollaire : théorème des valeurs intermédiaires. L image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Démonstration : Soit I un intervalle de R. Soit f : I R continue. Soit J = f(i). Montrons que J est convexe. Ce sera donc un intervalle. Soient α, β J. Il existe donc a, b I tels que f(a) = α et f(b) = β. Soit γ un réel entre α et β. f étant continue sur [a, b], il existe donc c [a, b] tel que f(c) = γ. Mais I est convexe puisque c est un intervalle. Donc c I et γ = f(c) J. Ainsi, J est convexe. J est bien un intervalle.

140 140 CHAPITRE 10. LIMITES - CONTINUITÉ II.4 Image d un segment Proposition : Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b]. Alors, f admet un maximum et un minimum sur le segment [a, b]. Démonstration : Considérons l ensemble E = f([a, b]). Cet ensemble est non vide, et possède donc une borne supérieure M R, éventuellement égale à +. Soit (x n ) une suite de points de [a, b] telle que f(x n ) M. La suite (x n ) est bornée, elle admet donc d après le théorème de Bolzano-Weierstrass une suite extraite (x ϕ(n) ) convergeant vers un réel c. Comme on a pour tout n a x ϕ(n) b, on a par passage à la limite a c b. La fonction f est donc continue en c, et ainsi, f(x ϕ(n) ) f(c). Mais on a aussi que f(x ϕ(n) ) M. Donc M = f(c). On en déduit que M est réel, et aussi que M est une valeur prise par f : M = max E. On fait de même pour le minimum. Corollaire : L image d un segment par une fonction continue est un segment. Démonstration : L image d un segment par une fonction continue est un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires) possédant un plus petit et un plus grand élément. Pas de doute, c est un segment. II.5 Fonctions continues strictement monotones Proposition : Soit f : I R continue. Si f est injective, alors f est strictement monotone. Démonstration : Supposons f continue et pas strictement monotone. Il existe alors x, y, z I tels que x < y < z et, par exemple, f(x) f(y) et f(y) f(z) (mais est-ce si évident?). Si l une des inégalités est une égalité, alors f n est pas injective. Supposons donc f(x) > f(y) et f(y) < f(z). On a par exemple f(x) < f(z). soit α un réel strictement compris entre f(y) et f(x). Alors, α = f(t) = f(u) où t ]x, y[ et u ]y, z[. Donc f n est pas injective. Il reste à examiner la réciproque. Proposition : Soit f : I R continue, strictement croissante. Alors : J = f(i) est un intervalle de même «type» que I (i.e. fermé ou ouvert aux mêmes endroits). f est une bijection de I sur J. f 1 : J I est continue, strictement croissante. Démonstration : Prenons par exemple I = [a, b[, où < a < b +. On sait que J est un intervalle puisque f est continue. Mieux, pour tout x I, f(a) f(x) f(b ). f(a) est dans J, f(b ) est la borne supérieure de J (limite d une fonction monotone), donc J = [f(a), f(b )[ ou alors J = [f(a), f(b )]. Supposons que f(b ) soit dans J. Il existe alors x < b tel que f(x) = f(b ). Mais alors, par croissance de f, f est constante sur [x, b[. Ce n est pas possible puisque f est strictement croissante. f est évidemment injective, donc f est une bijection de I sur J. Notons g sa réciproque. On voit facilement

141 III. FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES 141 que g est strictement croissante. Il s agit de prouver qu elle est continue sur J. Supposons que g n est pas continue en un point y J. On a alors par exemple a g(y ) < g(y). Soit g(y ) < c < g(y). Alors, c n est pas une valeur prise par g, absurde puisque c = g(f(c)). Exemple : Soit n N, n 1. La fonction f : x x n est continue sur R +. Elle est strictement croissante. Donc f(r + ) = [f(0), lim + f[= R +. Cette fonction est donc une bijection de R + sur R + et sa réciproque est continue, strictement croissante : c est la fonction «racine nième». Si n est impair, on peut se placer sur R tout entier. Exemple : La fonction f : x sin x est continue sur [ π 2, π 2 ], strictement croissante. Donc f([ π 2, π 2 ]) = [f( π 2 ), f(π 2 )] = [ 1, 1]. f est donc une bijection de [ π 2, π 2 ] sur [ 1, 1] et sa réciproque est continue, strictement croissante : c est la fonction «arc sinus». Remarque : La fonction arc sinus n est donc PAS la réciproque de la fonction sinus (qui, soit dit en passant, n est pas une bijection, et n a donc pas de réciproque). Nous en reparlerons dans le chapitre sur les fonctions usuelles. II.6 Fonctions lipschitziennes Définition : Soit f : I R. Soit k R +. On dit que f est k-lipschitzienne sur I lorsque x, y I, f(y) f(x) k y x Exemple : La fonction x sin x est 1-lipschitzienne sur R. La fonction x x est 1-lipschitzienne sur R. La fonction x x, la fonction x x 2, ne sont pas lipschitziennes sur R +. Remarque : Si la fonction f est k-lipschitzienne, elle est aussi k -lipschitzienne pour tout k k. En fait, l ensemble des réels k tels que f soit k-lipschitzienne est un intervalle de la forme [k 0, + [. Le réel k 0 est le coefficient de Lipschitz optimal pour la fonction f. Par exemple, k 0 = 1 pour la fonction sinus. Proposition : Toute fonction lipschizienne est continue. La réciproque est fausse. Démonstration : Soit f k-lipschitzienne sur I (k > 0). Soit ε > 0. Soit δ = ε k. Alors, pour tous x, y I, x y δ implique f(x) f(y) k x y kδ = ε. En revanche, la fonction x x 2 est continue sur R mais pas lipschitzienne. III Fonctions à valeurs complexes Tous ce qui précède passe sans problème aux fonctions à valeurs complexes, à condition évidemment de ne pas faire intervenir de comparaisons entre des valeurs prises par la fonction. Passent donc aux fonctions à valeurs dans C : définition de limite, opérations

142 142 CHAPITRE 10. LIMITES - CONTINUITÉ sur les limites, fonctions bornées, limites à gauche et à droite, relations de comparaison, continuité uniforme. Ne passent pas aux fonctions à valeurs dans C : passage à la limite dans les inégalités, encadrement, image d un intervalle, image d un segment, et tout ce qui concerne les fonctions monotones. Bien entendu une fonction tend vers l C si et seulement si sa partie réelle tend vers Re l et sa partie imaginaire vers Im l.

143 IV. EXERCICES 143 IV Exercices 1. Soit f : R R continue, ayant une limite finie en et +. Prouver que f est bornée sur R. 2. Soit f : R R une fonction continue en 0, vérifiant pour tout réel x : f(2x) = f(x). Montrer que f est constante. 3. Soit f : R R continue, tendant vers 1 en et vers 2 en +. Prouver que f s annule. (théorème des valeurs intermédiaires "généralisé"). 4. Soit f : R R périodique, ayant une limite en +. Que dire de f? 5. Soit f :]a, b[ R une fonction continue. On suppose que f admet une limite en a et en b, et que ces limites sont égales. Prouver que f n est pas injective. 6. Soit f : R R une fonction continue décroissante. Montrer qu il existe un unique réel x tel que f(x) = x. 7. On note L l ensemble des fonctions lipschitziennes sur R. (a) L ensemble L est-il stable pour l addition? Pour la multiplication par un réel? Pour la multiplication des applications? Pour la composition? (b) Pour toute fonction f L, soit K(f) l ensemble des réels k tels que f soit k- lipschitzienne sur R. Montrer que K(f) possède un plus petit élément. On note k(f) ce réel. (c) Pour f, g L et λ R, que peut-on dire de k(f + g), de k(λf), de k(g f)? 8. Soit f : R R. Soit a R. On dit que f est eunitnoc en a lorsque ε > 0, η > 0, x R, x a ε f(x) f(a) η. (a) Montrer que toute fonction bornée sur R est eunitnoc en tout point de R. (b) Montrer que si f est eunitnoc en un point, elle est eunitnoc en tout point. (c) Caractériser de façon simple les fonctions eunitnocs. 9. Soit I un segment de R. Soit f : I I continue. (a) Montrer que f admet un point fixe. (b) Ce résultat reste-t-il valable si I est un intervalle? 10. Soient f, g : [0, 1] [0, 1] deux applications telles que g f = f g. Montrer qu il existe c [0, 1] tel que f(c) = g(c). 11. (a) Déterminer les applications continues f : R R vérifiant x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y). (b) En déduire les applications continues f : R R vérifiant x, y R, f(x + y) = f(x)f(y). 12. Soit S un segment de R. Soit f : S S continue vérifiant x, y S, x y, f(x) f(y) < x y. (a) Montrer que f admet un unique point fixe α.

144 144 CHAPITRE 10. LIMITES - CONTINUITÉ (b) Soit x 0 S. Soit (x n ) n 0 la suite définie par x 0 et la relation de récurrence x n+1 = f(x n ). Montrer que x n α lorsque n tend vers l infini. 13. Soit f : R R définie par f(x) = x 1 x si x 0 et f(0) = 1. (a) Tracer le graphe de f. (b) Montrer que f est continue en 0. (c) Montrer que f n est pas continue en Soient f, g : I R, continues, ne s annulant pas, et telles que x I, f(x) = g(x). Montrer que g = f ou g = f. 15. Soit f : R R une fonction continue telle que f(0) = 1. On suppose que x R, f(2x) = f(x) cos x. (a) Exprimer, pour tout réel x et tout entier n, f(x) en fonction de f( x 2 ). n (b) Montrer que x R, n N, sin( x 2 )f(x) = sin x n 2 f( x n 2 ). n (c) En déduire l expression de f(x) pour tout x 0. (d) Conclure. 16. Soit f : R R définie par f(x) = x + (x x ) 2. Étudier la continuité de f. 17. (a) Soit f : I R continue. Soient a, b I. Montrer qu il existe c I tel que f(c) = (f(a) + f(b)). On pourra considérer la fonction g : x 2f(x) f(a) f(b). 1 2 (b) Plus généralement, soient p, q deux réels positifs. Montrer qu il existe c I tel que pf(a) + qf(b) = (p + q)f(c). (c) Beaucoup plus généralement, soit n N, soient a 1,..., a n I, soient t 1,..., t n R +. Montrer qu il existe c I tel que n k=1 t kf(a k ) = f(c) n k=1 t k.

145 Chapitre 11 Dérivation 145

146 146 CHAPITRE 11. DÉRIVATION I Notion de dérivée I.1 Définitions Définition 11.1 : Soit f : I R. Soit a I. On dit que f est dérivable en a lorsque la quantité f(x) f(a) x a a une limite réelle lorsque x tend vers a, x a. On appelle dérivée de f en a, et on note f (a) la valeur de cette limite. Proposition 11.1 : f est dérivable en a si et seulement si il existe un réel λ tel que f(x) = f(a) + λ(x a) + (x a)ε(x) où ε(x) 0 lorsque x a. Lorsque f est dérivable en a, on a f (a) = λ. Démonstration : f est dérivable en a si et seulement si f(x) f(a) x a = f (a) + ε(x) c est à dire f(x) f(a) = (x a)f (a) + (x a)ε(x). Proposition 11.2 : est fausse. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque Démonstration : La relation ci-dessus nous dit qu en particulier f(x) = f(a) + ε(x). Donc f(x) f(a) lorsque x a. La réciproque est fausse, comme le montre l exemple de fonction valeur absolue, continue en 0 mais pas dérivable en 0. Définition 11.2 : Si f est dérivable en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I. On dispose alors de la fonction f : I R, notée encore Df ou df dx. Définition 11.3 : Pour tout entier k 2, on dit que f est k fois dérivable sur I lorsque f (k 1) est dérivable sur I. On note alors f (k) = (f (k 1) ). On dit que f est indéfiniment dérivable sur I lorsque f est k fois dérivable sur I, ceci pour tout k 1. Notation : On utilise aussi les notations D k f et dk f pour la dérivée d ordre k de la dx k fonction f. Pour tout k [1, + [ on note D k (I) l ensemble des fonctions k fois dérivables sur I. Remarque 11.1 : On peut également définir la notion de fonction k fois dérivable en un point a : la fonction f est k fois dérivable en a lorsque f est k 1 fois dérivable au voisinage de a et que f (k 1) est dérivable en a. I.2 Dérivées à droite et à gauche On définit la notion de dérivée à gauche et à droite de f : I R en un point a : si a n est pas la borne inférieure de I, f g(a) est la dérivée en a de la restriction de f à I ], a], et si a n est pas la borne supérieure de I, f d (a) est la dérivée en a de la restriction de f à I [a, + [. À retenir : Proposition 11.3 : Soit f : I R. Soit a un point qui n est pas une borne de I. f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite en a, et que les dérivées sont égales. On a alors f (a) = f g(a) = f d (a).

147 I. NOTION DE DÉRIVÉE 147 Démonstration : Les taux d accroissement ont une limite en a si et seulement si ils ont une limite à gauche et une limite à droite, et ces deux limites sont égales. I.3 Classes de fonctions Définition 11.4 : Soit f : I R. On dit que f est de classe C 0 sur I lorsque f est continue sur I. Soit k N. On dit que f est de classe C k sur I lorsque f est k fois dérivable sur I, et que f (k) est continue sur I. On dit enfin que f est de classe C sur I lorsque f est de classe C k sur I pour tout entier k. Notation : On note C k (I) l ensemble des fonctions de classe C k sur I. Proposition 11.4 : On a les inclusions suivantes : C 0 (I) D 1 (I) C 1 (I) D 2 (I) C 2 (I)... C (I) = D (I) Remarque 11.2 : Ces inclusions sont en fait toutes strictes. Remarque 11.3 : Pour tout k 1, si f C k (I), alors f C k 1 (I). De même pour les ensembles D k (I). I.4 Opérations sur les dérivées Dérivées d ordre 1 I est un intervalle de R. a est un point de I. f, g sont deux fonctions I R. Enfin, λ est un réel. Proposition 11.5 : On suppose f et g dérivables en a. Alors f + g est dérivable en a et (f + g) (a) = f (a) + g (a). λf est dérivable en a et (λf) (a) = λf (a). fg est dérivable en a et (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). Si g(a) 0, alors g ne s annule pas au voisinage de a, 1 g ( 1 g ) (a) = g (a). g(a) 2 Si g(a) 0, alors g ne s annule pas au voisinage de a, f g ( f g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a). g(a) 2 est dérivable en a et est dérivable en a et Démonstration : Faisons la preuve pour le produit et l inverse (le quotient est le produit par l inverse). On a (fg)(x) (fg(a)) x a = f(x) g(x) g(a) x a +g(a) f(x) f(a) x a. On passe ensuite à la limite en remarquant que, comme f est dérivable en a, f y est aussi continue. Pour le quotient, g(a) 0 et g est continue en a, donc g est non nulle au voisinage de a. On a. On passe ensuite à la limite. 1/g(x) 1/g(a) x a = (g(x) g(a)) (x a)g(x)g(a)

148 148 CHAPITRE 11. DÉRIVATION Proposition 11.6 : Soit f : I J. Soit g : J R. Soit a I. Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a), alors g f est dérivable en a, et on a : (g f) (a) = g (f(a)).f (a) Démonstration : Notons b = f(a). on a g(y) = g(b) + (y b)g (b) + (y b)ε(y) où ε(y) 0 lorsque y tend vers b. Lorsque x tend vers a, f(x) tend vers b donc ε (x) = ε(f(x)) tend vers 0. Prenons y = f(x). Il vient g(f(x)) = g(f(a)) + (f(x) f(a))g (b) + (f(x) f(a))ε (x) = g(f(a)) + ((x a)f (a) + (x a)ε (x))g (f(a)) + ((x a)f (a) + (x a)ε (x))ε (x) où ε (x) 0 lorsque x tend vers a. On regroupe les termes, et en particulier tout ce qui tend vers 0 : g(f(x)) = g(f(a))+(x a)f (a)g (f(a))+(x a)ε (x) où ε (x) tend vers 0 lorsque x tend vers a. La fonction g f est donc dérivable en a, et sa dérivée est f (a)g (f(a)). Proposition 11.7 : Soit f : I J une bijection continue (et donc strictement monotone). Soit a I. Soit b = f(a). On supppose que f est dérivable en a. Si f (a) 0, alors f 1 est dérivable en b et (f 1 ) (b) = 1 f (a) Si f (a) = 0, alors f 1 n est pas dérivable en b. Plus précisément, la courbe représentative de f 1 possède au point b une tangente verticale. Démonstration : Posons g = f 1. Soit = g(y) g(b) y b. Posons y = f(x) (de sorte que x = g(y)). Il vient =. Lorsque y tend vers b, x = g(y) tend vers g(b) = a, x a f(x) f(a) car g est continue en b. Donc, si f (a) 0, tend vers 1 f (a). Si f (a) = 0, admettant provisoirement que, du fait de sa monotonie, f a un signe constant, tend vers. Remarque 11.4 : La formule qui nous donne la dérivée s écrit aussi (f 1 ) (b) =. C est sous cette forme qu il convient de la retenir. 1 f (f 1 (b)) Exemple : Soit f : [ π 2, π 2 ] R définie par f(x) = sin x. Nous avons déjà vu que f est une bijection continue strictement croisssante. Sa réciproque est la fonction arc sinus, notée arcsin. f est dérivable sur [ π 2, π 2 ]. Sa dérivée est la fonction cos, qui s annule uniquement en ± π 2. Donc, arcsin est dérivable en tout point de [ 1, 1] différent de sin(± π 2 ), c est à dire sur ] 1, 1[ et la courbe représentative de arcsin admet des tangentes verticales en 1 et 1. On a pour tout x ] 1, 1[, arcsin 1 x = f (arcsin x) = 1 cos(arcsin x) = 1. Donc 1 sin 2 (arcsin x) arcsin x = 1 1 x 2. Dérivées d ordre supérieur Proposition 11.8 : Soit k 1. Soient f, g : I R deux fonctions k fois dérivables sur I. Soit λ R. Alors f + g est k fois dérivable sur I et (f + g) (k) = f (k) + g (k).

149 I. NOTION DE DÉRIVÉE 149 λf est k fois dérivable sur I et (λf) (k) = λf (k). fg est k fois dérivable sur I et on a la formule de Leibniz : k ( ) k (fg) (k) = f (i) g (k i) i i=0 Démonstration : La somme et le produit par un réel sont une récurrence triviale sur k. Le produit est, quant à lui, une récurrence moins triviale. Pour k = 1, c est évident. Supposons donc la propriété vraie pour un certain entier k 1. Soient f et g deux fonctions k + 1 fois dérivables en a. Elles sont donc a fortiori k fois dérivables dans un voisinage V de a. D après l hypothèse de récurrence, fg est k fois dérivable sur V et on a x V, (fg) (k) (x) = k i=0 ( k i) f (i) (x)g (k i) (x). Toutes les fonctions mises en jeu dans le membre de droite sont dérivables en a. (fg) (k) l est donc aussi et on peut dériver l égalité. (fg) (k+1) (a) = k i=0 ( k i) (f (i+1) (a)g (k i) (a)+f (i) (a)g (k+1 i) (a)). Un calcul analogue à celui qui a été fait pour prouver la formule du binôme mène à la formule de Leibniz. Remarque 11.5 : Les ensembles C k (I) et D k (I) sont donc des algèbres. Mais attention, l opérateur D : f f de dérivation, qui, pour k 1, envoie C k (I) sur C k 1 (I), est une application linéaire mais n est pas un morphisme d anneaux. Proposition 11.9 : Soit 0 k. Soient f : I J et g : J R deux fonctions de classe C k. Alors, g f est de classe C k. Démonstration : Si c est vrai pour tout entier k, c est clairement vrai pour k =. Faisons donc une récurrence sur k. Pour k = 0, c est connu : la composée de deux fonctions continues est continue. Supposons que ce soit vrai pour k. Soit f, g de classe C k+1. Elles sont donc a fortiori dérivables donc g f est dérivable sur I. Regardons l égalité (g f) = f g f. Les fonctions f, f et g sont C k, donc (hypothèse de récurrence et Leibniz) (g f) est C k. Et donc, g f C k+1 (I). Remarque 11.6 : Pas de formule donnée pour la dérivée kième d une composée. Cette formule existe, c est la formule de Faa di Bruno. La voici, for your eyes only : (g f) (n) n! n (x) = m 1!1! m 1 m2!2! m 2... mn!n! g(m m n) (f(x)) (f (j) (x)) m j mn m 1 +2m nm n=n j=1 Proposition : Soit k 0. Soit g C k (I) une fonction qui ne s annule pas. Alors 1 g Ck (I). Démonstration : Laissée en exercice. S inspirer de la démonstration précédente. Proposition : Soit k 1. Soit f : I J C k (I) une bijection dont la dérivée ne s annule pas. Alors f 1 C k (J). Démonstration : S inspirer des preuves précédentes, en écrivant que que f 1 est dérivable sur J et que (f 1 ) = 1 f f 1.

150 150 CHAPITRE 11. DÉRIVATION II Accroissements finis II.1 Extrema locaux Proposition : Soit f : I R. Soit a un point de I qui n est pas une extrémité de I. Si f admet un extremum local en a, alors f (a) = 0. La réciproque est fausse. Démonstration : Supposons par exemple que f admet un maximum local en a. Pour tout x < a, on a f(x) f(a) x a 0 car numérateur et dénominateur sont négatifs. On passe à la limite : f (a) = f g(a) 0. En faisant de même à droite de a, on obtient f (a) = f d (a) 0. II.2 Théorème de Rolle Théorème : théorème de Rolle Soient a < b deux réels. Soit f : [a, b] R. On suppose : f continue sur [a, b]. f dérivable sur ]a, b[. f(a) = f(b). Il existe alors un réel c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Démonstration : Si f est constante, c est évident car f s annule en tout point. Supposons donc f non constante. Par exemple, f prend une valeur strictement inférieure à f(a) (et donc à f(b)). La fonction f est continue sur le segment [a, b]. Elle y possède donc un minimum en un point c qui, selon les hypothèses, n est ni a ni b. On a donc f (c) = 0. II.3 Accroissements finis Notation : Étant donné un intervalle I de R, on note I o l intervalle I privé de ses bornes (l intérieur de I). Théorème : égalité des accroissements finis. Soient a < b deux réels. Soit f : [a, b] R. On suppose : f continue sur [a, b]. f dérivable sur ]a, b[. Il existe alors un réel c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = (b a)f (c). Démonstration : On considère la fonction g : [a, b] R définie par g(x) = f(x) f(a) A(x a) où A = f(b) f(a) b a. La fonction g est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et g(a) = g(b) = 0. D après le théorème de Rolle, il existe c [a, b] tel que g (c) = f (c) A = 0. Corollaire : inégalité des accroissements finis Soient a < b deux réels. Soit f : [a, b] R. On suppose : f continue sur [a, b].

151 II. ACCROISSEMENTS FINIS 151 f dérivable sur ]a, b[. Il existe deux réels m et M tels que m f M sur ]a, b[. Alors, m(b a) f(b) f(a) M(b a) Démonstration : Majorer et minorer dans l égalité des accroissements finis. Corollaire : inégalité des accroissements finis (bis) Soit f : I R. On suppose : f continue sur I. f dérivable sur I o. Il existe un réel M tel que f M sur I o. Alors, x, y I, f(y) f(x) M y x En d autres termes, une fonction dérivable et dont la dérivée est bornée est lipschitzienne. Démonstration : Soient x, y I. Supposons par exemple x < y. La fonction f vérifie toutes les hypothèses du théorème des accroissements finis sur le segment [x, y]. Il existe donc c ]x, y[ I o tel que f(y) f(x) y x = f (c). Donc, f(y) f(x) y x M d où f(y) f(x) M y x. II.4 Fonctions monotones Théorème : Soit f : I R, continue sur I et dérivable sur I o. Alors, f est croissante sur I si et seulement si f 0 sur I o. f est décroissante sur I si et seulement si f 0 sur I o. f est constante sur I si et seulement si f = 0 sur I o. Démonstration : Supposons f croissante sur I. Soit a I o. Pout tout x a, on a f(x) f(a) x a 0. On passe à la limite : f (a) 0. Inversement, supposons f 0 sur I o. Soient x, y I tels que x < y. On applique le théorème des accroissements finis sur le segment [x, y] : il existe c [x, y] I o tel que f(y) f(x) = (y x)f (c). Le membre de droite est positif, donc f(x) f(y) et f est bien croissante. Démonstration bien sûr identique pour f décroissante et pour f constante. Proposition : Soit f : I R, continue sur I, dérivable sur I o, et croissante. Soit E = {x I o, f (x) = 0}. Alors f est strictement croissante sur I si et seulement si E ne contient aucun intervalle non trivial. Démonstration : Une fonction croissante f n est pas strictement croissante si et seulement si elle est constante sur un intervalle non trivial. C est en particulier le cas si E est un ensemble fini, ou si E ne contient que des points «isolés».

152 152 CHAPITRE 11. DÉRIVATION II.5 Passage à la limite dans une dérivée Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b]. On se demande si f est dérivable en a. Une méthode consiste à étudier des taux d accroissement. Il est cependant logique de se demander ce qui se passe pour f (x) lorsque x tend vers a. Proposition : Si f (x) a une limite réelle l lorsque x tend vers a, x a, alors f est dérivable en a et f (a) = l. Si f (x) tend vers l infini lorsque x tend vers a, x a, alors f n est pas dérivable en a : plus précisément, la courbe représentative de f admet une tangente verticale en a. Si f n a pas de limite en a, alors on ne peut rien dire. Démonstration : Pour x > a, on applique le théorème des accroissements finis à f sur le segment [a, x] : il existe a < c x < x tel que f(x) f(a) x a = f (c x ). Quand x tend vers a, c x aussi. Si l on suppose que f (c x ) tend vers l ou, le taux d accroissement fera de même. Considérons maintenant la fonction f : R R définie par f(x) = x 2 sin 1 x si x 0, et f(0) = 0. On voit facilement que f est continue sur R et de classe C sur R + et R. De plus, f(x) f(0) x 0 = x sin 1 x tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Donc, f est dérivable en 0 et f (0). Enfin, on a pour tout x non nul f (x) = 2x sin 1 x cos 1 x. Le premier terme tend vers 0 lorsque x tend vers 0, mais le second terme n a pas de limite en 0. La fonction f n a donc pas de limite en 0. Remarque 11.7 : Il n y a aucun paradoxe dans le contre-exemple ci-dessus. Quand une fonction est définie en un point mais qu elle n a pas de limite en un point, cela signifie tout simplement... qu elle n y est pas continue. Bref, la fonction f ci-dessus est dérivable, mais n est pas de classe C 1. II.6 Passage à la limite pour les fonctions de classe C k Proposition : Soit k N. Soient a, b R, a < b. Soit f :]a, b] R une fonction de classe C k. On suppose que pour tout i {0,..., k} f (i) (x) a une limite finie lorsque x tend vers a. Alors f est prolongeable en une fonction de classe C k sur [a, b]. Démonstration : La fonction f a une limite finie en a, elle est donc prolongeable en une fonction continue sur [a, b] que nous continuons à appeler f. Nous allons montrer par récurrence sur i que pour tout i {0,..., k} f est de classe C i sur [a, b]. Pour i = 0, c est déjà fait : f est continue. Supposons la propriété vraie pour un entier i < k. La fonction f (i) est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b], et, par hypothèse, sa dérivée a une limite finie en a. Grâce au théorème de passage à la limite dans une dérivée, on conclut que f (i) est de classe C 1 sur [a, b], donc que f est de classe C i+1 sur [a, b]. Corollaire : Soient a, b R, a < b. Soit f :]a, b] R une fonction de classe C. On suppose que pour tout i N f (i) (x) a une limite finie lorsque x tend vers a. Alors f est prolongeable en une fonction de classe C sur [a, b].

153 III. FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES 153 Démonstration : C est clair : f est prologeable par continuité à [a, b] et d après le théorème précédent son prolongement est de classe C k pour tout entier naturel k. III Fonctions à valeurs complexes III.1 Dérivation Une dérivée est une limite. La notion de dérivée s étend donc aux fonctions à valeurs complexes. Les opérations sur les dérivées, la formule de Leibniz, s étendent sans difficulté. Signalons quand même que pour dériver g f, la fonction f doit être à valeurs réelles. g, en revanche, peut être à valeurs complexes. Proposition : Soit f : I C. La fonction f est dérivable au point a I si et seulement si Re(f) et Im(f) le sont. On a alors f (a) = Re(f) (a) + i Im(f) (a). Par exemple, on montre facilement avec le résultat ci-dessus la propriété suivante : Proposition : Soit α C. La fonction f : x e αx est de classe C sur R et on a pour tout réel x, f (x) = αe αx. III.2 Rolle et accroissements finis Attention! Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont pas valables pour des fonctions à valeurs complexes. Par exemple, si l on prend f(x) = x(1 x) + ix 2 (1 x), alors f est de classe C sur [0, 1], f(0) = f(1) = 0, et pourtant f (x) = (1 2x) + ix(2 3x) ne s annule pas. En revanche, l inégalité des accroissements finis reste vraie : Théorème : Soit f : [a, b] C continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. On suppose qu il existe un réel k tel que x ]a, b[, f (x) k. Alors, f(b) f(a) k b a. Démonstration : Contentons-nous d une démontration lorsque f C 1 ([a, b]) (le cas général est plus délicat). On utilise un résultat d intégration démontré un peu plus bas : d où le résultat. f(b) f(a) = b a f (t) dt b a f (t) dt max [a,b] f b a dt III.3 Intégration Cette section est un peu prématurée, mais on y démontre un résultat qui est utilisé ci-dessus. De plus, le parallèle entre intégrale et dérivée est intéressant. Soit f : [a, b] C une fonction continue par morceaux. On appelle intégrale de f sur [a, b] le nombre complexe b a f(x) dx = b a Re(f(x)) dx + i b a Im(f(x)) dx. La linéarité de l intégrale reste vérifiée. La formule de Chasles également. On peut évidemment intégrer par parties ou faire des changements de variable.

154 154 CHAPITRE 11. DÉRIVATION En revanche, on ne peut plus parler de croissance ou de positivité de l intégrale, puisqu on ne peut pas comparer deux fonctions à valeurs complexes. On a cependant le résultat suivant : Théorème : Soit f : [a, b] C continue par morceaux. Alors b a f(x) dx b a f(x) dx. Démonstration : Soit z 0 C. Soit Λ : C R définie par Λ(z) = <z,z 0> z 0 où les crochets dénotent le produit scalaire usuel dans C identifié à R 2. On a alors pour tout nombre complexe z, Λ(z) z, d après l inégalité de Schwarz. De plus, on a égalité lorsque z = z 0. On a donc b a Λ(f(t)) dt b a f(t) dt. De plus, b a Λ(f(t)) dt = Λ( b a f(t) dt). Ceci résulte de la linéarité de a. Ceci reste valable pour tout z 0 non nul. En particulier, si b a f(t) dt est non nulle, on l appelle z 0, et on obtient z 0 = Λ(z 0 ) b a f(t) dt. Si jamais l intégrale est nulle, l inégalité à montrer est triviale.

155 IV. EXERCICES 155 IV Exercices 1. (a) Soient f, g : [a, b] R, continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. Démontrer qu il existe un réel c ]a, b[ tel que f (c)(g(b) g(a)) = g (c)(f(b) f(a)). On pourra considérer la fonction x f(x)(g(b) g(a)) g(x)(f(b) f(a)). (b) (Règle de l Hospital) Soient f et g deux fonctions dérivables au voisinage d un réel a et telles que f(a) = g(a) = 0, et g, g 0 au voisinage de a (sauf peut-être en a). Montrer que si f (x) f(x) g (x) l R lorsque x a, alors g(x) l lorsque x a. (c) Calculer les limites suivantes : sin x x ln(1+x) x lim x 0, lim x 3 x 0 x 2 2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : ln(1+x) x+, lim x 2 2 x 0 x 3 x x, (cos x) sin x,ln tan x 2, ln(x x 2 ), x x 2 3. Calculer la dérivée nième des fonctions suivantes : 1 1 x, exp(x) sin x, 1 1 x 2 4. Soit f : R R dérivable. Soit l R. On suppose que lim f = lim + f = l. (a) On suppose connue une fonction φ :] 1, 1[ R, dérivable, surjective, et telle que x ] 1, 1[, φ (x) > 0. Soit f : [ 1, 1] R définie par f(x) = f φ(x) si x 1 et 1, et f( 1) = f(1) = l. Montrer que f satisfait aux hypothèses du théorème de Rolle. En déduire l existence d un réel c tel que f (c) = 0. (b) Montrer que l application φ définie par φ(x) = 1 2 de la question précédente. ln 1+x 1 x satisfait aux exigences 5. Soit f : R R de classe C vérifiant pour tout entier n lim f (n) = lim f (n) = 0. Prouver que pour tout entier n, la dérivée nième de f s annule au moins n fois sur R. 6. Soit f : R R définie par f(x) = e x2. Démontrer que n 0, x R, f (n) (x) = P n (x)e x2 où P n est un polynôme de degré n ayant n racines réelles distinctes. 7. Soit f : R R dérivable. Montrer que si f (x) a une limite l lorsque x tend vers +, alors, f(x) x tend aussi vers l lorsque x. Montrer que la réciproque est fausse. 8. Théorème de Darboux. Soit f : [a, b] R une fonction dérivable telle que f (a) < 0 et f (b) > 0. (a) Montrer que f possède un minimum sur [a, b]. (b) Prouver que ce minimum ne peut être atteint ni en a, ni en b. (c) En déduire l existence d un réel c ]a, b[ tel que f (c) = 0 (d) En déduire que l image d un intervalle par une fonction dérivée est un intervalle. (e) On sait qu il existe des fonctions dérivées discontinues. Que nous apprend le résultat précédent sur l allure des discontinuités d une dérivée?

156 156 CHAPITRE 11. DÉRIVATION 9. Soit f : I R. Soit k R +. On dit que f est k-enneiztihcspil sur I lorsque x, y I, f(y) f(x) k y x. (a) Montrer qu une fonction enneiztihcspil est injective. (b) Montrer que si f : I R est enneiztihcspil et continue, alors f est strictement monotone. (c) Donner un exemple de fonction enneiztihcspil sur R et non monotone (et donc, forcément non continue). (d) L ensemble E des fonctions enneiztihcspil sur R est-il stable pour l addition? La multiplication par un réel? La multiplication des fonctions? La composition? 10. (a) Trouver toutes les applications f : R R dérivables vérifiant x, y R, f( x+y 1 2 (f(x) + f(y)). (b) Même question, mais on suppose seulement la continuité de f. 2 ) = 11. Soit f une fonction dérivable en un point a. Déterminer la limite lorsque x tend vers a de xf(a) af(x) x a. 12. Calculer la dérivée nième de la fonction f : x e x 3 sin x. 13. Soit f : x ln(2ex e x ) x. (a) Quel est l ensemble de définition de f? (b) Prolonger f par continuité. (c) Le prolongement obtenu est-il dérivable en 0? (d) Est-il de classe C 1? 14. Déterminer les fonctions f : R R dérivables en 0 telles que x R, f(2x) = 2f(x). 15. Pour x > 0, on pose f(x) = ln x x. Montrer que pour tout entier n 1, pour tout x > 0, on a f (n) (x) = ( 1)n n! (ln x n x n+1 k=1 1 k ). 16. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f : x x 2 x Soit f : R R dérivable. Montrer : x > 0, c > 0, f(x) f( x) = x(f (c) + f ( c)). 18. Soit f : I R dérivable. Montrer que f est lipschitzienne sur I si et seulement si sa dérivée est bornée. 19. Soit f : x cos x. La fonction f est-elle continue en 0? Dérivable en 0? f est-elle de classe C 1 sur R +? (a) Démontrer à l aide du théorème des accroissements finis que x > 0, x+1 ln(x + 1) ln x 1 x. (b) Prolonger f par continuité. (c) En déduire la limite lorsque n tend vers l infini de 2n p=n+1 1 p. (d) Plus généralement, étant donné un entier k 2, quelle est la limite lorsque n tend vers l infini de kn p=n+1 1 p? 21. Soit α R. Soit f : R + R définie par f(x) = x α sin 1 x si x 0 et f(0) = 0. Pour quelles valeurs de α la fonction f est-elle continue? Dérivable? C 1? Lipschitzienne?

157 Chapitre 12 Analyse asymptotique 157

158 158 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE I Comparaison des fonctions au voisinage d un point I.1 Négligeabilité, domination Définition 12.1 : Soit a R. Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a). On dit que f est dominée par g en a lorsque f = gh, où la fonction h est bornée au voisinage de a. On note alors f = O a (g). est négligeable devant g en a lorsque f = εg, où ε tend vers 0 en a. On note alors f = o a (g) ou f a g. Remarque 12.1 : Lorsque la fonction g ne s annule pas au voisinage de a, les définitions ci-dessus équivalent respectivement à ( f g ) est bornée au voisinage de a, et à ( f g ) tend vers 0 en a. Exemple : On a 3x 2 1 = O + (x 2 ). Étant donnés deux réels α < β, on a x α = o + (x β ) mais x β = o 0 (x α ). Proposition 12.1 : Soit f une fonction définie au voisinage de a. Alors o a (f)+o a (f) = o a (f) et o a (f) o a (f) = o a (f 2 ). Si f est bornée au voisinage de a, alors o a (f) o a (f) = o a (f). Démonstration : On a o a (f) + o a (f) = (ε + ε )f = ε f où toutes les fonctions ε tendent vers 0 en a. Preuves analogues dans tous les cas. Remarque 12.2 : On remarque, dans la proposition précédente, que ça ne fait pas 2 et que l égalité n est pas une relation symétrique. Il faut effectivement faire attention lorsqu on manipule des o, car o a (f) représente UNE fonction négligeable devant f en a. Donc, par exemple lorsqu on écrit o a (f) + o a (f) on additionne deux fonctions négligeables devant f, mais ces deux fonctions sont a priori différentes. En cas de doute, il n y a qu à revenir à la définition. I.2 Fonctions équivalentes Définition 12.2 : Soient deux fonctions f et g définies au voisinage de a R. On dit que ces fonctions sont équivalentes en a, et on note f a g, lorsque f = λg, où λ(x) 1 lorsque x tend vers a. Remarque 12.3 : Ce qui équivaut à f g tend vers 1 en a, dans le cas où la fonction g ne s annule pas au voisinage de a. Proposition 12.2 : et transitive. L équivalence des fonctions en un point est réflexive, symétrique Proposition 12.3 : Si deux fonctions sont équivalentes en un point, et si l une des deux tend vers une limite, alors l autre tend aussi vers cette même limite.

159 I. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT 159 Démonstration : Supposons f a g et g l. On a f = λg avec λ 1, d où le résultat. Proposition 12.4 : Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a. On a f a g f = g + o a (g) Démonstration : Tout simplement parce qu une fonction λ tend vers 1 si et seulement si on peut écrire λ = 1 + ε où ε 0. Exemple : Soit P un polynôme. En ± P est équivalent à son terme de plus haute degré. En 0, il est équivalent à son terme de plus bas degré. Par exemple, 3x 4 + 7x 2 2x 1 + 3x 4 et 5x 3 2x 2 3x 0 3x. Proposition 12.5 : Si deux fonctions sont équivalentes en a, elles sont de même signe au voisinage de a. Démonstration : Supposons f = λg, où λ 1. Pour tout x assez proche de a, on a λ(x) 1 2 > 0, d où le résultat. Proposition 12.6 : L équivalence des fonctions en un point est compatible avec la multiplication, la division, et l élévation à une puissance fixée. En revanche, elle n est pas compatible avec l addition. Démonstration : Le produit et le quotient de deux fonctions qui tendent vers 1 tend encore vers 1. Si la fonction λ tend vers 1 et si α R, alors λ α tend encore vers 1. L addition pose problème. Par exemple, on a x 2 0 x 2 + x 3 et x 2 + x 4 0 x 2. Mais on n a PAS x 4 0 x 3. I.3 Équivalents classiques Proposition 12.7 : On a les équivalents suivants EN 0 : e x 1 x ln(1 + x) x (1 + x) α αx sin x x 1 cos x x2 2 tan x x sinh x x cosh x 1 x2 2 tanh x x arcsin x x arctan x x argsh x x argth x x

160 160 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE Démonstration : La plupart de ces formules se montrent de la même façon, en montrant qu un taux d accroissement tend vers une certaine dérivée. Par exemple, ex 1 x = ex e 0 x 0 tend vers la dérivée de l exponentielle en 0, c est à dire 1. Seules deux formules, celles du cosinus et celle du cosinus hyperbolique, se traitent à part. On a 1 cos x x Donc, 1 cos x 0 x2 2. = 2 sin2 x 2 x 2 2 x 2 4 = x 2 I.4 Fonctions de référence Proposition 12.8 : Soient a > 1, α > 0, β > 0. On a EN + : (ln x) β = o(x α ) x α = o(a x ) Démonstration : Voir le chapitre sur la comparaison des suites. Remarque 12.4 : limites en ± et en 0. Par exemple, ex x 3 Ce résultat permet de lever des indéterminations dans certaines 0 en + puisque x 3 = o(e x ). Autre exemple, considérons f(x) = x 2 ln 7 x, définie au voisinage de 0. Posons t = 1 x. On a f(x) = ln7 t t 2. Lorsque x 0, t + donc f(x) 0 lorsque x 0. Dernier exemple, soit f(x) = x 3 e x. Posons t = x. On a f(x) = t 3 e t. Lorsque x, on a t +, donc f(x) tend vers 0. II Développements limités II.1 Formule de Taylor-Young Proposition 12.9 : Soit n 0. Soit f : I R n fois dérivable en a I. Alors n (x a) k f(x) = f (k) (a) + o((x a) n ) k! k=0 Démonstration : On pose g(x) = f(x) n (x a) k k=0 k! f (k) (a). On constate que g est n fois dérivable en a, et que g(a) = g (a) = = g (n) (a) = 0. Cela signifie en particulier que g est n 1 fois dérivable dans un voisinage de a. On écrit alors g(x) = g(x) g(a) = (x a)g (c 1 ) avec a < c 1 < x. De même g (c 1 ) = g (c 1 ) g (a) = (c 1 a)g (c 2 ) avec a < c 2 < c 1. On continue jusqu à g (n 2) (c n 2 ) = (c n 2 a)g (n 1) (c n 1 ). On a donc g(x) = (x a)(c 1 a) (c n 2 a)g (n 1) (c n 1 ) avec a < c n 1 < < c 1 < x. Ainsi, g(x) (x a) g (n 1) (c n 1 ) n x a. Or, g(n 1) (c n 1 ) x a g(n 1) (c n 1 ) g (n 1) (a) c n 1 a et cette quantité tend vers g (n) (a) = 0 lorsque x tend vers a.

161 II. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 161 II.2 Notion de DL Définition 12.3 : Soit f une fonction définie au voisinage du réel a. Soit n N. On dit que f admet un développement limité à l ordre n en a lorsqu il existe a 0,..., a n R tels que n f(x) = a k (x a) k + o((x a) n ) k=0 Remarque 12.5 : On peut encore écrire f(x) = P n (x a)+o(x a) n, avec P n R n [X]. La quantité P n (x a) est appelée la partie régulière du D.L., et o(x a) n est le reste. Proposition : n en a. Si f est n fois dérivable en a R, elle admet un D.L. à l ordre Démonstration : C est exactement ce que dit le théorème de Taylor-Young. Ce théorème donne également les coeffcients du D.L. Proposition : f admet un D.L. à l ordre 0 en a si et seulement si f est continue en a. f admet un D.L. à l ordre 1 en a si et seulement si f est dérivable en a. On ne peut rien dire d autre. Démonstration : f a un DL à l ordre 0 en a si et seulement si f(x) = f(a) + o(1) c est à dire f(x) f(a) lorsque x a. Et f a un DL à l ordre 1 en a si et seulement si f(x) = f(a) + k(x a) + o(x a). On a vu dans le cours de dérivation que ceci équivaut à dire que f est dérivable en a (et que f (a) = k). Proposition : Si f admet un D.L. au point a, ce D.L. est unique. Démonstration : Supposons On en déduit n a k (x a) k + o((x a) n ) = k=0 n b k (x a) k + o((x a) n ) k=0 n c k (x a) k = o((x a) n ) k=0 où l on a posé c k = a k b k. Supposons l un au moins des c k non nul. Soit j le plus petit indice tel que c j 0. Alors, n k=0 c k(x a) k c j (x a) j et cette quantité n est pas négligeable devant (x a) n. Exemple : Si une fonction est définie au voisinage de 0, et paire, tout D.L. de cette fonction en 0 a ses coefficients de degré impair nuls. Remarque analogue pour une fonction impaire.

162 162 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE II.3 Utilité des développements limités Les développements limités permettent de connaître le comportement d une fonction au voisinage d un point : limite éventuelle de cette fonction, signe de la fonction, extrema,... Par exemple, nous savons que si une fonction est dérivable en un point et y possède un extremum, alors sa dérivée s annule. Mais nous savons aussi que la réciproque est fausse. Si l on possède un développement limité à l ordre 2 de la fonction au point considéré, on peut souvent trancher (mais pas toujours, hélas). Proposition : Soit f une fonction définie au voisinage du réel a. On suppose que f admet en a un DL à l ordre 2 : f(x) = f(a) + λ(x a) 2 + o(x a) 2 Si λ > 0, f admet un minimum local en a. Si λ < 0, f admet un maximum local en a. Si λ = 0 on ne peut rien dire. Démonstration : Supposons λ 0. On a f(x) f(a) λ(x a) 2, du signe de λ au voisinage de a. Remarque 12.6 : Si λ = 0, une solution peut consister à faire un DL de f en a à un ordre plus élevé... jusqu à ce qu un coefficient non nul apparaisse. II.4 Développements classiques Voici ci-dessous les développements limités en 0 pour les fonctions usuelles, à un ordre quelconque.

163 II. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 163 Proposition : e x = ln(1 + x) = arctan x = sin x = cos x = sinh x = cosh x = (1 + x) α = n k=0 x k k! + o(xn ) n ( 1) k=1 n k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 k+1 xk ( 1) k x2k+1 k + o(xn ) 2k o(x2n+2 ) n ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + o(x2n+2 ) n ( 1) k x2k (2k)! + o(x2n+1 ) n x 2k+1 (2k + 1)! + o(x2n+2 ) n x 2k (2k)! + o(x2n+1 ) n ( ) α x k + o(x n ) k tan x = x x x5 + o(x 5 ) où ( ) α k = α(α 1)...(α k+1) k! si k 0, et 1 si k = 0. Démonstration : Mise à part la fonctions arctan (pour laquelle la preuve attendra un peu), la démonstration consiste à calculer la dérivée d ordre k de la fonction puis à l évaluer en 0. II.5 Somme de DLs Notation : Si P R n [X], et p N, on note P p le polynôme P que l on a tronqué au degré p (suppression des termes de degré > p). Soient f et g deux fonctions définies au voisinage du point a, et admettant en a des D.L. d ordres respectifs p et q. On a f(x) = P (x a)+o(x a) p et g(x) = Q(x a)+o(x a) q où P R p [X] et Q R q [X]. On en tire f(x)+g(x) = P (x a)+q(x a)+o(x a) p +o(x a) q ou encore (f + g)(x) = (P + Q) r (x) + o(x a) r où r = min(p, q).

164 164 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE Exemple : Un DL à l ordre 4 en 0 de sin x est x 1 6 x3 + o(x 4 ). Un DL à l ordre 4 en 0 de cos x est x x4 + o(x 4 ). Donc, un DL à l ordre 4 en 0 de sin x + cos x est 1 + x 1 2 x2 1 6 x x4 + o(x 4 ). II.6 Produit de DLs Soient f et g deux fonctions définies au voisinage du point a, et admettant en a des D.L. d ordres respectifs p et q. On a f(x) = P (x a) + o(x a) p et g(x) = Q(x a) + o(x a) q où P R p [X] et Q R q [X]. Posons plus précisément P (x) = x µ P 1 (x) où P 1 (0) 0, et de même Q(x) = x ν Q 1 (x) où Q 1 (0) 0. Il vient alors f(x)g(x) = ((x a) µ P 1 (x a) + o(x a) p )((x a) ν Q 1 (x a) + o(x a) q ) = P (x a)q(x a) r + o(x a) r où r = min(p + ν, q + µ). Exemple : Déterminons un DL à l ordre 3 en 0 de e x sin x. Avec les notations cidessus, on a µ = 0 et ν = 1. Il suffit donc de prendre p = 2 et q = 3. e x sin x = (1 + x x2 + o(x 2 ))(x 1 6 x3 + o(x 3 )) = x + x x3 + o(x 3 ). II.7 Inverse d un DL Soit f ayant un développement limité à l ordre n au point a. On suppose que f(a) 0, 1 et on cherche un D.L. en a de f(x). Pour simplifier, on suppose f(a) = 1 (on peut facilement s y ramener par une factorisation), et on écrit où P(0)=0. On a ou encore Mais f(x) = 1 + P (x a) + o(x a) p 1 f(x) P (x a) = o(x a) p = o(x a)p f(x)(1 + P (x a)) 1 f(x) = 1 + o(x a)p 1 + P (x a) P (x a) = 1 P (x a) + P (x a) ( 1) k P (x a) k + o(p (x a) k ) Écrivons P (x) = x µ P 1 (x). Alors o(p (x a) k ) = o(x µk ). Donc, à condition de choisir k tel que µk p P (x a) = Q(x a) + o(p (x a)p )

165 II. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Exemple : Déterminons un D.L. à l ordre 4 en 0 de cos x. On a 1 cos x = 1 1 u avec u = 1 2 x x4 + o(x 4 ). Remarquons que o(u 2 ) = o(x 4 1 ). De là, cos x = 1 + u + u2 + o(u 2 ) = 1 + u + u 2 + o(x 4 ) = x x4 + o(x 4 ). Déduisons-en un D.L. à l ordre 5 en 0 de tan x : tan x = sin x 1 cos x = (x 1 6 x x5 + o(x 5 ))( x x4 + o(x 4 )) = x x x5 + o(x 5 ). II.8 Composition de DLs Nous traitons juste deux exemples. Exemple : Soit f(x) = ln cos x. Faisons un DL de f en 0 à l ordre 4. On a f(x) = ln(1+u) où u = 1 2 x x4 +o(x 4 ) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Donc, f(x) = u 1 2 u2 +o(u 2 ) et on s arrête à l ordre 2 parce que o(u 2 ) = o(x 4 ). Finalement, f(x) = 1 2 x x4 + o(x 4 ). Exemple : Faisons un DL à l ordre 3 en 0 de f(x) = e ex. On a f(x) = exp(1 + x x x3 + o(x 3 )) = e exp u où u = x x x3 + o(x 3 ) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Donc, f(x) = e(1 + u u u3 + o(u 3 )) = e(1 + x + x x3 + o(x 3 )). II.9 Primitivation de DLs Proposition : Soit f une fonction dérivable au voisinage du point a. On suppose que f admet en a un D.L. à l ordre n : f (x) = n a k (x a) k + o(x a) n k=0 Alors, f admet en a un D.L. à l ordre n + 1 qui est f(x) = f(a) + n k=0 a k k + 1 (x a)k+1 + o(x a) n+1 Remarque 12.7 : Ce théorème est bien un théorème d intégration de D.L : si g a un D.L. à l ordre n, alors toute primitive de g aura un D.L. à l ordre n + 1 en ce même point, obtenu en intégrant «formellement» le D.L. de g. En revanche, si g a un DL à l ordre n en a, si g est dérivable au voisinage de a, on ne peut absolument pas affirmer que g aura un DL en a. Démonstration : Posons φ(x) = f(x) f(a) n a k k=0 k+1 (x a)k+1. La fonction φ est dérivable au voisinage de a, et on a φ (x) = o(x a) n. Utilisons le théorème des accroissements finis : φ(x) = φ(x) φ(a) = (x a)φ (c) où c est situé entre a et x. On a donc φ(x) = (x a)(c a) n ε(c) = (x a) n+1 ε(x) = o(x a) n+1. Exemple : Soit f : x arctan x. La fonction f est de classe C sur R, elle admet donc des développements limités de tous ordres en 0. On a f (x) = 1 x 2 +1 = n k=0 ( 1)k x 2k +

166 166 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE o(x 2n+1 ). Le théorème d intégration des DL nous dit que arctan x a un DL à l ordre 2n + 2 en 0, obtenu en intégrant formellement le DL ci-dessus. Ainsi, comme arctan 0 = 0, arctan x = n k=0 ( 1) k x2k+1 2k o(x2n+2 ) Exercice : Déterminer un DL à l ordre 5 en 0 de arcsin x. Exemple : Soit f(x) = arccos(1 x 2 ), définie sur [0, 1]. La fonction f est continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1]. Vérifions qu elle est dérivable en 0. Pour tout x ]0, 1], on a f (x) = 2. Donc, f 2 x (x) tend vers 2 lorsque x tend vers 0. On en déduit que 2 f est dérivable en 0 et f (0) = 2. Un DL en 0 de f à l ordre 4 est f (x) = 2 + x x o(x4 ). On en déduit grâce au théorème d intégration des DL, que f(x) = 2x + x x o(x5 ). Posant x = 1 t, on en déduit ce que l on appelle un développement asympotique de la fonction arccos en 1 : arccos t = 2(1 t) (1 t) (1 t) o((1 t) 5 2 ) III Développements asymptotiques III.1 Notion de DA Si l on reprend l exemple de la fonction arccos du paragraphe précédent, on voit que l on a effectué au voisinage de 1 quelque chose qui ressemble à un développement limité, sauf que ce n en est pas un. D ailleurs, aucun développement limité de arccos au voisinage de 1 n existe (sauf un DL à l ordre 0), puisque cette fonction n est pas dérivable en 1. Si l on regarde attentivement ce que l on a fait, on a écrit arccos x sous forme d une somme de fonctions, chaque fonction étant négligeable en 1 devant la précédente. De façon générale, soit f une fonction définie au voisinage de a R. On effectue un développement asymptotique de f en a lorsqu on écrit f(x) = φ 0 (x) + φ 1 (x) + φ n (x) + o a (φ n (x)) où pour tout k [1, n], φ k (x) = o a (φ k 1 (x)). On voit qu un développement limité de f en a R est un cas particulier de DA, obtenu en prenant φ k (x) = (x a) k.

167 III. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES 167 III.2 Quelques exemples Exemple : On prend f(x) = x x et a = 0. On a f(x) = exp(x ln x) = 1 + x ln x x2 ln 2 x + o(x 2 ln 2 x). Exemple : On prend f(x) = sinh x et a = +. On a f(x) = 2 (ex e x ). On factorise e x sous la racine : f(x) = 1 2 e x 2 1 e 2x. Comme e 2x tend vers 0 lorsque x tend vers l infini, on peut faire un «DL» de la racine carrée : f(x) = 1 2 e x 2 (1 1 2 e 2x 1 8 e 4x + o(e 4x )) = 1 2 (e x e 3 2 x 1 8 e 7 2 x + o(e 7 2 x )). Exemple : On prend f(x) = arctan x et a = +. On a pour x > 0 f(x) = π 2 arctan 1 x = π 2 1 x o( 1 ). 3x 3 x 3 Exemple : On prend f(x) = cotan x et a = 0. On a f(x) = cos x sin x = 1 cos x x g(x) où g(x) = sin x x = x x4 + o(x 4 ). On fait ensuite un DL (à l ordre 5) de cos x g(x) = x x4 + o(x 5 ) d où cotan x = 1 x 1 3 x 1 45 x3 + o(x 4 ). III.3 La formule de Stirling Il existe des équivalents pas évidents du tout à démontrer. C est le cas de la formule de Stirling. Proposition : On a n! ( ) n n e 2πn. La démonstration de la formule de Stirling est longue et nécessite un certain nombre de lemmes. Posons u n = n k=1 ln k n ln n + n 1 2 ln n. Lemme III.1 On a u n+1 u n 1 12n 2. Démonstration : u n+1 u n = ln(n + 1) (n + 1) ln(n + 1) + (n + 1) 1 2 ln(n + 1) + n ln n n ln n = 1 (n ) ln(1 + 1 n ). Comme 1 n tend vers 0, on peut utilser un DL de ln(1 + x) en 0 : u n+1 u n = 1 (n )( 1 n n o( 1 )) = 1 + o( 1 ) 1. n 3 n 3 12n 2 n 2 12n 2 On voit donc que la différence u n+1 u n entre deux termes successifs de la suite (u n ) tend vers 0. En fait, cette différence tend assez vite vers 0 pour que la suite (u n ) converge. Lemme III.2 La suite (u n ) est convergente. Démonstration : Pour tout n assez grand, on a 1 2 u n+1 u n n 2 2, ou encore 24n 2 u n+1 u n 1. On déduit de la première inégalité que la suite (u 8n 2 n ) décroît à partir d un certain rang N. Il reste à prouver qu elle est minorée. C est l autre inégalité qui permettra de conclure. Soit n N. On a u n = n 1 k=n (u k+1 u k ) + u N 1 n 1 8 k=n 1 + u k 2 N. Il nous faut un lemme pour montrer le lemme... 1

168 168 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE Lemme III.3 Soit v n = n k=1 1 k 2. La suite (v n ) est majorée. Démonstration : La suite (v n ) est croissante. Pour montrer qu elle est majorée, il suffit de montrer que la suite extraite (v 2 n) est majorée. Or, v 2 n+1 v 2 n = 2 n k=2 n 1 2 n k 2 2 2n (le nombre de termes de cette somme) 1 2. D où v n 2 n = (v 2 v 1 ) + (v 4 v 2 ) + (v 8 v 4 ) (v 2 n v 2 n 1) + v = n 1 2 n 1 Démonstration : Retour à u n... On a pour tout n N, u n u N 3 8. La suite (u n) est décroissante à partir d un certain rang, minorée, donc converge vers un réel l. Lemme III.4 Il existe un réel C > 0 tel que n! ( n e ) n C n. n! Démonstration : Il séavère que u n = ln ( n e ) n. Cette quantité tend vers l, donc n exp(u n ) tend vers C = e l, d où l équivalent cherché. Il reste maintenant à calculer C, et même cela n est pas simple. À cet effet, introduisons les intégrales de Wallis. Pour tout n N, soit W n = π 2 0 sinn t dt. Lemme III.5 La suite (W n ) est positive, décroissante. Démonstration : La positivité est évidente : on intègre une fonction positive. Pour tout entier n, on a W n+1 W n = π 2 0 sinn t(sin t 1) dt. Cette fois on intègre une fonction négative, d où la décroissance. Lemme III.6 On a pour tout entier n 2, W n = n 1 n W n 2. Démonstration : On intègre par parties W n, en posant u sin t et v = sin n 1 t. Le calcul est laissé au lecteur (s il reste un lecteur). Lemme III.7 On a pour tout entier n, W 2n = (2n)! 2 2n n! 2 π 2 et W 2n+1 = 22n n! 2 (2n+1)!. Démonstration : Récurrence sur n, utiliser le lemme précédent. Lemme III.8 nw n W n+1 π 2 lorsque n tend vers l infini. 2n π 2n+1 Démonstration : Posons u n = nw n W n+1. On a u 2n = 2, qui tend bien vers π 2 lorsque n tend vers l infini. Et u 2n+1 = (2n + 1)W 2n+1 W 2n + 2 = 2n+1 π 2n+2 2 qui tend aussi vers π 2. On conclut avec la «réciproque» du théorème sur les suites extraites. Lemme III.9 W n W n+1.

169 III. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES 169 Démonstration : On a W n+2 = n+1 n+2 W n W n+1 W n, d où n+1 conclut avec le théorème d encadrement des limites. n+2 W n+1 W n 1. On Lemme III.10 W n π 2n. Démonstration : En, effet, nw n W n+1 nw 2 n π 2. On y est! Lemme III.11 C = 2π Démonstration : On a W 2n = (2n)! π 2 2n n! 2 2 ( 2n e ) 2n C 2n 2 2n (( n e ) n C π n) 2 π 4n. D où C 2π. Mais C est constant. Donc, C = 2π. 2 = 1 C Moralité : il n est pas toujours facile de trouver un équivalent... π 2n. Par ailleurs W 2n

170 170 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE IV Exercices 1. Comparer les fonctions suivantes au voisinage des points indiqués. (a) x ln x et ln(1 + 2x) au voisinage de 0. (b) x ln x et x 2 + 3x ln(x 2 ) au voisinage de +. (c) 1 x+1 et ln ( x) au voisinage de Vrai ou faux? Si f et g sont équivalentes au voisinage de a, et g est croissante au voisinage de a, alors f est croissante au voisinage de a. 3. On se donne deux fonctions f et g équivalentes au voisinage de a. Vrai ou faux? (a) Si f (et donc g) tend vers l R au point a, alors e f e g au voisinage de a. (b) Si f (et donc g) tend vers + au point a, alors e f e g au voisinage de a. (c) Si f (et donc g) tend vers au point a, alors e f e g au voisinage de a. 4. On se donne deux fonctions f et g strictement positives équivalentes au voisinage de a. Soit l R + \ {1}. On suppose que g(x) l lorsque x a. (a) Montrer que ln f ln g au voisinage de a. (b) Montrer que la conclusion devient fausse si l = Soient f et g deux fonctions définies au voisinage d un point a. Montrer e f a e g f g a 0 6. Déterminer la limite éventuelle de f(x) lorsque x tend vers a. (a) a = 0, f(x) = x(3 + x) x+3 x sin x. (b) a = 0, f(x) = (cos x) 1/x2. (c) a = 0, f(x) = ( ) sin x x x sin x sin x. (d) a = 0, f(x) = ( tan 2 x ) 1 x sin x. (e) a = π 4, f(x) = tan(2x) ln(tan x). (f) a = +, f(x) = tan x x 2. sinh x x 7. Calculer : lim x x 0, lim x 5 x 0 1 x 2 tan 2 x, lim x e ex x e (x e) 2 8. Donner un équivalent en 0 de (2 + cos x)(2 + cosh x) 9 9. Soit f : R R définie par f(x) = sin(tan x) tan(sin x). À l aide d une calculatrice, déterminer à quel ordre il faudrait effectuer un DL de f pour en obtenir un équivalent en Déterminer un DL en a à l ordre n pour la fonction f : (a) a = 0, n = 2, f(x) = ln(α x + β x ) (α, β réels strictement positifs) (b) a = π/4, n = 2, f(x) = sin x

171 IV. EXERCICES 171 (c) a = 0, n = 3, f(x) = e 1+x (d) a = 0, n = 4, f(x) = 1 + cos x 11. Soit f : [ π, π] R définie par f(0) = 0 et f(x) = 1 x 1 2 sin x 2 que f est de classe C Soit f : R R définie par f(x) = xe x. si x 0. Démontrer (a) Démontrer qu il existe un segment I centré en 0 sur lequel f > 0. La fonction f : I J = f(i) est donc bijective, et sa réciproque, que l on notera g, est de classe C. (b) Déterminer un DL à l ordre 3 de la fonction g en (a) Soit f une fonction deux fois dérivable en un réel x. Déterminer la limite lorsque h 0, h 0 de f(x+h)+f(x h) 2f(x) h 2. (b) En déduire les fonctions f : R R de classe C 2 vérifiant x, y R, f(x + y) + f(x y) = 2f(x)f(y). 14. Soit f : R R de classe C 2 vérifiant x, y R, f(x y)f(x + y) f(x) 2. (a) Démontrer que x R, f(x)f (x) f (x) 2. (b) Dans le cas où f ne s annule pas, que peut-on dire de ln f? (c) Réciproque? 15. (a) Montrer que, pour tout réel x > 0, il existe un unique réel θ x ]0, 1[ tel que ln(1 + x) = x 1+θ xx. (b) Prouver que θ x tend vers 1 2 lorsque x tend vers 0. ( ) 16. On pose u n = n ln 1 + ln(1+ 1 n ) ln n. (a) Déterminer un équivalent de u n. (b) On pose v n = (e un 1) ln n. Étudier la convergence de (v n ). (c) On pose w n = (( ln(n+1) ln n 17. Donner un équivalent simple des suites ci-dessous. (a) u n = (n + 1) 1 1 n+1 n n. (b) u n = ( tan ( π 3 + n)) 1 n. (c) u n = n + n n + n Pour tout n N, on pose s n = n k=1 1 k. ) n 1 ) ln n. Étudier la convergence de (w n ). (a) Montrer que pour tout n N, 1 n+1 2( n + 1 n) 1 n. (b) En déduire que (s n ) tend vers l infini lorsque n tend vers l infini. (c) On pose pour tout n 1 u n = s n 2 n. Montrer que la suite u est convergente. (d) Donner un équivalent simple de s n. 19. Trouver un équivalent simple des suites suivantes et donner leur limite.

172 172 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE (a) u n = n3 n 2 +1 ln n 2n 2. (b) u n = n!+en 2 n +3 n. (c) u n = 2n3 ln n+1. n Trouver la limite éventuelle des suites suivantes. (a) u n = n ln ( n 2 +1 (b) u n = ( 1 + sin 1 n) n. (c) u n = n n+1 (n+1) n. ). 21. On pose pour tout entier n u n = n! n. n (a) Calculer la limite de u n+1 u n lorsque n tend vers l infini. (b) Montrer que (u n ) est convergente. (c) Déterminer la limite de (u n ). 22. Montrer que 1! + 2! n! n!.

173 Chapitre 13 Groupes, anneaux, corps 173

174 174 CHAPITRE 13. GROUPES, ANNEAUX, CORPS I Lois de composition interne I.1 Définition Définition 13.1 : Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne (ou plus simplement opération) sur E toute application : E E E. L usage est de noter x y l image du couple (x, y) par l opération. La plupart des lois classiques sont notées additivement (+) ou multiplicativement (, ou.) mais ce n est pas obligé (penser à l intersection et la réunion des ensembles (, ), à la composition des applications ( ), à l opération (x, y) x y,... ). I.2 Propriétés fondamentales des lois de composition Commutativité Définition 13.2 : Soient E un ensemble non vide et une opération sur E. On dit que est commutative lorsque pour tous éléments x et y de E, on a : x y = y x Exemple : L addition et la multiplication sont commutatives dans R. La composition n est pas commutative dans l ensemble R R des fonctions de R vers R. La soustraction n est pas commutative dans Z. La réunion est commutative dans l ensemble P(A) des parties d un ensemble A. Associativité Définition 13.3 : Soient E un ensemble non vide et une opération sur E. On dit que est associative lorsque pour tous éléments x, y et z de E, on a : (x y) z = x (y z) Remarque 13.1 : Les parenthèses deviennent alors inutiles, et on peut alors écrire plus simplement x y z. Exemple : L addition et la multiplication sont associatives dans R. La composition est associative dans l ensemble R R des fonctions de R vers R. La soustraction n est pas associative dans Z. La réunion et l intersection sont associatives dans l ensemble P(A) des parties d un ensemble A.

175 I. LOIS DE COMPOSITION INTERNE 175 Élément neutre Définition 13.4 : Soient E un ensemble non vide et une opération sur E. Soit e un élément de E. On dit que e est neutre pour l opération lorsque pour tout x dans E on a : x e = e x = x Exemple : 0 est neutre pour l addition dans C. 1 est neutre pour la multiplication dans Q. id R est neutre pour la composition dans R R. est neutre pour la réunion dans P(A). La soustraction dans R ne possède pas d élément neutre : il n existe aucun réel a tel que pour tout réel x, on ait x a = a x = x. Proposition 13.1 : L élément neutre, lorsqu il existe, est nécessairement unique. Démonstration : Soient e et e deux neutres pour. On a e e = e puisque e est neutre, mais on a aussi e e = e puisque e est neutre. Donc, e = e. Élément absorbant Définition 13.5 : Soient E un ensemble non vide et une opération sur E. Soit ζ un élément de E. On dit que ζ est absorbant pour l opération lorsque pour tout x dans E on a : x ζ = ζ x = ζ Exercice : L élément absorbant, s il existe, est-il forcément unique? Élément inversible Définition 13.6 : Soient E un ensemble non vide muni d une opération possédant un neutre e. Soit x un élément de E. On dit que x est inversible pour l opération lorsque il existe un élément x de E tel que : x x = x x = e Un tel élément x est appelé symétrique (ou inverse) de x pour l opération. Proposition 13.2 : unique Si l opération est associative, le symétrique, lorsqu il existe, est Démonstration : Soit x un élément de E. Soient x et x deux symétriques de x. On a x x = e d où x (x x ) = x e = x. Mais l opération est associative : (x x) x = e x = x = x. Remarque 13.2 : Le symétrique de x est couramment noté x 1. Pour certaines lois (comme l addition), le symétrique est appelé l opposé, et le symétrique de x est noté x.

176 176 CHAPITRE 13. GROUPES, ANNEAUX, CORPS Élément régulier Définition 13.7 : Soit E un ensemble non vide muni d une opération. Soit x un élément de E. On dit que x est régulier pour l opération lorsque, pour tous éléments y et z de E, on a x y = x z y = z et y x = z x y = z Proposition 13.3 : Si l opération est associative, un élément inversible est toujours régulier. La réciproque est fausse. Démonstration : Soit x inversible, d inverse x. Soient y et z tels que x y = x z. On a alors y = x x y = x x z = z. L inversibilité entraîne la régularité. En revanche, Dans l ensemble Z muni de la multiplication, le nombre 2 est régulier (2y = 2z y = z) mais pas inversible : il n existe pas d entier x tel que 2x = 1. Distributivité Définition 13.8 : Soit E un ensemble non vide muni de deux opérations et. On dit que est distributive par rapport à lorsque pour tous éléments x, y, z de E, on a : x (y z) = (x y) (x z) et (y z) x = (y x) (z x) II Groupes II.1 Définitions Définition 13.9 : Soient G un ensemble non vide, et une opération sur G. On dit que (G, ) est un groupe lorsque est associative. possède un élément neutre. Tout élément de G est inversible pour la loi. Si, de plus, est commutative, on dit que le groupe G est commutatif (ou abélien 1 ). Remarque 13.3 : Dans la suite, lorsqu on travaillera sur un groupe G abstrait, on notera multiplicativement l opération sur ce groupe. On notera également e le neutre G, sauf mention contraire (et si le groupe est G, on note son neutre e, etc). 1. En l honneur du mathématicien Niels Henrik Abel

177 II. GROUPES 177 II.2 Puissances d un élément Définition : Soit G un groupe de neutre e. On définit pour x G et n Z, l élément x n G par : x 0 = e n N, x n+1 = x n x n Z, x n = (x n ) 1 Proposition 13.4 : Soit G un goupe. On a pour tous x, y G, (x 1 ) 1 = x (xy) 1 = y 1 x 1 Proposition 13.5 : Soit G un groupe. Soient x, y G tels que xy = yx. On a pour tous entiers m, n Z x m y n = y n x m. Démonstration : On montre d abord par récurrence sur n que pour tout n N, x n y = y n x. C est clair pour n = 0, 1. Supposons que cela soit vrai pour un certain entier n. On a alors x n+1 y = x n xy = x n yx = yx n x = yx n+1. Conséquence, x m et y n commutent pour tous entiers naturels m et n : poser Y = x m, Y = y. X et Y commutent, donc X et Y n commutent. Si m < 0 et n N, on a x m x m y n = y n et x m y n x m = y n x m x m = y n. D où x m y n = y n x m. De même pour les deux cas restants. Proposition 13.6 : Soit G un groupe. On a x, y G, n Z, (xy) n = x n y n à condition que xy = yx. x G, m, n Z, x m+n = x m x n. x G, m, n Z, x mn = (x m ) n. Démonstration : Démontrons la première propriété. On la montre d abord pour n N par récurrence sur n. C est évident pour n = 0, 1. Supposons que cela soit vrai pour un certain entier n. On a alors (xy) n+1 = (xy) n xy = x n y n xy = x n xy n y = x n+1 y n+1. Montrons maintenant la propriété pour n < 0. Pour n = 1, on a (xy) 1 = (yx) 1 = x 1 y 1. On a (xy) n = ((xy) n ) 1 = (x n y n ) 1 = x n y n. Démontrons la deuxième propriété. Il y a 5 cas à considérer. Pour n N, on fait une récurrence sur n. x m+0 = x m = x m e = x m x 0. Supposons x m+n = x m x n. Alors x m+n+1 = x m+n x = x m x n x = x m x n+1. Supposons maintenant m, n < 0. On a x m x n = (x m ) 1 (x n ) 1 = (x n x m ) 1 = (x n m ) 1 = x m x n. Dans la dernière égalité, on a utilisé le premier cas puisque m et n sont positifs. Supposons m < 0, n > 0 et m+n 0. On a x m x n = x m x m+m+n = x m x m x m+n = x m+n. On a encore une fois utilisé le cas 1 avec m et m + n. Supposons m < 0, n > 0 et m + n < 0. On a x m x n = (x m ) 1 (x n ) 1 = (x n x m ) 1 = (x n x n+( m n) ) 1 = (x n x n x m n ) 1 = (x m n ) 1. On a utilisé le premier cas avec n et m n. Dans le cas où m < 0 et n > 0, on utilise n et m dans les deux cas précédents : x m x n = (x n x m ) 1 = (x n m ) 1 = x m x n.

178 178 CHAPITRE 13. GROUPES, ANNEAUX, CORPS La troisième propriété est laissée en exercice. Remarque 13.4 : Conséquence importante de ces formules, les puissances d un élément x de G commutent entre-elles. Remarque 13.5 : Pour certains groupes abéliens G, l opération est notée «additivement». On ne parle pas de puissances, mais de multiples. Le neutre est la plupart du temps noté 0, et ce qui précède devient : Définition : Soit (G, +) un groupe de neutre 0. On définit pour x G et n Z, l élément nx G par : 0x = 0 n N, (n + 1)x = nx + x n Z, nx = ( nx) Proposition 13.7 : Soit (G, +) un groupe. On a x G, m, n Z, (m + n)x = mx + nx. x G, m, n Z, (mn)x = m(nx). x, y G, n Z, n(x + y) = nx + ny (l usage veut que la notation additive soit réservée à des opérations commutatives). II.3 Sous-groupes Définition : Soit (G, ) un groupe. Soit H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G lorsque (H, ) est lui-même un groupe. Proposition 13.8 : Le neutre de H est le même que celui de G, et l inverse d un élément de H est le même que celui de cet élément, vu comme un élément de G. Démonstration : On a e H e H = e H. En multipliant par l inverse de e H dans G, on obtient e H = e G. On le note simplement e dans la suite. Soit maintenant x H. On dispose de x, inverse de x en tant qu élément de H, et x, l inverse de x dans G. On a xx = e. On multiplie par x à gauche, il vient x xx = x = ex = x. Proposition 13.9 : Soit G un groupe. Soit H G. Alors, H est un sous-groupe de G si et seulement si H Pour tous éléments x et y de H, xy H Pour tout élément x de H, x 1 H. Démonstration : Dans un sens, c est clair. Un sous groupe de G contient le neutre, donc il est non vide. De plus, il est stable par multiplication, et on a vu que l inverse d un élément de H était l inverse de cet élément dans G. Inversement, soit H non vide, stable par multiplication et inversion. L associativité est automatique puisque H est inclus dans G. Soit x H. Alors x 1 H donc e = xx 1 H. Donc H a bien un neutre (celui de G, évidemment).

179 II. GROUPES 179 Remarque 13.6 : Les deux dernières assertions sont équivalentes à : pour tous x et y de H, xy 1 H. Preuve laissée en exercice. II.4 Morphismes de groupes Définition : Soient (G, ) et (G, ). deux groupes. Soit f : G G. On dit que f est un morphisme (de groupes) lorsque x, y G, f(x y) = f(x) f(y) Proposition : Soit f : G G un morphisme de groupes. On a : f(e) = e x G, f(x 1 ) = f(x) 1 x G, n Z, f(x n ) = f(x) n Démonstration : On a ee = e donc f(e)f(e) = f(e). On multiplie des deux côtés par l inverse de f(e) et on obtient f(e) = e. Soit maintenant x G. On a xx 1 = e donc f(x)f(x 1 ) = f(e) = e. On multiplie des deux côtés par l inverse de f(x) et on obtient f(x 1 ) = f(x) 1. Pour la dernière propriété, prenons d abord n N et faisons une récurrence. Pour n = 0, c est clair puisque f(x 0 ) = f(e) = e = f(x) 0. Supposons maintenant que pour un certain entier n, on a f(x n ) = f(x) n. Alors f(x n+1 ) = f(x n x) = f(x n )f(x) = f(x) n f(x) = f(x) n+1. Soit enfin n < 0. On a n = p où p est un entier naturel. Alors, f(x n ) = f((x p ) 1 ) = f(x p ) 1 = (f(x) p ) 1 = f(x) n. Remarque 13.7 : Il convient bien entendu de traduire la proposition précédente lorsque l une des lois de groupe (voire les deux) est une loi additive. Par exemple, l exponentielle est un morphisme de (R, +) vers (R, ), puisque e x+y = e x e y. Donc, on a e nx = (e x ) n (l exponentielle d un multiple est une puissance de l exponentielle). Définition : Soit f : G G est un morphisme de groupes, on dit que : f est un isomorphisme lorsque f est bijectif. f est un endomorphisme lorsque G = G (et que les opérations sur G et G sont identiques). f est un automorphisme lorsque f est un endomorphisme bijectif. Définition : Deux groupes sont isomorphes lorsqu il existe un isomorphisme de l un vers l autre. II.5 Noyau et image d un morphisme Définition : Soit f : G G un morphisme de groupes. On appelle Noyau de f, et on note ker f l ensemble des éléments de G dont l image par f est le neutre de G : ker f = {x G, f(x) = e }

180 180 CHAPITRE 13. GROUPES, ANNEAUX, CORPS Image de f, et on note Im f, l ensemble des images de tous les éléments de G : Im f = {f(x), x G} Remarque 13.8 : On a ker f = f 1 ({e }) et Imf = f(g). Proposition : Le noyau d un morphisme de groupes f : G G est un sous-groupe de G. L image d un morphisme de groupes f : G G est un sous-groupe de G. Démonstration : La remarque ci-dessus nous dit que ker f est l image réciproque par f d un sous-groupe de G et Imf est l image directe par f d un sous-groupe de G. Montrons donc, dans un élan de généralité, que l image directe d un sous-groupe par un morphisme est un morphisme, et de même pour l image réciproque. Soit donc H un sousgroupe de G. Soit H = f(h). H est non vide, donc H aussi. Soient y, y H. Il existe x, x G tels que y = f(x) et y = f(x ). D où yy = f(x)f(x ) = f(xx ) H. Et y 1 = f(x) 1 = f(x 1 ) H. H est bien un sous-groupe de G. Soit maintenant H un sous-groupe de G, et posons H = f 1 (H ). On a f(e) = e H donc e H et H est non vide. Soient x, x H. On a f(xx ) = f(x)f(x ) H donc xx H. Enfin, f(x 1 ) = f(x) 1 H donc x 1 H. H est bien un sous-groupe de G. Proposition : Soit f : G G un morphisme de groupes. Alors : f est injectif si et seulement si ker f = {e}. f est surjectif si et seulement si Imf = G. Démonstration : Supposons f injectif. Soit x G. On a x ker f si et seulement si f(x) = e = f(e), si et seulement si x = e par l injectivité de f. Supposons maintenant que ker f ne contient que e. Soient x, x G tels que f(x) = f(x ). Alors f(x)f(x ) 1 = e ou encore f(xx 1 ) = e. Donc xx 1 ker f d où xx 1 = e et on a bien x = x. La caractérisation de la surjectivité est évidente. III Anneaux et corps III.1 Définitions Définition : Soit A un ensemble muni de deux opérations + et (notées additivement et multiplicativement pour simplifier). On dit que (A, +, ) est un anneau lorsque : (A, +) est un groupe abélien (dont on notera le neutre 0). A possède un élément neutre pour la multiplication (que l on notera 1). La multiplication dans A est associative. La multiplication dans A est distributive par rapport à l addition. Si, de plus, la multiplication dans A est commutative, on dit que A est un anneau commutatif.

181 III. ANNEAUX ET CORPS 181 Exemple : Z, Q, R, C avec les opérations usuelles sont des anneaux commutatifs. N n en est pas un. Si E est un ensemble, l ensemble R E des applications de E dans R est un anneau, en posant (f +g)(x) = f(x)+g(x) et (fg)(x) = f(x)g(x) pour toutes f, g R E et tout x E. Cela fonctionne toujours si, à la place de R on prend un anneau A quelconque. Remarque 13.9 : L ensemble {0}, muni des opérations = 0 0 = 0 est un anneau, appelé l anneau nul. Dans cet anneau, on a 1 = 0. Cette situation est tout à fait exceptionnelle. En effet, soit A un anneau dans lequel 1 = 0. Soit x A. On a alors x.1 = x, et x.1 = x.0 = 0. Donc, x = 0. Ainsi, A est l anneau nul. En conclusion, dans un anneau autre que l anneau nul, on a toujours 1 0. Définition : Soit (A, + ) un anneau commutatif. On dit que A est un corps lorsque A est différent de l anneau nul. Tout élément non nul de A est inversible pour la multiplication. Exemple : Z n est pas un corps. En revanche, Q, R et C en sont. L anneau R R n est pas non plus un corps. Par exemple, la fonction x x n a pas d inverse pour la multiplication. III.2 Sommes et produits Soit (A, +, ) un anneau. Étant donnés des éléments a 1, a 2,..., a n de l anneau A, on définit par récurrence sur n n k=1 a k et n k=1 a k en convenant que 0 k=1 a k = 0 et 0 k=1 a k = 1. Plus généralement, si I est un ensemble fini, et (a i ) i I est une famille finie d éléments de A, on définit par récurrence sur le cardinal de I i I a i et i I a i, en convenant que si I =, la somme vaut 0 et le produit vaut 1. Attention, pour définir le produit, on a besoin de savoir que les a i commutent (ce qui sera bien sûr le cas si l anneau est commutatif). III.3 Puissances et multiples Dans un anneau (A, +, ) on dispose à la fois de la notion de multiple d un élément (pour l opération +) et de puissance positive d un élément (pour l opération ). Seules les puissances positives sont autorisées pour un élément quelconque, les puissances négatives n ayant de sens que lorsque l élément en question est inversible (pour la multiplication). III.4 Sous-Anneaux Définition : Soit (A, +, ) un anneau. Soit B A. On dit que B est un sous-anneau de A lorsque (B, +, ) est lui-même un anneau, ET que le neutre pour la multiplication dans B est le même que le neutre pour la multiplication dans A. On définit de même un sous-corps d un corps. Proposition : Soit (A, +, ) un anneau de neutre 1 pour la multiplication. Soit B A. Alors, B est un sous-anneau de A si et seulement si

182 182 CHAPITRE 13. GROUPES, ANNEAUX, CORPS 1 B. x, y B, x y B. x, y B, xy B. B est un sous-corps de A si et seulement si B est un sous-anneau de A et si, de plus, x B \ {0}, x 1 B Démonstration : La preuve est laissée en exercice. III.5 Éléments inversibles d un anneau Proposition : Soit A un anneau. L ensemble A des éléments inversibles de A, muni de la multiplication, est un groupe. Démonstration : La multiplication est associative. Il suffit de vérifier que le produit de deux inversibles est inversible, et que tout inversible a un inverse, qui est lui-même inversible. Mais on le sait déjà. III.6 Morphismes d anneaux Définition : Soit f : A A une application d un anneau A vers un anneau A (les lois des deux anneaux sont notées ici + et pour simplifier). On dit que f est un morphisme d anneaux lorsque : x, y A, f(x + y) = f(x) + f(y). f(1 A ) = 1 A. x, y A, f(xy) = f(x)f(y). Remarque : On peut parler d image et de noyau d un morphisme d anneaux. Sit f : A A est un morphisme d anneaux, ker f = f 1 ({0}) et Imf = f(a). Un morphisme d anneaux étant avant tout un morphisme de groupes additifs, on a que f est injectif si et seulement si son noyau est réduit à {0} et f est surjectif si et seulement si Imf = A. Mais attention, le noyau de f n est pas en général un sous-anneau de A (c est ce que l on appelle un idéal de A, on verra apparaître cette notion dans les exercices). III.7 Identités remarquables Proposition : Soient a et b deux éléments d un anneau A vérifiant ab = ba. Soit n un entier naturel non nul. Alors : n 1 b n a n = (b a) a k b n 1 k Démonstration : On a X = (b a) n 1 k=0 ak b n 1 k = n 1 k=0 ak b n k n 1 k=0 ak+1 b n 1 k. En posant k = k+1 dans la deuxième somme, on voit que celle-ci est égale à n k=1 ak b n k. k=0

183 III. ANNEAUX ET CORPS 183 Ainsi, X = n 1 k=0 ak b n k n k=1 ak b n k. Tous les termes s éliminent deux à deux, sauf le terme d indice k = 0 dans la première somme et le terme d indice k = n dans la deuxième somme, qui valent respectivement b n et a n. Un cas particulier important est le cas b = 1 : Proposition : Soit a un élément d un anneau A. Soit n un entier naturel non nul. Alors : n 1 1 a n = (1 a) Remarque : Si 1 a est inversible, ce qui arrive par exemple lorsque A = C et a 1, on peut diviser l identité précédente par 1 a, ce qui donne la formule bien connue k=0 k=0 n 1 a k = 1 an 1 a Bien entendu, si a = 1, alors n 1 k=0 ak = n 1 k=0 1 = n. Proposition : Soient a et b deux éléments d un anneau A vérifiant ab = ba. Soit n un entier naturel. Alors : n ( ) n (a + b) n = a k b n k k k=0 Il s agit de la formule du «binôme de Newton». Les quantités ( n k) sont les coefficients binomiaux : ( ) n k = n! k!(n k)!. Démonstration : Nous avons déjà démontré la formule du binôme pour a et b complexes. Il n y a aucune différence, la preuve se fait par récurrence sur n. a k

184 184 CHAPITRE 13. GROUPES, ANNEAUX, CORPS IV Exercices 1. Soit G un groupe. Montrer que toute intersection de sous-groupes de G est encore un sous-groupe de G. 2. Soit G un groupe. Soient A et B deux sous-groupes de G. Montrer que A B est un sous-groupe de G si et seulement si A B ou B A. 3. Soient (G 1, ) et (G 2, ) deux groupes. On définit une opération sur G 1 G 2 en posant (x, y) (x, y ) = (x x, y y ) Montrer que, muni de cette opération, G 1 G 2 est un groupe. 4. Soit G un groupe dans lequel tout élément est égal à son inverse. Montrer que G est abélien. 5. Soit l opération définie sur R par x, y R, x y = x + y + xy. Soit G la plus grande partie de R sur laquelle la loi soit une loi de groupe. Montrer que (G, ) est isomorphe à (R, ). 6. On pose, pour x, y R, x y = 3 x 3 + y 3. Montrer que (R, ) est un groupe isomorphe à (R, +). 7. Isomorphes ou pas? (a) Prouver que (R, ) est isomorphe à R { 1, 1} (cf exercice 3). (b) (R, ) est-il isomorphe à (R, +)? (c) (R +, ) est-il isomorphe à (R, +)? (d) (Q, +) est-il isomorphe à (Z, +)? (e) (Q, +) est-il isomorphe à (R, +)? (f) (R, +) est-il isomorphe à (C, +)? 8. On note R = R {ω}, où ω est un symbole sans signification particulière. Soient f et g : R R définies par (a) x R, f(x) = 1 x et f(ω) = ω. (b) x R, g(x) = 1 x et g(0) = ω, g(ω) = 0. Déterminer le plus petit sous-groupe de S( R) contenant f et g. 9. Soit (G, +) un groupe abélien. G 1 et G 2 étant deux sous-groupes de G, on pose G 1 + G 2 = {x 1 + x 2, x 1 G 1, x 2 G 2 }. (a) Montrer que G 1 + G 2 est un sous-groupe de G. (b) Montrer que si G 1 G 2 = {0}, alors les groupes G 1 + G 2 et G 1 G 2 sont isomorphes. 10. Soit G un sous-groupe de (R, +) différent de {0}. (a) Montrer que G + = {x G, x > 0} possède une borne inférieure. On note celle-ci α.

185 IV. EXERCICES 185 (b) On suppose α 0. Montrer que α G (on pourra raisonner par l absurde), puis prouver que G = αz (adapter la démonstration faite en cours sur les sousgroupes de Z). (c) On suppose α = 0. Prouver que G est dense dans R (utiliser la proriété d Archimède). Les sous-groupes de R se divisent ainsi en deux familles : les sous-groupes de la forme αz où α 0 sont dits discrets. Par exemple, Z fait partie de cette famille de sous-groupes. Les sous-groupes qui ne font pas partie de la première familles sont denses dans R. Un exemple en est Q. 11. Soient α, β deux réels strictement positifs. Soit G = {αx + βy, x, y Z}. (a) Montrer que G est un sous-groupe de R. (b) Montrer que G est dense dans R si est seulement si le quotient β α est irrationnel. 12. Soit E =] 1, 1[. Pour x, y E, on pose x y = x+y 1+xy. A-t-on là une loi de composition interne sur E? Étudier l opération. 13. Soit G un groupe. Soit A une partie finie de G stable pour la multiplication. (a) Soit x A. Montrer qu il existe deux entiers naturels non nuls distincts m et n tels que x m = x n. (b) En déduire que x 1 A. (c) En déduire que A est un sous-groupe de G. 14. Étant donné un groupe G, on appelle centre de G l ensemble {x G, y G, xy = yx}. (a) Quel est le centre d un groupe abélien? (b) Quel est le centre de S({1, 2, 3})? (c) Montrer que le centre d un groupe G est un sous-groupe de G. 15. Pour tout a C et tout b C, on définit f a,b : C C par f a,b (z) = az + b. Soit S = {f a,b, a C, b C}. Montrer que (S, ) est un groupe. Ce groupe est-il abélien? 16. Soit G = R R. On définit une opération sur G en posant (x, y) (x, y ) = (xx, xy + y). (a) Montrer que G est un groupe non abélien. (b) Montrer que R + R est un sous-groupe de G. 17. Soit d N tel que d Q. Soit K = {a + b d, a, b Q}. Montrer que K est un corps. 18. Soit A un anneau. On suppose que l application f : A A définie par f(x) = x 2 est un endomorphisme d anneau surjectif. Montrer que A est un anneau commutatif. 19. Soit A un anneau commutatif. On appelle élément nilpotent de A tout x A vérifiant n N, x n = 0 On note N l ensemble des éléments nilpotents de A.

186 186 CHAPITRE 13. GROUPES, ANNEAUX, CORPS (a) Montrer que N est stable pour la multiplication. (b) Montrer que N est stable par passage à l opposé. (c) Montrer que N est stable pour l addition. (d) N est-il un sous-anneau de A? 20. Soit K un corps. (a) Montrer que x, y K, xy = 0 x = 0 ou y = 0. (b) Soit f : K K un morphisme d anneaux. Montrer que f est injectif. 21. Déterminer tous les anneaux à 2, à 3 et à 4 éléments. 22. Dans cet exercice, (A, +,.) désigne un anneau commutatif. On note 0 et 1 et les neutres respectifs de A pour l addition et la multiplication. On appelle idéal de A toute partie I de A vérifiant : (I, +) est un sous-groupe de A. a A, x I, ax I. (a) Quel est le plus petit idéal de A? Le plus grand? (b) Montrer que si un idéal I de A contient 1, alors I = A. Quels sont les idéaux d un corps? (c) Montrer que l intersection, la somme (cf exo ci-dessus) de deux idéaux de A, sont encore des idéaux de A. (d) On définit le radical d un idéal I de A comme étant l ensemble R(I) = {x A, n N, x n I}. Montrer que le radical d un idéal est encore un idéal. Quel est le radical du radical d un idéal? 23. Soit A un anneau. Soient a, b A tels que ab + ba = 1 et a 2 b + ba 2 = a. (a) Montrer que a 2 b = ba 2 et 2aba = a. (b) Montrer que a est inversible et a 1 = 2b.

187 Chapitre 14 Arithmétique 187

188 188 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE I Divisibilité dans Z On suppose connues les propriétés suivantes : (Z, +, ) est un anneau. De plus, dans cet anneau, lorsqu un produit est nul l un des facteurs est nul (anneau intègre). Cet anneau est totalement ordonné par la relation, qui est compatible avec l addition et la multiplication. On dispose également sur Z du concept de valeur absolue. I.1 Diviseurs, multiples Définition 14.1 : Soient a, b Z. On dit que a divise b ou que b est un multiple de a, et on note a b, lorsqu il existe un entier relatif c tel que b = ac Remarque 14.1 : Si a est non nul, l entier c tel que b = ac est unique car Z est intègre. On l appelle le quotient de b par a et on le note b a. Notation : Soit a Z. On note az = {na, n, Z} l ensemble des multiples de a. Remarque 14.2 : On a a b si et seulement si bz az. Proposition 14.1 : La relation «divise» est réflexive et transitive. Pour tous entiers a et b, on a a b et b a si et seulement si b = ±a. La relation «divise» n est donc pas tout à fait une relation d ordre. C est ce que l on appelle un pré-ordre. Démonstration : Soit a, b, c Z. On a a = 1a donc a a. Supposons que a b et b c. Il existe alors p, q Z tels que b = pa et c = qb. On en déduit que c = pqa donc a c. Supposons que a b et b a. Il existe p, q Z tels que b = pa et a = qb. On en déduit b = pqb. Si b 0, il vient pq = 1 donc p = q = 1 (et a = b) ou p = q = 1 (et a = b). Si b = 0, alors a = q0 = 0 et on a toujours b = ±a. Enfin, si b = ±a, on a évidemment que a b et b a. Remarque 14.3 : La dernière propriété nous dit que a = ±b si et seulement si bz = az. I.2 Division euclidienne Proposition 14.2 : Soient a, b N, b > 0. Il existe un entier naturel n tel que nb > a. Démonstration : On a b(a + 1) = ab + b a + b > a. On dit que l ensemble N des entiers naturels est archimédien. Corollaire 14.3 : Soient a et b deux entiers naturels, b > 0. Il existe un unique entier naturel n tel que nb a < (n + 1)b. Démonstration : Soit E l ensemble des entiers naturels m tels que mb > a. E est non vide, donc admet un plus petit élément, notons le m. On a donc (m 1)b a < mb. On

189 II. PGCD, PPCM 189 a m 1 puisque mb > a 0. Posons n = m 1 N. On a nb a < (n + 1)b d où l existence. Supposons maintenant que n et n conviennent. On a alors nb a < (n + 1)b donc n < n + 1 et ainsi n n. De même, n n donc n = n et il y a bien l unicité. Corollaire 14.4 : Soient a et b deux entiers relatifs, b > 0. Il existe un unique entier relatif n tel que nb a < (n + 1)b. Démonstration : Si a 0, c est le corollaire précédent. Sinon, on applique le dit corollaire à a. Il existe m N tel que mb a < (m+1)b. Si nb = a, alors mb = a < ( m + 1)b et n = m convient. Sinon, ( m 1)b < a < mb et n = m 1 convient. L unicité se prouve comme dans le corollaire précédent. Proposition 14.5 : Soient a et b deux entiers relatifs, b 0. Il existe un unique couple (q, r) d entiers relatifs tel que { a = bq + r 0 r < b q est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b. L entier r est le reste de cette même division. Démonstration : Prenons d abord b > 0. Il existe q Z tel que qb a < (q + 1)b. Posons r = a bq. On a alors 0 r < b d où l existence. Si b < 0, il existe q, r Z tels que a = ( b)q + r = b( q) + r avec 0 r < b = b. L unicité se prouve comme dans les corollaires ci-dessus. Proposition 14.6 : Les sous-groupes de Z sont les parties de Z de la forme nz, n N. Démonstration : Il est clair que nz est un sous-groupe de Z. Inversement, soit G un sous-groupe de Z, différent de {0}. G possède alors un plus petit élément strictement positif, a. Comme a G, on a az G. Réciproquement, si x G, on a x = qa + r avec 0 r < a. Mais x et qa étant dans G, r l est aussi. Comme a est le PLUS PETIT élément strictement positif de G, on a nécessairement r = 0. II PGCD, PPCM II.1 Somme de deux sous-groupes Définition 14.2 : Soient H, H deux sous-groupes du groupe abélien (G, +). On appelle somme de H et H le sous-ensemble de G défini par H + H = {x + x, x H, x H }. Proposition 14.7 : La somme de deux sous-groupes de G est un sous-groupe de G. Démonstration : On a 0 H et 0 H donc 0 = 0+0 H +H. Soient u, v H +H. On a u = x+x, v = y+y où x, y H et x, y H. Mais alors u v = (x y)+(x y ) H + H et H + H est donc un sous-groupe de G.

190 190 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE II.2 PGCD Proposition 14.8 : Soient a, b Z. Il existe δ Z tel que az + bz = δz. L entier δ est unique au signe près. Démonstration : az + bz est un sous-groupe de Z, d où l existence de δ. De plus, δ convient si et seulement si δz = δ Z ou encore δ = ±δ. Définition 14.3 : définis ci-dessus. On appelle plus grands communs diviseurs de a et b les entiers δ Remarque 14.4 : Deux entiers relatifs admettent deux pgcd (sauf 0 et 0). On abuse en disant LE pgcd de a et b. Notation : On note a b le (un) pgcd de a et b. D autres notations existent, comme (a, b) ou plus évidemment pgcd(a, b). Proposition 14.9 : Soient a, b Z. Il existe un entier δ, unique au signe près, tel que δ a δ b d Z, d a et d b d δ Démonstration : Vérifions tout d abord que δ = a b convient. a = a1 + b0 δz donc δ a. De même, δ b. Soit d Z tel que d a et d b. On a δ = 1δ δz. Donc δ az + bz. Il existe ainsi u, v Z tels que δ = ua + vb. Comme a et b sont multiples de d, il en est de même de δ. Soit maintenant δ un autre entier qui convient. On a δ a et δ b donc δ δ. De même, δ δ donc δ = ±δ. Les entiers qui conviennent sont donc exactement les pgcd de a et b. II.3 Théorème de Bézout Proposition : Soient a et b et d trois entiers relatifs. Soit δ = a b. Alors δ d si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que ua + vb = d. Démonstration : d δz si et seulement si d az + bz. C est exactement ce qu il fallait montrer. Un cas particulier très important est le théorème de Bézout. Définition 14.4 : Deux entiers sont dits premiers entre eux lorsque leur pgcd est égal à 1 (ou -1, évidemment). Théorème : [Bézout] Soient a et b deux entiers relatifs. Alors, a et b sont premiers entre-eux si et seulement si il existe un couple (u, v) d entiers relatifs tel que ua + vb = 1. Démonstration : Soit δ = a b. On a l existence d un tel couple (u, v) si et seulement si δ divise 1, c est à dire si et seulement si δ = 1.

191 II. PGCD, PPCM 191 II.4 Théorème de Gauss Théorème : Soient a, b, c trois entiers relatifs. Alors } a bc a c a b = 1 Démonstration : Les hypothèses montrent l existence de trois entiers u, v, d tels que bc = da et ua + vb = 1. De là uac + vbc = c, d où uac + vad = c, donc a c. II.5 Algorithme d Euclide Soient a et b deux entiers. Prenons a et b positifs pour simplifier. On pose r 0 = a, r 1 = b. Pour tout entier n 1, SI r n 0, on note r n+1 le reste de la division euclidienne de r n 1 par r n. SINON, on pose r n+1 = 0. On dispose ainsi d une suite (r n ) n 0. Si un terme de la suite est nul, alors la suite est nulle à partir de ce terme. Proposition : Il existe un entier n 1 tel que r n = 0. Démonstration : Supposons que pour tout n, r n soit non nul. On a alors pour tout n 1, r n+1 < r n, puisque r n+1 est le reste de la division euclidienne de quelque chose par r n. On en déduit facilement par récurrence que r n r 1 n + 1, pour tout n 1. Mais alors, r b+1 r 1 (b + 1) + 1 = 0, ce qui est impossible car r b+1 > 0. Proposition : Soit n 0 le plus petit entier n 0 tel que r n+1 = 0. Alors, a b = r n0. Démonstration : Soit d N. On voit facilement que pour tout entier 1 n n 0, d r n 1 et d r n si et seulement si d r n et d r n+1. En prenant les extrêmes, on obtient que d a et d b si et seulement si d r n0 et d r n0 +1 = 0, c est à dire si et seulement si d r n0. II.6 Complexité de l algorithme d Euclide Soient a et b deux entiers naturels, a > b. Nous allons estimer le nombre n 0 de divisions nécessaires à l obtention de leur pgcd par l algorithme d Euclide. Pour cela, rappelons les notations : r 0 = a, r 1 = b, et pour 1 k n 0, r k 1 = q k r k + r k+1. Les quotients successifs sont tous au moins égaux à 1. On a donc pour 1 k n 0, r k 1 r k + r k+1. Maintenant, r n0 +1 = 0 = F 0, r n0 = a b 1 = F 1. Donc r n = F 2. Plus généralement, pour 0 k n 0 + 1, r n0 +1 k F k où la suite (F k ) est définie par F 0 = 0, F 1 = 1 et pour tout k 0, F k+2 = F k+1 + F k. Pour k = n 0, on obtient r 1 = b F n0. Cette suite est la suite de Fibonacci. On peut montrer que pour tout entier n, F n = φn φ n où φ et φ sont les racines de l équation x 2 = x + 1. Prenons pour φ la racine positive de cette équation. On a alors φ < 1 et φ φ = 5 donc F n φn 1 5. Ainsi, φn b, d où n 0 ln(b 5+1) ln φ. Le majorant trouvé est en gros proportionnel au nombre de chiffres de l entier b, le coefficient de proportionnalité étant à peu près égal à 4, 8. L algorithme d Euclide est donc très efficace. φ φ

192 192 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE II.7 Coefficients de Bézout Soient a, b Z. Soit δ = a b. L algorithme d Euclide permet de trouver un couple (u, v) tel que ua + vb = 1. On procède comme suit. On pose u 0 = 1, v 0 = 0, u 1 = 0, v 1 = 1. On a u 0 a+v 0 b = a = r 0 et u 1 a+v 1 b = b = r 1. Soit q 1 tel que r 0 = q 1 r 1 +r 2. En combinant les deux égalités précédentes, on a u 2 a + v 2 b = r 2 où u 2 = u 0 q 1 u 1 et v 2 = v 0 q 1 v 1. Soit 0 k n 0 2. Supposons trouvés u k, v k, u k+1, v k+1 tels que u k a + v k b = r k et u k+1 a + v k+1 b = r k+1. Soit q k+1 le quotient de la division de r k par r k+1. En posant u k+2 = u k q k+1 u k+1 et v k+2 = v k q k+1 v k+1, on obtient u k+2 a + v k+2 b = r k+2. On a donc montré comment calculer, pour tout entier 0 k n 0, deux entiers u k et v k tels que u k a + v k b = r k. Mais pour k = n 0, on a r k = δ. D où la construction effective de deux entiers u et v tels que ua + vb = δ. Exemple : Prenons a = 33 et b = 21. On écrit = = ( 1) 21 = 12 ( 1) = ( 3) 21 = 3 Si l on recommence encore une fois, on obtient ( 7) = 0. On en déduit = 3, u = 2, v = 3. II.8 Propriétés utiles Proposition : Un entier a est premier avec chacun des entiers b 1,..., b n si et seulement si il est premier avec leur produit. Démonstration : C est une récurrence sur n. Il suffit de le faire pour n = 2. Supposons donc a b 1 b 2 = 1. D après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que ua+vb 1 b 2 = 1. En lisant cette égalité de deux façons, on constate, toujours d après Bézout, que a est premier avec b 1 et b 2. Supposons maintenant que a est premier avec b 1 et b 2. Il existe des entiers u, v, u, v tels que ua + vb 1 = 1 et u a + v b 2 = 1. En multipliant ces égalités on obtient Ua + V b 1 b 2 = 1 avec U = uu + uv b 2 + u vb 1 et V = vv. a est donc premier avec b 1 b 2, toujours et encore grâce à Bézout. Proposition : Étant donnés n entiers a 1,..., a n premiers entre-eux deux à deux, et un entier b, chacun des a i divise b si et seulement si leur produit divise b. Démonstration : Ici aussi, il suffit de le prouver pour n = 2. Supposons que a 1 et a 2 sont premiers entre-eux et que a 1 et a 2 divisent b. On écrit b = a 1 c 1. a 2 divise a 1 c 1 et est premier avec a 1. Par le théorème de Gauss, c 1 = a 2 c 2, d où b = a 1 a 2 c 2 : a 1 a 2 divise b.

193 II. PGCD, PPCM 193 Proposition : Soient a, b, δ, Z. Alors δ = a b si et seulement si il existe deux entiers a 1, b 1 tels que : a = δa 1 b = δb 1 a 1 b 1 = 1 Démonstration : Si a et b sont nuls, le résultat est évident. Supposons donc dans ce qui suit que a ou b est non nul. Supposons δ = a b (on a donc δ 0). On peut alors écrire a = δa 1 et b = δb 1. De plus, il existe u et v tels que ua + vb = δ. En simplifiant par δ, on en tire ua 1 + vb 1 = 1, donc a 1 b 1 = 1. Inversement, supposons a = δa 1, b = δb 1, avec a 1 b 1 = 1. Appelons le PGCD de a et b. Par Bézout appliqué à a 1 et b 1, on a deux entiers u et v tels que ua + vb = δ. On en déduit que δ. Mais δ est clairement un diviseur commun de a et b, donc δ. Ainsi, δ = (au signe près, comme toujours). Exemple : Soit x Q. Il existe un unique couple p Z et un unique q N tels que p q = 1 et x = p q : le rationnel x s écrit ainsi de façon unique sous forme irréductible. Démonstration : Commençons par l existence : x = a b où a Z et b Z. Soit δ = a b. D après la propriété précédente, on a alors a = δp et b = δq avec p q = 1. Mais alors x = p q. Quitte à remplacer p et q par p et q, on a également q > 0. Passons à l unicité. Supposons x = p q = p q où p, p, q, q Z, q, q > 0, p q = 1 et p q = 1. On a pq = p q. Par le théorème de Gauss, q q et aussi q q. Mais q, q N, donc q = q. On reporte et on obtient p = p. II.9 PPCM Proposition : au signe près, vérifiant : Soient a et b deux entiers relatifs. Il existe un entier µ, unique a µ b µ m Z, a m et b m µ m Définition 14.5 : Les entiers µ ci-dessus sont appelés plus petits communs multiples de a et b. On abuse en parlant DU ppcm de deux entiers. On note µ = a b ou encore ppcm(a, b). Démonstration : Écrivons a = δa 1, b = δb 1, avec a 1 b 1 = 1. Soit m un multiple commun de a et de b. Alors δ m. Écrivons donc m = δm 1. On a alors a 1 m 1 et b 1 m 1, donc (Gauss) a 1 b 1 m1. Ainsi, tout multiple commun de a et b est multiple de l entier µ = δa 1 b 1. Inversement, l entier µ ci dessus est bien un multiple commun de a et b. C est donc un ppcm de a et b. Enfin, si µ 1 et µ 2 sont des ppcm de a et b, chacun divise l autre, et ils sont donc égaux au signe près.

194 194 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE Proposition : Soient a et b deux entiers, de pgcd δ et de ppcm µ. On a δµ = ab. Démonstration : δµ = δδa 1 b 1 = ab. Remarque 14.5 : Dire que les multiples de µ sont les multiples communs de a et b revient à dire que az bz = µz. Ceci serait une façon d introduire le ppcm analogue à celle utilisée pour le pgcd, en remarquant que l intersection de deux sous-groupes d un groupe est encore un sous-groupe. II.10 Résolution d une équation diophantienne simple Soient a, b, c trois entiers relatifs. On suppose a, b, c non nuls. On s intéresse à l équation (E) x, y Z, ax + by = c Soit δ = a b. On voit que si (E) admet une solution, alors δ c. On peut donc déjà affirmer que si δ c, alors l équation n a pas de solution. Supposons maintenant c = δc 1. On écrit a = δa 1, b = δb 1, et on est ramenés à l équation (E 1 ) x, y Z, a 1 x + b 1 y = c 1 avec a 1 b 1 = 1. Cette équation a les mêmes solutions que l équation (E). On sait trouver une solution à cette équation : il suffit d appliquer l algorithme d Euclide. Celui-ci fournit un couple (u, v) tel que ua 1 + vb 1 = 1. Le couple (x 1, y 1 ) = (uc 1, vc 1 ) est alors solution de (E 1 ). Soit maintenant un couple (x, y) Z 2. Alors, (x, y) est solution de (E 1 ) (ou (E)) si et seulement si a 1 x + b 1 y = a 1 x 1 + b 1 y 1 ou encore a 1 (x x 1 ) = b 1 (y 1 y) Le théorème de Gauss permet alors de conclure que (x, y) est solution si et seulement si il existe un entier relatif k tel que x = x 1 + kb 1 et y = y 1 ka 1. II.11 PGCD d un nombre fini d entiers Soient a 1,..., a n n entiers relatifs. L ensemble a 1 Z a n Z est un sous-groupe de Z, il existe donc δ Z, unique au signe près, tel que a 1 Z a n Z = δz. L entier δ est le PGCD de a 1,..., a n, on le note n k=1 a k. Remarquons que n k=1 a kz = n 1 k=1 a kz + a n Z. On a donc n k=1 a kz = n 1 k=1 a kz + a n Z = (( n 1 k=1 a k) a n )Z. On en déduit qu au signe près, n k=1 a k = ( n 1 k=1 a k) a n On peut donc calculer le PGCD de n entiers de proche en proche, en calculant des PGCD de deux entiers. En réalité, la PGCD est associatif, et les parenthèses peuvent être placées comme bon nous semble. Nous ne prouverons pas cette propriété.

195 III. NOMBRES PREMIERS 195 Définition 14.6 : Soient a 1,..., a n n entiers relatifs. On dit que les a k sont premiers entre-eux deux à deux lorsque i j, a i a j = 1. On dit que les a k sont premiers entre-eux dans leur ensemble lorsque n k=1 a k = 1. Proposition : Si des entiers sont premiers entre-eux deux à deux, ils sont premiers entre-eux dans leur ensemble. La réciproque est fausse. Démonstration : Le sens direct est est évident. Pour le contre-exemple, prendre par exemple les nombres 6, 10 et 15. Proposition : Soient a 1,..., a n n entiers relatifs. Soit δ = n k=1 a k. Soit d Z. Alors, δ d si et seulement si il existe u 1,..., u n Z tels que n k=1 u ka k = d. Démonstration : Il suffit de reforuler : δ d si et seulement si d δz. Or, δz = a 1 Z a n Z. Corollaire : Soient a 1,..., a n n entiers relatifs. Les a k sont premiers entre-eux dans leur ensemble si et seulement si il existe u 1,..., u n Z tels que n k=1 u ka k = 1. Démonstration : Il suffit de remarquer que δ 1 si et seulement si δ = 1. C est le théorème de Bézout généralisé. III Nombres premiers III.1 Définition Définition 14.7 : Soit p Z. On dit que p est premier lorsque p ±1, et que p est divisible uniquement par ±1 et ±p. Dorénavant, nous nous occuperons uniquement de nombres premiers positifs. Remarque 14.6 : composé. Un nombre qui n est pas premier, et qui est différent de ±1 est dit III.2 Propriétés Proposition : Deux nombres premiers distincts sont premiers entre-eux. Démonstration : Soient p et q deux nombres premiers. Les seuls diviseurs de p sont 1 et p. Ceux de q sont 1 et q. Donc le seul diviseur commun de p et q est effectivement 1. Proposition : Tout entier n 2 possède au moins un diviseur premier. Démonstration : On le prouve par récurrence forte sur n. Pour n = 2, c est clair, vu que 2 est premier. Supposons maintenant que tout entier k, 2 k < n, possède un diviseur premier. Si n est premier, alors n a bien un diviseur premier : lui-même.

196 196 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE Si n = ab est composé, alors par exemple 2 a < n a un diviseur premier p. Mais p a et a n donc p n. Proposition : Il existe une infinité de nombres premiers. Démonstration : Supposons le contraire, et appelons P = {p 1,..., p n } l ensemble des nombres premiers. Soit alors N = n k=1 p k + 1. L entier N est clairement supérieur à 2 (il est même très grand!). Donc il possède un diviseur premier. Mais ce diviseur ne peut être aucun des éléments de P. Contradiction. III.3 Décomposition en produit de facteurs premiers Proposition : premiers. Tout entier naturel n 2 s écrit comme un produit de nombres Démonstration : On procède par récurrence forte sur n. C est clair si n = 2. Soit maintenant un entier n tel que tout entier m < n s écrive comme produit de nombres premiers. Il y a deux possibilités : Si n est premier, c est un produit de 1 nombre premier. Sinon, n = ab avec 2 a, b < n est composé. Mais a et b sont produits de nombres premiers d après l hypothèse de récurrence. Donc, n aussi. Proposition : La décomposition en produit de nombres premiers est unique à l ordre près des facteurs. On s affranchit du problème de «à l ordre près» en normalisant l écriture : Notons P = {p 1, p 2,...} l ensemble des nombres premiers. Le théorème d existence de la décomposition nous dit que tout entier n 2 s écrit n = p P p αp où les α p N sont tous nuls sauf un nombre fini. On peut maintenant reformuler les deux propositions précédentes : Théorème : Tout entier n 2 s écrit de façon unique n = p P p αp où les α p N sont tous nuls sauf un nombre fini. Démonstration : Supposons n = p P pαp = p P pβp où les α p, β p sont tous nuls sauf un nombre fini. Soit q P. On isole le facteur correspondant : q αq A = q βq B où A et B sont des produits de nombres premiers différents de q, et donc sont premiers avec q. En appliquant deux fois le théorème de Gauss, on obtient facilement que q αq = q βq, d où α q = β q.

197 IV. CONGRUENCES 197 III.4 Valuation p-adique Définition 14.8 : Soit n N. Soit p P. La valuation p-adique de n est le plus grand entier k tel que p k n. On la note ν p (n). Remarque 14.7 : En d autres termes, la valuation p-adique de n est l exposant de p dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers. Ainsi, n = p P pνp(n). Proposition : Soient a, b N. Soit p P. On a ν p (ab) = ν p (a) + ν p (b) et ν p (a + b) min(ν p (a), ν p (b)). Démonstration : Laissée en exercice, c est facile. III.5 Application au pgcd et au ppcm Proposition : Soient a = p P pαp et b = p P pβp deux entiers naturels non nuls. Alors a b = p min(αp,βp) et a b = p max(αp,βp) p P p P Démonstration : Soit d = p P pγp un entier non nul. Alors, d divise a si et seulement si pour tout p P, on a γ p α p : il suffit dans le sens non trivial d utiliser le théorème de Gauss. Il en est de même pour b, donc d divise a et b si et seulement si pour tout p P, on a γ p min(α p, β p ). Autrement dit, d divise a et b si et seulement si d divise p P pmin(αp,βp). On procède de même pour le ppcm. Remarque 14.8 : On peut encore écrire ce résultat avec des valuations : ν p (a b) = min(ν p (a), ν p (b)) et ν p (a b) = max(ν p (a), ν p (b)) IV Congruences IV.1 Rappels Nous avons déjà parlé de congruence dans le chapitre sur les relations. Rappelons que si n N et a, b Z, on a b[n] lorsque b a nz. La relation de congruence modulo n est une relation d équivalence sur Z. Si n 0, cette relation possède exactement n classes, qui sont 0, 1,..., n 1. IV.2 Opérations sur les congruences Proposition : Soit n N. La relation de congruence modulo n est compatible avec l addition et la multiplication : a, b, a, b Z, a b[n] et a b [n] a+a b+b [n] et aa bb [n].

198 198 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE Démonstration : Il existe k, k Z tels que b a = kn et b a = k n. De là, (b + b ) (a + a ) = (b a) + (b a ) = (k + k )n nz et bb aa = b(b a ) + (b a)a = (k b + ka )n nz. IV.3 Le petit théorème de Fermat Lemme IV.1 Soit p un nombre premier. On a, pour tout entier 1 k p, p ( p k). Démonstration : On a p! = k!(p k)! ( p k) donc p divise k!(p k)! ( p k). Mais p est premier avec 1, 2,... k donc avec k!. De même, p est premier avec 1,...,p k, donc avec (p k)!. Donc p est premier avec k!(p k)!. Par le théorème de Gauss, p divise ( p k). Proposition : Soit p un nombre premier. On a pour tout a Z a p a[p]. Démonstration : Montrons d abord la propriété pour a entier naturel, par récurrence sur a. C est clair pour a = 0. Supposons la propriété vraie pour a. On a (a + 1) p = p ( p k=0 k) a k. D après le lemme, cette somme est congrue à ( ) p 0 a 0 + ( p p) a p = a p + 1 modulo p. D après l hypothèse de récurrence, elle est bien congrue à a + 1. Supposons maintenant a < 0. a N, donc ( a) p a[p]. Si p 3, alors p est impair (nombre premier!) donc ( a) p = a p d où le résultat. Si p = 2, ( a) p = a p, mais a a[p], la propriété est encore vérifiée. Corollaire : Soit p un nombre premier. On a, pour tout a Z non multiple de p, a p 1 1[p]. Démonstration : Le nombre premier p divise a p a = a(a p 1 1). Mais p ne divise pas a donc p est premier avec a (quels sont les diviseurs communs de a et p, sachant que p est premier?). Par le théorème de Gauss, p divise a p 1 1.

199 V. EXERCICES 199 V Exercices 1. Montrer que pour tout entier relatif n, 15n 2 +8n+6 et 30n 2 +21n+13 sont premiers entre eux. 2. Résoudre les équations ci-dessous : (a) x, y Z, 42x 37y = 4 (b) a, b N, a b a b = 21. On posera a = δa 1, b = δb 1 avec a 1 b 1 = 1. (c) x, y Z, 32x + 36y = 2 (d) x, y Z, 32x + 36y = 4 (e) a, b N, a + b = 144, a b = Soit n un entier naturel. Montrer qu il existe n entiers naturels consécutifs dont aucun n est un nombre premier. (On pourra considérer une quantité faisant intervenir n!). 4. Soient a et b deux entiers premiers entre eux. Montrer que 2 a 1 et 2 b 1 sont premiers entre eux. 5. Pour tout entier naturel n non nul, on note D(n) la somme des diviseurs de n. (a) Calculer D(n) pour tous les entiers n compris entre 1 et 20. (b) Calculer D(p α ) pour tout nombre premier p et tout entier α 1. (c) Pour tout entier naturel n, on note D(n) l ensemble des diviseurs de n. Soient a et b deux entiers non nuls premiers entre eux. Démontrer que l application φ : D(a) D(b) D(ab) définie par φ(d 1, d 2 ) = d 1 d 2 est une bijection. (d) En déduire que pour tous entiers a et b premiers entre eux, on a D(ab) = D(a)D(b). (e) Que vaut D(2013)? D(2014)? 6. Pour tout entier naturel n non nul, on note D(n) la somme des diviseurs de n et D (n) = D(n) n la somme des diviseurs stricts de n. On dit que n est un nombre parfait lorsque D (n) = n. (a) Déterminer tous les nombres parfaits compris entre 1 et 20. Soit n un nombre parfait pair. On écrit n = 2 α m, avec m impair et α 1. (b) Montrer que 2 α+1 m = (2 α+1 1)D(m) (c) En déduire que m = (2 α+1 1)D (m) (d) On pose p = D (m), de sorte que m = (2 α+1 1)p. Montrer que p = 1. On pourra raisonner par l absurde. (e) Prouver que (2 α+1 1) est premier. Qu en déduit-on sur α + 1? Ainsi, tout nombre parfait pair est de la forme n = 2 β 1 (2 β 1) où β est un nombre premier tel que 2 β 1 soit également premier. (f) Prouver la réciproque.

200 200 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE Nota : à l heure où est écrit ce TD, on ne sait rien des nombres parfaits impairs. On ne sait pas s il en existe, et s il y en a, on ne sait pas s il y en a un nombre fini ou une infinité. 7. On considère l équation x 3 + x 2 + 2x + 1 = 0. On suppose que cette équation a une solution x Q, x = p/q avec p et q entiers premiers entre-eux, q 0. (a) Montrer que p = ±1 et q = ±1. On utilisera le théorème de Gauss. (b) Conclusion? 8. Soit p un nombre premier. Soit k un entier tel que 1 k p 1. Montrer que ( ) p k est divisible par p. 9. Dans cet exercice, on pose Z[i] = {x + iy, x, y Z}. (a) Vérifier rapidement que Z[i] est un sous-anneau de C. On l appelle l anneau des entiers de Gauss. (b) Vérifier que si z Z[i], alors z 2 Z. En déduire l ensemble U des éléments inversibles de l anneau Z[i]. Soit z Z[i]. On dit que z est premier lorsque z U et que z n est divisible que par ±z et ±iz (Autrement dit, si z = ab avec a et b dans Z[i], alors a U ou b U). (c) Soit z Z[i]. Montrer que si z 2 est un nombre premier (dans Z), alors z est premier dans Z[i]. Montrer par un contre-exemple que la réciproque est fausse. (d) Donner un entier naturel qui est premier dans Z mais pas dans Z[i]. (e) Donner un entier naturel qui est premier dans Z et dans Z[i]. (f) Soit p un nombre premier impair de l anneau Z. On suppose que p = ab où a, b Z[i], mais a, b U. En d autres termes, on suppose que p n est pas premier dans Z[i]. i. Montrer que a 2 = b 2 = p. ii. Prouver que b = a et en déduire que p = α 2 + β 2 où α, β Z. iii. Prouver que p 1 mod 4. La réciproque est encore vraie, mais plus délicate à prouver : un nombre premier impair p est la somme de deux carrés si et seulement si p 1 mod Soient (a, b) Z 2. On suppose que a et b sont premiers entre-eux. Que dire du pgcd de a + b et ab? 11. Démontrer que pour tout entier relatif n, la fraction 21n+4 14n+3 est irréductible. 12. Déterminer δ = Trouver deux entiers u et v tels que 1575u + 294v = δ. 13. Soit n N. Montrer que n + 1 et 2n + 1 sont premiers entre-eux. En déduire que n + 1 divise ( 2n n ). 14. Soit p un nombre premier. Montrer que p est un irrationnel. 15. Soient a et b deux entiers naturels tels que a (a + 5) = b (b + 5). Prouver que a = b.

201 V. EXERCICES Soient a, b Z. Montrer que a b = 1 a 2 b 2 = 1. Déterminer les coefficients de Bézout de a 2 et b 2 en fonction de ceux de a et b. 17. Pour tout entier naturel n non nul, on note p n le nième nombre premier. En considérant l entier p 1 p 2... p n 1, montrer que p n+1 < p 1 p 2... p n. En déduire que n N, p n < 2 2n. 18. Trouver tous les entiers naturels a et b tels que a b = 1764 et a 2 + b 2 =

202 202 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE

203 Chapitre 15 Polynômes 203

204 204 CHAPITRE 15. POLYNÔMES I L algèbre des polynômes I.1 Notion de polynôme Dans tout le chapitre, K est un corps commutatif. On note K[X] l ensemble des suites d éléments de K «presque nulles», c est à dire dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini. Cette notation s éclaircira un peu plus loin. Proposition 15.1 : K[X] est un espace vectoriel, sev de K N. Définition 15.1 : On appelle polynôme à coefficients dans K tout élément de K[X]. I.2 Degré Définition 15.2 : l entier On pose également d o 0 =. Soit P = (P k ) k 0 un polynôme non nul. On appelle degré de P d o P = max{k N, P k 0} Remarque 15.1 : Le degré d un polynôme est un entier naturel, sauf si ce polynôme est 0. On convient dans la suite que < n pour tout entier n. Proposition 15.2 : Soient P et Q deux polynômes, et λ K. On a d o λp = d o P, et d o (P + Q) max(d o P, d o Q). Si les degrés de P et Q sont distincts, alors l inégalité précédente est une égalité. Démonstration : Faisons la preuve pour la somme. Si P ou Q est nul, c est évident. Supposons donc P et Q différents de la suite nulle. Soient m et n leurs degrés respectifs. On a donc P m 0 et pour tout k > m, P k = 0, et de même pour Q. Soit k > max(m, n). Alors P k = Q k = 0 donc P k +Q k = 0. Le degré de P +Q est inférieur ou égal à max(m, n). Si, par exemple, m < n, alors P n + Q n 0 donc d o (P + Q) = max(d o P, d o Q). I.3 Produit de polynômes Proposition 15.3 : Soient P et Q deux polynômes. La suite R définie par k 0, R k = k P j Q k j est un polynôme, appelé produit de P et Q, et noté P Q. On a d o (P Q) = d o P + d o Q. Démonstration : Si P ou Q est nul, alors R aussi et le résultat est évident. Supposons donc P et Q non nuls, de degrés respectifs m et n. Soit k > m+n. On a R k = k j=0 P jq k j. Dans cette somme, il y a deux types de termes. Tout d abord, ceux pour lesquel j > m. Ces termes sont nuls puisque P j = 0. Et puis ceux pour lesquels j m. Mais alors k j j=0

205 I. L ALGÈBRE DES POLYNÔMES 205 k m > n. Ces termes aussi sont nuls puisque Q j = 0. Finalement, k > m + n, R k = 0. On en déduit que R est bien un polynôme, et que d o R m + n. Pour terminer, il suffit de remarquer que pour k = m + n, tous les termes de la somme sont nuls, sauf un, celui pour j = m, qui vaut P m Q n 0. Donc, d o R = m + n = d o P + d o Q. Proposition 15.4 : L ensemble des polynômes, muni des lois précédentes, est une K- algèbre commutative. L anneau sous-jacent est un anneau intègre. Démonstration : Vérifications assez fastidieuses pour les propriétés de la multiplication. Nous ne les ferons pas. Signalons simplement que le neutre pour l addition est (0, 0, 0,...) et le neutre pour la multiplication est (1, 0, 0,...). I.4 Écriture définitive On note 1 = (1, 0, 0, ) et X = (0, 1, 0, 0, ). On montre alors facilement par récurrence sur k que k N, X k = (0,, 0, 1, 0, ). Proposition 15.5 : Tout polynôme s écrit, de façon unique, k=0 a kx k, où les a k K sont tous nuls sauf un nombre fini. Démonstration : On nous demande en fait de montrer que la famille B = (X k ) k 0 est une base de K[X]. On a (P 0, P 1,...) = P 0 (1, 0,...) + P 1 (0, 1, 0,...) +... = k=0 P kx k donc B est génératrice. Cette somme est en réalité finie puisque tous les P k sont nuls sauf un nombre fini d entre eux. Supposons mainenant k=0 P kx k = 0. En d autres termes, (P k ) k 0 = 0 : B est libre. Remarque 15.2 : X est appelé l indéterminée On note les sommes jusqu à l infini. En fait, elles sont finies, et on peut s arrêter au degré du polynôme mis en jeu. Un polynôme est dit constant lorsqu il est de degré 0. Si P est un polynôme de degré d N, on appelle coefficient dominant de P le coefficient de X d. Si ce coefficient vaut 1, on dit que le polynôme est unitaire. I.5 composée Définition 15.3 : Soient P et Q deux, polynômes, avec P = k=0 P kx k. On appelle composée de P et Q le polynôme P Q = k=0 P kq k. Proposition 15.6 : Soient P et Q deux polynômes, avec Q non constant. On a d o (P Q) = d o P d o Q. Démonstration : Soit m = d o P. On a P Q = m k=0 P kq k = P m Q m + k<m P kq k. Le degré de P m Q m est md o Q = d o P d o Q. Chaque terme de la somme est de degré strictement inférieur. D où le résultat.

206 206 CHAPITRE 15. POLYNÔMES Remarque 15.3 : Si Q = λ est constant, alors P Q = k=0 P kλ k. On constate que P Q est constant lui aussi. Mais il existe des valeurs de λ (les racines de P ) pour lesquelles P Q = 0. Ainsi, le degré de P Q est ou 0, et on ne peut rien dire de plus précis sans regarder de plus près. Proposition 15.7 : La composition des polynômes est associative, non commutative, possède X pour neutre, et est distibutive à droite, mais pas à gauche, par rapport à l addition. Démonstration : Nous admettons associativité, commutativité, et distributivité à droite. Pour tout polynôme P, on a P X = k=0 P kx k = P et X P = P donc X est le neutre pour la composition. Enfin, X 2 (X + 1) = (X + 1) 2 = X 2 + 2X + 1 mais X 2 X + 1 X = X On obtient donc deux polynômes distincts (sauf si 2 = 0, bien entendu). Exercice : Et si 2 = 0? II L anneau des polynômes II.1 Multiples, diviseurs, d un polynôme Définition 15.4 : Soient A et B deux polynômes. On dit que B divise A, et on note B A, lorsqu il existe C K[X] tel que A = BC. Proposition 15.8 : La relation «divise» est réflexive et transitive. En revanche, ce n est pas une relation d ordre. Plus précisément, soient A, B K[X]. On a { A B B A λ K, B = λa On dit alors que les polynômes A et B sont associés. Démonstration : Dans le sens direct, on voit que A et B sont nuls tous les deux, ou non nuls tous les deux. Dans le second cas, on a d o A d o B, puisque B = AC. De même, d o B d o A. On a donc B = AC, avec d o C = 0. II.2 Division euclidienne Proposition 15.9 : polynômes tel que Soient A, B K[X], B 0. Il existe un unique couple (Q, R) de { A = BQ + R d o R < d o B Q et R sont appelés le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B.

207 III. FONCTIONS POLYNÔMES 207 Démonstration : Montrons d abord l existence. Si d o A < d o B, Q = 0 et R = A conviennent. On fait ensuite une récurrence forte sur n = d o A d o B. Soit A K[X] de degré n d o B. Supposons l existence du quotient et du reste de la division par B de tout polynôme de degré < n. Soit m le degré de B. Considérons A = A An B m X n m B. Le degré de A est clairement inférieur ou égal à n, celui de A. Mieux, A n = A n An B m B m = 0. Donc, d o A < n. On peut donc appliquer l hypothèse de récurrence. Il existe Q, R tels que A = BQ +R et d o R < d o B. D où A = A + An B m X n m B = (Q + An B m X n m )B+R = BQ+R. Pour l unicité, supposons A = BQ+R = BQ +R où R et R sont de degré strictement plus petit que le degré de B. On a B(Q Q ) = R R donc d o B+d o (Q Q ) = d o (R R) < d o B. Ainsi, d o (Q Q ) < 0. Le seul polynôme de degré strinctement négatif est 0. Donc Q = Q puis, en reportant, R = R. III Fonctions polynômes III.1 C est quoi? Définition 15.5 : Soit f : K K. On dit que f est une fonction polynôme lorsqu il existe une suite presque nulle (a 0, a 1, ) d éléments de K telle que x K, f(x) = a k x k On note K[x] (j aurais préféré K[id]) l ensemble des fonctions polynômes. Remarque 15.4 : Un polynôme est un objet abstrait. On ne peut pas donner une valeur à X. En revanche, si f est une fonction polynôme, on peut évidemment calculer f(a) pour a K. k=0 Proposition : K[x] est une K-algèbre commutative. Démonstration : C est une sous-algèbre de K K, l algèbre des fonctions de K vers K. Il suffit de vérifier que la somme et le produit de deux fonctions polynômes sont encore des fonctions polynômes, et de même pour le produit d une fonction polynôme par un élément de K. III.2 Polynômes et fonctions polynômes Soit ϕ : K[X] K[id] l application qui à P = k=0 P kx k associe la fonction P définie par x K, P (x) = k=0 P kx k. Proposition : La fonction ϕ est un morphisme d algèbres surjectif. Démonstration : La preuve consiste en quelques vérifications que nous ne ferons pas : les lecteurs qui auront scrupuleusement vérifié que K[x] est une algèbre auront d ailleurs

208 208 CHAPITRE 15. POLYNÔMES déjà fait tout le travail (et seuls ceux-ci pourront comprendre cette phrase). Le problème reste l injectivité de ϕ : peut-on «identifier» les polynômes et les fonctions polynômes? Nous allons voir que c est le cas lorsque le corps K est infini (c est donc toujours le cas lorsque K est un sous-corps de C). III.3 Racines d un polynôme Définition 15.6 : P (a) = 0. Soit P K[X]. Soit a K. On dit que a est racine de P lorsque Proposition : Soit P K[X]. Soit a K. Alors a est racine de P si et seulement si X a divise P. Démonstration : Supposons que a est racine de P. On a donc P = (X a)q où Q K[X]. De là, P (a) = (a a) Q(a) = 0. Inversement, supposons que P (a) = 0. On écrit P = (X a)q + R avec d o R < d o (X a) = 1. R = λ K est donc constant. En passant aux fonctions polynômes, on en tire 0 = (a a) Q(a) + λ d où λ = 0 et P = (X a)q. Proposition : Soient a 1,, a n des éléments distincts de K. Ce sont des racines de P si et seulement si n k=1 (X a k) divise P. Démonstration : Dans un sens, c est évident. Dans l autre sens, c est une récurrence sur n. Faisons-le pour n = 2. Soient a b deux racines de P. On a P = (X a)q, puisque a est racine de P. Mais alors, P (b) = 0 = (b a) Q(b). Comme a b, b est racine de Q, et Q = (X b)r. Donc, P = (X a)(x b)r. Proposition : Soit P un polynôme non nul, de degré n N. Le polynôme P possède au plus n racines. Démonstration : Si a 1,, a k sont des racines distinctes de P, alors, P = Q k j=1 (X a j ). Donc, d o P = d o Q + k d où d o P k. Théorème : La fonction ϕ : K[X] K[id] définie plus haut est un isomorphisme si est seulement si le corps K est infini. Démonstration : Supposons le corps K infini. Soit P ker ϕ. La fonction polynôme P est donc la fonction nulle. P a ainsi une infinité de racines et ne peut être que le polynôme nul. Inversement, supposons K fini. Soit P = a K (X a). Le polynôme P est un polynôme de degré card K, et pourtant P = 0. Remarque 15.5 : Dans tout corps K infini comme Q, R, C, on peut donc identifier les polynômes et les fonctions polynômes, c est à dire que l on n écrira plus les chapeaux. On écrira aussi parfois P (X) pour un polynôme P. Bref, les fonctions polynômes se prennent pour des polynômes, et les polynômes se prennent pour des fonctions.

209 IV. DÉRIVATION 209 III.4 Racines multiples Définition 15.7 : Soit P un polynôme, et a un élément de K. Soit k N. On dit que a est racine de P de multiplicité k lorsque (X a) k divise P, mais (X a) k+1 ne divise pas P. On parle ainsi de racine simple, double, etc. Une racine de multiplicité 0 est une nonracine. IV Dérivation IV.1 Dérivée d un polynôme Définition 15.8 : Soit P = k=0 P kx k. On appelle dérivée de P le polynôme P = kp k X k 1 k=1 Les formules classiques de dérivation d une somme, d un produit, d une composée, se démontrent sans problème de façon purement formelle. On a bien sûr la notion de dérivée d ordre supérieur, la formule de Leibniz, etc. Il convient de remarquer que si K est un souscorps de C et P K[X] est non constant, on a d o P = d o P 1. Ainsi, en dérivant d o P + 1 fois le polynôme P, on tombe sur le polynôme nul. On remarque enfin que P = ( P ) lorsque la notion de dérivée d une fonction polynôme a un sens, c est à dire, pour nous, lorsque K = R. IV.2 Formule de Taylor Ici, K est un sous-corps de C. Proposition : Soit P K[X]. Soit a K. On a (X a) k P (X) = P (k) (a) k! k=0 Démonstration : On procède par récurrence sur n = d o P. C est clair si P est constant. Sinon, on a P (X) = n 1 (X a) k k=0 k! P (k+1) (a) d où le résultat en intégrant. Corollaire : Soit P K[X]. Soit a K et k N. Alors, a est racine d ordre k du polynôme P si et seulement si P (a) = P (a) = = P (k 1) (a) = 0, et P (k) (a) 0. Démonstration : Si P et ses dérivées jusqu à l ordre k 1 sont nulles en a, la formule de Taylor s écrit P (X) = n (X a) j j=k j! P (j) (a). On peut donc factoriser (X a) k dans le polynôme. Une fois factorisé, le polynôme restant ne s annule pas en a. Inversement, on fait une récurrence sur k. Supposons P = (X a) k Q, où Q(a) 0. Alors, P = (X a) k 1 R où R(a) 0. Par l hypothèse de récurrence, on a donc P (a) = = P (k 2) (a) = 0 et P (k 1) (a) 0. Enfin, on a bien entendu P (a) = 0.

210 210 CHAPITRE 15. POLYNÔMES V Factorisation des polynômes V.1 Polynômes irréductibles Définition 15.9 : Soit P K[X]. On dit que P est irréductible sur K lorsque P n est pas constant. À chaque fois que l on P = QR, Q ou R est constant. Exemple : Les polynômes de degré 1 X 2 + X + 1 sur R, mais pas sur C. X 3 2 sur Q. X 2 + X + 1 sur Z/2Z. Proposition : Tout polynôme non constant s écrit de façon unique, à l ordre près, comme un produit de polynômes irréductibles. Démonstration : Montrons tout d abord l existence de la décomposition. On fait une récurrence forte sur n = d o P. Si n = 1 c est clair puisqu un polynôme de degré 1 est irréductible. Soit n 1. Supposons l existence de la décomposition pour tout polynôme de degré strictement inférieur à n. Soit P un polynôme de degré n. Deux cas se présentent. Première possibilité, P est irréductible. Dans ce cas on a fini. Deuxième possibilité, P = QR avec Q et R non constants. Mais alors Q et R sont de degré strictement inférieur à n. D après l hypothèse de récurrence, ils se décomposent en produit de polynômes irréductibles, donc P aussi. L unicité de la décomposition repose sur le théorème de Gauss que nous n avons pas encore. Nous l admettons pour l instant. Théorème : [D Alembert-Gauss] Soit P C[X] non constant. Alors, P a au moins une racine. Démonstration : Théorème admis. Proposition : Les polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1. Les polynômes irréductibles sur R sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif. Démonstration : Commençons par C. Soit P C[X]. Si P est de degré 1, il est irréductible. Supposons P de degré supérieur ou égal à 2. Le théorème de d Alembert affirme que P a une racine a. On a donc P = (X a)q où Q n est pas constant. Donc P n est pas irréductible. Passons à R. Soit P R[X]. Si P est de degré 1, il est irréductible. Supposons P de degré 2. Si P = QR avec Q et R non constants alors Q et R sont de degré 1, donc P a une racine. Donc, si son discriminant est strictement négatif, P est irréductible. Inversement, si le discriminant de P est positif ou nul, P a une racine et n est donc pas irréductible. Supposons pour terminer que d o P 3. Si P a une racine réelle a, alors X a divise P et P n est pas irréductible. Sinon, P a une racine non réelle

211 V. FACTORISATION DES POLYNÔMES 211 ζ. Mais P étant à coefficients réels, on voit facilement que ζ ζ est aussi racine de P. On peut donc écrire P = (X ζ)(x ζ)q où Q est a priori dans C[X]. Cependant, A = (X ζ)(x ζ) = X 2 2 Re ζx + ζ 2 R[X]. Ensuite, arguments subtils. On a d une part P = AQ dans C[X], et d autre part (division euclidienne dans R[X]) P = AQ + R avec Q et R dans R[X]. Mais cette dernière égalité est aussi une égalité dans C[X], et donc une division euclidienne dans C[X]. Par unicité du quotient et du reste de la division euclidienne, on en déduit Q = Q et R = 0, d où P = AQ avec A, Q R[X] et d o A = 2 donc Q non constant. P n est donc pas irréductible. V.2 Polynômes scindés Définition : Soit P K[X]. On dit que P est scindé (sur K) lorsque P est un prdoduit de polynômes de degré 1. Exemple : Tout polynôme de C[X] est scindé. C est le théorème de d Alembert. Proposition : Soit P K[X] un polynôme non nul de racines α 1,, α q d ordres de multiplicité respectifs k 1,, k q. Alors k k q d o P et on a égalité si et seulement si P est scindé sur K. Démonstration : On remarque que si P = QR et si a est racine d ordre k de P, mais pas de R, alors a est racine d ordre k de Q. En effet a est clairement racine de Q. Donc, Q = (X a)q 1. On termine par récurrence sur k. Ainsi, q i=1 (X α i) k i divise P, donc on a bien l inégalité demandée. La CNS d égalité est évidente. V.3 Relations coefficients-racines Soit P = ax 2 + bx + c un polynôme de degré 2. Supposons P scindé. On a donc P = a(x x 1 )(X x 2 ). En développant on trouve les relations bien connues x 1 +x 2 = b a et x 1 x 2 = c a. Prenons maintenant un polynôme scindé de degré 3, P = ax3 + bx 2 + cx + d = a(x x 1 )(X x 2 )(X x 3 ). Un développement donne x 1 + x 2 + x 3 = b a, x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a et x 1x 2 x 3 = d a. On commence à voir apparaître quelque chose. Définition : Soit n 1, et k un entier entre 1 et n. On appelle k-ième polynôme symétrique élémentaire le polynôme à n variables σ k (X 1,, X n ) = X i1 X i2 X ik 1 i 1 < <i k n En particulier σ 1 = X 1 + X X n et σ n = X 1 X 2... X n. Proposition : Soit n 1. Soit P = n k=0 P kx k un polynôme de degré n scindé, de racines α 1,, α n (éventuellement égales s il y a des racines multiples). En clair, P = P n n i=1 (X α i). On a alors pour tout entier k entre 1 et n σ k (α 1,, α n ) = ( 1) k P n k P n

212 212 CHAPITRE 15. POLYNÔMES Démonstration : On donne juste l idée de la preuve, qui se fait par récurrence sur n. Pour n = 1, 2, 3 nous avons déjà vu que c était vrai. Supposons que l on sait faire pour un polynôme de degré n 1, et prenons P = P n+1 n+1 k=1 (X α k). On a alors P = P n+1 (X n + ) n ( 1) n k σ n k (α 1,, α n )X k (X α n+1 ) k=1 On réordonne ensuite suivant les puissances de X pour constater que l on obtient bien les polynômes symétriques élémentaires en α 1,, α n+1. Exercice : Trouver tous les réels x, y, z vérifiant x + y + z = 2 1 x + 1 y + 1 z = 5 6 xyz = 6 VI Pgcd,Ppcm VI.1 L algorithme d Euclide Proposition : Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K. Il existe un polynôme vérifiant { D A D K[X], D B D Le polynôme est unique à constante multiplicative non nulle près. Définition : est appelé un pgcd de A et B. On parlera abusivement du pgcd de A et B, et on notera = A B ou = pgcd(a, B). Démonstration : L unicité est claire : si 1 et 2 sont deux pgcd de A et B, alors chacun divise l autre, et ils sont donc associés. Si B = 0, l existence est assurée, puisque = A convient. Sinon, un polynôme D divise A et B si et seulement si il divise B et R, où R est le reste de la division euclidienne de A par B. On crée ainsi une suite de restes successifs de divisions euclidiennes : c est l algorithme d Euclide. On arrive forcément à un reste nul, car la suite des degrés des restes serait sinon une suite strictement décroissante d entiers naturels. Le dernier reste non nul est le polynôme recherché. Exemple : Pour tout polynôme A, on a A 1 = 1, A 0 = A, A A = A. On a (X 2 3X + 2) (X 3 2X 2 + X 2) = X 2.

213 VI. PGCD,PPCM 213 VI.2 Théorème de Bézout Définition : lorsque A B = 1. Soient A, B K[X]. On dit que A et B sont premiers entre eux Exemple : Deux polynômes irréductibles non associés sont premiers entre-eux. En effet, soient P et Q irréductibles, non associés. Soit D un polynôme. Si D divise P et Q alors D = 1 ou P et D = 1 ou Q (àcmnnp). Donc D = 1 àcmnnp. Théorème : Soient A, B K[X]. Alors, A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe U, V K[X] tels que AU + BV = 1. Démonstration : Supposons l existence de U et V. Alors, Si D divise A et B, il divise AU + BV, donc 1. Donc, les seuls diviseurs communs de A et B sont les polynômes constants. Inversement, supposons que A B = 1. On a 1 A + 0 B = A, et 0 A + 1 B = B. Soient (R n ) et (Q n ) les suites des restes et des quotients des divisions de l algorithme d Euclide : R 0 = A, R 1 = B, et R n = R n+1 Q n+2 + R n+2, avec R n0 +1 = 0, et R n0 = 1. Si l on a U n A + V n B = R n, et de même au rang n + 1, il est alors facile de combiner ces deux égalités (la première moins Q n+2 fois la seconde) pour obtenir la même égalité au rang n + 2. On termine donc par récurrence. Remarque 15.6 : Si A B =, le raisonnement précédent montre qu il existe U et V tels que UA + V B =. La réciproque est fausse lorsque n est pas constant. VI.3 Théorème de Gauss Théorème : Soient A, B, C K[X]. On suppose que A BC et que A B = 1. Alors, A C. Démonstration : On a UA + V B = 1 et BC = QA. Donc, C = UAC + V BC = UAC + V QA = (UC + V Q)A. VI.4 Propriétés utiles Les trois propriétés ci-dessous sont analogues aux propriétés vues en arithmétique sur Z. Elles se démontrent de la même façon, grâce aux théorèmes de Bézout et Gauss. Proposition : Soient A, B, K[X]. Alors = A B si et seulement si il existe A 1, B 1 K[X] tels que A = A 1 B = B 1 A 1 B 1 = 1 Proposition : Soient A, B 1,... B n K[X]. A est premier avec chacun des B i si et seulement si il est premier avec leur produit.

214 214 CHAPITRE 15. POLYNÔMES Exemple : Soient a, b K, a b. Soient α, β N. Alors (X a) α (X b) β = 1. Proposition : Si A 1,, A n sont premiers entre eux deux à deux et divisent B, alors le produit des A i divise B. Remarque 15.7 : Nous allons montrer l unicité de la décomposition en produit de polynômes irréductibles, que nous avions pour l instant laissée de côté. On va procéder comme pour les entiers : la difficulté est liée à l ordre des facteurs. Notons I l ensemble des polynômes irréductibles et unitaires sur le corps K. Tout polynôme Q K[X] non nul s écrit Q = c P I P α P où c K et les α P sont des entiers naturels tous nuls sauf un nombre fini. Soit Q un polynôme non nul. Supposons Q = c P I P α P = c P I P β P. Le coefficient dominant de Q est c = c. On a donc P I P α P = P I P β P. Soit P 0 I. On a P α P 0 0 P β P 0 0 P I,P P 0 P β P. Mais P α P 0 0 est premier avec P I,P P 0 P β P. Donc, par le théorème de Gauss, P α P 0 0 P β P 0 0. On en déduit que α P0 β P0. De la même façon, on obtient α P0 β P0 et donc α P0 = β P0. Il y a bien unicité de l écriture. VI.5 Ppcm Proposition : Soient A, B K[X]. Il existe un poynôme µ, unique à constante multiplicative non nulle près, tel que { A M M K[X], B M µ M Démonstration : Voir le cours sur les entiers relatifs. On écrit A = A 1, B = B 1, où = A B et A 1 B 1 = 1. On pose µ = A 1 B 1 et on montre ensuite que µ est, à constante multiplicative non nulle près, l unique solution du problème. Définition : µ est appelé un ppcm de A et B. On parlera abusivement du ppcm de A et B, et on notera µ = A B ou µ = ppcm(a, B). Proposition : (A B)(A B) = AB. Démonstration : Avec les notations ci-dessus, (A B)(A B) = ( A 1 B 1 ) = AB. VI.6 Calculs pratiques Utilisation de polynômes irréductibles Soient A = P I P α P et B = P I P β P où les α P, β P sont des entiers naturels presque tous nuls. Alors, A B = P I P min(α P,β P ) et A B = P I P max(α P,β P ). Se reporter au cours d arithmétique dans Z pour une démonstration. Cette méthode de calcul n est évidemment utile que pour des polynômes que l on sait factoriser.

215 VII. INTERPOLATION DE LAGRANGE 215 Calcul des coefficients de Bézout Se reporter au cours d arithmétique dans Z. La méthode est identique. Elle permet de résoudre complètement l équation AU + BV = C, d inconnues U, V K[X]. VII Interpolation de Lagrange VII.1 Qu est-ce que l interpolation? Soit f : I R ou C. Soit n N. Soient x 0 < x 1 <... < x n n + 1 réels distincts. Existe-t-il un polynôme P tel que pour tout k {0,..., n}, on ait P (x k ) = f(x k )? On peut se débarrasser de la fonction f dans la formulation de la question : étant donnés n + 1 réels y 0,..., y n, existe-t-il un polynôme P tel que pour tout k {0,..., n}, on ait P (x k ) = y k? Pour les toutes petites valeurs de n, la réponse est évidente. Lorsque n = 0, la réponse est clairement oui, on peut prendre par exemple un polynôme constant. Pour n = 2, c est encore oui en prenant pour P une fonction affine : par deux points du plan il passe une unique droite! Ceci peut se généraliser. VII.2 Existence et unicité Proposition : Soit n N. Soient x 0 < x 1 <... < x n n + 1 réels distincts. Soient y 0 < y 1 <... < y n n + 1 réels. Il existe un unique polynôme P R n [X] tel que k {0,..., n}, P (x k ) = y k. Démonstration : Supposons que deux tels polynômes P et Q conviennent. Le polynôme P Q s annule en x 0,..., x n, et a donc au moins n + 1 racines. Mais ce polynôme est de degré inférieur ou égal à n. Donc, P = Q. Passons à l existence. Pour k = 0,..., n, soit j k L k = (X x j) j k (x k x j ) On vérifie facilement que ces polynômes sont de degré n, et que pour tous j, k {0,..., n}, on a L k (x j ) = δ kj, c est à dire 0 si j k et 1 si j = k. Ces polynômes sont les polynômes de Lagrange élémentaires. Soit maintenant P = n y k L k k=0 On a pour tout j entre 0 et n, P (x j ) = n k=0 y kl k (x j ) = n k=0 y kδ kj = y j. Le polynôme P convient donc. Que se passe-t-il si l on supprime la condition de degré? On perd l unicité. Plus précisément :

216 216 CHAPITRE 15. POLYNÔMES Proposition : Avec les notations ci-dessus, soit Q R[X]. On a Q(x j ) = y j pour j = 0, 1,..., n si et seulement si Q = P + n (X x k ) k=0 Démonstration : Un tel polynôme vérifie clairement les conditions. Inversement, soit Q un polynôme prenant les valeurs y j aux points x j. Le polynôme Q P s annule en x 0,..., x n. On en déduit que Q P est un multiple de n k=0 (X x k)

217 VIII. EXERCICES 217 VIII Exercices 1. Soit n 1. Soit P = (X 3) 2n + (X 2) n 2. Quel est le reste de la division euclidienne de P par X 2? Par (X 2)(X 3)? Par (X 3) 2 (X 2)? 2. Montrer qu il n existe pas de polynôme P C[X] tel que z C, P (z) = z. 3. Soit P K[X]. (a) Montrer que pour tout entier k 1, P X divise P k X k. (b) En déduire que P X divise P P P. (c) En déduire que que P X divise P P X. 4. Déterminer tous les polynômes P R[X] vérifiant P (2) = 6, P (2) = 1, P (2) = 4 et n 3, P (n) (2) = Soit P C[X]. Soit a C. Déterminer une CNS sur P et a pour que a soit racine de multiplicité 3 du polynôme Q = (X a)(p (X) + P (a)) 2(P (X) P (a)). 6. Soit P R[X] ayant toutes ses racines réelles et simples. (a) Montrer que P a toutes ses racines réelles et simples. (b) Soit α R +. Montrer que P 2 + α 2 a toutes ses racines non réelles et simples. 7. Soit P R[X] scindé. Montrer que P est scindé. 8. Soit n N. Déterminer une CNS sur a et b pour que le polynôme P = ax n+1 + bx n + 1 soit divisible par (X 1) Résoudre : P R[X], P (2X) = P (X)P (X). 10. Trouver tous les polynômes P R[X] de degré 7 tels que (X 1) 4 /(P + 1) et (X + 1) 4 /(P 1). On pourra s intéresser tout d abord à P. 11. Déterminer tous les polynômes P C[X] dont la fonction polynôme associée est périodique (on autorise une période complexe). 12. Factoriser (X + i) n (X i) n. En déduire ( ) n k=1 1 + cotan 2 kπ 2n Pour n 1, on pose P n = 1 + X 1! + X(X+1) 2! X(X+1) (X+n 1) n!. Factoriser P n. 14. Soit P = (X + 1) 5 X 5. Mettre P sous la forme P = R (X(X + 1)), avec R de degré 2. En déduire n k=0 k2 (k + 1) Quel est le pgcd de 2X X X 2 5X 3 et 2X 3 + 5X 2 + 5X + 3? 16. Soit n N. Trouver U et V R[X] de degré < n tels que UX n + V (1 X) n = 1. On pourra remarquer que (1 X) + X = Trouver tous les polynômes P R[X] unitaires, de degré 3, divisibles par X 1, et dont les restes des divisions euclidiennes par X 2, X 3 et X 4 sont égaux. 18. Soit θ R. Soit A = X 2 2X cos θ + 1. (a) Factoriser A sur C. (b) Montrer que pour tout n > 0, A divise X n sin θ X sin nθ + sin(n 1)θ.

218 218 CHAPITRE 15. POLYNÔMES 19. Factoriser le polynôme P = X sur C et sur R. 20. Soient p, q R. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur p et q pour que X divise X 4 + X 3 + px 2 + qx Pour tout n 0, on pose P n = n simples dans C. 22. Soit P = X 5 + X + 1. k=0 Xk (a) Montrer que P n a pas de racine dans Q. (b) Montrer que j est racine de P. (c) Factoriser P sur Q[X]. k!. Montrer que P n n a que des racines 23. Soient P, Q R[X] tels que P Q = 1 et P 2 + Q 2 a une racine double α. Montrer que α est racine de P 2 + Q Trouver tous les polynômes P C[X] tels que P divise P. 25. Trouver tous les polynômes P R[X] tels que P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X). 26. Soit n N. Développer (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 )... (1 + X 2n ). 27. On pose P 0 = 1 et, pour tout k N, P k = 1 k! X(X 1)... (X k + 1). (a) Montrer que pour tout entier n, la famille (P 0, P 1,..., P n ) est une base de R n [X]. (b) Montrer que m Z, k N, P k (m) Z. (c) Trouver tous les polynômes P tels que m Z, P (m) Z. 28. Soit P K[X]. Soient α, β K. (a) Calculer le reste de la division euclidiennne de P par (X α)(x β). (b) Calculer le reste de la division euclidiennne de P par (X α) 2.

219 Chapitre 16 Fractions rationnelles 219

220 220 CHAPITRE 16. FRACTIONS RATIONNELLES I Le corps des fractions rationnelles I.1 Notion de fraction rationnelle Soit K un corps commutatif. L anneau K[X] des polynômes à coefficients dans K est un anneau intègre. Il possède donc un corps des fractions, unique à isomorphisme près, noté K(X) : le corps des fractions rationnelles à une indéterminée. Formellement, une fraction rationnelle est le quotient F = P Q de deux polynômes, où le polynôme Q est non nul. On a les identités suivantes : P Q = R S P P S = QR Q + R S = P S+QR QS P Q R S = P R QS Enfin, toute fraction s écrit F = P Q où P et Q sont deux polynômes premiers entre eux. Une telle écriture est unique, à multiplication par une constante non nulle près en haut et en bas. On dit que l on a un représentant irréductible de la fraction F. I.2 Degré d une fraction rationnelle Définition 16.1 : Soit F = P Q K(X). On appelle degré de F la quantité do F = d o P d o Q. Remarque 16.1 : Cette quantité ne dépend pas du représentant choisi pour F. Le degré d une fraction est soit un entier relatif, soit lorsque la fraction est nulle. Attention à quelques pièges : une fraction de degré 0 n est pas forcément constante, par exemple. Proposition 16.1 : Soient F, G K(X). On a d o (F + G) max(d o F, d o G). Si les fractions ont des degrés différents, c est une égalité. Sinon, on ne peut rien dire. Démonstration : On pose F = P Q et G = R P S+QR S. On a F + G = QS d où d o (F + G) = d o (P S + QR) d o (QS) max(d o (P S), d o (QR)) d o (QS). Cette quantité vaut aussi max(d o (P S) d o (QS), d o (QR) d o (QS)) = max(d o P d o Q, d o R d o S). Si d o F d o G, alors d o P d o Q d o R d o S, donc d o (P S) d o (QR) et on a bien égalité. Proposition 16.2 : Soient F, G K(X). On a d o (F G) = d o F + d o G. Démonstration : Avec les mêmes notations que ci-dessus, d o (F G) = d o (P R) d o (QS) = d o P + d o R d o Q d o S = d o F + d o G. I.3 Racines, pôles Définition 16.2 : Soit F = P Q une fraction écrite sous forme irréductible. On appelle racine de F toute racine de P, et pôle de F toute racine de Q. Remarque 16.2 : Une fraction a un nombre fini de pôles. Une fraction non nulle a un nombre fini de racines.

221 II. ÉLÉMENTS SIMPLES 221 I.4 Fonctions rationnelles On ne refait pas ce qui a été fait pour les polynômes. Noter simplement qu une fonction rationnelle est définie sur K sauf peut-être en un nombre fini de points, les pôles de la fraction rationnelle correspondante. On définit également la dérivée d une fraction rationnelle. II Éléments simples II.1 C est quoi? Définition 16.3 : On appelle élément simple (sur K) toute fraction rationnelle du type F = P Q n où n N, Q est irréductible et d o P < d o Q. II.2 Exemples de base Lorsque Q est de degré 1, on a ce que l on appelle un élément simple de première α espèce (d ordre n). On a alors F = (X a), avec α, a K et n 1. Ce type n d élément simple est le seul lorsque K = C. Si K = R, on trouve également des éléments simples de deuxième espèce : les αx+β fractions F = avec α, β, p, q R, n 1, et p 2 4q < 0. (X 2 +px+q) n II.3 Partie entière d une F.R. Proposition 16.3 : Soit F K(X). Il existe un unique polynôme E K[X], et une unique fraction rationnelle G de degré strictement négatif, tels que F = E + G. Le polynôme E est appelé la partie entière de la fraction F. Démonstration : On écrit F = A B. On fait la division euclidienne de A par B : A = BE + R avec d o R < d o B. D où F = E + R/B et l existence, en posant G = R/B. Si, par ailleurs, F = E 1 + G 1 = E 2 + G 2, alors G 1 G 2 = E 2 E 1 est un polynôme de degré strictement négatif. C est donc le polynôme nul, d où l unicité. II.4 Parties polaires d une fraction Proposition 16.4 : Soit F = A B 1 B n avec d A < n i=1 do B i, et les B i premiers entre eux deux à deux. F s écrit alors de façon unique F = n i=1 A i B i avec pour tout i, d o A i < d o B i. Démonstration : On fait la démonstration dans le cas n = 2. On étend ensuite par récurrence sur n.

222 222 CHAPITRE 16. FRACTIONS RATIONNELLES A Existence : Soit F = B 1 B 2. D après Bézout, il existe deux polynômes U et V tels que UB 1 + V B 2 = 1. On peut donc écrire F = A(UB 1+V B 2 ) B 1 B 2 = V A B 1 + UA B 2. On peut ensuite isoler les parties entières de ces fractions, et écrire F = E 1 + E 2 + A 1 B 1 + A 2 B 2. Mais, forcément, E 1 + E 2 = 0 puisque d o F < 0. Unicité : Supposons que F s écrive de deux façons. On arrive alors à A 1 B 1 = A 2 B 2 avec d o A i < d o B i et B 1 B 2 = 1. On applique ensuite le théorème de Gauss : B 1 divise A 1 B 2, donc B 1 divise A 1. Donc, pour des raisons de degré, A 1 = 0. Puis, de même, A 2 = 0. Remarque 16.3 : Le résultat précédent permet de «séparer» les pôles d une fraction. II.5 Décomposition en éléments simples sur les complexes Proposition 16.5 : Soit F C(X) une fraction de pôles a 1,, a n d ordres de multiplicités respectifs k 1,, k n. Alors F = E + k n j j=1 i=1 α i,j (X a j ) i où les α i,j C et E C[X]. La décomposition est unique. Démonstration : On admet l unicité (qui a presque été déjà faite, d ailleurs). Le polynôme E est la partie entière de F. Le jème terme de la somme est la partie polaire relative au pôle a j. Elle se décompose en somme d éléments simples en écrivant la formule de Taylor (ou en faisant des divisions euclidiennes par X a j ). II.6 Pôles simples Soit F une fraction possédant a pour pôle simple. Le théorème précédent nous dit que F = α X a + G où a n est pas un pôle de G. Le scalaire α est appelé le résidu de F au point a. Il existe essentiellement 2 méthodes pratiques de calcul de α Supposons ici que l on sait écrire F =, les polynômes P et Q n ayant pas a pour racine. On a alors (X a)f = P Q P (X a)q = α + (X a)g. On a donc α = P (a) Q(a). Exemple : Soit F = X2 +1. On veut calculer le résidu de F en 1. On a (X 1)F = X 2 +1 X 2 +X+1 X et cette quantité vaut 2/3 en 1. Donc, F = j et j. Calculer de même les résidus en j et j. 3(X 1) + G où G a pour pôles Il arrive que l on sache que a est pôle simple de F, sans pouvoir factoriser facilement son dénominateur. On suppose ici que F = P Q, où a est racine simple de Q, et pas racine de P. On voit, en écrivant Taylor pour Q, que le résidu de F en a est P (a) Q (a).

223 II. ÉLÉMENTS SIMPLES 223 Exemple : Soit F = 1 X n 1. Les pôles de F sont les racines nièmes de 1. On a donc F = α ω ω U n X ω, avec α ω = 1 = ω nω n 1 n. II.7 Pôles multiples On traite un exemple dans lequel il y a des pôles doubles... X Soit F = 5. Alors F = E + ax+b + cx+d. La théorie nous dit que E (X 1) 2 (X+2) 2 (X 1) 2 (X+2) 2 s obtient par une division euclidienne, assez pénible à effectuer ici, car il faut développer le dénominateur. On trouve E = X 2. Pour obtenir a et b, on multiplie F par (X 1) 2. On a ax + b + (X 1) 2 G = X5 où la fraction G n a pas 1 pour pôle. En faisant X = 1, (X+2) 2 on obtient a + b = 1/9. En dérivant, puis en faisant X = 1, on obtient a = 13/27, d où b = 10/27. Terminer la décomposition. On trouve F = X (X 1) (X 1) 32 9(X + 2) (X + 2) II.8 Fractions réelles Proposition 16.6 : Soit F = P Q R(X) une fraction écrite sous forme irréductible. On suppose que Q se factorise en Q = c m i=1 (X a i) α i n i=1 (X2 + p i X + q i ) β i où c R, les α i, β i sont des entiers non nuls, les a i R, les p i, q i R avec p 2 i 4q i < 0. La fraction F s écrit alors de façon unique F = E + m α i i=1 j=1 λ ij n (X a i ) j + Démonstration : Démonstration admise. β i i=1 j=1 µ ij X + ν ij (X 2 + p i X + q i ) j On a souvent à décomposer des fractions à coefficients réels en éléments simples. Lorsque les pôles non réels sont des pôles simples, on peut décomposer sur C et regrouper les parties correspondant à des pôles conjugués. On peut aussi, écrire la décomposition a priori et donner à X des valeurs particulières. cx+d X 2 +X+1. 1 Exemple : Soit F = X 4 +X On a F = 1 (X 2 X+1)(X 2 +X+1) = ax+b X 2 X+1 + Tout d abord, F est paire. Le changement de X en X donne la même DES. On en déduit que a = c et b = d. Maintenant, multiplions par X X + 1. Il vient cx + d + (X X + 1)G où G n a pas j pour pôle. On fait X = j : j 2 j+1 utilise les relations j 2 + j + 1 = 0 et j 3 1 = 1 pour obtenir que j 2 j+1 = j+1 2 (1, j) étant libre dans le R-espace vectoriel C, on en déduit c = d = 1 2. Ainsi 1 X 4 + X = 1 X X 2 X X X 2 + X + 1 X 2 X+1 = = cj + d. On. La famille

224 224 CHAPITRE 16. FRACTIONS RATIONNELLES III Primitives des fractions rationnelles Toute fraction rationnelle se décompose en une somme contenant un polynôme et des éléments simples. Ainsi, pour obtenir une primitive d une F.R., il suffit de savoir calculer une primitive d un élément simple. Le lecteur est évidemment supposé savoir calculer une primitive d un polynôme... III.1 Primitives d un élément simple de première espèce 1 On se donne F = (X a), avec a R ou C, et n 1. On désire calculer F (x) dx. La n variable x reste évidemment réelle. 1 Lorsque n 2, une primitive de F est, que a soit réel ou complexe. (n 1)(x a) n 1 Lorsque n = 1 et a est réel, une primitive de F est ln x a. 1 Lorsque n = 1 et a = p + iq avec p, q réels, q 0, on a F (x) = (x p) iq = (x p)+iq. (x p) 2 +q 2 Une primitive de F est donc 1 2 ln((x p)2 + q 2 ) + i arctan x p q. III.2 Primitives d un élément simple de deuxième espèce d ordre 1 αx+β X 2 +px+q On suppose ici les fractions à coefficients réels. On se donne F = avec un dénominateur irréductible. Une simple translation (t = x + p/2) permet de se ramener au calcul d une primitive de G(t) = ut+v avec a réel non nul, ce qui s intègre en u t 2 +a 2 2 ln(t2 + a 2 ) + v a arctan t a. III.3 Primitives d un élément simple de deuxième espèce d ordre au moins 2 Une translation de la variable, comme au paragraphe ci-dessus, permet de se ramener au problème suivant : calculer I n = x et J (x 2 +a 2 ) n n = 1, où n 2. (x 2 +a 2 ) n 1 Le calcul de I n est immédiat : I n =. 2(n 1)(x 2 +a 2 ) n 1 Pour calculer J n, on intègre par parties en posant u 1 = 1 et v =. Il vient (x 2 +a 2 ) n x J n = + 2n x 2. L intégrale vaut J (x 2 +a 2 ) n (x 2 +a 2 ) n+1 n a 2 J n+1. Connaissant J 1, on peut ainsi calculer de proche en proche les intégrales J n. Exercice : Calculer 1 0 dx (x 2 +1) 2.

225 IV. EXERCICES 225 IV Exercices 1. Déterminer la limite, lorsque n tend vers l infini, des sommes ci-dessous : (a) n k=1 (b) n k=1 2k+1 k(k+1)(k+2) k+3 (k+1) 2 (k+2) (on admettra que lim n n k=1 1 k 2 = π2 6 ). 2. Décomposer en éléments simples sur R et/ou sur C les fractions rationnelles suivantes : a) X 3 +2 (X 1)(X+1) (R) b) 1 X(X+1)...(X+n) (R) c) X 1 X(X+1) 2 (R) 1 d) X 4 +X 2 +1 (R) e) 1 X (R) f) 5 X 2 (X 2 +1) 2 (R, C) g) 1 X 3 1 X 4 1 (R) 3. Calculer les primitives des fractions de l exercice précédent. 4. Soit n N. Résoudre le système de n équations à n inconnues n j=1 x j i + j = 1 i = 1 n n k=1 On utilisera la D.E.S. de la fraction F = (X k) n k=1 (X+k) P (X) 5. Soient a C et F C(X) de la forme F = (X a) n Q(X) avec Q(a) 0. Exprimer la partie polaire de F relative au pôle a en fonction des dérivées successives de G(X) = (X a) n F (X) au point a. 6. On considère la fraction F = 1 (X 3 1) 3. (a) Calculer la partie polaire de F relative au pôle 1. (b) En remarquant que F (jx) = F (j 2 X) = F (X), déterminer la D.E.S. de F. 7. Soit P un polynôme à coefficients complexes, de racines a 1,..., a m de multiplicités respectives α 1,..., α m. Décomposer la fraction P /P en éléments simples. 8. Soit P un polynôme de C[X]. Montrer que si les racines de P sont réelles et simples, alors le polynôme ) Q = P 2 P P n a pas de racines réelles. On pourra considérer. la fraction 9. Soit n N. ( P P (a) Montrer l existence et l unicité d un polynôme P tel que x R, P (cos x) = cos(nx). (b) Quelles sont les racines de P? (c) Décomposer la fraction 1/P en éléments simples. 10. Soit n un entier naturel non nul. On considère F = 1 X 2n +1. (a) Montrer que F possède 2n pôles simples, tous non réels. Calculer ces pôles en fonction des réels θ k = π 2n + k π n, k = 0..2n 1.

226 226 CHAPITRE 16. FRACTIONS RATIONNELLES (b) Décomposer F en éléments simples sur C. (c) Regrouper les pôles conjugués de F et en déduire, toujours en fonction des θ k, la décomposition en éléments simples de F sur R. 11. Soit F K(X). Montrer que F s écrit de façon unique F = P Q où P, Q K[X], Q 0, P Q = 1, et Q est unitaire. 12. Calculer la dérivée nième de la fonction arctan. 13. Calculer la dérivée nième de la fonction x ln(x 2 1). 14. Soient a, b, c R. Calculer la dérivée nième de ax2 +bx+c (x 1) Calculer la limite lorsque n tend vers l infini de n k=1 2 k 3 +3k 2 +2k. 16. Soient a, b, c R. Déterminer une fraction rationnelle dont la courbe représentative admet les droites d équations y = ax + b et x = c comme asymptotes. Calculer la dérivée nième de cette fraction. 17. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels a, b, c, d, e pour que les primitives de la fonction x x4 +ax 3 +bx 2 +cx+d soient des fractions rationnelles. x 3 (x 1) Soit P R[X] un polynôme de degré n 1 possédant n racines distincets non nulles x 1, x 2,..., x n. 1 (a) Décomposer la fraction XP (X) en éléments simples. (b) En déduire que n 1 k=1 x k P (x k ) = 1 P (0). 19. Pour tout n N on pose I n = 1 0 dx (x 2 +1) n. (a) Soit n N. Exprimer I n+1 en fonction de I n. (b) Calculer I Pour tout x > 0 on pose f(x) = x 0 (a) Calculer f(x). dt t (b) Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +? 21. Calculer les primitives de x x 2 +1 (x 2 1)(x 2 +x+1). 22. Soit n 2. Réduire sous la forme P Q la fraction n 1 k=0 nièmes de l unité. ω 2 k X ω k où les ω k sont les racines

227 Chapitre 17 Calcul des primitives 227

228 228 CHAPITRE 17. CALCUL DES PRIMITIVES Maintenant que nous avons abordé l étude des fractions rationnelles, il est bon de faire un petit bilan sur le calcul des primitives. Ce chapitre présente un certain nombre de techniques permettant le calcul méthodique de certaines primitives. Il contient des redites par rapport à ce qui a déjà été vu auparavant, mais aussi des nouveautés. I Primitives usuelles Le tableau ci-dessous résume les primitives à connaître. On trouve dans la première colonne la fonction à primitiver. Dans la deuxième colonne sont indiqués le ou les intervalles (les plus grands possible) où la fonction possède des primitives. La dernière colonne contient l expression d une primitive de la fonction, valable sur tous les intervalles cités dans la colonne précédente. Pour avoir toutes les primitives, il convient bien entendu de rajouter des constantes. Fonction f Intervalle(s) I Primitive f(x)dx sur I e αx (α C 1 ) R α eαx cosh αx(α R 1 ) R α sinh αx 1 sinh αx R α cosh αx 1 cos αx R α sin αx sin αx R 1 α cos αx x α (α C \ { 1}) R x +(au moins) α+1 α+1 1 x R + ou R ln x ln x R + ou R x ln x x 1 cosh 2 x = 1 tanh2 x R tanh x 1 sinh 2 x = coth2 x 1 R + ou R coth x 1 cos 2 x = 1 + tan2 x ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[, k Z tan x 1 sin 2 x = 1 + cot2 x ]kπ, (k + 1)π[, k Z cot x tan x ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[, k Z ln cos x cot x ]kπ, (k + 1)π[, k Z ln sin x tanh x R ln(cosh x) coth x R + ou R ln sinh x 1 cosh x R 2 arctan e x 1 sinh x R + ou R ln tanh x 2 1 cos x ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[, k Z ln tan ( x 2 + π ) 4 1 sin x ]kπ, (k + 1)π[, k Z ln tan x 2 1 (a R 1 ) R x 2 +a 2 a arctan x a 1 (a R 1 ) R \ { a, a } a 2 x 2 2a ln x+a x a 1 (a a 2 x 2 R ) ] a, a [ arcsin x a 1 (h x 2 +h R ) tout intervalle où x 2 + h 0 ln x + x 2 + h

229 II. PRIMITIVES SE RAMENANT À DES PRIMITIVES DE F.R. 229 II Primitives se ramenant à des primitives de F.R. II.1 Fractions en sinus et cosinus Problème : intégrer F (cos x, sin x) où F est une fraction rationnelle à deux variables. On pose x = 2 arctan t+2kπ, où k est choisi selon l intervalle d intégration. Ce changement de variable ne peut être effectué que sur des intervalles du type ](2k 1)π, (2k + 1)π[. Si l on a à intégrer sur autre chose, il faut couper en morceaux. On a alors F (cos x, sin x) dx = Ne pas oublier de modifier les bornes!! Exercice : Intégrer 1 0 et π. II sin x et 1 2+sin x F ( 1 t2 1 + t 2, 2t 1 + t 2 ) 2dt 1 + t 2 Calculer l intégrale de la seconde fonction entre Il se peut que de meilleurs changements de variable soient possibles : Si f(x) = F (cos x, sin x) est impaire, alors F (X, Y ) = Y G(X, Y ), où Y n apparaît qu avec des puissances paires. Le changement de variable t = cos x fonctionne alors. Exemple : tan x = cos x u cos x. Ainsi, en posant u = cos x, on a tan x = u s intègre en ln u. f(π x) = f(x). On a alors F ( cos x, sin x) = F (cos x, sin x). On peut alors montrer que F ( X, Y ) = F (X, Y ) et que F = XG(X, Y ) où X n apparaît dans G qu avec des puissances paires. On pose t = sin x. f(π + x) = f(x). On pose alors t = tan x. Fractions d exponentielles Problème : Intégrer F (e x ), où F est une fraction rationnelle. Ce problème inclut le problème de l intégration de fractions en sinh x et cosh x. On pose x = ln t. Il vient alors F (e x ) dx = F (t) t dt. Exercice : Calculer pour tout réel x x dt 0 1+cosh t. qui II.3 Intégrales abéliennes (I) Problème : intégrer f(x) = F (x, n ax+b cx+d où F est une fraction rationnelle, et ad bc 0. On pose t = n ax+b Exercice : 1 0 cx+d 1 x 1+x dx.. On a alors x = b dtn ct n a et dx est donc une fraction rationnelle en t. Remarque 17.1 : Le changement de variable officiel n est pas le meilleur possible dans l exemple ci-dessus : en posant x = cos t on obtient une intégrale beaucoup plus facile à calculer.

230 230 CHAPITRE 17. CALCUL DES PRIMITIVES II.4 Intégrales abéliennes (II) Problème : intégrer f(x) = F (x, ax 2 + bx + c où F est une fraction rationnelle. On met la quantité sous la racine sous forme canonique, et on fait un changement de variable trigonométrique ou hyperbolique. Exercice : Calculer la longueur d un morceau de la parabole d équation y = x 2. La longueur du morceau de la courbe représentative de f comprise entre les points d abscisses a et b est b a 1 + f (t) 2 dt. III Autres primitives III.1 Primitives de fonctions faisant intervenir un logarithme ou un arc tangente Soit à trouver une primitive de f(t) ln(t). Si l on connaît une primitive F de f, on peut faire disparaître le logarithme ou l arc tangente : il suffit d intégrer par parties. F (t) f(t) ln t dt = F (t) ln t dt t et de même avec des arc tangentes. Exercice : Calculer, pour tout entier n 0, t n ln t dt. III.2 Exponentielle-polynôme Soit P C[X] et α C. Soit f(x) = P (x)e αx. On cherche les primitives de f. Bien qu apparemment très particulier, ce cas est fréquent. Il contient aussi le cas de fonctions du type "polynôme sinus" ou cosinus. Il suffit d intégrer par parties : P (x)e αx dx = 1 α P (x)eαx 1 P (x)e αx α En réitérant un certain nombre de fois le procédé, on tombe sur le polynôme nul. Exercice : Calculer, pour tout entier n et tout réel X > 0, I n (x) = x n e x dx. Quelle est la limite de I n (x) lorsque x tend vers +?

231 IV. EXERCICES 231 IV Exercices 1. Calculer les primitives des fonctions ci-dessous, en indiquant à chaque fois le ou les intervalles sur lesquels les primitives existent. (a) arcsin x 1 x 2. (b) 1 1+e 2x. (c) sin 3 x cos x. (d) 3 2x+1. (e) x 2 ln(x 6 1). (f) (x 3 1)ch x. (g) ln(x + x 2 + 1). (h) 3 e x 1. (i) arctan x x. (j) cotan 3 x. (k) 1 cos x sin 4 x. (l) sin 4 x. (m) (n) tan x 1+cos x. sh x 3+sh 2 x. (o) 1 x+ x 1. (p) 2+ x+1 1+ x Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels a et b pour que les primitives de la fonction x soient des fractions rationnelles. ax+b x 3 (x 1) (a) Calculer les primitives sur R \ {0, 1} de f : x. x(1 x) (b) Montrer que parmi ces primitives il en existe une et une seule prolongeable par continuité en 0 et 1 et prenant la valeur 0 en 1 2. On note F cette primitive. (c) Tracer la courbe représentative de F. 4. Montrer : a R, sin 2 a 0 arcsin x dx + cos 2 a 0 arccos x dx = π Soient x ] π 2, π 2 [. Soit y R. Montrer : y = x 0 6. Calculer les intégrales ci-dessous. (a) 0 1 dx 1+ 1+x. (b) 1 0 (arcsin x)2 dx. (c) 1 0 (1 + x2 ) arctan x dx. dt cos t x = y 0 du ch u.

232 232 CHAPITRE 17. CALCUL DES PRIMITIVES (d) 1 2 (e) b a (f) 3 2 (g) π arctan 1 x 2 dx. 1 x a x x+a dx où 0 < a < b. dx x+ x 1. dx 1+cos a cos x où 0 < a < π. 7. Calculer les primitives des fonctions ci-dessous, en indiquant à chaque fois le ou les intervalles sur lesquels les primitives existent. (a) arcsin x 1 x 2. (b) 1 1+e 2x. (c) sin 3 x cos x. (d) 3 2x+1. (e) x 2 ln(x 6 1). (f) (x 3 1)ch x. (g) ln(x + x 2 + 1). (h) 3 e x 1. (i) arctan x x. (j) cotan 3 x. (k) 1 cos x sin 4 x. (l) sin 4 x. (m) (n) tan x 1+cos x. sh x 3+sh 2 x. (o) 1 x+ x 1. (p) 2+ x+1 1+ x Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels a et b pour que les primitives de la fonction x soient des fractions rationnelles. ax+b x 3 (x 1) (a) Calculer les primitives sur R \ {0, 1} de f : x. x(1 x) (b) Montrer que parmi ces primitives il en existe une et une seule prolongeable par continuité en 0 et 1 et prenant la valeur 0 en 1 2. On note F cette primitive. (c) Tracer la courbe représentative de F. 10. Montrer : a R, sin 2 a 0 arcsin x dx + cos 2 a 0 arccos x dx = π Soient x ] π 2, π 2 [. Soit y R. Montrer : y = x Calculer les intégrales ci-dessous. dt cos t x = y 0 du ch u.

233 IV. EXERCICES 233 (a) 0 1 dx 1+ 1+x. (b) 1 0 (arcsin x)2 dx. (c) 1 0 (1 + x2 ) arctan x dx. (d) 1 2 (e) b a (f) 3 2 (g) π arctan 1 x 2 dx. 1 x a x x+a dx où 0 < a < b. dx x+ x 1. dx 1+cos a cos x où 0 < a < π.

234 234 CHAPITRE 17. CALCUL DES PRIMITIVES

235 Chapitre 18 Espaces vectoriels 235

236 K n On munit K n d une structure de K-espace vectoriel avec les opérations ci-dessous. 236 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS I Généralités I.1 Notion d espace vectoriel Définition 18.1 : Soit K un corps commutatif. Soit E un ensemble. On suppose E muni d une loi de composition interne + : E E E. d une loi de composition externe. : K E E. On dit que (E, +,.) est un K-espace vectoriel lorsque (E, +) est un groupe commutatif. x E, 1.x = x. λ K, x, y E, λ.(x + y) = λ.x + λ.y. λ, µ K, x E, (λ + µ).x = λ.x + µ.x. λ, µ K, x E, (λµ).x = λ.(µ.x). Les éléments de E sont appelés des vecteurs. Les éléments de K son appelés des scalaires. I.2 Propriétés immédiates Soit E un K-espace vectoriel. Proposition 18.1 : λ K, x E, λ.x = 0 λ = 0 ou x = 0. Démonstration : Soit λ K. On a λ.0 = λ(0 + 0) = λ.0 + λ.0 d où, en soustrayant λ.0 : λ.0 = 0. De même, pour tout x E, 0.x = 0. Inversement, soient λ K et x E tels que λ.x = 0. Supposons λ 0. On multiplie par 1 λ : 0 = 1 λ (λx) = ( 1 λλ)x = 1.x = x. Proposition 18.2 : x E, ( 1).x = x. Démonstration : 1.x + ( 1).x = (1 + ( 1)).x = 0.x = 0. I.3 Exemples + : K n K n K n (x 1,, x n ), (y 1,, y n ) (x 1 + y 1,, x n + y n ) et. : K K n K n λ, (x 1,, x n ) (λx 1,, λx n ) Remarque 18.1 : : C peut être vu à la fois comme le C-espace vectoriel C 1 et le R- espace vectoriel R 2. Ces deux structures sont différentes. Lorsque le corps de base n est pas précisé, c est le contexte qui permet de savoir.

237 I. GÉNÉRALITÉS 237 F X On se donne un ensemble X et un K-espace vectoriel F. L ensemble des fonctions de X dans F, muni des opérations d addition des fonctions : (f + g)(x) = f(x) + g(x) de multiplication d une fonction par un scalaire : (λ.f)(x) = λ.(f(x)). est lui-même un K-espace vectoriel. Comme cas particuliers, les fonctions de R vers R, les suites à valeurs complexes, etc. Produit d espaces vectoriels Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L ensemble E F est muni de façon évidente d une structure d espace vectoriel. On peut évidemment faire un produit de 3,...,n espaces vectoriels. On remarque que l espace K n est en fait le produit K... K de n copies du K-espace vectoriel K. I.4 Combinaisons linéaires Définition 18.2 : Soit E un K-espace vectoriel, x 1,..., x n n vecteurs de E, et λ 1,..., λ n n scalaires. On appelle combinaison linéaire des x i affectés des coefficients λ i le vecteur u = n λ i.x i i=1 Exemple : Dans R 2, soient e 1 = (1, 1) et e 2 = (0, 1). Tout vecteur de R 2 s écrit de façon unique comme combinaison linéaire de e 1 et e 2. On dit que (e 1, e 2 ) est une base du plan. Exemple : Dans R 3, soient e 1 = (1, 2, 1), e 2 = (2, 1, 0) et e 3 = (3, 1, 1). Soit u = (x, y, z) R 3. Le vecteur u est combinaison linéaire des e i si et seulement si il existe 3 scalaires λ 1, λ 2, λ 3 tels que u = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3. Il est équivalent de dire que le système ci-dessous admet au moins une solution : (S) x = λ 1 + 2λ 2 + 3λ 3 y = 2λ 1 λ 2 + λ 3 z = λ 1 + λ 3 On voit qu une condition nécessaire d existence d une solution pour (S) est que x+2y = 5z. Inversement, si cette égalité est vérifiée, on peut trouver une solution avec λ 2 = 0. On donne maintenant une définition plus générale de la notion de combinaison linéaire. Définition 18.3 : Soit I un ensemble quelconque, (x i ) i I une famille de vecteurs de E, et (λ i ) i I une famille de scalaires telle que tous les λ i, sauf un nombre fini, soient nuls. On utilisera la notation i I λ i.x i pour représenter λ i1 x i λ ip x ip, où i 1,..., i p sont des éléments de I en dehors desquels les λ sont nuls. On convient également qu une combinaison linéaire vide est le vecteur nul.

238 238 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS Remarque 18.2 : Une famille de scalaires tous nuls sauf un nombre fini d entre-eux est dite presque nulle. Exemple : Dans E = C R, on considère la famille F = (f n ) n Z définie par n Z, x R, f n (x) = e inx. Alors, la fonction cos 3 est combinaison des éléments de la famille F. En effet, pour tout réel x, on a cos 3 x = 3 4 cos 3x cos x, donc cos3 = 3 4 f f 1. II Applications linéaires II.1 C est quoi? Définition 18.4 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit f : E F. On dit que f est une application linéaire lorsque x, y E, f(x + y) = f(x) + f(y). λ K, x E, f(λx) = λf(x). Bref, les applications linéaires sont les morphismes d espaces vectoriels. Remarque 18.3 : Une application linéaire f est avant tout un morphisme de groupes additifs. Elle vérifie donc f(0) = 0. Proposition 18.3 : linéaires. Soit f : E F. f est linéaire f conserve les combinaisons Démonstration : Supposons f linéaire. Montrons par récurrence sur n N que f conserve les combinaisons linéaires de n vecteurs. Pour n = 0, cela vient du fait que f(0) = 0. Pour n = 1, c est parce que f(λx) = λf(x). Pour n = 2, f(λx + µy) = f(λx) + f(µy) = λf(x) + µf(y). Pour passer de n à n + 1, il suffit de remarquer que combiner n + 1 vecteurs revient à combiner les n premiers, puis à combiner le résultat avec le dernier. Donc, si on sait faire pour n et pour 2, on sait faire pour n + 1. Inversement, si f conserve les combinaisons linéaires, elle est évidemment linéaire, puisque l addition et le produit par un scalaire sont des cas particuliers de combinaisons linaires. Remarque 18.4 : En clair, la linéarité de f permet d écrire des égalités du type f( i I λ i x i ) = i I λ i f(x i ) II.2 Quelques exemples Cinq exemples choisis parmi les milliers que nous rencontrerons au fil du cours... Les homothéties : f : E E; x αx. Lorsque E = K, ce sont les seules applications linéaires. f(p ) = P (1) sur les polynômes.

239 II. APPLICATIONS LINÉAIRES 239 II.3 f(u) = lim + u sur l ensemble des suites réelles convergentes. f : D 1 (R) R R définie par f(φ) = φ. f : C 0 (R) C 1 (R) définie par f(φ)(x) = x 0 φ(t) dt. Endomorphismes du plan On se propose de rechercher toutes les applications linéaires R 2 R 2 et de déterminer lesquelles sont bijectives. Soient e 1 = (1, 0) et e 2 = (0, 1) les vecteurs de la base canonique de R 2. Soit u = (x, y) = xe 1 + ye 2 un vecteur quelconque. On se donne f linéaire. Posons u = (x, y ) = f(u). Alors, f(u) = xf(e 1 ) + yf(e 2 ), d où { x = ax + cy (S) y = bx + dy où f(e 1 ) = (a, b) et f(e 2 ) = (c, d). Il est clair qu inversement l application ci-dessus est linéaire. Les endomorphismes de R 2 sont donc caractérisés par la donnée de 4 réels a, b, c, d. Cherchons maintenant lesquels sont injectifs. Si f est injectif, l équation f(u) = f(0) doit avoir une unique solution : (0, 0). On s intéresse donc au système { ax + cy = 0 bx + dy = 0 À quelle condition ce système admet-il pour unique solution le couple (0, 0)? On voit que si un couple (x, y) est solution, alors (combinaison judicieuse) (ad bc)x = 0 et (ad bc)y = 0. Donc, si ad bc 0, on aura x = y = 0. Inversement, si ad bc = 0, alors une petite discussion sur la nullité ou non du couple (a, c) permet de trouver une solution non nulle au système. Conclusion : f est injective si et seulement si ad bc 0. Cherchons maintenant une condition de surjectivité. On constate, en résolvant le système (S), que si ad bc 0, alors f est surjective. Mieux, dans ce cas le système admet une solution unique : f est donc bijective. La réciproque de f est d ailleurs linéaire, et est donnée par (x, y ) = f 1 (x, y) où { x 1 = ad bc y = 1 ad bc (dx cy) ( bx + ay) Si ad bc = 0, alors, dans le cas où le couple (a, b) n est pas le couple nul, on constate que si (S) possède une solution, alors bx ay = 0. L application f n est donc pas surjective. Si (a, b) = (0, 0), on trouve de même des éléments de R 2 qui n ont pas d antécédent par f. Conclusion : f est surjective si et seulement si ad bc 0. II.4 Vocabulaire, notations Soient E et F deux espaces vectoriels. On note L(E, F ) l ensemble des applications linéaires de E dans F. Lorsque E = F, on note plus simplement L(E). Lorsque F = K on note E = L(E, K) et cet ensemble est appelé le dual de E. Définition 18.5 : Soit f L(E, F ). on dit que

240 240 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS f est un endomorphisme de E lorsque E = F. f est un isomorphisme lorsque f est bijective. f est un automorphisme de E lorsque f est un endomorphisme bijectif. f est une forme linéaire sur E lorsque F = K (le corps de base). II.5 Opérations sur les applications linéaires On donne ici quelques théorèmes relatifs aux opérations sur les applications linéaires. Proposition 18.4 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L ensemble L(E, F ), muni de l addition des fonctions et de la multiplication par un scalaire, est un K-espace vectoriel. Démonstration : Vérifications immédiates. En clair, la somme de deux applications linéaires est linéaire, le produit d une application linéaire par un sacalaire est linéaire, et ces opérations vérifient tous les axiomes de la structure d espace vectoriel. Noter que L(E, F ) F E est ce que l on appellera bientôt un sous-espace vectoriel de F E. Proposition 18.5 : Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels. Soit f L(E, F ) et g L(F, G). Alors g f L(E, G). Si f est un isomorphisme, alors f 1 L(F, E). Démonstration : Soient x, y E et λ, µ K. On a g f(λx + µy) = g(f(λx + µy)) = g(λf(x)+µf(y)) = λg f(x)+µg f(y). Supposons f L(E, F ) bijectif et posons g = f 1. Soient x, y F. Posons x = f(x) et y = f(y ). On a g(λx + µy) = g(λf(x) + µf(y )) = g(f(λx + µy )) = λx + µy = λg(x) + µg(y ). Proposition 18.6 : Soit E un K-espace vectoriel. L ensemble L(E), muni des lois +,. et est une K-algèbre (non commutative en général). Démonstration : Nous savons déjà que L(E) est un K espace vectoriel. Il reste à vérifier les propriétés d anneau et une petite propriété dont nous n avons pas encore parlé. Le neutre pour la composition est id E, qui est clairement linéaire. La composition est associative, ceci est une propriété universelle. Reste à voir la distributivité par rapport à l addition. Soient donc f, g, h L(E) et x E. On a (g + h) f(x) = (g + h)(f(x)) = g(f(x))+h(f(x)) = (g f +h f)(x) D où (g +h) f = g f +h f. Remarquons que ceci est vrai sans utiliser la linéarité. En revanche f (g +h)(x) = f(g(x)+h(x)) = (f g +f h)(x) donc f (g + h) = f g + f h. Et là, on a eu besoin de la linéarité de f. La dernière propriété à vérifier relie le produit par un scalaire à la composition. Il se trouve que pour les algèbres que nous avons rencontrées jusqu à présent, cette propriété était triviale. Ici, ce n est pas le cas. Il s agit de voir que f, g L(E), λ K, λ(g f) = (λg) f = g (λf). C est vrai parce que g est linéaire. Laissons la non commutativité de côté pour l instant. Nous verrons que dès que E est «suffisamment gros» (de dimension strictement supérieure à 1), L(E) n est pas commutatif.

241 III. SOUS-ESPACES VECTORIELS 241 Proposition 18.7 : Soit E un K-espace vectoriel. L ensemble des automorphismes de E est un groupe pour la composition, non commutatif en général. Démonstration : C est l ensemble des éléments inversibles de l anneau L(E). Pour la non commutativité, même remarque que ci-dessus. Définition 18.6 : Le groupe des automorphismes de l espace vectoriel E est appelé le groupe linéaire de E, et est noté GL(E). III Sous-espaces vectoriels III.1 C est quoi? Définition 18.7 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit F une partie de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E lorsque, F est stable pour les lois + et., et que, muni de ces deux lois, F est lui-même un espace vectoriel. III.2 Caractérisation Proposition 18.8 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit F une partie de E. F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F est non vide. x, y F, x + y F. λ K, x F, λ.x F. Démonstration : Exercice. Remarque 18.5 : Cette proposition nous dit que pour prouver qu un ensemble est un espace vectoriel, il suffit tout d abord de remarquer qu il est inclus dans un «gros» espace vectoriel, puis de vérifier trois petites propriétés. Comparer avec la définition d espace vectoriel, qui nécessite de prouver 10 propriétés. Moralité, on utilisera ce théorème à chaque fois que ce sera possible. Les deux dernières conditions peuvent être remplacées par λ K, x, y E, λ.x + y E. Une partie non vide de E est un s.e.v de E si et seulement si elle est stable par combinaisons linéaires. III.3 Exemples Pour tout espace vectoriel E, {0} et E sont des sev de E. Les droites vectorielles sont des s.e.v. de R 2. Les droites et les plans vectoriels sont des sev de R 3. L ensemble des suites réelles convergentes est un sev de l espace R N des suites réelles.

242 242 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS L ensemble des fonctions f : R R de classe C 3 telles que f(0) = 0 est un sev de R R. L ensemble R[x] des fonctions polynômes à coefficients réels est un sev de R R. L ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 5 est un sev de R[x]. III.4 Image directe et réciproque par une application linéaire Proposition 18.9 : Soient E, F deux K-espaces vectoriels, et f L(E, F ). Soient E un s.e.v de E, et F un s.e.v de F. Alors, f(e ) est un s.e.v de F, et f 1 (F ) est un s.e.v de E. Démonstration : Prouvons le résultat pour l image directe. L image réciproque est laissée en exercice. Tout d abord, 0 E, donc f(0) = 0 f(e ) : f(e ) est non vide. Soient u, v f(e ) et λ K. Il existe x, y E tels que u = f(x) et v = f(y). On a alors λu + v = λf(x) + f(y) = f(λx + y) f(e ). Deux cas fondamentaux vont suivre. III.5 Noyau et image d une application linéaire Définition 18.8 : Soit f L(E, F ) une application linéaire. On appelle noyau de f le sous-espace vectoriel de E Kerf = f 1 ({0}), et image de f le sous-espace vectoriel de F Imf = f(e). Exemple : f : R 2 R 2 définie par f(x, y) = (x + 3y, 2x + 6y). Soit u = (x, y) R 2. Alors u ker f si et seulement si x + 3y = 0. ker f est la droite de R 2 engendrée par ( 3, 1). On a u Im f si et seulement si il existe a, b R tels que x = a + 3b et y = 2a + 6b. Il est facile de voir que ceci équivaut à y = 2x. Donc, l image de f est la droite engendrée par (1, 2). Soit φ : C 1 (R) R R définie par φ(f) = f. Alors ker φ est l ensemble des fonctions constantes et le cours d intégration nous montrera que Im φ = C 0 (R). Proposition : Soit f L(E, F ). f est injective si et seulement si ker f = {0}, et f est surjective si et seulement si Im f = F. Démonstration : Voir le chapitre sur les groupes. En effet, une application linéaire est avant tout un morphisme de groupes. IV Opérations sur les s.e.v IV.1 Intersection Proposition : Soit E un espace vectoriel. Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.

243 IV. OPÉRATIONS SUR LES S.E.V 243 Démonstration : Soit (E i ) i I une famille de sev de E. Soit F = i I E i. 0 est dans tous les E i, donc dans F : F est non vide. Soient x, y F et λ K. x et y sont dans tous les E i, donc λx + y aussi. IV.2 s.e.v engendré par une partie Proposition : Soit A une partie d un espace vectoriel E. L intersection de tous les s.e.v de E contenant A est encore un s.e.v de E contenant A, et c est même le plus petit au sens de l inclusion. On l appelle le s.e.v de E engendré par A et on le note V ect(a) ou < A >. Démonstration : Toute intersection de sev de E est encore un sev de E. De plus, toute intersection de parties de E contenant A contient aussi A. Exemple : < >= {0}. Si F est un sev de E, alors < F >= F. Soit u = (1, 2) R 2 : < {u} > (noté plus simplement < u >) est la droite vectorielle engendrée par u. Ce sera évident dans deux secondes. Proposition : Soit A une partie d un espace vectoriel E. Le s.e.v de E engendré par A est l ensemble des combinaisons linéaires d éléments de A. Démonstration : Notons F l ensemble des combinaisons linéaires d éléments de A. Il est clair que F est un s.e.v de E contenant A. De plus tout s.e.v de E contenant A doit contenir F, car un s.e.v est stable par combinaison linéaire. Donc, F =< A >. Un cas important est celui où la partie A est finie. Par exemple, si u E, alors < u >= {λu, λ K}. Si u et v sont deux vecteurs de E, alors < u, v >= {λu + µv, λ, µ K}. Remarquer l abus de notation qui consiste à ne pas écrire les accolades. Exercice : On se place dans R 3, et on pose e 1 = (1, 2, 3), e 2 = (4, 5, 6) et e 3 = (7, 8, 9). Déterminer < e 1, e 2, e 3 >. IV.3 Quelques propriétés Proposition : Soient A et B deux parties d un espace vectoriel E. On a A < A > avec égalité si et seulement si A est un sev de E. << A >>=< A >. A B < A > < B >. < A B > < A > < B >. Démonstration : Premier point : < A > est le plus petit... contenant A, donc il contient A. Si on a égalité, alors < A > est les plus petit sev de E..., c est donc un sev de E. Inversement, si A est un sev de E, il est clair que le plus petit sev de E qui contient A est A. Second point : puisque < A > est un sev de E, on a << A >>=< A >.

244 244 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS Troisième point : supposons A B. Alors A < B >. Mais < A > est le plus petit sev de E contenant A, et < B > en est un, donc < A > < B >. Dernier point : A B A, donc < A B > < A >. De même, < A B > < B > d où l inclusion demandée. Remarque 18.6 : Soient A = {(1, 2)} et B = {(2, 4)} deux parties de R 2. On a < A >=< B >=< (1, 2) > donc < A > < B >=< (1, 2) >. En revanche, < A B >= {0}. L inclusion réciproque dans le dernier point de la proposition ci-dessus est donc fausse en général. V Sous-espaces supplémentaires V.1 Somme de deux s.e.v Soient F et G deux s.e.v d un espace vectoriel E. On appelle somme de F et G la partie de E F + G = {x + y, x F, y G} Proposition : F G. F + G est un sev de E. C est en fait le sev de E engendré par Démonstration : F + G est non vide et stable par combinaison linéaire. C est donc un sev de E. Pour tout x F, on a x = x + 0 F + G donc F F + G. De même pour G, d où F G F + G. Soit H un sev de E contenant F G. Pour tout x F et y G, x, y H donc x + y H. Ainsi, F + G H. F + G est donc le plus petit sev de E contenant F G, c est à dire que F + G =< F G >. Remarque 18.7 : On généralise à la somme de n sev E 1,..., E n d un espace vectoriel E. V.2 Sommes directes - s.e.v supplémentaires Définition 18.9 : On dit que F et G sont en somme directe lorsque tout élément z de F + G s écrit de façon unique sous la forme z = x + y, avec x F et y G. Lorsque F et G sont en somme directe, on note F G la somme de F et G. C est l unicité qui importe, vu que l existence est assurée par la définition même de la somme de deux sev. Proposition : si F G = {0}. Deux sev de E, F et G, sont en somme directe, si et seulement Démonstration : Supposons F et G en somme directe. Soit x F G. Alors, x = x + 0 = 0 + x et on a deux décompositions de x sur F + G. Comme la somme est directe, la décomposition est unique, et ainsi x = 0. Inversement, supposons que F G = {0}. Soit

245 V. SOUS-ESPACES SUPPLÉMENTAIRES 245 x = x 1 +x 2 = y 1 +y 2 un élément de F +G, donné avec deux décompositions sur la somme. On a alors x 1 y 1 = y 2 x 2 et ces deux quantités sont dans F G. Elles sont donc nulles. Définition : Deux sev de E, F et G sont dit supplémentaires lorsque F G = E. En d autres termes, F et G sont supplémentaires lorsque tout vecteur de E s écrit de façon unique comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G. Exemple : Deux droites vectorielles distinctes du plan sont supplémentaires. Les ensembles P des fonctions paires et I des fonctions impaires de R vers R sont des sev supplémentaires de R R. V.3 Somme directe de n sous-espaces vectoriels Définition : Soit E un K-espace vectoriel. Soit n N, soient F 1,..., F n n sev de E. On dit que les F i sont en somme directe lorsque tout élément x de F F n s écrit de façon unique x = x x n, où les x i F i. La somme est alors notée F 1 F 2... F n. Remarque 18.8 : Attention, à partir de n = 3, des sev peuvent avoir une intersection deux à deux nulle sans pour autant être supplémentaires. Prendre par exemple trois droites du plan! V.4 Projecteurs Définition : Soit E un espace vectoriel. On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E vérifiant p p = p. Proposition : Soit E un espace vectoriel. Soit p L(E). L endomorphisme p est un projecteur si et seulement si il existe deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, F et G tels que x F, p(x) = x. x G, p(x) = 0. Les deux sev F et G sont uniquement déterminés par la donnée du projecteur p. Démonstration : Supposons que p est un projecteur de E. Soient F = Ker(p id) et G = Kerp. Alors, F et G sont des sev de E puisque ce sont des noyaux d applications linéaires. De plus, F G = {0} puisque un vecteur x de leur intersection doit vérifier p(x) = x = 0. Enfin, pour tout x de E, on a x = (x p(x)) + p(x), et p(x p(x)) = 0, donc x p(x) G, et p(p(x)) = p(x), donc p(x) F, d où F G = E. La réciproque est immédiate. Si F 1 et G 1 vérifient les mêmes propriétés que F et G, alors pour tout x de F 1, on a p(x) = x, donc x F = Ker(p id). De même, G 1 G. Soit x F. Alors, x = x 1 + x 2,

246 246 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS avec x 1 F 1 et x 2 G 1. On en tire p(x) = p(x 1 ) + p(x 2 ) ou encore x = x 1. Donc, x F 1. De même, G 1 = G. Définition : Le projecteur p est appelé projecteur sur F parallèlement à G. V.5 Symétries Définition : Soit E un espace vectoriel. On appelle symétrie de E tout endomorphisme f de E vérifiant f f = id. Proposition : Soit E un espace vectoriel sur un corps K dans lequel 2 0. Soit f L(E). L endomorphisme f est une symétrie si et seulement si il existe deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, F et G tels que x F, f(x) = x. x G, f(x) = x. Les deux sev F et G sont uniquement déterminés par la donnée dde la symétrie f. Démonstration : Supposons que f est une symétrie de E. Soient F = Ker(f id) et G = Ker(f +id). Alors, F et G sont des sev de E puisque ce sont des noyaux d applications linéaires. De plus, F G = {0} puisque un vecteur x de leur intersection doit vérifier f(x) = x = x. Enfin, pour tout x de E, on a x = x+f(x) 2 + x f(x) 2, et f( x+f(x) 2 ) = x+f(x) 2, donc x+f(x) 2 F, et f( x f(x) 2 ) = x f(x) 2, donc x f(x) 2 F, d où F G = E. La réciproque est immédiate. Si F 1 et G 1 vérifient les mêmes propriétés que F et G, alors pour tout x de F 1, on a f(x) = x, donc x F = Ker(f id). De même, G 1 G. Soit x F. Alors, x = x 1 + x 2, avec x 1 F 1 et x 2 G 1. On en tire f(x) = f(x 1 ) + f(x 2 ) ou encore x = x 1 x 2. Donc, en additionnant les deux égalités donnant x, x = x 1 F 1. De même, G 1 = G. Définition : On dit que f est la symétrie par rapport à F, parallèlement à G. VI Familles remarquables de vecteurs VI.1 Famille libre, famille génératrice, base Définition : Soit F = (e i ) i I une famille de vecteurs d un espace vectoriel E. On dit que la famille F est Une famille libre lorsque tout vecteur de E s écrit d au plus une façon comme combinaison linéaire des vecteurs de F. Une famille génératrice de E lorsque tout vecteur de E s écrit d au moins une façon comme combinaison linéaire des vecteurs de F. Une base de E lorsque tout vecteur de E s écrit d exactement une façon comme combinaison linéaire des vecteurs de F.

247 VI. FAMILLES REMARQUABLES DE VECTEURS 247 Exemple : La famille vide est libre. Une famille (u) de 1 vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul. Dans K n, la famille (e 1,..., e n ) où e i est le n-uplet dont toutes les coordonnées sont nulles, sauf la ième qui vaut 1, est une base. On l appelle la base canonique de K n. VI.2 Vocabulaire Les vecteurs d une famille libre sont dits indépendants. Une famille qui n est pas libre est dite liée. Si B = (e i ) est une base de E, et x = i I x ie i est un vecteur de E, les scalaires x i, tous nuls sauf un nombre fini d entre eux, sont appelés composantes, ou coordonnées, du vecteur x dans la base B. VI.3 Propriétés faciles Proposition : Une famille F = (e i ) i I de vecteurs de E est libre si et seulement si pour toute famille presque nulle de scalaires (λ i ) i I, on a λ i e i = 0 i I, λ i = 0 i I Démonstration : Supposons la famille F libre. Le vecteur nul s écrit d au plus une façon comme combinaison des e i. Or, 0 = i I 0e i. D où l implication. Inversement, supposons F liée. Il existe donc un vecteur x de E s écrivant de deux façons différentes comme combinaison des vecteurs de F. On a donc x = i I λ ie i = i I µ ie i et il existe au moins un i I tel que λ i µ i. En posant pour tout i ν i = λ i µ i, il vient 0 = i I ν ie i avec les ν i pas tous nuls, ce qui est la négation de l implication. Proposition : Une famille F = (e i ) i I de vecteurs de E est liée si et seulement si l un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des autres (mais on ne peut pas dire lequel!) Démonstration : Supposons la famille liée. On a alors une combinaison i I λ ie i = 0 avec au moins un des λ i non nul. Soit i 0 I tel que λ i0 0. Alors, on peut exprimer e i0 comme combinaison des autres : e i0 = i i 0 ( λ i λ i0 )e i. Inversement, s il existe i 0 tel que e i0 = i i 0 µ i e i, alors, on a une combinaison i I λ ie i = 0, en posant λ i = µ i si i i 0, et λ i0 = 1. Combinaison nulle, donc, mais au moins un des coefficients est non nul, puisqu il vaut 1. Proposition : Toute «sous-famille» d une famille libre est libre. Proposition : Toute «sur-famille» d une famille liée est liée. Proposition : Toute «sur-famille» d une famille génératrice est génératrice. Remarque 18.9 : Les problèmes intéressants se posent donc lorsqu on considère des sur-familles de familles libres ou des sous-familles de familles génératrices, c est à dire

248 248 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS des familles libres les plus grandes possibles ou des familles génératrices les plus petites possible. Exercice : Montrer que les vecteurs e 1 = (1, 1, 2), e 2 = (1, 1, 1) et e 3 = (2, 1, 0) forment une base de R 3, et calculer, pour tout vecteur u = (x, y, z) de R 3, ses composantes dans cette base. VI.4 Familles remarquables et applications linéaires Proposition : Soit F une famille de vecteurs dans un espace vectoriel E. Soit f L(E, F ). On a f(< F >) =< f(f) >. Si f est injective, et F est libre, alors f(f) est libre. Si f est surjective, et F est génératrice de E, alors f(f) est génératrice de F. Démonstration :Posons F = (e i ) i I. Premier point : Soit y E. Alors y f(< F >) si et seulement si (λ i ) i I, y = f( i λ ie i ). Comme f( i λ ie i ) = i λ if(e i ), ceci équivaut à y < f(f) >. Deuxième point : Supposons i λ if(e i ) = 0. Ceci équivaut à f( i λ ie i ), c est à dire i λ ie i ker f. Mais f est injective, donc i λ ie i = 0. Donc les λ i sont nuls puisque les e i sont libres. Troisième point : < f(f) >= f(< F >) = f(< E >) = F. Dans le cas des bases, on a des résultats plus précis. Proposition : Soit B une base de l espace vectoriel E. Soit f L(E, F ). Alors f est injective, si et seulement si f(b) est libre. f est surjective, si et seulement si f(b) est génératrice de F. f est bijective, si et seulement si f(b) est une base de F. Démonstration : Posons B = (e i ) i I. Le troisième point est évidemment une conséquence des deux premiers, et les implications des deux premiers points nous sont déjà connues. Supposons f(b) libre. Soit x = i λ ie i ker f. On a donc 0 = f(x) = i λ if(e i ). Les f(e i ) sont libres, donc les λ i sont nuls. Donc x = 0 et f est bien injective. f(b) génératrice f surjective est laissé en exercice. Proposition : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit B = (e i ) i I une base de E. Soit F = (e i ) i I une famille de vecteurs de F indexée par le même ensemble I que la base B. Il existe alors une unique application linéaire f : E F telle que i I, f(e i ) = e i Démonstration : Supposons qu une telle application linéaire f existe. Soit x E. On écrit x = j I x je j. On a alors f(x) = j I x je j ; d où l existence d au plus une telle application. Inversement, l application que nous venons de trouver est bien linéaire (exercice) et envoie les e j sur les e j. D où l existence.

249 VI. FAMILLES REMARQUABLES DE VECTEURS 249 Remarque : Ce théorème est d une importance capitale. Une application linéaire est caractérisée par la donnée de l image des vecteurs d une base de l espace de départ. Grâce à ce théorème, on peut se donner de façon simple des applications linéaires. Ainsi, par exemple, soit (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R 3. Soit f l application linéaire de R 3 dans R 2 définie par f(e 1 ) = (1, 2), f(e 2 ) = (3, 4) et f(e 3 ) = (5, 6). On obtient facilement, en cas de besoin, f(x, y, z) = (x + 3y + 5z, 2x + 4y + 6z). VI.5 Familles libres maximales, génératrices minimales Proposition : Soit F une famille de vecteurs de l espace vectoriel E. Il y a équivalence entre F est libre et toute sur-famille de F est liée. F est génératrice et toute sous-famille de F est non-génératrice. F est une base de E. Ainsi, une famille de vecteurs de E est une base si et seulement si elle est libre maximale ou génératrice minimale. Démonstration : Posons F = (e i ) i I. Supposons F libre maximale. Soit e E. La famille F (e) est donc liée. Il existe une combinaison nulle 0 = i λ ie i + λe dans laquelle tous les coefficients ne sont pas nuls. En fait, λ 0 puisque la famille F est libre. On peut donc écrire e comme combinaison des vecteurs de F : F est génératrice et c est donc une base. Inversement, supposons que F est une base. Soit e E. Soit G = F (e). On peut écrire e comme combinaison des e i puisque F est une base. Donc G est liée. F est bien libre maximale. L équivalence entre base et génératrice minimale est laissée en exercice. VI.6 bases et sev supplémentaires Proposition : Soit E un espace vectoriel, et F 1,..., F n des sev de E en somme directe tels que n k=1 F k = E. Pour k = 1,..., n, soit B k une base de F k. Alors, B 1... B n est une base de E. Démonstration : Exercice. Il suffit de le faire pour n = 2, puis d effectuer une récurrence sur n.

250 250 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS VII Exercices 1. Parmi les ensembles suivants, lesquels (pour des lois «évidentes») sont des espaces vectoriels? (a) {(x, y, z) R 3, x + y 2 z = 0} ; (b) {(x, y, z) R 3, x + 2y z = 0} ; (c) {(x, y, z) R 3, 3x + y z = 1} ; (d) {f : R R, f(0) 4f(1) = 0} ; (e) {f C 0 (R), lim + f = f(2)} ; (f) {f C 0 (R), lim + f = f(0)f(1)} ; (g) C C ; (h) {f R R, x R, f(x)e x = f(2x)} 2. Parmi les applications suivantes, lesquelles sont linéaires? (a) f : R 3 R 3, (x, y, z) (3x 2y + z, x + y + z, 2x 3y) (b) f : R 4 R, (x, y, z, t) xt yz (c) f : R 2 R, (x, y) xt yz (où z et t sont deux réels fixés) (d) f : R R R R, g (x (x 2 1)g(x) + g(0)) (e) f : R R R R, g (x g(x + 1) g(x)) (f) f : R R R R, g g g 3. Déterminer noyau et image des applications linéaires ci-dessous : (a) f : R 2 R 2, (x, y) (2x 3y, 4x 6y) (b) f : R 3 R 2, (x, y, z) (x + 3y + 2z, x + y + z) (c) f : R 2 R 3, (x, y) (x + 2y, 4x + 5y, 7x + 8y) (d) f : R 3 R 3, (x, y, z) (y + z, z + x, x + y) (e) f : R[x] R[x], P xp (x) P (x). On rappelle que R[x] est l espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels. 4. Soit E un K-espace vectoriel et f L(E). Montrer : (a) ker f Im f = {0} ker f 2 = ker f (b) ker f + Im f = E Im f 2 = Im f 5. Soient Soient F, G, H trois sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E. Comparer F (G+H) et F G+F H. Faire de même avec F +(G H) et (F +G) (F +H). 6. Soit E un K-espace vectoriel. Soient p et q deux projecteurs de E. (a) Démontrer que p + q est un projecteur si et seulement si p q = q p = 0. (b) Démontrer que dans ce cas, Im(p + q) = Im p Im q et ker(p + q) = ker p ker q. 7. Soit p un projecteur dans un K-espace vectoriel E. Soit α K. Soit f = id E αp. Trouver une CNS sur α pour que f GL(E). Calculer alors f Soit E un C-espace vectoriel. Soit f L(E) telle que f f = id E. On pose F = ker(f + i.id E ) et G = ker(f i.id E ). Démontrer que F et G sont deux sousespaces supplémentaires de E.

251 VII. EXERCICES Pour n N, soit f n : R R définie par f n (x) = sin(nx). Soit F = (f n ) n N. Démontrer que la famille F est libre. La famille F est-elle une base de R R? De C (R, R)? De l ensemble des fonctions R R de classe C, périodiques et impaires? 10. Pour α R, soit f α : R R définie par f α (x) = x α. Soit F = (f α ) α R. Démontrer que F est libre. La famille F est-elle une base de R R? 11. Soit E un K-espace vectoriel et g un endomorphisme de E. On définit φ g : L(E) L(E) par f L(E), φ g (f) = f g g f. (a) Montrer que φ g est un endomorphisme de L(E). (b) Montrer que si g est nilpotent, c est-à-dire s il existe n N tel que g n = 0, alors φ g est également nilpotent. 12. Soit E un K-espace vectoriel. Soient f, g L(E). Montrer que les deux propriétés ci-dessous sont équivalentes : (a) f g = g et g f = f. (b) f et g sont des projecteurs et Im f = Im g. 13. Soit E un K-espace vectoriel. Soient u, v L(E). montrer : (a) ker u ker(v u). (b) Im (v u) Im v. 14. Soient F = {f C 2 (R), f(0) = f (0) = f (0) = 0} et G = {x ax 2 + bx + c, (a, b, c) R 3 }. Montrer que F et G sont des sev supplémentaires de C 2 (R). 15. Soient A et B deux parties d un K-espace vectoriel E. Montrer que < A B >=< A > + < B >. 16. Soit E un K-espace vectoriel. Soit f L(E). Montrer que f est une homothétie si et seulement si x E, f(x) < x >. 17. Soient F et G deux sev d une K-espace vectoriel E. Montrer que F G est un sev de E si et seulement si F G ou G F. 18. Soit E le R-espace vectoriel des suites réelles convergentes. Soit F le sev de E des suites tendant vers 0. Soit G les sev de E formé des suites constantes. (a) Que dire de F et G? (b) Déterminer le projecteur sur F parallèlement à G et le projecteur sur G parallèlement à F. 19. Déterminer noyau et image de l endomorphisme f de R 3 défini par Faire de même pour f f. f(x, y, z) = (2x y + z, x + 3y 2z, 3x + 2y z) 20. Déterminer noyau et image de l endomorphisme f de R 3 défini par Faire de même pour f f. f(x, y, z) = (2x y + z, 4x 2y + 2z, 6x 3y + 3z)

252 252 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS 21. Soient a, b, c, d R. Soit f L(R 2 ) défini par f(x, y) = (ax + cy, bx + dy). (a) Calculer f 2 (a + d)f + (ad bc)id. (b) En déduire que f GL(E) si et seulement si ad bc Soit E un K-espace vectoriel. Soit f L(E) telle que f 2 3f + 2id = 0. (a) Montrer que f GL(E). (b) Montrer que F = ker(f id) et G = ker(f 2id) sont des sev supplémentaires de E.

253 Chapitre 19 Dimension finie 253

254 254 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE I Dimension I.1 Espaces de dimension finie Définition 19.1 : Soit E un K-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie lorsque E possède au moins une famille génératrice finie. Exemple : K n, dont la base canonique a n éléments. K n [X], l espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n, est engendré par les polynômes X k, k = 0,..., n. En revanche, l espace R[X] des polynômes à coefficients dans R, ne l est pas. En effet, les polynômes d une famille génératrice finie ont leurs degrés bornés et leurs combinaisons linéaires aussi. Une famille finie ne peut donc pas engendrer l espace tout entier. I.2 Cardinal des familles libres Lemme I.1 Soit F = (e i ) 1 i n une famille de n vecteurs de E. Soit F = (e i ) 1 i n+1 une famille de n + 1 vecteurs combinaisons linéaires des vecteurs de F. Alors, F est liée. Démonstration : On fait une récurrence sur n. C est clair lorsque n = 1. On suppose que c est vrai pour un entier n. On prend F = (e 1,..., e n+1 ), et F = (e 1,..., e n+2 ) avec e j = n+1 i=1 a ije i pour j = 1,..., n + 2. Si tous les a n+1,j sont nuls, alors les vecteurs de F sont combinaisons de n vecteurs, donc sont liés d après l hypothèse de récurrence. Sinon, quitte à renuméroter, on peut supposer que a n+1,n+2 0. On pose pour 1 j n + 1, e j = e j λ je n+2 avec λ j choisi de sorte que les e j soient combinaisons de e 1,..., e n. Alors, les e j sont liés, et on en tire aisément que les e j aussi. Corollaire 19.1 : Soit E un espace vectoriel ayant une famille génératrice de n éléments. Alors, toutes les familles libres de E sont finies, et ont au plus n éléments. Démonstration : Soit G une famille génératrice de E de cardinal n. Toute famille de cardinal n + 1 est une famille dont les vecteurs sont des combinaisons des vecteurs de G, et est donc liée. Toute famille de cardinal au moins égal à n + 1 étant une sur-famille d une famille liée est donc aussi liée. Conclusion, les familles libres sont finies, de cardinal inférieur ou égal à n. Corollaire 19.2 : Toutes les bases d un espace vectoriel de dimension finie sont finies, de même cardinal. Démonstration : Soient B et B deux bases d un espace de dmiension finie. La famille B est libre et la famille B est génératrice, donc B est finie et card B card B. De même pour l autre inégalité en inversant les rôles de B et B. Il ne reste plus qu à prouver que tout espace de dimension finie possède des bases...

255 I. DIMENSION 255 I.3 Le théorème de la base incomplète Proposition 19.3 : [de la base incomplète] Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit F une famille libre de E, et G une famille génératrice finie de E. Alors on peut fabriquer une base de E en rajoutant à la famille F des vecteurs de la famille G. Démonstration : Quitte à remplacer G par F G, on peut supposer, que F G. On pose F = (e i ) i I et G = (e i ) i J, avec I J. Parmi toutes les familles libres (e i ) i K avec I K J, il y en a une dont le cardinal est maximal. On montre facilement que c est une base. Corollaire 19.4 : Tout espace vectoriel de dimension finie possède des bases. Démonstration : On applique le théorème de la base incomplète avec F = et G une famille génératrice finie de E. I.4 Bilan Dans un espace vectoriel de dimension finie, il y a des bases, et elles sont toutes finies, et de même cardinal. Définition 19.2 : Le cardinal commun des bases d un espace vectoriel de dimension finie E est appelé la dimension de E, et noté dim E, (ou dim K E en cas de confusion possible). Exemple : L espace nul est de dimension 0. Il a pour seule et unique base la famille vide. Une droite est un espace vectoriel de dimension 1, un plan un espace de dimension 2. K n est de dimension n puisque sa base canonique a n vecteurs. Et donc toutes ses bases aussi. R n [x], l espace des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n, est de dimension n + 1. C est de dimension 1 ou 2, selon qu il est vu comme R-espace vectoriel ou comme C-espace vectoriel. Remarque 19.1 : Ci-dessous, quelques faits à se rappeler. L espace vectoriel E est de dimension n... Les familles libres de E sont finies, de cardinal n. Toute famille de cardinal > n est liée. Les familles génératrices de E sont infinies, ou finies de cardinal n. Une famille est une base, si et seulement si elle est libre, et de cardinal n. Une famille est une base, si et seulement si elle est génératrice, et de cardinal n.

256 256 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE II Sev d un espace de dimension finie II.1 Dimension d un sev Proposition 19.5 : Soit E un espace de dimension finie n. Soit F un sev de E. Alors F est de dimension finie p. p n. p = n si et seulement si F = E. Démonstration : Soit F une famille libre de F. C est aussi une famille libre de E, donc F possède au plus n éléments. On en déduit les deux premiers points. Si p = n, alors F possède une base B de cardinal n. Mais B est alors une famille libre de E, de cardinal n = dim E. On en déduit que B est aussi une base de E. D où < B >= E = F. Définition 19.3 : Soit E un espace de dimension finie n. On appelle droite de E, tout sev de E de dimension 1, plan de E tout sev de dimension 2, et hyperplan de E tout sev de dimension n 1. II.2 Sev supplémentaires Proposition 19.6 : Soit E un espace de dimension finie n. Soit F un sev de E, de dimension p. Alors, F possède un supplémentaire, et les supplémentaires de F sont tous de dimension n p. Démonstration : La réunion d une base de F et d une base d un supplémentaire de F est une base de E. D où la dimension des supplémentaires. Pour l existence, c est le théorème de la dimension. III Dimensions classiques III.1 Image d un sev par une application linéaire Proposition 19.7 : Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit E un sev de dimension finie de E. Alors, f(e ) est aussi de dimension finie. Précisément : dim f(e ) dim E. Si f est injective, on a égalité. Démonstration : Soit B une base de E. Alors, f(b) engendre f(e ). De plus, si f est injective, f(b) est libre, et est donc une base de f(e ).

257 III. DIMENSIONS CLASSIQUES 257 III.2 Espaces isomorphes Proposition 19.8 : Deux espaces vectoriels de dimension finie sur un même corps K sont isomorphes si et seulement si ils ont la même dimension. Démonstration : Le sens direct résulte du théorème précédent. Dans l autre sens, il n y a qu à envoyer une base de l un sur une base de l autre pour fabriquer un isomorphisme. Corollaire 19.9 : Soit E un K-espace de dimension n. Alors, E est isomorphe à K n. Ce résultat affirme que tous les espaces de même dimension sur un corps K sont «identiques» du point de vue de la structure d espace vectoriel. Cependant, certains espaces possèdent aussi des propriétés non vectorielles. Par exemple, lorsqu on travaille sur les polynômes, on dispose du produit de polynômes, de la notion de degré,..., qui ne sont pas des propriétés vectorielles. III.3 Somme de sous-espaces vectoriels Proposition : de E. On a alors Soit E un K-espace de dimension finie. Soient F 1,..., F n n sev n n dim( F k ) dim F k k=1 k=1 Démonstration : Pour k = 1,..., n, soit B k une base de F k. La réunion B = n k=1 B k est une famille génératrice de n k=1 F k. D où l inégalité demandée. On peut maintenant se demander à quelle condition cette inégalité est une égalité. Facile... Proposition : L inégalité de la proposition précédente est une égalité si et seulement si les F k sont en somme directe. Démonstration : En reprenant les notations de la preuve précédente, supposons que les F k sont en somme directe. La famille B est alors une base de n k=1 F k. On a donc égalité. Inversement, supposons que les F k ne sont pas en somme directe. Il existe un vecteur de n k=1 F k qui s écrit de deux façons différentes comme somme de vecteurs des F k. On en déduit, en écrivant ces vecteurs dans les bases B k, qu il existe une combinaison linéaire non triviale des vecteurs de B. La famille B est génératrice mais pas libre, donc dim( n k=1 F k) < card B = n k=1 dim F k. III.4 Produit d espaces vectoriels Proposition : Soient E et F deux K-espaces de dimension finie. Alors E F est aussi de dimension finie, et dim E F = dim E + dim F. Remarque 19.2 : Généralisation immédiate à un produit de n espaces vectoriels par récurrence sur n.

258 258 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE Démonstration : Soient (e i ) 1 i n une base de E et (f j ) 1 j p une base de F. La famille constituée par les couples (e i, 0), 1 i n et (0, f j ), 1 j p est une base de E F. Remarque 19.3 : Soient F 1,..., F n n sev d un espace E. Supposons que les F k sont en somme directe. Alors, F 1... F n est isomorphe à F 1... F n par l application (x 1,..., x n ) x x n. Ces deux espaces ont bien la même dimension, à savoir dim F dim F n. III.5 Dimension des espaces d applications linéaires Proposition : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n. Alors, L(E, F ) est de dimension finie, égale à p n. Démonstration : Soient B = (e j ) 1 j p une base de E, et B = (e j ) 1 j n une base de F. On définit, pour 1 i n et 1 j p, l application g i,j L(E, F ), par k {1,..., p}, g i,j (e k ) = δ k j e i Soit f L(E, F ). Soit x = j x je j E. On a f(x) = j x jf(e j ). Mais f(e j F, donc est combinaison linéaire des e i. Posons f(e j) = i a ije i. Il vient alors f(x) = i,jj a ijx j e i. Par ailleurs, g ij (x) = k x kg ij (e k ) = k x kδ k j e i = x je i. Ainsi, f(x) = i,j a ijg ij (x) d où f = i,j a ijg ij. La famille des g ij est donc génératrice de L(E, F ). Supposons maintenant que i,j a ijg ij = 0. On a donc pour tout k 0 = i,j a ijg ij (e k ) = i,j a ijδ k j e i = i a ike i. Les e i étant libres, il s ensuit qu on a pour tous i, k a ik = 0. La famille des g ij est donc libre, c est finalement une base de L(E, F ). Un certain nombre de cas particuliers : si E est de dimension n, alors dim L(E) = n 2. dim E = dim E = n. Exercice : On prend E = F et n = p. Avec les notations du théorème, calculer g i,j g k,l pour 1 i, j, k, l n. IV Notion de rang IV.1 Rang d une famille de vecteurs Définition 19.4 : Soit F une famille de vecteurs dans un espace vectoriel E. On appelle rang de F l entier rgf = dim < F > Ceci n a de sens que si l espace engendré est de dimension finie. Pour une famille finie, le rang de la famille de vecteurs est inférieur ou égal à son cardinal. Il y a égalité si et seulement si la famille est libre.

259 IV. NOTION DE RANG 259 IV.2 Rang d une application linéaire Définition 19.5 : Soit f L(E, F ). On appelle rang de f la quantité rgf = dim Im(f) Bien entendu, on a des liens entre rang d une famille et rang d une application linéaire. Par exemple, si B est une base de E, alors rgf = rgf(b) IV.3 Le théorème du rang Proposition : Soient E et F deux espaces de dimension finie sur un même corps. Soit f L(E, F ). Alors Pour tout supplémentaire G de ker f, l application G Imf; x f(x) est un isomorphisme de G sur Im f. dim ker f + dim Im f = dim E. Démonstration : Soit g : G Im f définie par g(x) = f(x). g est évidemment linéaire. Soit x ker g. Alors, f(x) = 0 et x G, c est à dire x ker f G. Donc x = 0 puisque ces sev sont en somme directe. Soit maintenant y Im f. Il existe x E tel que y = f(x). Écrivons x = x + x où x ker f et x G. On a y = f(x) = f(x ) + f(x ) = f(x ) = g(x ). g est donc surjective, c est un isomorphisme. Conséquence, dim Im f = dim G = dim E dim ker f. IV.4 Quelques conséquences Proposition : Soit f : E F une application linéaire entre deux espaces de même dimension, finie. Alors, f est injective f est surjective f est bijective. Démonstration : C est immédiat avec le théorème du rang. Proposition : Soient F et G deux sev d un espace E. Alors dim(f + G) = dim F + dim G dim F G Démonstration : Considérons f : F G F + G définie par f(x, y) = x + y. L application f est surjective, et son noyau est {(x, x), x F G} : cet ensemble est clairement un sev de F G isomorphe à F G par l application x (x, x). Il ne reste qu à appliquer le théorème du rang. Exercice : Refaire la démo en partant d une base de F G et en complétant avec le théorème de la base incomplète. Exercice : Soient f L(E, F ) et g L(F, G). Montrer

260 260 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE rg(f) min(dim E, dim F ). rg(g f) min(rg(f), rg(g)) Si g est injective, rg(g f) = rg(f). Si f est surjective, rg(g f) = rg(g). IV.5 Calcul pratique d un rang Données : E espace de dimension p. B = (e i ) 1 i p une base de E. F = (u j ) 1 j n une famille de n vecteurs de E dont on connaît les composantes dans la base B : u j = p i=1 a ije i. Proposition : On ne change pas l espace engendré par F lorsque : On échange deux vecteurs de F. On multiplie un vecteur de F par un scalaire non nul. On ajoute à l un des vecteurs de F une combinaison linéaire des autres vecteurs. Ce résultat permet pratiquement de calculer le rang d une famille de vecteurs. On va prendre deux exemples. Exemple : Dans R 3, u 1 = (1, 2, 5), u 2 = (2, 1, 4) et u 3 = (1, 1, 1). On écrit les vecteurs en colonnes avec u 1 u 2 u (1) (3) (3) (1) et (2) (2) 2(1) 2. (3) (3) (2) 3. (2) (2)/3 On a donc une famille de rang 2. (2) (3) v 1 v 2 v Exemple : Dans R 5, u 1 = (2, 3, 3, 4, 2), u 2 = (3, 6, 2, 5, 9), u 3 = (7, 18, 2, 7, 7) et u 4 = (2, 4, 2, 3, 1). u 1 u 2 u 3 u (1) (2) (3) v 1 v 2 v 3 v

261 V. DUAL D UN ESPACE VECTORIEL 261 Le rang de la famille est donc 3. Exercice : Déterminer noyau et image de f L(R 3 ) définie par f(e 1 ) = e 1 + 2e 2 + e 3, f(e 2 ) = 2e 1 + 3e 2 + 3e 3, f(e 3 ) = 4e 1 + e 2 e 3. V Dual d un espace vectoriel V.1 Rappels Soit E un K-espace vectoriel. Rappelons que le dual de E est l espace E = L(E, K) des formes linéaires sur E. Lorsque E est de dimension finie, E et E ont la même dimension (et sont donc isomorphes). Nous allons dans cette sections étudier quelques aspects de ce que l on appelle la dualité. V.2 Formes coordonnées, base duale Définition 19.6 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E on appelle formes linéaires coordonnées (relatives à la base B) les formes linéaires e i, i = 1,..., n définies par i, j {1,..., n}, e i (e j ) = δ ij Remarque 19.4 : Soit x = n j=1 x je j un vecteur de E. On a e i (x) = n j=1 x je i (e j) = n j=1 x jδ ij = x i. Ainsi, la i-ème forme coordonnée renvoie tout simplement la ième coordonnée de x dans la base B. Notation : On note B la famille des formes coordonnées dans la base B. Proposition : la base B. La famille B est une base de E. On l appelle la base duale de Démonstration : Comme cette famille est de cardinal n, il suffit de montrer qu elle est libre. Supposons donc n i=1 λ ie i = 0, où les λ i sont des scalaires. On applique au vecteur e j : n i=1 λ ie i (e j) = λ j = 0. La famille B est bien libre. Exemple : Soient x 0, x 1,..., x n n+1 scalaires distincts. Soit B = (L j ) 0 j n la famille des polynômes élémentaires de Lagrange associés aux x k (voir le chapitre sur les polynômes). La famille B est une famille de polynômes de K n [X] de cardinal n + 1. Montrons qu elle est libre. Supposons que n j=0 λ jl j = 0. En évaluant en x j, on obtient λ j = 0. La famille B est donc une base de K n [X]. Quelle est sa base duale? La réponse est claire. On doit avoir i, j, e i (L j) = 0, et on sait que i, j, L j (x i ) = 0. Par linéarité, on a pour tout P K[X], e i (P ) = P (x i).

262 262 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE V.3 Hyperplans Définition 19.7 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit H un sev de E. On dit que H est un hyperplan de E lorsque H possède un supplémentaire qui est une droite. Remarque 19.5 : En dimension finie n on retrouve la notion usuelle : un hyperplan de E est un sev de E de dimension n 1. Proposition : Soit E un K-espace vectoriel. Soit H un sev de E. H est un hyperplan de E si et seulement si a E \ H, H < a >= E Démonstration : Le sens réciproque est évident, il suffit même qu il existe un a. Inversement, soit H un hyperplan de E. Il existe a E \ H tel que H < a >= E. Soit b E \ H. On a b = h + λa, où h H et λ K. Le scalaire λ ne peut pas être nul car b H. On en déduit que a = 1 λ (b h). Soit maintenant x E. on a x = h + µa = h + νb, donc E = H+ < b >. Enfin, H < b > est clairement réduit à 0, donc E = H < b >. V.4 Noyau d une forme linéaire non nulle Proposition : est un hyperplan de E. Soit E un K-espace vectoriel. Soit ϕ E \ {0}. Le noyau de ϕ Démonstration : Soit H = ker ϕ. Soit a E tel que ϕ(a) 0. Il en existe puisque ϕ n est pas nulle. Soit x E. On a x = h + ϕ(x) ϕ(x) ϕ(a) a où h = x ϕ(a) a. On a facilement ϕ(h) = 0, donc x H+ < a >. Donc E = H+ < a >. La somme est clairement directe. Proposition : Soit E un K-espace vectoriel. Soit H un hyperplan de E. Il existe une forme linéaire ϕ non nulle telle que H = ker ϕ. De plus, étant données deux formes liéaires non nulles sur E, ϕ et ψ, on a ker ϕ = ker ψ si et seulement si il existe µ K tel que ψ = µϕ. Démonstration : Soit a un vecteur qui n est pas dans H, de sorte que H < a >= E. La forme linéaire définie par x H, ϕ(x) = 0 et ϕ(a) = 1 a bien pour noyau H. Deux formes linéaires non nulles ont clairement même noyau. Soient enfin deux formes linéaires non nulles ϕ et ψ ayant même noyau H. Soit a H. Soit µ = ψ(a) ϕ(a). On a ψ(a) = µϕ(a) donc, par linéarité, ψ et µϕ coïncident sur < a >. Elles coïncident aussi sur H. Donc, par linéarité, elles sont égales sur E. V.5 Équations d un hyperplan Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit H un hyperplan de E. L hyperplan H est le noyau d une forme linéaire non nulle ϕ. Il est plus exactement le noyau commun des formes linéaires non nulles multiples de φ. Donnons nous une base B = (e 1,..., e n )

263 V. DUAL D UN ESPACE VECTORIEL 263 de E. Posons ϕ(e i ) = a i pour i = 1,..., n. Le n-uplet (a 1,..., a n ) est un n-uplet non nul de scalaires. Pour tout x = n i=1 x ie i E, on a par linéarité ϕ(x) = n i=1 a ix i. On a alors x H si et seulement si φ(x) = 0, c est à dire n i=1 a ix i = 0. Définition 19.8 : La «formule» (H) n i=1 a ix i = 0 est appelée une équation cartésienne de l hyperplan H dans la base B. Proposition : Tout hyperplan possède une équation cartésienne. Toute équation cartésienne est l équation d un hyperplan. Deux équations cartésiennes sont des équations d un même hyperplan si et seulement si leurs coefficients sont proportionnels. Démonstration : Ce n est qu une reformulation de résultats déjà démontrés : un hyperplan est le noyau d une forme linéaire non nulle. Exemple : Soit E = R 2, muni de la base canonique. Les hyperplans de E sont les droites vectorielles. Une équation d une droite vectorielle (dans la base canonique) est donc (D) ax + by = 0 où le couple (a, b) est différent du couple (0, 0). Deux équations représentent une même droite si et seulement si leurs coefficients sont proportionnels. remarquons qu un vecteur directeur de D est n importe quel vecteur non nul de D, par exemple le vecteur ( b, a). Soit E = R 3, muni de la base canonique. Les hyperplans de E sont les plans vectoriels. Une équation d un plan vectoriel (dans la base canonique) est donc (P ) ax + by + cz = 0 où le triplet (a, b, c) est différent du triplet (0, 0, 0). Deux équations représentent un même plan si et seulement si leurs coefficients sont proportionnels. etc. V.6 Intersections d hyperplans Soit E un K-espace de dimension finie n. Soit m N, m n. Toute intersection de m hyperplans de E est évidemment un sev de E. Peut-on affirmer quelque chose sur sa dimension? Peut-on énoncer une réciproque? Proposition : Toute intersection de m hyperplans de E est un sev de E de dimension supérieure ou égale à n m. Tout sev de E de dimension n m est l intersection de m hyperplans de E. Démonstration : Pour i = 1,..., m, soit H i = ker ϕ i où ϕ i est une forme linéaire non nulle sur E. Soit F = H 1... H m. Considérons l application linéaire f : E K m définie par f(x) = (ϕ 1 (x),..., ϕ m (x)). On a justement F = ker f. Appliquons le théorème du rang : dim E = n = dim F + r où r = rgf. Mais r dim K m = m. Donc, dim F = n r n m. Pour démontrer le second point, soit F un sev de E de dimension n m. Soit B 1 = (e 1,..., e n m ) une base de F. On complète cette base de F en une base

264 264 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE B = (e 1,..., e n m, e 1,..., e m) de E. Soit maintenant (e 1,..., e m) la base canonique (par exemple) de K m. Soit f L(E, K m définie par f(e 1 ) =... = f(e n m ) = 0, f(e i ) = e i pour i = 1,..., m. L application f envoie une base sur une famille génératrice, elle est donc surjective. On vérifie aussi aisément que ker f = F. Par ailleurs on a pour tout x E, f(x) = (ϕ 1 (x),..., ϕ m (x)) où les ϕ k sont des formes linéaires, forcément non nulles car f est sur jective. Et on a précisément F = ker ϕ 1... ker ϕ m. Les sev F est donc l intersection de m hyperplans de E.

265 VI. EXERCICES 265 VI Exercices 1. On se place dans E = R 3. On note (e 1, e 2, e 3 ) sa base canonique. Soit f L(E) définie par f(e 1 ) = e 2, f(e 2 ) = e 3 et f(e 3 ) = e 1. (a) Prouver que f GL(E). (b) Trouver toutes les droites de E stables par f. (c) Soit P un plan de E d équation ax + by + cz = 0. Montrer que f(p ) est un plan, et déterminer son équation. En déduire tous les plans de E stables par f. 2. Soit (x 1,..., x n ) une famille libre dans un e.v. E. Soit y = λ 1 x λ n x n une combinaison linéaire des x i. Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les λ i pour que la famille (x 1 y,..., x n y) soit libre. 3. Soit f L(R 2 ) vérifiant f 0 et f f = 0. (a) Prouver que ker f = Im f. (b) Prouver l existence d une base (e 1, e 2 ) de R 2 telle que f(e 1 ) = e 2 et f(e 2 ) = Soit f L(R 2 ) vérifiant f f = id R 2. (a) Trouver ker f et Im f. (b) Prouver l existence d une base (e 1, e 2 ) de R 2 telle que f(e 1 ) = e 2 et f(e 2 ) = e 1. (c) Soit x R 2 un vecteur non nul. Peut-il exister un réel λ tel que f(x) = λx? 5. Soient F, G, H trois sev d un espace E. On suppose que F G = F H, F + G = F + H et G H. Montrer que G = H. 6. Dans R 5, on se donne x 1 = (1, 2, 4, 3, 1), x 2 = (2, 5, 3, 4, 8), x 3 = (6, 17, 7, 10, 22) et x 4 = (1, 3, 3, 2, 0). (a) Quel est le rang de la famille (x 1, x 2, x 3, x 4 )? (b) Trouver α et β tels que x = (2, 4, 6, α, β) appartienne à l espace engendré par les x i, i = Soit F = (P k ) k 0 une famille de polynômes de K[X] telle que k N, d o P k = k. Montrer que la famille F est une base de K[X]. 8. Soit n 1. Soit ϕ : R n [X] R n 1 [X] définie par ϕ(p ) = P (X + 1) P (X). Montrer que ϕ est linéaire. Déterminer son noyau et son image. 9. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, f L(E, F ) et g L(F, G). Montrer que rg (g f) = rg f dim(im f ker g) et rg (g f) = rg g codim(im f +ker g) (la codimension d un s.e.v. E 1 de l espace E est égale à dime dime 1 ). 10. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soient F et G deux s.e.v. de E. Montrer qu il existe f L(E) telle que ker f = F et Im f = G si et seulement si dim F + dim G = n.

266 266 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE 11. Soit E un K-espace vectoriel. Soit f E. On appelle valeur propre de f tout scalaire λ vérifiant : x E \ {0}, f(x) = λx. Un tel vecteur x est appelé vecteur propre pour f associé à la valeur propre λ. (a) Quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres d une homothétie? D un projecteur? D une symétrie? De l application φ : C (R, C) C (R, C); f f? (b) Montrer que λ K est valeur propre de f si et seulement si f λid E n est pas injective. Étant donnée une valeur propre λ de l endomorphisme f, on appelle sous-espace propre associé à λ l ensemble E λ = {x E, f(x) = λx}. Cet ensemble contient donc tous les vecteurs propres associés à la valeur propre λ, plus le vecteur nul. (c) Montrer que E λ est un sous-espace vectoriel de E. (d) Soient λ 1 et λ 2 deux valeurs propres distinctes de f. Montrer que E λ1 et E λ2 sont en somme directe. (e) Plus généralement, soient λ 1,...,λ p p valeurs propres distinctes de f, et F = + p i=1 E λ i. Prouver que tout vecteur x de F s écrit de façon unique x = p i=1 x i où i 1..p, x i E λi. On procèdera par récurrence sur p. 12. Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels de dimension finie, f L(E, F ) et g L(F, G). Montrer : (a) rg f min(dim E, dim F ) (b) rg (g f) min(rg f, rg g) (c) Si g est injective, rg (g f) = rg f (d) Si f est surjective, rg (g f) = rg g 13. Soit E un K espace vectoriel de dimension n. Soit F = (u 1,..., u n ) une famille de n vecteurs de E de rang s. On suppose que la famille F = (u 1,..., u r ) (r < n) est de rang s. Montrer que s r + s n. 14. Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels de dimension finie, f L(E, F ) et g L(F, G). Montrer que dim ker(g f) dim ker g + dim ker f. On pourra considérer la restriction de f à ker(g f). 15. Soit E un K espace vectoriel de dimension n. Soit f L(E) telle que f n 1 0 et f n = 0. Montrer qu il existe e E tel que la famille B = (e, f(e), f 2 (e),..., f n 1 (e)) soit une base de E. Quelle est la matrice de f dans la base B? 16. Soit E un K espace vectoriel de dimension 3. Soit f L(E) telle que f 2 0 et f 3 = 0. Trouver les endomorphismes g de E tels que f g = g f. 17. Soit E un R-espace vectoriel de dimension n. Soit f L(E) telle que f 2 = id E. (a) Soit e 1 E \ {0}. Prouver que (e 1, f(e 1 )) est libre. (b) On suppose que dim E > 2. Soit e 2 < e1, f(e 1 ) >. Montrer que (e 1, f(e 1 ), e 2, f(e 2 )) est libre.

267 VI. EXERCICES 267 (c) Soit p N. On suppose trouvés e 1,..., e p E tels que (e 1, f(e 1 ),..., e p, f(e p )) soit libre. Montrer que si dim E > 2p, alors il existe un vecteur e p+1 E tel que (e 1, f(e 1 ),..., e p+1, f(e p+1 )) soit libre. (d) Déduire de ce qui précède que : i. La dimension de E est paire : q N, n = 2q. ii. Il existe une base de E de la forme B = (e 1, f(e 1 ),..., e q, f(e q )). Quelle est la matrice de f dans la base B? 18. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soient F et G deux sev de E. Montrer qu il existe f L(E) telle que ker f = F et Im f = G si et seulement si dim F + dim G = n. 19. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu il existe f L(E) telle que ker f = Im f si et seulement si E est de dimension paire. 20. Soient H et K deux sev d un ev E de dimension finie. Montrer que H et K ont un supplémentaire commun si et seulement si dim H = dim K. On procèdera par récurrence sur p = dim H. 21. On se place dans E = R 4. Soit G = {(x, y, z, t) R 4, x + y z + 2t = 0}. (a) Montrer que G est un sev de E et donner une base de G. (b) Soit F =< (1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0) >. Quelle est la dimension de F? Déterminer F G. 22. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit H un hyperplan de E. Montrer que < E \ H >= E. 23. Soit B = (e 1, e 2, e 3 ) une base de R 3. Soit f L(R 3 ) définie par f(e 1 ) = 2e 1 +3e 2 +e 3, f(e 2 ) = 4e 2 2e 3, f(e 3 ) = 4e e 2 + 5e 3. (a) Déterminer le noyau, l image et le rang de f. (b) Déterminer les réels λ tel que f λid soit non bijective. 24. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soient F et G deux hyperplans de E. Quelle est la dimension de F + G? F G? 25. Un endomorphisme f d un K-espace vectoriel E est dit nilpotent lorsqu il existe p N tel que f p = 0. (a) Soit n 1. On suppose que pour tout K-espace vectoriel E de dimension n, pour tout f L(E) nilpotent, on a f n = 0. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n + 1 et f un endomorphisme nilpotent de E. En considérant l endomorphisme induit par f sur Im f, montrer que f n+1 = 0. (b) Conclusion? 26. Déterminer noyau et image de l endomorphisme f de R 3 défini par f(x, y, z) = (2x y + z, x 3y z, 3x 4y)

268 268 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE 27. Déterminer noyau et image de l endomorphisme f de R 3 défini par f(x, y, z) = (2x y + z, 4x 2y + 2z, 2x + y z) 28. Soit f L(R 3 ) telle que f 0, f 2 = 0. Montrer qu il existe une base B = (e 1, e 2, e 3 ) de R 3 telle que f(e 1 ) = e 2, f(e 2 ) = f(e 3 ) = Soit f L(R 3 ) telle que f 2 0, f 3 = 0. Montrer qu il existe une base B = (e 1, e 2, e 3 ) de R 3 telle que f(e 1 ) = e 2, f(e 2 ) = e 3, f(e 3 ) = 0.

269 Chapitre 20 Matrices 269

270 270 CHAPITRE 20. MATRICES I Notion de matrice I.1 C est quoi? Définition 20.1 : Soit E un ensemble. Soient p, q deux entiers non nuls. On appelle matrice à p lignes et q colonnes à coefficients dans E toute application M : [1, p] [1, q] E. Une matrice est donc une suite finie à deux indices. On représente la matrice M = (M ij ) 1 i p,1 j q par un tableau à p lignes et q colonnes. Ce tableau est noté indifféremment avec des [] ou des () mais pas avec des (notation qui sera réservée aux déterminants). Notation : M p,q (E) désigne l ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients dans E. Lorsque p = q, on note plus simplement M p (E) l ensemble des matrices carrées de taille p p à coefficients dans E. Remarque 20.1 : On généralise, et on appelle encore matrice à p lignes et q colonnes toute application M : I J E lorsque I et J sont deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et q. I.2 Structure d espace vectoriel sur les ensembles de matrices Dorénavant, on suppose que E est un corps commutatif K. On définit les deux opérations suivantes : Addition : (A + B) ij = A ij + B ij Multiplication par un scalaire :(λ.a) ij = λa ij Proposition 20.1 : (M p,q (K), +,.) est un K-espace vectoriel de dimension p q. Démonstration : La structure d espace vectoriel est une simple vérification. Le neutre pour l addition est la matrice nulle, qui a tous ses coefficients égaux à 0. L opposé d une matrice est la matrice ayant tous ses coefficients opposés à la matrice de départ. Une base de M p,q (K) est la famille (E ij ) 1 i p,1 j q où, pour tout i et pour tout j, E ij est la matrice ayant tous ses coefficients nuls, sauf celui situé à la ligne i, colonne j, qui vaut 1. Autrement dit, (E ij ) kl = δi kδl j où δ est le symbole de Kronecker. II Vecteurs, applications linéaires et matrices

271 II. VECTEURS, APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES 271 II.1 Matrice d un vecteur, d une famille de vecteurs Soit E un K-espace vectoriel de dimension p et B = (e 1,, e p ) une base de E. Soit x E. On sait que le vecteur x s écrit de façon unique x = p k=1 x ie i où les x i K sont les coordonnées de x dans la base B. Définition 20.2 : On appelle matrice de x dans la base B la matrice colonne mat B (x) = x 1. x p. Proposition 20.2 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension p muni d une base B. L application E M p,1 (K) associant à tout x de E sa matrice dans la base B est un isomorphisme d espaces vectoriels. Démonstration : Il est immédiat de vérifier que pour tous vecteurs x, y E et tout λ K, on a mat B (x + y) = mat B (x) + mat B (y) et mat B (λx) = λmat B (x). De plus, toute matrice de M p,1 (K) est la matrice dans la base B d un unique vecteur de E. Pour toutes les opérations sur les vecteurs, on peut donc travailler indifféremment sur les vecteurs ou leurs matrices, une fois que l on s est fixé une base de E. Définition 20.3 : Plus généralement, étant donnée une famille F = (x 1,, x q ) de q vecteurs de E, on définit mat B (F) comme la matrice à p lignes et q colonnes dont la jème colonne (j = 1..q) est formée des composantes du vecteur x j dans la base B. II.2 Matrice d une application linéaire Définition 20.4 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives q et p et munis de bases B = (e 1,, e q ) et B = (e 1,, e p). Soit f L(E, F ). On appelle matrice de f dans les bases B et B la matrice mat B,B (f) = mat B (f(b)) C est donc la matrice à p lignes et q colonnes dont la jème colonne est formée des composantes du jème vecteur de B dans la base B. Notation : Lorsque F = E et B = B on note de façon plus légère mat B (f). Exemple : Soit f = id E où dim E = n. Alors, mat B (f) = I n où I n est la matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et les autres coefficients sont nuls. On l appelle la matrice identité d ordre n. Exemple : Soit f : R 3 R 3 définie par f(x, y, z) = (x+4y+7z, 2x+5y+8z, 3x+6y+9z) La matrice de f dans la base canonique de R 3 est

272 272 CHAPITRE 20. MATRICES Théorème 20.3 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives q et p, munis de bases respectives B et B. L application L(E, F ) M p,q (K) qui à chaque application associe sa matrice dans les bases B et B est un isomorphisme d espaces vectoriels. Démonstration : La linéarité est une simple vérification. L isomorphisme résulte du fait qu une application linéaire est caractérisée par la donnée des images des vecteurs d une base. Remarque 20.2 : A retenir : mat B,B (f+g) = mat B,B (f)+mat B,B (g) et mat B,B (λ.f) = λ.mat B,B (f). Remarque 20.3 : Prenons E = K q et F = K p, munis de leurs bases canoniques respectives B et B. Soit A M pq (K). Il existe alors une unique f L(K q, K p ) telle que mat B,B f = A. L application f est appelée l application linéaire canoniquement associée à la matrice A. On se permettra parfois d appliquer le vocabulaire relatif à f à la matrice A. Par exemple, on parlera du noyau de A, comprendre ker f, de l image de A, du rang de A, etc. III Produit matriciel III.1 Analyse du problème On se donne trois espaces vectoriels E, F, G, de dimensions respectives r, q et p, munis de bases B, B et B. Soient f L(E, F ) et f L(F, G). Notons B M q,r (K) et A M p,q (K) les matrices respectives de f et g (dans les bases données). Avec des notations évidentes, on a alors g f(e j ) = g( q k=1 B kje k ) = q k=1 B kjg(e k ) = q k=1 B kj p i=1 A ike i = p i=1 ( q k=1 A ikb kj )e i On constate donc que la matrice de g f dans les bases B et B est la matrice C M p,r (K) de coefficients C ij = q k=1 A ikb kj. III.2 Produit de deux matrices Définition 20.5 : Soient A M p,q (K) et B M q,r (K). On appelle produit des matrices A et B la matrice C M p,r (K) dont les coefficients valent q C ij = A ik B kj k=1

273 III. PRODUIT MATRICIEL 273 Exemple : Calculer le produit de A = ( ) par B = Exemple : On rappelle que la base canonique de M pq (K) est (E ij ) 1 i p,1 j q, où (E ij ) kl = δ ik δ jl. Calculons le produit E ij E kl. Il faut pour cela que les tailles des matrices soient compatibles, par exemple E ij M pq (K) et E kl M qr (K). On a alors pour tous 1 m p et 1 n r, (E ij E kl ) mn = q s=1 (E ij) ms (E kl ) sn = q s=1 δ imδ js δ ks δ ln = δ im δ q ln s=1 δ jsδ ks = δ im δ ln δ jk = (δ jk E il ) mn. Ceci est vrai pour tous m, n, donc E ij E kl = δ jk E il. Proposition 20.4 : On se donne trois espaces vectoriels E, F, G, de dimensions respectives r, q et p, munis de bases B, B et B. Soient f L(E, F ) et f L(F, G). Alors mat B,B (g f) = mat B,B (g).mat B,B (f) Démonstration : C est une conséquence directe de la définition du produit matriciel. III.3 Associativité du produit matriciel Théorème 20.5 : Soient A M p,q (K), B M q,r (K) et C M r,s (K). Alors, (AB)C = A(BC). Démonstration : Soient E, F, G, H 4 espaces vectoriels de dimensions respectives s, r, q, p munis de bases B, B, B, B. Soient f L(E, F ), g L(F, G) et h L(G, H) telles que A = mat B,B h, B = mat B,B g et C = mat B,B f. On a (AB)C = (mat B,B h mat B,B g) mat B,B f = mat B,B (h g) mat B,B f = mat B,B ((h g) f). De même, A(BC) = mat B,B (h (g f)). D où le résultat puisque la composition des applications est associative. III.4 L algèbre des matrices carrées Proposition 20.6 : Soit n un entier non nul. M n (K) est une K-algèbre, non commutative si n 1. De plus, si E est un K-espace vectoriel de dimension n, et B est une base de E, l application E M n (K) qui à tout endomorphisme de E associe sa matrice dans la base B est un isomorphisme d algèbres. Démonstration : Nous avons déjà presque tout vérifié. Le neutre pour la multiplication des matrices est la matrice identité I n. La distributivité de la multiplication matricielle par rapport à l addition peut se montrer comme l associativité de la multiplication, en interprétant en termes d applications linéaires.

274 274 CHAPITRE 20. MATRICES Remarque ( 20.4 ) : La multiplication ( ) des matrices ( n est ) pas commutative. ( Par) exemple, soient A = et B =. On a AB = alors que BA = Exercice : En utilisant les matrices de la remarque ci-dessus, fabriquer deux matrices n n A et B telles que AB BA. III.5 Matrices inversibles On note GL n (K) l ensemble des matrices carrées inversibles de taille n n. C est un groupe, non commutatif si n 2. L isomorphisme du paragraphe précédent montre que ce groupe estisomorphe à GL(E) pour tout e.v. E de dimension n. De plus, les endomorphismes bijectifs et les matrices inversibles se correspondent. ( ) a c Exemple : A = est inversible si et seulement si ad bc 0. b d Proposition 20.7 : Soit A M n (K). A est inversible si et seulement si elle est inversible à gauche, si et seulement si elle est inversible à droite. Démonstration : C est la conséquence immédiate du fait que si E est un K-ev de dimension finie, f L(E) est bijective si et seulement si elle est injective si et seulement si elle est surjective. Remarque 20.5 : Une matrice qui n est pas carrée ne peut pas être inversible (car si deux ev sont de même dimension, alors ils sont isomorphes). Elle peut en revanche être inversible à gauche ou à droite. III.6 Image d un vecteur par une application linéaire Proposition 20.8 : Soit f L(E, F ), les deux espaces E et F étant munis de bases respectives B et B. Soit x E. Alors mat B (f(x)) = mat B,B (f).mat B (x) Démonstration : Posons B = (e 1,..., e q ), B = (e 1,..., e p), A = mat B,B f, X = mat B x et X = mat B (f(x)). On a f(x) = f( x j e j ) = i ( j A ijx j )e i. Ainsi, X i1 = j A ijx j = j A ijx j1. Effectivement, X = AX. III.7 matrices triangulaires Définition 20.6 : Soit A M n (K). On dit que la matrice A est triangulaire supérieure lorsque i > j, A ij = 0. DE même, on dit que A est triangulaire inférieure lorsque i < j, A ij = 0.

275 III. PRODUIT MATRICIEL 275 Proposition 20.9 : L ensemble des matrices n n triangulaires supérieures (resp : inférieures) est une K-algèbre. Démonstration : On va évidemment montrer que c est une sous-algèbre de M n (K). La matrice identité est bien triangulaire, et la stabilité pour la somme et le produit par un scalaire sont évidentes. Reste à montrer la stabilité pour la multiplication matricielle. Soient donc A, B triangulaires supérieures, et C = AB. Soient i > j. On a C ij = k A ikb kj. Si k > j, alors B kj = 0. Si k j, on a i > j k, donc i > k et A ik = 0. Donc, pour tous i > j, C ij = 0. C est bien triangulaire supérieure. Proposition : Soit M une matrice triangulaire supérieure. M est inversible si et seulement si les coefficients diagonaux de M son non nuls. L inverse de M est alors aussi une matrice triangulaire supérieure. Démonstration : Soit E un K-ev de dimension n, B = (e 1,..., e n ) une base de E et f L(E) dont la matrice dans la base B est M. Pour k = 1,..., n, soit E k =< e 1,..., e k >. Posons aussi E 0 = {0}. Remarquons que M est triangulaire supérieure si et seulement si pour tout k 1 f(e k ) E k. Supposons que l un des coefficients diagonaux de M, M kk, soir nul. On a alors f(e k ) E k 1. Mais alors, f ne conserve pas les dimensions, donc n est pas injective, et M n est pas inversible. Supposons maintenant que les coefficients diagonaux de M sont tous non nuls. On a f(e 1 ) = E 1. Soit 1 k < n tel que f(e k ) = E k. On a alors f(e k+1 ) = f(e k + < e k+1 >) = f(e k )+ < f(e k+1 ) >= E k + < f(e k+1 >. Mais f(e k+1 ) = M (k+1)(k+1) e k+1 + u où u E k. On en déduit que e k+1 = 1/M (k+1)(k+1) (f(e k+1 ) u) f(e k+1 ). Ainsi, f(e k+1 ) E k+1, mais aussi contient E k et e k+1. Donc, f(e k+1 ) = E k+1. Pour k = n, on obtient f5e) = E : f est surjective, donc bijective, et M est inversible. Pour terminer, sachant que M est inversible, on a pour tout k f(e k ) = E k (conservation des dimensions). On a pplique f 1 et on obtient pour tout k f 1 (E k ) = E k. Donc, la matrice M 1 est triangulaire supérieure. III.8 Blocs Soit M ( M pq (K). ) Une décomposition de M en blocs est une écritire de M sous la A C forme M = où A, B, C, D sont elles-mêmes des matrices de tailles compatibles. B D Par exemple, A et C ont le même nombre de lignes, etc. On peut bien entendu décomposer en un plus grand nombre de blocs. Nous admettrons que les additions et les produits de matrices peuvent être effectués par blocs, à conditions bien entendu que les tailles des blocs des matrices sur lesquelles on opère soient compatibles ( ) Exemple : Soit M = On prend A =, B = ( 0 0 ) ( ) 0, C = et ( A D = (5). De sorte que M 2 = 2 ) ( ) + CB BA + DB A 2 0 AC + CD BC + D 2 = 0 D 2. Ainsi, il suffit de calculer le carré d une matrice 2 2 pour obtenir le carré de M. Les opérations par blocs sont clairement conseilllées lorsqu il y a des blocs nuls dans les matrices mises en jeu.

276 276 CHAPITRE 20. MATRICES IV Transposition IV.1 C est quoi? Définition 20.7 : Soit A M p,q (K). On appelle transposée de A la matrice B M q,p (K) définie pour 1 i q et 1 j p par b ij = a ji. Notation : On note t A transposée de la matrice A. IV.2 Propriétés Proposition : t (A + B) = t A + t B t (λ.a) = λ. t A tt A = A t (A.B) = t B. t A Si A est inversible, t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ). Démonstration : Par exemple, ( t (AB)) ij = (AB) ji = k A jkb ki = k (t B) ik ( t A) kj = ( t B t A) ij. Exercice : Démontrer les autres points. Remarque 20.6 : L application A t A est un isomorphisme d espaces vectoriels entre M p,q (K) et M q,p (K). Exercice : Calculer t X.X et X. t X lorsque X est une matrice colonne. IV.3 Matrices symétriques, antisymétriques Définition 20.8 : Une matrice carrée A est dite symétrique lorsque t A = A antisymétrique lorsque t A = A. Proposition : Soit K un corps dans lequel 0 2. Toute matrice de M n (K) s écrit de façon unique comme somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique. Les ensembles S n (K) = {A M n (K), t A = A} et A n (K) = {A M n (K), t A = A} sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de M n (K) de dimensions respectives n(n+1) 2 et n(n 1) 2.

277 V. CHANGEMENTS DE BASE 277 Démonstration : L applicationφm n (K) M n (K) définie par φ(a) = t A est linéaire et vérifie φ 2 = id. C est donc une symétrie de M n (K). Conséquence, les vecteurs invariants et les vecteurs changés en leur opposé sont deux sev de M n (K) supplémentaires. On vérifie facilement que la décomposition M = S + A d une matrice M en somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique s obtient avec S = 1 2 (M +t M) et A = 1 2 (M t M). Exemple : Soit M = A = On a M = S + A avec S = et V Changements de base V.1 Matrices de passage Définition 20.9 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient B et B deux bases de E. On appelle matrice de passage de B à B la matrice P B B = mat B (B ) = mat B,B(id E ) Proposition : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient B et B deux bases de E. La matrice P B B est inversible et son inverse est P B B. Démonstration : On a I = mat B,B id = mat B,B (id id) = mat B,Bid mat B,B id = PB B P B B. De même, P B B P B B = I. V.2 Changement de base pour un vecteur Proposition : Soit E un K-espace vectoriel muni de deux bases B et B. Soit x E. Posons P = PB B, X = mat B(x) et X = mat B (x). Alors X = P X. Démonstration : On écrit que x = id E (x), où id E part de E muni de la base B et arrive dans E muni de la base B. V.3 Changement de bases pour une application linéaire Proposition : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soient B 1 et B 1 deux bases de E, et B 2 et B 2 deux bases de F. Soit f L(E, F ). Notons M = mat B 1,B 2 (f) et M = mat B 1,B 2 (f). Notons également Alors P 1 = P B 1 B 1 et P 2 = P B 2 B 2. Alors M = P2 1 M.P 1.

278 278 CHAPITRE 20. MATRICES Démonstration : On écrit f = id F f id E avec id E : E, B 1 E, B 1, f : E, B 1 F, B 2 et id F : F, B 2 F, B 2. Remarque 20.7 : Un cas particulier très important est celui où E = F, B 1 = B 2 = B, et B 1 = B 2 = B. On a alors la formule plus simple M = P 1 MP où P = P B B. VI Trace VI.1 Trace d une matrice carrée Définition : Soit A = (a ij ) 1 i n,1 j n une matrice carrée n n. On appelle trace de A le scalaire T ra = n k=1 a kk. VI.2 Propriétés Proposition : scalaire. T r(a + B) = T ra + T rb T r(λ.a) = λ.t ra T r( t A) = T ra T r(a.b) = T r(b.a) Soient A et B deux matrices carrées de même taille, et λ un Démonstration : Montrons la dernière égalité. On a T r(ab) = i (AB) ii = i,k a ikb ki. Et c est pareil pour T r(ba). VI.3 Trace d un endomorphisme Proposition : Soit f un endomorphisme d un espace vectoriel E. La quantité T r(mat B (f)) ne dépend pas de la base B choisie. On l appelle la trace de f, et on la note T rf. Démonstration : Si M et M sont les matrices de f dans deux bases de E, on a alors M = P 1 MP où P est une matrice de passage. Ainsi, T rm = T r(p 1 MP ) = T r(mp P 1 ) = T rm. Exemple : La trace de id E est égale à la dimension de E. Soit p le projecteur sur F (de dimension k) parallèlement à G, où F et G sont deux sev supplémentaires de E. Soit B une base de E formée de la réunion d une base de F et d une base de G. La matrice de p dans la base B est particulièrement simple. Elle est diagonale, les k premiers éléments de la diagonale valent 1, les autres valent 0. Ainsi, la trace de p est égale à k = dim F, c est à dire au rang de p. Exercice : Que vaut la trace d une symétrie?

279 VII. RANG 279 VII Rang VII.1 Rang d une matrice Définition : Soit A M K (p, q). On appelle trace de A le rang de la famille des colonnes de A, identifiées à des vecteurs de K p. Exemple ( : ) rg = rg = rg = rgi n = n, rg 0 = 0. Remarque 20.8 : Si f L(E, F ), le rang de f est égal au rang de sa matrice dans n importe quel couple de bases. Une matrice A M K (n) est inversible si et seulement si rga = n. VII.2 Matrice canonique d une application linéaire Proposition : Soit f L(E, F ) où E et F sont deux espaces vectoriels de dimensions q et p. On suppose que rgf = r. Il existe alors une base B de E et une base B de F telles que ( ) Ir 0 mat B,B (f) = r,q r 0 p r,r 0 p r,q r Notation : On note dorénavant J p,q,r la matrice ci-dessus. A noter que son rang est égal à r. A noter également, la forme de J p,q,r lorsque r est égal à p et/ou q (quand f est une surjection et/ou une injection). Démonstration : ker f est de dimension q r. Soit G un supplémentaire de ker f. Soit B 1 = (e 1,, e r ) une base de G, et B 2 = (e r+1,, e q ) une base de ker f. La réunion B de ces deux familles est une base de E. Soit B 1 = (e 1,, e r) l image par f de la famille B 1. D après le théorème du rang, cette famille est libre. On la complète en une base B = (e 1,, e p) de F. La matrice de f dans les bases B et B a la forme cherchée.

280 280 CHAPITRE 20. MATRICES VII.3 Équivalence des matrices Définition : Soient A, B M K (p, q) deux matrices de même taille. On dit que A est équivalente à B lorsqu il existe Q GL K (q) et P GL K (p) telles que B = P 1.A.Q. Proposition : L équivalence des matrices est ne relation d équivalence. Démonstration : Exercice. Proposition : Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent une même application linéaire dans deux couples de bases. Démonstration : Supposons que B = P 1 AQ. On interprète A comme mat B,B (f) où f L(K q, K p ) (par exemple). On interprète ensuite P comme P B 1 B et Q comme P B 1 B. Il en résulte que B = mat B1,B 1 (f). La réciproque provient des formules de changement de base. Proposition : même rang. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le Démonstration : Supposons A et B équivalentes. Elles sont donc les matrices d une même application linéaire f dans deux couples de bases différentes. Ainsi, rgb = rgf = rga. Inversement, si A et B ont pour rang r, alors elles sont toutes deux équivalentes à J p,q,r, donc elles sont équivalentes. Remarque 20.9 : Il n y a aucun résultat «trivial» pour les matrices semblables. Voir les cours d algèbre linéaire des années suivantes. VII.4 Rang et transposition Proposition : Soit M M p,q (K). Alors, rgm = rg t M. Remarque : Ceci implique en particulier que pour chercher le rang d une famille de vecteurs ou d une matrice, on peut tout aussi bien opérer sur les lignes que sur les colonnes. En revanche, bien noter que des opérations sur les lignes détruisent toute possibilité de trouver une image ou un noyau. Démonstration : Soit r le rang de M. La matrice M est équivalente à J p,q,r. On voit alors facilement que t M équivaut à J q,p,r et est donc de même rang que M. VII.5 Rang et matrices extraites Définition : Soit M M p,q (K). On appelle matrice extraite de M toute matrice M qui est la restriction de M à I J, I et J étant des sous-ensembles non vides respectivement de [1, p] et [1, q]. En pratique, extraire une matrice de M c est rayer des lignes et des colonnes de M.

281 VIII. SIMILITUDE 281 ( a c Exemple : M = b d ) possède 9 matrices extraites (les écrire). Exercice : de M. Soit M M p,q (K). Montrer qu on peut extraire (2 p 1)(2 q 1) matrices Proposition : Soit A M p,q (K) une matrice de rang r. Alors : Toutes les matrices extraites de A sont de rang inférieur ou égal à r. Il existe une matrice carrée de taille r r, extraite de A, qui est inversible. Démonstration : Soit r = rga. C est le rang de la famille des colonnes de A. Si l on extrait r + 1 colonnes ou plus de A, elles seront donc liées. Le fait de rayer des lignes conservera la dépendance linéaire des colonnes. Il reste à extraire de A une matrice r r inversible. On sait tout d abord qu il existe r colonnes de A formant une famille libre. On les extrait. La matrice p r ainsi extraite est toujours de rang r. Il y a donc r lignes de cette matrice qui forment une famille libre. On les extrait, et on obtient ce que l on cherche. VIII Similitude Définition : Deux matrices carrées A et B sont semblables lorsqu il existe une matrice P inversible telle que B = P 1 AP. Remarque : La relation de similitude est aussi une relation d équivalence, et deux matrices semblables sont a fortiori équivalentes et ont donc le même rang. Proposition : Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases. Démonstration : Identique à ce qui a été fait pour les matrices équivalentes. La seule différence, c est qu ici P = Q. Proposition : fausse. Deux matrices semblables ont même trace. La réciproque est Démonstration : Soient A, B deux matrices carrées semblables. Il existe une matrice inversible P telle que B = P 1 AP. On a alors trb = trp 1 AP = trp P 1 A = tra. Il y a en fait bien plus à raconter, mais laissons un peu de travail aux profs de deuxième année... Contentons nous de regarder ce qui se passe en dimension 2 sur le corps des complexes. Exercice : Soit A M 2 (C). Soit f l endomorphisme de C 2 dont la matrice dans la base canonique est A. 1. Montrer que f possède une ou deux valeurs propres.

282 282 CHAPITRE 20. MATRICES 2. Dans le cas où f possède deux valeurs ( propres distinctes ) λ et µ, montrer que A est λ 0 semblable à la matrice diagonale D =. Indication : il existe une base de 0 µ C 2 formée de deux vecteurs propres pour f. 3. Dans le cas où f possède une unique valeur ( propre) λ et f λid, montrer que A est λ α semblable à une matrice triangulaire T = où α C. Indication : prendre 0 λ un vecteur propre pour f et compléter en une base de C Montrer que dans la question précédente on peut prendre α = 1.

283 IX. EXERCICES 283 IX Exercices 1. Soit G = {M M 3 (R), M = 1 x z 0 1 y 0 0 1, x, y, z Z} Quelle est la structure de G? ( ) ( ) Soient S = et I =. Soit E = V ect(i, S). Quelle est la structure de E? Quels sont les éléments inversibles de E? Soit A = Soit N = A I 3. Calculer N 2 et N 3. En déduire A n pour tout entier naturel n, puis pour tout entier relatif. α Soit α C. Soit M = 1 α α Calculer, lorsqu elle existe, la matrice M Soit M M 3 (R). On dit que la matrice M est magique lorsque la somme des coefficients de chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales de M est constante. On note S(M) la somme commune en question. (a) Trouver toutes les matrices magiques antisymétriques. Vérifier qu elles forment un sev de M 3 (R) dont on donnera la dimension. (b) Trouver toutes les matrices magiques symétriques M telles que S(M) = 0. En déduire toutes les matrices magiques symétriques. Vérifier que les matrices magiques symétriques forment un sev de M 3 (R) dont on donnera la dimension. (c) En déduire toutes les matrices magiques. ( ) a b 6. Soit H = {, a, b C}. b a (a) Montrer que H est un corps non commutatif. On note 0 et 1 ses neutres respectifs pour l addition et la multiplication. (b) Résoudre l équation q H, q 2 = 1. (c) Résoudre l équation q H, q 2 = Soit B = Calculer B2 en fonction de I et de B. En déduire B 1.

284 284 CHAPITRE 20. MATRICES 8. Soit α un nombre complexe non nul. Quel est le rang de la matrice M = 9. Soit E = V ect(e 1, e 2, e 3 ) où e 1 : R R; x e αx cos x e 2 : R R; x e αx sin x e 3 : R R; x e αx Soit φ : E E; f f. 1 1/α 1/α 2 α 1 1/α α 2 α 1? (a) Montrer que B = (e 1, e 2, e 3 ) est une base de E, et calculer A = mat B (φ). (b) Inverser la matrice A. En déduire une primitive de l application x e αx (a cos x+ b sin x + c). 10. Soient C M n,1 (R) et L M 1,n (R). Soit A = CL. On note λ = LC. Démontrer que pour tout entier k 1, A k = λ k 1 A. 11. Inverser si possible les matrices ci-dessous : 0 0 a n 1 1 A =. 0 0., B = a Soit M M 3 (R) telle que M 0 et M 2 = 0. (a) Prouver que rg M = 1. (b) En déduire l existence d une matrice colonne C et d une matrice ligne L de taille 3 telles que M = CL. (c) Inversement (et toujours en dimension 3), quelle condition doivent vérifier les matrices colonnes C et ligne L pour que la matrice M = CL vérifie M 2 = 0? 13. A et B sont deux matrices carrées d ordre n. (a) Résoudre : X M n (R), X = (T rx)a + B. (b) Résoudre : X M n (R), X + t X = (T rx)a. 14. Soit A M 2 (R). Calculer A 2 (Tr A)A + (det A)I. 15. Soient α 1,, α n n réels. Soit M la matrice n n dont les coefficients sont les réels a ij = sin(α i + α j ), i = 1..n, j = 1..n. Montrer que rg M Soit φ : R n [X] R n [X] définie par φ(p ) = P (X) P (1 X). Trouver une base de R n [X] dans laquelle la matrice de φ est diagonale On considère les matrices M = et P =

285 IX. EXERCICES 285 (a) Calculer D = P 1 MP. En déduire D n puis M n pour tout entier naturel n. (b) On considère les trois suites complexes (a n ), (b n ) et (c n ) définies par a 0, b 0, c 0 fixés et, pour tout entier naturel n, par a n+1 = bn+cn 2, b n+1 = an+cn 2, c n+1 = a n a n+b n 2. Pour tout n N, on pose X = b n. c n i. Déterminer une matrice M M 3 (C) telle que X n+1 = MX n. ii. En déduire X n en fonction de n, puis les limites respectives de a n, b n et c n lorsque n tend vers l infini Soit M = ai + ba où A = Calculer A 2. En déduire A n et M n pour tout n N. 19. (a) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, de base B = (e 1,, e n ). Pour i = 1,, n, on définit la forme linéaire, notée e i sur E par j {1,, n}, e i (e j) = δ ij. Démontrer que la famille B = (e i ) 1 i n est une base du dual E de E. (b) On prend E = R[X], muni de la base canonique B = (e n ) n 0 où e n = X n. Montrer que la famille B = (e n) n 0 définie comme à la question précédente est bien une famille libre du dual de R[X], mais que cette famille n est pas génératrice. 20. On note (E ij ) 1 i n,1 j n la base canonique de M n (K). Soit N = n 1 k=1 E k,k+1. Déterminer N p pour tout entier naturel p, et en déduire l inverse de I N. 21. On se place dans E = R 2 [X]. Soit φ λ,µ : E E; P (X 2 + λ)p + (µx + 1)P. (a) Déterminer la matrice de φ dans la base canonique. (b) Trouver ker φ et Im φ. (c) On note f λ = φ λ, 1. Calculer f λ2 f λ1, puis f n λ. (d) Trouver P 1, P 2 E tels que (1, P 1, P 2 ) soit une base de E, P 1 soit dans ker(f λ ) n et P 2 soit dans Im (f λ ) n Soient A = et B = Les matrices A et B sont-elles équivalentes? Semblables? 23. Soit P 0 = 1 + X + X 2. Soient φ L(R 5 [X]) qui à P associe le reste de la division euclidienne de P par P 0 et ψ L(R 5 [X]) qui à P associe le quotient de cette même division. Écrire les matrices de φ et de ψ dans la base canonique de R 5 [X]. 24. Soit φ : R 3 [X] R 3 [X]; P P + X(P P ). On a clairement φ L(R 3 [X]). (a) Déterminer mat B (φ) où B est la base canonique de R 3 [X]. (b) Quels sont les valeurs propres et vecteurs propres de φ (c est-à-dire les réels λ et les polynômes P R 3 [X] \ {0} tels que φ(p ) = λp )?

286 286 CHAPITRE 20. MATRICES 25. Trouver tous les couples (x, y) R 2 ( vérifiant x ) y et tels qu il ( existe ) deux matrices x 14 A et B de M 2 (R) tellse que AB = et BA = y 26. Soit A = (a ij ) M n (C) telle que pour tout entier i entre 1 et n, a ii > j i a ij. On interprète A comme la matrice dans la base canonique d un endomorphisme f de R n. (a) Soit x ker f. Montrer que x = 0. En déduire que f est injective, puis que f est un automorphisme de R n. (b) Que dire de A? (c) Même question lorsqu on remplace les hypothèses sur A par : «pour tout entier j entre 1 et n, a jj > i j a ij» Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est Déterminer le rang de f, ker f et Im f. 28. Déterminer la matrice dans la base canonique de l endomorphisme f de R 3 [X] défini par f(p ) = P (X + 1). Déterminer l inverse de cette matrice. 29. Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est A = Montrer qu il existe une base de R 3 dans laquelle la matrice de f est B = Soit A = (a) Montrer que A 2 est combinaison linéaire de A et I. (b) Montrer que A est inversible et calculer A 1. (c) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe deux réels a n et b n tels que A n = a n A + b n I. (d) Calculer a n et b n en fonction de n Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique B est Soit B = (e 1, e 2, e 3 ) où e 1 = (1, 0, 1), e 2 = ( 1, 1, 0), e 3 = (1, 1, 1). (a) Montrer que B est une base. (b) Déterminer la matrice de f dans la base B. (c) Calculer, pour tout n N, la matrice de f n dans la base B.

287 IX. EXERCICES 287 (d) Calculer, pour tout n N, la matrice de f n dans la base B. 32. Soit A M n (K). Montrer que ( B M n (K), AB = BA) λ K, A = λi. 33. Soit A M n (K). On suppose que la matrice I + A est inversible. On pose B = (I A)(I + A) 1. (a) Montrer que B = (I + A) 1 (I A). (b) Montrer que I + B est inversible puis exprimer A en fonction de B. 34. Déterminer toutes les matrices de M 2 (R) égales à leur carré. 35. Soit j une racine cubique non réelle de 1. Soit E = {a + bj, a, b Q}. (a) Montrer que E est un Q-espace vectoriel. En donner une base B. (b) Montrer que l application f : x jx est un automorphisme de E. (c) Déterminer la matrice M de f dans la base B. (d) Calculer M 2 + M + I. Remarque(s)? 0 1 sin θ 36. Soit θ R. Soit A = 1 0 cos θ. Calculer A 3 et en déduire (A + I) n sin θ cos θ 0 pour tout n Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est A = (a) Déterminer ker f, ker(f id) et ker(f + id). (b) Déterminer une base de R 3 dans laquelle la matrice de f est diagonale. (c) Calculer A n pour tout n N.

288 288 CHAPITRE 20. MATRICES

289 Chapitre 21 Groupes Symétriques 289

290 290 CHAPITRE 21. GROUPES SYMÉTRIQUES I Compléments sur les groupes finis Ce paragraphe peut être sauté en première lecture, mais il éclaire ce que nous ferons dans les sections suivantes. Tous les résultats sont énoncés pour des groupes «multiplicatifs». Il convient bien entendu d adapter dans le cas de groupes dont l opération est notée additivement. I.1 Groupes cycliques Définition 21.1 : Soit (G,.) un groupe. On dit que G est cyclique lorsque G est fini et qu il existe a G tel que G = {a k, k Z}. Notation : On note G =< a >. Le cardinal de G est aussi appelé son ordre. On le note G. Exemple : U n, Z/nZ pour tout n 1. Proposition 21.1 : Soit G =< a > un groupe cyclique d ordre n. On a G = {e, a, a 2,..., a n 1 }. i, j Z, a i = a j j i nz. k Z, a k = e k nz. Démonstration : Le groupe G est fini. On peut donc trouver i, j Z, i < j tels que a i = a j. On a alors a j i = e : ilexiste m N tel que a m = e. Notons E = {m Z, a m = e}. E est clairement un sous-groupe de Z, et m est son plus petit élément strictement positif. Donc, E = mz. Soient maintenant i, j Z. On a a i = a j si et seulement si a j i = e, c est à dire j i mz. Enfin, une division euclidienne par m montre facilement que tout élément de G est de la forme a k avec k [0, m 1]. D où G = {e, a,..., a m 1 }. Reste à vérifier que toutes ces puissances sont distinctes deux à deux pour en déduire que G = m, donc m = n. I.2 Sous-groupes d un groupe cyclique Proposition 21.2 : Soit G =< a > un groupe cyclique de cardinal n. Soit H un sous-groupe de G. Le groupe H est aussi cyclique. Démonstration : Si H = {e}, c est évident. Supposons donc H {e}. Il existe donc k [1, n 1] tel que a k H. Prenons k minimal. On a a k H, donc < a k > H. Inversement, soit x = a l H. Effectuons la division euclidienne de l par k : l = qk + r avec 0 r < k. On a alors x = a qk+r = (a k ) q a r. On en déduit que a r = x(a k ) q H. Par minimalité de k, il vient r = 0, donc x = (a k ) q < a k >. Proposition 21.3 : Soit G =< a > un groupe cyclique de cardinal n. Soit k Z. On a H =< a k >=< a δ > où δ = k n.

291 I. COMPLÉMENTS SUR LES GROUPES FINIS 291 Démonstration : Écrivons k = rδ où r Z. On a a k = (a δ ) r. Donc < a k > < a δ >. Inversement, le théorème de Bézout nous donne l existence de u, v Z tels que uk+vn = δ. On en déduit que a δ = (a k )(a n ) v. Mais a n = e, donc a δ < a k > et ainsi < a δ > < a k >. Corollaire 21.4 : Avec les notations ci-dessus, H = {e, a,..., a (n/δ 1)δ } et H = n/δ divise n. Proposition 21.5 : Soit G =< a > un groupe cyclique de cardinal n. Pour tout diviseur d de n il existe un et un seul sous-groupe de G d ordre d. Démonstration : H = a n/d est un sous-groupe de G d odre d, d où l existence. Inversement, soit H =< a k > un sous-groupe de G d ordre d. On a aussi H =< a δ > où δ = k n. De plus dδ = n puisque δ divise n et H est d ordre d. On en déduit que H =< a δ >=< a n/d > d où l unicité. I.3 Ordre d un élément, ordre d un sous-groupe Définition 21.2 : Soit G un groupe quelconque. Soit a G. On a appelle ordre de a l entier a = < a >. Proposition 21.6 : a est le plus petit entier naturel k tel que a k = e. G = {e, a, a 2,..., a n 1 }. i, j Z, a i = a j j i nz. k Z, a k = e k nz. Démonstration : Voir la démonstration faite pour les groupes cycliques : < a > est un groupe cyclique, engendré par a. Exemple : Ordre des éléments de U 6, de Z/12Z. Exercice : Soit G un groupe. Soient a, b G tels que ab = ba. Alors ab divise a b. La relation peut être stricte. I.4 Le théorème de Lagrange Proposition 21.7 : divise G. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G. Alors, H Démonstration : Soit la relation binaire sur G définie par x, y G, x y xy 1 H. On montre facilement que l on a là une relation d équivalence. Notons, pour tout x G, C x la classe de x. On remarque que H = C e. Soit C = C g une classe modulo. On a pour tout x H, xg C, puisque (xg)g 1 = x H. On définit ainsi une application ϕ : H C en posant ϕ(x) = xg. On voit facilement que ϕ est une bijection : ainsi, H et C ont le même cardinal. Toutes les classes modulo sont de même cardinal.

292 292 CHAPITRE 21. GROUPES SYMÉTRIQUES Notons C 1, C 2,..., C p les classes distinctes modulo. On a G = p k=1 C k, et les classes sont disjointes. Donc, G = p k=1 C k = p H : l ordre de H divise l ordre de G et le quotient de ces ordres est le nombre de classes modulo. Exercice : Montrer qu un groupe d ordre premier est cyclique. Exemple : Sous-groupes de D 4, le groupe des isométries du plan laissant invariant l ensemble des sommets d un carré. II Notion de permutation II.1 Permutations d un ensemble Définition 21.3 : Soit E un ensemble non vide. On appelle permutation de E toute bijection de E dans E. On note S(E) l ensemble des permutations de E. Proposition 21.8 : Soit E un ensemble. L ensemble S(E) est un groupe pour la composition des applications. Ce groupe est non abélien dès que E possède au moins 3 éléments. Démonstration : La composée de deux bijections, la réciproque d une bijection, sont des bijections. La composition des applications est associative. L identité de E est le neutre pour la composition. En ce qui concerne la non-commutatitivité, soient a, b, c trois éléments distincts de E. Soient f, g S(E) définies comme suit : f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a et pour tout x a, b, c, f(x) = x. g(a) = b, g(b) = a et pour tout x a, b, g(x) = x. On a alors g f(a) = g(b) = b et f g(a) = f(b) = c. Donc, f g g f. Définition 21.4 : Le groupe S(E) est appelé le groupe symétrique de E. Ses éléments sont appelés permutations de E. Remarque 21.1 : Soient E et F deux ensembles. Supposons qu il existe une bijection φ : E F. Alors l application F : S(E) S(F ) définie par F (f) = φ f φ 1 est une bijection. De plus, F (g f = φ (g f) φ 1 = (φ g φ 1 ) (φ f φ 1 ) = φ(g) φ(f). Ainsi, les groupes S(E) et S(F ) sont isomorphes. Proposition 21.9 : Soit E un ensemble fini de cardinal n N. Le groupe (S(E), ) est un groupe fini, de cardinal n!. Démonstration : Voir le chapitre sur les entiers naturels. On ne s occupera dans ce qui suit que des permutations de l ensemble [1, n], dont on notera l ensemble S n. Une permutation σ S n est notée par le tableau de ses valeurs : ( ) n σ = σ(1) σ(2)... σ(n) Enfin, l usage est de noter multiplicativement la composition des permutations. Attention, donc, aux confusions.

293 III. ORBITES 293 II.2 Exemples On a S 1 = {id}, S 2 = {id, τ} où ( τ(1) = ) 2, τ(2) = 1. Regardons d un peu plus près S 3 = {id, ρ, ρ 2, τ 12, τ 13, τ 23 } où ρ = et τ ij échange i et j et laisse le troisième élément invariant. Voici la table de multiplication dans S 3 : id ρ ρ 2 τ 12 τ 23 τ 13 id id ρ ρ 2 τ 12 τ 23 τ 13 ρ ρ ρ 2 id τ 13 τ 12 τ 23 ρ 2 ρ 2 id ρ τ 23 τ 13 τ 12 τ 12 τ 12 τ 23 τ 13 id ρ ρ 2 τ 23 τ 23 τ 13 τ 12 ρ 2 id ρ τ 13 τ 13 τ 12 τ 23 ρ ρ 2 id Exercice : Trouver les sous-groupes de S 3. III Orbites III.1 Notion d orbite Définition 21.5 : l ensemble Soit a [1, n]. Soit σ S n. On appelle orbite de a suivant σ O σ (a) = {σ k (a), k Z} Proposition : Les orbites suivant une permutation σ S n forment une partition de [1, n] : les orbites sont non vides, disjointes, et leur réunion est [1, n]. Démonstration : Soit a [1, n]. On a a = σ 0 (a), donc a O σ (a). Ainsi, les orbites sont non vides et leur réunion est [1, n]. Prenons maintenant deux orbites O = O σ (a) et O = O σ (a ). Supposons qu il existe b O O. Il existe donc k, k Z tesl que b = σ k (a) = σ k (a). Donc a = σ k k (a). On en déduit facilement que O O. De même, O O donc O = O. III.2 Étude des orbites Proposition : Soit σ S n. Soit a [1, n]. Soit p le cardinal de l orbite de a. Alors : Pour tout entier relatif k, on a s k (a) = a si et seulement si k pz. O s (a) = {s k (a), k = 0,..., p 1}. Démonstration : Soit E = {k Z, s k (a) = a}. On vérifie facilement que E est un sous-groupe de Z. Il existe donc P N tel que E = P Z.

294 294 CHAPITRE 21. GROUPES SYMÉTRIQUES L entier P est non nul. En effet, l orbite de a est un ensemble fini, il existe donc deux entiers distincts i et j tels que s i (a) = s j (a). Donc, 0 i j E. Soit maintenant k Z. On a k = P q + r, 0 r < P. Alors s k (a) = s r (s P q (a)) = s r (a). Donc, O s (a) = {a, s(a),..., s P 1 (a)}. De plus, si i, j [0, P 1], i j et s i (a) = s j (a), alors i j E = P Z. Mais i j P 1. D où i = j. Donc, O s (a) a exectement P éléments, donc P = p. III.3 Cycles, Transpositions Définition 21.6 : On appelle cycle toute permutation ayant exactement une orbite non réduite à un point. L orbite en question est appelée le support du cycle. La longueur du cycle est le cardinal de cette orbite. On appelle tranposition tout cycle de longueur 2. Notation : Si s est un cycle de longueur l, et a appartient à l unique orbite de s non réduite à un point, on note s = (a s(a) s 2 (a)... s l 1 (a)) On remarquera que cette notation est ambiguë, puisque l on ne sait plus à quel S n le cycle appartient. En général, ceci n a pas d importance. Mieux, c est plutôt un avantage puisqu un cycle dont le support est inclus dans [1, n] peut être vu comme un élément de S n, S n+1, etc. Proposition : Deux cycles de supports disjoints commutent. Démonstration : Soient s, s deux cycles de supports disjoints. Soit a [1, n]. Trois possibilités : si a est dans le support de s, alors il n est pas dans le support de s et s(a) non plus. De là, ss (a) = s(a) = s s(a). Même raisonnement si a est dans le support de s. Enfin, si a n est dans aucun des deux supports, alors s(a) = s (a) = ss (a) = s s(a) = a. Proposition : Toute permutation différente de l identité s écrit de façon unique, à l ordre près des facteurs, comme un produit de cycles de supports disjoints. Démonstration : Théorème admis. Exemple : Pour trouver la décomposition, il suffit d écrire les orbites «dans l ordre». Par exemple, ( ) = ( )(4 8 10)(9 11)

295 IV. SIGNATURE 295 IV Signature IV.1 Décomposition en produit de transpositions Proposition : Toute permutation est un produit de transpositions. Démonstration : On raisonne par récurrence sur n, où σ S n. Si n = 1, c est trivial. Supposons la propriété vraie pour les permutations de S n. Soit σ S n+1. Si σ(n + 1) = n + 1, il n y a rien à faire : σ, identifiée à un élément de S n, est un produit de transpositions. Sinon, soit τ = ((n + 1)σ(n + 1))σ. Alors τ(n + 1) = n + 1 donc τ est un produit de transpositions d après le premier cas. Donc, σ aussi. Exemple : Décomposition d un cycle. Soit s = (a 1 a 2... a p ) un cycle. On a alors une décomposition de s en produit de transpositions (ce n est pas la seule) qui est s = (a 1 a 2 )(a 2 a 3 )... (a p 1 a p ). Remarque 21.2 : Il n y a pas unicité de la décomposition. Par exemple, (1 2)(2 3) = (1 2 3) = (2 3 1) = (2 3)(3 1). IV.2 Signature d une permutation Définition 21.7 : Pour σ S n, on appelle inversion de σ tout couple (i, j) tel que i < j et σ(i) > σ(j). On note I(σ) le nombre d inversions de σ. Exemple : I(id) = 0. Soit τ = (pq) est une transposition. Prenons par exemple p < q. Les couples (i, j) tels que i < j et τ(i) < τ(j) ont soit leur premier élément égal à p, soit leur second élément égal à q. Précisément, les couples concernés sont (p, p+1), (p, p+2),..., (p, q), et aussi (p + 1, q), (p + 2, q),..., (q 1, q). Donc I(τ) = 2(q p) 1. Définition 21.8 : Pour σ S n, on appelle signature de σ le nombre ε(σ) = ( 1) I(σ) { 1, 1}. Une permutation de signature 1 est dite paire, et une permutation de signature 1 est dite impaire. Exemple : ε(id) = 1. Pour toute transposition τ, ε(τ) = 1. Notation : On note P 2 (n) l ensemble des parties de {1,..., n} à deux éléments. On a ainsi card P 2 (n) = n(n 1) 2. Lemme IV.1 Soit σ S n. L application, notée encore σ, P 2 (n) P 2 (n) définie par σ({i, j}) = {σ(i), σ(j)} est une bijection.

296 296 CHAPITRE 21. GROUPES SYMÉTRIQUES Démonstration : Il suffit de prouver l injectivité, qui est évidente. Proposition : Soit σ S n. On a ε(σ) = {i,j} P 2 (n) σ(i) σ(j) i j Démonstration : Soit φ(σ) = σ(i) σ(j) {i,j} P 2 (n) i j. On constate tout d abord que φ(σ) = σ(i) σ(j) i<j i j. Donc, le signe de φ(σ) est le même que celui de ε(σ). Considérons ensuite P = {i,j} P 2 (n) (σ(i) σ(j)). Posons {i, j } = σ({i, j}). Alors, P = {i,j } P 2 (n) (i j ), d après le lemme démontré plus haut. Ainsi, φ(σ) = 1. Les quantités ε(σ) et φ(σ) ont même signe et même valeur absolue, elles sont donc égales. Proposition : ε : S n { 1, 1} est un morphisme de groupes, surjectif dès que n 2. Démonstration : Soient σ et τ deux permutations de S n. On a ε(στ) = {i,j} P 2 (n) στ(i) στ(j) i j = {i,j} P 2 (n) σ(τ(i)) σ(τ(j)) τ(i) τ(j) {i,j} P 2 (n) τ(i) τ(j) i j Le second produit est ε(τ). Quant au premier produit, il suffit de poser {i, j } = τ({i, j}), pour voir qu il est égal à ε(σ). Corollaire : Pour toute permutation σ, la parité du nombre de transpositions intervenant dans la décomposition de σ en produit de transpositions est indépendante de cette décomposition. De plus, si σ = τ 1... τ p est une décomposition de σ en produit de transpositions, alors ε(σ) = ( 1) p. Démonstration : Soit σ S n. Supposons σ = τ 1... τ p où les τ i sont des transpositions. On a ε(σ) = ε(τ 1 )... ε(τ p ) = ( 1) p. Exemple : Soit s un p-cycle. Alors, s est le produit de p 1 transpositions. Donc ε(s) = ( 1) p 1. Ainsi, la signature d un cycle de longueur paire est 1, la signature d un cycle de longueur paire est 1. Exercice : Déterminer les signatures de tous les éléments de S 3, de S 4 et de S 5. Remarque 21.3 : Soit σ S n. Soit m le nombre d orbites suivant σ. Alors, ε(σ) = ( 1) n m. En effet, décomposons σ = s 1... s p en produits de cycles de supports disjoints. Soit l i la longueur du cycle s i. On a ε(σ) = ε(s 1 )... ε(s p ) = ( 1) l ( 1) lp 1 = ( 1) l l p p. Par ailleurs, le nombre d orbites suivant σ est p (le nombre de cycles de la décomposition) auquel il faut ajouter le nombre d orbites réduites à 1 point : n (l l p ). Bref, m = p + n (l l p ). D où n m = l l p p.

297 IV. SIGNATURE 297 IV.3 Groupe alterné Définition 21.9 : On appelle groupe alterné d ordre n l ensemble A n = ker ε. Une permutation est dite paire lorsqu elle est dans A n, impaire sinon. Exemple : Un p-cycle est pair si et seulement si p est impair. Proposition : L ensemble A n est un sous-groupe de S n. Pour n 2, on a card A n = n! 2 Démonstration : A n est un sous-groupe de S n en tant que noyau d un morphisme de groupes. De plus, si n 2, il existe dans S n au moins une permutation impaire (une transposition, par exemple). Notons-la τ. L application σ τ σ est alors une bijection de A n dans S n \A n : il y a autant de permutations paires que de permutations impaires. D où le résultat. Exercice : Décrire A 3, A 4 et A 5.

298 298 CHAPITRE 21. GROUPES SYMÉTRIQUES V Exercices 1.. Calculer pour les permutations ci-dessous : leur décomposition en produit de cycles de supports disjoints, une décomposition en produit de transpositions, leur inverse, leur signature. ( ) (a) σ = (b) σ = (123)(234)(345)(456) (c) σ = (1234)(2345)(3456) (d) σ = (12345)(23456)(12345) 1 2. Pour quelles valeurs de n le groupe symétrique S n est-il abélien? Même question pour le groupe alterné A n. 3. Montrer que pour n 3, le groupe alterné A n est engendré par les 3-cycles (i.e. toute permutation paire est un produit de 3-cycles). 4. (a) Soit σ S n. Montrer que σ commute avec toutes les permutations si et seulement si σ commute avec toutes les transpositions. (b) Trouver le centre de S n, c est à dire les permutations qui commutent avec toutes les permutations de S n. 5. Déterminer de même le centre de A n. On fera appel à des 3-cycles. 6. Montrer que toute permutation de S n est un produit de transpositions du type (i i + 1), i = 1,..., n Montrer que la transposition τ = (12) et le cycle γ = (12... n) engendrent S n, c est à dire que toute permutation de S n est un produit où n apparaissent que les permutations τ, γ et γ Soient G = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} et H = {id, (1234), (13)(24), (1432)}. (a) Montrer que G et H sont des sous-groupes de S 4. (b) Soit f : G H un morphisme de groupes. Montrer que σ G, f(σ) 2 = id. (c) En déduire que G et H ne sont pas isomorphes. 9. Soient σ S n et γ = (x 1... x k ) un cycle de longueur k. (a) Montrer que σγσ 1 est un cycle que l on déterminera. (b) Application : calculer (12345)(23456)(54321). (c) Inversement, soient γ et γ deux cycles de même longueur k dans S n. Existe-t-il σ S n telle que γ = σγσ 1? 10. Soit G un groupe fini de cardinal n dont la loi est notée multiplicativement. Pour g G, on note ρ g l application G G définie par ρ g (x) = g.x (remarque : on aurait pu aussi l appeler πr ou dd, mais c est moins parlant). (a) Montrer que pour tout g G, ρ g S(G).

299 V. EXERCICES 299 (b) Soit ρ : G S(G) définie par ρ(g) = ρ g. Démontrer que ρ est un morphisme injectif de groupes. (c) Démontrer le théorème de Cayley : tout groupe de cardinal n est isomorphe à un sous-groupe de S n. 11. Montrer que les transpositions (1 i), i = 2,..., n engendrent S n. 12. Soient τ, τ deux transpositions de S n. Montrer que ττ = id ou (ττ ) 2 = id ou (ττ ) 3 = id. 13. Soit f : S n C un morphisme de groupes. (a) Soit τ une transposition. Que vaut f(τ)? (b) Soient τ, τ deux transpositions. Montrer qu il existe σ S n telle que τ = στσ 1. (c) En déduire que toutes les transpositions ont même image par f. (d) Déterminer f. 14. Soit n 5. Soient γ et γ deux 3-cycles de A n. Montrer qu il existe σ A n telle que γ = σγσ Soit n 2. Soit γ = ( n 1 n). Déterminer toutes les permutations σ S n qui commutent avec γ. 16. Soit n 1. Déterminer les signatures des permutations suivantes : ( ) n 1 n (a) σ =. n n ( ) n n + 1 n n 1 2n (b) σ = n n 2 2n ( ) Soit σ =. Calculer σ ( ) ( ) Soient σ = et γ = (a) Calculer les signatures de σ et γ. (b) Montrer que σγ γσ. (c) Calculer l ordre de σ, γ, σγ et γσ. 19. Soient γ et γ deux cycles de S n. (a) On suppose que γ et γ commutent. Montrer que les supports de γ et γ sont soit égaux, soit disjoints. (b) Étudier la réciproque. 20. Soit f : S n S n un automorphisme de groupe qui transforme toute transposition en une transposition. Pour i = 2,..., n on note t i = (1 i). (a) Montrer qu il existe a 1, a 2, a 3 [1, n] tels que f(t 2 ) = (a 1 a 2 ) et f(t 3 ) = (a 1 a 3 ). Indication : quel est l ordre de t 2 t 3?

300 300 CHAPITRE 21. GROUPES SYMÉTRIQUES (b) Montrer que pour i = 3,..., n il existe a i [1, n] tel que f(t i ) = (a 1 a i ). (c) Montrer que la fonction s : i a i est une bijection. (d) Prouver que σ S n, f(σ) = sσs 1. (e) Réciproque?

301 Chapitre 22 Déterminants 301

302 302 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS I Applications multilinéaires I.1 Définitions Définition 22.1 : Soient E 1,..., E n, F n + 1 K-espaces vectoriels. Soit f : E 1... E n F une application. On dit que f est n-linéaire lorsque f est «linéaire en chacune de ses variables» : i [1, n], x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n E 1... E i 1 E i+1... E n, l application f i : E i F définie par f i (x) = f(x 1,..., x,..., x n ) est linéaire. Si F = K, on dit que f est une forme n-linéaire. Exemple : La multiplication des réels est bilinéaire. Le produit scalaire sur R n est une forme bilinéaire. Le produit vectoriel sur R 3 est une application bilinéaire. Le déterminant sur R 2 est une forme bilinéaire (cf chapitre de début d année). Le déterminant sur R 3 est une forme trilinéaire. Notation : On note L(E 1,..., E n ; F ) l ensemble des applications n-linéaires de E 1... E n vers F. Lorsque E 1 =... = E n, on note plus simplement L n (E, F ). Exemple : Déterminons toutes les formes bilinéaires R 2 R 2 R 2. Soit (e 1, e 2 ) une base du plan. Soit f une forme bilinéaire sur R 2. Soient u = xe 1 + ye 2 et v = x e 1 + y e 2. On a f(u, v) = a 11 xx +a 12 xy +a 21 x y+a 22 yy où a ij = f(e i, e j ). Inversement, toute application de cette forme est clairement bilinéaire. Creusons un peu. Pour i, j [1, 2], soit f ij définie par f ij (x 1 e 1 + x 2 e 2, x 1 e 1 + x 2 e 2) = x i x j. Toute forme bilinéaire sur R2 s écrit de façon unique f = i,j a ijf ij où les a ij R. En résumé, L 2 (R 2, R) =< f ij, 1 i 2, 1 j 2 > est un R-espace vectoriel de dimension 4. I.2 Structure des ensembles d applications n-linéaires Proposition 22.1 : L(E 1,..., E n ; F ) est un K-espace vectoriel de dimension n k=1 dim E k dim F lorsque tous les espaces mis en jeu sont de dimension finie. Démonstration : Nous avons vu un cas particulier de ce théorème dans l exemple cidessus. Le cas général se démontre de la même façon, avec beaucoup de bases et beaucoup de sommes partout. I.3 Formes n-linéaires alternées Définition 22.2 : Soit f L n (E, F ). On dit que f est symétrique lorsque x 1,..., x n E, f(x 1,..., x j,..., x i,..., x n ) = f(x 1,..., x i,..., x j,..., x n )

303 II. DÉTERMINANT D UNE FAMILLE DE VECTEURS 303 antisymétrique lorsque x 1,..., x n E, f(x 1,..., x j,..., x i,..., x n ) = f(x 1,..., x i,..., x j,..., x n ) alternée lorsque i j, x i = x j f(x 1,..., x n ) = 0 Exemple : Recherchons toutes les formes antisymétriques sur R 2. Nous avons déjà la forme générale d une forme bilinéaire. En reprenant les notations ci-dessus, supposons f est antisymétrique. Alors, a 11 = f(e 1, e 1 ) = f(e 1, e 1 ) = a 1,1, donc a 11 = 0. De même, a 2 = 0. Et a 12 = f(e 1, e 2 ) = f(e 2, e 1 ) = a 21. Finalement, f(u, v) = k(xy x y) où k R. Inversement, une telle application est bien antisymétrique. Exercice : Déterminer toutes les formes bilinéaires alternées sur R 2. Proposition 22.2 : Soit K un corps dans lequel 2 0. Soit E un K-espace vectoriel. Soit f L n (E, K). Alors, f est antisymétrique si et seulement si f est alternée. Démonstration : On le fait pour n = 2, histoire de simplifier. Soient x, y E. Si f est antisymétrique, alors f(x, x) = f(x, x), d où 2f(x, x) = 0. Comme 2 est non nul, f est donc alternée. Si f est alternée, alors 0 = f(x + y, x + y) = f(x, y) + f(y, x) donc f est antisymétrique. Notation : On note Λ n (E) l ensemble des formes n-linéaires alternées sur E. Remarque 22.1 : Dans tout ce qui suit, on se place dans un corps tel que R ou C, pour lequel on a évidemment 2 0. On utilise donc indifféremment l antisymétrie ou l alternance, selon les besoins. Proposition 22.3 : Soit f Λ n (E). Soit σ S n. On a : x 1,..., x n E, f(x σ(1),..., x σ(n) ) = ε(σ)f(x 1,..., x n ) Démonstration : Toute permutation est un produit de transpositions. La propriété équivaut à la définition de l antisymétrie lorsque σ est une transposition. Dans le cas général, on raisonne par récurrence sur le nombre de transpositions du produit. II Déterminant d une famille de vecteurs II.1 Notations Dans ce qui va suivre : E est un K-espace vectoriel de dimension n 1. B = (e 1,..., e n ) est une base de E. x 1,..., x n sont n vecteurs de E. x j = n i=1 x ije i est l écriture de x j dans la base B. f est une forme n-linéaire alternée sur E. On cherche à exprimer f(x 1,..., x n ) à l aide des coordonnées des x i.

304 304 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS II.2 Calculs ( n f (x 1,..., x n ) = f x i1 1e i1,..., = = i 1 =1 n... i 1 =1 ) n x inne in i n=1 n x i x innf (e i1,..., e in ) i n=1 (i 1,...,i n) A x i x innf (e i1,..., e in ) où A = {(i 1,..., i n ) [1, n] n, j k, i j i k }, puisque f (e i1,..., e in ) = 0 dès que deux des e ij sont égaux (alternance de f). Soit φ : S n A définie par φ(σ) = (σ(1),..., σ(n)). L application Φ est une bijection. On peut grâce à elle effectuer un changement d indice dans la somme qui nous (pré)occupe, et écrire : f (x 1,..., x n ) = ( ) x σ(1)1... x σ(n)n f eσ(1)1,..., e σ(n)n σ S n = f(e 1,..., e n ) ε(σ)x σ(1)1... x σ(n)n σ S n On a donc f(x 1,..., x n ) = Cϕ(x 1,..., x n ) où ϕ : E n K est définie par ϕ(x 1,..., x n ) = σ S n ε(σ)x σ(1)1... x σ(n)n et C = f(e 1,..., e n ) ne dépend pas des vecteurs x j. Conclusion : toute forme n-linéaire alternée sur E est un multiple de ϕ. Il reste à prouver deux choses : ϕ n est pas la fonction nulle. ϕ est n-linéaire alternée. Les composantes du vecteur e j dans la base B sont les δ ij, 1 i n : e j = n i j =1 δ i j je i. Donc, ϕ(e 1,..., e n ) = σ S n ε(σ)δ σ(1)1... δ σ(n)n Or, tous les produits dans la somme ci-dessus sont nuls, sauf lorsque σ = id. Donc, ϕ(e 1,..., e n ) = 1. Soit τ une transposition de [1, n]. Posons y j = x τ(j). On a ϕ(x τ(1),..., x τ(n) ) = σ S n ε(σ)y σ(1)1... y σ(n)n = σ S n ε(σ)x σ(1)τ(1)... x σ(n)τ(n) = σ S n ε(σ) n k=1 x σ(k)τ(k)

305 II. DÉTERMINANT D UNE FAMILLE DE VECTEURS 305 On pose dans le produit k = τ(k ) (τ est une bijection). Il vient ϕ(x τ(1),..., x τ(n) ) = ε(σ) σ S n n k=1 Maintenant, on pose dans la somme σ = σ τ, et on obtient puisque ε(στ) = ε(σ). ϕ(x τ(1),..., x τ(n) ) = ε(στ) σ S n x στ(k)k n x σ(k)k = ϕ(x 1,..., x n ) k=1 II.3 Bilan Proposition 22.4 : Les formes n-linéaires alternées sur E sont les multiples de l application ϕ : E n K définie par ϕ(x 1,..., x n ) = σ S n ε(σ)x σ(1)1... x σ(n)n De plus, ϕ est l unique application n-linéaire alternée sur E qui prend la valeur 1 en (e 1,..., e n ). Corollaire 22.5 : Λ n (E) est un K-espace vectoriel de dimension 1. II.4 Déterminant d une famille de vecteurs Définition 22.3 : Avec les notations qui précèdent, l application ϕ est appelée «déterminant dans la base B», et est notée det B : det B (x 1,..., x n ) = σ S n ε(σ)x σ(1)1... x σ(n)n Remarque 22.2 : L application «déterminant dans la base B» est donc l unique application n-linéaire alternée sur E, f, telle que f(b) = 1. Remarque 22.3 : Lorsque σ décrit S n, σ 1 aussi. Le changement d indice σ = σ 1 dans l expression de ϕ montre (calcul omis) que l on a également : det B (x 1,..., x n ) = σ S n ε(σ)x 1σ(1)... x nσ(n)

306 306 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS II.5 Déterminant d une matrice carrée Définition 22.4 : Soit A M n (K). On appelle déterminant de A le déterminant de la famille des colonnes de A, identifiées à des vecteurs de K n, dans la base canonique de K n. Notation : Si A = (a ij ), on notera le déterminant de A : a 11 a 1n det A =.. a n1 a nn Proposition 22.6 : Soit A M n (K). On a det t A = det A. Démonstration : C est une conséquence directe de «l autre» écriture de ϕ dans le paragraphe précédent. II.6 exemples Pour n = 2, on a a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Pour n = 3, on a a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 21 a 12 a 33 a 11 a 32 a 23 a 31 a 22 a 13. De façon générale, pour n quelconque, un déterminant est une expression possédant n! termes. La moitié de ces termes est affectée d un signe plus (permutations paires), l autre moitié d un signe moins (permutations impaires). = II.7 Déterminants, bases, matrices inversibles Proposition 22.7 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension n, B une base de E, et F une famille de n vecteurs de E. Alors F est une base de E si et seulement si det B F 0. Proposition 22.8 : Soit A M n (K). Alors, A est inversible si et seulement si det A 0. Démonstration : Ces deux propositions sont évidemment deux points de vues d un même théorème. ( ) Supposons que F est une base de E. On dispose alors des DEUX applications n-linéaires alternées det B, mais aussi det F. Ces deux applications sont proportionnelles : il existe donc un réel λ (non nul) tel que det B = λ det F. En particulier det B (F) = λ det F (F) = λ 0. ( ) Supposon que F = (x 1,..., x n est liée. Alors, l un des vecteurs est combinaison linéaire des autres : i, x i = j i λ jx j. Mais alors, det(f) = det (x 1,..., λ j x j,..., x n ) B B j i = j i det B (x 1,..., λ j x j,..., x n )

307 III. CALCUL DES DÉTERMINANTS 307 où x j se trouve à la position i. Cette quantité est nulle par la propriété d alternance : x j se trouve à deux positions à la fois. III Calcul des déterminants III.1 Déterminant d une matrice triangulaire Proposition 22.9 : Soit M = (a ij ) 1 i,j n une matrice triangulaire supérieure : a ij = 0 si i > j. Alors det M = n k=1 a kk. Démonstration : On a det M = σ S n T σ où T σ = a σ(1)1... a σ(n)n. Mais si T σ 0 alors, par la triangularité de M, σ(1) 1,..., σ(n) n. D où σ = id par une petite récurrence. Il n y a donc au plus qu un terme non nul dans la somme. III.2 Déterminant d une matrice triangulaire par blocs Proposition : Soit A M n (K). Supposons la matrice ( M triangulaire ) par blocs, A C c est à dire qu il existe un découpage de M de la forme M = où A et D sont des 0 D matrices carrées. Alors, det M = det A det D. Démonstration : Nous admettons ce résultat, qui s étend d ailleurs à des matrices comportant un plus grand nombre de blocs Exemple : Soit M = On a det M = ( )( ) = III.3 Opérations sur les lignes et les colonnes Proposition : Échanger deux colonnes d un déterminant change le signe de celui-ci. Multiplier une colonne d un déterminant par un scalaire λ revient à multiplier ce déterminant par λ. Ajouter à une colonne d un déterminant une combinaison linéaire des autres colonnes ne change pas la valeur du déterminant. Démonstration : Ce sont des conséquences directes de l antisymétrie, de la multilinéarité, et de l alternance. Remarque 22.4 : Bien entendu, ces résultats sont également valables pour les opérations sur les lignes.

308 308 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS Exemple : Calculons D n = x x x On effectue d abord C 1 C 1 + C C n. Il vient D n = (x + n 1) 1 x x On effectue ensuite L i L i L 1, pour i = 2, 3,..., n. Il vient 1 1. D n = (x + n 1) 0 x = (x + n 1)(x 1) n x 1 III.4 Développement suivant une ligne ou une colonne Définition 22.5 : Soit A = (a ij ) M n (K). On appelle : Mineur de A d indices i, j le déterminant de la matrice obtenue en rayant la ligne i et la colonne j de A. Cofacteur de A d indices i, j le mineur de A d indices i, j multiplié par ( 1) i+j. ( ) a c Exercice : Calculer les mineurs et cofacteurs des matrices et b d On va maintenant établir une formule permettant de calculer le déterminant d une matrice en fonction de certains de ses cofacteurs. Soit A M n (K). Appelons A 1,..., A n les colonnes de A, identifiées à des vecteurs de K n, et soit B = (e 1,..., e n ) la base canonique de K n. Soit j un entier fixé entre 1 et n. On a det A = det B (A 1,..., A n ) = det B (A 1,..., = n i=1 n a ij e i,..., A n ) i=1 a ij det B (A 1,..., e i,..., A n ).

309 III. CALCUL DES DÉTERMINANTS 309 où e i est en jème position. Posons D ij = det B (A 1,..., e i,..., A n ) : a 11 0 a 1n D ij = a n1 0 a nn le 1 étant à la ligne i, colonne j. On effectue les opérations L i L i+1, L i+1 L i+2,...,l n 1 L n, puis C j C j+1, C j+1 C j+2,...,c n 1 C n, ce qui donne a 11 a 1n 0 D ij = ( 1) i+j... a n1 a nn 0 1 Attention, il n y a «plus» de ligne i et de colonne j dans le déterminant ci-dessus. Le calcul de ce déterminant par la formule de la définition fait apparaître une somme sur les σ S n tels que σ(n) = n. On change d indice en remarquant que l ensemble de ces permutations est en bijection avec S n 1. On trouve alors que D ij = cof(a, i, j). Proposition : Soit A = (a ij ) M n (K). Soit j [1, n]. On a det A = n a ij cof (A, i, j) i=1 Définition 22.6 : La formule précédente est appelée développement de det A par rapport à la colonne j. Tout ce qui vient d être vu peut être bien sûr transposé : Proposition : Soit A = (a ij ) M n (K). Soit i [1, n]. On a det A = n a ij cof (A, i, j) j=1 Définition 22.7 : La formule précédente est appelée développement de det A par rapport à la ligne i. Exemple : En développant le déterminant d une matrice 2 2, d une matrice 3 3, on retrouve les formules déjà vues précédemment.

310 310 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS Exemple : Calcul de D n = 1 + x 2 x 0 0 x 1 + x 2 x On développe par rapport à la première colonne : D n = (1 + x 2 )D n 1 x n 1 En développant n 1 par rapport à la première colonne, on voit que n 1 = xd n 2. D où D n = (1 + x 2 )D n 1 x 2 D n 2 Il ne reste qu à résoudre cette récurrence, la méthode la plus rapide étant sans doute de considérer D n D n 1, qui est le terme général d une suite géométrique. III.5 Un exemple plus compliqué Soit n N. Soient a 0,..., a n 1 n réels ou complexes. Soit V n (a 0,..., a n 1 ) le déterminant n n dans lequel le coefficient lige i, colonne j est a j i. Attention, une fois n est pas coutume, on numérote les lignes et les colonnes à partir de 0 et pas de 1. Ce déterminant s appelle le déterminant de Vandermonde et on se propose de le calculer. Plus explicitement, on a x 0 0 x x n 1 0 V n = x 0 1 x x n x 0 n 1 x 1 n 1... x n 1 n 1 On effectue les opérations suivantes : C n C k x n 1 C k 1 pour k = n, n 1,..., 2. On en déduit 1 x 0 x n 1 x 0 (x 0 x n 1 )... x n 2 0 (x 0 x n 1 ) 1 x 1 x n 1 x 1 (x 1 x n 1 )... x n 2 1 (x 1 x n 1 ) V n =... 1 x n 2 x n 1 x n 2 (x n 2 x n 1 )... x n 2 n 2 (x n 2 x n 1 ) Développons par rapport à la dernière ligne. Nous obtenons V n = ( 1) n+1 x 0 x n 1 x 0 (x 0 x n 1 )... x0 n 2 (x 0 x n 1 ) x 1 x n 1 x 1 (x 1 x n 1 )... x n 2 1 (x 1 x n 1 )... x n 2 x n 1 x n 2 (x n 2 x n 1 )... x n 2 n 2 (x n 2 x n 1 )

311 IV. DÉTERMINANT D UN ENDOMORPHISME 311 Beaucoup de factorisations sur les lignes! Pour obtenir finalement n 2 V n (x 0,..., x n 1 ) = V n 1 (x 0,..., x n 2 ) (x n 1 x k ) Par une récurrence simple, on en tire k=0 V n (x 0,..., x n 1 ) = k j(x j x k ) On a donc obtenu une factorisation complète du déterminant de Vandermonde, avec en prime une condition nécessaire et suffisante de nullité : Proposition : V n = 0 si et seulement si deux des x k sont égaux. Remarque 22.5 : Dans un sens, c était évident, puisque si deux des x k sont égaux on a deux lignes égales dans le déterminant. L autre implication n était pas triviale. Remarque 22.6 : On rencontre des déterminants de Vandermonde dans un grand nombre de situations. Prenons juste l exemple de l interpolation de Lagrange. Soient x 0,..., x n 1 C distincts deux à deux, soient y 0,..., y n 1 C. Soit P = n 1 k=0 a kx k un polynôme de C[X] de degré inférieur ou égal à n 1. On a pour tout j entre 0 et n 1 l égalité P (x j ) = y j si et seuelement si j {0,..., n 1}, n 1 k=0 a kx k j = y j. Interprétons matriciellement ce a 0 a 1 système dont les inconnues sont les a k. On peut encore l écrire AX = Y où X =., Y = y 0 y 1. y n 1 a n 1, et A = (xk j ) 0 j,k n 1. Le déterminant de A n est autre qu un déterminant de Vandermonde (transposé), DONC A est inversible et AX = Y si et seulement si X = A 1 Y. Le système a une unique solution, il existe un unique polynôme répondant à la question. Évidemment, cette méthode ne donne pas le polynôme, en tout cas pas sans résoudre le système, ce que nous ne ferons pas. IV Déterminant d un endomorphisme IV.1 Construction Proposition : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soit f L(E). Il existe un unique λ K tel que φ Λ n (E), x 1,..., x n E, φ(f(x 1 ),..., f(x n )) = λφ(x 1,..., x n )

312 312 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS Définition 22.8 : Ce scalaire λ est appelé le déterminant de f. Il est noté det f. Démonstration : Soit φ Λ n (E) \ {0}. L application ˆφ définie par ˆφ(x 1,..., x n ) est encore une forme n-linéaire alternée sur E. Donc, il existe un scalaire α tel que ˆφ = αφ. Il s agit maintenant de prouver que α ne dépend pas de φ. Pour cela, soit ψ une autre forme n-linéaire alternée, toujours non nulle. Il existe β tel que ˆψ = βψ. Mais il existe aussi un scalaire γ, non nul, tel que ψ = γφ, d où, facilement, ˆψ = γ ˆφ. De là, βψ = βγφ = γαφ. Comme γ et φ sont non nuls, il vient α = β. Exercice : Pourquoi ce scalaire λ est-il unique? IV.2 Calcul pratique Soit f un endomorphisme de E. Soit B une base de E. Alors, φ = det B est une forme n-linéaire alternée. On en déduit ˆφ = (det f)φ. On applique aux vecteurs de la base : ˆφ(B) = (det f)φ(b), ou encore φ(f(b)) = det f, puisque φ(b) = 1. Finalement : ou encore : det f = det B (f(b)) det f = det(mat B (f)) Exemple : Calcul du déterminant d une symétrie : si f est une symétrie de E, alors det f = ( 1) dim G où G est l ensemble des vecteurs changés en leur opposé par f. Il suffit pour cela d écrire la matrice de f dans une base judicieuse (laquelle?). IV.3 Interprétation Soient u 1,..., u n n vecteurs indépendants de K n. Soit B la base canonique de K n. Dans les cas n = 2 et n = 3, det B (u 1,..., u n ) est l aire (ou le volume) du parallélogramme ou du parallélépipède défini par ces vecteurs. Nous admettrons que ce résultat se généralise à une dimension quelconque. Soit alors f L(K n ). Les calculs du paragraphe précédent montrent que : det f = det B(f(u 1 ),..., f(u n )) det B (u 1,..., u n ) En d autres termes, f transforme les volumes dans un rapport constant, et le coefficient de proportionnalité est précisément le déterminant de f. IV.4 Propriétés de morphisme du déterminant Proposition : dimension finie E. On a Soient f et g deux endomorphismes d un K-espace vectoriel de det(g f) = det g det f

313 IV. DÉTERMINANT D UN ENDOMORPHISME 313 Proposition : Soient A, B M n (K). On a det(ab) = det A det B Démonstration : Ces deux théorèmes sont évidemment deux interprétations d une même chose. Soit B une base de E. Soit φ l application det B. On a φ(g f(b)) = det(g f)φ(b) = det(g f). Mais φ(g f(b)) = φ(g(f(b))) = det gφ(f(b)) = det g det fφ(b) = det g det f doù le résultat. Proposition : L application det est un morphisme surjectif du groupe (GL(E), ) sur le groupe (K, ). Proposition : L application det est un morphisme surjectif du groupe (GL n (K), ) sur le groupe (K, ). Démonstration : Soit f GL(E). On a f f 1 = id, d où (det f)(det f 1 ) = det id = 1. On en déduit que det f 0, et de plus, que det(f 1 ) = 1 det f. Donc, det a bien pour ensemble d arrivée K. La propriété de morphisme est déjà connue. La surjectivité est laissée en exercice. Remarque 22.7 : On a plus précisément que f est bijective si et seulement si det f 0. En effet, si det f 0, alors det B (f(b)) 0. La famille f(b) est donc une base de E et f est bien bijective. De même, si A M n (K), on a A inversible si et seulement si det A 0. Exercice : Deux matrices semblables ont le même déterminant. IV.5 Orientation d un espace vectoriel réel Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. Notons E l ensemble des bases de E. On définit une relation binaire sur E comme suit : Définition 22.9 : Étant données deux bases B et B de E, on a B B si et seulement si det f > 0, où f est l unique automorphisme de E qui envoie B sur B. Proposition : La relation est une relation d équivalence sur E. Démonstration : L identité envoie toute base B sur elle-même, et det id = 1 > 0. Donc, B B. Si f GL(E) en voie B sur B, et det f > 0, alors f 1 envoie B sur B et det(f 1 ) = 1 det f > 0. Donc, est symétrique. La transitivité est laissée en exercice, il suffit de constater que la composée de deux automorphismes de déterminant strictement positif en est encore un. Proposition : Lorsque dim E > 0, la relation possède exactement deux classes d équivalence. Démonstration : Remarquons d adord qu il existe f 0 GL(E) telle que det f 0 < 0. Pour cela, prendre par exemple une symétrie par rapport à un hyperplan. Soit maintenant B 1 une base de E, et C 1 la classe de B 1 modulo. Soit B 2 = f 0 (B 1 ), soit C 2 la classe

314 314 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS de B 2. Comme det f 0 < 0, on a B 1 B 2, donc C 1 C 2. On a au moins deux classes d équivalence. Soit maintenant B une base quelconque de E. Supposons que B C 1. Soit f l unique automorphisme de E qui envoie B sur B 1. On a donc det f < 0. Mais f f0 1 envoie B sur B et det(f f0 1 ) > 0 en tant que produit de deux nombres négatifs. Donc B C 2, on a au plus deux classes. Définition : Orienter E, c est Choisir arbitrairement l une des deux classes. Décréter directes les bases de la classe choisie. Décréter indirectes les bases de l autre classe. Remarque 22.8 : Une fois l espace orienté, on passe d une base directe à une base directe par un automorphisme de déterminant >0, d une base directe à une base indirecte par un automorphisme de déterminant < 0, et d une base indirecte à une base indirecte par un automorphisme de déterminant >0. Remarque 22.9 : En dimensions 2 et 3 il y a des conventions pour le choix de l orientation : sens trigonométrique dans le plan, règle des trois doigts dans l espace. V Inversion des matrices V.1 Définitions, Notations Définition : Soit A une matrice carrée. On appelle comatrice de A la matrice dont les coefficients sont les cofacteurs de A. Notation : On note Com A la comatrice de A et à la transposée de la comatrice de A. Exercice : Calcul de la comatrice et de sa transposée, de V.2 Produit d une matrice et de sa transcomatrice Proposition : Soit A M n (K). On a : Aà = ÃA = (deta)i n Démonstration : On calcule Aà :

315 V. INVERSION DES MATRICES 315 Soit i [1, n] : on a Soient i, j [1, n], i j : (AÃ) ii = = (AÃ) ij = n A ik (Ã) ki k=1 n A ik Cof(A, i, k) k=1 = det A n A ik Cof(A, j, k) k=1 Soit B la matrice fabriquée à partir de A comme suit : les lignes de B sont identiques aux lignes de A, sauf la ligne j de B que l on prend égale à la ligne i de A. B a donc deux lignes identiques, d où det B = 0. De plus, A ik = B ik = B jk, et Cof(A, j, k) = Cof(B, j, k), car la ligne j de B, la seule qui diffère des lignes de A, n intervient pas dans ce calcul de cofacteur. Donc, (AÃ) ij = n B jk Cof(B, j, k) = det B = 0 k=1 V.3 Application au calcul de l inverse Proposition : Soit A M n (K), det A 0. Alors : ( ) a c Exemple : Soit A = b d A 1 = 1 det AÃ une matrice 2 2. On a A 1 = 1 det A Exercice : Soit A = Calculer l inverse de A ( d c b a ).

316 316 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS VI Exercices 1. Calculer les déterminants ci-dessous (sous forme factorisée, évidemment) D = 0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0 D n = a + b b b a b a a a + b D n = x x D n = a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b n a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b n.... a n b 1 a n b 2 a n b n D n = D = D n = n n D n =. n 1 n n n 1 1 α β γ 2α 2α 2β β γ α 2β 2γ 2γ γ α β S inspirer des calculs effectués en cours pour le déterminant de Vandermonde pour factoriser le déterminant de Cauchy ( ( ) ) 1 C n (a 1,, a n, b 1,, b n ) = det a i + b j 1 i,j n où les a i et les b j sont tels que les sommes a i + b j soient toutes non nulles. 3. Soit A M n ({ 1, 1}). Montrer que det A est divisible par 2 n Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soit f L(E). Pour λ K, on pose P f (λ) = det(f λid E ). (a) Montrer que P f est une fonction polynôme de degré n. Quel est son coefficient dominant? Son coefficient constant? Son coefficient de degré n 1?

317 VI. EXERCICES 317 (b) Montrer qu un scalaire λ est valeur propre de f si et seulement si P f (λ) = 0. Combien f possède-t-il au plus de valeurs propres? (c) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l endomorphisme f de R 3 dont la matrice dans la base canonique a pour coefficients a ij = i + 3(j 1). ( ) On considère la matrice A =. On se donne également la suite (F 1 1 n ) n 0 définie par F 0 = 0, F 1 = 1, et pour tout entier naturel n, F n+2 = F n+1 + F n. ( ) (a) Montrer que, pour tout entier n 1, on a A n Fn 1 F = n. F n F n+1 (b) En déduire la valeur de F 2 n F n 1 F n+1. (c) On note φ et φ les racines du polynôme X 2 X 1. Montrer l existence de deux matrices colonnes E 1 et E 2 de M 2,1 (R), non colinéaires, tels que AE 1 = φe 1 et AE 2 = φe 2. (d) Déduire de la question précédente l existence d une ( matrice ) P GL 2 (R) (que φ 0 l on calculera ainsi que son inverse) telle que A = P P 0 φ 1. (e) En déduire la valeur de A n, puis une expression de F n en fonction de n. 6. (a) Soient n, p 1. Soit A M n (K). Montrer que A p = I n (Com A) p = I n. (b) Soit n 1. Soit A GL n (K). Montrer que Com A GL n (K) et (Com A) 1 = Com (A 1 ). 7. Soit A = (a ij ) M n (C). Montrer que det A n j=1 n i=1 a ij. 8. (a) Soient A, B GL n (R) telles que AB + BA = 0. Montrer que n est pair. (b) Donner un exemple de deux telles matrices lorsque n = Soit n 2. Trouver les matrices A M n (C) telles que M M n (C), det(a + M) = det A + det M 10. Soit n 1. Soient A, B M n (R) telles que AB BA = B. (a) Montrer que k N, AB k = B k (A + ki). (b) En déduire que det B = n (n + 1) Calculer D n =... n 2 (n + 1) 2 (n + 2) 2... (2n 1) 2 S 1 S 1... S 1 S 1 S 2... S Calculer D n =..... où S. k = k i=1 i. S 1 S 2... S n

318 318 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS 13. Calculer D n = 14. Calculer D n = ( 0 ) ( 1 ( 0 1)... n ( 1 ) ( 2 ( n) 0 1)... n+1 ) n (déterminant de taille n + 1). (... n ( n+1 ) ( 0) n ) n a b c a a b c a 15. Soit n 1. Soient A GL n (R), B M n (R). Montrer qu il existe un réel ε > 0 tel que x R, x ε A + xb GL n (R)

319 Chapitre 23 Systèmes linéaires 319

320 320 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES I Sous-espaces affines d un espace vectoriel I.1 Espaces affines - Points et vecteurs Nous ne décrirons pas ici la structure d espace affine. Un espace affine est un ensemble dont les éléments sont appelés des points. À tout espace affine sont associés un espace vectoriel, sa direction, et une opération de translation qui, à un point et un vecteur, associe un nouveau point. Nous nous contenterons dans ce qui suit de travailler dans un espace vectoriel E muni de sa structure canonique : les éléments de E sont vus selons les circonstances comme des points ou des vecteurs. Le translaté d un point a par le vecteur u est le point a + u. Le vecteur dont l origine est le point a et l extrémité est le point b est le vecteur ab = b a. Concrètement, dans le cas qui nous préoccupe, on a simplement un jeu de notations : b = a + u ab = u b a = u. I.2 Translations - sous-espaces affines Définition 23.1 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit u un vecteur de E. On appelle translation de vecteur u l application τ u : E E définie par τ u (x) = x + u. Proposition 23.1 : L ensemble T (E) des translations de E, muni de la composition des applications, est un groupe isomorphe au groupe additif de E. Démonstration : Pour tous vecteurs u, v de E, pour tout x E, on a τ u+v (x) = x + (u + v) = (x + v) + u = (τ u τ v )(x). On vérifie alors sans peine que l application τ : E T (E) définie par u τ u est un isomorphisme de groupes. Définition 23.2 : Soit F une partie de E. On dit que F est un sous-espace affine de E lorsqu il existe un point a E et un sous-espace vectoriel F de E tels que F = a + F. Proposition 23.2 : Avec les notations ci-dessus, le sous-espace vectoriel F est caractérisé de façon unique. Quant à a, on peut prendre n importe quel point de F. Démonstration : Supposons F = a + F = b + G où a, b E et F, G sont des sev de E. En remarquant que 0 F, on obtient que a F (et de même évidemment pour b). Toujours avec 0 F, on voit que a b + G, donc que ba G (et aussi ab = ba, et de même pour F ). Soit x F. On a a + x b + G, c est à dire il existe y G tela que a + x = b + y. D où x = (b a) + y G. Donc, F G. L inclusion réciproque se montre de la même façon, donc F = G. Définition 23.3 : et dirigé par F. On dit que F = a + F est le sous-espace affine de E passant par a Remarque 23.1 : La dimension d un sous-espace affine est par définition celle de sa direction. On parle ainsi de droite affine, de plan affine, etc.

321 I. SOUS-ESPACES AFFINES D UN ESPACE VECTORIEL 321 I.3 Parallélisme Définition 23.4 : Soient F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. On dit que F est parallèle à G lorsque F G. I.4 Intersection de sous-espaces affines Proposition 23.3 : Soit (F i ) i I une famille de sous-espaces affines de E. Alors, si l intersection F = i I F i est non vide, c est un sous-espace affine de E. Démonstration : Soit a F. Soit F = i I F i. Alors, on montre facilement que F = a + F. I.5 Barycentres-Parties convexes Proposition 23.4 : Soient a 1,..., a n n points de l espace vectoriel E. Soient λ 1,..., λ n K tels que n k=1 λ k 0. Il existe un unique point ω E tel que n k=1 λ kωa k = 0. Définition 23.5 : λ k. Le point ω est appelé le barycentre des a k affectés des coefficients Démonstration : Soit ω E. On a n k=1 λ kωa k = n k=1 λ k( Oa k Oω) où O est un point quelconque de E. Notons S = n k=1 λ k. Le point ω convient si et seulement si S Oω = n Oa k d où l existence et l unicité de ω (S est non nul). k=1 λ k Proposition 23.5 : Soit F une partie non vide du K-espace vectoriel E. Alors F est un sous-espace affine de E si et seulement si tout barycentre d éléments de F est encore un élément de F. Démonstration : Supposons que F = a+f est un sous-espace affine de E, passant par a, dirigé par F. Soit n 1. Soient a i = a+x i, 1 i n n points de F. Soient λ 1,..., λ n n scalaires dont la somme S est non nulle. Soit ω le barycentre des a i affectés des coefficients i λ ix i F. λ i. On a ω = 1 S ( i λ i(a + x i )) = 1 S (Sa + i λ ix i ) = a + z où z = 1 S Donc, ω F. Supposons inversement que F est stable par barycentres. Soit a F. Soit F = {p a, p F}. On a donc F = a + F, et il s agit de prouver que F est un sev de E. Tout d abord, a a = 0 F, donc F est non vide. Soient x = p a, y = q a F. Soit z = x + y. On a donc z = (p + q a) a. Mais p + q a est le barycentre de p, q, a affectés des coefficients 1, 1, 1. Donc p + q a F et z F. Enfin, soit x = p a F. Soit λ K. On a λx = λ(p a) = λp (λ 1)a a = q a où q n est autre que le barycentre de p et a affectés des coefficients λ et 1 λ. Donc, q F et λx F. Ainsi, F est bien un sev de E. Définition 23.6 : Soit E un K-espace vectoriel. Soient x, y E. Le segment x, y est l ensemble [x, y] = {(1 t)x + ty, t [0, 1]}. Remarque 23.2 : Soit z E. Alors, z [x, y] si et seulement si il existe t [0, 1], z = (1 t)x + ty. Ceci s écrit encore z x = t(y x) ou encore xz = t xy où t [0, 1].

322 322 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES Définition 23.7 : Soit A une partie du K-ev E. A est dite convexe lorsque pour tous x, y A on a [x, y] A. Proposition 23.6 : Soit A une partie du K-espace vectoriel E. Alors A est convexe si et seulement si tout barycentre d éléments de A à coefficients positifs est encore un élément de A. Démonstration : Supposons A stable par barycentres à coefficients positifs. Soient x, y A. Le segment [x, y] est justement constitué des barycentres de x et de y à coefficients positifs. Donc [x, y] A et A est convexe. Supposons inversement que A est convexe. Montrons par récurrence sur n que pour tout n 1, A est stable par barycentre de n points à coefficients positifs. Pour n = 1, il n y a rien à montrer. Pour n = 2, c est la définition de la convexité. Supposons la propriété vraie pour un certain n 1. Soient a 1,..., a n+1 n + 1 points de A. Soient λ 1,..., λ n+1 n + 1 réels positifs non tous nuls. Soit S leur somme. Soit p le barycentre des a k affectés des coefficients λ k. Si λ 1 =... = λ n = 0, on a p = a n+1 F. Sinon, on a p = 1 n+1 S k=1 λ ka k = (1 λ n+1 S )b + λ n+1 S a n+1 où b = 1 n n k=1 λ k k=1 λ ka k (vérification facile). Par l hypothèse de récurrence, on a b F. Or p est un barycentre de a et b, donc p F. I.6 hyperplans affines Définition 23.8 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. On appelle hyperplan affine de E tout sous-espace affine de E de dimension n 1. Définition 23.9 : Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E. Soit F = K n K. La partie de E d équation dans la base B F (x 1,..., x n ) = 0 est par définition l ensemble des points x = n k=1 x ke k tels que F (x 1,..., x n ) = 0. Proposition 23.7 : Tout hyperplan affine de E admet une équation du type n k=1 a kx k = b, où les a k ne sont pas tous nuls. Deux équations représentent le même hyperplan si et seulement si leurs coefficients (second membre y compris) sont proportionnels. Enfin, toute équation de ce type est celle d un hyperplan affine. Démonstration : Remarquons tout d abord qu une forme linéairenon nulle sur E est surjective. En effet, son image est un sev non nul de K, qui est de dimension 1 : c est donc K. Maintenant, toute équation du type n k=1 a kx k = b s écrit aussi f(x) = b où f est une forme linéaire non nulle sur E, ou encore f(x) = f(a) puisque f est surjective, ou encore f(x a) = 0 c est à dire x a H où H = ker f est un hyperplan vectoriel de E. Le reste de la preuve consiste à écrire ce que l on sait sur les équations des hyperplans vectoriels. II Introduction aux systèmes linéaires

323 II. INTRODUCTION AUX SYSTÈMES LINÉAIRES 323 II.1 Position du problème Un système linéaire de p équations à q inconnues est un système d équations du type (S) q a ij x j = b i, j=1 1 i p Un tel système pourra plus simplement être écrit (S) AX = B où A = (a ij ) M p,q (K), X = (x j ) M q,1 (K) et B = (b i ) M p,1 (K). Définition : Avec les notations ci-dessus : La matrice A est la matrice du système. La matrice B est le second membre. La matrice X est la matrice des inconnues. Le rang du système est le rang de A. Le système est dit compatible lorsqu il a au moins une solution, et incompatible sinon. Le système est dit homogène lorsque B = 0 : tout système homogène est compatible, puisqu il admet au moins la solution triviale X = 0. Remarque 23.3 : Si r est le rang du système, alors r min(p, q). Proposition 23.8 : Un système de une équation à q inconnues, ayant un premier membre non trivial, est toujours compatible. L ensemble de ses solutions est un hyperplan affine de K q Démonstration : Déjà faite. II.2 Interprétations Il y a plusieurs façons d interpréter l ensemble des solutions d un système. Chacune a ses avantages, en voici quelques unes ci-dessous. Résoudre p équations à q inconnues (vue naïve du problème, aucune interprétation, on résout et c est tout). Résoudre l équation matricielle AX = B à une inconnue X (vue matricielle, finalement, on a 1 équation à 1 inconnue). Résoudre l équation f(x) = b où f L(K q, K p ) (et tout l arsenal du cours d algèbre linéaire est à notre disposition). Intersection d hyperplans (vue géométrique).

324 324 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES II.3 Structure des solutions - Systèmes homogènes Proposition 23.9 : Soit (H) AX = 0 un système de p équations à q inconnues, de rang r. L ensemble S H des solutions de (H) est un sous-espace vectoriel de K q de dimension q r. Démonstration : Soit f L(K q, K p ), de matrice A. L ensemble des solutions de (H) est S H = ker f. D où le résultat par le théorème du rang. Remarque 23.4 : Si p < q (moins d équations que d inconnues), alors r p < q donc q r > 0 : il y a des solutions non triviales. En revanche, si q p, on ne peut rien dire sans un calcul précis du rang r. II.4 Structure des solutions - Cas général Proposition : Soit (E) AX = B un système de p équations à q inconnues de rang r. Soit (H) AX = 0 le système homogène associé. SI le système (E) est compatible, alors l ensemble S E des solutions de (E) est un sous-espace affine de K q dont la direction est S H. Démonstration : Soit x 0 une solution de (E). Soit x K q. Alors, x est solution de (E) si et seulement si x x 0 est solution de (H). Exercice : Regarder les systèmes suivants : trouver matrice, rang, puis résoudre et regarder la structure de l ensemble des solutions. { x + y = 5 1. x y = 3 { x + y + z = 5 2. x y z = x + y = 1 x + 2y = 3 3x y = λ x + 4t = 1 2x + 3y z = 3 x + 3y z 4t = 2 III Systèmes de Cramer III.1 Définitions Définition : Un système AX = B est dit de Cramer lorsque : Il y a autant d équations que d inconnues.

325 III. SYSTÈMES DE CRAMER 325 La matrice A du système est inversible. En résumé, lorsque p = q = r. Proposition : Soit A M n (K). Il y a équivalence entre : A est inversible. B M n,1 (K), le système AX = B a une unique solution. B M n,1 (K), le système AX = B est compatible. B M n,1 (K), le système AX = B a au plus une solution. La seule solution du système AX = 0 est X = 0. Démonstration : On interprète en termes de vecteurs et d applications linéaires. Soit f L(E). Nous avons à montrer qu il y a équivalence entre f est bijective. f est bijective (eh oui, encore!). f est surjective. f est injective. ker f = {0}. Mais tout cela, nous le savons déjà. III.2 Formules de Cramer Proposition : Soit AX = B un système de Cramer, A GL n (K). Pour 1 j n, soit A j la matrice obtenue en remplaçant la jème colonne de A par B. On a alors j [1, n], x j = det A j det A Démonstration : Soient C 1,..., C n les colonnes de A. Le système s écrit alors Or, x 1 C x n C n = B det A j = det(c 1,..., B,..., C n ) n = det(c 1,..., x i B i,..., C n ) i=1 = x j det(c 1,..., C n ) = x j det A tous les autres termes étant nuls à cause de la propriété d alternance. Exemple : système est Soit le système { ax + cy = α bx + dy = β x = αd βc ad bc, où ad bc 0. L unique solution de ce y = αb + βa ad bc

326 326 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES x + 2y z = 1 Exercice : Résoudre le système 3x y z = 0 2x + 2y + z = 0 Remarque 23.5 : Les formules de Cramer n ont d intérêt pratiques que pour les petites valeurs de n (2 ou 3). Elles sont en revanche d un intérêt théorique certain, puisqu elles donnent la forme des solutions du système. IV IV.1 Opérations sur les lignes et les colonnes des matrices Matrices élémentaires Notation : Pour k, l entiers, on note E kl M m,n (K) la matrice définie par (E kl ) ij = δ ki δ lj. Les matrices (E kl ) 1 k m,1 l n forment en fait la base canonique de M p,q (K). Soit A M p,q (K). Prenons m = n = q : (AE kl ) ij = = q A is (E kl ) sj s=1 q A is δ ks δ lj s=1 = δ lj A ik Ainsi, AE kl est la matrice dont toutes les colonnes sont nulles, sauf la lième qui est la kème colonne de A. De même, en prenant m = n = p, E kl A est la matrice dont toutes les lignes sont nulles, sauf la kième qui est la lème ligne de A. IV.2 Multiplication d une colonne par un scalaire Proposition : Soit Ml λ = I + (λ 1)E ll. Alors : AMl λ est la matrice dont toutes les colonnes sont les colonnes de A, sauf la lième, qui est égale à λ fois la lième colonne de A. Une multiplication à gauche par Ml λ effectue la même opération, mais sur les lignes. Démonstration : Le lecteur se fera une joie de vérifier cette assertion. Remarque 23.6 : On a det Ml λ = λ. Donc, si λ 0, alors det(aml λ rg(aml λ ) = rg A. ) = λ det A et

327 V. ALGORITHME DU PIVOT DE GAUSS 327 IV.3 Échange de colonnes Proposition : Soit X j1 j 2 = I E j1 j 1 E j2 j 2 + E j1 j 2 + E j2 j 1. Alors : AX j1 j 2 est la matrice obtenue en échangeant les colonnes j 1 et j 2 de la matrice A. Une multiplication à gauche par X i1 i 2 effectue la même opération, mais sur les lignes i 1 et i 2 de A. Démonstration : Même remarque que pour la démonstration précédente. Remarque 23.7 : On a det X j1 j 2 = 1. Donc, det(ax j1 j 2 ) = det A et rg(ax j1 j 2 ) = rg A. IV.4 Ajout à une colonne d un multiple d une autre colonne Proposition : Soit Ω λ j 1 j 2 = I + λe j2 j 1. Alors : AΩ λ j 1 j 2 est la matrice obtenue en ajoutant à la colonne j 1 de A, λ fois la colonne j 2 de A. Une multiplication à gauche par Ω λ i 1 i 2 effectue la même opération, mais sur les lignes i 2 et i 1 de A. Démonstration : Devinez? Remarque 23.8 : On a det Ω λ j 1 j 2 = 1. Donc, det(aω λ j 1 j 2 ) = det A et rg(aω λ j 1 j 2 ) = rg A. IV.5 Application aux systèmes linéaires Soit (E) AX = B un système de p équations, q inconnues, rang r. Un certain nombres d opérations fournissent un système ayant les mêmes solutions que (E). Ainsi : En échangeant deux équations de (E), on obtient un système (E ) A X = B ayant mêmes solutions que (E), même rang, et un déterminant opposé. En multipliant une équation de (E) par le scalaire λ, on obtient un système (E ) A X = B ayant mêmes solutions que (E), même rang, et un déterminant multiplié par λ. En ajoutant à une équation de (E) un multiple d une autre équation, on obtient un système (E ) A X = B ayant mêmes solutions que (E), même rang, et même déterminant. V Algorithme du Pivot de Gauss Le but de la méthode du pivot est la résolution de systèmes en utilisant exclusivement les opérations décrites plus haut. Soit le système (E) AX = B de p équations à q inconnues, de rang r. On se propose de transformer ce système en un système équivalent, de même rang, et matrice plus simple.

328 328 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES V.1 Première étape Si r = 0, alors A = 0 et on n a rien à faire : le système n a aucune solution si B 0. Si B = 0, l ensemble des solutions est K q. Si r 0, il existe i, j tels que a ij 0. Quitte à échanger deux équations, et peutêtre également deux inconnues, on peut supposer i = j = 1. On effectue les opérations suivantes : L 1 1 a 11 L 1 L i L i a i1 L 1 pour i = 2,..., p. On obtient ainsi un nouveau système équivalent au premier, et de même rang, (E 1 ) A 1 X = B 1, où 1 a a 1 1q 0 a a 1 2q A 1 =... 0 a 1 p2... a 1 pq V.2 Étape générale Supposons qu au bout de k étapes, on soit parvenu à un système équivalent au premier et de même rang, (E k ) A k X = B k, où A k = ( Ik... O p k,k... ) Si r = k, alors on a ( Ik... A k = O p k,k O p k,q k ) En effet, les k = r premières colonnes de A k sont indépendantes. Les autres colonnes sont donc combinaisons linéaires des k premières. En conséquence, on en déduit les solutions du système : Si b r r+1 =... = br p = 0, alors les solutions du système sont obtenues en choisissant arbitrairement les inconnues x r+1,..., x q. Les autres inconnues, x 1,..., x r sont alors uniquement déterminées. sinon, il n y a pas de solution : le système est incompatible. Si r > k, alors il existe i, j > k tels que a ij (sinon la matrice A k serait de rang k). Quitte à échanger deux équations, voire deux inconnues, on peut supposer que i = j = k+1. On effectue alors les opérations suivantes : 1 L k+1 a L (k+1)(k+1) k+1 L i L i a i(k+1) L k+1 pour i k + 1. On obtient ainsi un nouveau système équivalent au premier, et de même rang, (E k+1 ) A k+1 X = B k+1, où ( ) I A k+1 = k+1... O p k 1,k+1...

329 VI. COMPLÉMENTS 329 V.3 Conclusion On est donc à même de résoudre un système de rang r par la méthode du pivot en exactement r étapes. VI Compléments VI.1 Calcul du déterminant d une matrice carrée Soit A une matrice carrée n n. L algorithme du pivot permet de calculer le déterminant de A. Pour cela, on simule la résolution du système AX = B avec un second membre B virtuel (inutile de l écrire). À chaque étape de l algorithme, on obtient un nouveau système dont on connait le déterminant en fonction du déterminant du système précédent : on a multiplié une ligne par un scalaire, ce qui a multiplié le déterminant par ce même scalaire ;. On a peut-être aussi effectué des échanges de lignes, ce qui a changé le signe du déterminant. Si l algorithme termine en strictement moins de n étapes, alors det A = 0 puisque rg A < n. Sinon, le dernier système est IX = B, de déterminant 1. D où la valeur de det A. VI.2 Inversion d une matrice carrée La méthode du pivot peut s appliquer à un second membre et à inconnues «matricielles» : ceci revient à effectuer une résolution simultanée de systèmes. Prenons un exemple. Nous allons inverser en trois étapes A = On part du tableau et on utilise l algorithme du pivot. Première étape : L 2 L 2 4L 1 et L 3 L 3 7L 1. On obtient Deuxième étape : L L 2 puis L 1 L 1 2L 2 et L 3 L 3 + 6L 2. On obtient : Et enfin, L 3 L 3 puis L 1 L 1 + L 3 et L 2 L 2 2L 3. On obtient :

330 330 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES VI.3 On lit l inverse de la matrice A dans les trois dernières colonnes du tableau.. Évaluation de la complexité de la méthode du pivot Soit à résoudre un système de p équations, q inconnues, rang r. Cette résolution se fait en r étapes. À chaque étape, on fait les opérations suivantes : Échange possible de 2 lignes : q + 1 échanges. Échange possible de 2 colonnes : p échanges. Normalisation d une ligne : p + 1 divisions. Ajout à p 1 lignes d un multiple de la pième : (p 1)((q + 1) + (q + 1)) additions ou multiplications. On fait donc au total de l ordre de 2rpq opérations. Pour une système de Cramer n n, on a donc 2n 3 opérations. Ce nombre est également le nombre d opérations nécessaire pour calculer un déterminant avec la méthode du pivot. Pour inverser une matrice, il faut résoudre n systèmes, et on a donc de l ordre de 2n 4 opérations. À titre de comparaison, la formule générale pour le déterminant nécessite de l ordre de (n + 1)! opérations. Supposons donnée une machine effectuant opérations par seconde. Évaluons le temps nécessaire à cette machine pour résoudre un système n n de Cramer, avec la méthode du pivot, et avec la méthode naïve : n τ Gauss τ Sn s s s s s s s 162 ans s ans s ans s ans Remarque 23.9 : Prenons un ordinateur d une puissance de 100 Watts. Pour résoudre un système de 20 équations avec les formules de Cramer, il faudra une énergie de Joules. Sachant qu une centrale nucléaire fournit une puissance de 10 9 Watts, cela représente la quantité d énergie fournie par cette centrale pendant 5 minutes. C est à dire la consommation d environ un demi-kilo d uranium enrichi...

331 VII. EXERCICES 331 VII Exercices 1. Résoudre les systèmes linéaires ci-dessous (les paramètres éventuels m, a, b sont des nombres complexes) : (a) (b) (c) (d) x + my + (m 1)z = m + 1 3x + 2y + mz = 3 (m 1)x + my + (m + 1)z = m 1 ax + (b 1)y + 2z = 1 ax + (2b 3)y + 3z = 1 ax + (b 1)y + (b + 2)z = 2b 3 x + ay + a 2 z = 0 ax + y + az = 0 a 2 x + ay + z = 0 2x + y z = 2 x y + z = 4 3x + 3y z = 4a (2 a)x + 2y 2z = 2b 2. On considère les deux systèmes ci-dessous : (S 1 ) 10x + 9y + z = 50 9x + 10y + 5z = 40 x + 5y + 9z = 180 et (S 2 ) Résoudre ces deux systèmes et commenter le résultat obtenu. 3. Soit m C. Déterminer le rang des matrices suivantes : m 1 + m m 3 1 m m 2 m m 2 m m 1 m 3 10x + 9y + z = 50 9x + 10y + 5z = 41 x + 5y + 9z = m 1 1 m 1 1 m 1 1 m Soit m C. On se donne les plans vectoriels de C 3 d équations respectives x 2y + z = mx, 3x y 2z = my et 3x 2y z = mz. Déterminer une CNS sur m pour que ces trois plans contiennent une même droite vectorielle. 5. Soient a, b C. Résoudre 2x + y + z + t = 3 x + 2y + z + t = 1 x + y + 2z + t = 2 x + y + z + 2t = 4 4x 3y + 3z 4t = a 2x + 7y + 7z + 2t = b.

332 332 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES x 1 + x 2 = 2a 1 x 6. Soient a 1,..., a n n nombres réels. Résoudre 2 + x 3 = 2a 2. Interpréter géométriquement les solutions de ce x n + x 1 = 2a n système. 7. Soient a 1,..., a n n nombres réels. Résoudre 8. Soient a, b, c, α R. Soit (S) (α 5)x + 2y + 3z = a x + 2y + (α 3)z = b x + (α 4)y + 3z = c x 0 + x 1 = a 1 x 0 + x 2 = a 2 x 0 + x n = a n x 0 + x x n = 1 Quels sont les réels α pour lesquels le système S admet une unique solution? Résoudre dans le cas contraire. 9. Soient les doites D 1 et D 2 de l espace définies par { { x = 2 + z x + 2y + z = 4 (D 1 ) et (D y = 1 3z 2 ) 3x + 3y + 2z = 7 Les droites D 1 et D 2 sont-elles coplanaires? Si c est le cas, donner une équation cartésienne du plan qui les contient. x y + 2z = a 10. Soient m, a, b, c R. Soit (S) mx + (1 m)y + 2(m 1)z = b 2x + my (3m + 1)z = c Quels sont les réels m pour lesquels le système S admet une unique solution? Résoudre dans le cas contraire. x my + m 2 z = m 11. Soit m C. Soit (S) mx m 2 y + mz = 1 mx + y m 3 z = 1 Résoudre le système S en discutant selon les valeurs du paramètre m. x 1 + x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 12. Résoudre le système (S) 2 + x 3 + x 4 = 0... x n 2 + x n 1 + x n = 0 x n 1 + x n = 0 mx + y + z + t = Soit m C. Soit (S) x + my + z + t = m x + y + mz + t = m + 1 Résoudre le système S en discutant selon les valeurs du paramètre m. { x + my + z = Soit m R. Soit F m le sous-espace vectoriel de R 3 d équations (F m ) mx + y + mz = 0 Quelle est la dimension de F m?.

333 VII. EXERCICES Soit m R. Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R 3 définis par et F = {(x, y, z) R 3, x + my + z = 0 et mx + y mz = 0} G = {(x, y, z) R 3, x my + z = 0} Déterminer, en fonction de m, la dimension de F et G. Déterminer également la dimension de F G et la dimension de F + G.

334 334 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES

335 Chapitre 24 Espaces préhilbertiens réels 335

336 336 CHAPITRE 24. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS I Produits scalaires I.1 Notion de produit scalaire Définition 24.1 : Soit E un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute application ϕ : E E R vérifiant : ϕ est bilinéaire. ϕ est symétrique : x, y E, ϕ(x, y) = ϕ(y, x). ϕ est "positive" : x E, ϕ(x, x) 0. ϕ est "définie" : x E, ϕ(x, x) = 0 x = 0. Notation : Les produits scalaires sont notés de beaucoup de façons : x.y ou (x y) ou < x, y >, etc. Dans la suite, nous utiliserons la notation <, >. Exemple : E = R n, < x, y >= n k=1 x ky k : c est le produit scalaire canonique. E = C 0 ([0, 1]), < f, g >= 1 1 f(x)g(x) dx. E = M n (R), et < A, B >= tr( t AB). Exercice : Trouver tous les produits scalaires sur R n pour n = 1 et n = 2. Définition 24.2 : On appelle espace préhilbertien réel tout espace vectoriel réel muni d un produit scalaire. On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien réel de dimension finie. I.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz Proposition 24.1 : Inégalité de Schwarz Soit E un espace préhilbertien réel. ALors : x, y E, < x, y > 2 < x, x >< y, y > Il y a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. Démonstration : Si y est nul, on a égalité, ce qui prouve la proposition dans ce cas particulier. Supposons donc y 0. Soit λ un réel. Alors, 0 < x + λy, x + λy >=< x, x > +2λ < x, y > +λ 2 < y, y > On a là un trinôme du second degré qui garde un signe constant : son discriminant est donc négatif ou nul : c est l inégalité de Schwarz. Si x et y sont colinéaires, l égalité est claire. Inversement, si il y a égalité, le trinôme ci-dessus a un discriminant nul. Le trinôme a ainsi une racine réelle α. D où x + αy = 0 et la colinéarité des vecteurs x et y.

337 I. PRODUITS SCALAIRES 337 I.3 Norme euclidienne Définition 24.3 : Soit E un espace vectoriel réel (ou complexe). Une norme sur E est une application Φ : E R vérifiant : x E, Φ(x) 0. x E, Φ(x) = 0 x = 0. x E, λ K, Φ(λx) = λ Φ(x) (homogénéité). x, y E, Φ(x + y) Φ(x) + Φ(y) (inégalité de Minkowski). Proposition 24.2 : Soit E un espace préhilbertien. L application E R qui à tout vecteur x E associe x = x.x est une norme sur E, appelée norme euclidienne (associée au produit scalaire en question). Démonstration : L inégalité triangulaire est la seule des propriétés qui soit non triviale : x+y 2 =< x+y, x+y >= x 2 + y 2 +2 < x, y >. On termine grâce à l inégalité de Schwarz. Remarque 24.1 : L inégalité de Schwarz s écrit dorénavant : < x, y > x. y Du coup, on constate que si x et y sont non nuls, on a 1 < x, y > x. y 1 Définition 24.4 : Soient x et y deux vecteurs non nuls de l espace préhilbertien E. On appelle écart angulaire entre les vecteurs x et y le réel θ [0, π] défini par : θ = arccos < x, y > x. y Exercice : Montrer les propriétés suivantes : x + y = x + y si et seulement si x et y sont colinéaires et de même sens. x y x y Définition 24.5 : On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme 1. Tout vecteur u 0 est colinéaire à exactement deux vecteurs uni- Remarque 24.2 : u taires : u et u u. I.4 Distance euclidienne Définition 24.6 : Soit E un ensemble non vide. On appelle distance sur E toute application d : E E R vérifiant : x, y E, d(x, y) 0.

338 338 CHAPITRE 24. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS x, y E, d(x, y) = 0 x = y. x, y E, d(x, y) = d(y, x). x, y, z E, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Proposition 24.3 : Soit E un espace préhilbertien. L application d : E E R définie par d(x, y) = y x est une distance sur E, appelée distance euclidienne (associée au produit scalaire de E). Démonstration : Exercice. Cela résulte facilement des propriétés de la norme. I.5 Relations utiles Proposition 24.4 : On a dans tout espace préhilbertien les égalités suivantes : x + y 2 = x 2 + y < x, y > x y 2 = x 2 + y 2 2 < x, y > < x, y >= 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) (identité de polarisation). < x, y >= 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ) (identité de polarisation). < x, y >= 1 2 ( x y 2 + x 2 + y 2 ) (identité de polarisation). x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) (identité du parallélogramme). Démonstration : Pour la première et la deuxième égalité, il suffit de développer < x + y, x+y > et < x y, x y >. Les identités de polarisation et l identité du parallélogramme s en déduisent. Exercice : On définit sur R 2 (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2. Vérifier que l on a là une norme, mais que cette norme n est pas euclidienne. II Orthogonalité II.1 Vecteurs orthogonaux Définition 24.7 : Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs x et y de l espace préhilbertien E sont dits orthogonaux, et on note x y, lorsque < x, y >= 0. Proposition 24.5 : x y y x. x x x = 0. Le seul vecteur orthogonal à tous les vecteurs de E est le vecteur nul. Démonstration : Le produit scalaire est symétrique, donc l orthogonalité des vecteurs est une relation symétrique. < x, x >= 0 si et seulement si x = 0 Et enfin, si x est orthogonal à tous les vecteurs de E il est orthogonal à lui-même. Donc il est nul. Définition 24.8 : Familles orthogonales :

339 II. ORTHOGONALITÉ 339 Une famille F = (e i ) i I de vecteurs de E est dite orthogonale lorsque : i, j, i j < e i, e j >= 0 Si, de plus, on a i I, < e i, e i >= 1, on dit que la famille est orthonormée (ou orthonormale). Proposition 24.6 : Théorème de Pythagore. Soit (e i ) 1 i n une famille finie de vecteurs. Si cette famille est orthogonale, alors n e k 2 = k=1 La réciproque est vraie dans le cas où n = 2. Démonstration : n e k 2 = < k=1 = k=1 n e k 2 k=1 n e k, k=1 n e k > k=1 n e k < e i, e j > i<j d où le résultat : les produits scalaires en croix sont nuls lorsque la famille est orthogonale. De plus, lorsque n = 2, la formule de Pythagore équivaut à < e 1, e 2 >= 0. Proposition 24.7 : Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. Démonstration : Soit (e i ) i I ) une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Supposons i I λ ie i = 0. Soit j I. On a < i I λ ie i, e j >= λ j < e j, e j >= 0. D où λ j = 0. II.2 Sous-ensembles orthogonaux Définition 24.9 : Soient A et B deux parties de E. On dit que A est orthogonale à B, et on note A B, lorsque (x, y) A B, x y On parle ainsi par exemple de deux droites orthogonales du plan ou de l espace, ou encore d une droite et d un plan orthogonaux dans R 3. En revanche, deux plans de R 3 ne sont jamais orthogonaux. Exercice : Pourquoi? Et est-ce que deux plans peuvent être orthogonaux en dimension 4?

340 340 CHAPITRE 24. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS II.3 Orthogonal d une partie Définition : Soit A E. On appelle orthogonal de A l ensemble A = {y E, x A, < x, y >= 0} Proposition 24.8 : 1. E = {0} et {0} = E. 2. A et A sont orthogonaux. 3. A est un sous-espace vectoriel de E. 4. A B B A 5. A =< A > 6. A A Remarque 24.3 : Nous verrons bientôt que la dernière inclusion est en fait une égalité en dimension finie. Démonstration : 1. 0 est le seul vecteur de E orthogonal à tous les vecteurs de E, donc E = {0}. Tous les vecteurs de E sont orthogonaux à 0 donc {0} = E. 2. Soit A une partie de E. Soient x A et y A. On a y x donc A et A sont bien orthogonaux. 3. A est non vide, car il contient 0. Soient x, y A et z A. Soit λ R. On a < x, z >=< y, z >= 0, donc < λx + y, z >= λ < x, z > + < y, z >= Supposons A B. Un vecteur orthogonal à tous les vecteurs de B est a fortiori orthogonal à tous les vecteurs de A. Donc B A. 5. On a A < A >, donc < A > A. Inversement, Soit y A. Il est orthogonal à tous les vecteurs de A, donc, par bilinéarité du produit scalaire, à toutes les combinaisons linéaires de vecters de A. Donc y < A >. 6. Soit x A. On a pour tout y A, x y. Donc, x A. II.4 Algorithme de Gram-Schmidt Dans cette partie, E est un espace euclidien. Proposition 24.9 : Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E. Il existe une base orthogonale B = (u 1,..., u n ) de E telle que i {1,..., n}, < e 1,..., e i >=< u 1,..., u i >

341 II. ORTHOGONALITÉ 341 Démonstration : Posons u 1 = e 1, et, pour k = 2,..., n 1, u k+1 = e k+1 k i=1 < e k+1, u i > < u i, u i > u i On montre ensuite par récurrence sur k que cette famille répond aux conditions du théorème. Remarque 24.4 : Nous verrons bientôt que e k+1 u k+1 n est autre que la projection orthogonale de e k+1 sur < u 1,..., u k >. Corollaire : orthonormales). Tout espace euclidien possède des bases orthogonales (et même Remarque 24.5 : Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls de E peut être complétée en une base orthogonale de E : il suffit pour cela d appliquer : le théorème de la base incomplète, puis le procédé de Schmidt (à partir d un certain rang). Exercice : (7, 8, 8). Orthogonaliser la famille des trois vecteurs de l espace, (1, 2, 3), (4, 5, 6) et II.5 Conséquences Proposition : Soit E un espace euclidien. Soit F un sous-espace vectoriel de E. ALors : F F = E F = F Démonstration : Soit (e 1,..., e p ) une b.o.n. de F. On la complète en une b.o.n. (e 1,..., e n ) de E. Soit G =< e p+1,..., e n >. On montre facilement que G = F. Remarque 24.6 : Parmi tous les supplémentaires de F, il y en a donc un qui se distingue des autres : c est F, LE supplémentaire orthogonal de F. Proposition : Soit E un espace euclidien. Pour tout vecteur a E, soit ϕ a : E E définie par ϕ a (x) = a.x. L application ϕ : a ϕ a est un isomorphisme de E sur son dual E. Démonstration : L application ϕ est clairement linéaire, et aboutit bien dans E. De plus, si a ker ϕ, alors, a est orthogonal à tous les vecteurs de E, donc a = 0 : l application ϕ est injective. En raison de l égalité des dimensions de E et E, c est donc un isomorphisme. Remarque 24.7 : Ce résultat a priori abstrait est intéressant lorsqu on le relie à ce que l on sait sur les hyperplans et les formes linéaires. Rappelons que les hyperplans de E

342 342 CHAPITRE 24. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS sont les noyaux des formes linéaires non nulles sur E. Or, le noyau de la forme linéaire ϕ a est l orthogonal de la droite < a >. Encore plus concrètement, plaçons nous dans R 3 et considérons le plan d équation x 2y + 3z = 0. Soit a = (1, 2, 3). Le vecteur u est dans P si et seulement si φ a (u) =< a, u >= 0. II.6 Calculs en bases orthonormées Soit E un espace euclidien. Soit B = (e 1,..., e n ) une base orthonormée de E. Soient x, y E de composantes x i, y j dans la base B. On a alors x i =< x, e i > < x, y >= x i y i x 2 = x 2 i En définitive, tous les calculs sont identiques à ceux que l on ferait dans R n muni du produit scalaire canonique. Exercice : Que deviennent ces formules en base orthogonale? En base quelconque? III Projecteurs orthogonaux - Symétries orthogonales III.1 Définitions Définition : Soit F un sous-espace vectoriel de l espace euclidien E. Le projecteur orthogonal sur F est le projecteur sur F parallèlement à F. De même, la symétrie orthogonale par rapport à F est la symétrie par rapport à F parallèlement à F. Remarque 24.8 : Supposons donnée une base orthogonale de F, F = (u 1,..., u k ). Soit x un vecteur de E et p(x) son projeté orthogonal sur F. Alors, p(x) = k i=1 < x, u i > < u i, u i > u i Bien entendu, si la base est orthonormée, tout ceci devient : p(x) = k < x, u i > u i i=1 On reconnaît là les expressions qui intervenaient dans l algorithme de Schmidt. III.2 Cas particuliers Soit D =< e > où e est un vecteur non nul. Alors p D (x) = < x, e > e 2 e

343 IV. HYPERPLANS AFFINES D UN ESPACE EUCLIDIEN 343 Soit H = e un hyperplan de E. Alors puisque p D + p H = id E. p H (x) = x < x, e > e 2 e III.3 Distance d un vecteur à un sous-espace vectoriel Proposition : Soit F un sous-espace vectoriel de l espace euclidien E. Soit x E. Soit p(x) le projeté orthogonal de x sur F. On a alors y F, d(x, y) d(x, p(x)). y F, d(x, y) = d(x, p(x)) y = p(x). En clair, p(x), et lui seul, réalise le miimum de distance entre x et les vecteurs de F. Démonstration : On a y x = (y p(x)) + (p(x) x). Comme x p(x) F et y p(x) F, ces deux vecteurs sont orthogonaux. Ainsi, par Pythagore, y x 2 = y p(x) 2 + p(x) x 2 ou encore d(x, y) 2 = d(x, p(x)) 2 + d(p(x), y) 2. Définition : On appelle distance de x à F la quantité d(x, F ) = x p(x). Exemple : Si H = e est un hyperplan de E, alors d(x, H) = < x, e > e 2 Si D =< e > est une droite vectorielle, alors En développant, on obtient d(x, D) 2 = x < x, e > e 2 2 d(x, D) = x 2 e 2 < x, e > 2 e IV Hyperplans affines d un espace euclidien IV.1 Vecteur normal à un hyperplan Soit E un espace euclidien. Soit H un hyperplan affine de E, de direction l hyperplan vectoriel H. L orthogonal de H est une droite D. Définition : On appelle vecteur normal à H tout vecteur directeur de D.

344 344 CHAPITRE 24. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS Soit B = (e 1,..., e n ) une base orthonormée de E. Une équation de H dans la base B est (H) a 1 x a n x n = b où le n-uplet (a 1,..., a n ) est non nul. Une équation de H dans la base B est (H) a 1 x a n x n = 0 On constate immédiatement que cette équation peut encore s écrire < a, x >= 0 où a = n k=1 a ke k. On en déduit également que le vecteur a est un vecteur normal à H. Exemple : Dans le plan euclidien R 2, soit D la droite d équation 3x + 2y 5 = 0. Un vecteur normal à D est n = (3, 2). Dans l espace euclidien R 3, soit P le plan d équation 3x + 2y + 4z 5 = 0. Un vecteur normal à P est n = (3, 2, 4). IV.2 Distance d un point à un hyperplan affine Soit H un hyperplan affine de l espace euclidien E, passant par un point A, de vecteur normal unitaire n. La donnée de n fixe la direction H de H. La donnée de A fixe quant à elle H. Soit M un point de E. Soit P un point de H. Écrivons AM = h + λn, où h H et λ R. La quantité λ est en fait la distance de M à l hyperplan H. On l obtient facilement par un produit scalaire : < AM, n >=< h, n > +λ < n, n >, d où λ =< AM, n >. On a ainsi : Proposition : Soit H un hyperplan de E passant par A de vecteur normal n. Soit M E. La distance de M à H est d(m, H) = < AM, n > Exercice : Soit d R. L ensemble des points M de E tels que < AM, n >= d est un hyperplan affine de E, parallèle à H. De plus, tout hyperplan affine de E parallèle à H est de cette forme, pour un réel d judicieusement choisi.

345 V. EXERCICES 345 V Exercices 1. Soit φ la forme bilinéaire symétrique sur R 3 définie par x, y R 3, φ(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y (x 1y 2 + x 2 y 1 ) 1 2 (x 2y 3 + x 3 y 2 ) (a) Soit x R 3. Écrire φ(x, x) comme une somme de trois carrés. (b) En déduire que φ est un produit scalaire. (c) Donner une base de R 3 orthonormée pour φ. 2. Dans E = R 2 [X], on pose < P, Q >= 1 1 P (t)q(t) 1 t 2 dt. Prouver que l on a là un produit scalaire, et déterminer une base orthogonale de E pour ce produit scalaire. 3. Soient F et G deux sev d un espace euclidien E. (a) Montrer que (F G) = (F + G) = F G (b) Montrer que (F G) = F + G 4. Soit E un espace vectoriel euclidien. Soient B = (e i ) 1 i n une base orthonormée de E, f L(E) et A = (a ij ) 1 i,j n la matrice de f dans la base B. Exprimer, pour tout i et tout j, le coefficient a ij en fonction de f(e j ), de e i et d un produit scalaire. 5. Soit E un espace euclidien. (a) Soit f : E E une application (on n impose pas à f d être linéaire) vérifiant x, y E, < f(x), y >=< x, f(y) > Prouver que f est linéaire. Un tel endomorphisme est appelé un endomorphisme symétrique. (b) Soit B une base orthonormée de E. Montrer qu un endomorphisme de E est un endomorphisme symétrique si et seulement si sa matrice dans la base B est une matrice symétrique. (c) Montrer qu un projecteur orthogonal, une symétrie orthogonale, sont des endomorphismes symétriques. 6. Soit E = { 1 0 (x2 ax b) 2 dx, a, b R}. Calculer le plus petit élément de E. Indication : pourquoi cet exercice figure-t-il dans le chapitre sur les espaces préhilbertiens? 7. Sur E = C 1 ([0, 1]), on pose < f, g >= f(0)g(0) f (t)g (t) dt. Montrer que l on a là un produit scalaire. 8. Soit E un espace euclidien. Soit F = (e i ) 1 i n une famille de vecteurs unitaires de E tels que n x E, x 2 = < x, e i > 2 i=1 Prouver que F est une base orthonormée de E.

346 346 CHAPITRE 24. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS 9. Soit P le plan de R 3 d équation 2x + y + z = 0. (a) Déterminer P. (b) Déterminer l expression du projecteur orthogonal sur P, de la symétrie orthogonale par rapport à P. (c) Soit u R 3. Déterminer la distance de u à P. 10. Mêmes questions, mais pour la droite vectorielle D de R 3 engendrée par le vecteur (1, 2, 3). 11. Mêmes questions, mais on est dans R 4 et P est le plan engendré par les vecteurs (1, 0, 0, 1) et (1, 1, 1, 1). 12. Soit E un espace euclidien et p un projecteur de E. (a) On suppose que p est un projecteur orthogonal. Montrer que x E, p(x) x. (b) On suppose que p n est pas un projecteur orthogonal, c est à dire : p est le projecteur sur F parallèlement à G (avec F G = E) et u F, v G, < u, v > 0. Montrer qu il existe un vecteur x de E, combinaison linéaire de u et v, tel que p(x) > x. 13. Montrer qu une symétrie σ d un espace euclidien E est une symétrie orthogonale de E si et seulement si x E, σ(x) = x.

347 Chapitre 25 Endomorphismes orthogonaux 347

348 348 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX I Généralités Dans tout le chapitre, (E, <, >) désigne un espace euclidien. I.1 Notion d endomorphisme orthogonal Définition 25.1 : Soit f un endomorphisme de E. On dit que f est un endomorphisme orthogonal lorsque f conserve les produits scalaires, c est à dire : x, y E, < f(x), f(y) >=< x, y > Remarque 25.1 : En fait, la linéarité résulte de la conservation des produits scalaires. En effet, soit f : E E conservant les produits scalaires. Soit B = (e 1,..., e n ) une base orthonormée de E. On a pour tous i, j, < f(e i ), f(e j ) >=< e i, e j >= δ ij. Donc, la famille B = f(b) est une base orthonormée de E. Soient maintenant x, y E et i {1,..., n}. Soit X =< f(x+y) f(x) f(y), f(e i ) >. On a X =< f(x+y), f(e i ) > < f(x), f(e i ) > < f(y), f(e i ) > par bilinéarité du produit scalaire. Comme f conserve les produits scalaires, on a donc X =< x+y, e i > < x, e i > < y, e i >=< x+y x y, e i >= 0. Le vecteur f(x + y) f(x) f(y) est donc orthogonal à tous les vecteurs d une base de E, et donc, par linéarité, à tous les vecteurs de E. Ainsi, f(x + y) = f(x) + f(y). On démontre de façon analogue que pour tout vecteur x de E et tout réel λ, on a f(λx) = λf(x). Exemple : Les symétries orthogonales : Soit F un sous-espace vectoriel de E. Soit s la symétrie par rapport à F, parallèlement à F. Alors, s est un endomorphisme orthogonal de E. En effet, soient x = x + x et y = y + y deux vecteurs de E décomposés suivant F F. On a f(x) = x x et f(y) = y y. D où < f(x), f(y) >=< x, y > + < x, y > (les produits scalaires des «primes» par les «secondes» sont nuls). Mais cette quantié est aussi < x, y >. Définition 25.2 : Une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan est appelée une réflexion. Une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel de dimension n 2 (où n est la dimension de E) est appelée un demi-tour. Remarque 25.2 : égal à 1. Le déterminant d une réflexion vaut 1. Celui d un demi-tour est Notation : On note O(E) l ensemble des endomorphismes orthogonaux de E. I.2 Propriétés élémentaires Proposition 25.1 : L ensemble O(E), muni de la loi, est un groupe, sous-groupe de GL(E).

349 I. GÉNÉRALITÉS 349 Démonstration : On a vu un peu plus haut qu une base orthonormée était transformée par un endomorphisme orthogonal en une base orthonormée. Un endomorphisme orthogonal est donc un automorphisme. De plus, id E est clairement dans O(E). Enfin, O(E) est stable par composition et réciproque. Proposition 25.2 : norme euclidienne : Soit f L(E). Alors, f O(E) si et seulement si f conserve la x E, f(x) = x Démonstration : Si f conserve les produits scalaires, elle conserve évidemment la norme euclidienne. Inversement, supposons que f conserve la norme. On a pour tous vecteurs x, y E < f(x), f(y) >= 1 4 ( f(x) + f(y) 2 f(x) f(y) 2 ) La linéarité de f et la conservation de la norme permettent de conclure. Proposition 25.3 : Soit f O(E). On a pour tous x, y E, d(f(x), f(y)) = d(x, y). On dit que les endomorphismes orthogonaux sont des isométries (vectorielles). Démonstration : Une distance est la norme d une différence, et les endomorphismes orthogonaux conservent la norme. Remarque 25.3 : La réciproque est fausse : par exemple, les translations conservent les distances mais ne sont pas linéaires. On peut montrer en revanche que si f conserve les distances et f(0) = 0, alors f O(E). Voir le chapitre sur les isométries affines. Proposition 25.4 : On rappelle que l écart angulaire entre deux vecteurs non nuls x et y est l unique réel θ [0, 2π] tel que cos θ = <x,y> x y. Les endomorphismes orthogonaux conservent les écarts angulaires. Démonstration : Un endomorphisme orthogonal conserve le produit scalaire et de la norme. I.3 Endomorphismes orthogonaux et bases orthonormées Proposition 25.5 : Soit B une base orthonormée de E. Soit f L(E). Alors, f O(E) si et seulement si f(b) est une base orthonormée de E. Démonstration : Si f O(E), alors f conserve les produits scalaires, donc les vecteurs orthogonaux. f conserve également la norme, donc les vecteurs unitaires. Donc f conserve les bases orthonormées. Inversement, supposons que f(b) = B où B et B sont des bases orthonormées de E. Avec des notations évidentes, on a alors pour tous indices i et j, < f(e i ), f(e j ) >= δ ij =< e i, e j >. Mais cela entraîne que pour tous vecteurs x et y de E, < f(x), f(y) >= i,j x iy j < f(e i ), f(e j ) >= i,j x iy j < e i, e j >=< x, y >. L application f conserve bien les produits scalaires.

350 350 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX I.4 Matrices orthogonales Proposition 25.6 : Soit f L(E). Soit B une base orthonormée de E. Soit M = mat B f. Les assertions suivantes sont équivalentes : t MM = I M t M = I Les colonnes de M, vues comme vecteurs de R n, forment une base orthonormée de R n. f O(E) Démonstration : L équivalence des deux premiers points est un résultat connu : une matrice carrée est inversible à gauche si et seulement si elle est inversible à droite, et inverse à gauche et à droite sont alors uniques et égaux (à l inverse de la matrice). Le premier et le troisième point sont clairement équivalents : à la ligne i, colonne j de t MM, on trouve justement le produit scalaire des colonnes i et j de la matrice M. Enfin, le troisième et le quatrième point sont équivalents, puisque f est un endomorphisme orthogonal si et seulement si f(b) est une base orthonormée de E, c est-à-dire si et seulement si les colonnes de M sont unitaires et orthogonales deux à deux. Proposition 25.7 : On appelle matrice orthogonale toute matrice M M n (R) telle que t MM = I (ou, ce qui est équivalent, M t M = I, ou encore M est inversible et M 1 = t M). Notation : On note O n (R) l ensemble des matrices orthogonales n n. Exemple : Fabriquons une matrice orthogonale 3 3. Cela revient à fabriquer une base orthonormée de R 3 pour le produit scalaire canonique. Par exemple, la matrice M = convient car ses colonnes sont de norme 1, et orthogonales deux à deux (le vérifier!). Proposition 25.8 : L ensemble O n (R) est un groupe pour la multiplication matricielle, sous-groupe de GL n (R). Ce groupe est isomorphe à O(E) lorsque n = dim E. Démonstration : Soit B une base orthonormée de E. L application Φ : O(E) O n (R) définie par Φ(f) = mat B f est un isomorphisme de groupes. Proposition 25.9 : Soit M O n (R). Alors, det M = ±1. Démonstration : C est une conséquence immédiate de t MM = I. Proposition : Les ensembles SO(E) et SO n (R) formés respectivement des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1 et des matrices orthogonales de déterminant 1 sont des groupes. Ces deux groupes sont isomorphes. On les appelle respectivement le groupe spécial-orthogonal de E et le groupe spécial-orthogonal d ordre n.

351 II. LE GROUPE ORTHOGONAL DU PLAN 351 Démonstration : Ce sont des groupes, car ce sont les noyaux du morphisme «déterminant». Ils sont isomorphes par le même isomorphisme que celui vu un peu avant. Définition 25.3 : On appelle rotations les éléments de SO(E). Remarque 25.4 : On ne voit pas pourquoi. C est normal. Le reste du chapitre consiste à essayer de s en faire une idée en dimensions 2 et 3. I.5 Produit mixte E désigne un espace euclidien orienté de dimension n. Proposition : Soient B, B deux bases de E. Soit P = PB B la matrice de passage de B à B. Soient x 1,..., x n n vecteurs de E. On a mat B (x 1,..., x n ) = P mat B (x 1,..., x n ). Démonstration : Soient X 1, X 1 les matrices respectives de x 1 dans les bases B et B. On a X 1 = P X 1. Ainsi, la première colonne de la matrice mat B(x 1,..., x n ) est la première colonne de la matrice P mat B (x 1,..., x n ). Il en est de même pour les n 1 autres colonnes. Corollaire : Avec les notations ci-dessus, on a det B (x 1,..., x n ) = det P det B (x 1,..., x n ) Corollaire : Le déterminant det B (x 1,..., x n ) est le même dans toutes les bases orthonormées directes B. Démonstration : La matrice de passage d une b.o.n.d à une autre b.o.n.d est une matrice de rotation. Son déterminant est donc égal à 1. Définition 25.4 : On appelle produit mixte des vecteurs x 1,..., x n, et on note [x 1,..., x n ] le déterminant des vecteurs x 1,..., x n dans n importe quelle b.o.n.d de E. Exemple : Soit (e 1,..., e n ) une b.o.n.d de E. On a [e 1,..., e n ] = 1. En effet, c est le déterminant de la base dans n importe quelle b.o.n.d, par exemple elle-même. En revanche, le produit mixte des vecteurs d une b.o.n.i vaut 1. II Le groupe orthogonal du plan On se donne dans cette section f O(E), où E est un plan euclidien orienté. On suppose fixée une base orthonormée B de E. On appelle ( M la) matrice de f dans cette a c base. La matrice M est donc orthogonale. Posons M =. b d

352 352 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX II.1 Recherche des matrices orthogonales On écrit t MM = I. Cela fournit le système a 2 + b 2 = 1 ac + bd = 0 c 2 + d 2 = 1 D après les deux premières équations, il existe des réels θ et φ tels que a = cos θ, b = sin θ, c = cos φ,d = sin φ. La seconde équation montre qu alors cos(φ θ) = 0. Deux cas se présentent : ( ) cos θ sin θ Si φ = θ +π/2 modulo 2π, alors M =. On voit qu alors det M = sin θ cos θ 1, c est à dire que M SO 2 (R) et f ( SO(E). cos θ sin θ Si φ = θ π/2 modulo 2π, alors M = sin θ cos θ 1. II.2 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant -1 ). On voit qu alors det M = On a ici t M = M. Comme t MM = I, il vient donc M 2 = I, d où f 2 = id. f est donc une symétrie. On vérifie sans peine que f est la symétrie orthogonale (la réflexion) par rapport à la droite dirigée par le vecteur de coordonnées (cos θ 2, sin θ 2 ) dans la base B. Il suffit de vérifier que ce vecteur est invariant par f est que le vecteur ( sin θ 2, cos θ 2 ), orthogonal au premier, est changé par f en son opposé. II.3 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1 ( ) cos θ sin θ Ici, f est une rotation. Notons M(θ) =. On a donc SO sin θ cos θ 2 (R) = {M(θ), θ R}. Proposition : L application φ : R SO 2 (R) définie par φ(θ) = M(θ) est un morphisme de groupes surjectif. Démonstration : Un simple calcul montre que M(θ)M(θ ) = M(θ + θ ). D où la propriété de morphisme. Cette application est surjective par définition même de SO 2 (R). Remarquons enfin que M(θ) = I si et seulement si θ 2πZ. Notre morphisme a donc l ensemble 2πZ pour noyau, et n est donc pas un isomorphisme. Si l on veut fabriquer un isomorphisme entre SO 2 (R) et un groupe connu, il nous faut quelque chose qui représenterait les réels «modulo 2π». Cela existe : c est par exemple le groupe U des nombres complexes de module 1. Proposition : L application φ : U SO(2) définie par φ(e iθ ) = M(θ) est un isomorphisme de groupes. Démonstration : Laissée en exercice.

353 II. LE GROUPE ORTHOGONAL DU PLAN 353 Proposition : Soit f une rotation de E. La matrice de f ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie. Elle est de la forme M(θ), où θ R est défini de façon unique modulo 2π. Démonstration : Soient B et B deux bond de E. La matrice de f dans la base B est M = M(θ), et celle de f dans la base B est M = M(θ ). La matrice de passage de B à B est une matrice de rotation, puisque, ces deux bases ont la même orientation. Elle est donc de la forme P = M(φ). Les formules de changement de base donnent alors M = P 1 MP = M( φ)m(θ)m(φ) = M( φ + θ + φ) = M. Définition 25.5 : Le réel θ est appelé l angle de la rotation f, et caractérise complètement cette rotation. II.4 Angle orienté de deux vecteurs non nuls Proposition : Soient x et y deux vecteurs non nuls de E. Il existe une unique rotation f telle que f(x/ x ) = y/ y. L angle de cette rotation (défini modulo 2π) est appelé angle (orienté) entre les vecteurs x et y. Démonstration : On peut supposer x et y unitaires pour faire ( la démonstration. ) Fixons cos α une bond de E. Dans cette base, la matrice de x est X = et celle de y est sin α ( ) cos β Y =. Soit f une rotation, de matrice M(θ) dans la même base. On a f(x) = y si sin β et seulement si M(θ)X = Y ce qui équivaut (calcul immédiat) à θ β α mod 2π. D où l existence et l unicité de f. Remarque 25.5 : On a déjà parlé du produit mixte au début de l année. Nous avions alors défini le produit mixte [x, y] des vecteurs x et y du plan comme leur déterminant, sous-entendu dans la base canonique. En fait, la valeur de det B (x, y) ne dépend pas de la base orthonormée directe B choisie. Le produit mixte [x, y] de x et y est donc le déterminant de la famille (x, y) dans n importe quelle base orthonormée directe. Proposition : Soient x et y deux vecteurs non nuls du plan. Soit θ l angle orienté entre x et y. On a { < x, y > = x y cos θ [x, y] = x y sin θ Démonstration : Immédiat, en reprenant les matrices de x et y ci-dessus. II.5 Générateurs du groupe orthogonal Proposition : Les réflexions engendrent O(E). Démonstration : Le produit de deux matrices de réflexion est évidemment une matrice de rotation : en effet, deux matrices de déterminant -1 se multiplient en une matrice de

354 354 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX déterminant 1. Mieux, en effectuant effectivement ce calcul, on voit que l on peut obtenir toutes les matrices de rotation. On peut même choisir l une des deux matrices de réflexion de façon complètement arbitraire. Exercice : Le faire. III Produit vectoriel Dans toute cette section, E désigne un espace euclidien orienté de dimension 3. III.1 Notion de produit vectoriel Proposition : Soient u, v E. Il existe un unique vecteur a E tel que w E, [u, v, w] =< a, w >. Démonstration : L application w [u, v, w] est une forme linéaire sur E. Et on sait que l application a < a,. > est un isomorphisme de E sur son dual E. Définition 25.6 : Le vecteur a est appelé produit vectoriel de u et v et est noté u v. Il est donc caractérisé par w E, [u, v, w] =< u w, w > Proposition : L application (u, v) u v est bilinéaire, antisymétrique, alternée. Démonstration : Pour tous vecteurs u, u, v, w, on a < (u+u ) v, w >= [u+u, v, w] = [u, v, w]+[u, v, w] =< u v, w > + < u v, w >=< u v +u v, w >. D où (u+u ) v = u v + u v. De même pour toutes les autres propriétés de la bilinéarité. Pour l antisymétrie, [v, u, w] = [u, v, w] donc < v u, w >=< u v, w > d où v u = u v. Pour l alternance, prendre v = u dans l antisymétrie. III.2 Propriétés essentielles Proposition : colinéaires. Soient u, v E. On a u v = 0 si et seulement si u et v sont Démonstration : u v = 0 si et seulement si u v est orthogonal à tous les vecteurs w de E c est à dire w E, [u, v, w] = 0 ou encore w E, (u, v, w) est liée. Si (u, v) est liée, c est bien le cas. Si (u, v) est libre, le théorème de la base incomplète fournit un vecteur w tel que (u, v, w) soit une base de E, et donc [u, v, w] 0. Proposition : Soient u, v E. Le vecteur u v est orthogonal à u et à v. Démonstration : < u v, u >= [u, v, u] = 0 et de même pour v.

355 III. PRODUIT VECTORIEL 355 Proposition : Soit (e 1, e 2, e 3 ) une b.o.n.d. de E. On a e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2. Démonstration : Le vecteur e 1 e 2 est orthogonal à e 1 et e 2. Il appartient donc à l orthogonal de V ect(e 1, e 2 ) = V ect(e 3 ). Il existe ainsi un réel λ tel que e 1 e 2 = λe 3. De là, [e 1, e 2, e 3 ] = 1 =< e 1 e 2, e 3 >= λ e 3 2 = λ. Les autres relations se montrent de façon analogue. Remarque 25.6 : Par antisymétrie, e 2 e 1 = e 3 et relations analogues. Si la base est orthonormée indirecte, changer tous les signes. Remarque 25.7 : Soient u, v E deux vecteurs non colinéaires. Soit a = u v. Le vecteur a est non nul et orthogonal à u et v. De plus, [u, v, a] =< u v, a >=< a, a >> 0. Ainsi, la famille (u, v, a) est une base (pas orthogonale en général!) directe puisque son déterminant est strictement positif. Pour caractériser complètement a, il nous faudrait sa norme. C est ce que nous allons faire. Proposition : Soient u et v deux vecteurs non nuls. Soit θ l écart angulaire entre u et v. On a u v = u v sin θ. Démonstration : Supposons tout d abord u et v unitaires. Si u et v sont liés, l égalité est évidente. Supposons-les donc libres. Soit u 1 = v < v, u > u = v cos θu (Gram- Schmidt). Les vecteurs u et u 1 sont orthogonaux et non nuls. On a u 1 2 = v 2 + cos 2 θ u 2 2 cos θ < u, v >= 1 cos 2 θ = sin 2 θ. Donc u 1 = sin θ. Posons u 1 = sin θu, de sorte que u est unitaire et orthogonal à u. On a donc v = cos θu + sin θu. Soit enfin u tel que (u, u, u ) soit une base orthonormée directe. On a alors u v = u (cos θu + sin θu ) = cos θu u + sin θu u = sin θu et on en tire u v = sin θ. Lorsque u et v ne sont pas forcément unitaires, il suffit de poser u = u u 1, v = v v 1. Les vecteurs u 1 et v 1 sont unitaires, et de même écart angulaire que u et v. On a alors u v = u v u 1 v 1 = u v sin θ. Corollaire : Pour tous vecteurs u, v E, on a < u, v > 2 + u v 2 = u 2 v 2. Démonstration : Si u ou v est nul, c est évident. Sinon, il suffit d écrire < u, v >= u v cos θ où θ est l écart angulaire entre u et v. III.3 Calculs en base orthonormée directe Soit B = (e 1, e 2, e 3 ) une base orthonormée directe de E. Soient u, v deux vecteurs de E, de coordonnées u i et v i dans la base B. Calculons les coordonnées de u v. On a u v =< u 1 e 1 +u 2 e 2 +u 3 e 3, v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3 >= (u 2 v 3 u 3 v 2 )e 1 +(u 3 v 1 u 1 v 3 )e 2 +(u 1 v 2 u 2 v 1 )e 3. La formule n est pas très jolie, un bon moyen de s en souvenir est de la voir comme un «déterminant» 3 3 dont la troisième colonne contient des vecteurs. Plus précisément, on a la formule formelle u v = u 1 v 1 e 1 u 2 v 2 e 2 u 3 v 3 e 3

356 356 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX Exemple : Dans R 3 euclidien canonique orienté, le produit vectoriel de (1, 2, 3) et (4, 5, 6) 1 4 e 1 est 2 5 e 2 = ( 3, 6, 3). 3 6 e 3 III.4 Annexe : double produit vectoriel Proposition : Soient u, v, w E. On a u (v w) =< u, w > v < u, v > w Démonstration : Écrire les vecteurs u, v, w dans une b.o.n.d et développer les deux membres de l égalité. Remarque 25.8 : Le produit vectoriel n est donc pas associatif. Exercice : Soient u, v, w E. Montrer que [u v, v w, w u] = [u, v, w] 2. On a [u v, v w, w u] =< u v, (v w) (w u) >. Par la formule du double produit vectoriel, (v w) (w u) =< v w, u > w < v w, w > u. Le produit scalaire < v w, w > est nul puisque v w est orthogonal à w. Donc (v w) (w u) =< v w, u > w = [v, w, u]w = [u, v, w]w. De là, [u v, v w, w u] =< u v, [u, v, w]w >= [u, v, w] < u v, w >= [u, v, w] 2. IV Le groupe orthogonal de l espace IV.1 Sous espaces stables Soit E un espace euclidien de dimension quelconque. Soit f O(E). Valeurs propres de f Soit x E \ {0}. Supposons qu il existe un réel λ tel que f(x) = λx. Alors, λ = ±1. En effet, f(x) = λ x, mais aussi f(x) = x par conservation de la norme. Comme x est non nul, il vient λ = 1.. Droites stables par f Supposons qu il existe une droite D stable par f. Soit e un vecteur directeur de D. Il existe donc un réel λ tel que f(e) = λe. Donc, f(e) = ±e. Par linéarité, on a donc f(x) = x pour tout x D, ou f(x) = x pour tout x D. Ce qui vient d être dit ne s applique bien sûr qu aux droites stables. Par exemple, dans un plan stable, il peut arriver qu aucun vecteur (non nul) ne soit changé par f en un multiple de lui-même (exemple : une rotation du plan, tout simplement).

357 IV. LE GROUPE ORTHOGONAL DE L ESPACE 357 Orthogonal d un sous-espace stable Proposition : Soit F un sous-espace de E stable par f. Alors, f induit sur F un endomorphisme orthogonal de F. F est stable par f. Démonstration : Le premier point est évident. Soit maintenant x F. Soit y F. On a < f(x), f(y) >=< x, y >= 0. Donc, f(x) appartient à l orthogonal de f(f ). Mais F est stable par f, donc f(f ) F. De plus f est un isomorphisme, donc f conserve les dimensions, et donc f(f ) = F. Finalement, f(x) F. Donc, F est lui aussi stable par f. bilan L idée pour étudier un endomorphisme orthogonal de E est donc la suivante : on cherche les vecteurs invariants de f (on pourrait tout aussi bien chercher les vecteurs changés en leur opposé). L ensemble E 1 de ces vecteurs invariants est un sous-espace stable par f. Si ce sous-espace est non trivial, alors : f est l identité sur E 1. f est un endomorphisme orthogonal de E1. Or, dim E 1 ramenés à l étude des endomorphismes orthogonaux d un espace de dimension strictement plus petite. < dim E. On s est donc Dans ce qui suit, on se place dans un espace euclidien orienté de dimension 3. IV.2 Cas 1 : Les invariants forment tout l espace Ce cas est trivial : f = id E. IV.3 Cas 2 : Les invariants forment un plan Soit P le plan en question. La droite D = P est alors stable par f. Les vecteurs de D sont donc changés en leur opposé par f (hormis le vecteur nul, ils ne peuvent pas être invariants, puisque les invariants sont tous dans P, et que D P = {0}). On constate donc que f est la réflexion par rapport à P. IV.4 Cas 3 : Les invariants forment une droite Soit D la droite en question. Le sous-espace P = D est un plan stable par f, et f est un endomorphisme orthogonal de P. Ce ne peut être une réflexion de P, puisque tous les vecteurs invariants par f sont sur D. C est donc une rotation dep (différente de l identité). Un petit problème se pose alors : il convient d orienter P, mais il n y a aucune façon «logique» d effectuer cette orientation de manière compatible avec l orientation de l espace E. On procède comme suit :

358 358 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX On oriente la droite D en choisissant sur D un vecteur unitaire e 3 (deux choix arbitraires sont donc possibles). Une base orthonormée (e 1, e 2 ) de P est déclarée directe lorsque la base (e 1, e 2, e 3 ) est une base orthonormée directe de E. La restriction de f à P est alors la rotation d angle θ 0[2π]. On remarque que la matrice de f dans une base orthonormée directe de dernier vecteur e 3 est alors cos θ sin θ 0 M = sin θ cos θ On voit que det f = 1 : f est donc une rotation. Définition 25.7 : f est la rotation d axe D orienté par e 3, et d angle θ. L axe orienté et l angle caractérisent complètement f. Remarque 25.9 : Si l on change l orientation de D, on change θ en θ. IV.5 Cas 4 : Le seul invariant est 0 Là, on est un peu embêtés. Cependant, on peut s en tirer par une petite acrobatie. Soit λ un réel. Il existe un vecteur x non nul tel que f(x) = λx si et seulement si det(f λid E ) = 0. Or l application λ det(f λid E ) est une fonction polynômiale de degré 3. Or, tout polynôme de degré 3 a une racine réelle (pourquoi? penser au théorème des valeurs intermédiaires). Il existe donc forcément un vecteur non nul x et un réel λ tel que f(x) = λx. Ce λ vaut 1 ou 1, mais ce n est pas 1. C est donc 1. Ainsi, l ensemble G des vecteurs changés en leur opposé est un sous-espace vectoriel non trivial de E. Il peut être de dimension 1,2 ou 3. Considérons chacun des trois cas : G = E : dans ce cas, f = id E. Ce n est pas une rotation. G est un plan. C est impossible, car alors G serait une droite stable, nécessairement composée de vecteurs invariants. Mais f n a pas d invariants à part le vecteur nul. G = D est une droite. Soit P l orthogonal de D. Soit σ la réflexion par rapport à P. On constate alors que f σ admet G pour droite d invariants. Donc, f σ est une rotation ρ d axe D. De là, f = ρ σ. Et pour finir, det f = det ρ det σ = 1. Donc f n est pas une rotation. Remarque : On vérifie facilement dans le dernier cas que ρ σ = σ ρ. On peut également montrer l unicité des applications σ et ρ. IV.6 Conclusion Proposition : Les endomorphismes orthogonaux de E de dimension 3 sont : Les rotations qui, mise à part l identité, sont caractérisées par un axe et un angle. Les réflexions, caractérisées par un plan. Les composées d une réflexion et d une rotation différente de l identité d axe orthogonal au plan de la réflexion, caractérisées par un axe orienté et un angle.

359 IV. LE GROUPE ORTHOGONAL DE L ESPACE 359 Exercice : Vérifier que id E entre bien dans la dernière catégorie. IV.7 Générateurs de O(E) et de SO(E) Nous montrons dans cette section que les réflexions engendrent O(E), c est à dire que tout endomorphisme orthogonal est une composée de réflexions. Ainsi, les réflexions sont des endomorphismes orthogonaux élémentaires, en ce sens que l on peut avec celles-ci fabriquer tous les autres. Nous donnons une démonstration purement matricielle. Elle a l avantage d être rapide, mais de cacher le sens géométrique de ce théorème. Il est conseillé de faire l exercice qui suit la proposition. Proposition : Les réflexions engendrent O(E). Démonstration : Nous allons démontrer que toute rotation est la composée de deux réflexions. Comme les endomorphismes orthogonaux de E sont les rotations et les composées d une réflexion et d une rotation, cela prouvera le théorème. Soit f une rotation différente de l identité, d angle θ. Dans une base B orthonormée directe judicieuse, la matrice de f cos θ sin θ 0 cos θ sin θ 0 est M = sin θ cos θ 0. Soit A = sin θ cos θ 0. A est une matrice orthogonale et A 2 = I. C est donc une matrice de symétrie orthogonale. De plus, det A = et A I, c est donc la matrice d une réflexion. De même, B = est une matrice de réflexion. On a AB = M, ce qui prouve notre assertion. Exercice : Déterminer les caractéristiques des réflexions qui apparaissent dans la démonstration de la proposition ci-dessus. Nous énonçons et démontrons un théorème analogue au précédent pour SO(E), mais cette fois-ci avec les demi-tours. Proposition : Les demi-tours engendrent SO(E). Démonstration : Nous allons démontrer que toute rotation est la composée de deux demi-tours. Soit f une rotation différente de l identité, d angle θ. Dans une base B orthonormée cos θ sin θ 0 directe judicieuse, la matrice de f est M = sin θ cos θ 0. Soit A = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0. A est une matrice orthogonale et A 2 = I, donc A est une matrice de symétrie orthogonale. De plus, det A = 1 et A I, c est donc la matrice d un demi-tour De même, B = est une matrice de demi-tour. On a AB = M, ce qui prouve notre assertion.

360 360 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX Exercice : Déterminer les caractéristiques des demi-tours qui apparaissent dans la démonstration de la proposition ci-dessus. IV.8 Compléments sur les rotations Angle entre un vecteur et son image Soit f une rotation de l espace d angle θ. Dans une bond B = (e 1, e 2, e 3 ) judicieusement choisie, la matrice de f est cos θ sin θ 0 M = sin θ cos θ Soit x = ae 1 + be 2 + ce 3 un vecteur unitaire de E. On a f(x) = (a cos θ b sin θ)e 1 + (a sin θ + b cos θ)e 2 + ce 3. Ainsi, < x, f(x) >= a(a cos θ b sin θ) + b(a sin θ + b cos θ) + c 2 = (a 2 + b 2 ) cos θ + c 2 = cos θ + c 2 (1 cos θ). x et f(x) étant unitaires, cette quantité est égale à cos φ où φ est l écart angulaire entre x et f(x) : cos φ = cos θ + c 2 (1 cos θ). On constate que cos φ cos θ, c est à dire φ θ, avec égalité si et seulement si c = 0, c est à dire si et seulement si le vecteur x est orthogonal à l axe de la rotation. Expression de l image d un vecteur On reprend f(x) = (a cos θ b sin θ)e 1 + (a sin θ + b cos θ)e 2 + ce 3 = cos θ(ae 1 + be 2 ) + sin θ( be 1 +ae 2 )+ce 3. Par ailleurs, ae 1 +be 2 = x ce 3, be 1 +ae 2 = e 3 x, et c =< x, e 3 >. Donc, f(x) = cos θ(x < e 3, x > e 3 ) + sin θe 3 x+ < e 3, x > e 3. Appelons ω le vecteur e 3 (vecteur unitaire orientant l axe). On obtient f(x) = (cos θ)x + (sin θ)ω x + (1 cos θ) < ω, x > ω Exercice : Calculer la matrice dans la base canonique de la rotation d angle π 2 d axe orienté par le vecteur (1, 1, 1).

361 V. EXERCICES 361 V Exercices 1. Soit u un endomorphisme orthogonal dans un espace euclidien E. (a) On pose v = u id E. Montrer que Ker v = Im v. (b) Pour x E et n N, on pose x n = 1 n n k=0 uk (x). Montrer que lorsque n, x n converge vers la projection orthogonale de x sur Ker v. 2. Soit A = (a ij ) 1 i,j n O n (R). 1 (a) Soit X = matrice A.. 1. Vérifier que t XAX est égal à la somme des coefficients de la (b) Interpréter la quantité précédente comme un produit scalaire, et en déduire que a ij n 1 i,j n (c) Montrer que le majorant n obtenu ci-dessus est optimal. 3. Soit a = (α 1,, α n ) un vecteur unitaire de R n. Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à H = a. 4. Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. (a) Montrer que pour tous vecteurs u 1,..., u n de E, on a [u 1,..., u n ] u 1... u n. (b) En déduire que pour toute matrice A = (a ij ) M n (R) telle que i, j, a ij 1, on a det A n n 2.

362 362 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX

363 Chapitre 26 Intégration 363

364 364 CHAPITRE 26. INTÉGRATION I Intégration des fonctions en escalier I.1 Subdivisions d un segment Définition 26.1 : Soit I = [a, b] un segment de R. On appelle subdivision de I toute suite finie σ = (x 0, x 1,, x n ) de points de I vérifiant x 0 = a < x 1 < < x n = b. On note S(a, b) l ensemble des subdivisions du segment [a, b]. Définition 26.2 : Soit σ = (x i ) 0 i n S(a, b). On appelle pas de σ le réel µ(σ) = max 0 i<n (x i+1 x i ). On appelle support de σ l ensemble {x i, 0 i n}. Exemple : Soient a < b, et n 1. Pour 0 k n posons x k = a + k b a n. On obtient une subdivision à pas constant dont le pas est µ n = b a n. Définition 26.3 : Soit σ = (x i ) 0 i n et σ = (x i ) 0 i m S(a, b). On dit que σ est plus fine que σ, et on note σ < σ lorsque le support de σ est inclus dans celui de σ. Proposition 26.1 : Soient σ, σ S(a, b). Il existe une subdivision de [a, b] à la fois plus fine que σ et que σ. Démonstration : C est par exemple la subdivision dont le support est la réunion des supports de σ et de σ. I.2 Notion de fonction en escalier Définition 26.4 : Soit φ : [a, b] R. On dit que φ est en escalier sur [a, b] lorsqu il existe une subdivision σ = (x i ) 0 i n de [a, b] telle que φ soit constante sur les intervalles ]x i, x i+1 [. Définition 26.5 : Une telle subdivision est une subdivision adaptée à φ. Il est clair que si σ est une subdivision adaptée à φ, alors toute subdivision plus fine que σ est encore adaptée. Exemple : Les fonctions constantes sont en escalier sur tout segment. Proposition 26.2 : L ensemble E(a, b) des fonctions en escalier sur [a, b] est une R- algèbre. Démonstration : Montrons que c est une sous-algèbre de l algèbre R [a,b]. La fonction constante égale à 1 est en escalier. Soient φ, ψ en escalier sur [a, b]. Soit σ une subdivision adaptée à φ et à ψ. Il suffit pour en créer une de prendre une subdivision adaptée à φ, une subdivision adaptée à ψ, et de créer la subdivision dont le support est la réunion des supports de ces deux subdivisions. Il est alors clair que cette nouvelle subdivision est adaptée à φ + ψ, à φψ et à λψ pour tout λ réel.

365 I. INTÉGRATION DES FONCTIONS EN ESCALIER 365 I.3 Intégrale d une fonction en escalier Proposition 26.3 : Soit φ : [a, b] R. Soit σ = (x i ) 0 i n une subdivision adaptée à φ. Soit y i la valeur (constante) de φ sur ]x i, x i+1 [. La quantité n 1 i=0 y i(x i+1 x i ) ne dépend pas de la subdivision σ. Démonstration : Sans entrer dans les détails de la preuve, cela signifie que si l on coupe un rectangle en deux, l aire totale est la somme des aires des deux morceaux. Définition 26.6 : La quantité introduite dans le théorème précédent est appelée intégrale de φ sur [a, b], et notée b a φ, ou [a,b] φ, ou encore b a φ(x) dx. I.4 Propriétés Proposition 26.4 : On a pour toutes fonctions φ, ψ E(a, b) et tout réel λ : Linéarité 1 : b a (φ + ψ) = b a φ + b a ψ. Linéarité 2 : b a λφ = λ b a φ. Croissance : φ ψ b a φ b a ψ. b a φ b a φ Démonstration : Pour la linéarité 1, prendre une subdivision adaptée à φ et à ψ en même temps. La linéarité 2 et la croissance sont évidentes. Pour la dernière inégalité, remarquons d abord que si φ E(a, b), il en va de même pour φ. Maintenant, φ φ, donc par la croissance, on a b a φ b a φ. De même, φ φ, donc par croissance et linéarité, b a φ b a φ. D où l inégalité voulue. Proposition 26.5 : [Formule de Chasles] Soient a, b, c R, a < b < c. Soit φ : [a, c] R. Alors φ E(a, c) si et seulement si φ E(a, b) et φ E(b, c). De plus, c a φ = b a φ + c b φ Démonstration : On n entre pas dans les détails. Disons simplement qu un réunissant une subdivision adaptée sur [a, b] et une subdivision adaptée sur [b, c], on fabrique une subdivision adaptée sur [a, c], inversement, si on a une subdivision adaptée sur [a, c], on obtient des subdivisions adaptées sur [a, b] et [b, c] en la coupant en deux et en rajoutant éventuellement b aux deux subdivisions obtenues. Remarque 26.1 : On généralise la notation intégrale en posant b a φ = a b φ et a a φ = 0. La formule de Chasles est alors vérifiée dans tous les sens (si j ose dire). La linéarité fonctionne encore, mais attention aux inégalités qui se renversent.

366 366 CHAPITRE 26. INTÉGRATION II Continuité uniforme II.1 Définitions Définition 26.7 : Soit f : I R. On dit que f est uniformément continue sur I lorsque ε > 0, δ > 0, x, y I, x y δ f(x) f(y) ε Proposition 26.6 : Si f est uniformément continue sur I, alors f est continue sur I. La réciproque est fausse. Démonstration : Supposons f uniformément continue sur I. Soit a I. Soit ε > 0. Il existe δ > 0 tel que pour tous x, y I, x y δ implique f(x) f(y) ε. C est en particulier vrai pour y = a, d où la continuité de f en a. Pour la réciproque, voir les deux exemples ci-dessous. Exemple : Soit f : R + R définie par x x 2. Nous allons montrer que f n est pas uniformément continue sur R +, c est à dire que ε > 0, δ > 0, x, y I, x y δ et f(x) f(y) > ε En d autres termes, on peut trouver des x et des y aussi proches que l on désire mais dont les images sont éloignées de plus de ε, ce ε restant à trouver. Pour n 1, soient x n = n et y n = n + 1 n. Alors x n y n = 1 n qui est aussi petit qu on le désire. Mais x 2 n yn 2 = > 2. Donc, ε = 2 fait l affaire. n 2 Exemple : Soit f : R + R définie par x 1 x. Nous allons montrer que f n est pas uniformément continue sur R +. Pour n 1, soient x n = 1 n et y n = 2 n. Alors x n y n = 1 n qui est aussi petit qu on le désire. Mais 1 x n 1 y n = n 2 > 123 pour n > 456. Donc ε = 123 fait l affaire. Vici un exemple important d e toute une classe de fonctions uniformément continues. Toute fonction lipschizienne est uniformément continue. La réci- Proposition 26.7 : proque est fausse. Démonstration : Soit f k-lipschitzienne sur I (k > 0). Soit ε > 0. Soit δ = ε k. Alors, pour tous x, y I, x y δ implique f(x) f(y) k x y kδ = ε. Pour la réciproque prendre par exemple x x 2 sur R. Pour un contre exemple de fonction uniformément continue sur un segment mais pas lipschitzienne, voir un peu plus bas. Proposition 26.8 : Théorème de Heine. Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue. Remarque 26.2 : La fonction x x est donc uniformément continue sur [0, 1], alors qu elle n y est pas lipschitzienne.

367 III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE 367 Démonstration : Supposons f continue sur le segment [a, b] mais pas uniformément continue. Il existe donc ε > 0 tel que, pour tout δ > 0, il existe x, y [a, b] tels que x y δ et f(x) f(y) > ε. Pour tout entier n 1, prenons δ = 1 n. On a donc deux suites (x n ) et (y n ) d éléments de [a, b] telles que x n y n 1 n et f(x n) f(y n ) > ε. La suite (x n ) est bornée. d après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite (x φ(n) ) convergeant vers c (évidemment, c [a, b]). Comme x φ(n) y φ(n) 1 φ(n) 1 n, la suite (y φ(n) ) converge aussi vers c. Mais f est continue en c donc f(x φ(n) ) f(c) et f(y φ(n) ) f(c). Par passage à la limite dans la minoration par ε, on obtient 0 ε, contradiction. La fonction f est donc uniformément continue. Remarque 26.3 : La notion de continuité uniforme est une notion difficile à se représenter. Être continu ne suffit pas, sauf si l on est sur un segment. Être lipschitzien est trop fort... On peut démontrer que la fonction f : I R est uniformément continue sur I si et seulement si ε > 0, k R +, x, y I, f(x) f(y) k x y + ε c est à dire qu une fonction est uniformément continue si et seulement si, pour tout ε > 0, elle est k-lipschitzienne «à ε près», le k dépendant du ε. À méditer... III Construction de l intégrale III.1 Fonctions continues par morceaux Définition 26.8 : Soit f : [a, b] R. On dit que f est continue par morceaux sur [a, b] lorsqu il existe une subdivision σ = (x i ) 0 i n de [a, b] telle que f est continue sur les intervalles ]x i, x i+1 [. f admet une limite à gauche et à droite en tous les x i, 1 i n 1, une limite à droite en a et une limite à gauche en b. Une telle subdivision est bien entendu dite «adaptée à f», et toute subdivision plus fine qu une subdivision adaptée est encore adaptée. Définition 26.9 : On étend cette notion à des fonctions définies sur un intervalle quelconque. Soit f : I R. On dit que f est continue par morceaux sur I lorsque sa restriction à tout segment inclus dans I est continue par morceaux. Exemple : La fonction partie entière, la fonction f : R R définie par f(x) = x x, sont continues par morceaux sur R. Proposition 26.9 : L ensemble C m ([a, b]) des fonctions continues par morceaux sur [a, b] est une R-algèbre et E([a, b]) en est une sous-algèbre. Démonstration : C est la même démonstration que celle que nous avons faite pour les fonctions en escalier.

368 368 CHAPITRE 26. INTÉGRATION Théorème : L ensemble E([a, b]) est dense dans C m ([a, b]) au sens suivant : pour toute fonction f C m ([a, b]), pour tout réel ε > 0, il existe deux fonctions φ, ψ E([a, b]) telles que φ f ψ et ψ φ ε. Démonstration : On allège en faisant la démonstration pour f continue sur [a, b]. Soit ε > 0. D après le théorème de Heine, f est uniformément continue sur [a, b]. Il existe donc α > 0 tel que pour tous x, y [a, b], x y α entraîne f(x) f(y) ε. Soit σ = (x 0 = a,..., x n = b) une subdivision de [a, b] de pas inférieur ou égal à α. Soit φ en escalier définie comme suit : Pour tout k [0, n 1], pour tout x [x k, x k+1 ], φ(x) = min [xk,x k+1 ] f et φ(b) = f(b). On définit de même ψ en mettant max à la place de min. On a clairement φ f ψ. Par ailleurs, soit x [a, b[. Soit k tel que x [x k, x k+1. On a ψ(x) φ(x) = max [xk,x k+1 ] f min [xk,x k+1 ] f = f(v) f(u) où u, v [ x k, x k+1 ]. Mais alors, v u µ(σ) α, donc f(v) f(u) ε. Ainsi, pour tout x différent de b, on a ψ(x) φ(x) ε. Pour x = b aussi. Donc, ψ φ ε. III.2 Intégrale d une fonction continue par morceaux Notation : Soit f : [a, b] R bornée. On note E (f) = { [a,b] φ, φ E([a, b]), φ f} et E + (f) = { [a,b] φ, φ E([a, b]), φ f}. Remarque 26.4 : Toute fonction continue par morceaux sur [a, b] est bornée sur [a, b]. En effet, elle est bornée sur chacun des morceaux d une subdivision adaptée. Proposition : Les ensembles E (f) et E + (f) possèdent respectivement une borne supérieure et une borne inférieure, et on a inf E + (f) sup E (f). Démonstration : f est bornée sur [a, b], c est à dire minorée et majorée par des fonctions constantes. Les ensembles E et E + sont donc non vides. De plus, soient x E et y E +. On a x = b a φ et y = b a ψ où φ, ψ E(a, b) et φ f ψ. Ainsi, par la croissance de l intégrale, x y. On en déduit que sup E et inf E + existent, et sup E inf E +. Remarque 26.5 : Les réels sup E et inf E + peuvent être distincts lorsque la fonction f est «compliquée». Prenons par exemple la fonction f : [0, 1] R définie par f(x) = 1 si x Q et f(x) = 0 sinon. On vérifie alors que E (f) = R et E + (f) = [1, + [. Proposition : Soit f C m ([a, b]). On a sup E (f) = inf E + (f). Définition : On appelle intégrale de f sur [a, b] le réel inf E + (f) = sup E (f). Démonstration : Soit ε > 0. Il existe φ, ψ E([a, b]) telles que φ f ψ et ψ φ ε b a. De là, b a ψ b a φ b ε a b a = ε. On minore le membre de gauche : inf E + sup E ε. Ceci étant vrai pour tout ε > 0, on en déduit que inf E + sup E. Notation : On utilise les mêmes notations que pour les fonctions en escalier : b a f, ou [a,b] f, ou encore b a f(x) dx. On vérifie que cela ne prête pas à confusion car si f est en escalier, alors E (f) par exemple, a un plus grand élément, qui est b a (f) au sens du I.

369 IV. PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE 369 Exemple : Calculons 1 0 x2 dx. Pour cela, considérons pour tout n la subdivision régulière (x k ) 0 k n où x k = k n. Soit φ en escalier définie par φ(x) = f(x k) sur l intervalle [x k, x k+1 [ (et φ(1) = 1). On a φ f. Calculons son intégrale : 1 0 φ = 1 n 1 ( k 2 n k=0 n) = (n 1)(2n 1). Soit de même ψ en escalier définie par ψ(x) = f(x k+1 ) sur l intervalle [x k, x k+1 [ (et ψ(1) = 1). On a ψ f. Calculons son intégrale : 1 0 ψ = 1 n 1 ( k+1 ) 2 n k=0 n = (n+1)(2n+1). On a donc 6n 2 0 f (n+1)(2n+1). Le minorant et le majorant tendent pour tout n 1, (n 1)(2n 1) 6n 2 1 vers 1 3 lorsque n tend vers l infini. On a donc 1 0 x2 dx = n 2 6n 2 IV Propriétés de l intégrale IV.1 Linéarité Proposition : Soient f, g C m ([a, b] et λ R. On a b a (f + g) = b a f + b a g et b a λf = λ b a f. Démonstration : Soit ε > 0. Il existe φ 1, ψ 1, φ 2, ψ 2 en escalier sur [a, b] telles que φ 1 f ψ 1, φ 2 g ψ 2, ψ 1 φ 1 ε 2(b a) et ψ 2 φ 2 ε 2(b a). On en déduit (1) b a φ 1 b a f b a ψ 1, (2) b a φ 2 b a g b a ψ 2, et (3) b a φ 1 + b a φ 2 b a (f +g) b a ψ 1 + b a ψ 2. On ajoute à (3) les inégalités opposées de (1) et (2). On obtient b a (φ 1 ψ 1 ) + b a (φ 2 ψ 2 ) b a (f + g) b a f b a g b a (ψ 1 φ 1 ) + b a (ψ 2 φ 2 ), d où b a (f + g) b a f b a g ε. Ceci est vrai pour tout ε > 0, donc l intégrale de la somme est la somme des intégrales. Pour le produit par un réel, c est bien plus facile. IV.2 Croissance Proposition : Soit f C m ([a, b]). On a f 0 b a f 0. Démonstration : La fonction nulle est en escalier et minore f, donc 0 = b a 0 b a f. Proposition : Soientt f, g C m ([a, b]). On a f g b a f b a g. Démonstration : On a g f 0, donc b a (g f) 0. On termine en utilisant la linéarité de l intégrale. Proposition : Soit f C m ([a, b]). Alors f C m ([a, b]) et b a f b a f. Démonstration : Une subdivision adaptée à f est aussi adaptée à f. Pour montrer l inégalité, il suffit de remarquer que f f et f f, puis d utiliser la croissance de l intégrale et sa linéarité.

370 370 CHAPITRE 26. INTÉGRATION IV.3 Formule de Chasles Proposition : [Formule de Chasles] Soient a, b, c R, a < b < c. Soit f : [a, c] R. Alors f C m ([a, c]) si et seulement si f C m ([a, b]) et f C m ([b, c]). De plus, c a f = b a Démonstration : On n entre pas dans les détails. L idée est de travailler avec des subdivisions adaptées auxquelles on rajoute éventuellement le point b. Remarque 26.6 : On généralise la notation intégrale en posant b a f = a b f et a a f = 0. La formule de Chasles est alors vérifiée dans tous les sens. Attention cependant : les inégalités concernant les intégrales (comme la positivité ou la croissance) ne sont valables que lorsque a b. f + c b f IV.4 Nullité de l intégrale Proposition : Soit f C m ([a, b]) continue et positive, telle que [a,b] f = 0. Alors f = 0. Démonstration : Supposons que f n est pas identiquement nulle sur [a, b]. Il existe c [a, b] tel que f(c) > 0. Supposons c a, b (si c = a ou b, la preuve est analogue). Comme f est continue en c, il existe δ > 0, tel que f(x) 1 2f(c) pour tout x [c δ, c+δ]. Prenons δ suffisamment petit pour que a c δ et c + δ b. On a alors b a f = c δ a f + c+δ c δ f + b c+δ f c+δ c δ f δf(c) > 0. IV.5 Inégalité de Schwarz Proposition : L application (f, g) b a fg est une forme bilinéaire symétrique positive sur C m ([a, b]). C est même un produit scalaire sur C 0 ([a, b]). Démonstration : Symétrique car la multiplication des réels est commutative. Bilinéaire par linéarité de l intégrale. Positive par positivité de l intégrale. Définie grâce au théorème de nullité de l intégrale. Proposition : Soient f, g C m ([a, b]). Alors b a b b fg f 2 Si f et g sont continues sur [a, b], l inégalité précédente est une égalité si et seulement si f et g sont proportionnelles. a a g 2

371 V. APPROXIMATIONS DE L INTÉGRALE 371 Démonstration : On a une forme bilinéaire symétrique positive. Voir le cours de géométrie du plan lorsque nous avons montré l inégalité de Schwarz pour le produit scalaire. Le cas d égalité vient de la «définition» du produit scalaire. Voir ce même cours de géométrie. V Approximations de l intégrale V.1 Sommes de Riemann - Méthode des rectangles Définition : On appelle subdivision pointée de [a, b] tout couple S = (σ, τ) où σ = (x i ) 0 i n est une subdivision «normale» de [a, b] et τ = (ξ i ) 0 i n 1 vérifie i {0,, n 1}, ξ i [x i, x i+1 ]. Notation : On note S.([a, b)] l ensemble des subdivisions pointées de [a, b]. Définition : Soit f : [a, b] R. Soit S une subdivision pointée de [a, b]. On appelle somme de Riemann associée à f et S la quantité n 1 R S (f) = (x i+1 x i )f(ξ i ) Proposition : Soit f : [a, b] R une fonction continue. Alors b ε > 0, δ > 0, S S.([a, b]), µ(s) δ f R S (f) ε i=0 En d autres termes, les sommes de Riemann associées à f convergent vers f lorsque le pas des subdivisions tend vers 0. Démonstration : Soit ε > 0. f est uniformément continue sur [a, b], donc il existe δ > 0 tel que x, y [a, b], on a f(x) f(y) ε b a dès que x y δ. Soit S une subdivision pointée de [a, b] (mêmes notations que dans la définition) de pas inférieur ou égal à δ. On a b a f R S(f) = n 1 i=0 ( x i+1 x i f(x) dx x i+1 x i f(ξ i ) dx) n 1 xi+1 i=0 x i f(x) f(ξ i ) dx xi+1 dx = ε. n 1 i=0 x i ε b a Proposition : Soit f : [a, b] R k-lipschitzienne. On a alors pour toute subdivision pointée S à n + 1 points b f R S (f) k(b a)µ(s) a Démonstration : On a b a f R S(f) = n 1 i=0 ( x i+1 x i f(x) dx x i+1 x i f(ξ i ) dx) n 1 xi+1 i=0 x i f(x) f(ξ i ) dx k n 1 xi+1 i=0 x i x ξ i dx kµ(s) n 1 xi+1 i=0 x i dx = k(b a)µ(s). a

372 372 CHAPITRE 26. INTÉGRATION Exemple : Si S est une subdivision régulière de [a, b] en n morceaux, alors b a f R S (f) k (b a)2 n Exercice : Appliquer la méthode des rectangles à f(x) = exp x sur [0, 1]. Prendre des subdivisions régulières. V.2 Méthode des trapèzes NB : ce paragraphe, bien que très instructif, n est pas au programme. Soit f : [a, b] R. On suppose dans ce qui suit que f est de classe C 2. On note M 2 (f) le maximum de f sur le segment [a, b]. On cherche dans un premier temps à approcher f par la fonction affine φ égale à f aux points a et b. Proposition : On a pour tout t [a, b], f(t) φ(t) (t a)(b t) 2 M 2 (f). Démonstration : Soit g(x) = f(x) φ(x) M 2 2 (x a)(b x). On a g C2 [a, b], g(a) = g(b) = 0, et g = f + M 2 0. La fonction g est donc croissante. De plus, par Rolle, on a c ]a, b[, tel que g (c) = 0. Donc, g 0 sur [a, c] et g 0 sur [c, b]. On en tire les variations de g sur [a, b], et on constate que g 0 sur [a, b]. Donc, f(x) φ(x) M 2 2 (x a)(b x). En faisant de même avec h(x) = f(x) φ(x) + M 2 2 (x a)(b x), on trouve l autre inégalité. Proposition : On a b f(a)+f(b) (b a) a f (b a) 2 M 3 2 Démonstration : On a b a f b a φ b a f φ M 2 2 On vérifie par ailleurs que b a 12. φ = (b a) f(a)+f(b) 2 (aire d un trapèze). Proposition : Soit n 1. Soit x i = a + i b a n, i = 0..n. Alors b f T n (f) (b a)3 12n 2 M 2 (f) où T n (f) = b a 2n n 1 i=0 (f(x i) + f(x i+1 )). a b a (t a)(b t) dt = M 2 (b a)3 12. Démonstration : Soit φ la fonction égale à f aux points x i et affine sur chacun des morceaux de la subdivision régulière. On a b a f b a φ n 1 i=0 x i+1 x i f x i+1 x i φ n 1 i=0 M 2 (b a)3 (b a) = M 3 12n 3 2. Par ailleurs, b 12n 2 a φ = n 1 xi+1 i=0 φ = T n (f). n 1 Remarque 26.7 : On a T n (f) = b a n i=0 f(x i) + (b a)(f(b) f(a)) 2n. On constate donc que la somme associée à la méthode des trapèzes est égale à une somme de Riemann à laquelle on rajoute le terme correcteur (b a)(f(b) f(a)) 2n. x i

373 VI. PRIMITIVES 373 Exemple : Prenons a = 0, b = 1 et f(x) = x 2. Il vient T n (f) = 1 n 1 ( i ) 2 n i=0 n + 1 2n = (n 1)n(2n 1) + 1 6n 3 2n = Or, 1 6n 2 0 f = 1 3. Ainsi, l erreur commise est 1. Par ailleurs, 6n 2 (b a) l erreur théorique est M 3 2 = 1. Ainsi, notre calcul de l erreur était optimal. Le 12n 2 6n 2 majorant que nous avons trouvé est atteint dans notre exemple. VI Primitives VI.1 Notion de primitive Définition : Soit I un intervalle de R. Soient f et F deux fonctions définies sur I. On dit que F est une primitive de f sur I lorsque F D 1 (I) et que F = f sur I. VI.2 Existence et unicité des primitives Théorème : Soit f : I R. Si f admet une primitive sur I, celle-ci est unique à constante additive près. Plus précisément, les primitives de f sont les fonctions F + C où C décrit R. Démonstration : En effet, si F et G sont dérivables sur I, on a F = G si et seulement si (F G) = 0 c est à dire si et seulement si F G est constante sur I. Théorème : [Existence des primitives] Soit f : I R une fonction continue. Soit a I. L application F : I R définie par F (x) = x a f(t) dt est une primitive de f sur I. Démonstration : La fonction F est bien définie sur I puisque pour tout x I, f est continue sur [a, x]. Soit x 0 I. Soit x I. Alors F (x) F (x 0 ) (x x 0 )f(x 0 ) = x x 0 f(t) dt (x x 0 )f(x 0 ) = x x 0 (f(t) f(x 0 )) dt. Soit ε > 0. Puisque f est continue en x 0, il existe α > 0 tel que t x 0 α f(t) f(x 0 ) ε. On a alors pour tout x tel que x x 0 α, F (x) F (x 0 ) (x x 0 )f(x 0 ) x x 0 f(t) f(x 0 ) dt x x 0 ε. D où, pour x x 0, F (x) F (x 0) x x 0 f(x 0 ) ε. C est la définition de limite : F est dérivable en x 0 et sa dérivée est f(x 0 ). VI.3 Application Proposition : [Théorème fondamental du calcul intégral] Soit f : [a, b] R une fonction continue. Soit F une primitive de f sur [a, b]. Alors b a f(x) dx = F (b) F (a)

374 374 CHAPITRE 26. INTÉGRATION Démonstration : Posons G(x) = x a f(t) dt. F et G étant des primitives de f sur [a, b], il existe un réel c tel que pour tout x [a, b], on ait F (x) = G(x) + c. Mais alors F (b) F (a) = G(b) G(a) = G(b) = b a f(x) dx. VI.4 Intégration par parties Proposition : Soient u, v : [a, b] R deux fonctions de classe C 1. On a où φ b a = φ(b) φ(a). b a u v = uv b a Démonstration : On a (uv) = u v + uv. Et on intègre. Comme (uv) est continue, on peut appliquer le théorème fondamental du calcul intégral dans le membre de gauche. Bien évidemment, une primitive de (uv) est uv. Exemple : Cherchons une primitive de la fonction arcsin sur [ 1, 1]. Pour cela, considérons F (x) = x 0 arcsin t dt pour 1 x 1. On voudrait poser u = 1 et v = arcsin x, malheureusement v n est pas dérivale en 1 et 1. Supposons donc d abord 1 < x < 1. Il vient F (x) = t arcsin t x 0 x t 0 dt = x arcsin x 1 t 1 x Une primitive de la 2 fonction arcsin sur ] 1, 1[ est donc la fonction F : x x arcsin x 1 x 2. Exercice : Justifier sans calculs que F est une primitive de la fonction arcsin sur [ 1, 1]. b a uv VI.5 Changement de variable Proposition : Soit φ C 1 ([α, β]). Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant φ([α, β]). On a β α f(φ(t))φ (t) dt = φ(β) φ(α) f(x) dx Démonstration : Soit F une primitive de f sur I. On a pour tout t [α, β], f(φ(t))φ (t) = F (φ(t))φ (t) = (F φ) (t). Ainsi, β α f(φ(t))φ (t) dt = β α (F φ) (t) dt = F φ β α = F (φ(β)) F (φ(α)) = φ(β) φ(α) f(x) dx. Remarque 26.8 : L énoncé du théorème de changement de variable est compliqué, mais son utilisation est en réalité simple. On désire calculer b a f(x) dx. Pour cela, on décide de poser x = φ(t). On cherche alors α et β tels que a = φ(α) et b = φ(β) (quand x vaut a, t vaut α). La question est ensuite : que devient dx? Le théorème nous dit qu il devient φ (t) dt (facile de s ensouvenir : dx = dx dt dt). Ainsi β α f(φ(t))φ (t) dt = b a f(x) dx

375 VII. FORMULES DE TAYLOR 375 Exemple : Soit X [ 1, 1]. Calculons I = X 0 arcsin x dx en posant x = sin t. On a I = arcsin X 0 t cos t dt. Une intégration par parties permet de finir le calcul. VII Formules de Taylor VII.1 Introduction Nous avons déjà rencontré deux formules de Taylor : la formule de Taylor Young, qui permet de calculer dee limites, des équivalents, des développements limités. Et la formule de Taylor pour les polynômes, qui est une formule «exacte», permettant d exprimer un polynôme à l aide des puissances de X a et des dérivées de ce polynôme en a. Nous allons dans ce paragraphe donner deux autres formules de Taylor, toujours bâties sur le même modèle : f est une fonction possédant une certaine régularité, a, b (ou a, x, ou autre chose) sont deux réels, et la formule est toujours f(b) = T n (b a) + R n où T n = n k=0 Xk k! f (k) (a) est un polynôme de degré inférieur ou égal à n, et R n est un reste. C est ce reste qui va changer selon le théorème. VII.2 Formule de Taylor avec reste intégral Proposition : classe C n+1. Alors où R n = b a (b t) n n! f (n+1) (t)dt. Soit n 0. Soient a, b R. Soit f : [a, b] (ou [b, a]) R de f(b) = n (b a) k f (k) (a) + R n k! k=0 Démonstration : C est une récurrence sur n. Pour n = 0, la formule s écrit f(b) = f(a) + b a f (t) dt, qui n est autre que le théorème fondamental du calcul intégral. Supposons le théorème vérifié pour un entier n. Soit f C n+2 ([a, b]). On a alors f(b) = n (b a) k k=0 k! f (k) (a) + R n d après l hypothèse de récurrence. Intégrons R n par parties en posant u = (b t)n n! et v = f (n+1) (t). Il vient R n = (b a)n+1 (n+1)! + b (b t) n+1 a (n+1)! f (n+2) (t)dt d où le résultat au rang n + 1. VII.3 Inégalité de Taylor-Lagrange Proposition : classe C n+1. Alors Soit n 0. Soient a, b R. Soit f : [a, b] (ou [b, a]) R de n (b a) k f(b) = f (k) (a) + R n k! k=0

376 376 CHAPITRE 26. INTÉGRATION où R n b a n+1 (n+1)! sup [a,b] f (n). Démonstration : Il suffit de majorer l intégrale R n de la formule précédente. Remarque 26.9 : Contrairement à la formule de Taylor-Young qui ne raconte des choses que localement, au voisinage d un certain point, l inégalité de Taylor-Lagrange est une inégalité globale. Elle sert donc à prouver... des inégalités globales. Prenons un exemple. On prend f(x) = e x, a = 0, b = x. Et n quelconque. Il vient donc e x = n k=0 xk k! + R n où R n x n+1 (n+1)! max S exp, avec S = [0, x] ou [x, 0] selon que x est positif ou négatif. Ce max vaut en fait 1 si x 0 et e x si x > 0. Mais il ne dépend pas de n. Lorsque n tend vers l infini, le majorant tend vers 0. On vient ainsi de prouver que n k=0 xk k! tend vers e x lorsque n tend vers l infini. VIII Fonctions à valeurs complexes Soit f : [a, b] C une fonction continue par morceaux (i.e. sa partie réelle et sa partie imaginaire sont continues par morceaux). On appelle intégrale de f sur [a, b] le nombre complexe b a f(x) dx = b a Re(f(x)) dx + i b a Im (f(x)) dx. La linéarité de l intégrale reste vérifiée. La formule de Chasles également. On peut évidemment intégrer par parties ou faire des changements de variable. En revanche, on ne peut plus parler de croissance ou de positivité de l intégrale, puisqu on ne peut pas comparer deux fonctions à valeurs complexes. On a cependant le résultat suivant : Proposition : Soit f : [a, b] C continue par morceaux. Alors b a f(x) dx b a f(x) dx. Démonstration : Soit z 0 C. Soit Λ : C R définie par Λ(z) = <z,z 0> z 0 où les crochets dénotent le produit scalaire usuel dans C identifié à R 2. On a alors pour tout nombre complexe z, Λ(z) z, d après l inégalité de Schwarz. De plus, on a égalité lorsque z = z 0. On a donc b a Λ(f(t)) dt b a f(t) dt. De plus, b a Λ(f(t)) dt = Λ( b a f(t) dt). Ceci résulte de la linéarité de a. Ceci reste valable pour tout z 0 non nul. En particulier, si b a f(t) dt est non nulle, on l appelle z 0, et on obtient z 0 = Λ(z 0 ) b a f(t) dt. Si jamais l intégrale est nulle, l inégalité à montrer est triviale.

377 IX. EXERCICES 377 IX Exercices 1. Soient a et b deux réels, a < b. Calculer b a x dx dans les deux cas suivants : (a) a et b sont entiers. (b) a et b sont quelconques. 2. Pour m, n N, on pose I m,n = 1 0 x m (1 x) n dx (a) Trouver une relation simple entre I m,n et I m+1,n 1, pour m 0, n 1. (b) En déduire la valeur de I m,n en fonction de m et n. 3. Pour n N, soit I n = π/2 0 sin n t dt. (a) Trouver, pour n 2, une relation liant I n et I n 2. (b) Déterminer, pour p N, la valeur de I 2p en fonction de p. (c) Déterminer, pour p N, la valeur de I 2p+1 en fonction de p. 4. Pour n 2, on pose u n = 1 t 2n+2 0 t 2 +1 dt. (a) Prouver que u n 1 4n lorsque n. (b) Soit v n = ( 1)n 2n+1. Calculer v n en fonction de u n. (c) En déduire la limite, lorsque n, de n ( 1) k k=0 2k Déterminer la limite éventuelle des suites ci-desous : 1 n n k=1 cos kπ n, 1 n n n k=1 (n + k), 1 n ( ) 1 (2n)! n n!n n 2n 1 k=0 ln(1 + k n ), 2n 1 k=0 k, n 2n 1 k 2 +n 2 k=n 1. k 2 6. Pour n 1, on pose u n =. Écrire ln u n comme une somme de Riemann et en déduire la limite de u n lorsque n tend vers l infini. 7. Soit f une fonction de classe C 1 sur [0, 2π]. Montrer que 2π 0 f(t) sin nt dt tend vers 0 lorsque n tend vers l infini. 8. Montrer que le résultat précédent reste valable si, au lieu de supposer f de classe C 1, on la suppose en escalier. En déduire que le résultat reste vrai pour toute fonction continue par morceaux. 9. Soit x R \ { 1, 1}. Calculer à l aide de sommes de Riemann l intégrale 10. Soit α > 0. 2π 0 ln(1 2x cos t + x 2 ) dt (a) Montrer que pour tout entier k 2, on a 1 k α k dt k 1 t 1 α (k 1). α (b) En déduire la convergence ou la divergence de la suite de terme général u n = n k=1 1 k α.

378 378 CHAPITRE 26. INTÉGRATION 11. Soit ε > 0 fixé. Calculer la limite lorsque x tend vers + de x 1 ε x+1 x sin(t 2 ) dt. ( 1 b 12. Soit f continue sur [a, b] (a < b). Pour n 1, on pose u n = a dt) f(t) n n. On pose M = max [a,b] f. On se donne un réel ε > 0. (a) Montrer que pour tout n 1, on a u n M(b a) 1 n. En déduire que pour tout n assez grand, on a u n M + ε. (b) Montrer que pour tout entier n assez grand, on u n M ε. On pourra introduire un réel c tel que f(c) = M, puis considérer δ > 0, tel que pour tout x [c δ, c + δ], f(x) M ε/2. (c) En déduire que u n possède une limite lorsque n tend vers l infini, et calculer cette limite. 13. Soit f : [0, 2π] R de classe C 2 et telle que f 0. Déterminer le signe de 2π 0 f(t) cos t dt. 14. Soit f : [0, 1] [0, 1], continue, non identiquement nulle, et telle que 1 0 f = 1 0 f 2. Montrer que f = Soient a, b R tels que a < b. Soit f : [a, b] R continue. Soient m = min x [a,b] f(x) et M = max x [a,b] f(x). On suppose que m > 0. (a) Montrer que m 2 M (b a) 1 M b a b 1 f + m (1 a f + m ) (b a) M Indication : On pourra étudier la fonction ϕ : [m, M] R définie par ϕ(t) = t M + m t. (b) Montrer que (b a) 2 b a f b a 1 f (b a)2 (m + M)2 4mM Indication : Pour la première inégalité, utiliser Schwarz. Pour la deuxième inégalité, on pourra remarquer que ( ( ) 1 b a f 2 ( ) 1 ) 2 b 1 2 mm a f 0, puis utiliser la question précédente. 16. Soit f : [a, b] R continue. (a) On suppose que pour toute fonction g : [a, b] R continue on a fg = 0. Montrer que f = 0. (b) On suppose que pour toute fonction g : [a, b] R de classe C 1 on a fg = 0. Montrer que f = Trouver la limite lorsque x tend vers 1, x > 1, de x 2 dt x ln t. Indication : 1 ln t = t t ln t, puis IPP. 18. Soit f : [0, π] R continue, positive, et telle que n {0,..., 4}, π 0 f(x) cos nx dx = ( 1) n (2n + 1)f(0).

379 IX. EXERCICES 379 (a) Calculer, pour n = 0, 2 et 4, π 0 f(x) cosn x dx. (b) Calculer π 0 f(x)(1 + cos2 x cos 4 x) dx. (c) En déduire que f est la fonction nulle. 19. (a) Montrer : π 4 0 ln(cos x) dx = π 4 0 ln(cos( π 4 x)) dx. (b) En déduire la valeur de π 4 0 ln(1 + tan t) dt. 20. Soit a R +. Soit f : [0, a] R continue telle que pour tout x [0, a], on ait f(x) 1 et f(x)f(a x) = 1. Calculer a 0 dx 1+f(x). 21. Déterminer la limite lorsque n tend vers l infini de n k=1 e 1 n+k n. 22. Déterminer la limite lorsque n tend vers l infini de n 2 ( n k=1 kk) 4 n Soit f : R R + une fonction de classe C 2. On suppose que f est bornée sur R et on note M = sup x R f (x). (a) Montrer : x, y R, f(x) + yf (x) + y2 2 M 0. (b) En déduire : x R, f (x) 2Mf(x). 24. Égalité de Taylor-Lagrange. Soit n 0. Soit f : [a, b] R. On suppose que f est de classe C n sur [a, b], et que f (n) est dérivable sur ]a, b[. Soit λ R et ϕ : [a, b] R définie par n (b x) k ϕ(x) = f (k) (b x)n+1 (x) + λ k! (n + 1)! k=0 (a) Démontrer l existence d un réel λ tel que ϕ(a) = ϕ(b). On suppose un tel λ choisi dans la question suivante. (b) Appliquer le théorème de Rolle à ϕ et en déduire l existence d un réel c ]a, b[ tel que n (b a) k f(b) = f (k) (b a)n+1 (a) + f (n+1) (c) k! (n + 1)! k=0

380 380 CHAPITRE 26. INTÉGRATION

381 Chapitre 27 Étude des Fonctions 381

382 382 CHAPITRE 27. ÉTUDE DES FONCTIONS Voici un plan d étude des fonctions d une variable réelle. Certaines parties de cette étude peuvent être abordées dans un ordre différent, ou être parfois omises. Tout ce qui suit n est bien entendu valable que pour des fonctions raisonnablement régulières : on exclut les cas pathologiques et les courbes monstrueuses. I Ensemble de définition L étude de la fonction f commence forcément par la recherche de son ensemble de définition D f. Cette recherche est souvent, mais pas toujours, immédiate. II Réduction de l ensemble d étude La fonction est-elle paire? Impaire? Périodique? L expression de f présente-t-elle des symétries? À partir des symétries algébriques on peut souvent déduire des symétries géométriques de la courbe représentative, et donc une réduction de l ensemble d étude. Plus on réduit cet ensemble, et moins on a de travail par la suite. III Régularité de la fonction Les théorèmes du cours permettent d affirmer que la fonction est continue, dérivable, C 1,..., C sur certains intervalles. Tout ce qui précède a permis de mettre en évidence un certain nombre de points que nous appellerons remarquables. Ce sont + ou si l ensemble d étude de f est non borné. Les bornes des intervalles trouvés lors de la recherche de D f, ou lors de l étude de la régularité de f. En fait, tout point ayant été nommément cité est remarquable. En général, en un tel point, la fonction n est pas définie, ou alors elle est définie mais les théorèmes généraux du cours ne permettent pas d affirmer si elle y est continue, dérivable,... D autres points remarquables risquent d apparaître dans les paragraphes qui suivent. IV Variations Le signe de f permet de déterminer des intervalles sur lesquels f est monotone (on rappelle que f est supposée être raisonnablement gentille). Les points d annulation de f sont également des points remarquables (tangente horizontale). On résume ce qui précède dans le tableau de variations de f, qui doit faire apparaître : Le signe de f.

383 V. POINTS REMARQUABLES RÉELS 383 Les points remarquables. Les points que nous trouvons rigolos ou attrayants ( zéros de f, de f,... ). Ce tableau est incomplet : il y manque les limites éventuelles de f en certains points remarquables. V Points remarquables réels V.1 Point réel où la fonction n est pas définie La fonction a-t-elle une limite infinie en ce point (éventuellement à droite ou à gauche)? On a alors une asymptote verticale. A-t-on une limite finie? On prolonge alors par continuité, et on passe au numéro suivant. Pas de limite? On abandonne tout espoir d étude et on dessine comme on peut (cf sin 1 x ). V.2 Points où la fonction est définie On recherche (en revenant éventuellement à la définition) si la fonction est continue au point, si elle y est dérivable, si on a une tangente verticale à la courbe... Lorsqu il y a tangente oblique on recherche la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage du point considéré. VI Étude à l infini on suppose ici à titre d exemple que la fonction est définie au voisinage de +. C est pareil en. VI.1 Limite à l infini Limite finie Si f a une limite finie à l infini, on a alors une asymptote horizontale. Le tableau de variations permet de préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote. Limite infinie On passe au paragraphe intitulé «Direction asymptotique». Pas de limite On abandonne l étude et trace comme on le sent (exemple : sin x).

384 384 CHAPITRE 27. ÉTUDE DES FONCTIONS VI.2 Direction asymptotique f(x) x On suppose ici que f(x) tend vers l infini (plus ou moins) lorsque x +. On considère et on regarde ce que fait cette quantité lorsque x. A-t-on f(x) ax avec a 0? Il y a direction asymptotique dans la direction de la droite Y = ax. On passe au paragraphe suivant. f(x) = o(x)? Il y a direction asymptotique dans la direction de la droite Ox. On parle également de branche parabolique dans la direction de l axe Ox. x = o(f(x))? Il y a direction asymptotique dans la direction de la droite Oy. On parle également de branche parabolique dans la direction de l axe Oy. Rien de tout cela? On abandonne l étude à l infini et on trace au feeling. En résumé, c est l étude d une limite éventuelle de f(x) x à l infini qui permet de savoir si la courbe admet une direction asymptotique. VI.3 Asymptote, branche parabolique On suppose ici que f(x) ± lorsque x +, et que f(x) ax où a 0. On a donc f(x) = ax + o(x) et il est alors naturel de considérer la quantité f(x) ax. Cette quantité admet-elle en + Une limite finie b? On a alors f(x) = ax+b+o(1) et on dit que la droite Y = ax +b est asymptote à la courbe au voisinage de +. On passe ensuite au paragraphe suivant. Une limite infinie? On a une branche parabolique dans la direction de la droite Y = ax. Rien du tout? On se contente de la direction asymptotique, et on arrête l étude. VI.4 Position courbe/asymptote On suppose ici que la courbe admet l asymptote Y = ax + b (a 0) au voisinage de +. Il faut alors étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote, en considérant la quantité f(x) ax b. Le signe de cette quantité détermine la position. On peut chercher ce signe «algébriquement» lorsque les expressions mises en jeu sont simples, ou sinon au voisinage de l infini par des calculs d équivalents ou des développements asymptotiques. VII Concavité Cette étude est souvent omise. L étude du signe de f permet de préciser les inflexions de la courbe, et les intervalles où la fonction est convexe ou concave.

385 VIII. TRACÉ 385 VIII Tracé C est le but ultime de l étude, et il ne doit pas être négligé. Tout ce qui a été étudié doit se voir sur le dessin : les points remarquables et leurs éventuelles tangentes, les asymptotes éventuelles,... et des axes avec une indication d échelle. En revanche, en mathématiques un tableau de valeurs est totalement inutile en général. Ce qui est important est la forme de la courbe, beaucoup plus que son exactitude.

386 386 CHAPITRE 27. ÉTUDE DES FONCTIONS IX Exercices 1. Construire les courbes d équations y = f(x) où (a) f(x) = ln(x+1) ln x. (b) f(x) = exp x2 x 2 1. (c) f(x) = (x 1) arctan x. (d) f(x) = x x x2. (e) f(x) = sin x tan x. 2. Tracer le graphe de f, où (a) f(x) = 3 x 2 (x 2) (b) f(x) = x2 +1 x 1 e 1 x (c) f(x) = x 3 + x 2. Inflexions? (d) f(x) = (x + 2)e 1 x. (e) f(x) = arctan(1 + tan x + tan 2 x). (f) f(x) = 1 ln(1+x) 1 x. (g) f(x) = x 2 1 arctan x. 3. (a) Montrer que pour tout x [ π 2, π x3 2 ], sin x x + 6 x (b) Tracer sur un même dessin les graphes de la fonction sinus et de la fonction x x x3 6 + x5 120.

387 Chapitre 28 Séries 387

388 388 CHAPITRE 28. SÉRIES I Généralités I.1 Notion de série Définition 28.1 : Soit (u n ) n 0 une suite réelle ou complexe. On appelle série de terme général u n la suite (S N ) N 0 définie pour tout entier N par S N = N n=0 u n. On notera informellement u n la série de terme général u n. Pour N N, les sommes S N sont les sommes partielles de la série u n. Pour n N, u n est le nième terme de la série u n. Remarque 28.1 : Comme pour les suites, les séries peuvent démarrer à un rang autre que 0. Pour les questions de convergence, les premiers termes de la série ne jouent aucun rôle. En revanche, pour le calcul de ce que nous appellerons la somme de la série, chaque terme importe. La notation u n n est donc qu une notation abstraite, plutôt malheureuse, avec laquelle il ne s agit pas de faire des calculs. Exemple : Soit q C. On appelle série géométrique de raison q la série q n. Soit α C. On appelle série de Riemann de paramètre α la série 1 démarre au rang 1). n α (la série Définition 28.2 : Soit u n une série. On dit que la série converge lorsque la suite de ses sommes partielles est convergente. Sinon, on dit que la série diverge. En cas de convergence, on appelle somme de la série, et on note n=0 u n, la limite en question. Remarque 28.2 : On adapte évidemment la notation si la série démarre à un rang autre que 0! Exemple : Soit q C. Si q = 1, N n=0 qn = N +1 qui tend vers + lorsque N tend vers l infini. Si q 1, on a N n=0 qn = 1 qn+1 1 q. Si q 1, cette quantité converge si et seulement 1 si q < 1, et sa limite est alors 1 q. Proposition 28.1 : Soit q C. La série q n converge si et seulement si q < 1, et on a alors n=0 qn = 1 1 q. Remarque 28.3 : Pour la convergence des séries de Riemann, il va falloir attendre un peu. I.2 linéarité de la somme Proposition 28.2 : Soient u n et v n deux séries convergentes. Soient λ, µ R ou C. La série (λu n + µv n ) est convergente et on a (λu n + µv n ) = λ u n + µ n=0 n=0 n=0 v n

389 I. GÉNÉRALITÉS 389 Démonstration : C est évident. Considérer les sommes partielles et faire tendre N vers l infini. I.3 Restes Définition 28.3 : Soit u n une série convergente, de somme S. Les restes de la série sont les nombres R N = S S N, où S N = N n=0 u n. Remarque 28.4 : La suite des restes tend évidemment vers 0 lorsque N tend vers l infini. Chaque reste R N est en fait lui-même la somme de la série n=n+1 u n. Exemple : Reprenons les séries géométriques de raison q C, vérifiant q < 1. On a S N = 1 qn+1 1 q et S = 1 1 q. Donc R N = S S N = n=n+1 qn = qn+1 1 q. I.4 Condition nécessaire de convergence Proposition 28.3 : Soit u n une série. SI cette série converge, alors son terme général tend vers 0. La réciproque est fausse. Démonstration : Supposons que la série converge. La suite de terme général S N = N n=0 u n converge donc vers une limite S (qui est la somme de notre série). De là, u n = S n S n 1 tend vers S S = 0. Pour un contre-exemple de la réciproque, soit par exemple u n = n n 1, défini pour n 1. On voit facilement que u n tend vers 0 lorsque n tend vers l infini. En revanche, S N = N n=1 ( n n 1) = N tend vers l infini lorsque N tend vers l infini. Nous avons donc là un exemple d une série divergente dont le terme général tend pourtant vers 0. Remarque 28.5 : Ce théorème sert à démontrer qu une série diverge. Lorsque le terme général d une série ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. À retenir absolument : à chaque fois qu on s attaque à l étude d une série, on regarde la limite éventuelle du terme général. Si cette limite n existe pas, ou n est pas nulle, c est RÉGLÉ : la série diverge. Sinon, eh bien il faut travailler davantage. I.5 Lien entre suites et séries S intéresser à la convergence d une série, c est par définition même s intéresser à la convergence d une suite : la suite de ses sommes partielles. La fin de la démonstration précédente suggère que pour s intéresser à la convergence d une suite, on peut si l on veut s intéresser à la convergence d une série. Proposition 28.4 : Soit (u n ) n 0 une suite réelle ou complexe. La suite (u n ) est convergente si et seulement si la série (u n+1 u n ) est convergente. Démonstration : C est immédiat, puisque la somme partielle de cette série est S N = u n+1 u 0. On a même mieux : en cas de convergence, n=0 (u n+1 u n ) = l u 0 où l est la limite de u n.

390 390 CHAPITRE 28. SÉRIES II Séries à termes positifs II.1 Une CNS très évidente de convergence Proposition 28.5 : Soit u n une série à termes positifs ( n, u n 0). Cette série converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées. Démonstration : C est évident. La suite des sommmes partielles est croissante. Or, une suite croissante de réels converge si et seulement si elle est majorée. Remarque 28.6 : Les conclusions du théorème restent clairement vraies si l inégalité 0 u n est vraie pour tout n assez grand. II.2 Une CS évidente de convergence Proposition 28.6 : Supposons que pour tout entier n on ait 0 u n v n. Si la série vn converge, alors la série u n converge aussi. Corollaire 28.7 : Supposons que pour tout entier n on ait 0 u n v n. Si la série un diverge, alors la série v n diverge aussi. Démonstration : En effet, N n=0 u n N n=0 v n M = n=0 v n. Les sommes partielles de la série u n sont donc majorées. Remarque 28.7 : Les conclusions du théorème restent clairement vraies si l inégalité 0 u n v n est vraie pour tout n assez grand. Remarque 28.8 : Pour montrer qu une série à termes positifs converge on peut donc majorer le terme général de cette série par le terme général d une série à termes positifs convergente. Mais ça se mord la queue? Non, l idée est de posséder un catalogue de séries convergentes «de base», et de tenter des majorations par les termes généraux de ces séries. Nous avons déjà les séries géométriques dans notre catalogue. Bientôt les séries de Riemann.... Remarque 28.9 : Remarquer la contraposée de notre théorème : il sert AUSSI à démontrer qu une série à termes positifs est divergente. II.3 Une CS un peu moins évidente de convergence Proposition 28.8 : Soient u n et v n deux séries à termes positifs. On suppose que u n v n lorsque n tend vers l infini. Alors, la série u n converge si et seulement si la série v n converge. Démonstration : On a pour tout n assez grand, u n 3 2 v n, puisque un v n tend vers 1 à l infini. Donc, si v n converge, il en est de même de u n. Comme on a aussi vn u n 1, on a la conclusion réciproque.

391 III. COMPARAISON ENTRE SÉRIES ET INTÉGRALES 391 Remarque : Il suffit de savoir que l une des deux séries est à termes positifs puisque, si deux suites sont équivalentes, elles ont même signe à partir d un certain rang. Exemple : Soit la série de terme général u n = n2 +1 3n 2 +2 e n. On a bien u n 0. De plus, u n 1 ( 1 ) n, 3 e terme général d une série géométrique de raison 1 e. Donc, la série u n converge. III Comparaison entre séries et intégrales III.1 Séries vs intégrales Soit f : R + R une fonction décroissante. Considérons la série f(n). On a pour tout n 1, f(n) n n 1 f(t) dt. On en déduit que pour tous M N, N n=m f(n) f(m) + N M f(t) dt. De même, on a pour tout n 0, f(n) n+1 n f(t) dt. On en déduit N n=m f(n) N+1 M f(t) dt. On a donc la Proposition 28.9 : Soit f : R + R une fonction décroissante. Soient M N. On a N+1 M f(t) dt N n=m N f(n) f(m) + f(t) dt M Si l on connaît une primitive de f, on aura alors un encadrement des sommes partielles de la série qui permet très souvent de conclure à sa convergence ou à sa divergence. Nous pouvons enfin régler le cas des séries de Riemann pour un exposant réel. Proposition : Soit α R. Si α 0, la série 1 n est grossièrement divergente. α Si 0 < α 1, la série 1 n diverge, bien que son terme général tende vers 0. α Si α > 1, la série 1 n converge. α Démonstration : Pour α < 0, le terme général ne tend pas vers 0, d où la divergence grossière. Supposons maintenant 0 < α. On prend f(x) = 1 x dans la proposition α précédente. Trois cas surviennent : Le cas 0 < α < 1. Une primitive de f sur R + est x x1 α 1 α. On a donc N n=1 1 n α N+1 dx 1 x = (N+1)1 α 1 α 1 α. Le minorant tend vers l infini lorsque N tend vers l infini, d où la divergence. Le cas α = 1. Une primitive de f sur R + est x ln x. On a donc N N+1 dx 1 x n=1 1 n α = ln(n + 1). Le minorant tend vers l infini lorsque N tend vers l infini, d où la divergence. Le cas α > 1. Une primitive de f sur R + est x x1 α α 1. On a donc N n=1 1 n α 1 + N dx 1 x = α α α N α 1 α 1. Les sommes partielles sont majorées, d où la convergence.

392 392 CHAPITRE 28. SÉRIES Exercice : Énoncer et démontrer une proposition pour les fonctions croissantes. Remarque : La proposition ci-dessus permet également d évaluer des restes de séries convergentes. Considérons par exemple la série 1. Cette série converge, donc n 2 R N = n=n 1 tend vers 0 lorsque N tend vers l infini. Cherchons un équivalent de R n 2 N. Pour cela, écrivons l inégalité de la proposition : c est à dire N+1 M dt t 2 1 M 1 N + 1 Faisons tendre N vers l infini. Il vient : N n=m N n=m 1 n 2 1 N M 2 + dt M t 2 1 n 2 1 M M 1 N 1 M R M 1 1 M M d où R M 1 M lorsque M tend vers l inini. III.2 Un exemple complet : la série harmonique On considère ici la série harmonique 1 n. Nous savons que cette série est divergente, mais nous allons estimer plus précisément ses sommes partielles S N. Tout d abord, en appliquant le paragraphe précédent, on obtient ou encore N+1 1 dt N t 1 N n 1 + dt 1 t n=1 ln(n + 1) S N 1 + ln N On en déduit aisément que S N ln N lorsque N tend vers l infini. Considérons maintenant u n = S n ln n. Nous savons que la suite u et la série de terme général v n = u n+1 u n sont de même nature. Or, u n+1 u n = n+1 k=1 1 k ln(n + 1) n k=1 1 k + ln n = 1 n+1 ln(1 + 1 n ) = 1 n (1 1 n + o( 1 n )) 1 n o( 1 ) 1. La série n 2 n 2 2n 2 vn est donc convergente, puisque son terme général est équivalent au terme général d une série de Riemann convergente. Ainsi, u N converge également. Sa limite, γ, est appelée la constante d Euler. Estimons maintenant w N = u N γ = N n=1 1 n ln N γ. Dans le calcul ci-dessus, nous avons N n=1 v n = u N+1 u 1 = u N+1 1 d où γ = n=1 v n + 1. Ainsi, w N = u N γ = N 1 n=1 v n + 1 ( n=1 v n + 1) = n=n v n. La remarque faite à la fin du paragraphe précédente nous montre que w n 1 2n. En conclusion :

393 IV. CONVERGENCE ABSOLUE 393 n k=1 1 k = ln n + γ + 1 2n + o( 1 n ) On pourrait continuer l expérience en considérant z n = n k=1 1 k ln n γ 1 2n et en appliquant à nouveau le théorème suite-série. On obtiendrait que z n 1, et ainsi de 12n 2 suite. Application, si l on veut calculer une valeur approchée de la constante d Euler on a intérêt à considérer par exemple la quantité n k=1 1 k ln n 1 2n + 1, qui va converger 12n 2 vers γ aussi vite qu un o( 1 ). n 2 Considérons la fonction Python ci-dessous : def approx_gamma(n): s = 0 for k in range(1, n+1): s = s / k return s - log(n) / (2 * n) / (12 * n ** 2) L appel approx_gamma(1000) renvoie instantanément la valeur : tous les chiffres sont exacts. Si l on s était contentés de return s - log(n), il aurait fallu additionner termes, c est à dire attendre quelques années. Remarque : Pourquoi tous les chiffres exacts? Eh bien le terme suivant dans le développement asymptotique de n k=1 1 k est 1. Notre fonction approx_gamma rnvoie 120n 1 4 donc la valeur de γ avec une erreur de l ordre de, et pour n = 1000, cette quantité est 120n 4 inférieure à Attention, ceci n est pas une preuve! Nous n avons pas un encadrement de l erreur commise mais seulement un équivalent. IV Convergence absolue IV.1 Séries absolument convergentes Définition 28.4 : Soit u n une série à termes dans R ou C. On dit que la série u n converge absolument lorsque la série u n converge. Exemple : α > 1. Soit α R. La série ( 1) n n α est absolument convergente si et seulement si Exemple : Soit α C. La série 1 Re α > 1. En effet, n α = n Re α. n α est absolument convergente si et seulement si

394 394 CHAPITRE 28. SÉRIES IV.2 Convergence absolue et convergence Il existe des séries qui convergent, mais ne convergent pas abso- Proposition : lument. Démonstration : Considérons la série ( 1) n 1 n. Cette série ne converge pas absolument, puisque l on sait que la série de Riemann 1 n est divergente. En revanche, nous avons vu dans le chapitre sur les suites que cette série converge, avec de plus ( 1) n 1 n=1 n = ln 2. Proposition : Toute série absolument convergente est convergente. Avant de démontrer ce théorème, introduisons une notation. Notation : Pour tout réel x, on pose x + = x si x 0 et x + = 0 sinon. De même, on pose x = x si x 0 et x = 0 sinon. Proposition : Pour tout réel x, les réels x + et x sont positifs, x = x + x et x = x + + x. Démonstration : C est évident, il n y a qu à considérer deux cas. Prouvons d abord le théorème pour une série à termes réels. Démonstration : Soit (u n ) n 0 une suite réelle. Supposons que la série u n est convergente. On a, pour tout entier n, 0 u + n u n et 0 u n u n. Les séries à termes positifs u + n et u n ont donc leur terme général majoré par le terme général d une série convergente. On en déduit que ces deux séries convergent. Par linéarité, la série un = (u + n u n ) est également convergente. Remarque : En poussant un peu plus loin, on a n=0 u n = n=0 u+ n n=0 u n n=0 u+ n + n=0 u n = n=0 u+ n + n=0 u n = n=0 (u+ n + u n ) = n=0 u n. On a donc l inégalité triangulaire : u n n=0 u n Cette démonstration est-elle bien raisonnable? N y a-t-il pas plus simple? Mais oui, voir le cas complexe! Prouvons maintenant le théorème pour une série à termes complexes. Démonstration : Soit (u n ) n 0 une suite complexe. Supposons que la série u n est convergente. On a pour tout entier n, 0 Re u n u n. La série à termes réels Re u n est ainsi absolument convergente, donc convergente. De même pour la série Im u n et, par linéarité, pour la série u n. Remarque : Soit N N. On a N n=0 u n N n=0 u n par l inégalité triangulaire pour les sommes «finies». On passe à la limite dans l inégalité en faisant tendre N vers n=0

395 V. APPENDICE - REPRÉSENTATIONS P-ADIQUES DES RÉELS 395 l infini (les deux séries mises en jeu convergent), et on obtient n=0 u n n=0 u n. Eh oui, il y avait plus simple. Corollaire : Soit (u n ) n 0 une suite complexe. Soit (v n ) n 0 une suite de réels positifs. On suppose que u n = O(v n ) et que la série v n est convergente. Alors, la série u n est absolument convergente, donc convergente. Démonstration : C est évident, par définition même de la relation de domination. Il existe un réel K > 0 tel que pour tout n assez grand, on ait u n Kv n. V Appendice - Représentations p-adiques des réels Dans toute cette section, p désigne un entier supérieur ou égal à 2. V.1 Représentation en base p des entiers naturels Proposition : Soit n N. L entier n s écrit de façon unique N k=0 a kp k où les a k sont des entiers entre 0 et p 1, et a N 0. Démonstration : Pour l existence, on fait une récurrence forte sur n. Soit n 1. Supposons que les entiers entre 1 et n 1 s écrivent sous la forme voulue. Effectuons la division de n par p : n = mp+a 0, où a 0 {0,..., p 1} et m N. Si m = 0, on a fini. Sinon, 1 m < n, et on peut donc grâce à l hypothèse de récurrence écrire m = N k=0 b kp k où les b k sont des entiers entre 0 et p 1 et b N 0. On reporte et on obtient n = N k=0 b kp k+1 +a 0, qui est bien de la forme recherchée, en posant a 1 = b 0,..., a N+1 = b N. Pour l unicité, supposons que l entier n admet deux écritures distinctes N k=0 a kp k et M k=0 b kp k. Soit P le plus grand indice tel que a P b P. On a par exemple a P > b P. Soustrayons, il vient (a P b P )p P = P 1 k=0 (b k a k )p k. Le membre de gauche est supérieur ou égal à p P. Majorons le membre de droite : P 1 k=0 (b k a k )p k (p 1) P 1 k=0 pk = (p 1) pp 1 p 1 = pp 1. Le membre de gauche et celui de droite ne peuvent pas être égaux, contradiction. Notation : Pour n = N k=0 a kp k avec les conditions requises sur les a k, on écrit n = a N... a 0p, ou plus simplement n = a N... a 0 lorsque aucune confusion n est à craindre. Les a k sont appelés les chiffres de l écriture de n en base p. Exemple : Les deux valeur de p les plus utilisées sont sans aucun doute p = 10 (écriture décimale) et p = 2 (écriture binaire). Prenons n = On a 2013 = donc l écriture décimale de 2013 est Son écriture binaire est def chiffres(n, p): if n == 0: return [] else: return chiffres(n // p, p) + [n % p]

396 396 CHAPITRE 28. SÉRIES V.2 Représentations d un réel en base p Tout réel x 0 s écrit sous la forme n + y où n = x N et y [0, 1[. Nous allons donc nous concentrer jusqu à la fin de cette section aux réels de l intervalle [0, 1[. Soit x [0, 1[. Posons x 0 = x et a 1 = px 0. On a a 1 px < a 1 +1, donc 0 x a 1 p < 1 p. De plus 0 a 1 p 1. Ceci sugère de recommencer, en posant x 1 = x a 1 p. On construit par récurrence sur n une suite (x n ) n 0 et une suite (a n ) n 0 comme suit : a 0 = 0, x 0 = x et, pour tout n N, a n+1 = p n+1 x n et x n+1 = x n a n+1. p n+1 Proposition : On a pour tout entier n 0 : 0 a n p 1. x n = x n a k k=0. p k 0 x n < 1 p. n Démonstration : Par récurrence sur n. Pour n = 0, c est évident. Supposons donc la propriété vérifiée pour l entier n. On a a n+1 p n+1 x n < a n Comme x n < 1 p, on n a a n+1 < p donc a n+1 p 1. Comme x n 0, a n+1 l est aussi (c est sa partie entière). Enfin, a n+1 x p n+1 n < a n+1 + 1, d où, après une petite soustraction, 0 x p n+1 p n+1 n+1 < 1. p n+1 Corollaire : On a x = a k k=0. p k Démonstration : Évident : d après la proposition précédente, x n tend vers 0 lorsque n tend vers l infini. Définition 28.5 : La suite (a n ) n 1 est appelé un développement p-adique du réel x. On note x = 0.a 1 a 2 a Exemple : Un développpement décimal du réel 7 est Montronsle. Soit y = La barre indique que l on répète à l infini cette séquence de 6 chiffres. On a donc 10 6 y = = y. De là, y = et donc y = = 1 7. Remarque : Si x est un réel positif quelconque, un développement p-adique de x est x = b n... b 0.a 1 a 2 a 3... où b n... b 0 est un développement p-adique de la partie entière de x. Si x < 0, on écrit x = y où y = x. V.3 Unicité du développement Eh bien il n y a pas unicité! Considérons par exemple le réel x = On a 10x 4 = , d où 10(10x 4) = x 4, c est-à dire 90x = 45, d où x = 1 2. Mais on a aussi 1 2 = Ainsi, 1 2 admet deux développements décimaux distincts. Nous allons maintenant regarder quels sont précisément les réels admettant plusieurs développements p-adiques, combien ils en ont, et à quoi ressemblent ces développements. Soit donc x [0, 1]. On suppose x = a k k=1 = b k p k k=1, où les a p k k et les b k sont des entiers entre 0 et p 1, et au moins un des a k est différent du b k correspondant. Prenons

397 V. APPENDICE - REPRÉSENTATIONS P-ADIQUES DES RÉELS 397 un tel k minimal, notons le k 0 et supposons par exemple a k0 > b k0. On a donc a k0 b k0 p k 0 = k=k 0 +1 b k a k p k La somme du membre de droite est inférieure ou égal à p 1 k=k 0 +1 = 1. Et elle est p k p k 0 égale à cette valeur si et seulement si pour tout k k 0, on a b k = p 1 et a k = 0 (le lecteur est invité à compléter). Le membre de gauche est quant à lui supérieur ou égal à 1 p, et est égal à cette valeur si et seulement si a k 0 k 0 = b k Mais ces deux membres sont égaux. On en déduit donc : Pour tout k k 0, on a b k = p 1 et a k = 0 a k0 = b k On voit donc que si x possède deux développements p-adiques, l un de ces deux développements est nul à partir d un certain rang. Ceci suggère de définir l ensemble E = { n, n Z, k N} pk Muni de l addition et de la multiplication, cet ensemble est un sous-anneau de R, l ensemble des nombres p-adiques (ont dit les nombres décimaux lorsque p = 10). Nous résumons les calculs précédents dans une proposition : Proposition : Soit x [0, 1[. Le nombre x possède deux développements p- adiques distincts si et seulement si x E. Dans le cas où x E, x possède exactement deux développements p-adiques. L un est nul à partir d un certain rang, de la forme x = N a k k=1 a N 1 p N, où les a p k k sont des entiers entre 0 et p 1, et a N 0. L autre est x = N 1 k=1 + k=n+1 p 1 p k. a k p k + Démonstration : Il reste une vérification à faire, à savoir que les deux développements ci-dessus sont bien égaux à x. Elle est laissée au lecteur. Exemple : On prend p = 10. Soit x = Les deux développements décimaux de x sont x = et x = Exemple : Soit x = Le réel x n étant pas un nombre décimal, il possède un unique développement. L algorithme de division appris au CM2 nous donne x = Une vérification serait de poser y = et de constater que y = y, donc y = d où y = = = x.

398 398 CHAPITRE 28. SÉRIES VI Exercices 1. Montrer que la série de terme général u n est convergente et calculer sa somme. 1 (a) u n = (2n 1)(2n+1), n 1. n (b) u n = (n+1)(n+2)(n+3), n 0. (c) u n = 2n+1 n 2 (n+1) 2, n 1. (d) u n = 2n +3 n 6 n, n 0. (e) u n = 2n +n 2 +n 2 n+1 n(n+1), n 1. (f) u n = ( 1)n 1 (2n+1) n(n+1), n 1. (g) u n = ln((1+ 1 n )n (1+n)) ln(n n ) ln((n+1) n+1 ), n La série de terme général u n est-elle convergente? 1 (a) u n =, n 1. n(n+10) (b) u n = sin 1 n, n 1. (c) u n = 2+( 1)n 2 n, n 0. (d) u n = n2 2, n 0. n (e) u n = n ln n n+1, n 1. (f) u n = (g) u n = ln n n n+1, n n (n+1) 3 1, n 1. 1 (h) u n = 10000n+1, n 0. (i) u n = n, n 0. e n2 (j) u n = 1 n x 0 dx, n 1. 1+x 2 (k) u n = n+1 n e x dx, n 1. (l) u n = ln(n sin 1 n ), n 1. (m) u n = n 1 n, n La série de terme général u n est-elle absolument convergente? (a) u n = cos n n 2 +1, n 0. (b) u n = n cos n+( 1)n n 3, n 1. (c) u n = ( 1)n n 37 (n+1)!, n On appelle série alternée toute série ( 1) n u n où les u n sont des réels positifs. On se donne une série alternée qui vérifie que u n décroît et tend vers 0 lorsque n tend vers l infini. On note S N = N n=0 ( 1)n u n.

399 VI. EXERCICES 399 (a) Montrer que la suite (S 2N ) N 0 est croissante. (b) Montrer que la suite (S 2N+1 ) N 0 est décroissante. (c) Montrer que S 2N+1 S 2N tend vers 0 lorsque N tend vers l infini. (d) En déduire que la série ( 1) n u n est convergente. 5. (a) Utiliser l exercice précédent pour montrer que la série ( 1) n (b) Démontrer que deux façons différentes que la série ( 1) n n 2 n converge. converge. 6. Règle de D Alembert Soit u n une série à termes strictement positifs. On suppose que u n+1 u n l R + lorsque n tend vers l infini. (a) On suppose que l < 1. On pose q = l+1 2. Montrer i. Pour tout n assez grand u n+1 qu n. ii. Il existe un réel K tel que pour tout n assez grand 0 u n Kq n. iii. La série u n converge (b) On suppose que l > 1. On pose q = l+1 2. Montrer i. Pour tout n assez grand u n+1 qu n. ii. Il existe un réel K tel que pour tout n assez grand u n Kq n 0. iii. La série u n diverge grossièrement. (c) Montrer par deux exemples que si l = 1 on ne peut rien conclure. 7. Appliquer la règle de D Alembert aux séries dont le terme général u n est donné ci-dessous. (a) u n = n! 2 2n, n 0. (b) u n = n!2 (2n)!, n 0. (c) u n = 1000n n!, n 0. (d) u n = n!, n n 8. (a) Soient p, q N, 1 q p. Montrer que pn k=qn 1 k tend vers ln p q vers l infini. lorsque n tend (b) On considère le réarrangement suivant de la série harmonique alternée, où trois termes positifs sont suivis de deux termes négatifs : Montrer que les sommes partielles S 5N de cette série convergent vers l = ln ln 3 2. (c) Montrer que cette série est convergente, de somme l.

400 400 CHAPITRE 28. SÉRIES

401 Chapitre 29 Dénombrements 401

402 402 CHAPITRE 29. DÉNOMBREMENTS I Notion d ensemble fini I.1 Cardinal Lemme I.1 Soient E et F deux ensembles non vides. Soient a E et b F. Il existe une bijection de E vers F si et seulement si il existe une bijection de E = E \ {a} vers F = F \ {b}. Le résultat reste vrai si l on remplace bijection par injection ou surjection. Démonstration : Supposons qu il existe une bijection f : E F. Soit g : E F définie par g(x) = f(x) si x E et g(a) = b. Alors g est une bijection de E sur F. Supposons maintenant qu il existe une bijection f : E F. Soit φ : F F définie par φ(x) = x si x f(a) et x b, φ(f(a)) = b et φ(b) = f(a). La fonction φ échange simplement b et f(a). Elle est bijective, et d ailleurs égale à sa réciproque. Considérons maintenant la fonction f = φ f. f est une bijection de E vers F (composée de bijections) et, de plus f (a) = b. La fonction g : E F définie par g(x) = f (x) est alors une bijection de E sur F. La démonstration est totalement identique pour les injections et les surjections. Pour tout entier non nul, on note n l ensemble des entiers entre 0 et n 1. On note également 0 =. Proposition 29.1 : seulement si n = p. Soient n et p deux entiers. Il existe une bijection de n sur p si et Démonstration : Dans un sens c est trivial. En effet, si n = p, alors n = p et il existe bien une bijection entre n et p : l identité. Inversement, on effectue une récurrence sur p. Pour p = 0 c est clair, car s il existe une application d un ensemble vers, alors cet ensemble est vide. Soit maintenant un entier p tel que n N, s il existe une bijection de n sur p alors n = p. Soit n N. Supposons qu il y a une bijection de n sur p + 1. On a forcément n 1, car p D après le lemme, il existe une bijection de n 1 sur p. Par l hypothèse de récurrence, on a n 1 = p, c est à dire n = p + 1. Lemme I.2. Soient n et p deux entiers. Il existe une injection de n sur p si et seulement si n p. Soient n et p deux entiers. Il existe une surjection de n sur p si et seulement si n p. Démonstration : On peut par exemple faire une démonstration analogue à celle du résultat sur les bijections. Définition 29.1 : Soit E un ensemble. On dit que E est fini lorsqu il existe un entier n tel que E soit en bijection avec n. D après la proposition précédente, cet entier est non nul. On l appelle le cardinal de E, et on le note Card E. Remarque 29.1 : D autres notations sont souvent rencontrées, comme par exemple #E ou E.

403 I. NOTION D ENSEMBLE FINI 403 I.2 Propriétés Proposition 29.2 : Soient E et F deux ensembles finis. Alors E et F sont en bijection si et seulement si E et F ont le même cardinal. Démonstration : Soit n = Card E. Soit p = Card F. Soient f : E n une bijection et g : F p une bijection. Si n = p, alors g 1 f est une bijection de E vers F. Inversement, si h est une bijection de E vers F, alors, g h f 1 est une bijection de n vers p, donc n = p. Proposition 29.3 : Soient E et F deux ensembles finis. Alors il existe une injection de E vers F si et seulement si Card E Card F. Et il existe une surjection de E vers F si et seulement si Card E Card F. Démonstration : Démonstration analogue à celle du théorème sur les bijections. Proposition 29.4 : Soit E un ensemble fini. Soit E E. Alors E est fini, et Card E Card E. De plus, Card E = Card E si et seulement si E = E. Démonstration : On fait une récurrence sur n = Card E. Pour n = 0, c est clair, puisque E =. Soit maintenant un entier n pour lequel la propriété est vérifiée. Soit E de cardinal n+1. Soit E E. Si E = E, il n y a rien à faire : E est fini et Card E = Card E. Sinon, soit a E \ E. On a E E \ {a}. On a une bijection de E sur n + 1 donc, d après le lemme au début du paragraphe, on a une bijection entre E \ {a} et n. Dons E \ {a} est fini, de cerdinal n. Par l hypothèse de récurrence, E est fini, de cardinal inférieur ou égal à n (et donc différent de n + 1). Proposition 29.5 : Soit f : E F une application d un ensemble fini E vers un ensemble fini F DE MEME CARDINAL. Alors, f est bijective si et seulement si f est injective OU f est surjective. Démonstration : Supposons f injective. f est alors une bijection de E sur f(e) F. Donc, Card E = Card f(e) = Card F. Donc f(e) = F et f est surjective. Supposons maintenant que f est surjective. f possède un inverse à gauche g qui est injectif. D après ce que nous venons de dire sur les injections, g est bijectif et sa réciproque, f, l est aussi. I.3 Dénombrements et ensembles finis Les deux prochains chapitres nous amèneront à parler de probabilités. Dans un grand nombre de cas, une expérience aléatoire consiste à effectuer des choix, et un calcul de probabilté se résume à trouver combien il y a de choix possibles, à faire, donc, un dénombrement. Mathématiquement, les issues de l expérience forment un ensemble, et dénombrer revient à trouver le cardinal de cet ensemble. Exemple : On lance un dé et on regarde le nombre sur sa face supérieure. Combien a-t-on de possibilités? C est évidemment un exemple très simpliste. L ensemble qui nous intéresse est ici E = {1, 2,..., 6} et son cardinal est 6 : il y a 6 possibilités. Inutile de

404 404 CHAPITRE 29. DÉNOMBREMENTS dire que nous nous intéresserons à des problèmes un peu plus compliqués. D où le reste du chapitre. II Opérations sur les ensembles finis II.1 Union disjointe Proposition 29.6 : alors finie et Soient E 1,..., E n n ensembles finis disjoints. Leur réunion est n Card n k=1 E k = Card E k k=1 Démonstration : On le montre pour n = 2. Une récurrence triviale sur n permet de conclure. Soient donc A et B deux ensembles finis disjoints, de cardinaux respectifs n et p. Soient f : A n et g : B p deux bijections. Considérons l application h : A B n + p définie par h(x) = f(x) si x A et h(x) = g(x) + n si x B. Alors h est une bijection. Remarque 29.2 : Si une expérience aléatoire est l union disjointe de deux autres expériences et que pour ces deux expériences on a respectivement n 1 et n 2 choix, alors nous avons n 1 + n 2 choix pour l expérience qui nous intéresse. Par exemple, une boîte contient un dé et une deuxième boîte contient une pièce de monnaie. On choisit une des deux boîtes, on l ouvre, on lance l objet qui est dedans et on note le résultat. On a 6+2 = 8 possibilités : 1, 2, 3, 4, 5, 6, P, F. II.2 Différence, union Proposition 29.7 : Soient A et B deux ensembles finis, B A. Alors A \ B est fini et Card (A \ B) = Card A Card B. Démonstration : On a A = B (A \ B) et la réunion est disjointe. Proposition 29.8 : Soient E et F deux ensembles finis. Alors, E F et E F sont finis, et Card E F = Card E + Card F Card E F Démonstration : E F = (E \ (E F )) F avec réunion disjointe. Puis on utilise que E F E. Remarque 29.3 : On peut généraliser cette formule à la réunion de n ensembles. La formule que l on obtient alors s appelle la formule du crible. Exercice : Écrire la formule pour trois ensembles.

405 III. APPLICATIONS ENTRE ENSEMBLES FINIS 405 II.3 Produit cartésien Proposition 29.9 : Soient E et F deux ensembles finis. Alors E F est fini, et Card E F = Card E Card F Démonstration : On a E F = y F E {y}, tous ces ensembles étant disjoints et clairement de même cardinal que E. Remarque 29.4 : Si une expérience aléatoire consiste en la succession de deux expériences, la première donnant n 1 choix et la deuxième n 2 choix, on a alors n 1 n 2 choix pour l expérience qui nous intéresse. Par exemple, on lance un dé bleu et un dé vert et on note le résultat. On a 6 6 = 36 possibilités. Remarque 29.5 : Généralisation évidente à un produit de n ensembles finis. Avec un cas particulier important : Proposition : Soit F un ensemble fini de cardinal n. Soit p N. L ensemble F p des p-uplets d éléments de F est fini, de cardinal n p. III Applications entre ensembles finis III.1 Dénombrements d applications Proposition : Soient E et F deux ensembles finis, de cardinaux respectifs p et n. L ensemble F E des applications de E dans F est fini, de cardinal n p. Démonstration : On fait une récurrence sur p. Pour p = 0, on a E = et il y a une seule application de E vers F : (, F, ). Donc, le cardinal de F E est 1 = n 0. Supposons maintenant la propriété vérifiée pour un entier p. Soit E de cardinal p + 1. Posons E = E {a} où E est de cardinal p. Considérons l application φ : F E F F E définie comme suit. À tout couple (f, b) on associe l application g définie par g(x) = f(x) si x a, et g(a) = b. L application φ est bijective. Donc, Card F E = Card(F E F ) = Card F E Card F = n p n = n p+1. III.2 Dénombrements d injections, de bijections Proposition : Soient E et F deux ensembles finis, de cardinaux respectifs p n! et n, avec n p. L ensemble des injections de E dans F est fini, de cardinal (n p)! (arrangements). Notation : On notera (n) p cette quantité. On a ainsi (n) p = n! = n(n 1)... (n p + 1) (n p)!

406 406 CHAPITRE 29. DÉNOMBREMENTS Démonstration : Étant donnés deux ensembles A et B, notons I(A, B) l ensemble des injections de A vers B. On fait une récurrence sur p. Pour p = 0, c est clair. Il y a une seule application de E vers F et elle est injective. Soit p N. Supposons la propriété vraie pour p. Soit E un ensemble de cardinal p + 1. E = E {a} où E est de cardinal p. Soit Z = b F I(E \ {a}, F \ {b}) {b}.considérons l application φ : Z I(E, F ) définie comme suit : au couple (f, b) on associe l application g définie par g(x) = f(x) si x a et g(a) = b (on vérifie que g est bien injective). Alors, l application φ est bijective, et sa réciproque associe à l injection g : E F le couple (f, b) où b = g(a) et f est la restriction de g à E \ {a}, corestreinte à F \ {b}. On a donc égalité des cardinaux des ensembles de départ et d arrivée de φ : Card I(E, F ) = b F Card (I(E \ {a}, F \ {b}) {b}) = b F Card I(E \ {a}, F \ {b}) = (n 1)! b F ((n 1) p)! = n (n 1)! (n (p+1))! = n! (n (p+1))!. Corollaire : Soit E un ensemble fini de cardinal n. L ensemble S(E) des bijections de E dans E est fini, de cardinal n!. Démonstration : Une application de E vers E est bijective si et seulement si elle est injective. Il suffit d appliquer le théorème précédent. Corollaire : Soit F un ensemble fini de cardinal n. Soit p n. L ensemble des p-uplets d éléments distincts de F est fini, de cardinal (n) p. Démonstration : En effet, cet ensemble est en bijection avec l ensemble des injections de {1,..., p} dans F. Remarque 29.6 : Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire successivement 4 boules de l urne, sans les remettre. Combien de quadruplets possibles? Eh bien il y en a (10) 4 = Remarque 29.7 : De façon très générale, si une expérience alétoire consiste en la succession de p expériences, de sorte que le nombre de possibilités pour la ième expérience est n i, on a alors n 1 n 2... n p possibilités pour l expérience qui nous intéresse. Ceci est beaucoup plus général que notre théorème sur les injections, nous l admettrons et ne nous priverons pas de l utiliser. IV Parties d un ensemble fini IV.1 Nombre total de parties Proposition : Soit E un ensemble fini de cardinal n. L ensemble P(E) des parties de E est fini, de cardinal 2 n. Démonstration : On procède par récurrence sur n. Pour n = 0 c est clair puisque P( ) = { }. Supposons maintenant la propriété vraie pour tout ensemble de cardinal n. Soit E = E {a} un ensemble de cardinal n + 1. Les parties de E sont de deux types :

407 IV. PARTIES D UN ENSEMBLE FINI 407 celles qui ne contiennent pas a, et qui ne sont autres que les parties de E. Il y en a 2 n d après l hypothèse de récurrence. Et celles qui contiennent a, et qui sont de la forme A {a} où A est une partie de E. Il y en a donc autant que de parties de E. Finalement, Card P(E) = 2 n + 2 n = 2 n+1. Nous allons maintenant introduire une notation déjà utilisée pour les coefficients binomiaux au début de l année. Bien évidemment, nous allons prouver que les nombres ainsi notés SONT les coefficients binomiaux! IV.2 Nombre de parties de cardinal donné ( Définition 29.2 : Soient E un ensemble de cardinal n et p un entier naturel. On note n ) p le nombre de parties de E de cardinal p. Notation : On note pour tout ensemble E et tout entier naturel k par P k (E) l ensemble des parties de E de cardinal k. On a donc ( n k) = Card Pk (E) où E est un ensemble de cardinal n. Remarque 29.8 : On a bien évidemment ( n p) = 0 dès que p > n. Le problème est de calculer cette quantité lorsque 0 p n. Proposition : On a les propriétés suivantes : ( ) ( n p = n ) n p n ( n ) p=0 p = 2 n Pour n, p 1, ( ) ( n p = n 1 ) ( p 1 + n 1 ) p (triangle de Pascal) Démonstration : Soit E un ensemble de cardinal n. L application A E \ A envoie bijectivement P p (E) sur P n p (E) d où la première égalité. La seconde égalité résulte de P(E) = n p=0 P p(e) puis de la formule donnant le cardinal d une union disjointe. Pour la troisième égalité, posons E = E {a} où E est de cardinal n 1. Les parties de E de cardinal p sont de deux sortes. Il y a tout d abord celles qui ne contiennent pas a, et qui sont les éléments de P p (E ). Il y en a ( ) n 1 p. Et il y a celles qui contiennent a, et qui sont de la forme A {a} où A P p 1 (E ). Il y en a ( n 1 p 1). D où la formule cherchée. Proposition : Soient n, p deux entiers tels que 0 p n. Alors : ( ) n n! = p p!(n p)! Démonstration : On montre par récurrence sur n que pour tout entier n, P (n) est vraie, où P (n) = p [0, n], ( ) n p = n! p!(n p)!. Pour n = 0 c est évident. Soit maintenant n N pour lequel on a P (n). Soit 1 p n. On a ( ) ( n+1 p = n ( p) + n p 1). On utilise maintenant l hypothèse de récurrence : ( ) n+1 p = n! p!(n p)! + n! n! (p 1)!(n p+1)! = p!(n+1 p)! ((n + 1 p) + p) qui est l expression voulue. Remarque 29.9 : Une urne contient 10 boules numérotées. On tire 4 boules de l urne.

408 408 CHAPITRE 29. DÉNOMBREMENTS Combien a-t-on de quadruplets de boules possibles? Nous avons déjà répondu à cette question, on en a (10) 4 = Combien a-t-on d ensembles de boules possibles? Eh bien, on en a ( ) 10 4 = 210. Attention, donc, à ne pas confondre des k-uplets et des ensembles à k éléments! Proposition : Soient a, b deux complexes (ou plus généralement deux éléments d un anneau tels que ab = ba) et n N. Alors (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k Démonstration : La formule du binôme, nous l avons déjà prouvée par récurrence. Nous allons maintenant en faire une démonstration combinatoire. On a (a + b) n = (a + b)(a + b)... (a + b). Le développement de ce produit de n sommes de deux termes donne 2 n termes. Chacun de ces termes est de la forme a k b n k, où k est le nombre de fois que l on a choisi a dans un facteur (on a alors évidemment choisi b dans les n k autres facteurs). Ainsi, (a + b) n = n k=0 C(n, k)ak b n k où C(n, k) est le nombre de façons de choisir a dans k facteurs parmi n. Mais ce choix de k facteurs n est rien d autre que le choix d une partie de cardinal k dans l ensemble des n facteurs. On a donc C(n, k) = ( n k), d où la formule cherchée.

409 V. EXERCICES 409 V Exercices 1. Pour n 1, on note u n le nombre de parties de l ensemble {1,..., n} ne contenant pas deux entiers successifs. Calculer u 1 et u 2, et déterminer, pour tout n 1, une relation entre u n+2, u n+1 et u n. Conclusion? 2. Démontrer que dans un ensemble fini non vide, il y a autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair. 3. Soit E un ensemble à n éléments. Déterminer le nombre de couples (A, B) de parties de E telles que A B =. 4. Soit E un ensemble à n éléments. Déterminer le nombre de couples (A, B) de parties de E telles que A B. 5. Soient m et n deux entiers non nuls. Déterminer le nombre d applications strictement croissantes de {1,..., m} dans {1,..., n}. Indication : une telle application est caractérisée par un ensemble de m entiers entre 1 et n. 6. Même question en remplaçant «strictement croissantes» par croissantes. On pourra se ramener à ce qui précède en remarquant que si f est croissante, l application g définie par g(x) = f(x) + x 1 est strictement croissante. 7. Soit n un entier naturel. Dénombrer astucieusement les parties à n éléments dans un ensemble de cardinal 2n et en déduire que n ( n 2 ( k=0 k) = 2n ) n. 8. Démontrer que l application f de N 2 dans N définie par f(x, y) = 1 2 (x + y)(x + y + 1) + y est une bijection. 9. Soit E un ensemble non vide de cardinal n. On note p n le nombre de partitions de E de cardinal n. Ce nombre est appelé le nombre de Bell d indice n. On pose également p 0 = 1. (a) Calculer p 1, p 2, p 3. (b) Montrer que pour tout n N, p n+1 = n ( n k=0 k) pk. (c) Que vaut p 6? 10. Formule d inversion de Pascal ( 0 ) ( 0 0 1)... ( ) 0 ( n 1 ) ( 1 (a) Soit n N. Soit M = 0 1)... ( ) 1 n (.... Calculer M 1. n ) ( n ) ( n n) (b) Soient ( (a n ) n 0 et (b n ) n 0 deux suites réelles. On suppose que n N, a n = n ) k=0 k bk. Montrer que n N, b n = k=0 ( 1)k( n k) ak. 11. Soit n N. On appelle dérangement toute permutation σ S n vérifiant pour tout entier k entre 1 et n σ(k) k. On note d n le nombre de dérangements de S n. On pose d 0 = 1. (a) Calculer d 1, d 2, d 3. (b) Montrer que n! = n ( n k=0 k) dk. (c) Déduire de la formule d inversion de Pascal une formule explicite pour d n.

410 410 CHAPITRE 29. DÉNOMBREMENTS

411 Chapitre 30 Probabilités 411

412 412 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS I Expérience aléatoire et univers I.1 Notion d univers aléa : vient du latin alea qui signifie jeu de dés. hasard : vient de l arabe az-zahr qui signifie jeu de dés. chance : vient de l ancien français chaance, évolution du latin cadentia qui signifie action de tomber, spécialement employé en latin au jeu des osselets La théorie des probabilités cherche à modéliser ce qui résulte du hasard. On effectue un expérience «aléatoire». L issue de cette expérience peut changer lorsqu on répète l expérience. Bien qu imprévisible, cette issue est quand même restreinte à appartenir à un certain ensemble de valeurs. Certaines valeurs apparaissent plus souvent que d autres, et c est cette notion de «souvent» que la théorie des probabilités cherche à préciser. Définition 30.1 : On appelle univers tout ensemble fini Ω. Remarque 30.1 : L univers Ω est censé être l ensemble des issues (ou résultats possibles ou réalisations) d une expérience aléatoire. Dans ce cours, nous ne nous intéresserons qu à des univers finis. Dans le cours de deuxième année, les résultats seront étendus à des univers dénombrables. La branche des probabilités s intéressant aux univers «continus» est également fondamentale, mais vous ne l étudierez pas lors des deux prochaines années. Elle fait appel à la théorie de la mesure et de l intégrale. Exemple : On joue à pile ou face : on peut prendre pour univers l ensemble Ω = {P, F }. On jette deux dés à 6 faces : on peut prendre pour univers l ensemble Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 des couples d entiers entre un et 6. On lance une fléchette sur une cible de rayon R : on peut prendre pour univers l ensemble Ω = [0, R] ] π, π]. Mais que fait-on si la fléchette rate la cible? On le voit, le choix d un univers s impose la plupart du temps, mais pas toujours. La fléchette peut rater sa cible, le dé peut être «cassé», la pièce peut tomber sur la tranche. L énoncé d un problème probabilités doit être suffisamment précis pour exclure toute ambiguité. Remarque 30.2 : Un univers peut être énorme. Prenons l exemple du lancer d un dé. On peut considérer que l univers est l ensemble de toutes les trajectoires possibles du dé dans l espace, c est à dire un ensemble de courbes paramétrées décrivant toutes les trajectoires. On peut également inclure dans cet univers des renseignements concernant l humidité de l air, la pression atmosphérique, le matériau du tapis sur lequel le dé est jeté, l humeur du lanceur de dé, etc. Tout est question de modélisation, et la plupart du temps (mais pas toujours) on ne retient dans l univers que les informations utiles au résultat de l expérience qui nous intéresse. Pour le lancer de dé, on laisse tomber les trajectoires et le réveil du pied gauche du lanceur de dé, pour ne conserver que la position finale du dé, qui peut être symbolisée par un entier entre 1 et 6.

413 I. EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ET UNIVERS 413 I.2 Notion d événement Lorsqu on effectue une expérience aléatoire, on s intéresse la plupart du temps à la réalisation de certains résultats, caractérisés par certaines propriétés. Par exemple, on lance deux pièces et on veut savoir si l une des pièces est tombée sur pile. Ou on lance deux dés, et on veut savoir si la somme des dés vaut 7. En général, plusieurs issues de l expérience fournissent le résultat voulu. On s intéresse en fait à une partie de l univers, ce que l on appelle un événement. Définition 30.2 : Un événement est une partie de l univers Ω. Exemple : On lance de 2 pièces. L univers est Ω = {(P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F )}. L événement «l une au moins des pièces est tombée sur pile» est A = {(P, P ), (P, F ), (F, P )}. Définition 30.3 : Un événement élémentaire est un singleton. Soit A un événement. L événement contraire de A est A c = Ω \ A. Soient A et B deux événements. La réunion de A et B, A B est appelée «A ou B». L intersection de A et B, A B est appelée «A et B». L ensemble vide est l événement impossible. L ensemble Ω est l événement certain. Les événements A et B sont dits incompatibles lorsque A et B est impossible, c est à dire lorsque A B =. Voici un petit dictionnaire, qui permet de passer du vocabulaire de la théorie des ensemble à celui des probabilités, et vice versa. Théorie des ensembles Probabilités A Partie de Ω Événement {ω} Singleton Événement élémentaire ω Élément de Ω Issue d une expérience Ω \ A Complémentaire de A Contraire de A A B Réunion de A et B A ou B A B Intersection de A et B A et B Ensemble vide Événement impossible Ω Événement certain A B = Ensembles disjoints Événements incompatibles I.3 Systèmes complets d événements Définition 30.4 : Soit Ω un univers. On appelle système complet d événements tout ensemble E = {A 1,..., A n } d événements non vides vérifiant : Les A i sont deux à deux incompatibles. Ω = n i=1 A i. Remarque 30.3 : On travaillera souvent avec des systèmes complets de deux événements, à savoir un événement A et son contraire A c. Par exemple, pour un lancer de dés, A = «la somme des dés est paire» et A c = «la somme des dés est impaire».

414 414 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS II Espaces probabilisés finis Je lance un dé non pipé («parfait», dit-on aussi). Qu entends-je par «il y a une chance sur deux pour que j obtienne un nombre pair»? L approche naturelle est sans doute l approche expérimentale. Je réalise une expérience, celle du lancer d un dé. Cette expérience réussit si j obtiens un nombre pair, elle échoue si j obtiens un nombre impair. J effectue un «grand»nombre N de fois cette expérience, et j enregistre le nombre N s de succès. J espère, je suppose, je m imagine, que Ns N sera à peu près égal à 0.5. Dit autrement, N s N tend-il vers 1 2 lorsque N tend vers l infini? La réponse est non : si j ai beaucoup beaucoup de chance, j obtiendrai indéfiniment des nombres pairs, et ma fraction tendra vers 1. Si je n ai vraiment pas de chance, elle vaudra (et tendra) vers 0. Et je peux imaginer des suites de lancers qui feront tendre cette fraction vers n importe quel nombre entre 0 et 1, ou vers rien du tout. Je peux alors essayer d affirmer que cette fraction tendra presque sûrement vers 1 2. Le seul problème est de définir presque sûrement : allons donc, cela veut dire «avec une probabilité égale à 1»! Euh, mais je veux précisément définir le concept de probabilité! Bref, le concept originel de probabilité ne se laisse pas facilement appréhender. La façon la plus simple de faire est de suivre la route ouverte par Kolmogorov, en ne disant pas ce qu est une probabilité, mais en disant quelles sont les propriétés qu elle doit vérifier. Tout comme les axiomes de la théorie des ensembles qui ne nous disent pas ce qu est un ensemble ou les axiomes de la géométrie euclidienne qui refusent obstinément de nous raconter ce qu est un point ou une droite. La figure ci-dessous montre la fréquence d apparition de «pile» lors de 5000 tirages à pile ou face d une pièce non truquée. On voit (en tout cas sur cet exemple), la fréquence tendre vers 0.5. Tout à la fin du prochain chapitre nous verrons apparaître dans l inégalité de Bienaymé-Tchebychev des indices que notre intuition initiale de limite d une fraction est correcte. Figure tirages à pile ou face

415 II. ESPACES PROBABILISÉS FINIS 415 II.1 Notion de probabilité Définition 30.5 : Soit Ω un univers. On appelle probabilité sur Ω toute fonction P : P(Ω) [0, 1] vérifiant : P (Ω) = 1. A, B Ω, A B = P (A B) = P (A) + P (B). Définition 30.6 : On appelle espace probabilisé tout couple (Ω, P ) où Ω est un univers fini et P est une probabilité sur Ω. Remarque 30.4 : L additivité s étend évidemment à un nombre fini d événements deux à deux incompatibles. Comme nos univers sont finis, tout va pour le mieux. Mais autant le dire tout de suite, un certain nombre de complications apparaîtront lorsque l univers sera infini (l année prochaine). Remarque 30.5 : Comme nos espaces probabilisés sont finis, une probabilité P est caractérisée par ses valeurs sur les singletons (les événements élémentaires). En effet, toute partie A de Ω est une réunion finie de singletons disjoints. Précisément, A = x A {x}, donc P (A) = x A P ({x}). Proposition 30.1 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. On a P ( ) = 0. Démonstration : On a =. Donc P ( ) + P ( ) = P ( ). Proposition 30.2 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit n 1. Soient A 1,..., A n n événements deux à deux incompatibles. On a P ( n i=1 A i) = n i=1 P (A i). Démonstration : Récurrence immédiate sur n. Remarque 30.6 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit A Ω. On a A = a A {a} et ces singletons sont évidemment deux à deux incompatibles. Ainsi, P (A) = a A P ({a}). La probabilité d une partie de Ω est entièrement déterminée par les probabilités des singletons qui la composent. Pour définir une probabilité sur un univers, il suffit donc de la définir pour chaque événement élémentaire de cet univers. Proposition 30.3 : Soit Ω un univers fini. Il existe une unique probabilité sur Ω constante sur les singletons. On l appelle la probabilité uniforme sur Ω. Démonstration : Supposons qu une telle probabilité P existe. Soit p la valeur commune de cette probabilité sur les singletons. Soit n = Ω. On a alors 1 = P (Ω) = x Ω P ({x}) = x Ω p = np donc p = 1 n. Inversement la fonction définie sur les singletons par P ({x}) = 1 n est une probabilité sur Ω. Proposition 30.4 : Soit P la probabilité uniforme sur un univers Ω. On a pour tout événement A, P (A) = A Ω. Remarque 30.7 : Par exemple P ({x}) = 1 6 pour x = 1,..., 6 pour un dé parfait et P ({x}) = 1 2 pour x = P, F pour une pièce parfaite. Ce sera même la définition de «parfait».

416 416 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS II.2 Un exemple On jette 3 dés parfaits. Quelle est la probabilité d obtenir au moins un 4? Choisissons comme univers Ω = {1,..., 6} 3, de cardinal 216, muni de la probabilité uniforme. L événement qui nous intéresse est A où A est l événement «on a obtenu au moins un 4». Nous avons deux méthodes pour calculer sa probabilité : Chercher la probabilité de l événement contraire, qui est «on n a obtenu aucun 4». C est le plus simple, cette probabilité vaut = D où P (A) = = Écrire A = A 1 A 2 A 3 où A i est l événement «on a obtenu exactement i fois le nombre 4». Les A i sont incompatibles, et P (A i ) = (3 i)5 3 i 216. D où P (A) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) = ( ) = 216. II.3 Propriétés des probabilités Définition 30.7 : B A. Soient A et B deux événements. On dit que B entraîne A lorsque Proposition 30.5 : Soient A et B deux événements tels que B entraîne A. On a P (A \ B) = P (A) P (B). P (B) P (A). Démonstration : On a A = B (A \ B) et cette réunion est disjointe. Donc P (A) = P (B) + P (A \ B). Corollaire 30.6 : Soit A un événement. On a P (A c ) = 1 P (A). Proposition 30.7 : Soient A et B deux événements. On a P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Démonstration : On écrit A B = (A \ (A B)) B. Cette réunion est disjointe, donc P (A B) = P (A \ (A B)) + P (B) = P (A) P (A B) + P (B). Exercice : Soient A, B, C trois événements. On a P (A B C) = P (A B) + P (C) P ((A B) C) = P (A) + P (B) P (A B) + P (C) P ((A C) (B C) et une dernière application de la formule pour la réunion de deux ensembles fournit P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) Cette formule se généralise à des réunions de n ensembles : c est la formule de Poincaré, dite aussi formule du crible. Exemple : On jette 3 dés non pipés. Quelle est la probabilité de l événement A = «au moins un 4 ou au moins un 5»? Notons B i l événement «on obtient au moins un i». On a vu que P (B i ) = Il s agit maintenant de calculer P (B 4 B 5 ). Par exemple en additionnant les probabilités des événements incompatibles «un 4, un 5» ( (3 2) = ),

417 II. ESPACES PROBABILISÉS FINIS 417 «un 4, deux 5» ( ) et «deux 4, un 5» ( 216 ). Donc P (B 1 B 2 ) = Et P (A) = P (B 4 ) + P (B 5 ) P (B 4 B 5 ) = = Vérifions avec Python : >>> de = range(1, 7) >>> Omega = [(x, y, z) for x in de for y in de for z in de] >>> A = [t for t in Omega if 4 in t or 5 in t] >>> float(len(s1)) / len(s) >>> 19. / Proposition 30.8 : n i=1 P (A i). Soit n 1. Soient A 1,..., A n n événements. On a P ( n i=1 A i) Démonstration : C est clair pour n = 1, 2. On termine par récurrence sur n. II.4 Tirages avec remise dans une urne : la loi binomiale Considérons l expérience suivante : une urne contient r boules rouges et v boules vertes. On effectue n fois l opération suivante : on prend une boule dans l urne, on regarde sa couleur, on remet la boule dans l urne, et on mélange bien. Soit k {0,..., n}. Quelle est la probabilité d avoir tiré k boules rouges? Soit N = r+v. Soit p = r N. On numérote les boules de 1 à N et on choisit pour univers Ω l ensemble des n-uplets d éléments de {1,..., N}. On munit Ω de la probabilité uniforme. Chaque élément de Ω représente la liste des boules tirées, dans l ordre chronologique. Une même boule peut y apparaître plusieurs fois car à chaque tirage on remet la boule dans l urne. Combien y-a-t-il d éléments de Ω comportant k boules rouges? On choisit d abord les k positions où ces boules vont apparaître : il y a ( n k) possibilités. On remplit ces k positions avec une boule rouge arbitraire : r k possibilités. Puis on remplit les n k positions restantes avec une boule verte arbitraire : v n k possibilités. Au total, le cardinal de l événement «k boules rouges» est ( n k) r k v n k. Le cardinal de Ω est N n, donc la probabilité de notre événement est (n k)r k v n k N = ( ) n n k ( r N )k ( v N )n k = ( n k) p k (1 p) n k. Nous reparlerons de ces probabilités plus loin, lorsque nous aborderons la loi binomiale B(n, p). II.5 Tirages sans remise dans une urne : la loi hypergéométrique Considérons l expérience suivante : une urne contient r boules rouges et v boules vertes. On effectue n fois l opération suivante : on prend une boule dans l urne, on regarde sa couleur, on NE REMET PAS la boule dans l urne. Soit k {0,..., n}. Quelle est la probabilité d avoir tiré k boules rouges? Soit N = r + v. Soit p = r N. et q = 1 p = v N. On numérote les boules de 1 à N et on choisit pour univers Ω l ensemble des parties à n éléments de {1,..., N}. On munit Ω de la

418 418 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS probabilité uniforme. Chaque élément de Ω représente l ensemble des n boules tirées. Une même boule ne peut pas y apparaître plusieurs fois puisque à chaque tirage la boule n est pas remise dans l urne. Combien y-a-t-il d éléments de Ω comportant k boules rouges? On choisit d abord l ensemble des k boules rouges qui ont été tirées : il y a ( r k) possibilités. On choisit ensuite l ensemble des n k boules vertes qui ont été tirées : il y a ( v n k) possibilités. Au total, le cardinal de l événement «k boules rouges» est ( )( r v k n k). Le cardinal de Ω est ( N ( n) r, donc la probabilité de notre événement est k)( n k) v ( N n) = (pn)( n k) qn k. ( N n) Exercice : Quelles sont, en fonction de N, v, r, les valeurs de k pour lesquelles ces probabilités sont non nulles? Exercice : Que vaut min(n,r) ( r v k=0 k)( n k)? Remarque 30.8 : Ces probabilités sont elles aussi liées à une loi importante, la loi hypergéométrique H(N, n, p). Nous ne l étudierons pas plus avant et nous contenterons d un histogramme. Figure 30.2 Loi hypergéométrique : r = 60, v = 40, n = 30 Remarque 30.9 : On peut très bien faire les calculs en choisissant comme univers Ω l ensemble des n-uplets d éléments distincts de {1,..., N}, muni de la probabilité uniforme. On a cette fois Ω = N! (N n)!. Pour obtenir un tirage contenant k boules rouges, on choisit d abord les k indices du n-uplet qui correspondent aux boules rouges : ( n k) possibilités. Puis, r! pour ces k positions, on choisit k boules rouges distinctes : (r k)! possibilités. Puis, pour v les n k positions restantes, choix de n k boules vertes distinctes : (v n+k)! possibilités. La probabilité cherchée est donc (n r! v k) (r k)! (v n+k)! N! = (r k)( n k) v. On retrouve évidemment le (N n)! ( N n) même résultat. Remarquons quand même que bien que le choix de l univers nous soit laissé, les calculs étaient plus simples avec notre premier choix.

419 III. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 419 III Probabilités conditionnelles III.1 C est quoi? Définition 30.8 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit B un événement vérifiant P (B) > 0. Soit A un événement. On appelle probabilité (conditionnelle) de A sachant B le réel P (A B) P (A B) = P (B) Exemple : Dans une famille de deux enfants, quelle est la probabilité que le second enfant soit une fille sachant qu il y a au moins une fille? On prend l univers Ω = {(F, F ), (F, G), (G, F ), (G, G)}. Soit A l événement «le second enfant est une fille» et B l événement «il y a au moins une fille». On a A = {(F, F ), (G, F )} et B = {(F, F ), (G, F ), (F, G)}. D où A B = A et P (A B) = 2 3. Proposition 30.9 : L application P B : P(Ω) [0, 1] définie par P B (A) = P (A B) est une probabilité. Démonstration : On a P B (Ω) = P (Ω B) P (B) = P (B) P (B) = 1. Soient A, A deux événements incompatibles. On a (A A ) B = (A B) (A B). Il est clair que A B et A B sont incompatibles, d où P B (A A ) = P B (A) + P B (A ). Exemple : Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. Soit N = r + v. Je tire sans remise deux boules de l urne. Quelle est la probabilité que la seconde boule soit verte, sachant que la première boule est verte? La réponse devrait être v 1 N 1. Choisissez un univers, faites le calcul complet, c est un excellent exercice. III.2 Probabilités composées, probabilités totales Proposition : Soient A 1,..., A n n événements tels que P (A 1... A n ) 0. On a P (A 1... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 )... P (A n A 1... A n 1 ) Démonstration : Récurrence sur n. Pour n = 1, 2 c est évident. Supposons la propriété vraie pour n et donnons nous n+1 événements A 1,..., A n+1 tels que P (A 1... A n+1 ) 0. On a P (A 1... A n+1 ) = P (A n+1 A 1... A n )P (A 1... A n ). On termine par l hypothèse de récurrence. Proposition : Soit {A 1,..., A n } un système complet d événements, tous de probabilité non nulle. Soit B un événement. Alors : n P (B) = P (B A i )P (A i ) i=1

420 420 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS Démonstration : On a B = B Ω = B ( i A i ) = i (B A i ). Les A i sont incompatibles deux à deux, donc les B A i aussi. Donc P (B) = i P (B A i) = i P (B A i)p (A i ). Exemple : Les usines U 1 U 2 et U 3 fabriquent des boulons pour construire un pont. 10% des boulons sont fabriqués par l usine U 1, 50% des boulons sont fabriqués par l usine U 2, et 40% des boulons sont fabriqués par l usine U 3. On sait également que 3% des boulons fabriqués par l usine U 1 sont défectueux, 12% des boulons fabriqués par l usine U 2 sont défectueux et 5% des boulons fabriqués par l usine U 3 sont défectueux. On contrôle un boulon au hasard sur le pont. Soit D l événement «le boulon est défectueux». On a P (D) = 3 i=1 P (D U i)p (U i ) = = Exercice : Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. Soit N = r + v. Je tire deux boules de l urne sans remise. Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit verte? On a, avec des notations évidentes, P (_V ) = P (_V V _)P (V _) + P (_V R_)P (R_) = v 1 v N 1 N + v r N 1 N = v N. On remarque que la probabilité que la d être verte est la même pour la première et pour la deuxième boule. Et si on tirait 3 boules? 8 boules? Explication : prenons pour Ω l ensemble des couples d entiers distincts entre 1 et N, muni de la probabilité uniforme. L application (x, y) (y, x) est une bijection de l événement «la première boule est verte» sur l événement «la deuxième boule est verte». Ces deux événements ont donc même cardinal, et comme nous avons choisi la probabilité uniforme ils ont même probabilité. L avantage de ce raisonnement est qu il s étend sans difficulté au tirage de n boules sans remise. III.3 Formule de Bayes Proposition : Soient A et B deux événements tels que P (A) > 0 et P (B) > 0. On a P (B A)P (A) P (A B) = P (B) Démonstration : On a P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A). Proposition : Soit {A 1,..., A n } un système d événements de probabilités non nulles. Soit B un événement de probabilité non nulle. On a pour tout j {1,..., n} P (A j B) = P (B A j )P (A j ) n i=1 P (B A i)p (A i ) Démonstration : Il suffit d utiliser les deux propositions précédentes. Exemple : On reprend l exemple des usines et des boulons. On contrôle un boulot sur le pont et on constate qu il est défectueux. Quelle est la probabilité que ce boulon provienne de l usine U 2? Le calcul a déjà été partiellement fait : le dénominateur dans la formule de Bayes vaut Pour compléter, on a P (U 2 D) = P (D U 2)P (U 2 ) P (D) = Exercice : Quelle est la probabilité que ce boulon provienne de l usine U 1? de l usine U 3? Assurez-vous que la somme des trois probabilités trouvées est bien 1!

421 III. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 421 III.4 Événements indépendants Définition 30.9 : Soient A et B deux événements. On dit que A et B sont indépendants lorsque P (A B) = P (A)P (B). Remarque : Si P (B) > 0, A et B sont indépendants si et seulement si P (A B) = P (A). Définition : Soit (A i ) 1 i n une famille (finie) d événements. On dit que la famille est indépendante lorsque pour toute partie I de l ensemble {1,..., n} on a P ( i I A i ) = i I P (A i ) Remarque : Des événements peuvent être indépendants deux à deux sans que la famille le soit. Prenons par exemple Ω = {1, 2, 3, 4} muni de la probabilité uniforme. Soient A = {1, 2}, B = {1, 3} et C = {1, 4}. On a P (A B) = 1 4 = P (A)P (B), et de même pour A C et B C. Mais P (A B C) = 1 4 alors que P (A)P (B)P (C) = 1 8. Remarque : On lance une pièce deux fois de suite. Quelle est la probabilité d obtenir face au deuxième lancer sachant qu on a obtenu pile au premier lancer? L énoncé de notre problème sous-entend l indépendance des lancers. La réponse est donc 1 2. C est ce que l on a implicitement supposé lorsque, dans nos exemples, on munissait l univers Ω : {P, F } 2 de la probabilité uniforme. La vie n est pas toujours aussi simple. Imaginons maintenant que la pièce est truquée. Cette pièce a la probabilité p [0, 1] de tomber sur pile lors d un lancer (et la probabilité q = 1 p de tomber sur face. Quelle probabilité va-t-on mettre sur Ω? C est là que l indépendance doit être explicitée! On aura ainsi P (F, F ) = P (F )P (F ) = q 2, P (P, F ) = P (F, P ) = P (F )P (P ) = pq et P (P, P ) = p 2. Exercice : Un dé truqué a une probabilité de tomber sur 6 égale à 1 3 et une probabilité égale de tomber sur les autres faces (qui vaut donc = 2 15 ). On lance deux fois le dé. Quelle est la probabilité que la somme des deux chiffres obtenus soit supérieure ou égale à 7? L indépendance des deux lancers est implicite. On prend Ω = {1,..., 6} 2, muni de la probabilité «produit» : P (x, y) = ( 2 15 )2 = si x, y 6, P (x, y) = 15 3 = 2 45 si x = 6 ou bien y = 6, mais pas les deux, et P (6, 6) = 1 9. L événement qui nous intéresse contient 10 couples ne comportant pas le nombre 6, 10 couples contenant une seule fois le nombre 6, et le couple (6, 6). La probabilité cherché est donc P = =

422 422 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS IV Exercices 1. Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soient A et B deux événements tels que P (A) = 3 4 et P (B) = Montrer que 12 P (A B) 1 3. Montrer par des exemples que ces bornes sont optimales. Faire de même pour P (A B). 2. On dispose d une roulette comportant 7 cases numérotées de 0 à 6. Les cases 1, 2, 3, 6 sont noires. Les autres cases sont rouges. On lance la bille. La roulette tourne puis s arrête. (a) Quelle est la probabilité que la bille soit sur une case impaire, sachant qu elle est sur une case noire? (b) Quelle est la probabilité que la bille soit sur une case noire, sachant qu elle est sur une case paire? (c) Quelle est la probabilité que la bille soit sur une case noire, sachant qu elle est sur une case impaire? (d) Utiliser les réponses aux questions 2 et 3, appliquer la formule de Bayes, et retrouver la réponse à la question Un institut effectue un sondage pour déterminer qui, de Monsieur A ou de Monsieur B, est le plus populaire. On propose aux sondés le protocole suivant : six cartes sont présentées faces cachée. La personne sondée en tire une au hasard. Une des six cartes porte le message «dites le contraire de la vérité», les cinq autres «dites la vérité». À l issue du sondage, une proportion p des sondés a répondu «Monsieur A». Quelle est la proportion p des sondés ayant une préférence pour Monsieur A? 4. Il pleut un jour sur 5. Je prends mon parapluie un jour sur 3. S il pleut, je prends mon parapluie. Quelle est la probabilité que je prenne mon parapluie lorsqu il ne pleut pas? 5. On place 8 tours sur un échiquier. Quelle est la probabilité qu aucune tour ne puisse en attaquer une autre? 6. On lance n dés parfaits. Soit k {0,..., n}. Quelle est la probabilité d obtenir k as? 7. Un émetteur M 0 transmet un message binaire (0 ou 1) à une suite de messagers M n, n 1. Chaque messager M n transmet le message reçu à M n+1 avec une probabilité p, et le contraire du message reçu avec la probabilité q = 1 p. Soit a n la probabilité que le message transmis par M n soit identique à celui transmis par M 0 (on pose a 0 = 1). (a) Calculer a n+1 en fonction de a n. (b) En déduire a n en fonction de n. (c) Quelle est la limite de a n lorsque n tend vers l infini? 8. On dispose d un dé blanc équilibré et d un dé noir pipé. Le dé noir sort le 6 avec une probabilité et les autres numéros avec une probabilité 15. Deux joueurs s affrontent. Le joueur A prend le dé noir et le lance. Le joueur B prend le dé blanc et

423 IV. EXERCICES 423 le lance. Le gagnant est celui qui obtient le plus haut score. En cas d égalité, c est le joueur B qui gagne. (a) Quelle est la probabilité que B gagne sachant que A a fait 1? (b) Quelle est la probabilité que B gagne sachant que A a fait 2? 3? 4? 5? Et 6? (c) Quelle est la probabilité que B gagne? 9. On dispose de deux dés parfaits. L un est rouge, l autre est noir. (a) Soit A l événement «un dés dés marque 1» et B l événement «la somme des dés est 7». Montrer que A et B ne sont pas indépendants. (b) Soit A l événement «le dé rouge marque 6» et B l événement «la somme des dés est 7». Montrer que A et B sont indépendants. 10. On lance deux dés parfaits. Montrer que l événement «la somme des dés est 7» est indépendant du score du premier dé, ceci quel que soit ce score. Mointrer que ceci est faux pour l événement «la somme des dés est s» ceci pour tout s Une urne contient n+1 pièces. Pour k = 0,..., n, la pièce numéro k a une probabilité p k = k n de tomber sur pile. (a) On tire une pièce au hasard dans l urne et on la lance. Quelle est la probabilité d obtenir pile? (b) On remet toutes les pièces dans l urne. On tire une pièces au hasard dans l urne, on la lance, on note le résultat et on la remet dans l urne. On retire une pièce et on la lance. Quelle est la probabilité d obtenir deux pile? (c) On remet toutes les pièces dans l urne. On tire deux pièces au hasard dans l urne et on les lance. Quelle est la probabilité d obtenir deux pile? (d) On prend toutes les pièces qui sont dans l urne sauf la pièce numéro 0. On les lance. Quelle est la probabilité d obtenir n pile? 12. Dans une classe il y a n élèves. (a) Quelle est la probabilité que tous les élèves aient leurs anniversaires à des jours différents (ne pas tenir compte des années bissextiles)? (b) Quelle est la probabilité qu au moins deux élèves aient leur anniversaire le même jour? (c) À partir de quelle valeur de n cette probabilité est-elle supérieure à 1 2? supérieure à 0.9? (d) Et si on tient compte des années bissextiles? 13. On lance n ballons au hasard dans n paniers. (a) Quelle est la probabilité que dans un panier donné, il n y ait aucun ballon? (b) Quelle est la probabilité que dans un panier donné, il y ait au moins un ballon? (c) Quelle est la probabilité que dans au moins un panier il y ait au moins deux ballons? (d) Quel est le rapport entre cet exercice et le précédent?

424 424 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS 14. Soit Ω un univers à 4 éléments, muni de la probabilité uniforme. (a) Combien a-t-on d événements? (b) Combien a-t-on de couples d événements? (c) Combien a-t-on de couples d événements incompatibles? (d) Combien a-t-on de couples d événements tels que le premier entraîne le deuxième? (e) Combien a-t-on de couples d événements indépendants? Indication : l ensemble des probabilités possibles pour un événement est {0, 1 4, 1 2, 3 4, 1}. Quels sont les éléments de cet ensemble dont le produit est encore dans l ensemble? 15. Les usines A et B fabriquent des ampoules. Les ampoules de l usine A une une probabilité 2 3 de griller au bout d un an, celles de l usine B ont une probabilité 1 5 de griller au bout d un an. L usine A fabrique les 3 4 des ampoules du commerce, l usine B fabrique le tiers restant. J achète une ampoule, celle-ci grille au bout d un an. Quelle probabilité cette ampoule a-t-elle de provenir de l usine A? 16. (a) Une urne contient 4 boules rouges et 48 boules blanches. On tire avec remise 5 boules de l urne. Quelle est la probabilité que parmi ces 5 boules il y ait exactement deux boules rouges? (b) On tire 5 cartes d un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d obtenir exactement 2 as? Bravo, vous venez de faire deux fois le même exercice! 17. On lance 5 dés parfaits. On écarte les éventuels as obtenus et on lance les dés restants s il en reste. Quelle est la probabilité d obtenir exactement 3 as? 4 as? 5 as? 18. On dispose de deux urnes. La première urne contient 6 boules rouges et 4 boules vertes. La deuxième urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires. On dispose également d une pièce truquée ayant la probabilité p [0, 1] de tomber sur pile. On lance la pièce. Si c est pile on tire une boule dans la première urne. Sinon on tire une boule dans la deuxième urne. Quelle est, en fonction de p, la probabilité de tirer une boule rouge? Une boule noire? Une boule verte? Une boule bleue :-)? 19. (a) Je fais le pari d obtenir au moins un six en lançant un dé 4 fois de suite. Ai-je plus de chances de perdre ou de gagner? (b) Je fais le pari d obtenir au moins un double six en lançant deux dés n fois de suite. À partir de quelle valeur de n ai-je plus de chances de gagner que de perdre? (c) Quel «pseudo-argument» aurait pu me faire penser que la réponse à la question b était 24? 20. On lance trois dés parfaits. On choisit comme univers l ensemble Ω = {1,..., 6} 3, muni de la probabilité uniforme. Soit A l événement «la somme des dés est strictement supérieure à 10». Soit B l événement «la somme des dés est inférieure ou égale à 10». (a) Que vaut A B? A B?

425 IV. EXERCICES 425 (b) Montrer que l application (a, b, c) (7 a, 7 b, 7 c) est une bijection de A sur B. (c) En déduire P (A) et P (B).

426 426 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS

427 Chapitre 31 Variables aléatoires 427

428 428 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES I Notion de variable aléatoire Dans tout le chapitre, (Ω, P ) désigne un espace probabilisé fini. I.1 C est quoi? Pour décrire une quantité X pouvant prendre des valeurs aléatoires, il suffit de définir une fonction sur l ensemble Ω. Une description précise de l ensemble de départ de X est souvent sans intérêt. Ce qui nous intéresse ce sont les valeurs prises par X, ou plus exactement la façon dont ces valeurs sont distribuées dans l ensemble d arrivée. Nous allons voir que toute variable aléatoire X : Ω E permet de définir de façon naturelle une probabilité sur l ensemble d arrivée E, ou plus exactement sur l ensemble X(Ω), lui-même fini. Cette probabilité est ce que l on appelle la loi de X. Ce chapitre est destiné à fournir les outils nécessaires à l étude de la loi d une variable aléatoire. Définition 31.1 : Soit E un ensemble. Une variable aléatoire à valeurs dans E est une application X : Ω E. Lorsque E R on parle de variable aléatoire réelle. Remarque 31.1 : Nous ne considérons dans ce cours que des univers Ω finis. Une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble E ne prend donc qu un nombre fini de valeurs. Exemple : On lance deux dés à 6 faces. Par exemple, Ω = {1,..., 6} 2. La fonction X : (x, y) Ω x + y R est une variable aléatoire réelle. L ensemble des valeurs prises par X est {2,..., 12}. Notation : Soit A une partie de E. On note {X A} ou (X A) l événement X 1 (A) de Ω. Si x E, l événement {X = x} est {X {x}}. Si X est une variable aléatoire réelle, {X x} est {X ], x]}. On utilise évidemment des notations analogues pour d autres types d intervalles. Ces notations mettent en évidence le fait que ce qui nous intéresse ce sont les valeurs prises par X, et pas vraiment la fonction X. I.2 Loi d une variable aléatoire Définition 31.2 : Soit X : Ω E une variable aléatoire. On appelle loi de la variable aléatoire X l application P X : E [0, 1] définie pour tout A E par P X (A) = P (X 1 (A)). Proposition 31.1 : Avec les notations ci-dessus, P X est une probabilité sur E (ou sur X(Ω)). Démonstration : On a P X (E) = P (X 1 (E)) = P (Ω) = 1. Soient A et B deux parties de E incompatibles. On a P X (A B) = P (X 1 (A B)) = P (X 1 (A) X 1 (B)). Les événements X 1 (A) et X 1 (B) sont eux aussi incompatibles, donc P (X 1 (A) X 1 (B)) = P (X 1 (A)) P (X 1 (B)) ou encore P X (A B) = P X (A) P X (B). Remarque 31.2 : L ensemble E devient donc un univers sur lequel P X est une loi de probabilité. Le couple (E, P X ) est ainsi un espace probabilisé. En toute rigueur, nous

429 II. LOIS USUELLES 429 n avons défini que des probabilités sur un univers fini, et il faudrait systématiquement considérer X(Ω), et non E. Pour des raisons de simplicité, nous ne le ferons pas. De toute façon, pour toute partie A de E telle que A X(Ω) =, on a P X (A) = 0. Les événements incompatibles avec X(Ω) ont une probabilité nulle. Notation : Les notations introduites précédemment se répercutent bien entendu sur la notation des probabilités. Ainsi, on note P (X A) au lieu de P X (A). P (X {x}) est tout simplement noté P (X = x), et si X est une variable aléatoire réelle, P (X x) dénote P (X ], x]), etc. Proposition 31.2 : Soit X : Ω E une variable aléatoire. La loi de X est entièrement déterminée par les nombres p x = P (X = x) pour x X(Ω). Démonstration : Rappelons que nos univers sont finis. Soit A E. On a P X (A) = P X ( x A {x}). Les événements {x} étant incompatibles deux à deux, P X (A) = x A P (X = x) = x A p x. Remarque 31.3 : La somme ci-dessus est éventuellement infinie mais contient seulement un nombre fini de valeurs non nulles, puisque l univers Ω est fini. Si l on veut absolument écrire des choses compliquées, on peut encore l écrire x A X(Ω) P (X = x). Exemple : On reprend l exemple du lancer de deux dés. On met la probabilité uniforme sur Ω = {1,..., 6} 2. Soit X la somme des deux dés. La loi de X est donnée dans le tableau ci-dessous : x P X ({x}) I.3 Image d une variable aléatoire par une fonction Soit X : Ω E une variable aléatoire. Soit f : E F une application. La fonction f X : Ω F est elle-aussi une variable aléatoire, que l on note f(x). Soit A F. On a P f(x) (A) = P (f(x) 1 (A)) = P (X 1 (f 1 (A)) = P (X f 1 (A)). II Lois usuelles II.1 Loi uniforme Définition 31.3 : Soit E = {x 1,..., x n }. Soit X : Ω E. On dit que X suit une loi uniforme lorsque i {1,..., n}, P (X = x i ) = 1 n. Remarque 31.4 : On a alors bien entendu A E, P (X A) = A n. Exemple : Lors du lancer d un dé équilibré, la variable aléatoire X égale à la valeur marquée par le dé suit une loi uniforme.

430 430 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES II.2 Loi de Bernoulli Définition 31.4 : Soit p [0, 1]. Soit X : Ω {0, 1}. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p lorsque P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 p. On note B(p) la loi de Bernoulli de paramètre p. Remarque 31.5 : La loi de Bernoulli intervient dans tout problème où le résultat peut prendre deux valeurs, comme le jeu de pile ou face, ou encore le succès ou l échec d une expérience, la réponse oui ou non à une question posée, garçon ou fille, boule rouge ou verte, gaucher ou droitier, etc. Le réel p est la probabilité de succès de l expérience. Le réel q = 1 p est la probabilité d échec. Plus mathématiquement, soit A un événement (le succès d une expérience), tel que P (A) = p. Soit 1 A la fonction indicatrice de A. On a 1 A : Ω {0, 1}. La fonction 1 A est une variable aléatoire réelle. On a P (1 A = 1) = P (A) = p et P (1 A = 0) = P (A) = 1 p. Ainsi, 1 A suit une loi de Bernoulli de paramètre p : P 1A = B(p). Exemple : Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. Soit p = r N où N = r+v est le nombre total de boules présentes dans l urne.. On tire une boule au hasard. La variable aléatoire X qui prend la valeur 1 lorsque la boule est rouge et 0 lorsque la boule est verte suit une loi de Bernoulli de paramètre p. II.3 Loi binomiale Définition 31.5 : Soit n N. Soit p [0, 1]. Soit X : Ω {0, 1,..., n}. On dit que ( X suit une loi binomiale de paramètres n, p lorsque k {0, 1,..., n}, P (X = k) = n ) k p k (1 p) n k. On note B(n, p) la loi binomiale de paramètres n, p. Proposition 31.3 : On a là une loi de probabilité. Démonstration : Il faut essentiellement vérifier que le poids total est bien égal à 1. On a n k=0 B(n, p)({k}) = n ( n k=0 k) p k (1 p) n k = (p + 1 p) n = 1. (a) Loi binomiale B(40, 0.3) (b) Loi binomiale B(40, 0.5) (c) Loi binomiale B(40, 0.8) Figure 31.1 La loi binomiale Remarque 31.6 : Remarquons que B(1, p) = B(p). Y a-t-il en lien entre loi de Bernoulli et loi binomiale? Nous verrons plus loin que la loi binomiale est aussi la loi du nombre de succès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes.

431 III. COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES 431 II.4 Un exemple : tirages avec remise Nous avons déjà vu cet exemple dans le chapitre précédent, mais nous le traitons cette fois-ci plus simplement, grâce aux variables aléatoires. Une urne contient N boules. v de ces boules sont vertes, les N v = r boules restantes sont rouges. On tire successivement n boules de l urne, en remettant à chaque fois la boule tirée. Soit X le nombre de boules vertes tirées. Quelle est la loi de X? Soit A i l événement «la boule du ième tirage est verte». Soit X i = 1 Ai. Ainsi, X i = 1 si on tire une boule verte au ième tirage, et X i = 0 si on tire une boule rouge. Les variables aléatoires X i suivent une loi de Bernoulli B(p) où p = v N. Ces variables sont indépendantes (voir plus loin) car on effectue un tirage avec remise. Et on a X = n i=1 X i. Nous avons vu au chapitre précédent que la loi de X est une loi binomiale de paramètre p. Exemple numérique : N = 10 boules, N v = 6 boules vertes, N r = 4 boules rouges. Donc, p = 6 10 = 3 5.On tire n = 5 boules avec remise. La probabilité de tirer k = 3 boules vertes est ( ) 5 3 ( 3 5 )3 ( 2 5 )2 = Nus voyons sur cet exemple que la somme de n variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli de paramètre p est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n, p. Évidemment, nous n avons regardé ici qu un cas particulier : par exemple, p est rationnel. Mais nous verrons que ceci se généralise. III Couples de variables aléatoires Soient X : Ω E et Y : Ω F deux variables aléatoires. On dispose alors de la variable aléatoire, que l on va noter (X, Y ) : Ω E F définie par (X, Y )(ω) = (X(ω), Y (ω)). III.1 Loi conjointe, lois marginales Définition 31.6 : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. La loi conjointe de X et Y est la loi du couple (X, Y ). Les lois marginales de (X, Y ) sont les lois de X et de Y. III.2 Un exemple On dispose de deux variables aléatoires à valeurs dans {0, 1, 2}. La loi du couple (X, Y ) est donnée dans le tableau ci-dessous. Par exemple, on lit P ((X, Y ) = (2, 1)) = 0.2. On a également indiqué dans ce tableau la somme des lignes et la la somme des colonnes. Bien entendu, la somme de toutes les probabilités est 1.

432 432 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES P {X = 0} {X = 1} {X = 2} {Y = 0} {Y = 1} {Y = 2} Remarque 31.7 : La dernière colonne du tableau est la loi de Y, et la dernière ligne est la loi de X. De façon générale, si l on connaît la loi conjointe de X et Y on peut retrouver les lois de X et Y. En effet, soit a E. On a {X = a} = b F {X = a, Y = b} = b F {(X, Y ) = (a, b)} et les événements de cette réunion sont incompatibles deux à deux. Donc P (X = a) = b F P ((X, Y ) = (a, b)). Ainsi, pour tout a E, on a P X ({a}) = b F P (X,Y ) ({(a, b)}) La loi P X est donc déterminée de façon unique à partir de la loi P (X,Y ). De même, pour tout b F, on a P Y ({b}) = a E P (X,Y ) ({(a, b)}) Exemple : Dans l exemple ci-dessus, la probabilité P X est obtenue en sommant les colonnes : P (X = 0) = 0.2, P (X = 1) = 0.5 et P (X = 2) = 0.3. De même, P Y est obtenue en sommant les lignes. Remarque 31.8 : En revanche, connaissant les lois de X et de Y, il n est pas possible, sauf informations supplémentaires (cf indépendance, un peu plus loin), de trouver la loi conjointe de X et Y. III.3 Loi conditionnelle Définition 31.7 : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. Soit x E tel que P (X = x) > 0. Soit B F. On pose P Y X=x (B) = P (Y B X = x). Exemple : On reprend l exemple du paragraphe précédent : P (Y 2 X = 2) = = 0.2. Proposition 31.4 : La connaissance de la loi de X et, pour tout x E, de loi conditionnelle de Y sachant X = x, permet de calculer la loi de Y. Démonstration : Les événements {X = x} forment un système complet d événements. On a pour tout y F, P (Y = y) = P ( x E (Y = y, X = x)) = X E P (Y = y X = x)p (X = x).

433 IV. VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES 433 III.4 Généralisation à n variables aléatoires On peut bien entendu généraliser ce qui vient d être dit pour des couples de variables aléatoires à des n-uplets de variables aléatoires. Prenons par exemple un triplet (X, Y, Z) de variables aléatoires. Nous avons une loi conjointe, trois lois marginales. Les lois marginales se récupèrent à partir de la loi conjointe. Par exemple, P (X = x) = y,z P (X = x, Y = y, Z = z). De même, on peut définir un certain nombre de lois conditionnelles, comme par exemple P (X = x, Y = y Z = z) ou encore P (X = x Y = y, Z = z), etc. IV Variables aléatoires indépendantes IV.1 C est quoi? Définition 31.8 : Soient X : Ω E et Y : Ω F deux variables aléatoires. On dit que X et Y sont indépendantes lorsque pour tout x X(Ω) et tout y Y (Ω) on a P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y) Proposition 31.5 : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On a A X(Ω), B Y (Ω), P ((X, Y ) A B) = P (X A)P (Y B) Démonstration : P ((X, Y ) A B) = P ( a A,b B {(X, Y ) = (a, b)}) = a A,b B P ({(X, Y ) = (a, b)}) = a A,b B P (X = a)p (Y = b) = a A P (X = a) b B P (Y = b) = P (X A)P (Y B). Corollaire 31.6 : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, alors pour tous événements A et B les événements {X A} et {Y B} sont indépendants. IV.2 Généralisation Définition 31.9 : Soient X 1,..., X n n variables aléatoires. On dit que X 1,..., X n sont indépendantes lorsque pour tous x 1 X 1 (Ω),..., x n X n (Ω) on a P (X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P (X 1 = x 1 )... P (X n = x n ) Proposition 31.7 : Soient X 1,..., X n n variables aléatoires. Ces variables aléatoires sont indépendantes si et seulement si pour tous A k X k (Ω), k = 1,..., n, les événements (X k A k ) sont indépendants. Démonstration : Exercice. IV.3 Fonctions de variables aléatoires indépendantes Proposition 31.8 : Soient X : Ω E et Y : Ω F deux variables aléatoires indépendantes. Soient f : E E et g : F F. Les variables aléatoires f(x) et g(y ) sont indépendantes.

434 434 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES Démonstration : Ona P (f(x) = x, g(y ) = y) = P (X f 1 (x), Y g 1 (y)) = P (X f 1 (x))p (Y g 1 (y)) = P (f(x) = x)p (g(y ) = y). Proposition 31.9 : Soient X, Y, Z trois variables aléatoires réelles indépendantes. Les variables aléatoires X et (Y, Z) sont aussi indépendantes. Remarque 31.9 : Cette proposition est un cas particulier du lemme de coalition, qui nous dit que si X 1,..., X n sont n variables aléatoires réelles indépendantes, ϕ et ψ sont deux fonctions, et k est un entier entre 2 et n 1, alors les variables aléatoires ϕ(x 1,..., X k ) et ψ(x k+1,..., X n ) sont elles aussi indépendantes. Démonstration : On a P (X = x, (Y, Z) = (y, z)) = P (X = x, Y = y, Z = z) = P (X = x)p (Y = y)p (Z = x) par l indépendance. Mais P (Y = y)p (Z = z) = P (Y = y, Z = z) = P ((Y, Z) = (y, z)). Corollaire : Soient X, Y, Z trois variables aléatoires réelles indépendantes. Les variables aléatoires X et Y + Z sont indépendantes. Démonstration : Les variables X et (Y, Z) sont indépendantes d après le lemme de coalition. Soit ϕ : (y, z) y + z. D après la proposition vue un peu plus haut, X et Y + Z = ϕ(y, Z) sont aussi indépendantes. Remarque : Ceci se généralise bien entendu à des sommes de plus de deux variables aléatoires réelles. IV.4 Retour à la loi binomiale Nous avons maintenant suffisamment de résultats à notre disposition pour montrer le théorème suivant. Proposition : Soit n 1. Soit p [0, 1]. Soient X 1,..., X n n variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli B(p). Alors, la variable aléatoire X X n suit la loi binomiale B(n, p). Démonstration : On fait une récurrence sur n. Pour n = 1, c est évident puisque B(p) = B(1, p). Supposons la propriété vraie pour l entier n 1. Soient X 1,..., X n+1 n+1 variables aléatoires indépendantes de loi B(p). Soit Y = X1+...+X n+1. Remarquons tout d abord que Y ne prend que des valeurs entre 0 et n+1. Soit tout d abord k {1,..., n+1}. On a {Y = k} = {X n+1 = 0, X X n = k} {X n+1 = 1, X X n = k 1}, ces deux événements étant clairement incompatibles. On a donc P (Y = k) = P (X n+1 = 0, X X n = k) + P (X n+1 = 1, X X n = k 1). Le lemme des coalitions nous dit que X X n et X n+1 sont indépendantes. Donc P (Y = k) = P (X n+1 = 0)P (X X n = k) + P (X n+1 = 1)P (X X n = k 1). On applique l hypothèse de récurrence : P (Y = k) = (1 p) ( ) n k p k (1 p) n k + p ( n k 1) p k 1 (1 p) n k+1 = p k (1 p) n+1 k ( ( ) ( n k ) + n ) ( k 1 ) = n+1 ) k p k (1 p) n+1 k, qui est bien la probabilité voulue. Reste à regarder ce qui se passe pour k = 0. On a {Y = 0} = {X 1 = 0,..., X n+1 = 0} d où P (Y = 0) = P (X 1 = 0)... P (X n+1 = 0) = (1 p) n+1 = ( ) n+1 0 p 0 (1 p) n+1.

435 V. ESPÉRANCE 435 V Espérance V.1 Notion d espérance Définition : réel Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle espérance de X le E(X) = xp (X = x) x X(Ω) Remarque : Si les valeurs prises par X sont X(Ω) = {x 1,..., x n }, et si p k = P (X = x k ), la formule devient E(X) = n k=1 p kx k. Exemple : On lance deux dés équilibrés. Soit X la somme des dés. On a E(X) = = 7. Remarque : L espérance de X peut-être vue comme la «moyenne» des valeurs prises par X. Chaque valeur x est prise avec une probabilité p x = P (X = x) d apparaître. Les deux propositions ci-dessous nous donnent deux autres façons de calculer une espérance. Proposition : Soit (A k ) k K un système complet d événements de Ω. Soit X = k K x k1 Ak. Alors, E(X) = k K x kp (A k ). Démonstration : Cette propriété nous dit qu il est facile de calculer l espérance d une variable aléatoire réelle lorsqu on l a écrite comme une combinaison linéaire de fonctions indicatrices dont les supports sont disjoints. Remarquons d abord que les valeurs prises par X sont les x k, ceci parce que les A k sont disjoints : une et une seule des fonctions indicatrices peut être non nulle dans la somme. De plus, P (X = x k ) = P ({ω Ω, X(ω) = x k } = P (A k ). D où E(X) = k K x kp (X = x k ) = k K x kp (A k ). Proposition : Soit X : Ω R une variable aléatoire réelle. On a E(X) = ω Ω P ({ω})x(ω) Démonstration : On a ω Ω P ({ω})x(ω) = x X(Ω) ω Ω,X(ω)=x P ({ω})x(ω) = x X(Ω) x ω Ω,X(ω)=x P ({ω}) = x X(Ω) xp (X = x) = E(X). V.2 Espérance des variables aléatoires usuelles Variable aléatoire constante : Soit X une variable aléatoire réelle constante, de valeur m. On a évidemment E(X) = m. En corollaire, si X est une variable aléatoire réelle, le réel E(X) peut être considéré comme une variable aléatoire constante. Donc E(E(X)) = E(X).

436 436 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES Loi uniforme : soit X une variable aléatoire réelle prenant les valeurs x 1,..., x n selon une loi uniforme. On a E(X) = 1 n n k=1 x k, c est à dire la moyenne arithmétique des valeurs prises par X. Loi de Bernoulli : soit p [0, 1]. soit X une variable aléatoire suivant la loi B(p). On a E(X) = P (X = 0) 0 + P (X = 1) 1 = (1 p) 0 + p 1 = p. Loi binomiale : soit n 1, p [0, 1]. soit X une variable aléatoire suivant la loi B(n, p). On a E(X) = n k=0 k( n k) p k (1 p) n k. Nous allons calculer brutalement cette somme, mais nous verrons très bientôt que l espérance de la loi binomiale peut être obtenue beaucoup plus simplement. On a n k=0 k( n k) p k (1 p) n k = n n! k=1 (k 1)!(n k)! pk (1 p) n k = n 1 n! k=0 (k)!(n k 1)! pk+1 (1 p) n 1 k = np n 1 ( n 1 ) k=0 k p k (1 p) n 1 k = np(p + 1 p) n 1 = np. V.3 Propriétés élémentaires Proposition : Soit X une variable aléatoire à valeurs positives. On a E(X) 0. E(X) = 0 si et seulement si P (X 0) = 0. Remarque : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé et P(ω) une propriété des éléments de Ω. On dit que la propriété P est presque sûrement vraie sur Ω lorsque P ({ω Ω, P(ω)}) = 1. Ainsi, par exemple, dans la proposition précédente, E(X) = 0 si et seulement si X est presque sûrement nulle. Démonstration : Soient x k, k K les valeurs prises par X. On a E(X) = k K x kp (X = x k ) 0 puisque les x k sont positifs et qu une probabilité est un réel positif. De plus, cette espérance est nulle si et seulement si chaque terme de la somme est nulle. Proposition : Soient X, Y deux variables aléatoires réelles telles que X Y. On a E(X) E(Y ). Et E(X) = E(Y ) si et seulement si P (X Y ) = 0. Démonstration : On a Y X 0 donc E(Y X) 0. En admettant très provisoirement la linéarité de l espérance, nous sommes ramenés à la proposition précédente. V.4 Linéarité de l espérance Proposition : réelles, et α, β R. On a L espérance est linéaire : Soient X, Y deux variables aléatoires E(αX + βy ) = αe(x) + βe(y ) Démonstration : E(αX+βY ) = ω Ω P ({ω})(αx(ω)+βy (ω)) = α ω Ω P ({ω})x(ω)+ β ω Ω P ({ω})y (ω) = αe(x) + βe(y ).

437 V. ESPÉRANCE 437 Exemple : Revenons à l espérance d une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n, p). L espérance de X ne dépend que de la loi de X, et pas de X elle-même. Plus clairement, toutes les variables aléatoires suivant la loi B(n, p) ont la même espérance. On peut donc prendre X = X X n où les X k sont n variables aléatoires (indépendantes, mais on n en a pas besoin) suivant la loi de Bernoulli B(p). Par linéarité de l espérance, on a E(X) = n k=1 E(X k) = n k=1 p = np. C est quand même plus facile que le calcul fait plus haut. Exemple : Retour à la somme des deux dés. Soit X la variable aléatoire «valeur du premier dé». Soit Y la variable aléatoire «valeur du deuxième dé. On a E(X) = E(Y ) = 7 2 (loi uniforme). D où E(X + Y ) = 7, ce qui est une façon beaucoup plus simple d obtenir l espérance que de calculer la loi de X + Y! Remarque : Nous avons là un exemple d un phénomène très fréquent. Pour calculer l espérance d une variable aléatoire réelle, on n a parfois pas besoin de connaître sa loi. Si une variable aléatoire s exprime en fonction d autres variables aléatoires dont on connaît l espérance, on a alors l espoir d obtenir l espérance de notre variable. Voyons tout de suite un autre exemple, où cette idée s applique pleinement. V.5 Formule de transfert Proposition : Soit X : Ω E une variable aléatoire. Soit ϕ : E R. On a E(ϕ(X)) = x E ϕ(x)p (X = x) Démonstration : Écrivons X sous la forme X = k K x k1 Ak. On a alors ϕ(x) = k K ϕ(x k)1 Ak d où E(ϕ(X)) = k K ϕ(x k)p (A k ) = k K ϕ(x k)p (X = x k ). Exemple : La variable aléatoire X prend les valeurs 1, 0, 1, 2 et suit une loi uniforme. On a E(X) = 1 2, E(X2 ) = 1 4 ( 1) = 3 2 Exercice : Calculer E(X 4 ). V.6 Inégalité de Markov Proposition : a Soit X une variable aléatoire à valeurs positives. Soit t > 0. On P (X t) E(X) t Démonstration : Soit A = {x 1,..., x n } l ensemble des valeurs prises par X. Notons A + l ensemble des x A tel que x t. On a tp (X t) = x A + tp (X = x) x A + xp (X = x) x A xp (X = x) = E(X).

438 438 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES Exemple : Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p). On a donc pour tout t > 0, P (X t) np 1 t. Nous apprenons donc par exemple que P (X 100np) 100. C est intéressant lorsque 100np < n, c est à dire si p < Pour continuer l exemple, si p < , alors P (X n 1 10 ) P (X 100np) 100. V.7 Espérance d un produit de variables aléatoires indépendantes Proposition : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. On a E(XY ) = E(X)E(Y ) Démonstration : Soient x k les valeurs prises par X et y l les valeurs prises par Y. La variable aléatoire (X, Y ) prend donc les valeurs (x k, y l ). On a E(XY ) = k,l x ky l P (X = x k, Y = y l ) d après le théorème de transfert. Par l indépendance de X et Y, cette somme vaut k,l x ky l P (X = x k )P (Y = y l ) = k,l x kp (X = x k ) l y lp (Y = y l ) = E(X)E(Y ). Remarque : L indépendance de X et Y est inutile pour la somme de deux variables aléatoires, mais indispensable pour leur produit. Prenons par exemple X de loi de Bernoulli B(p), et Y = X. On a XY = X 2 = X, donc E(XY ) = p. Mais E(X)E(Y ) = E(X) 2 = p 2, donc E(X) 2 E(X 2 ) sauf dans les cas triviaux où p = 0 ou p = 1. VI Variance, écart-type, covariance VI.1 Variance, écart-type Soit X une variable aléatoire réelle. La connaissance de E(X) est importante, mais ne suffit pas à se faire une idée de X. Prenons par exemple les notes à un concours de l épreuve de mathématiques et de l épreuve de physique. Mettons que la moyenne de maths est 8 et celle de physique est 9. C est intéressant en soi, mais comme c est un concours, cela n est pas si important. Pour être bien classé, vaut il mieux avoir 9 en maths ou 10 en physique? Le problème n est pas la valeur de la moyenne, mais la répartition des notes autour de cette moyenne. On pourrait pour cela considérer la variable aléatoire X E(X) et calculer son espérance, mais la plupart du temps ce calcul est très compliqué. Il est beaucoup plus simple de calculer E((X E(X)) 2 ). Définition : Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle variance de X le réel On appelle écart-type de X le réel V (X) = E((X E(X)) 2 ) σ(x) = V (X)

439 VI. VARIANCE, ÉCART-TYPE, COVARIANCE 439 Remarque : L intérêt de l écart-type est d avoir la même dimension que X. Si X est exprimé en mètres, par exemple, alors V (X) est exprimée en mètres carrés, mais σ(x) est aussi exprimé en mètres. C est l écart-type qui mesure l écart de X à sa moyenne. Nous préciserons davantage cela un peu plus loin, lorsque nous parlerons de l inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Proposition : Soit X une variable aléatoire réelle. On a V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. Démonstration : V (X) = E(X 2 2E(X)X + E(X) 2 = E(X 2 ) 2E(X)E(X) + E(X) 2 = E(X 2 ) E(X) 2. Exemple : On lance deux dés équitables. On appelle X la somme des deux dés. On a V (X) = 35 6 et σ(x) = Proposition : Soit X une variable aléatoire réelle. Soient a, b R. On a V (ax + b) = a 2 V (X) et σ(ax + b) = a σ(x). Démonstration : Soit Y = ax + b. On a E(Y ) = ae(x) + E(b) = ae(x) + b. Donc E((Y E(Y )) 2 = E(a(X E(X))) 2 ) = a 2 E((X E(X)) 2 ) = a 2 V (X). Pour l écart-type, prendre la racine carrée. Remarque : Soit X une variable aléatoire réelle d espérance m et d écart-type σ. Soit Y = X m σ. On a E(Y ) = 0 : on dit que la variable aléatoire Y est centrée. De plus, on a σ(y ) = 1 σ σ(x) = 1 : Y est dite réduite. VI.2 Variance des variables aléatoires usuelles Variable aléatoire presque constante Proposition : V (X) = 0. Soit X une variable aléatoire constante presque sûrement. On a Démonstration : Soit m la valeur prise par X en dehors d un ensemble de probabilité nulle. On a E(X 2 ) = m 2 puisque X 2 est presque sûrement constante, égale à m 2. Et on a aussi E(X) 2 = m 2. Ce résultat admet une réciproque. Proposition : Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose que V (X) = 0. Alors X est presque sûrement constante, égale à son espérance. Démonstration : Soit Y = (X E(X)) 2. L énoncé nous dit que E(Y ) = 0. Mais Y 0. Donc, X E(X) est presque sûrement nulle.

440 440 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES Loi uniforme Proposition : Soit n 1. Soit a R. Soit b = a + n 1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l ensemble {a, a + 1,..., b}. On a V (X) = n Démonstration : On a n = b a + 1. C est le nombre de valeurs prises par X. De là E(X) = 1 n (a+(a+1)+...+(a+n 1)) = 1 n(n 1) n (na+ 2 ) = a+ b a 2 = a+ n 1 2. Un peu plus compliqué maintenant : E(X 2 ) = 1 n 1 n k=0 (a + k)2 = 1 n 1 n k=0 (a2 + 2ka + k 2 ) = 1 n (na2 + 2a n 1 k=0 k + n 1 k=0 k2 ) = 1 n (na2 + 2a n(n 1) 2 + (n 1)n(2n 1) 6 ) = a 2 + a(n 1) + (n 1)(2n 1) 6. Donc V (X) = E(X 2 ) E(X) 2 = a 2 +a(n 1)+ (n 1)(2n 1) 6 (a 2 +a(n 1)+ (n 1)2 4 ) = n Remarque : Prenons n «grand». On a alors σ(x) n 12 qui vaut à peu près n 3.5. Loi de Bernoulli Proposition : Soit p [0, 1]. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli B(p). On a V (X) = p(1 p). Démonstration : C est immédiat. D ailleurs on a déjà fait ce calcul. Exemple : On lance une pièce équilibrée. Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 lorsque la pièce tombe sur pile et 0 lorsque la pièce tombe sur face. On a E(X) = 1 2 et σ(x) = 1 2. Loi binomiale Proposition : Soit p [0, 1]. Soit n 1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p). On a V (X) = np(1 p). Démonstration : Admettons pour l instant que si X et Y sont des variables aléatoires réelles indépendantes, alors V (X +Y ) = V (X)+V (Y ). La variance d une variable aléatoire ne dépendant que de la loi de celle-ci, on peut donc supposer que X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de même paramètre p. Le calcul de la variance est alors évident. Remarque : Cette fois, on a σ(x) K n, où K = p(1 p). On voit donc que σ(x) = o(n), c est à dire que les valeurs prises par X sont «resserrées» autour de son espérance. Voir exemple un peu plus bas, après la preuve de l inégalité de Bienaymé- Tchebychev. Par exemple, pour n = et p = 1 2 on obtient E(X) = 5000 et σ(x) = 50, c est à dire cent fois moins que l espérance. L inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous dira entre autres que P ( X ) Autrement dit, 99% des valeurs prises par X sont comprises entre 4500 et 5500.

441 VI. VARIANCE, ÉCART-TYPE, COVARIANCE 441 VI.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Proposition : Soit X une variable aléatoire réelle. Soit m = E(X) l espérance de X. Soit σ = σ(x). l écart-type de X. Soit λ > 0. On a P ( X m λ) σ2 λ 2 Démonstration : On applique l inégalité de Markov à la variable aléatoire Y = (X m) 2, avec t = λ 2. Il vient P ((X m) 2 λ 2 ) E((X m)2 ), c est à dire P ( X m λ) σ2. λ 2 λ 2 Remarque : Si on remplace λ par λσ dans l inégalité, on obtient une autre forme plus homogène de l inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P ( X m λσ) 1 λ 2 Exemple : On lance n fois un dé équilibré. On appelle X le nombre de 6 obtenus. Chaque lancer de dé est une expérience aléatoire de type succès-échec, avec une probabilité de succès p = 1 6. X suit donc la loi binomiale B(n, 1 6 ). L inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient donc P ( X n 6 λ) 5n 36λ 2 Avec λ = n 6, on obtient P ( X n 6 n 6 ) = P (X > n 3 ) 5 n, ou encore, en passant à l événement contraire : P (X < n 3 ) 1 5 n. Pour que la probabilité d obtenir un nombre de 6 entre 0 et n 3 soit au moins égale à 0.5, il suffit de de choisir n tel que 1 5 n 0.5, c est à dire par exemple n = 10. Si on veut que cette même probabilité soit supérieure à 9 10, il faudra prendre n tel que 1 5 n 0.9, c est à dire par exemple n = 50. Remarque : Cette même probabilité peut être calculée à la main sous la forme d une somme. Après tout, on connaît la loi de X. On s aperçoit qu en fait il suffit de prendre n = 9 pour que la probabilité cherchée soit supérieure à 0.9. L inégalité de Bienaymé- Tchebychev est loin d être optimale, mais elle a l incommensurable avantage d être vraie pour TOUTES les variables aléatoires réelles, quelle que soit leur loi. Remarque : Soit p [0, 1]. Soit (X n ) n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi B(p). Soit n 1 et X = X X n. L inégalité de Bienaymé- Tchebychev avec λ = nε nous dit que P ( X np nε) V (X) = p(1 p). Ce que l on peut n 2 ε 2 nε 2 encore écrire P ( X X n p p(1 p) n ε) nε 2 On en déduit donc que pour tout ε > 0 fixé, P ( X X n p n < ε) 1

442 442 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES lorsque n tend vers l infini. Interprétons ce résultat : soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit A un événement de probabilité p. L événement A représente le succès d une expérience aléatoire. On réalise n fois cette expérience, et on appelle n s le nombre de succès. On a alors, pour tout ε > 0, P ( n s n p < ε) 1 lorsque n tend vers l infini. Le quotient ns n tend donc d une certaine façon vers p (c est ce qu on appelle la convergence en probabilité), ce que l on mourait d envie de savoir depuis le début du chapitre précédent. On peut en réalité faire mieux que cela, mais ceci est une autre histoire. VI.4 Covariance Définition : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. On appelle covariance de X et Y le réel Cov(X, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))) Proposition : On a Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Corollaire : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. On a Cov(X, Y ) = 0. Démonstration : On développe et on utilise la linéarité de l espérance. Quant au corollaire, rappelons que si nos variables aléatoires sont indépendantes, l espérance du produit est le produit des espérances. La covariance mesure donc d une certaine façon le «degré de non indépendance» de X et Y. Remarque : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs 1, 0, 1 selon une loi uniforme. Soit Y = X 2. On vérifie facilement que X et Y ne sont pas indépendantes. Par exemple, P (X = 1, Y = 0) = 0 mais P (X = 1)P (Y = 0) = 1 9. On a XY = X3 = X donc E(XY ) = E(X) = 0. Et E(X)E(Y ) = 0 donc Cov(X, Y ) = 0. La réciproque de la proposition ci-dessus est donc fausse. Remarquons que nous n avons pas eu besoin de calculer E(Y ). Cela dit, E(Y ) = E(X 2 ) = V (X) = 2 3 (loi uniforme). Exemple : On lance trois dés équitables. Soit X la somme des deux premiers dés et Y la somme des deux derniers dés. Voici la loi conjointe du couple (X, Y ) (diviser chaque valeur par 6 3 = 216).

443 VI. VARIANCE, ÉCART-TYPE, COVARIANCE On a E(XY ) = , E(X) = E(Y ) = 7, d où Cov(X, Y ) = 12. Nous allons voir qu il y a une bien meilleure méthdode pour calculer cette covariance. VI.5 Quelques propriétés de la covariance Proposition : Soient X, Y, Z des variables aléatoires réelles, α, β, γ, δ quatre réels. On a Cov(X, Y ) = Cov(Y, X). Cov(X, X) = V (X). Cov(αX + β, γy + δ) = αγcov(x, Y ). Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z) et de même à droite. Cov(X, Y ) σ(x)σ(y ). Démonstration : Seul le dernier point mérite qu on s y attarde. Le lecteur s y attardera en considérant la fonction f : R R définie par f(t) = E((X + ty ) 2 ) et en s inspirant de la preuve de l inégalité de Schwarz. Il découvrira alors que E(XY ) 2 E(X 2 )E(Y 2 ). Puis il appliquera cette inégalité en remplaçant respectivement X et Y par X E(X) et Y E(Y ). Exercice : Montrer que Cov(X, Y ) = σ(x)σ(y ) si et seulement si il existe trois réels a, b, c, (a, b) (0, 0), tels que ax + by + c = 0 presque sûrement. Exemple : On reprend l exemple du lancer de 3 dés. X et Y sont respectivement la somme des deux premiers dés et la somme des deux derniers dés. La bilinéarité de la covariance permet de calculer très simplement Cov(X, Y ). En effet, soient A, B, C les valeurs des 3 dés. Les variables A, B, C sont indépendantes et on a X = A+B et Y = B+C. D où Cov(X, Y ) = Cov(A+B, B+C) = Cov(A, B)+Cov(A, C)+Cv(B, B)+Cov(B, C) = Cov(A, B) + Cov(A, C) + Cov(B, C) + V (B). Les trois covariances sont nulles puisque les variables aléatoires sont indépendantes. Et B suit une loi uniforme, donc V (B) = = Ainsi, Cov(X, Y ) = 12 comme déjà vu précédemment.

444 444 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES Remarquer que l inégalité de Schwarz est bien vérifiée, puisque Cov(X, Y ) = alors que σ(x)σ(y ) = σ(x) 2 = Remarque : Toute ressemblance avec les propriété des produits scalaires est non fortuite. Mais Cov n est pas un produit scalaire. C est une forme bilinéaire symétrique positive (sur quel espace?). En revanche, Cov(X, X) = 0 si et seulement si V (X) = 0 c est à dire si et seulement si X est constante presque sûrement. Mais pas nulle! VI.6 Variance d une somme de variables aléatoires Les ressemblances avec les produits scalaires ne s arrêtent pas là. Nous allons montrer deux égalités qui correspondent, dans les espaces préhilbertiens, aux identités de polarisation. Proposition : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. On a V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ). V (X Y ) = V (X) + V (Y ) 2Cov(X, Y ). Proposition : Si X 1,..., X n sont n variables aléatoires réelles, on a V (X X n ) = V (X 1 ) V (X n ) + 2 Cov(X i, X j ) 1 i<j n Démonstration : On fait la démonstration pour deux variables aléatoires. Pour n variables, c est pareil. La deuxième égalité se déduit de la première en changeant Y en Y. Concentrons-nous sur la première. On a V (X + Y ) = Cov(X + Y, X + Y ) = Cov(X, X) + 2Cov(X, Y ) + Cov(Y, Y ) par bilinéarité et symétrie. D où l égalité. Corollaire : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. On a V (X + Y ) = V (X) + V (Y ). Démonstration : C est évident, puisque dans ce cas Cov(X, Y ) = 0. Exemple : Exemple du lancer de deux dés. Soit X = A + B la somme des valeurs des deux dés. Les variables aléatoires A et B sont indépendantes, donc V (X) = V (A)+V (B) = = La morale de l histoire, c est que si on connaît espérance et variance du lancer de 1 dé, on peut calculer sans aucun effort espérance et variance du lancer de deux dés, trois dés, etc.. Corollaire : Soit n 1. Soit p [0, 1]. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p). On a V (X) = np(1 p). Démonstration : Car X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli B(p). On peut donc additionner les variances.

445 VII. EXERCICES 445 VII Exercices 1. Une urne contient n boules, dont n r sont rouges et n b = n n r sont blanches. On dispose d un dé rouge parfait et d un dé blanc pipé. Le 6 du dé blanc a une probabilité 1 4 d apparaître. Les autres faces du dé blanc ont la même probabilité d apparition. On tire au hasard une boule dans l urne et on lance le dé de la couleur correspondante. Soit X la valeur obtenue avec le dé lancé. (a) Quelle est la loi de X? (b) Déterminer l espérance et la variance de X. (c) Quel univers pourrait-on choisir pour modéliser cette expérience? 2. On dispose d un jeu de 32 cartes. On tire 5 cartes au hasard. Soit X le nombre d as tirés. L univers choisi est l ensemble des parties à 5 éléments de l ensemble des 32 cartes. (a) Déterminer la loi de X. (b) Déterminer l espérance et la variance de X. 3. Même exercice que le précédent, mais X est le nombre de coeurs tirés. 4. On dispose de N + 1 urnes. Pour k = 1,..., N + 1, l urne numéro k contient k 1 boules rouges et N k + 1 boules blanches. On choisit une urne au hasard et on y tire n boules avec remise. Soit X le nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi et l espérance de X. 5. Soit m, n N. Soit p [0, 1]. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, de lois respectives B(m, p) et B(n, p). Quelle est la loi de X + Y? 6. Soit n N. Soient p 1, p 2 [0, 1]. Soient X et Y deux variables aléatoires. On suppose que X suit la loi B(n, p 1 ) et que pour k {0,..., n}, la loi conditionnelle de Y sachant (X = k) est B(k, p 2 ). Quelle est l espérance de Y? 7. Deux urnes contiennent chacune n boules numérotées de 1 à n. On prend une boule dans chaque urne et on appelle X n le plus grand des deux numéros tirés. (a) Soit k {0,..., n}. Déterminer P (X n k). (b) En déduire P (X n = k). (c) Calculer E(X n ) ainsi qu un équivalent de cette espérance lorsque n tend vers l infini. 8. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives B(m, 1 2 ) et B(n, 1 2 ). Déterminer P (X = Y ). 9. On lance n ballons au hasard dans n paniers numérotés de 1 à n. Pour i = 1,..., n, on note X i le nombre de ballons dans le panier i. (a) Déterminer la loi de X i, son espérance, sa variance. (b) On pose Y = X 1 + X 2. Déterminer la loi de Y, son espérance, sa variance. (c) Les variables aléatoires X 1 et X 2 sont-elles indépendantes?

446 446 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES 10. M. Bienaymé laisse tomber 3600 dés parfaits. Soit X le nombre de 6. (a) Quelle est la loi de X? Quelle est son espérance? Sa variance? (b) Selon M. Tchebychev, quel est un minorant de la probabilité p que X soit compris entre 550 et 650? (c) Donner une formule donnant la valeur exacte de p, puis une valeur approchée de p à 10 2 près (ordinateur autorisé). 11. Soient X et Y deux variables aléatoires suivant une même loi de Bernoulli de paramètre p. (a) Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si Cov(X, Y ) = 0. (b) On suppose X et Y indépendantes. Déterminer les lois de U = X + Y et V = X Y. (c) Déterminer la loi conjointe de U et V. Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes? 12. Soit p [0, 1]. Soient X et Y deux variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli B(p). On pose λ = P (X = 1, Y = 1). (a) Que vaut λ lorsque X = Y? Lorsque X et Y sont indépendantes? (b) Déterminer la loi conjointe de X et Y. (c) Montrer que max(0, 2p 1) λ p. (d) Calculer Cov(X, Y ) en fonction de p et λ. (e) Toujours en fonction de p et λ, déterminer l espérance et la variance dex + Y et X Y. 13. Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω) N. On note G X la fonction qui à t R associe k N P (X = k)tk. Cette somme est en réalité finie puisque l univers Ω est fini. (a) Que vaut G(1)? (b) Calculer G (1) et G (1) en fonction de E(X) et de V (X). En déduire E(X) et V (X) en fonction de G (1) et G (1). (c) Calculer G X lorsque X suit la loi binomiale B(n, p). Retouver les valeurs bien connues de E(X) et V (X). 14. On dispose d une urne contenant au départ une boule blanche et une boule noire. On effectue N fois l expérience suivante : on tire une boule de l urne. On note sa couleur, on la remet dans l urne et on rajoute dans l urne une boule blanche supplémentaire. Pour k = 1,..., N, on note A k l événement «la kième boule tirée est blanche». Soit X le nombre de boules blanches tirées. (a) Calculer P (A k ) pour k = 1,..., N. Que vaut E(1 Ak )? (b) En déduire E(X). (c) Calculer P (X = 0), P (X = 1) et P (X = N).

447 VII. EXERCICES Même exercice que le précédent, mais à chaque étape on rajoute dans l urne une boule noire supplémentaire. On donnera également un équivalent de E(X) lorsque N tend vers l infini. 16. Soient n, N 1. Soient X 1,..., X N N variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur {1,..., n}. Soit X = max(x 1,..., X N }. (a) Soit k {1,..., n}. Que vaut P (X k)? En déduire P (X = k). (b) Montrer que E(X) = n 1 n N n 1 k=0 kn. (c) Reconnaître dans l expression de E(X) n une somme de Riemann et en déduire un équivalent de E(X) lorsque N tend vers l infini. Commenter le résultat.

448 448 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES

449 Index 449

450 Index Symbols C N R Z A adhérence affixe algorithme d Euclide dans Z pour les polynômes algorithme du pivot de Gauss angle d une rotation angle orienté anneau antécédent application bilinéaire identité linéaire multilinéaire multilinéaire alternée multilinéaire antisymétrique multilinéaire symétrique réciproque arc cosinus sinus tangente Archimède, propriété d argument cosinus hyperbolique sinus hyperbolique tangente hyperbolique associativité asymptote automorphisme , 239 B barycentre base base duale bijection borne supérieure, inférieure branche parabolique C cardinal d ensembles d applications d ensembles de parties d ensembles en bijection d un produit cartésien d un sous-ensemble d une différence d une réunion d une union disjointe changement de variable , 374 Chasles, formule de classe d équivalence coefficient binomial cofacteur comatrice combinaison linéaire commutativité complémentaire

451 INDEX 451 composée de deux polynômes congruence dans R dans Z congruences conjonction conjugué convexe , 322 corps corps ordonné cosinus cosinus hyperbolique couple covariance Cramer, formules de Cramer, système de cycle D dérivée , 146 àdroite, à gauche d ordre supérieur d un polynôme déterminant d un endomorphisme d une famille de vecteurs d une matrice carrée d une matrice triangulaire développement de Vandermonde opérations lignes-colonnes développement asymptotique développement limité degré d un polynôme d une fraction rationnelle demi-tour densité de Q et R \ Q dans R différence de deux ensembles dimension d espaces vectoriels isomorphes d un espace vectoriel d un produit d espaces vectoriels d un sous-espace vectoriel d une somme des espaces d applications linéaires. 258 direction asymptotique disjonction distance d un point à un hyperplan affine d un vecteur à un sous-espace diviseur diviseur d un polynôme division euclidienne dans Z des polynômes double produit vectoriel droite réelle achevée dual d un espace vectoriel E écart angulaire écart-type élément absorbant inversible inversible, anneau neutre régulier simple endomorphisme , 239 orthogonal ensemble ensemble fini ensemble vide ensembles égaux équation du second degré équations d un hyperplan équivalence équivalence logique espérance loi binomiale loi de Bernoulli variable aléatoire constante espace affine espace préhilbertien espace probabilisé

452 452 INDEX espace vectoriel de dimension finie et Euler, formule d événement élémentaire certain impossible événements incompatibles indépendants exponentielle exponentielle complexe extremum local F factorielle famille , 48 famille génératrice famille liée famille libre fonction bornée, minorée, majorée caractéristique continue continue par morceaux continue strictement monotone de classe C k, D k dominée par une autre en escalier indicatrice lipschitzienne monotone négligeable devant une autre périodique paire, impaire polynôme puissance rationnelle uniformément continue fonctions équivalentes forme linéaire formes coordonnées formule d Euler de Bayes de Moivre de Stirling de Taylor avec reste intégral de Taylor pour les polynômes de Taylor-Young de transfert du binôme , 183 formule de Chasles formules de Cramer fraction rationnelle G groupe abélien alterné cyclique orthogonal spécial-orthogonal symétrique H homothétie hyperplan hyperplan affine I identité identité du parallélogramme identités de polarisation identités remarquables image d un élément d un morphisme de groupes d une application linéaire directe directe d un sous-espace vectoriel réciproque réciproque d un sous-espace vectoriel242 image, nombre complexe implication inégalité de Bienaymé-Tchebytchev de Markov

453 INDEX 453 de Schwarz de Schwarz pour les intégrales de Taylor-Lagrange des accroissements finis inclusion indépendants, vecteurs injection intégrale fonction continue par morceaux fonction en escalier intégration par parties , 374 intérieur d un intervalle intersection d hyperplans de sous-espaces affines intervalle image par une fonction continue inverse inversion isométrie isomorphisme , 239 issue d une expérience L limite d une fonction d une fonction monotone directionnelle infinie d une suite réelle d une suite logarithme népérien loi binomiale , 430 conditionnelle conjointe d une variable aléatoire de Bernoulli hypergéométrique uniforme loi de composition interne lois marginales M méthode des rectangles méthode des trapèzes majorant matrice canonique d une application linéaire279 d un système d un vecteur d une application linéaire d une famille de vecteurs de l image d un vecteur de passage inversible orthogonale par blocs symétrique, antisymétrique triangulaire matrices équivalentes semblables maximum global local mineur minimum minorant module Moivre, formule de morphisme d anneaux de groupes multiple multiple d un polynôme multiples dans un anneau dans un groupe N négation nombre complexe de module nombre premier non norme noyau d un morphisme de groupes

454 454 INDEX d une application linéaire O opération orbite d une permutation ordre d un élément, d un sous-groupe orientation orthogonal d une partie orthogonalité d une famille de vecteurs de deux ensembles de deux vecteurs ou P période pôle d une fraction rationnelle paradoxe de Russell partie entière d un réel d une fraction rationnelle partie imaginaire partie réelle parties d un ensemble parties polaires partition pas d une subdivision passage à la limite dans une inégalité fonctions suites permutation plus grand élément plus grand commun diviseur de deux entiers plus petit élément plus petit commun multiple de deux entiers de deux polynômes point adhérent polynôme d interpolation de Lagrange irréductible scindé symétrique élémentaire primitive , 373 probabilité conditionnelle uniforme probabilités composées totales produit de deux polynômes mixte produit cartésien produit scalaire produit vectoriel produits dans un anneau projecteur projecteur orthogonal prolongement prolongement par continuité proposition propriété vraie au voisinage d un point propriété d Archimède puissances dans un anneau dans un groupe Q quantificateur existentiel quantificateur universel R réciproque racine carrée d un nombre complexe d un polynôme d une fraction rationnelle de l unité multiple nième d un nombre complexe rang d un système d une application linéaire d une famille de vecteurs

455 INDEX 455 d une matrice récurrence à deux rangs définir une suite forte réflexion relation binaire d équivalence d ordre d ordre total restes d une série convergente restriction réunion rotation , 351 S série absolument convergente convergente, divergente de Riemann géométrique segment , 321 image par une fonction continue signature d une permutation similitude sinus sinus hyperbolique somme de deux sous-groupes de Riemann de sous-espaces vectoriels somme directe sommes dans un anneau sous-anneau caractérisation définition sous-espace affine sous-espace vectoriel caractérisation définition engendré par une partie sous-espaces affines parallèles sous-espaces vectoriels supplémentaires. 244 sous-groupe caractérisation définition de Z subdivision adaptée , 367 plus fine qu une autre pointée régulière, à pas constant suite arithmétique convergente, divergente géométrique monotone récurrente linéaire à 2 termes suite extraite suites adjacentes sup de deux fonctions support d un cycle surjection symétrie symétrie orthogonale système compatible de Cramer homogène système complet d événements T tangente tangente hyperbolique théorème de Bézout dans Z de Bézout pour les polynômes de Bolzano-Weierstraß de caractérisation séquentielle des limites 136 de composition des limites de d Alembert-Gauss de Fermat (petit) de Gauss dans Z de Gauss pour les polynômes de Heine

456 456 INDEX de Lagrange de nullité de l intégrale de Pythagore de Rolle des accroissements finis des segments emboîtés des valeurs intermédiaires du rang fondamental du calcul intégral théorème d encadrement des limites fonctions suites tirages avec remise sans remise trace d un endomorphisme d une matrice carrée translation , 320 transposée d une matrice transposition trigonométrique, forme U univers V valeur absolue variable aléatoire variables aléatoires indépendantes variance loi binomiale loi de Bernoulli loi uniforme variable presque constante vecteur normal à un hyperplan voisinage