TP 9: Vecteur vitesse v et vecteur accélération a Seconde loi de Newton - Correction. Sens du mouvement M 4 M 5

Transcription

1 TP 9: Vecteur vitesse v et vecteur accélération a Seconde loi de Newton - Correction Objectifs: Dans cette activité nous allons nous intéresser au vecteur vitesse d'un objet. Nous verrons que sa variation au cours du mouvement permet d'établir la seconde loi de Newton. I ) Vitesse moyenne La vitesse moyenne v m d'un objet est la vitesse calculée entre 2 positions généralement éloignées l'une de l'autre. L'inconvénient de cette vitesse est qu'elle ne renseigne pas sur les phases d'accélération où de décélération de l'objet. Exemple: mouvement rectiligne d'un mobile sur coussin d'air. Ci-dessous est représenté la chronophotographie d'un mobile sur coussin d'air placé sur une table horizontale. Chaque point est espacé du suivant par une durée Δt = 60 ms. 1 ) Calculer la vitesse moyenne de ce mobile entre les dates t 1 et t 9. Écrire la formule littérale de votre calcule. Le calcul donne v m = d = x 9 x 1 = 0,155 t 9 t 1 8 Δ t 8 0,060 =0,32 m.s 1 (Le solide fait 15,5 cm entre t 1 et t 9 ) Sens du mouvement t t 3 +Δt M 0 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 2 ) Comparer la distance entre chaque point. La vitesse est-elle uniforme? Les points sont uniformément espacés. Comme le temps Δt entre chaque point est constant. On en déduit que la vitesse est uniforme. 3 ) Énoncer le premier principe de la mécanique (appelé aussi première loi de Newton où principe d'inertie). Dans cet exemple est-ce que les forces qui agissent sur ce mobile se compensent? Faire un schéma. Premier principe : un objet a un état de repos ou un mouvement rectiligne uniforme si et seulement si les forces qui agissent sur lui se compensent. Remarque : la réciproque est vrai également. Dans notre cas, les forces qui agissent sur notre mobile autoporteur se compensent car il a un mouvement rectiligne uniforme.

2 II ) Vitesse instantanée a ) Définition On refait la même étude mais cette fois un dispositif freine le mobile. Voici ce que l'on obtient : Sens du mouvement M 0 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 M 10 M 11 1 ) Calculer la vitesse moyenne de ce mobile entre les dates t 1 et t 9. Écrire la formule littérale de votre calcule. Le calcul donne v m = d = x 9 x 1 = 0,105 t 9 t 1 8 Δ t 8 0,060 =0,22 m.s 1 (Le solide fait 10,5 cm entre t 1 et t 9 ) 2 ) Comparer la distance entre chaque point. La vitesse est-elle uniforme? Les distances diminuent entre chaque point. La vitesse n'est donc pas uniforme. (Le mobile est freiné) 3 ) Les forces se compensent-elles? D'après le premier principe, non les forces ne se compensent pas. 4 ) Que feriez-vous pour étudier les variations de la vitesse? Comment être plus précis? A quelle notion mathématique se rapproche-t-on? Si on s intéresse au variation de la vitesse, il faut essayer d'avoir plus de points et pour cela il faut faire diminuer Δt. Autrement dit on fait tendre Δt 0. On s intéresse alors à 2 points consécutifs. Ainsi la vitesse devient dans notre exemple à On peut faire la même chose selon l'axe Oy. v= lim Δ t +0 x i +1 x i Δ t. Ceci est la définition de la dérivée. 5 ) Définir le plus généralement possible la vitesse instantanée : On définit alors le vecteur vitesse par : b ) Construction d'un vecteur vitesse v= d OM dt La construction d'un vecteur vitesse s'appuie sur la définition même de la dérivée. En effet, nous avons: lim Δ t +0 OM i+1 OM i = d OM Δt dt Où OM i est la position du mobile à l'instant t et OM i +1 est la position du mobile à l'instant t + Δt. 1 ) Montrer que OM i +1 OM i = M i M i+1. Décrire la position de ce vecteur par rapport à la trajectoire? Nous savons que OM i = MO i et donc nous avons OM i+1 OM i = MO i + OM i+1 = M i M i+1

3 Expérimentalement, on obtient un vecteur approché en appliquant cette définition: Méthode de construction du vecteur vitesse (rappel 1 ère S) v On applique vectoriellement la formule v i M i 1 M i+1 2 Δ t Mesurer la longueur du vecteur M i 1 M i+1. C'est sa norme M i 1 M i+1 La norme de la vitesse est donnée par v en m.s -1 i M i 1 M i+1. 2Δ t Tracer un vecteur parallèle et de même sens que M i 1 M i+1 au point M i. Sa longueur doit tenir compte d'une échelle que vous choisissez, exemple 1 cm 2 m.s -1 Application: Ci-dessous est représenté la trajectoire d'un mobile autoporteur relié à un point fixe O par une corde tendue. Chaque point de la trajectoire est séparé du suivant par la durée Δt = 40 ms. 1 ) Tracer les vecteurs vitesse aux points M 2 et M 4. y M 0 M 1 M2 Mobile autoporteur M 3 v 2 Corde tendue. M 4 1 cm 0,12 m.s -1 a 3 1 cm 1,45 m.s -2 v 4 v 2 M 5 v 4 v 2 M 6 O M 7 x 2 ) La vitesse est elle uniforme? La trajectoire est-elle rectiligne? Que nous dit le principe d'inertie (1 ère loi de Newton) sur les forces qui agissent sur ce mobile autoporteur. Faire un bilan de forces. La vitesse au point M 2 vaut v 2 = M 1 M 3 = 0,041 =0,51 m.s 1 2 Δ t 2 0,040 Nous avons également v 4 = M 3 M 4 v 2Δ t 2. La vitesse est quasi uniforme, il y a toujours un peu de frottement du à l'air.

4 La trajectoire est circulaire est uniforme (vitesse quasi constante). Le premier principe nous dit que les forces ne se compensent pas. Et c'est normal car la corde est responsable d'une force qui n'est pas compensée. Il y a donc 3 forces : le poids P, la réaction du support R et la tension de la corde F. Corde F R 3 ) Que deviendrai le mouvement de ce mobile si la corde venait à casser? Justifier. P Si la corde venait à casser, la tension uniforme selon le premier principe. F disparaitrait et le mobile aurait alors un mouvement rectiligne IV ) Accélération a ) Définition L'accélération est la variation de la vitesse. Autrement dit, c'est la vitesse de la vitesse. Nous avons ainsi : b ) Construction d'un vecteur accélération a= d v dt = d 2 OM dt 2 Le principe est le même que pour le vecteur vitesse. C'est à dire que l'on applique la définition de la dérivée : lim Δ t +0 v i+1 v i = d v Δ t dt Expérimentalement, on obtient un vecteur approché en appliquant cette définition: Méthode de construction du vecteur accélération On applique vectoriellement la formule a i v i+1 v i 1 2 Δ t a Tracer le vecteur v i+1 v i 1 au point M i. (Faire un parallélogramme). Mesurer sa longueur, cela donne la norme v en m.s -1 i+1 v i 1. La norme de l'accélération est donnée par a en m.s -2 i v i+1 v i 1 2 Δ t. Sa longueur doit tenir compte d'une échelle que vous choisissez, exemple 1 cm 2 m.s -2 Application: 1 ) Tracer le vecteur accélération au point M 3 sur l'expérience du mobile autoporteur précèdent. Que remarquez vous sur la direction du vecteur accélération. Que pouvez vous écrire entre la force du fil F et l'accélération a? Voir schéma précèdent.

5 Sur le schéma que v i+1 v i 1 fait 1,5 cm ce qui correspond à v i+1 v i 1 =1,5 0,12=0,18 m.s 1 Donc l'accélération au point M 3 vaut On constate que l'accélération est dirigée selon la force exercée par la corde. Ces 2 vecteurs sont colinéaires. Et donc il y a proportionnalité entre eux. On peut alors écrire en première approximation que F = k.a. Reste à déterminer à quoi correspond le coefficient de proportionnalité k. 2 ) Pour un mouvement circulaire, la valeur de l'accélération centripète (dirigée vers le centre) est donnée par a= v 2 ou R = rayon de la trajectoire. Cette expression est-elle en accord avec les valeurs de a calculés? R Nous avons vu que pour notre exemple v 0,5 m.s 1. Donc selon la formule théorique : a= v 2 R = 0,52 =2,9 m.s 2 0,087 Les valeurs sont sensiblement en accord. V ) 2 ième loi de Newton a 3 v 4 v 2 = 0,18 =2,3 m.s 2 2Δ t 2 0,040 Vous venez de voir que le vecteur accélération est proportionnel à la force qui n'est pas compensée. Vous avez trouvé que F = k.a où k est le coefficient de proportionnalité. Pour le moment nous ne savons pas de quoi dépend k. Pour nous donner une piste nous allons faire une analyse dimensionnelle puis nous vérifierons le résultats avec une acquisition vidéo. 1 ) Rappeler l'expression de l énergie cinétique E c ainsi que celle du travail W d'une force F. En déduire par analyse dimensionnelle l'unité de k. Par définition de l'énergie cinétique nous avons : E C = 1 2 m v2 et pour le travail W=F.L.cos(θ) D'après l'expression de l'énergie cinétique, nous avons [E C ]=[m][v 2 ] ce qui donne J=kg m 2.s 2. Et pour le travail nous avons [W]=[F].[L] ce qui donne J=[ F]. m. Or nous avons écrit F = k.a ce qui donne aussi [F ]=[ k ].[a ]=[k ]m.s 2 nous obtenons : J=[ k ]m 2.s 2. et en réinjectant dans le travail Donc nous avons l'égalité kg m 2.s 2 =[ k ]m 2.s 2 et donc nous avons [k ]=kg. 2 ) Comment peut-on écrire alors la relation F = k.a? C'est la seconde loi de Newton. D'après ce que l'on vient de voir, k est homogène à une masse. On peut supposer que c'est la masse de l'objet qui se déplace et dans ce cas nous pouvons écrire : F=m. a Sous forme vectoriel. 3 ) Dans le cas d'une force F constante et d'un mouvement rectiligne selon Ox, intégrer (ou primitiver) 2 fois de suite cette relation.on prendra comme conditions initiales : vitesse initiale : v 0 et position initiale : x 0.

6 Le mouvement est rectiligne selon Ox, on a alors simplement F = m.a x Ce qui s'écrit aussi F=m. d v x dt soit encore d v x dt = F =cst ce qui s'intègre facilement (primitive) m On obtient v x = F m t+cst et la constante est déterminée par les conditions initiales : A t = 0, v x (t=0)=v 0 = F m 0+cst et donc la cst = v 0. D où l'expression de la vitesse au cours du temps : v x (t)= F m t+v 0 Or de cette expression, on peut en déduire l'évolution de l'abscisse du mobile car nous avons v x = d x dt On intègre alors une dernière fois : v x = d x dt = F m t+v 0 ce qui donne x= F 2m t2 +v 0 t+cst La constante se détermine encore avec les conditions initiales ; à t = 0 x(t=0)=x 0 = F 2m 02 +v 0 0+cst Donc on en déduit que cst = x 0 Et donc l'expression de la position du mobile au cours du temps est donnée par : x(t)= F 2m t2 +v 0 t+x 0. 4 ) Quelle genre de courbe décrit alors la vitesse au cours du temps. Même question pour la position. En résumé, nous avons v x (t)= F m t+v 0 qui doit donner une droite et x(t)= F 2m t2 +v 0 t+x 0 qui doit donner une parabole. Vérification : objet tiré par une force constante F On considère un mobile autoporteur placé sur une table horizontale, il est tiré par une force constante de valeur F =0,30 N. Sa masse est m = 0,215 kg. Sa trajectoire a été suivie grâce à un système informatisé. Sous Régressi Fichier Nouveau Régavi Lecture d'une vidéo. Sous Régavi Ouvrir Forceconstante.avi Cliquer sur Échelle et pointer 2 points sur la règle permettant d'avoir une dimension de référence. Cliquer ensuite sur Mesures et pointer les positions successives du mobile. Envoyer vos résultats sous Régressi..

7 5 ) Ensuite faire afficher le graphe de x en fonction du temps, la courbe est-elle compatible avec la question 4 précédente? Voici ce que voit après le pointage. Le mobile est accéléré. L'origine du repère est sur la position initiale du mobile. Et graphiquement nous avons : La parabole a son sommet en x = 0 car le repère lors du pointage se trouve sur la position initiale du mobile. 6 ) Dans Modélisation, choisir le meilleur modèle qui décrit la courbe obtenue. Avec les valeurs afficher par le logiciel, peut-on retrouver la valeur de la masse sachant que F = 0,30 N.

8 Voici ce que l'on obtient avec le logiciel : Ici nous voyons que x(t)=a+b.t+c.t 2 = F 2m t2 +v 0 t+x 0 avec c = 0,731 m.s -2 F Donc nous avons ici 2m =c et donc m= F 2c = 0,30 2 0,731 =0,21 kg=2,1 102 g ce qui est en accord avec la masse donnée qui est m = 215 g. 7 ) La seconde loi de Newton est-elle validée? Ainsi la seconde loi de Newton est vérifiée, nous avons bien : F=m. a