LES BONS COUPS DE BILI-NÉAIRE THE KID POUR AMÉLIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LES BONS COUPS DE BILI-NÉAIRE THE KID POUR AMÉLIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE"

Transcription

1 J.F.C. Eve p. 1 LES BONS COUPS DE BILI-NÉAIRE THE KID POUR AMÉLIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE Dans la suite, sauf mention du contraire, <.,. > est un produit scalaire sur le R-espace vectoriel E et. est la norme associée. Niveau 1 C 1 E = R n. Si x = (x 1, x,..., x n ) et y = (y 1, y,..., y n ) sont deux éléments de R n, on pose : < x, y >= x k y k. <.,. > est un produit scalaire sur R n. C est le produit scalaire canonique de R n. C E = M n,1 (R). Si X = x 1 x.. et Y = y 1 y.. sont deux éléments de M n,1(r), on pose : x n y n < X, Y >= x k y k = t XY = t Y X. <.,. > est un produit scalaire sur M n,1 (R). C est le produit scalaire canonique de M n,1 (R). C 3 E = M n,p (R). Si A = (a ij ) et B = (b ij ) sont deux éléments de E, on pose : < A, B >= a ij b ij = tr( t A B). i=1 j=1 <.,. > est un produit scalaire sur E. C est le produit scalaire canonique de M n,p (R). C 4 E = R n [X]. Si P = a k X k et Q = b k X k sont deux éléments de R n [X], on pose : k=0 k=0 < P, Q >= a k b k. <.,. > est un produit scalaire sur R n [X]. C est le produit scalaire canonique de R n [X]. k=0 C 5 p et q sont deux éléments de N. (x i ) 1 i p et (y j ) 1 j q sont deux familles d éléments de E. (λ i ) 1 i p et (µ j ) 1 j q sont deux familles d éléments de R. Alors : q q < λ i x i, µ j y j >= λ i µ j < x i, y j >. i=1 j=1 i=1 j=1

2 J.F.C. Eve p. C 6 Inégalité de Cauchy-Schwarz x et y sont deux éléments de E. 1. < x, y > x y et (< x, y >) x y.. < x, y > = x y si et seulement si (x, y) est liée. C 7 Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R n x = (x 1, x,..., x n ) et y = (y 1, y,..., y n ) sont deux éléments de R n. C 8 x k y k n x k n yk. Inégalité de Cauchy-Schwarz dans C([a, b], R) ( n ) x k y k Soit f et g deux fonctions numériques continues sur [a, b]. b b b f(t)g(t) dt f (t) dt g (t) dt. C 9 x E, x = 0 x = 0 E. x E, λ R, λx = λ x. a a ( b ) b f(t)g(t) dt f (t) dt a a a b a g (t) dt. n x k yk. (x, y) E, x + y x + y (inégalité de Minkovski). C 10 x et y sont deux éléments de E. 1. x + y = x + y si et seulement si x = 0 E ou λ R +, y = λ x.. x + y = x + y si et seulement si y = 0 E ou λ R +, x = λ y. C 11 (x, y) E, x y x + y x + y. (x, y) E, x y x y x + y. C 1 1. Si x est un vecteur non nul de E, 1 x est un vecteur unitaire de E. x. Un droite vectorielle de E contient exactement deux vecteurs unitaires qui sont opposés. C 13 Identités remarquables x et y sont deux éléments de E. x + y = x + < x, y > + y. x y = x < x, y > + y. < x + y, x y >= x y. C 14 Identités remarquables x 1, x,..., x p sont p éléments de E. x 1 + x + + x p = x i + < x i, x j > i=1 1 i<j p

3 J.F.C. Eve p. 3 C 15 Identités de polarisation x et y sont deux éléments de E. < x, y >= 1 [ x + y x y ]. < x, y >= 1 [ x + y x y ]. < x, y >= 1 4 [ x + y x y ]. C 16 Identités du parrallélogramme x et y sont deux éléments de E. x + y + x y = x + y. C 17 Théorème de Pythagore. x et y sont deux éléments de E. x et y sont orthogonaux si et seulement si x + y = x + y. C 18 Si (x 1, x,..., x n ) est une famille d éléments de E deux à deux orthogonaux : x 1 + x + + x n = x 1 + x + + x n. C E = {0 E }. Autrement dit un vecteur de E est nul si et seulement il appartient à E.. {0 E } = E. C 0 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. F est un sous-espace vectoriel de E. F F = {0 E }. F F. F G donne G F. Si F et G sont orthogonaux alors F G = {0 E }. F et G sont orthogonaux F G G F. C 1 F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E respectivement engendrés par (u 1, u,..., u p ) et (v 1, v,..., v q ). P 1. F = {x E i [[1, p], < x, u i >= 0}. P. F et G sont orthogonaux si et seulement si : (i, j) [[1, p] [[1, q ], < u i, v j >= 0. C F et G sont deux sous-espaces d un espace préhilbertien réel E. (F + G) = F G et F + G (F G). Si E est de dimension finie : F + G = (F G). C 3 Soit F un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel euclidien E. E = F F et F = F. F est l unique supplémentaire de F orthogonal à F.

4 J.F.C. Eve p. 4 G est un sous-espace vectoriel de E. G = F si et seulement G est un (ou le...) supplémentaire de F dans E orthogonal à F. C 4 L ensembles des matrices symétriques de M n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (K) de dimension n(n + 1) L ensembles des matrices antisymétriques de M n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (K) de dimension si n 1. n(n 1) Le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M n (K) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de M n (K) sont supplémentaires dans M n (K). Notons que si A M n (R), A = 1 ( A + t A ) + 1 ( A t A ) 1 (, A + t A ) est une matrice symérique de M n (K) et 1 ( A t A ) est une matrice antisymérique de M n (K). C 5 Dans M n (R), pour le produit scalaire canonique, l orthogonale du sous-espace vectoriel S n (R) des matrices symétriques de M n (R) est le sous-espace vectoriel A n (R) des matrices antisymétriques de M n (R). Donc le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M n (R) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de M n (R) sont supplémentaires et orthogonaux dans M n (R) muni du produit scalaire canonique. M n (R) = S n (R) An (R). C 6 1. Toute famille orthogonale constituée de vecteurs non nuls est libre.. Toute famille orthonormée est libre. C 7 Tout espace vectoriel euclidien possède une base orthonormée. C 8 Soit B = (e 1, e,..., e n ) une base orthonormée de E. Soit x un élément de E. x = < x, e k > e k. C 9 Soit B = (e 1, e,..., e n ) une base orthonormée de E. Soient x et y deux vecteurs de E de coordonnées respectives (x 1, x,..., x n ) et (y 1, y,..., y n ) dans cette base. Soient X et Y les matrices de x et y dans B. < x, y >= x k y k = t XY =< X, Y >. x = n x k = t XX = X. C 30 B = (e 1, e,..., e n ) est une base d un espace vectoriel réel E. 1. Il existe un produit scalaire <.,. > sur E et un seul qui rend la base B = (e 1, e,..., e n ) orthonormée.. x = x k e k E, y = y k e k E, < x, y >= x k y k. 3. Dans les espaces vectoriels réels usuels, le produit scalaire canonique est celui qui rend la base canonique orthonormée. C 31 Matrice d un endomorphisme dans une base orthonormée

5 J.F.C. Eve p. 5 B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de l espace vectoriel euclidien (E, <.,. >) et f est un endomorphisme de E. (E 1, E,..., E n ) est la base canonique de M n,1 (R). La matrice de f dans la base B est ( < e i, f(e j ) > ). C 3 Matrice orthogonale P est une matrice de M n (R). Les assertions suivantes sont équivalentes : i) P orthogonale. i ) P vérifie P t P = t P P = I n. ii) P vérifie P t P = I n. iii) P vérifie t P P = I n. iv) P est inversible et son inverse est sa transposée. v) X M n,1 (R), P X = X (. est la norme euclidienne de M n (R)). vi) Les colonnes de P constituent une famille orthonormée de M n,1 (R) muni du produit scalaire canonique. vii) Les colones de P constituent une base orthonormée de M n,1 (R) muni du produit scalaire canonique. viii) Les lignes de P constituent une famille orthonormée de M 1,n (R) muni du produit scalaire canonique. ix) Les lignes de P constituent une base orthonormée de M 1,n (R) muni du produit scalaire canonique. C 33 Soit B = (e 1, e,..., e n ) et B = (e 1, e,..., e n) deux bases orthonormées de E. La matrice de passage P de B à B est orthogonale. C 34 E. Soit B = (e 1, e,..., e n ) une base orthonormée de E. Soit B = (e 1, e,..., e n) une famille d éléments de Soit P la matrice de la famille B dans la base B. B est une base orthonormée de E si et seulement si P est une matrice orthogonale. C Le produit de deux matrices orthogonales de M n (R) est une matrice orthogonale de M n (R).. L inverse d une matrice orthogonale de M n (R) est une matrice orthogonale de M n (R). C 36 Les seules valeurs propres possibles dans R d une matrice orthogonale de M n (R) sont 1 et 1. C 37 F est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E distinct de {0 E } et E. Si B est une base orthonormée de F et B est une base orthonormée de F alors B B est une base orthonormée de E. C 38 F est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E distinct de {0 E } et de E. Soit (e 1, e,..., e p ) une base orthonormée de F. 1. (e 1, e,..., e p ) se complète en une base orthonormée (e 1, e,..., e n ) de E.. F est le sous-espace vectoriel de E engendré par (e p+1, e p+,..., e n ). Mieux (e p+1, e p+,..., e n ) est une base orthonormée de F. C 39 B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de E. a 1, a,..., a n sont n réels non tous nuls.

6 J.F.C. Eve p L orthogonal de la droite vectorielle engendrée par a 1 e 1 + a e + + a n e n est l hyperplan d équation a 1 x 1 + a x + + a n x n = 0 dans B.. L orthogonal de l hyperplan d équation a 1 x 1 + a x + + a n x n = 0 dans B est la droite vectorielle engendrée par a 1 e 1 + a e + + a n e n. C 40 Aspect théorique de l orthonormalisation de Schmidt Soit (u 1, u,..., u n ) une base quelconque de E. Il existe une base orthonormée de E et une seule (w 1, w,..., w n ) telle que pour tout k appartenant à [[1, n]] : 1. Vect(w 1, w,..., w k ) = Vect(u 1, u,..., u k ).. < w k, u k > est strictement positif. (w 1, w,..., w n ) est LA base orthonormée déduite de (u 1, u,..., u n ) par le procédé d orthonormalisation de Schmidt. C 41 Aspect pratique de l orthonormalisation de Schmidt Soit (u 1, u,..., u n ) une base quelconque de E. Pour construire cette base orthogonale (v 1, v,..., v n ) à partir de (u 1, u,..., u n ) on procède de la manière suivante. On pose v 1 = u 1. Supposons que l on ait construit (v 1, v,..., v k 1 ) famille orthogonale de E telle que : Vect(v 1, v,..., v k 1 ) = Vect(u 1, u,..., u k 1 ) (k [[1, n 1]]). On construit alors v k. Pour cela on pose v k = u k + λ 1 v 1 + λ v + + λ k 1 v k 1. En écrivant que v k est orthogonal à v i on calcule λ i pour tout i dans [[1, k 1]]. k 1 On obtient alors v k = u k i=1 k 1 < u k, v i > < v i, v i > v i = u k i=1 < u k, v i > v i v i. On pose k [[1, n]], w k = 1 v k v k. (w 1, w,..., w n ) est l unique base orthonormée de E telle que : 1. Vect(w 1, w,..., w k ) = Vect(u 1, u,..., u k ).. < w k, u k > est strictement positif. C 4 F est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E. p F est la projection orthogonale sur F. Si x et y sont deux éléments de E : p F (x) = y { y F x y F { y F z F, < x y, z >= 0 C 43 F est un sous-espace vectoriel de E et (u 1, u,..., u p ) est une base orthonormée de F. p F est la projection orthogonale sur F. Pour tout élément x de E : p F (x) = < x, u k > u k C 44 E est un espace vectoriel euclidien et B est une base orthonormée de E. F est un sous-espace vectoriel de E et (u 1, u,..., u p ) est une base orthonormée de F.

7 Pour tout k dans [[1, p]], U k est la matrice de u k dans la base B. p F est la projection orthogonale sur F. Alors la matrice de p F dans la base B est C est un + du programme 014. U t k U k, donc M B (p F ) = U t k U k. C 45 D est une droite vectorielle de E et p D est la projection orthogonale sur D. Si u est un vecteur unitaire de D, pour tout élément x de E : p D (x) = < x, u > u. Si u est un vecteur non nul de D, pour tout élément x de E : p D (x) = < x, u > u u. J.F.C. Eve p. 7 C 46 E est un espace vectoriel euclidien de dimension n supérieure ou égale à. H est un hyperplan de E et p H est la projection orthogonale sur H. Si u est un vecteur unitaire orthogonal à H, pour tout élément x de E : p H (x) = x < x, u > u. Si u est un vecteur non nul orthogonal à H, pour tout élément x de E : p H (x) = x < x, u > u u. C 47 D est une droite vectorielle de E et s D est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à D. Si u est un vecteur unitaire de D, pour tout élément x de E : s D (x) = < x, u > u x. C 48 E est un espace vectoriel euclidien de dimension n supérieure ou égale à. H est un hyperplan de E et s H est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à H. Si u est un vecteur unitaire orthogonal à H, pour tout élément x de E : s H (x) = x < x, u > u. C 49 Recherche pratique d une projection orthogonale (E, <.,. >) est un espace vectoriel euclidien (ou un préhilbertien...). F est un sous-espace vectoriel de E et p F est la projection orthogonale sur F. (u 1, u,..., u p ) est une base quelconque de F. x est un élément de E. Pour trouver p F (x) on peut : M1 Utiliser p F (x) F et x p F (x) F (resp. p F (x) F et z F, < x p F (x), z >= 0). M Construire une base orthonormée (w 1, w,..., w p ) de F et utiliser : p F (x) = < x, w k > w k. M3 Poser p F (x) = p x k u k. On cherche alors (x 1, x,..., x p ) en écrivant que x p F (x) est orthogonal à F donc à tous les éléments de la base (u 1, u,..., u p ) de F. On obtient rapidement : i [[1, p], < x, u i >=< p F (x), u i >= < u k, u i > x k = < u i, u k > x k. Ceci donne un système linéaire de p équations à p inconnues que l on résout. x 1 < x, u 1 > x Ce système s écrit matriciellement AX = B où A = (< u i, u j >), X =. et B = < x, u >.. x p < x, u p > A est une matrice inversible de M p (R) (A est la matrice de la restriction du produit scalaire à F dans la base (u 1, u,..., u p )). Le système admet donc une solution et une seule (ce qui n est pas un scoop...).

8 J.F.C. Eve p. 8 Ne pas oublier de regarder au préalable si F est un hyperplan. Dans ce cas on détermine p F vectorielle...) et on utilise p F = Id E p F. (F est une droite C 50 Théorème de meilleure approximation Soit F un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E et p F (resp. p F ) la projection orthogonale sur F (resp. F ). Soit x un élément de E. 1. z F, x p F (x) x z. Si t est un élément de F tel que : z F, x t x z alors t = p F (x).. Autrement dit Min z F x z existe et vaut x p F (x). De plus p F (x) est l unique élément de F qui réalise ce minimum. p F (x) est donc l unique élément de F tel que d(x, F ) = x p F (x). La projection orthogonale de x sur F est la meilleure approximation de x par un élément de F. 3. d (x, F ) = x p F (x) = x p F (x) = x < x, p F (x) >= p F (x). C 51 La formulation du programme... Caractérisation de la projection orthogonale par minimisation de la norme. Soit F un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E et p F la projection orthogonale sur F. x et y sont deux éléments de E. y = p F (x) y F et x y = Inf x z ou y = p F (x) y F et x y = Min x z. z F z F C 5 Méthode des moindres carrés. A est un élément de M n,p (R) et B un élément de M n,1 (R). On suppose que le rang de A est p.. est la norme de M n,1 (R) associée au produit scalaire canonique. 1. Min AX B existe. X M p,1(r). Il existe un unique élément X 0 de M p,1 (R) tel que AX 0 B = Min AX B. X M p,1 (R) 3. t AA est inversible. 4. X 0 = ( t AA) 1 ( t AB) ou t AAX 0 = t AB. C 53 Caractérisations des matrices symétriques Soit A une matrice de M n (R). <.,. > est le produit scalaire de M n,1 (R). 1. X M n,1 (R), Y M n,1 (R), < AX, Y >=< X, t AY >.. Les assertions suivantes sont équivalentes. i) A est symétrique. ii) X M n,1 (R), Y M n,1 (R), < AX, Y >=< X, AY >. iii) X M n,1 (R), Y M n,1 (R), t Y AX = t XAY.

9 J.F.C. Eve p. 9 C 54 Caractérisation des endomorphismes symétriques E est de dimension n (n N ), B = (e 1, e,..., e n ) est une base de E et f un endomorphisme de E. f est symétrique si et seulement si : (i, j) [[1, n]], < f(e i ), e j >=< e i, f(e j ) >. C 55 Caractérisation fondamentale des endomorphismes symétriques E est de dimension n (n N ), B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de E et f un endomorphisme de E. f est un endomorphisme symétrique de E si et seulement si sa matrice A dans la base B est symétrique ( t A = A). C 56 L ensemble des endomorphismes symétriques de E est un sous-espace vectoriel de L(E). Si E est de dimension n non nul, l ensemble des endomorphismes symétriques de E est un sous-espace vectoriel de L(E) de dimension C 57 de E. n (n + 1) Si f est un endomorphisme symétrique et bijectif de E, f 1 est un endomorphisme symétrique (et bijectif) C 58 f est un endomorphisme symétrique de E. Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f, F est stable par f. C 59 Soit f un endomorphisme symétrique de l espace préhilbertien E. Ker f et Im f sont orthogonaux. (Im f) = Ker f et Im f (Ker f). C 60 Soit f un endomorphisme symétrique d un espace vectoriel euclidien E. (Im f) = Ker f et Im f = (Ker f). Ker f et Im f sont supplémentaires et orthogonaux. C 61 Caractérisations des projections orthogonales again 1. p est une projection (ou un projecteur) de E. p est une projection orthogonale (ou un projecteur orthogonal) si et seulement p est un endomorphisme symétrique.. p est un endomorphisme de E (ou une application de E dans E...). p est une projection orthogonale de E si et seulement si p est un endomorphisme symétrique de E vérifiant p p = p. 3. A est une matrice de M n (R). A est la matrice d une projection orthogonale si et seulement si A est symétrique et vérifie A = A. C est un + du programme 014. C 6 Soit f un endomorphisme symétrique de E. 1. Les sous-espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux.. Si (u k ) 1 k p est une famille de vecteurs propres de f associés à des valeurs propres deux à deux distinctes alors la famille (u k ) 1 k p est une famille orthogonale de E.

10 J.F.C. Eve p. 10 C 63 Le théorème fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques. Soit f un endomorphisme symétrique de E espace vectoriel euclidien de dimension finie non nulle. 1. f est diagonalisable.. Mieux, il existe une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f (donc f se diagonalise dans une base orthonormée). C 64 A est une matrice symétrique de M n (R) 1. Les valeurs propres de A sont réelles (Sp R A = Sp C A).. Les sous-espaces propres de A sont deux à deux orthogonaux. 3. Si (X k ) 1 k p est une famille de vecteurs propres de A associés à des valeurs propres deux à deux distinctes alors la famille (X k ) 1 k p est une famille orthogonale M n,1 (R). C 65 Le théorème fondamental sur la réduction des matrices symétriques de M n (R). A est une matrice symétrique de M n (R). 1. A est diagonalisable.. Mieux, il existe une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A. 3. Il existe une matrice orthogonale P de M n (R), telle que P 1 AP = t P AP soit diagonale. C 66 L aspect pratique de la réduction des endomorphismes symétriques f est un endomorphisme symétrique d un espace vectoriel euclidien E de dimension n non nulle. On obtient une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f en concatenant une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres de f. C 67 L aspect pratique de la réduction des matrices symétriques Soit A une matrice symétrique de M n (R). 1. On obtient une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A en concatenant une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres de A.. Si B est une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres α 1, α,..., α n et si P est la matrice de passage de la base canonique de M n,1 (R) à la base B alors : P est une matrice orthogonale. t P AP = P 1 AP est la matrice diagonale Diag(α 1, α,..., α n ). C 68 Soit A une matrice symétrique de M n (R). Soit (X 1, X,..., X n ) une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres α 1, α,..., α n. A = n α k X k t X k C Soit A une matrice symétrique de M n (R). Ainsi il existe une matrice orthogonale P de M n (R) et une matrice diagonale D = Diag(α 1, α,..., α n ) telle que t P AP = P 1 AP = D.

11 J.F.C. Eve p. 11 On note, pour tout j élément de [[1, n]], C j la jème colonne de P. Alors (C 1, C,..., C n ) est une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres α 1, α,..., α n.. Variante D = Diag(α 1, α,..., α n ) est une matrice diagonale de M n (R) et P est une matrice orthogonale de M n (R). On pose A = P D t P. A est une matrice symétrique de M n (R) et les colonnes de P constituent une base othonormée B de M n,1 (R), de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres (α 1, α,..., α n ). P est la matrice de passage de la base canonique de M n,1 (R) à B. C 70 Décomposition spectrale d une matrice symétrique. S est une matrice symétrique de M n (R). λ 1, λ,..., λ p sont ses valeurs propres distinctes. Pour tout élément k de [[1, p]] on note P k la matrice, dans la base canonique de M n,1 (R), de la projection orthogonale f k de M n,1 (R) sur le sous-espace propre SEP (S, λ k ) de S associé à la valeur propre λ k. Montrer que P k = I n et que S = λ k P k. C 71 Matrice symétrique positive Soit S une matrice symétrique de M n (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X M n,1 (R), t XSX 0. ii) Les valeurs propres de S sont positives ou nulles. C 7 Matrice symétrique définie positive Soit une matrice symétrique de M n (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X M n,1 (R), X 0 Mn,1 (R) t XSX > 0. ii) Les valeurs propres de S sont strictement positives. Niveau C 73 Encadrement de Rayleigh Soit S une matrice symétrique de M n (R). Soit α sa plus petite valeur propre et soit β sa plus grande valeur propre. X M n,1 (R), α X t XSX =< SX, X > β X ou X M n,1 (R) {0 Mn,1(R)}, α t XSX t XX β. Mieux : Min X M n,1(r) {0 Mn,1 (R)} t XSX t XX t XSX = α et Max X M t n,1(r) {0 Mn,1 (R)} XX = β. Si X un élément de M n,1 (R), α X = t XSX =< SX, X > X SEP (A, α). Si X un élément de M n,1 (R), t XSX =< SX, X >= β X X SEP (A, β). C 74 Matrice symétrique positive again

12 J.F.C. Eve p. 1 Soit S une matrice symétrique de M n (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X M n,1 (R), t XSX 0. ii) Les valeurs propres de S sont positives ou nulles. iii) Il existe une matrice A de M n (R) telle que S = t AA. C 75 Matrice symétrique définie positive again Soit une matrice symétrique de M n (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X M n,1 (R), X 0 Mn,1 (R) t XSX > 0. ii) Les valeurs propres de S sont strictement positives. iii) Il existe une matrice inversible A de M n (R) telle que S = t AA. C 76 Adjoint d un endomorphisme B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de l espace vectoriel euclidien E et f est un endomorphisme de E de matrice A dans B. f est l endomorphisme de E de matrice t A dans B. 1. f est l unique endomorphisme de E vérifiant (x, y) E, < f(x), y >=< x, f (y) >. f est l adjoint de f.. Soit F un sous-espace vectoriel de E. F est stable par f si et seulement si F est stable par f. 3. Ker f = (Im f) et Im f = (Ker f). 4. (f ) = f = f. 5. Si f est un automorphisme, f est également un automorphisme et (f ) 1 = (f 1 ). 6. Si g est un second endomorphisme de E : (λf) = λ f, (f + g) = f + g et (f g) = g f. 7. Sp f = Sp f. λ Sp f, dim SEP (f, λ) = dim SEP (f, λ). f et f sont simultanément diagonalisables. 8. Ker(f f) = Ker f et Im(f f ) = Im f. 9. f f (resp. f f) est un endomorphisme symétrique dont les valeurs propres sont positives. C 77 Endomorphisme orthogonal f est un endomorphisme d un espace préhilbertien E. f est un endomorphisme orthogonal si (x, y) E, < f(x), f(y) >=< x, y > autrement dit si f conserve le produit scalaire. f est une application d un espace préhilbertien E dans lui même. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. f est un endomorphisme orthogonal.. f est un endomorphisme vérifinant (x, y) E, < f(x), f(y) >=< x, y >. 3. f vérifie (x, y) E, < f(x), f(y) >=< x, y >. Notons que 3. donne la linéarité de f. f est un endomorphisme d un espace préhilbertien E. f est un endomorphisme orthogonal si et seulement si (x, y) E, f(x) = x autrement dit si et seulement si f conserve la norme.

13 J.F.C. Eve p. 13 f est un endomorphisme orthogonal d un espace préhilbertien E. 1. f est injectif (mais pas nécessairement surjectif).. Si F est un sous espace vectoriel de E stable par f, F est stable par f. 3. Si g est un second endomorphisme orthogonal de E, g f est un endomorphisme orthogonal de E. 4. Les seules valeurs propres (réelles!!) possibles de f sont 1 et 1. f est un endomorphisme orthogonal d un espace vectoriel euclidien E. f est un automorphisme de E et f 1 est un automorphisme orthogonal de E. f est un endomorphisme d un espace vectoriel euclidien E de de dimension n appartenant à N. Les assertions suivantes sont équivalentes. i) f est un endomorphisme orthogonal. ii) Il existe une base orthonormée de E qui se transforme par f en une base orthonormée de E. iii) Toute base orthonormée de E se transforme par f est une base orthonormée de E. f est un endomorphisme d un espace vectoriel euclidien E et A est la matrice de f dans une base orthonormée de E. f est un endomorphisme orthogonal si et seulement si A est une matrice orthogonale. On note B = (e 1,..., e n ) une base orthonormée de E et on considère un endomorphisme f orthogonal dont la matrice dans la base B est notée A. On pose A = (a i,j ) 1 i,j n. (i, j) [[1, n]], a i,j [ 1, 1] et i=1 j=1 a i,j n et n n i=1 j=1 a i,j n n. C 78 Racine carrée symétrique et positive (resp. définie positive) d une matrice symétrique et positive (resp. définie positive) de M n (R) Si S est une matrice symétrique de M n (R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp. strictement positives), il existe une matrice symétrique T de M n (R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp. strictement positives) et une seule telle que T = S. C 79 Matrice d un produit scalaire Soit B = (e 1, e,..., e n ) et B = (e 1, e,..., e n) deux bases d un espace vectoriel euclidien E. La matrice A = (< e i, e j >) de M n (R) est la matrice du produit scalaire <.,. >. Si x et y sont deux éléments de E de matrices X et Y dans B, < x, y >= t XAY. A est une matrice symétrique dont les valeurs propres sont strictement positives. Si A est la matrice de <.,. > dans B et si P est la matrice de passage de B à B : A = t P AP. Une matrice C de M n (R) est la matrice d un produit scalaire si et seulement si elle est symétrique à valeurs propres strictement positives. C 80 Caractérisation des projections orthogonales again. Soit p une projection (ou un projecteur) de E. Les assertions suivantes sont équivalentes. i) p est une projection orthogonale.

14 J.F.C. Eve p. 14 ii) x E, p(x) x. C 81 Base orthonormée de R n [X] déduite de la base canonique (1, X,..., X n ) de R n [X] par le procédé d orthonormalisation de Schmidt. n est un élément de N. <.,. > est un produit scalaire sur R n [X]. 1. a) Pour tout élément k de [[1, n]], il existe un polynôme normalisé (le coefficient du terme de plus haut degré est 1) P k et un seul appartenant à R k [X] et orthogonal à R k 1 [X].. On pose P 0 = 1. a) Pour tout élément k de [[0, n]], P k est de degré k. b) (P 0, P 1,..., P n ) est une base orthogonale de R n [X]. 3. On pose k [[0, n]], Q k = 1 P k P k. a) (Q 0, Q 1,..., Q n ) est une base orthonormée de R n [X]. b) Mieux, (Q 0, Q 1,..., Q n ) est la base orthonormée de R n [X] déduite de la base canonique (1, X,..., X n ) de R n [X] par le procédé d orthonormalisation de Schmidt. C 8 Réalisation de la distance d un vecteur à un sous-espace dans un espace préhilbertien E est un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E. x est un élément de E et y un élément de F. 1. Il existe au plus un élément de y de F tel que : x y = Inf x z. z F. Soit y un élément de F. x y = Inf x z si et seulement si x y est orthogonale à F. z F C 83 Décomposition polaire d une matrice inversible de M n (R). A est une matrice quelconque de M n (R). 1. Il existe une matrice orthogonale U de M n (R) et une matrice symétrique S à valeurs propres positives ou nulles de M n (R) telles que A = US.. On suppose A inversible. Il existe une unique matrice orthogonale U de M n (R) et une unique matrice symétrique S à valeurs propres strictement positives de M n (R) telles que A = US. C est la décomposition polaire de A. C 84 Décomposition d Iwasawa d une matrice inversible de M n (R). A est une matrice inversible de M n (R). Il existe une matrice orthogonale Q de M n (R) et une matrice triangulaire supérieure R de M n (R) à coefficients diagonaux strictement positifs telles que A = QR. C 85 Décomposition de Cholesky d une matrice symétrique définie positive. A est une matrice symétrique de M n (R) dont les valeurs propres sont strictement positives (A est définie positive). Il existe une matrice R, de M n (R), triangulaire supérieure à diagonale strictement positive et une seule telle que A = t RR. C 86 Théorème de Courant-Fischer. A est une matrice symétrique de M n (R). (E 1, E,..., E n) est une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres λ 1, λ,..., λ n avec λ 1 λ λ n.

15 k est un élément de [[1, n]] et F k est l ensemble des sous-espaces vectoriels de M n,1 (R) de dimension k. t XAX Min Sup F F k X F t XX = λ k et Max F F n+1 k X 0 Inf X F X 0 t XAX t XX = λ k. J.F.C. Eve p. 15 C 87 Endomorphisme antisymétrique. (E, <, >) est un espace vectoriel euclidien de dimension non nulle n. f est un endomorphisme de E. B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de E et A = (a ij ) est la matrice de f dans B. On dit que f est un endomorphisme antisymétrique si (x, y) E, < f(x), y >= < x, f(y) >. 1. a) f est antisymétrique si et seulement si (i, j) [[1, n]], < f(e i ), e j >= < e i, f(e j ) >. b) f est antisymétrique si et seulement si A est symétrique autrement dit si et seulement si t A = A.. f est antisymétrique si et seulement si x E, < x, f(x) >= 0. Dans la suite f est un endomorphisme antisymétrique de E. 3 a) Ker f = (Im f). b) Sp f {0} et Sp R (A) {0}. c) Sp C (A) ir. d) f f est un endomorphisme symétrique dont les valeurs propres sont négatives ou nulles. e) Si F est un sous-espace vectoriel stable par f, F est également stable par f. 4. Il existe une base orthonormé de E telle que la matrice de f dans cette base soit : 0 a 1 a (O) 0 a p a p 0 (O) à quelques abus près... C 88 Une caractérisation des normes euclidiennes Une norme sur un espace vectoriel réel est la norme d un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l identité du parallélogramme.

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

1.3 Produit matriciel

1.3 Produit matriciel MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

-1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes... 5 2 Anneaux... 5 3 Corps... 6 4 Algèbre... 6

-1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes... 5 2 Anneaux... 5 3 Corps... 6 4 Algèbre... 6 Table des matières -1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes.......................................... 5 2 Anneaux.......................................... 5 3 Corps...........................................

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1 [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES

APPLICATIONS LINÉAIRES 21-10- 2007 J.F.C. A.L. p. 1 APPLICATIONS LINÉAIRES I GÉNÉRALITÉS 1. Définition et vocabulaire 2. Conséquences de la définition 3. Caractérisation II OPÉRATIONS SUR LES APPLICATION LINÉAIRES 1. Somme,

Plus en détail

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014 Algèbre Linéaire Victor Lambert 24 septembre 2014 Table des matières 1 Généralités 2 1.1 Espaces vectoriels............................ 2 1.2 Applications linéaires.......................... 4 1.3 Familles

Plus en détail

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. 203-204 Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMM) Email: bardet@univ-paris.fr Page oueb: http://samm.univ-paris.fr/-jean-marc-bardet-

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 171 Matrices et applications

Plus en détail

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A = B =

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A = B = 2 ALGÈBRE Exercice 2.1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et A, B les deux matrices de M n (R) définies par : 0 0 0 0 1 0 0 0 0... 0 1 0 0 0 A =.......... B = 0 0... 0 0 0...... 0 0 0 1. Déterminer

Plus en détail

133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie

133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie 133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie Pierre Lissy March 8, 2010 On considère un espace vectoriel euclidien de dimension nie n, le produit scalaire sera noté

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Travaux dirigés avec SAGE (partie III)

Travaux dirigés avec SAGE (partie III) Math 3 Année 2010-2011 Sommaire 1 Vecteurs et matrices 2 1.1 Construction, opérations élémentaires............................. 2 1.1.1 Vecteurs.......................................... 2 1.1.2 Matrices..........................................

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Éléments de Calcul Matriciel et d Analyse Factorielle de Données

Éléments de Calcul Matriciel et d Analyse Factorielle de Données Éléments de Calcul Matriciel et d Analyse Factorielle de Données Jean-François Durand jfd@helios.ensam.inra.fr Université Montpellier II Licence MASS Maîtrise MASS Maîtrise d Ingénierie Mathématique DEA

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

Cours d algèbre linéaire. Khaoula Ben Abdeljelil

Cours d algèbre linéaire. Khaoula Ben Abdeljelil Cours d algèbre linéaire Khaoula Ben Abdeljelil 2 Table des matières Table des matières............................... i 1 POLYNOMES 1 1.1 Algèbre des polynômes.......................... 1 1.1.1 Définition.............................

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

1 Diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints, en dimension finie

1 Diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints, en dimension finie Annette Paugam Diagonalisation des auto-adjoints Applications aux formes quadratiques : Directions principales Applications en Géométrie, en Statistique et en Mécanique Les paragraphes, 2, 3 donnent un

Plus en détail

PC* Devoir 6: Corrigé 2011 2012. Partie I : Généralités

PC* Devoir 6: Corrigé 2011 2012. Partie I : Généralités PC* Devoir 6: Corrigé 20 202 Partie I : Généralités I.A - Questions préliminaires a b c I.A.) M S M = b l m avec (a, b, c, l, m, t) R 6. c m t Les éléments de S sont les matrices de la forme : M = ae +

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Introduction à l analyse des données. Analyse des Données (1) Exemple, ville et (in)sécurité. Exemple, ville et (in)sécurité

Introduction à l analyse des données. Analyse des Données (1) Exemple, ville et (in)sécurité. Exemple, ville et (in)sécurité Introduction à l analyse des données Analyse des Données () Le but de l analyse de données est de synthétiser, structurer l information contenue dans des données multidimensionnelles Deux groupes de méthodes

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1. Olivier DEBARRE. 1 Version très préliminaire

Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1. Olivier DEBARRE. 1 Version très préliminaire Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1 Olivier DEBARRE 1 Version très préliminaire Table des matières Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires 5 1. Définitions 5 2. Applications

Plus en détail

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT Table analytique des matières 1. La structure d'espace vectoriel 1. Espaces

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation

Plus en détail

19. APPLICATIONS LINÉAIRES

19. APPLICATIONS LINÉAIRES 19. APPLICATIONS LINÉAIRES 1 Dénitions générales. 1. 1 Applications linéaires. On dit qu'une application d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est linéaire si elle est compatible avec les

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires le 8 Février UTBM MT Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Applications linéaires Exemples et définitions. Soit E et F, espaces vectoriels sur K = R ou C. On s intéresse aux applications qui conservent

Plus en détail

Cours 2-3 Analyse des données multivariées

Cours 2-3 Analyse des données multivariées Cours 2-3 des données s Ismaël Castillo École des Ponts, 13 Novembre 2012 Plan 1 2 3 4 1. On s intéresse à un jeu de données multi-dimensionel, avec n individus observés et p variables d intérêt ( variables

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Licence Sciences, Technologies, Santé Enseignement de mathématiques des parcours Informatique ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE - Notes de cours et de travaux

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Analyse des données et algèbre linéaire

Analyse des données et algèbre linéaire Analyse des données et algèbre linéaire Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Machine-Learning : Une donnée x i = un ensemble de features (caractères) d un individu i x i = (x i,1,...,

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Cours de Math IV Algèbre. (R. Bahloul, 2 e semestre 2009/2010)

Cours de Math IV Algèbre. (R. Bahloul, 2 e semestre 2009/2010) Cours de Math IV Algèbre (R. Bahloul, 2 e semestre 2009/2010) 1 2 Les livres utilisés lors de la préparation de ce cours furent les suivants. Références [1] Joseph Grifone, Algèbre linéaire, 2 e édition,

Plus en détail

Chapitre 7. Polynômes I.

Chapitre 7. Polynômes I. Université de la Nouvelle Calédonie. Licence de Mathématiques. Semestre 3. Eric Edo et Bianca Travain. Programme 0-06. Polycopié d Algèbre 3 Ce cours est la suite des cours d Arithmétique et d Algèbre.

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Groupe orthogonal en petite dimension

Groupe orthogonal en petite dimension Maths PCSI Cours Groupe orthogonal en petite dimension Table des matières 1 Généralités 1.1 Rappels et définitions........................................ 1. Premières propriétés.........................................

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

1 Espaces vectoriels, compléments

1 Espaces vectoriels, compléments CHAPITRE 1 Espaces vectoriels, compléments Sommaire 1 Somme directe... 3 1.1 Somme... 3 1.2 Somme directe... 3 1.3 Supplémentaire... 4 1.4 Cas de la dimension finie... 4 2 Décomposition de E en somme directe...

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier Mathématiques Méthodes et exercices ECE 2 e année Cécile Lardon Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon Jean-Marie Monier Professeur en classe préparatoire au lycée La Martinière-Monplaisir

Plus en détail

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI Espace vectoriel de dimensions finies MPSI 22 juin 2008 Table des matières 1 Partie libre - Partie liée - Partie génératrice 2 1.1 Partie finie liée.......................... 2 1.1.1 Vecteurs colinéaires....................

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Technologie, physique, chimie (TPC) Discipline : Mathématiques Seconde année Classe préparatoire TPC deuxième année

Plus en détail

Préparation à l Agrégation de Mathématiques

Préparation à l Agrégation de Mathématiques UNIVERSITÉ DE POITIERS Mathématiques Agrégation 2008/2009 Paul Broussous Préparation à l Agrégation de Mathématiques Algèbre linéaire Réduction des endomorphismes 1 Avant Propos Nous supposerons connues

Plus en détail

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne :

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne : Résumé de cours : Espaces vectoriels Partie I : Généralités. : Source disponible sur : c Dans tout le chapitre K désigne un sous corps de C, et en général sauf mention du contraire, Q ou R ou bien C et

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre IV Applications linéaires Révisions Définition. Soient E, deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif est dite linéaire si quels que soient x, y E et λ,. Une application f : E f x y f

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Analyse de Données. Analyse en Composantes Principales (ACP)

Analyse de Données. Analyse en Composantes Principales (ACP) Analyse de Données Analyse en Composantes Principales (ACP) Analyse en composantes principales (ACP) ** Sur toute la fiche, on notera M' la transposée de M. Cadre de travail : On a des données statistiques

Plus en détail

Introduction générale

Introduction générale Chapitre 1 Introduction générale Ce chapitre est consacré à une présentation rapide des méthodes numériques qui sont étudiées en détail dans ce cours Nous y donnons une approche très simplifiée des quatre

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail