LES BONS COUPS DE BILI-NÉAIRE THE KID POUR AMÉLIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE

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1 J.F.C. Eve p. 1 LES BONS COUPS DE BILI-NÉAIRE THE KID POUR AMÉLIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE Dans la suite, sauf mention du contraire, <.,. > est un produit scalaire sur le R-espace vectoriel E et. est la norme associée. Niveau 1 C 1 E = R n. Si x = (x 1, x,..., x n ) et y = (y 1, y,..., y n ) sont deux éléments de R n, on pose : < x, y >= x k y k. <.,. > est un produit scalaire sur R n. C est le produit scalaire canonique de R n. C E = M n,1 (R). Si X = x 1 x.. et Y = y 1 y.. sont deux éléments de M n,1(r), on pose : x n y n < X, Y >= x k y k = t XY = t Y X. <.,. > est un produit scalaire sur M n,1 (R). C est le produit scalaire canonique de M n,1 (R). C 3 E = M n,p (R). Si A = (a ij ) et B = (b ij ) sont deux éléments de E, on pose : < A, B >= a ij b ij = tr( t A B). i=1 j=1 <.,. > est un produit scalaire sur E. C est le produit scalaire canonique de M n,p (R). C 4 E = R n [X]. Si P = a k X k et Q = b k X k sont deux éléments de R n [X], on pose : k=0 k=0 < P, Q >= a k b k. <.,. > est un produit scalaire sur R n [X]. C est le produit scalaire canonique de R n [X]. k=0 C 5 p et q sont deux éléments de N. (x i ) 1 i p et (y j ) 1 j q sont deux familles d éléments de E. (λ i ) 1 i p et (µ j ) 1 j q sont deux familles d éléments de R. Alors : q q < λ i x i, µ j y j >= λ i µ j < x i, y j >. i=1 j=1 i=1 j=1

2 J.F.C. Eve p. C 6 Inégalité de Cauchy-Schwarz x et y sont deux éléments de E. 1. < x, y > x y et (< x, y >) x y.. < x, y > = x y si et seulement si (x, y) est liée. C 7 Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R n x = (x 1, x,..., x n ) et y = (y 1, y,..., y n ) sont deux éléments de R n. C 8 x k y k n x k n yk. Inégalité de Cauchy-Schwarz dans C([a, b], R) ( n ) x k y k Soit f et g deux fonctions numériques continues sur [a, b]. b b b f(t)g(t) dt f (t) dt g (t) dt. C 9 x E, x = 0 x = 0 E. x E, λ R, λx = λ x. a a ( b ) b f(t)g(t) dt f (t) dt a a a b a g (t) dt. n x k yk. (x, y) E, x + y x + y (inégalité de Minkovski). C 10 x et y sont deux éléments de E. 1. x + y = x + y si et seulement si x = 0 E ou λ R +, y = λ x.. x + y = x + y si et seulement si y = 0 E ou λ R +, x = λ y. C 11 (x, y) E, x y x + y x + y. (x, y) E, x y x y x + y. C 1 1. Si x est un vecteur non nul de E, 1 x est un vecteur unitaire de E. x. Un droite vectorielle de E contient exactement deux vecteurs unitaires qui sont opposés. C 13 Identités remarquables x et y sont deux éléments de E. x + y = x + < x, y > + y. x y = x < x, y > + y. < x + y, x y >= x y. C 14 Identités remarquables x 1, x,..., x p sont p éléments de E. x 1 + x + + x p = x i + < x i, x j > i=1 1 i<j p

3 J.F.C. Eve p. 3 C 15 Identités de polarisation x et y sont deux éléments de E. < x, y >= 1 [ x + y x y ]. < x, y >= 1 [ x + y x y ]. < x, y >= 1 4 [ x + y x y ]. C 16 Identités du parrallélogramme x et y sont deux éléments de E. x + y + x y = x + y. C 17 Théorème de Pythagore. x et y sont deux éléments de E. x et y sont orthogonaux si et seulement si x + y = x + y. C 18 Si (x 1, x,..., x n ) est une famille d éléments de E deux à deux orthogonaux : x 1 + x + + x n = x 1 + x + + x n. C E = {0 E }. Autrement dit un vecteur de E est nul si et seulement il appartient à E.. {0 E } = E. C 0 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. F est un sous-espace vectoriel de E. F F = {0 E }. F F. F G donne G F. Si F et G sont orthogonaux alors F G = {0 E }. F et G sont orthogonaux F G G F. C 1 F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E respectivement engendrés par (u 1, u,..., u p ) et (v 1, v,..., v q ). P 1. F = {x E i [[1, p], < x, u i >= 0}. P. F et G sont orthogonaux si et seulement si : (i, j) [[1, p] [[1, q ], < u i, v j >= 0. C F et G sont deux sous-espaces d un espace préhilbertien réel E. (F + G) = F G et F + G (F G). Si E est de dimension finie : F + G = (F G). C 3 Soit F un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel euclidien E. E = F F et F = F. F est l unique supplémentaire de F orthogonal à F.

4 J.F.C. Eve p. 4 G est un sous-espace vectoriel de E. G = F si et seulement G est un (ou le...) supplémentaire de F dans E orthogonal à F. C 4 L ensembles des matrices symétriques de M n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (K) de dimension n(n + 1) L ensembles des matrices antisymétriques de M n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (K) de dimension si n 1. n(n 1) Le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M n (K) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de M n (K) sont supplémentaires dans M n (K). Notons que si A M n (R), A = 1 ( A + t A ) + 1 ( A t A ) 1 (, A + t A ) est une matrice symérique de M n (K) et 1 ( A t A ) est une matrice antisymérique de M n (K). C 5 Dans M n (R), pour le produit scalaire canonique, l orthogonale du sous-espace vectoriel S n (R) des matrices symétriques de M n (R) est le sous-espace vectoriel A n (R) des matrices antisymétriques de M n (R). Donc le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M n (R) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de M n (R) sont supplémentaires et orthogonaux dans M n (R) muni du produit scalaire canonique. M n (R) = S n (R) An (R). C 6 1. Toute famille orthogonale constituée de vecteurs non nuls est libre.. Toute famille orthonormée est libre. C 7 Tout espace vectoriel euclidien possède une base orthonormée. C 8 Soit B = (e 1, e,..., e n ) une base orthonormée de E. Soit x un élément de E. x = < x, e k > e k. C 9 Soit B = (e 1, e,..., e n ) une base orthonormée de E. Soient x et y deux vecteurs de E de coordonnées respectives (x 1, x,..., x n ) et (y 1, y,..., y n ) dans cette base. Soient X et Y les matrices de x et y dans B. < x, y >= x k y k = t XY =< X, Y >. x = n x k = t XX = X. C 30 B = (e 1, e,..., e n ) est une base d un espace vectoriel réel E. 1. Il existe un produit scalaire <.,. > sur E et un seul qui rend la base B = (e 1, e,..., e n ) orthonormée.. x = x k e k E, y = y k e k E, < x, y >= x k y k. 3. Dans les espaces vectoriels réels usuels, le produit scalaire canonique est celui qui rend la base canonique orthonormée. C 31 Matrice d un endomorphisme dans une base orthonormée

5 J.F.C. Eve p. 5 B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de l espace vectoriel euclidien (E, <.,. >) et f est un endomorphisme de E. (E 1, E,..., E n ) est la base canonique de M n,1 (R). La matrice de f dans la base B est ( < e i, f(e j ) > ). C 3 Matrice orthogonale P est une matrice de M n (R). Les assertions suivantes sont équivalentes : i) P orthogonale. i ) P vérifie P t P = t P P = I n. ii) P vérifie P t P = I n. iii) P vérifie t P P = I n. iv) P est inversible et son inverse est sa transposée. v) X M n,1 (R), P X = X (. est la norme euclidienne de M n (R)). vi) Les colonnes de P constituent une famille orthonormée de M n,1 (R) muni du produit scalaire canonique. vii) Les colones de P constituent une base orthonormée de M n,1 (R) muni du produit scalaire canonique. viii) Les lignes de P constituent une famille orthonormée de M 1,n (R) muni du produit scalaire canonique. ix) Les lignes de P constituent une base orthonormée de M 1,n (R) muni du produit scalaire canonique. C 33 Soit B = (e 1, e,..., e n ) et B = (e 1, e,..., e n) deux bases orthonormées de E. La matrice de passage P de B à B est orthogonale. C 34 E. Soit B = (e 1, e,..., e n ) une base orthonormée de E. Soit B = (e 1, e,..., e n) une famille d éléments de Soit P la matrice de la famille B dans la base B. B est une base orthonormée de E si et seulement si P est une matrice orthogonale. C Le produit de deux matrices orthogonales de M n (R) est une matrice orthogonale de M n (R).. L inverse d une matrice orthogonale de M n (R) est une matrice orthogonale de M n (R). C 36 Les seules valeurs propres possibles dans R d une matrice orthogonale de M n (R) sont 1 et 1. C 37 F est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E distinct de {0 E } et E. Si B est une base orthonormée de F et B est une base orthonormée de F alors B B est une base orthonormée de E. C 38 F est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E distinct de {0 E } et de E. Soit (e 1, e,..., e p ) une base orthonormée de F. 1. (e 1, e,..., e p ) se complète en une base orthonormée (e 1, e,..., e n ) de E.. F est le sous-espace vectoriel de E engendré par (e p+1, e p+,..., e n ). Mieux (e p+1, e p+,..., e n ) est une base orthonormée de F. C 39 B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de E. a 1, a,..., a n sont n réels non tous nuls.

6 J.F.C. Eve p L orthogonal de la droite vectorielle engendrée par a 1 e 1 + a e + + a n e n est l hyperplan d équation a 1 x 1 + a x + + a n x n = 0 dans B.. L orthogonal de l hyperplan d équation a 1 x 1 + a x + + a n x n = 0 dans B est la droite vectorielle engendrée par a 1 e 1 + a e + + a n e n. C 40 Aspect théorique de l orthonormalisation de Schmidt Soit (u 1, u,..., u n ) une base quelconque de E. Il existe une base orthonormée de E et une seule (w 1, w,..., w n ) telle que pour tout k appartenant à [[1, n]] : 1. Vect(w 1, w,..., w k ) = Vect(u 1, u,..., u k ).. < w k, u k > est strictement positif. (w 1, w,..., w n ) est LA base orthonormée déduite de (u 1, u,..., u n ) par le procédé d orthonormalisation de Schmidt. C 41 Aspect pratique de l orthonormalisation de Schmidt Soit (u 1, u,..., u n ) une base quelconque de E. Pour construire cette base orthogonale (v 1, v,..., v n ) à partir de (u 1, u,..., u n ) on procède de la manière suivante. On pose v 1 = u 1. Supposons que l on ait construit (v 1, v,..., v k 1 ) famille orthogonale de E telle que : Vect(v 1, v,..., v k 1 ) = Vect(u 1, u,..., u k 1 ) (k [[1, n 1]]). On construit alors v k. Pour cela on pose v k = u k + λ 1 v 1 + λ v + + λ k 1 v k 1. En écrivant que v k est orthogonal à v i on calcule λ i pour tout i dans [[1, k 1]]. k 1 On obtient alors v k = u k i=1 k 1 < u k, v i > < v i, v i > v i = u k i=1 < u k, v i > v i v i. On pose k [[1, n]], w k = 1 v k v k. (w 1, w,..., w n ) est l unique base orthonormée de E telle que : 1. Vect(w 1, w,..., w k ) = Vect(u 1, u,..., u k ).. < w k, u k > est strictement positif. C 4 F est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E. p F est la projection orthogonale sur F. Si x et y sont deux éléments de E : p F (x) = y { y F x y F { y F z F, < x y, z >= 0 C 43 F est un sous-espace vectoriel de E et (u 1, u,..., u p ) est une base orthonormée de F. p F est la projection orthogonale sur F. Pour tout élément x de E : p F (x) = < x, u k > u k C 44 E est un espace vectoriel euclidien et B est une base orthonormée de E. F est un sous-espace vectoriel de E et (u 1, u,..., u p ) est une base orthonormée de F.

7 Pour tout k dans [[1, p]], U k est la matrice de u k dans la base B. p F est la projection orthogonale sur F. Alors la matrice de p F dans la base B est C est un + du programme 014. U t k U k, donc M B (p F ) = U t k U k. C 45 D est une droite vectorielle de E et p D est la projection orthogonale sur D. Si u est un vecteur unitaire de D, pour tout élément x de E : p D (x) = < x, u > u. Si u est un vecteur non nul de D, pour tout élément x de E : p D (x) = < x, u > u u. J.F.C. Eve p. 7 C 46 E est un espace vectoriel euclidien de dimension n supérieure ou égale à. H est un hyperplan de E et p H est la projection orthogonale sur H. Si u est un vecteur unitaire orthogonal à H, pour tout élément x de E : p H (x) = x < x, u > u. Si u est un vecteur non nul orthogonal à H, pour tout élément x de E : p H (x) = x < x, u > u u. C 47 D est une droite vectorielle de E et s D est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à D. Si u est un vecteur unitaire de D, pour tout élément x de E : s D (x) = < x, u > u x. C 48 E est un espace vectoriel euclidien de dimension n supérieure ou égale à. H est un hyperplan de E et s H est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à H. Si u est un vecteur unitaire orthogonal à H, pour tout élément x de E : s H (x) = x < x, u > u. C 49 Recherche pratique d une projection orthogonale (E, <.,. >) est un espace vectoriel euclidien (ou un préhilbertien...). F est un sous-espace vectoriel de E et p F est la projection orthogonale sur F. (u 1, u,..., u p ) est une base quelconque de F. x est un élément de E. Pour trouver p F (x) on peut : M1 Utiliser p F (x) F et x p F (x) F (resp. p F (x) F et z F, < x p F (x), z >= 0). M Construire une base orthonormée (w 1, w,..., w p ) de F et utiliser : p F (x) = < x, w k > w k. M3 Poser p F (x) = p x k u k. On cherche alors (x 1, x,..., x p ) en écrivant que x p F (x) est orthogonal à F donc à tous les éléments de la base (u 1, u,..., u p ) de F. On obtient rapidement : i [[1, p], < x, u i >=< p F (x), u i >= < u k, u i > x k = < u i, u k > x k. Ceci donne un système linéaire de p équations à p inconnues que l on résout. x 1 < x, u 1 > x Ce système s écrit matriciellement AX = B où A = (< u i, u j >), X =. et B = < x, u >.. x p < x, u p > A est une matrice inversible de M p (R) (A est la matrice de la restriction du produit scalaire à F dans la base (u 1, u,..., u p )). Le système admet donc une solution et une seule (ce qui n est pas un scoop...).

8 J.F.C. Eve p. 8 Ne pas oublier de regarder au préalable si F est un hyperplan. Dans ce cas on détermine p F vectorielle...) et on utilise p F = Id E p F. (F est une droite C 50 Théorème de meilleure approximation Soit F un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E et p F (resp. p F ) la projection orthogonale sur F (resp. F ). Soit x un élément de E. 1. z F, x p F (x) x z. Si t est un élément de F tel que : z F, x t x z alors t = p F (x).. Autrement dit Min z F x z existe et vaut x p F (x). De plus p F (x) est l unique élément de F qui réalise ce minimum. p F (x) est donc l unique élément de F tel que d(x, F ) = x p F (x). La projection orthogonale de x sur F est la meilleure approximation de x par un élément de F. 3. d (x, F ) = x p F (x) = x p F (x) = x < x, p F (x) >= p F (x). C 51 La formulation du programme... Caractérisation de la projection orthogonale par minimisation de la norme. Soit F un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel euclidien E et p F la projection orthogonale sur F. x et y sont deux éléments de E. y = p F (x) y F et x y = Inf x z ou y = p F (x) y F et x y = Min x z. z F z F C 5 Méthode des moindres carrés. A est un élément de M n,p (R) et B un élément de M n,1 (R). On suppose que le rang de A est p.. est la norme de M n,1 (R) associée au produit scalaire canonique. 1. Min AX B existe. X M p,1(r). Il existe un unique élément X 0 de M p,1 (R) tel que AX 0 B = Min AX B. X M p,1 (R) 3. t AA est inversible. 4. X 0 = ( t AA) 1 ( t AB) ou t AAX 0 = t AB. C 53 Caractérisations des matrices symétriques Soit A une matrice de M n (R). <.,. > est le produit scalaire de M n,1 (R). 1. X M n,1 (R), Y M n,1 (R), < AX, Y >=< X, t AY >.. Les assertions suivantes sont équivalentes. i) A est symétrique. ii) X M n,1 (R), Y M n,1 (R), < AX, Y >=< X, AY >. iii) X M n,1 (R), Y M n,1 (R), t Y AX = t XAY.

9 J.F.C. Eve p. 9 C 54 Caractérisation des endomorphismes symétriques E est de dimension n (n N ), B = (e 1, e,..., e n ) est une base de E et f un endomorphisme de E. f est symétrique si et seulement si : (i, j) [[1, n]], < f(e i ), e j >=< e i, f(e j ) >. C 55 Caractérisation fondamentale des endomorphismes symétriques E est de dimension n (n N ), B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de E et f un endomorphisme de E. f est un endomorphisme symétrique de E si et seulement si sa matrice A dans la base B est symétrique ( t A = A). C 56 L ensemble des endomorphismes symétriques de E est un sous-espace vectoriel de L(E). Si E est de dimension n non nul, l ensemble des endomorphismes symétriques de E est un sous-espace vectoriel de L(E) de dimension C 57 de E. n (n + 1) Si f est un endomorphisme symétrique et bijectif de E, f 1 est un endomorphisme symétrique (et bijectif) C 58 f est un endomorphisme symétrique de E. Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f, F est stable par f. C 59 Soit f un endomorphisme symétrique de l espace préhilbertien E. Ker f et Im f sont orthogonaux. (Im f) = Ker f et Im f (Ker f). C 60 Soit f un endomorphisme symétrique d un espace vectoriel euclidien E. (Im f) = Ker f et Im f = (Ker f). Ker f et Im f sont supplémentaires et orthogonaux. C 61 Caractérisations des projections orthogonales again 1. p est une projection (ou un projecteur) de E. p est une projection orthogonale (ou un projecteur orthogonal) si et seulement p est un endomorphisme symétrique.. p est un endomorphisme de E (ou une application de E dans E...). p est une projection orthogonale de E si et seulement si p est un endomorphisme symétrique de E vérifiant p p = p. 3. A est une matrice de M n (R). A est la matrice d une projection orthogonale si et seulement si A est symétrique et vérifie A = A. C est un + du programme 014. C 6 Soit f un endomorphisme symétrique de E. 1. Les sous-espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux.. Si (u k ) 1 k p est une famille de vecteurs propres de f associés à des valeurs propres deux à deux distinctes alors la famille (u k ) 1 k p est une famille orthogonale de E.

10 J.F.C. Eve p. 10 C 63 Le théorème fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques. Soit f un endomorphisme symétrique de E espace vectoriel euclidien de dimension finie non nulle. 1. f est diagonalisable.. Mieux, il existe une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f (donc f se diagonalise dans une base orthonormée). C 64 A est une matrice symétrique de M n (R) 1. Les valeurs propres de A sont réelles (Sp R A = Sp C A).. Les sous-espaces propres de A sont deux à deux orthogonaux. 3. Si (X k ) 1 k p est une famille de vecteurs propres de A associés à des valeurs propres deux à deux distinctes alors la famille (X k ) 1 k p est une famille orthogonale M n,1 (R). C 65 Le théorème fondamental sur la réduction des matrices symétriques de M n (R). A est une matrice symétrique de M n (R). 1. A est diagonalisable.. Mieux, il existe une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A. 3. Il existe une matrice orthogonale P de M n (R), telle que P 1 AP = t P AP soit diagonale. C 66 L aspect pratique de la réduction des endomorphismes symétriques f est un endomorphisme symétrique d un espace vectoriel euclidien E de dimension n non nulle. On obtient une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f en concatenant une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres de f. C 67 L aspect pratique de la réduction des matrices symétriques Soit A une matrice symétrique de M n (R). 1. On obtient une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A en concatenant une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres de A.. Si B est une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres α 1, α,..., α n et si P est la matrice de passage de la base canonique de M n,1 (R) à la base B alors : P est une matrice orthogonale. t P AP = P 1 AP est la matrice diagonale Diag(α 1, α,..., α n ). C 68 Soit A une matrice symétrique de M n (R). Soit (X 1, X,..., X n ) une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres α 1, α,..., α n. A = n α k X k t X k C Soit A une matrice symétrique de M n (R). Ainsi il existe une matrice orthogonale P de M n (R) et une matrice diagonale D = Diag(α 1, α,..., α n ) telle que t P AP = P 1 AP = D.

11 J.F.C. Eve p. 11 On note, pour tout j élément de [[1, n]], C j la jème colonne de P. Alors (C 1, C,..., C n ) est une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres α 1, α,..., α n.. Variante D = Diag(α 1, α,..., α n ) est une matrice diagonale de M n (R) et P est une matrice orthogonale de M n (R). On pose A = P D t P. A est une matrice symétrique de M n (R) et les colonnes de P constituent une base othonormée B de M n,1 (R), de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres (α 1, α,..., α n ). P est la matrice de passage de la base canonique de M n,1 (R) à B. C 70 Décomposition spectrale d une matrice symétrique. S est une matrice symétrique de M n (R). λ 1, λ,..., λ p sont ses valeurs propres distinctes. Pour tout élément k de [[1, p]] on note P k la matrice, dans la base canonique de M n,1 (R), de la projection orthogonale f k de M n,1 (R) sur le sous-espace propre SEP (S, λ k ) de S associé à la valeur propre λ k. Montrer que P k = I n et que S = λ k P k. C 71 Matrice symétrique positive Soit S une matrice symétrique de M n (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X M n,1 (R), t XSX 0. ii) Les valeurs propres de S sont positives ou nulles. C 7 Matrice symétrique définie positive Soit une matrice symétrique de M n (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X M n,1 (R), X 0 Mn,1 (R) t XSX > 0. ii) Les valeurs propres de S sont strictement positives. Niveau C 73 Encadrement de Rayleigh Soit S une matrice symétrique de M n (R). Soit α sa plus petite valeur propre et soit β sa plus grande valeur propre. X M n,1 (R), α X t XSX =< SX, X > β X ou X M n,1 (R) {0 Mn,1(R)}, α t XSX t XX β. Mieux : Min X M n,1(r) {0 Mn,1 (R)} t XSX t XX t XSX = α et Max X M t n,1(r) {0 Mn,1 (R)} XX = β. Si X un élément de M n,1 (R), α X = t XSX =< SX, X > X SEP (A, α). Si X un élément de M n,1 (R), t XSX =< SX, X >= β X X SEP (A, β). C 74 Matrice symétrique positive again

12 J.F.C. Eve p. 1 Soit S une matrice symétrique de M n (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X M n,1 (R), t XSX 0. ii) Les valeurs propres de S sont positives ou nulles. iii) Il existe une matrice A de M n (R) telle que S = t AA. C 75 Matrice symétrique définie positive again Soit une matrice symétrique de M n (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X M n,1 (R), X 0 Mn,1 (R) t XSX > 0. ii) Les valeurs propres de S sont strictement positives. iii) Il existe une matrice inversible A de M n (R) telle que S = t AA. C 76 Adjoint d un endomorphisme B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de l espace vectoriel euclidien E et f est un endomorphisme de E de matrice A dans B. f est l endomorphisme de E de matrice t A dans B. 1. f est l unique endomorphisme de E vérifiant (x, y) E, < f(x), y >=< x, f (y) >. f est l adjoint de f.. Soit F un sous-espace vectoriel de E. F est stable par f si et seulement si F est stable par f. 3. Ker f = (Im f) et Im f = (Ker f). 4. (f ) = f = f. 5. Si f est un automorphisme, f est également un automorphisme et (f ) 1 = (f 1 ). 6. Si g est un second endomorphisme de E : (λf) = λ f, (f + g) = f + g et (f g) = g f. 7. Sp f = Sp f. λ Sp f, dim SEP (f, λ) = dim SEP (f, λ). f et f sont simultanément diagonalisables. 8. Ker(f f) = Ker f et Im(f f ) = Im f. 9. f f (resp. f f) est un endomorphisme symétrique dont les valeurs propres sont positives. C 77 Endomorphisme orthogonal f est un endomorphisme d un espace préhilbertien E. f est un endomorphisme orthogonal si (x, y) E, < f(x), f(y) >=< x, y > autrement dit si f conserve le produit scalaire. f est une application d un espace préhilbertien E dans lui même. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. f est un endomorphisme orthogonal.. f est un endomorphisme vérifinant (x, y) E, < f(x), f(y) >=< x, y >. 3. f vérifie (x, y) E, < f(x), f(y) >=< x, y >. Notons que 3. donne la linéarité de f. f est un endomorphisme d un espace préhilbertien E. f est un endomorphisme orthogonal si et seulement si (x, y) E, f(x) = x autrement dit si et seulement si f conserve la norme.

13 J.F.C. Eve p. 13 f est un endomorphisme orthogonal d un espace préhilbertien E. 1. f est injectif (mais pas nécessairement surjectif).. Si F est un sous espace vectoriel de E stable par f, F est stable par f. 3. Si g est un second endomorphisme orthogonal de E, g f est un endomorphisme orthogonal de E. 4. Les seules valeurs propres (réelles!!) possibles de f sont 1 et 1. f est un endomorphisme orthogonal d un espace vectoriel euclidien E. f est un automorphisme de E et f 1 est un automorphisme orthogonal de E. f est un endomorphisme d un espace vectoriel euclidien E de de dimension n appartenant à N. Les assertions suivantes sont équivalentes. i) f est un endomorphisme orthogonal. ii) Il existe une base orthonormée de E qui se transforme par f en une base orthonormée de E. iii) Toute base orthonormée de E se transforme par f est une base orthonormée de E. f est un endomorphisme d un espace vectoriel euclidien E et A est la matrice de f dans une base orthonormée de E. f est un endomorphisme orthogonal si et seulement si A est une matrice orthogonale. On note B = (e 1,..., e n ) une base orthonormée de E et on considère un endomorphisme f orthogonal dont la matrice dans la base B est notée A. On pose A = (a i,j ) 1 i,j n. (i, j) [[1, n]], a i,j [ 1, 1] et i=1 j=1 a i,j n et n n i=1 j=1 a i,j n n. C 78 Racine carrée symétrique et positive (resp. définie positive) d une matrice symétrique et positive (resp. définie positive) de M n (R) Si S est une matrice symétrique de M n (R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp. strictement positives), il existe une matrice symétrique T de M n (R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp. strictement positives) et une seule telle que T = S. C 79 Matrice d un produit scalaire Soit B = (e 1, e,..., e n ) et B = (e 1, e,..., e n) deux bases d un espace vectoriel euclidien E. La matrice A = (< e i, e j >) de M n (R) est la matrice du produit scalaire <.,. >. Si x et y sont deux éléments de E de matrices X et Y dans B, < x, y >= t XAY. A est une matrice symétrique dont les valeurs propres sont strictement positives. Si A est la matrice de <.,. > dans B et si P est la matrice de passage de B à B : A = t P AP. Une matrice C de M n (R) est la matrice d un produit scalaire si et seulement si elle est symétrique à valeurs propres strictement positives. C 80 Caractérisation des projections orthogonales again. Soit p une projection (ou un projecteur) de E. Les assertions suivantes sont équivalentes. i) p est une projection orthogonale.

14 J.F.C. Eve p. 14 ii) x E, p(x) x. C 81 Base orthonormée de R n [X] déduite de la base canonique (1, X,..., X n ) de R n [X] par le procédé d orthonormalisation de Schmidt. n est un élément de N. <.,. > est un produit scalaire sur R n [X]. 1. a) Pour tout élément k de [[1, n]], il existe un polynôme normalisé (le coefficient du terme de plus haut degré est 1) P k et un seul appartenant à R k [X] et orthogonal à R k 1 [X].. On pose P 0 = 1. a) Pour tout élément k de [[0, n]], P k est de degré k. b) (P 0, P 1,..., P n ) est une base orthogonale de R n [X]. 3. On pose k [[0, n]], Q k = 1 P k P k. a) (Q 0, Q 1,..., Q n ) est une base orthonormée de R n [X]. b) Mieux, (Q 0, Q 1,..., Q n ) est la base orthonormée de R n [X] déduite de la base canonique (1, X,..., X n ) de R n [X] par le procédé d orthonormalisation de Schmidt. C 8 Réalisation de la distance d un vecteur à un sous-espace dans un espace préhilbertien E est un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de E. x est un élément de E et y un élément de F. 1. Il existe au plus un élément de y de F tel que : x y = Inf x z. z F. Soit y un élément de F. x y = Inf x z si et seulement si x y est orthogonale à F. z F C 83 Décomposition polaire d une matrice inversible de M n (R). A est une matrice quelconque de M n (R). 1. Il existe une matrice orthogonale U de M n (R) et une matrice symétrique S à valeurs propres positives ou nulles de M n (R) telles que A = US.. On suppose A inversible. Il existe une unique matrice orthogonale U de M n (R) et une unique matrice symétrique S à valeurs propres strictement positives de M n (R) telles que A = US. C est la décomposition polaire de A. C 84 Décomposition d Iwasawa d une matrice inversible de M n (R). A est une matrice inversible de M n (R). Il existe une matrice orthogonale Q de M n (R) et une matrice triangulaire supérieure R de M n (R) à coefficients diagonaux strictement positifs telles que A = QR. C 85 Décomposition de Cholesky d une matrice symétrique définie positive. A est une matrice symétrique de M n (R) dont les valeurs propres sont strictement positives (A est définie positive). Il existe une matrice R, de M n (R), triangulaire supérieure à diagonale strictement positive et une seule telle que A = t RR. C 86 Théorème de Courant-Fischer. A est une matrice symétrique de M n (R). (E 1, E,..., E n) est une base orthonormée de M n,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres λ 1, λ,..., λ n avec λ 1 λ λ n.

15 k est un élément de [[1, n]] et F k est l ensemble des sous-espaces vectoriels de M n,1 (R) de dimension k. t XAX Min Sup F F k X F t XX = λ k et Max F F n+1 k X 0 Inf X F X 0 t XAX t XX = λ k. J.F.C. Eve p. 15 C 87 Endomorphisme antisymétrique. (E, <, >) est un espace vectoriel euclidien de dimension non nulle n. f est un endomorphisme de E. B = (e 1, e,..., e n ) est une base orthonormée de E et A = (a ij ) est la matrice de f dans B. On dit que f est un endomorphisme antisymétrique si (x, y) E, < f(x), y >= < x, f(y) >. 1. a) f est antisymétrique si et seulement si (i, j) [[1, n]], < f(e i ), e j >= < e i, f(e j ) >. b) f est antisymétrique si et seulement si A est symétrique autrement dit si et seulement si t A = A.. f est antisymétrique si et seulement si x E, < x, f(x) >= 0. Dans la suite f est un endomorphisme antisymétrique de E. 3 a) Ker f = (Im f). b) Sp f {0} et Sp R (A) {0}. c) Sp C (A) ir. d) f f est un endomorphisme symétrique dont les valeurs propres sont négatives ou nulles. e) Si F est un sous-espace vectoriel stable par f, F est également stable par f. 4. Il existe une base orthonormé de E telle que la matrice de f dans cette base soit : 0 a 1 a (O) 0 a p a p 0 (O) à quelques abus près... C 88 Une caractérisation des normes euclidiennes Une norme sur un espace vectoriel réel est la norme d un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l identité du parallélogramme.