L usage de la calculatrice est autorisé.

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1 BREVET BLANC N 2 DE MATHEMATIQUES Avril 2014 Durée de l épreuve : 2 h L usage de la calculatrice est autorisé. La rédaction et la présentation seront prises en compte pour 4 points.

2 Exercice n 1 : vrai ou faux (6 pts) Quatre affirmations sont données ci-dessous :(1.5 = ) Affirmation n 1 : 2 + = faux car 2 + = + = = Affirmation n 2 : = 5 faux car = 4²+3² = 4+3 = 7 Affirmation n 3 :vrai = 25² = = = 7 3 Affirmation n 4 : 1! 2! ² = 3 +2 faux 1! 2! ² = ² 2 +2 ² = 3 +2 Pour chacune d entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. Exercice n 2 : respecter la posologie (4 pts) On peut lire au sujet d un médicament : «Chez les enfants (12 mois à 17 ans), la posologie doit être établie en fonction de la surface corporelle du patient (voir la formule de Mosteller).» «Une dose de 70mg par mètre carré (sans dépasser 70 mg par jour) devra être administrée.» Pour calculer la surface corporelle en m² on utilise la formule de Mosteller suivante : tailleen cm! masse(en kg) Surface corporelle en m² = " On considère les informations ci dessous : Patient Âge Taille Masse(kg) Dose administrée Lou 5 ans 1,05 17,5 50 mg Joé 15 ans 1, mg 1) La posologie a-t-elle été respectée pour Joé? Justifier la réponse. Il ne faut pas dépasser une dose de 70 mg par jour or la dose administrée à Joé est de 100 mg Conclusion la posologie n a pas été respectée pour Joé 2) Vérifier que la surface corporelle de Lou est environ de 0, 71 m. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation M L = " ,71 m² 3) La posologie a-t-elle été respectée pour Lou? Justifier la réponse La dose doit être de 70 mg par m². Pour Lou cela correspond à =49,7 mg. Conclusion la posologie a été respectée pour Lou

3 Exercice n 3 : utilisation d un tableur (5pts) La copie d écran ci dessous montre le travail qu a effectué Camille à l aide d un tableur à propos des fonctions g et h définies par : g(x) = 5x² + x 7 et h(x) = 2x 7 Formule rentrée en B2 = 5*B1*B1+ B1 7 A B C D E F 1 x g(x) = 5x² + x h(x) = 2x ) Donner un nombre qui a pour image 1 par la fonction g. Le nombre cherché est 1 '() 1 ( *+,)-.(/0 1 par g 2) Ecrire les calculs montrant que g( 2) = 11 g(-2)=5 2! 1 + 2! 7 = = 11 3) Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3? La formule B3=2*B1-7 4) a) Déduire du tableau une solution de l équation 5x² + x 7 = 2x 7 d après le tableau on déduit que la solution est x=0 b) Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur? oui 5x² + x 7 = 2x 7 cela veut dire que 5x²+x-7-2x+7=0 donc 5x²-x=0 = 0 5 1! = 0 2 +ù5 5 1 = = 0 6 donc il y a deux solutions = 8

4 Exercice 4 (7 points) Dans cet exercice, on considère le rectangle ABCD ci-contre tel que son périmètre soit égal à 32 cm. A B D C 1) a) Si ce rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur? 9( :()/0,) = : *é)-.è=)0! :(:+>/,0,) = = = 6'. 2 b) Proposer une autre longueur et trouver la largeur correspondante 9( :()/0,) = : *é)-.è=)0! :( :+>/,0,) c) Que peut-on dire du rectangle ABCD lorsque sa longueur vaut 8 cm? 9( :()/0,) = : *é)-.è=)0! :(:+>/,0,) = 32 8 = 16 8 = 8 2 Dans ce cas là ABCD est un carré de côté 8 cm d) On appelle x la longueur AB. En utilisant le fait que le périmètre de ABCD est de 32 cm, exprimer la longueur BC en fonction de = 32 2 = 16 e) En déduire l aire du rectangle ABCD en fonction de x Aire du rectangle ABCD = 16! = 16 ² = ²+16 2) On considère la fonction f définie par f (x) = x (16 x). a) Calculer f (4) B4! = ! = 4 12 = 48 '.² b) Vérifiez qu un antécédent de 55 est 5 Cherchons l antécédent de 55 c'est-à-dire il faut chercher x tel que f(x)=55 C'est-à-dire x²+16x=55 vérifiant que 5 est la solution ! = 5 11 = 55 2 C +ù:0 )éd,:=(= Donc l antécédent de 55 est 5par la fonction f. 3) Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l aire du rectangle ABCD en fonction de la valeur de x.

5 Aire de ABCD Valeur de x À l aide de ce graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées : a) Quelle est l aire du rectangle ABCD lorsque x vaut 10 cm?... Lorsque x= 10cm alors aire de ABCD est égale à 60 cm² b) Pour quelles valeurs de x obtient-on une aire égale à 55 cm 2? Pour x=5 où x= 11 c) Quelle est l aire maximale de ce rectangle? Pour quelle valeur de x est-elle obtenue? L aire maximale de ce rectangle est égale à 64 cm² pour x=8 cm. Exercice n 5 : La pirogue (4 pts)

6 Teva vient de construire lui-même sa pirogue Pour vérifier que les deux bras du balancier sont parallèles entre eux, il place sur ceux-ci deux bois rectilignes schématisés sur le dessin ci-dessus par les segments [OK] et [OL] avec I [OK] et J [OL]. La mesure des longueurs OI, OJ, OK et OL donne les résultats suivants : OI = 1,5 m OJ = 1,65 m OK = 2 m OL = 2,2 m. 1) Les deux bras sont-ils parallèles? Justifier la réponse. FG FH = 1,5 2 = 0,75 IJ =,8 IK 1,1 = 0,75 on peut conclure que FG FH = FL FM :0D*+>=D F,G,H D+>= (:-/>éd 2(>D :0.ê.0 +)2)0 O,0 :0D*+->=D F,L,M 7 6 d après la IP = IJ IQ IK réciproque du théorème de Thalès on déduit que les deux droites (IJ) et (KL) sont parallèles Conclusion les deux bras sont parallèles. 2) Pour vérifier que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier il mesure les longueurs AB, AC et CB et obtient : AB = 15 cm AC = 25 cm CB = 20 cm d) Peut-il affirmer que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier? Justifier la réponse. RA² = 25² = = 20²+15² = = 625 S+>' RA 1 1 +@R 1 2 (*)èd :( )é'-*)+o,0 2, =hé+)è.0 20 UV=h(/+)0,:0 =)-(>/:0 0D= )0'=(>/:0 Exercice 6 (4 points) Sur le schéma ci-dessous, la terrasse est représentée par le segment [DN] elle est horizontale et mesure 4 mètres de longueur. Elle est construite au-dessus d un terrain en pente qui est représenté par le segment [DP] de longueur 4,20 m. Pour cela, il a fallu construire un mur vertical représenté par le segment [NP]. 1. Quelle est la hauteur du mur? Justifier. Donner l arrondi au cm près. Le triangle DNP est rectangle en N donc d après le théorème de Pythagore

7 UW 1 +WS 1 = US 1 2+>' UW 1 = SU 1 SW 1 = 4, = 17,64 16 = 1,64 2+>' UW = 1,64 1,28 '. 2. Calculer l angle WSU X compris entre la terrasse et le terrain en pente. (donner l arrondi au degré près) Le triangle est rectangle en N. On peut utiliser le cosinus de l angle D donc cos(ywsu XZ = [\ = 2+>' WSU X = R)''+D^ _ 18 [],1,1 Exercice 7 (6 points) Des élèves participent à une course à pied. Avant l épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-contre. Les droites (AE) et (BD) se coupent en C Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. ABC est un triangle rectangle en A. Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE. AC=400 m CE= 1000 m R@A X = 53,1 Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Calcul de la longueur AB

8 Le triangle ABC est rectangle en A donc tan(r@a X)= ab bc Tan(53,1 )= ac ab Donc Calcul de la longueur BC R@ = RA tan 53,1! = '. tan 53,1! Le triangle ABC est rectangle en A d après le théorème de Pythagore BC²=AC²+AB²= 300²+400²= = = =500. A h@si g A h@si 6 2 C (*)éd:0 =hé+)è.0 20 lh(:éd +> A@ AS = AR Ak = R@ ks 2+>' R@!//kS! 500 AS = = 300 Sk Calcul de la longueur CD 500 AS = >' AS = = = 5000 = Calcul de la longueur DE = >' Sk = = Sk = = 750. Donc la longueur réelle du parcours ABCDE est égale =2800m