Les ensembles de nombres

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1 CHAPITE Les ensembles de nombres. Les nombres entiers N = { 0,, 2,, 4, 5,... } = ensemble des entiers naturels N = N \{ 0} = {,2,,4,5,... } = ensemble des entiers naturels non nuls Z = {... 5, 4,, 2,, 0,, 2,, 4, 5,... } = ensemble des entiers (relatifs) Z {} { } Z = { 0,, 2,, 4, 5,... } = ensemble des entiers relatifs positifs = Z \ 0 =... 5, 4,, 2,,, 2,, 4, 5,... = ensemble des entiers (relatifs) non nuls Z = { 0,, 2,, 4, 5,... } = ensemble des entiers relatifs négatifs Z { } =, 2,, 4, 5,... = ensemble des entiers relatifs strictement positifs { } Z =, 2,, 4, 5,... = ensemble des entiers relatifs strictement négatifs emarques. 0 est à la fois positif et négatif. C'est le seul nombre qui jouit de cette propriété. { 0} Les entiers (relatifs) sont munis du signe ou du signe. On a : Z Z = (.) Z Z = Z (.2) L'ensemble des entiers relatifs positifs est égal à l'ensemble des entiers naturels. Z = N (.) L'ensemble des entiers naturels est inclus dans l'ensemble des entiers : N Z (.4) On veillera à ne pas confondre les termes de chiffre et d'entier : seuls les dix entiers 0,,2,,4,5,6,7,8 et 9 sont appelés chiffres. 2 est donc un nombre entier, mais pas un chiffre. 2. Les nombres décimaux Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire à l'aide d'un nombre fini de chiffres derrière la virgule. Par exemple : 2,45 et 5,004 sont des nombres décimaux, mais / = 0,... n'est pas un nombre décimal car dans son développement décimal il y a une infinité de chiffres derrière la virgule. Pour comprendre la définition mathématique exacte de l'ensemble des nombres décimaux, remarquons que : 2, = = et 5,004= = 2 D= / n Z, m N est l'ensemble des nombres décimaux 0 m

2 D = D\ {} 0 = / n Z, m N est l'ensemble des nombres décimaux non nuls 0 m D = / n, m est l'ensemble des nombres décimaux positifs N N 0 m D = / n, m est l'ensemble des nombres décimaux négatifs Z N 0 m = 0,25= = D = = D = = D 0 0 emarques. Le dernier exemple ci-dessus est important car il montre que tout entier est aussi un nombre décimal. En effet, si a Z alors : a a a= = D 0 0 car le numérateur a Z et le dénominateur est Donc : 0 0 avec l'exposant 0 N. Z D (.5) Un nombre décimal peut toujours s'écrire avec un nombre fini de chiffres non nuls derrière la virgule.. Les nombres rationnels On a vu que / n'est pas un nombre décimal puisque dans son développement décimal, il y a une infinité de chiffres derrière la virgule. On va donc agrandir l'ensemble des nombres rencontrés jusqu'à présent par les nombres rationnels (du latin : ratio = fraction). Chaque nombre rationnel peut s'écrire sous forme d'une fraction à numérateur et dénominateur entiers. / est donc un nombre rationnel. a Q= a Z b Z b /, est l'ensemble des nombres rationnels Q, Q, Q 2 6,2= = Q ,75= = Q

3 emarques. Les deux derniers exemples montrent que tout décimal est aussi un nombre rationnel. En effet, si n x D, alors on sait que x peut s'écrire sous la forme x= avec n Z et 0 m N ; donc x 0 m peut être représenté par une fraction à numérateur et dénominateur entiers, i.e. x Q. Donc : D Q (.6) Tout nombre rationnel peut être écrit soit sous forme d'une fraction (forme fractionnaire) soit sous forme d'un développement décimal, par exemple : est une fraction et 0,25 est son développement décimal. 4 5 est une fraction et 0,555 est son développement décimal. 9 Attention : Tous les nombres rationnels admettent un développement décimal, mais ce ne sont pas tous des nombres décimaux. Par exemple : est un nombre décimal mais 5 n'est pas un 4 9 nombre décimal. appelez pourquoi? Tout nombre rationnel admet une infinité de représentants, par exemple : = 2 = = sont tous des représentants du même nombre rationnel. Le représentant privilégié est la fraction car elle est irréductible. appelons qu'une fraction a b avec a Z et b Z est irréductible si et seulement si a et b n'ont pas de diviseur commun (sauf ), i.e. pgcd ( ab, ) =. Considérons maintenant le développement décimal de quelques nombre rationnels : 0,... 0, 9 = = 0, ,6 6 = = 0, , = = 0, ,88 0 = = On observe dans tous les développements décimaux des suites de chiffres qui se répètent indéfiniment. Ce phénomène est général pour les nombres rationnels, comme l'affirme le théorème suivant : Théorème. Dans le développement décimal de tout nombre rationnel il y a une suite de chiffres qui se répète indéfiniment, appelée période de ce nombre rationnel. Démonstration. Admise..

4 La période de est, celle de 6 est 6, celle de 7 est etc. Quelle est la période de 4? Quelle est la période d'un nombre décimal? 4. Les nombres réels Il est facile d'inventer des nombres non rationnels, i.e. des nombres dont le développement décimal n'est pas périodique. x=, y= 0, (nombre de Champernowne) On dit que ces nombres sont irrationnels. Il existe encore beaucoup d'autres nombres irrationnels comme par exemple : π=, , 2=, , e= 2, (nombre de Napier) En fait, on peut démontrer qu'il existe une infinité de nombres irrationnels. Les nombres rationnels, ensemble avec les nombres irrationnels forment l'ensemble de tous les nombres, appelés nombres réels. etenons : = ensemble de tous les nombres = ensemble des nombres réels = ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels I = = ensemble des nombres réels non nuls = ensemble des nombres réels positifs = ensemble des nombres réels négatifs ensemble des nombres irrationnels Comme est l'ensemble de tous les nombres, il est évident que : Plus précisément : ésumons finalement les relations (.4) à (.7) : Q et I (.7) Q I= et Q I = (.8) N Z D Q (.9).4

5 Voici un diagramme de Venn avec tous les ensembles de nombres : D Q I N Z.5