Diplôme National du Brevet Brevet Blanc n 2

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1 Mai 2010 Diplôme National du Brevet Brevet Blanc n 2 MATHÉMATIQUES Correction Exercice 1 : On donne le programme de calcul suivant : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Choisir un nombre ; Lui ajouter 3 ; Multiplier cette somme par 4 ; Enlever 12 au résultat obtenu. 1. Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat = 5 ; 5 4 = 20 ; = 8 2. Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : a. Le nombre choisi est = = 10 3 ; = 40 3 ; = = 4 3 donc lorsque le nombre choisi est 1 3, le résultat est 4 3. b. Le nombre choisi est ; ( ) 4 = ; = 4 5 donc lorsque le nombre choisi est 5, le résultat obtenu est a. A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final? En multipliant le résultat par 4 b. Démontrer votre réponse. En effet, si le nombre choisi est x : Première étape : x + 3 Deuxième étape : ( x + 3 ) 4 = 4x + 12 Troisième étape : 4x = 4x ce qui revient à multiplier le nombre de départ par 4. Exercice 2 : Dans une urne, on a treize boules indiscernables au toucher portant les lettres du mot : MATHEMATIQUES. On tire au hasard une boule dans cette urne et on regarde la lettre inscrite sur la boule. 1. Quels sont les neuf résultats possibles à l issue d un tirage? L ensemble des résultats possibles est { M ; A ; T ; H ; E ; I ; Q ; U ; S } 2. Déterminer les probabilités suivantes : Brevet Blanc n 2 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 1/6

2 a. la lettre tirée est un R. L événement «la lettre tirée est un R» est l événement impossible donc p(«la lettre tirée est un R») = 0. b. la lettre tirée est un M. Deux boules portent la lettre M sur treize lettres au total donc p(«la lettre tirée est un M») = 2 13 c. la lettre tirée n est pas un M. L événement «la lettre tirée n est pas un M» est l événement contraire de l événement «la lettre tirée est un M» donc p(«la lettre tirée n est pas un M») = = Julie affirme qu elle a plus de chance d obtenir une voyelle qu une consonne à l issue d un tirage. A-t-elle raison? Justifier votre réponse. Il y a 7 consonnes et 6 voyelles donc la probabilité d obtenir une consonne est supérieure à celle d obtenir une voyelle. Julie a donc tort. Exercice 3 : Le graphique ci-dessus représente la courbe (C ) d une fonction g. L image de 1 par la fonction g est 4 Les antécédents de 0 par la fonction g sont 1 et 3. g(2) = 3 Les nombres qui ont pour image 3 par la fonction g sont 0 et 2. Brevet Blanc n 2 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 2/6

3 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points) Exercice 1 : Exercice 2 : Brevet Blanc n 2 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 3/6

4 1. Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la droite (OC) or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles donc (AB) // ( CD) 2. Calculer la hauteur CD de l éolienne. Justifier. Les droites (OD) et (OC) sont sécantes en O. Les points O, B, D d une part et O, A, C d autre part sont alignés dans le même ordre. De plus, ( AB)//(CD) donc d après le théorème de Thalès, OA OC = OB OD = AB avec OA = 11 ; OC = OA + AC = = 605 ; AB = 1,5 CD d où = OB OD = 1,5 CD soit CD = 1, = 82,5 donc l éolienne mesure 82,5 m Exercice 3 : Un parc de jeu à une forme triangulaire. Il est représenté sur la figure ci-contre où les dimensions ne sont pas respectées. Les dimensions réelles de ce terrain sont : DE = 12 m, EF = 9 m, DF = 15 m. 1 On veut construire ce triangle à l échelle Compléter dans l annexe le tableau reproduit ci-dessus. DE EF DF Dimensions réelles 12 m 9 m 15 m Dimensions du dessin 6 cm 4,5 cm 7,5 cm 2. Figure 3. Montrer que ce terrain possède un angle droit. Dans le triangle DEF, DF est le plus grand côté. DE 2 + EF 2 = = = 225 DF 2 = 15 2 = 225 donc DE2 + EF 2 = DF 2 ainsi d après la réciproque du théorème de Pythagore, DEF est rectangle en E. Ce terrain possède donc un angle droit en E. DE EF 4. Calculer l aire réelle de ce parc. Aire( DEF ) = = 12 9 = 54 m Brevet Blanc n 2 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 4/6

5 PROBLÈME (12 points) Première partie En une semaine, Nicolas le chocolatier, a vendu toutes ses boîtes. Voici la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine. 1. Représenter la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine à l aide d un diagramme en bâtons lundi mardi mercredi jeudi vendredi samedi dimanche 2. Quel est le nombre total de boîtes vendues durant la semaine? = 315 donc 315 boîtes ont été vendues durant la semaine. 3. Calculer le pourcentage de boîtes vendues durant le week-end (samedi et dimanche). Arrondir le résultat à l unité = 95 donc 95 boîtes ont été vendues le week-end soit 95 0,30 soit 30% des boîtes Calculer le nombre moyen de boîtes vendues par jour. x = = 45 donc le chocolatier a vendu en moyenne 45 boîtes par jour. Deuxième partie Le chocolatier a vendu 315 boîtes dans la semaine. Chaque boîte contient 19 chocolats. Une boîte vide coûte 3. En supposant qu un chocolat coûte 0, Calculer le prix d une boîte de chocolats? 19 0, = 14,4 donc une boîte coûte 14,4 2. En déduire combien rapporte la vente des 315 boîtes durant la semaine? La vente des 315 boîtes rapporte ,4 = Quel devrait être le prix d un chocolat si le chocolatier voulait vendre sa boîte 18,20? Soit x le prix d un chocolat. Une boîte coûte alors 19x + 3 euros. On résout donc l équation 19x + 3 = 18,20 19x = 18, x = 15,20 x = 15,20 19 x = 0,8 Le prix d un chocolat doit donc être 0,80. Brevet Blanc n 2 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 5/6

6 Troisième partie Un chocolatier dispose de bonbons au chocolat blanc et de bonbons au chocolat noir. Afin de préparer les fêtes de fin d année, il veut répartir ses chocolats dans des boîtes de la manière suivante : tous les chocolats doivent être utilisés toutes les boîtes doivent avoir la même composition. De plus il veut réaliser le plus grand nombre de boîtes possible. Combien pourra-t-il faire de boîtes? Justifier votre réponse. 1. Justifier que le plus grand diviseur commun ( pgcd ) de et est 315. Appliquons l algorithme d Euclide : a b r = = = Le dernier reste non nul est 315 donc pgcd( 4410 ; 1575 ) = Combien pourra-t-il faire de boîtes? Justifier votre réponse. Le nombre de boîtes doit être un diviseur du nombre de bonbons au chocolat blanc et du nombre de bonbons au chocolat noir. Comme le chocolatier veut réaliser le plus grand nombre de boîtes possible, ce diviseur doit être le plus grand possible, c'est-à-dire pgcd( 4410 ; 1575 ). Par conséquent, le chocolatier pourra réaliser 315 boîtes. 3. Dans chaque boîte, combien y aura-t-il de chocolats blancs et de chocolats noirs? Justifier = 5 et 4410 = 14 donc il y aura 5 chocolats blancs et 14 chocolats noirs par boîte Brevet Blanc n 2 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 6/6