Unité 8 La surface et le volume

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1 Unité 8 La surface et le volume Classification des solides Un solide est une figure géométrique à trois dimensions délimitée par des surfaces planes ou courbes. Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones (surfaces plates). Un corps rond est un solide qui est composé d'un moins une surface courbe.

2 Le cube Le cube est un solide (aussi appelé prisme ou hexaèdre régulier) dont tous les côtés sont égaux. Il est composé de 6 figures planes : des carrés. Il possède 12 arêtes et 8 sommets. Le cube est uniquement composé d angles droits. Puisqu il s agit d un solide, les dimensions du cube sont représentées par une longueur, une largeur et une profondeur. Ces dernières sont toutes égales. Voici le développement du cube : Les prismes Les prismes sont des polyèdres composés de 2 bases parallèles et congrues. Les faces latérales sont formées par des parallélogrammes (ce qui inclut des rectangles, des carrés et des losanges) reliés aux bases. On nomme un prisme en fonction du polygone qui lui sert de base. Ainsi: Le prisme de gauche se nomme prisme pentagonal (puisque ses bases sont des pentagones). Le prisme du milieu se nomme prisme rectangulaire ou pavé (puisque ses bases sont des rectangles). Le prisme de droite se nomme prisme hexagonal (puisque ses bases sont des hexagones).

3 Les attributs des prismes Un prisme est composé de divers attributs. Il a les bases, les sommets, les faces latérales et les arêtes.

4 Les prismes droits Les bases peuvent être : des carrés, des rectangles, des triangles, des parallélogrammes. Base carrée Base rectangulaire Base parallélogramme Les pyramides Les pyramides sont des polyèdres composés d'une seule base et d un sommet nommé apex. Les sommets de la base sont tous reliés par des arêtes au sommet (apex). Les faces latérales sont formées par des triangles reliant la base au sommet.

5 On nomme la pyramide en fonction du polygone formant sa base : Les pyramides Une pyramide est un solide constituée d un polygone, régulier ou non, la base, relié à un point appelé sommet ou apex. Le polygone de base peut être un triangle, un carré, un rectangle, un hexagone Base hexagonale Base rectangulaire Base triangulaire REMARQUE :Pour une pyramide triangulaire chaque face peut servir de base, avec le sommet opposé pour apex.

6 Les attributs des pyramides Il n'y a plus que 5 polygones réguliers. Ces 5 solides sont : le tétraèdre avec 4 faces qui sont des triangles, le cube (ou hexaèdre) avec 6 faces qui sont des carrés, l'octaèdre avec 8 faces qui sont des triangles, le dodécaèdre avec 12 faces qui sont des pentagones, l'icosaèdre avec 20 faces qui sont des triangles.

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8 Le tétraèdre (Pyramide à base triangulaire formée de 4 triangles équilatéraux isométriques) Le cube (formé de 6 carrés isométriques) L'octaèdre (formé de 8 triangles équilatéraux isométriques) Le dodécaèdre (formé de 12 pentagones réguliers isométriques) L'icosaèdre (formés de 20 triangles équilatéraux isométriques)

9 Quelques exemples de polyèdres Nom Vue en 3 dimensions développement Prisme à base triangulaire Prisme à base pentagonale Prisme à base hexagonale

10 Pyramide à base carrée Objets à 3 dimensions (différents points de vue) Vue latérale (vue de côté) Vue de devant Vue de derrière Vue de dessus Vue de dessous

11 La surface (aire totale) des prismes Peu importe le polygone qui forme les bases du prisme, la méthode pour calculer l'aire totale d'un prisme reste la même. Aire totale d'un prisme = Aire latérale + Aire des 2 bases L'aire latérale d'un prisme est la somme de l'aire de chacun des rectangles qui relient les 2 bases ensemble. L'aire des bases est l'aire des 2 polygones identiques du prisme. Pour calculer cette dernière, tu devras utiliser la formule de l'aire appropriée à la forme du polygone (triangle, quadrilatère, polygone régulier). Trouvons l'aire d'un prisme à base triangulaire. Notons que la base est un triangle équilatéral. Pour trouver l'aire totale, nous devons trouver l'aire des bases et ensuite l'aire latérale du prisme. Aire des bases Pour trouver l'aire d'un triangle, il nous faut appliquer cette formule. Aire du triangle = b h 2 Aire du triangle = 3cm 4cm 2 = 6 cm² Mais, comme le prisme possède 2 bases, il faut multiplier cette aire par 2, ce qui nous donne 12 cm² pour l'aire des bases.

12 Aire latérale Pour ce qui est de l'aire latérale,on peut calculer l'aire de chacun des rectangles qui relient les bases et les additionner. Dans le cas ici, la base est 3 cm et la hauteur est de 7 cm. On trouve donc que l'aire latérale est de: 3 cm x 7 cm = 21cm². On doit multiplier par 3 parce que nous avons 3 rectangles. Aire totale Aire des bases + Aire latérale = 12 cm² + 63 cm² = 75 cm² Calculer l aire totale d un prisme à base carrée de 3 cm de côté et de 10 cm de hauteur. RÉPONSE L aire des bases: les bases sont des carrés. L aire de chacun est donnée par 3 x 3 A bases = 3 x x 3 (2 bases) = 18 cm² L aire latérale: les côtés sont des rectangles. L aire de chacun est donnée est par 10 x 3 A latérale = 10 x x x x 3 (4 faces latérales) = 120 cm² Enfin, l aire totale est donnée par la somme des aires partielles: A totale = A bases + A latérale A totale = 18 cm² cm² A totale = 138 cm²

13 Calculer l aire totale d un prisme à base hexagonale régulier de 3 cm de côté, de 4 cm d apothème et de 8 cm de hauteur. RÉPONSE L aire des bases : les bases sont des hexagones. L aire d un hexagone est donnée par la formule générale de l aire des polygones : Longueur d un côté x apothème x nombre de côtés 2 A bases = 2 x (3 x 4 x 6 / 2) = 72 cm² L aire latérale : les côtés sont des rectangles. A latérale = 6x (3 x 8) = 144 cm² Enfin, l aire totale est donnée par la somme des aires partielles : A totale = A bases + A latérale A totale = 72 cm² ²cm A totale = 216 cm²

14 La surface (aire totale) des pyramides Lorsqu on calcule l aire d une pyramide, on calcule la surface occupée par les différentes formes qui composent la pyramide. L aire totale est l aire des faces latérales et de la base. On peut donc utiliser la décomposition de la pyramide pour voir ces différentes aires. On peut utiliser une formule pour calculer chacune des aires. Aire totale = Aire latérale + Aire de la base Calculer l'aire de la pyramide à base hexagonale suivante.

15 Aire de la base Afin de trouver l'aire de la base, nous devons utiliser la formule de l'aire de polygones réguliers. Abase= c a n 2 = 5cm 3,5 cm 6 2 = 52,5 cm² Aire latérale Aire latérale =Périmètre de la base Apothème de la pyramide 2= (6 5cm) 7 cm 2 = 105 cm² Aire totale Aire totale = Aire de la base + Aire latérale = 52,5cm² + 105cm² = 157,5cm² QUESTION Calculer l aire de la pyramide à base carrée de 5 cm d apothème et de 4 cm de côté. RÉPONSE L aire de la base : la base est un carré. L aire est donnée par 4 cm 4 cm A base = 16 cm 2 L aire latérale : les côtés sont des triangles. L aire est donnée par Périmètre de la base x Apothème 2 A latérale = ( ) 5) 2 = 16 x 5 2 = 40 cm 2 Enfin, l aire totale est donnée par la somme des aires partielles : A totale = A base + A latérale A totale = 16 cm cm 2 A totale = La réponse finale est 56 cm 2

16 La surface des cylindres Le cylindre est composé de 2 bases qui sont des cercles. On utilise un rectangle pour entourer ces deux cercles. Les cercles sont appelés «bases» et le rectangle est ce qu on appelle la «face latérale». L aire latérale représente l aire de la face latérale (du côté) du cylindre. L aire totale représente l aire de toutes les faces du cylindre. En d autres mots, c est l aire latérale additionnée à l aire des bases. Étape 1 : On décompose la figure en 2 dimensions Étape 2 : On calcule l aire des figures dont on a besoin. On calcule l aire du rectangle pour l aire latérale. On calcule l aire de tous les cercles et du rectangle pour déterminer l aire totale.

17 Il existe une formule pour calculer l aire latérale et une autre formule qui nous permet de calculer l aire totale d un cylindre. Airelatérale = π x d h Aire de la base = π x r x r x 2 (parce qu il y a 2 cercles) Aire totale = Airelatérale + Aire de la base Trouver l'aire totale du cylindre suivant. Aire de la base Airecercle=π x r x r x 2 =3,14 x 4cm x 4cm x 2 =100,48 cm² Aire latérale Aire latérale =π x d h= 3,14 x 8cm x 8cm = 200,96 cm² Aire totale Aire totale = Aire latérale + Aire des bases Aire totale = 200,96 cm² + 100,48 cm² = 301,44 cm²

18 Le volume des prismes Le volume de n'importe quel prisme peut être calculé à partir de la formule suivante. Volume = Aire de la base x Hauteur du prisme V = Ab h Calculer le volume d un prisme à base carrée de 3 cm de côté et de 10 cm de hauteur. Calculer le volume du prisme rectangulaire suivant.

19 Calculer le volume d un prisme à base hexagonale régulier de 3 cm de côté, de 4 cm d apothème et de 8 cm de hauteur. Calculer le volume du prisme triangulaire suivant.

20 Calcul du volume des cylindres Pour calculer le volume d'un cylindre, on utilise la formule suivante: Volume = Aire de la base x hauteur du solide Volume =Aire base hauteur = π x r² h Trouver le volumedes cylindres suivants.

21 Les unités de volume de liquide et leur conversion Les unités Dans le cas du volume d un liquide, on se sert généralement des unités de mesure suivantes: millilitre, centilitre, décilitre, litre, décalitre, hectolitre ou kilolitre. La conversion des liquides Il existe deux méthodes pour convertir des mesures: utiliser la multiplication et la division ou utiliser un tableau. De cl vers ml, on doit multiplier par 10. À l inverse, de ml vers cl, on doit diviser par 10. Plus généralement, quand on se déplace vers des unités vers la droite, on multiplie par 10 pour chaque bond. Alors que quand on se déplace vers des unités vers la gauche, on divise par 10 pour chaque bond.

22 Millilitres 10 = centilitres (exemple : 10 ml = 1 cl) Millilitres 100 = décilitre (exemple : 100 ml = 1 dl) Millilitres = litres (exemple : ml = 1 L) Millilitres = kilolitres (exemple : ml = 1 kl) On peut aussi utiliser un tableau pour faire les conversions. Si on veut convertir 34 litres en centilitres, on place le chiffre à la position de l unité dans la colonne des litres. Dans cet exemple, on place donc le 4 dans la colonne des litres et le 3, dans la colonne des décalitres. Ensuite, il ne reste plus qu à mettre des 0 dans chaque colonne jusqu à la colonne des centilitres. On obtient donc cl. **On doit toujours mettre un chiffre dans chaque case avant de changer de colonne. On veut convertir 7 centilitres en litres. On place donc le chiffre 7 dans la colonne des centilitres (unité de mesure de départ). On ajoute ensuite un 0 dans chaque colonne jusqu à la colonne des litres (unité de mesure demandée). On rajoute finalement une virgule dans la colonne des litres. On obtient ainsi 0,07 L.

23 La conversion des volumes solides en volumes liquides Il est possible de transformer les volumes solides en volumes liquides. Pour cela, on doit retenir quelques relations importantes: 1 cm³ =1 ml 1000 cm³ = 1 dm³ = ml = 1 L cm³ = 1 m³ = ml = 1000 L = 1 kl

24 100 cm Volume = cm³ = 1000 Litres = 1 Kilolitre 100 cm 100 cm La masse comme unité de mesure L unité de mesure des masses est le gramme, ses multiples et ses sous-multiples. 1 g = 10 dg 1 g = 100 cg 1 g = 1000 mg 1 dag = 10 g 1 hg = 100g 1 kg = 1000g 1 quintal= 100kg 1 tonne = 1000kg

25 Convertir un volume en capacité (liquide) ou masse (solide) Volume Capacité Masse 1 cm³ 1 ml 1 g cm³ ml ou 1 L g ou 1 kg cm³ ou 1 m³ ml ou L ou 1 kl g ou kg ou 1 t