Des clés pour démontrer :

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1 es clés pour démontrer : I- omment démontrer que trois points sont alignés. hypothèses Un angle plat. Soit : = 180 () (d ) ; ( ) // d Si l angle est plat, alors les trois points, et sont alignés Par un point ne passe qu une parallèle à une même droite. cl : ; et alignés J utilise ( ) d ; ( ) d Par un point, il ne passe qu une perpendiculaire à une même droite. cl : ; et alignés Utiliser une transformation : symétrie axiale, symétrie centrale. La symétrie conserve les alignements, les mesures d'angles, d'aires, les longueurs. II - omment démontrer que des points appartiennent à un même cercle ou sont cocycliques O = O = O éfinition d un cercle : es points équidistants d un point appartiennent à un même cercle Le cercle est circonscrit au triangle rectangle en. Si un cercle est circonscrit à un triangle rectangle, alors le centre de ce cercle est le milieu de l hypothénuse. III - omment démontrer que 3 droites sont concourantes Soit un triangle avec 2 hauteurs ou 2 médiatrices ou 2 médianes ou 2 bissectrices Utiliser des droites remarquables Les médiatrices, médianes, hauteurs,et bissectrices sont concourantes en un point appelé O centre du cercle G centre de gravité H orthocentre O centre du cercle circonscrit inscrit

2 es clés pour démontrer : (1) // (2) (2) // (3) ( 3) (1) (3) (2) IV - omment démontrer que deux droites sont parallèles -Si deux droites sont // à une même 3 ème, alors ces deux droites sont //. (1//3) Si deux droites sont perpendiculaires à une même 3 ème, alors ces deux droites sont //. (d) sécante à (1) et (2) 2 angles égaux, soit : - alternes-internes : 4ˆ = 6ˆ - alternes-externes : 8ˆ = 2ˆ -correspondants : 1ˆ = 5ˆ parallélogramme Triangle I milieu de [] J milieu de [] Si deux droites forment avec une sécante des angles correspondants, alternes-internes, alternes-externes égaux, alors ces droites sont parallèles.- cl : (d) // (d ) éfinition : un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux. Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu de 2 côtés, alors elle est parallèle au 3 ème côté. Réciproque du théorème de Thalés : Soient M () et N () : M N Si = ' alors les droites (MN) et () sont parallèles. M = k k ' (1)//(2) (1) (3) N = et k=k' V - omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires Si deux droites sont //, alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. (d) médiatrice de [] Triangle isocèle en (d) médiane ou bissectrice issue de est un rectangle est un losange sur le cercle, d est tangente au cercle en H orthocentre du triangle éfinition: la médiatrice d'un segment est une droite le coupant perpendiculairement en son milieu. ans un triangle isocèle, la médiane relative à la base ( ou la bissectrice de l angle au sommet) est aussi hauteur. éfinition: un quadrilatère ayant trois angles droits est un rectangle. Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. éfinition: une tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon en ce point. onclusion: (d) est perpendiculaire à (O) ans un triangle, les hauteurs sont concourantes en un point appelé l'orthocentre.

3 es clés pour démontrer : VI - omment démontrer qu un triangle est équilatéral == ˆ = ˆ = ˆ = 60 est isocèle en, et possède un angle de 60 Le centre de gravité, l orthocentre, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit à ce triangle sont confondus. éfinition : un triangle équilatéral est un triangle ayant ses trois côtés de même longueur Si un triangle a trois angles de 60, alors il est équilatéral. Un triangle isocèle ayant un angle de 60 est équilatéral. ans un triangle équilatéral, les médiatrices, bissectrices, hauteurs et médianes sont confondues. Ĉ+ =90 ou : Â=90 VII - omment démontrer qu un triangle est rectangle : est le + grand côté ²=k=²+² O = O = O Si un triangle a 1 angle droit ou 2 angles complémentaires, alors il est rectangle. Réciproque du Th de Pythagore :Si :le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés,, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté en est l hypoténuse. éf : démontrer l'existence de la médiane avec la définition propriété : si la médiane relative au plus grand côté mesure la moitié de celui-ci, alors ce triangle est rectangle d'hypoténuse ce côté. est nscrit dans un cercle tel que soit le diamètre de ce cercle. Si un cercle est circonscrit à un triangle dont un côté est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre en est l hypoténuse. VIII - omment démontrer qu un triangle est isocèle : ans : = eux angles à la base de même mesure. définition : un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur. éfinition : Un triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle. IX - omment démontrer qu une droite est la médiatrice d un segment (d) () I milieu de [] I () éfinition : La médiatrice d un segment est la droite coupant perpendiculairement ce segment en son milieu. ' ' ', et symétriques de, et par rapport à (d) M = M N = N Par construction de la symétrie axiale, (d) est médiatrice de [ ], [ ] et [ ]. propriété d une médiatrice :si un point est équidistant des extrémités d un segment, alos il appartient à la médiatrice de ce segment. cl : (MN) médiatrice de []

4 es clés pour démontrer : X - omment démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme () // ( ) () // () () // () = éfinition : un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux. Si un quadrilatère a 2 côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. O milieu de [] O milieu de [] O Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme. = Â = Â Si un quadrilatère a ses angles opposés égaux 2 à 2, alors c est un parallélogramme. XI - omment démontrer qu un quadrilatère est un rectangle éfinition : Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle. parallélogramme Si un parallélogramme a 1 angle droit, alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c est un rectangle. XII - omment démontrer qu un quadrilatère est un losange quadrilatère === définition : Un quadrilatère ayant 4 côtés de même longueur est un losange. parallélogramme = Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un losange. parallélogramme () () Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors ce parallélogramme est un losange.

5 es clés pour démontrer : XII - omment démontrer qu un parallélogramme est un carré Un carré est à la fois losange et rectangle Il faut démontrer que le quadrilatère est un rectangle, puis un losange. XIII - omment démontrer qu un point est milieu d un segment symétrique de par rapport à O (d) médiatrice de [] parallélogramme isocèle en (d) bissectrice ou hauteur Si est le symétrique de par rapport à O, alors O est le milieu du segment []. éfinition : la médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu SI un triangle est isocèle, alors la bissectrice ou hauteur issue du sommet principal est aussi médiatrice et médiane. ercle de centre O rectangle en G centre de gravité du triangle ; I milieu de [] J () (IJ) // () Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse. ans un triangle, les médianes ont concourantes en un point, appelé le centre de gravité de ce triangle. cl : ' milieu de [] Si dans un triangle, une droite passe par le milieu d un segment et est parallèle au 3 ème côté, alors elle coupe le 2 ème côté en son milieu. alculer leur longueur : alculer la longueur de deux segments en utilisant le théorème de Pythagore ou le théorème de Thalés. Utiliser un losange :Les côtés d un losange sont tous de même longueur. Utiliser une médiatrice : SI un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de celui-ci. XIV - omment démontrer que deux segments ont même longueur Utiliser un milieu Utiliser un cercle : Utiliser un rectangle : eux points appartenant à un même cercle Les diagonales d un rectangle sont équidistants du centre de ce cercle. ont même longueur. Utiliser un triangle isocèle : Les côtés d un triangle isocèle sont de même longueur. utiliser une bissectrice : Si un n point appartient à la bissectrice d un angle alors il est équidistant des côtés de l angle. ; Utiliser un parallélogramme : si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés sont de même longueur 2 à 2.

6 es clés pour démontrer : Utiliser une transformation : Si un segment est image d un segment par une symétrie, translation ou rotation, alors : = Utiliser un triangle rectangle : Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse. omment démontrer que deux angles ont même mesure la mesure de deux angles d un triangle la somme des angles d un triangle est égale à 180. La bissectrice d'un angle coupe celui-ci en deux angles adjacents de même mesure. Un triangle isocèle Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont de même mesure. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont même mesure. 2 angles opposés par le sommet sont égaux. (d) // (d ) 2 angles alternes-internes, alternes-externes ou correposndants. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles, alors les angles alternes-internes formés ( ou alternesexternes ou correspondants) sont de même mesure. L'angle  ' ' ' est le symétrique de  La symétrie conserve les mesures d'angles, les alignements, les surfaces et les longueurs. M2 M1 O eux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle sont égaux. cl : M 1 = M 2 Si un angle au centre et un angle inscrit intercepte le même arc de cercle, alors l angle au centre mesure le double de l angle inscrit. ercle de centre O passant par et Les angles M1 et M2 sont inscrits dans le cercle et interceptent le même arc de cercle.. ÂO angle au centre, intercepte. cl : O=2 M 1