Droites remarquables d un triangle

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1 Droites remarquables d un triangle 1. Médiatrices d un triangle 1.1. Médiatrice d un segment Définition La médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment. (D) est la médiatrice du segment []. (D) aractérisation de la médiatrice Si un point appartient à la médiatrice d un segment alors il est équidistant des extrémités du segment. Si un point est équidistant des extrémités d un segment alors il appartient à la médiatrice du segment. onclusion : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment onstruction de la médiatrice d un segment en utilisant le compas et la règle non graduée On ouvre le compas à une ouverture supérieure à la distance. On pique le compas en et on trace deux arcs de cercle de part et d autre du segment []. On pique le compas en et on trace deux arcs de cercle de part et d autre du segment []. La médiatrice du segment [] passe par les deux points formés par l intersection des arcs de cercle précédents.

2 (D) 1.2. ercle circonscrit à un triangle Les médiatrices des trois côtés d un triangle se coupent en un même point appelé centre du cercle circonscrit au triangle (cercle passant par les trois sommets du triangle). La démonstration de cette propriété est traitée dans l exercice 3. Dans le cas d un triangle qui a ses trois angles aigus, le centre du cercle circonscrit se trouve à l intérieur du triangle. O O est le centre du cercle circonscrit au triangle. Dans le cas d un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse.

3 O Dans le cas d un triangle qui possède un angle obtus, le centre du cercle circonscrit se trouve à l extérieur du triangle. O 2. auteurs d un triangle 2.1. Définition La hauteur issue d un sommet d un triangle est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

4 La droite perpendiculaire à () et passant par s appelle la hauteur issue de ou relative à []. Le point, intersection de la hauteur issue de et de la droite (), est appelé pied de la hauteur issue de Orthocentre d un triangle Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. La démonstration de cette propriété est traitée dans l exercice 4. Dans le cas d un triangle qui a ses trois angles aigus, l orthocentre se trouve à l intérieur du triangle. est l orthocentre du triangle.

5 Dans le cas d un triangle rectangle, l orthocentre est le sommet qui contient l angle droit. Dans le cas d un triangle qui possède un angle obtus, l orthocentre se trouve à l extérieur du triangle. 3. Médianes d un triangle 3.1. Définition Une médiane d un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet entre de gravité d un triangle Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Le centre de gravité est situé aux deux tiers de la longueur de chaque segment joignant un sommet du triangle au milieu du côté opposé à ce sommet.

6 G K J 2 G = J 3 2 G = K 3 2 G = 3 G est le centre de gravité du triangle. La démonstration de cette propriété est traitée dans l exercice issectrices d un triangle 4.1. Définition La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. x y

7 4.2. aractérisation de la bissectrice d un angle Si un point est situé sur la bissectrice d un angle, alors il est équidistant des côtés de l angle. M N x E y E appartient à la bissectrice de l angle α xy donc EM = EN. Si un point est équidistant des côtés d un angle, alors il est situé sur la bissectrice de cet angle M N x E y EM = EN donc E appartient à la bissectrice de l angle α xy onstruction de la bissectrice d un angle en utilisant un compas et une règle non graduée J K

8 On pique le compas en et on trace un arc de cercle coupant chaque côté de l angle en deux points et J. On pique le compas en et on trace un arc de cercle puis on pique le compas en J et on trace un autre arc de cercle. Les deux arcs de cercles se coupent en K. La bissectrice de l angle est la demi-droite [K) entre du cercle inscrit dans un triangle Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit au triangle. e cercle est tangent aux trois côtés du triangle. est le centre du cercle inscrit dans le triangle. La démonstration de cette propriété est traitée dans l exercice 6.

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