Champ et potentiel-vecteur magnétostatiques

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1 Chapitre 7 Champ et potentiel-vecteur magnétostatiques 7.1 Introduction Les interactions magnétiques sont des interactions à distance entre particules chargées en mouvement relatif. Elles sont décrites par un champ vectoriel, le champ magnétique. On conçoit dès lors qu un tel champ puisse être produit par un courant de charges dans un conducteur, mais on sait qu un aimant est aussi source de champ magnétique. On peut rendre compte de cette seconde possibilité dans le cadre du modèle ampérien du magnétisme, qui interprète les propriétés magnétiques de certains milieux en termes de courants microscopiques. En effet, à l échelle microscopique, le mouvement des électrons autour de son noyau fait que chaque atome se comporte comme une petite boucle de courant, créatrice de champ magnétique : c est le magnétisme dit orbital. Dans la matière non aimantée, ces mouvements ne font apparaître aucune direction privilégiée, et annulent statistiquement leurs effets. Par contre, dans la matière aimantée, qui peut l être spontanément ou par la présence d un champ magnétique extérieur, il existe une orientation préférentielle de ces boucles de courants microscopiques. Il y a alors compensation incomplète des effets, ce qui provoque une aimantation à l échelle macroscopique. A ce type de magnétisme peut se superposer celui provenant du fait que certaines particules possèdent un moment magnétique permanent (magnétisme de spin). Les interactions magnétiques peuvent ainsi se manifester : Entre deux aimants ; on se rappellera qu un pôle Nord et un pôle Sud s attirent et que deux pôles de même nom se repoussent. On se rappellera aussi que les propriétés magnétiques d un aimant affectent toute sa matière, ce qui est mis en évidence si l on casse l aimant. Entre un aimant et un courant : un aimant a une action sur un courant et réciproquement. 1 Entre deux courants. Le vecteur champ magnétique B (M) en un point M est défini en direction et en sens par la direction orientée pôle Sud - pôle Nord que prend une aiguille aimantée libre de s orienter dans 1 Au terme d une longue série d expériences réalisées de 1807 à 180, le physicien danois Christian OERSTED ( ) démontre qu une aiguille aimantée placée à proximité d un conducteur électrique est déviée de sa position d équilibre dans un sens qui dépend du sens du courant. L étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut menée par Biot et Savart à partir de 180. A la même époque, F. ARAGO réalise l aimantation du fer au moyen d un courant électrique. Très peu de temps après avoir eu connaissance de la découverte d Oersted, A. M. Ampère prouve par de nombreuses expériences la relation étroite entre magnétisme et électricité, en reproduisant notamment les effets des aimants par des solénoïdes, montre que deux circuits électriques peuvent réagir l un sur l autre sans intervention d aimants et énonce les lois d attraction et de répulsion de ces courants. 153

2 l espace et placée au point M considéré. Ceci fait bien sûr référence au magnétisme terrestre. A noter que si l on assimile la Terre à un aimant, le pôle Nord géographique constitue le pôle Sud de cet aimant 3 (figure 7.1). Figure 7.1 Une spire conductrice parcourue par un courant continu créé un champ magnétique et se comporte comme un aimant. Elle est polarisée magnétiquement et possède une face Nord et une face Sud. La polarité de la spire est liée au sens du courant selon la règle du tire-bouchon de Maxwell : on enfonce avec sa main droite un tire-bouchon ou une vis avec un tournevis (figure 7.). Figure 7. L intensité d un champ magnétique peut être définie au moyen de la force qui s exerce sur un porteur de charge q se mouvant dans ce champ à la vitesse v. Cette force, appelée force de Lorent est donnée par F = q v B (7.1) Lorsque F est exprimé en Newton, q en Coulomb et v en m/s, B s exprime en Tesla. De cette loi on peut déduire les faits suivants. Un champ magnétique ne peut modifier l énergie cinétique d une particule chargée. 3 Le médecin et physicien anglais William GILBERT ( ), émit le premier l idée que la terre est un gigantesque aimant et que les corps se distinguent entre isolants (idioélectriques) et conducteurs (anélectriques). Christian Carimalo 154 Cours d Electromagnétisme

3 Une particule chargée pénétrant dans un champ magnétique uniforme avec une vitesse perpendiculaire au champ prend un mouvement circulaire uniforme avec un rayon proportionnel à la quantité de mouvement de la particule et inversement proportionnel au champ magnétique. Rappelons aussi que cette force est à l origine de l effet Hall observé dans un matériau parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique extérieur 4. Considérons par exemple un élément conducteur de forme parallélépipèdique traversé par un courant (figure 7.3). Ses électrons de conduction sont déviés vers la face S par la force de Lorent. A cause de ce déséquilibre dans la répartition des charges, il apparaît un champ électrique E entre les faces S + et S, dirigé de la première face vers la seconde. Un état d équilibre s instaure, où la force électrique q E compense exactement la force de Lorent. On a alors E = v B (7.) v étant la vitesse moyenne des électrons. Il apparaît aussi entre S+ et S une différence de potentiel V + V, ici positive, dite tension de Hall. La mesure de cette tension permet notamment de déterminer la nature des porteurs de charges dans des matériaux semi-conducteurs 5. On exploite aussi cet effet pour mesurer des champs magnétiques au moyen de sondes de Hall. B S + I E e S Figure 7.3 La Magnétostatique est la branche de l Electromagnétisme qui étudie les champs magnétiques créés par des courants indépendants du temps. Le problème général à résoudre est de déterminer le champ magnétique B (M) créé par une distribution de courants stationnaire de densité connue j (M). Il s agira principalement de courants circulant dans des conducteurs, mais les résultats obtenus s appliquent aussi aux champs créés par des faisceaux de particules chargées. De plus, les champs créés par la matière aimantée ne diffèrent pas fondamentalement des précédents. Cependant, dans ce cas, l origine du magnétisme est plus difficile à décrire. 7. Loi de Biot et Savart Considérant un circuit conducteur parcouru par un courant d intensité totale I, définissons tout d abord ce qu on appelle un élément de courant. Soit, au voisinage d un point P, un tube de courant élémentaire de longueur infinitésimale dl est de section droite ds. Il s agit en fait d un tube de 4 C est en 1879 que le physicien américain Edwin Herbert Hall, alors étudiant en thèse du professeur Rowland de l université Johns Hopkins de Baltimore, plaçant une feuille d or dans un champ magnétique et lui appliquant un courant électrique, observa alors une tension perpendiculaire à la direction du courant et à celle du champ magnétique. 5 Montrer que V + V est négative si les porteurs sont de charge positive. Christian Carimalo 155 Cours d Electromagnétisme

4 champ élémentaire du vecteur densité de courant volumique J (P ). L intensité infinitésimale de courant passant à travers ds est simplement 6 di = J(P )ds (7.3) L élément de courant (figure 7.4) est un vecteur qui a pour expression di dl = J (P ) dsdl = J (P ) dτ (7.4) où : dl est de longueur dl et a même orientation que J (P ) ; dτ = dsdl est le volume élémentaire à l intérieur du conducteur. d l J d I d S Figure 7.4 D après la loi de Biot et Savart, le circuit entier produit en un point M quelconque le champ magnétique B (M) = µ 0 V J (P ) 3 dτ (7.5) d B M d l P J Figure 7.5 où l intégrale est étendue à tout le volume du circuit, et où µ 0 est la perméabilité du vide, dont la valeur numérique dans le système S.I. est 7 6 On rappelle que l unité S.I. de J est 1 A m. 7 Ici encore, le facteur relève d une rationalisation du système d unités. Christian Carimalo 156 Cours d Electromagnétisme

5 µ 0 = 10 7 S.I. (7.6) Selon cette expression, on peut dire que la contribution qu apporte au champ total un élément de courant est (figure 7.5) d B (P, M) = µ 0 J (P ) 3 dτ (7.7) Si l une des deux dimensions transversales du circuit est très petite devant toutes les autres longueurs, on peut modéliser le circuit comme une distribution superficielle de courant 8. Envisageons alors un tube élémentaire de courant, de forme parallélépipédique (figure 7.6). Sa section droite est prise égale à ds = ɛ dl où ɛ représente l épaisseur de la nappe, infiniment plus petite que toutes les autres longueurs. L intensité du courant traversant ds est di = J(P ) ɛ dl. On admet que le produit J s (P ) = ɛ J(P ) (7.8) reste fini lorsque ɛ tend vers éro. Il représente la densité superficielle de courant de la nappe 9. d l d Σ d L ε J d S Figure 7.6 L élément de courant prend alors la forme J dτ = Js (P )dldl = J s (P ) dσ (7.9) où dσ = dldl est l élément de surface de la nappe, et le champ magnétique créé par cette dernière en un point M s exprime naturellement comme B (M) = µ 0 Σ Js (P ) 3 dσ (7.10) l intégrale étant étendue à toute la surface de la nappe. Si les deux dimensions transversales à la fois peuvent être considérées comme infiniment petites, on aboutit alors à un circuit filiforme dont l élément de courant est écrit simplement comme J (P ) dτ = I dl (P ) (7.11) 8 On dit aussi nappe de courant. 9 Dans le système S.I., cette densité s exprime en A m 1. Christian Carimalo 157 Cours d Electromagnétisme

6 I étant l intensité totale du courant circulant dans le circuit. Le champ magnétique créé en un point M par un tel circuit prend la forme B (M) = µ 0 C I dl (P ) 3 (7.1) où l intégrale est étendue à toute la courbe décrivant le circuit (figure 7.7). M d B I d l P Figure 7.7 Les expressions du champ magnétique données plus haut furent établies par J.M. Biot et F. Savart en 180 sur la base de nombreuses observations expérimentales. Elles furent retrouvées plus tard dans le contexte de la théorie de la Relativité, lorsqu on étudia la transformation du champ électromagnétique dans le passage d un référentiel galiléen à un autre, au moyen des transformations de Lorent. Pour les courants usuellement considérés en Magnétostatique, les vitesses des porteurs de charge sont incomparablement plus petites que la célérité de la lumière et l on ne s attend certes pas à voir émerger un effet relativiste. Pourtant, pour se convaincre de la relation relativiste entre champ électrique et champ magnétique, il suffit d envisager un faisceau de particules homocinétique, de vitesse v constante dans le référentiel R du laboratoire, puis dans le référentiel R animé de la vitesse v par rapport à R. Dans R, les particules mobiles créent un champ magnétique, alors que dans R elles sont vues au repos et ne créent qu un champ électrique. Ce lien relativiste entre champ électrique et champ magnétique est révélé à l examen des dimensions des grandeurs ɛ 0 et µ 0. On sait d une part que les produits QE et QvB sont homogènes à une force 10. On a donc, du point de vue dimensionnel et comme [E] = [vb] (7.13) il vient Q [E] = [ ɛ 0 L ], [B] = [µ 0I L ], [I] = [Q T ] (7.14) Numériquement, on obtient 1 [ ] = [v ] carré d une vitesse (7.15) ɛ 0 µ 0 où c est la vitesse de la lumière dans le vide Pour le dernier, voir la force de Lorent. 1 ɛ0 µ 0 = m/s = c (7.16) Christian Carimalo 158 Cours d Electromagnétisme

7 7.3 Symétries du champ magnétique La loi de Biot et Savart fait intervenir le produit vectoriel des deux vecteurs polaires J et P M dans l expression du champ magnétique, faisant de ce dernier un champ de nature axiale. Cette nature se révèle lorsqu on effectue une symétrie par rapport à un point. Alors que deux vecteurs polaires U et V changent de signe dans cette opération, leur produit vectoriel W = U V ne change pas : un produit vectoriel de deux vecteurs polaires est un vecteur axial, sa parité vaut +1. Voyons comment se transforme un champ de vecteurs axial dans une symétrie par rapport à un plan, par exemple le plan xo. Soit un point M(x, y, ), et M (x, y, ) son transformé dans cette opération. On a U x(m ) = U x (M), U y(m ) = U y (M), U (M ) = U (M) (7.17) et de même pour les composantes de V. Comme on obtient W x = U y V U V y, W y = U V x U x v, W = U x V y U y V x (7.18) W x(m ) = W x (M), W y(m ) = W y (M), W (M ) = W (M) (7.19) c est-à-dire une loi de transformation à l opposé de celle d un vecteur polaire. Considérons alors une distribution de courants possédant un plan P + de symétrie positive. Cela signifie que si l on effectue l opération de symétrie par rapport à ce plan, la distribution reste globalement inchangée. Appliquant le principe de symétrie de Curie au champ magnétique, on voit que [ [ ] [ [ ] B B B B (M )] = (M), (M )] = (M) (7.0) // // M étant le transformé de M. Par suite, si M appartient à ce plan, on trouve [ ] B (M) = 0 (7.1) Autrement dit, // en tout point d un plan de symétrie positive, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan. On voit alors que dans l étude des symétries éventuelles d une distribution de courants, c est la recherche de plans de symétrie positive qui est la plus efficace car le principe de symétrie permet éventuellement d éliminer deux composantes du champ sur trois. Supposons maintenant que la distribution étudiée possède un plan P de symétrie négative ou encore d antisymétrie. Cela signifie que dans une opération de symétrie par rapport à P, tout se passe comme si l on avait inversé le sens des courants. Or, d après la loi de Biot et savart, l inversion de tous les courants change le signe du champ magnétique : J J = B B (7.) C est une symétrie interne du champ magnétique. On en déduit Christian Carimalo 159 Cours d Electromagnétisme

8 [ B (M )] // [ ] B = (M) //, [ B (M )] [ ] B = (M) (7.3) M étant le transformé de M. Par conséquent, si M appartient à ce plan P, il vient cette fois [ ] B (M) = 0 (7.4) en tout point d un plan de symétrie négative, le champ magnétique est dans ce plan. Nous aurons l occasion d utiliser ces propriétés dans des calculs de champ créé par des distributions possédant de fortes symétries. 7.4 Champ d un courant rectiligne indéfini Comme premier exemple d application de la loi de Biot et Savart, nous considèrerons un fil conducteur rectiligne de très grande longueur, prise ici comme étant infinie, et transportant un courant d intensité I. Il est manifeste que, quel que soit le point M où l on veut calculer le champ, le plan contenant le fil et le point M est un P +. Le champ en M est donc orthoradial. Il est tout aussi manifeste que l on dispose ici d une invariance par rotation autour du fil et d une invariance par translation parallèlement au fil. Le résultat est que la composante restante du champ ne peut dépendre que de la distance ρ du point M au fil, qui est la seule quantité invariante dans ces opérations. Choisissons alors le plan contenant le fil et le point M comme plan xo et pour origine O la projection de M sur le fil (figure 7.8). La composante du champ s identifie alors à celle parallèlement à Oy. Avec dl = d e et e P M= e y ρ, la formule de Biot et Savart donne ici P O I ρ α B M Figure 7.8 B (M) = µ 0 Iρ + ey d 3 (7.5) étant la côte du point courant P dans le repère choisi. En observe que l intégration sur les négatifs donne le même résultat que celle sur les positifs. Pour 0, posons alors = ρ tan α. Il vient d dα cos α = 3 ρ Christian Carimalo 160 Cours d Electromagnétisme

9 L angle α variant entre 0 et π/, on a donc B φ (ρ) B y (M) = µ 0I ρ π/ 0 cos α dα = µ 0I πρ (7.6) Le champ étant orthoradial, ses lignes de champ sont des cercles situés dans des plans perperdiculaires au fil et centrés sur ce dernier 11. En outre, le sens du courant étant donné (ici, sens O), l orientation du champ sur ces lignes est conforme à la règle du tire-bouchon de Maxwell. De plus, les lignes de champ tournent autour du fil (figure 7.9). Ce résultat provient en fait d une propriété générale du champ magnétique 1 : les lignes de champ du champ magnétique sont toujours des courbes fermées et enlacent les lignes de courant dans le sens donné par la règle du tire-bouchon. I B Figure 7.9 La circulation de B le long d une ligne de champ vaut π 0 B φ (ρ) ρdφ = µ 0 I (7.7) Ce résultat fait apparaître une différence fondamentale avec le champ électrostatique dont la circulation le long d une courbe fermée est toujours nulle : la circulation du champ magnétostatique n est pas conservative d une façon générale. En fait, le résultat ci-dessus est une conséquence d une autre propriété générale du champ B qui fait l objet du théorème d Ampère dont il sera question plus loin. Enfin, une dernière propriété générale peut être révélée ici : div B = Divergence du champ magnétique Le calcul de la divergence du champ B sera fait dans le cas d une distribution volumique de courants, modélisation qui de toute façon semble plus conforme à la réalité. On a ainsi µ 0 div M B (M) = div M J (P ) 3 dτ (7.8) 11 A démontrer. 1 Voir aussi le complément II. V Christian Carimalo 161 Cours d Electromagnétisme

10 où nous avons placé M en indice pour bien spécifier que les dérivations doivent être effectuées par rapport aux coordonnées du point M. La formule (1.49) nous permet d écrire div M J (P ) 3 = 3 rotm J (P ) J (P ) rotm 3 (7.9) Mais, d une part, J (P ) est manifestement indépendant des coordonnées du point M, et, d autre part, on sait que le vecteur P M/ 3 dérive d un potentiel et a donc un rotationnel nul 13. On en déduit la propriété générale importante div B = 0 (7.30) c est-à-dire, le champ magnétostatique est à flux conservatif. En effet, de cette équation combinée avec le théorème de Green-Ostrogradski on conclut que le flux du champ B à travers une surface fermée est toujours égal à éro. C est une autre propriété qui distingue le champ magnétique du champ électrique dont le flux n est pas conservatif d une façon générale, comme conséquence du théorème de Gauss. Rappelons qu en Electrostatique la divergence du champ E est donnée par div E = ρ ɛ 0 où ρ est la densité volumique de charge. Si l on voulait faire un rapprochement entre magnétisme et électricité en décrivant le magnétisme au moyen de charges magnétiques 14, le fait que le champ magnétique soit de divergence nulle montrerait qu il est impossible de séparer les charges de signes opposés, de sorte que ρ magn = 0 en tout point. L interprétation serait alors que la principale caractéristique du magnétisme est qu il est de nature dipolaire. Il résulte aussi de cette propriété que le champ magnétique dérive d un vecteur, c est-à-dire qu il existe au moins un champ de vecteurs A tel que B = rot A (7.31) Ce nouveau champ de vecteurs A est appelé potentiel vecteur. On peut en trouver une forme possible comme suit. Puisque la relation 3 = grad M 1 (7.3) 13 On admettra ici que toutes les dérivations effectuées ont un sens. 14 On parle aussi de masses magnétiques. Christian Carimalo 16 Cours d Electromagnétisme

11 nous permet d écrire rotm J (P ) = 1 1 rotm J (P ) J (P ) grad M J (P ) grad M 1 = J (P ) µ 0 rotm Une expression possible du potentiel vecteur est donc V 3 (7.33) J (P ) dτ B (M) (7.34) A (M) = µ 0 V J (P ) dτ (7.35) expression qui peut éventuellement être généralisée à des nappes de courant : A (M) = µ 0 Σ Js (P ) dσ (7.36) ou à des circuits filiformes : A (M) = µ 0 C I dl (P ) (7.37) Cependant, ces dernières expressions peuvent être divergentes si l on considère des circuits d extension infinie et dans ce cas, la recherche d un potentiel vecteur doit plutôt se faire par intégration de la relation champ - potentiel vecteur (7.31). Nous avons déjà noté que les formules ci-dessus ne fournissent que des expressions possibles du potentiel vecteur. En effet, celui-ci n est pas défini de façon univoque par la relation (7.31). Si A est un potentiel vecteur possible, le vecteur A = A + grad F (7.38) où F est un champ scalaire arbitraire, convient aussi, puisque le rotationnel d un gradient est toujours nul. On dit qu il y a invariance de jauge, ou encore que le potentiel vecteur est défini à une jauge près, faisant intervenir le gradient d une fonction. Bien que nettement plus compliquée, cette indétermination est à rapprocher de celle du potentiel scalaire en Electrostatique, qui n est défini qu à une constante près. On peut vouloir se limiter à une certaine classe de potentiels vecteurs en leur imposant une contrainte. On dit alors que l on fait un choix de jauge. Dans la jauge de Coulomb, on impose la condition div A = 0 (7.39) Christian Carimalo 163 Cours d Electromagnétisme

12 Insistons sur le fait que (7.39) ne constitue en aucun cas une loi fondamentale : le choix de jauge est complètement libre. On note que même dans le cadre de la jauge de Coulomb, le potentiel vecteur n est pas encore complètement déterminé. En effet, choisissant un potentiel vecteur différant du premier par un gradient et lui imposant la même jauge, on obtient div A = div A +div grad F = F = 0 (7.40) C est-à-dire que la fonction F doit satisfaire l équation de Laplace. Or, il existe une infinité de fonctions la vérifiant. Pour mieux définir le potentiel vecteur, on fait donc généralement appel à d autres ingrédients et notamment, comme nous le verrons, à des symétries éventuelles. Montrons que l expression intégrale vérifie la jauge de Coulomb. On a A (M) = µ 0 V J (P ) dτ div M A (M) = µ 0 V div M J (P ) dτ (7.41) Mais div M J (P ) J (P ) grad M 1 (7.4) Comme ne dépend des coordonnées de P et de M que par l intermédiaire de leurs coordonnées relatives, on peut écrire de sorte que 1 grad M = grad 1 P 1 J (P ) J (P ) grad P div P 1 div P J (P ) (7.43) Puisque les courants sont supposés stationnaires, le deuxième terme au second membre est nul (div P J (P ) = 0). En appliquant le théorème de Green-Ostrogradski, il vient div M A (M) = µ 0 V div P J (P ) dτ = µ 0 S J (P ) ds (7.44) où la dernière intégrale de flux doit être étendue à toute la surface externe du conducteur considéré. Or, puisqu aucun courant ne sort de cette surface, le vecteur densité de courant lui est tangent en chaque point et est donc perpendiculaire au ds correspondant. Par suite, le flux au second membre est nul et l on a bien div M A (M) = 0 (7.45) Christian Carimalo 164 Cours d Electromagnétisme

13 7.6 Propriétés du potentiel vecteur Les expressions possibles du potentiel vecteur trouvées précédemment ont tout au moins l avantage de dégager certaines propriétés générales qu il est permis de lui attribuer. Ainsi, puisque le vecteur densité volumique de courants est un vecteur polaire, le potentiel vecteur A (M) = µ 0 V J (P ) dτ est lui aussi de nature polaire. Nous imposerons donc aux potentiels vecteurs admissibles d être complètement de nature polaire. En outre, si les courants sont inversés, le potentiel vecteur ci-dessus change de signe. Nous imposerons donc cette propriété à tous les potentiels vecteurs admissibles. On évite ainsi des choix exotiques qui seraient sans rapport avec la physique étudiée. Finalement, les propriétés de transformation du potentiel vecteur par les symétries sont tout à fait similaires à celles d un champ électrostatique : si la distribution de courant possède un P +, alors le potentiel vecteur en un point quelconque du P + est contenu dans ce plan ; si la distribution possède un P, en chaque point de ce plan le potentiel vecteur lui est perpendiculaire. Ici s arrête cependant la similitude entre ces deux champs puisque, d après le théorème de Stokes, la circulation de A le long d un contour fermé C n est généralement pas nulle, étant égale au flux de son rotationnel B à travers une surface quelconque Σ s appuyant sur le contour : A dl = B dσ (7.46) C A titre d exemple, trouvons un potentiel vecteur pour le champ magnétique créé par un fil conducteur infini. Pour tout point M, le plan contenant M et perpendiculaire au fil est un P. Par conséquent, le potentiel vecteur n a qu une seule composante parallèlement au fil, soit A. Compte-tenu du fait que seule la composante B φ est non nulle, l application de la relation champ-potentiel vecteur conduit aux équations Σ A φ = 0, A ρ = B φ = µ 0I πρ (7.47) La première de ces relations est conforme au résultat escompté en invoquant l invariance par rotation autour du fil : on trouve ici que A doit être indépendant de φ. L intégration de la seconde relation conduit à A (ρ, ) = µ 0I π ln ρ + f() (7.48) où f() est une fonction arbitraire de. Or, cette fonction de la seule variable peut toujours être envisagée comme la dérivée par rapport à d une autre fonction F (), et ainsi considérée, comme la composante suivant l axe des du gradient de cette fonction F. On constate bien ici l indétermination du potentiel vecteur qui n est défini qu à un gradient près. Cependant, si on lui impose de vérifier la jauge de Coulomb, on a div A A = f () = 0 (7.49) et f() n est plus qu une simple constante, que l on peut fixer par un choix de éro du potentiel, par exemple, A = 0 pour ρ = ρ 0. D où l expression Christian Carimalo 165 Cours d Electromagnétisme

14 A (ρ) = µ ( ) 0I ρ π ln ρ 0 (7.50) On note en passant que la jauge de Coulomb force le potentiel vecteur à être indépendant de, ce qui est finalement bien conforme à l idée qu on se fait de l invariance par translation parallèlement au fil. Le lecteur pourrait à juste titre se demander pourquoi nous n avons pas utilisé ici l expression intégrale (7.37) du potentiel vecteur. Il est facile de voir que celle-ci est tout simplement divergente et donc impossible à manier telle quelle! On peut néanmoins extraire un résultat fini d une formule intégrale en limitant les variations de, soit L, de sorte que A = µ L 0I L d = µ L 0I π 0 En faisant tendre L vers l infini, on trouve alors d + ρ = µ 0I π ln ( L + ) L + ρ ρ (7.51) A = µ 0I π ln ρ + K (7.5) où K est une constante, ici infinie. Cependant, le fait de rajouter une constante au potentiel vecteur ne change rien pour ce qui concerne le champ magnétique, et l on peut donc remplacer cette constante par une autre, finie celle-là. Par ce tour d adresse, on retrouve alors le résultat précédent. L exemple que nous venons de considérer illustre aussi une autre propriété du potentiel vecteur : ses lignes de champ, qui sont ici des droites parallèles au fil, suivent peu ou prou les lignes de courant, en enlaçant les lignes de champ du champ magnétique, encore une fois dans le sens conforme à la règle du tire-bouchon, vis-à-vis du sens du champ magnétique. Si l on compare l expression du potentiel vecteur à celle A (M) = µ 0 V (M) = 1 ɛ 0 V V J (P ) dτ ρ(p ) dτ du potentiel scalaire en Electrostatique, on constate que la relation entre les densités sources et le potentiel sont similaires, en mettant à part le fait que la première est plutôt de nature vectorielle. En Electrostatique, cette relation se traduit localement par l équation de Poisson V + ρ ɛ 0 = 0 Par analogie, on déduit l équation suivante, liant le potentiel vecteur aux densités volumiques de courant A + µ 0 J = 0 (7.53) Pour terminer ici, notons que d après la relation champ-potentiel, le potentiel vecteur est homogène au flux du champ magnétique que divise une longueur. L unité S.I. de flux magnétique est le weber, de symbole W. Dans ce système d unités, le potentiel vecteur s exprime donc en W/m. Christian Carimalo 166 Cours d Electromagnétisme

15 Cependant, du point de vue dimensionnel, on remarque aussi que le potentiel vecteur est homogène à un champ magnétique que multiplie une longueur, et comme le champ magnétique est homogène à un champ électrique que divise une vitesse, le potentiel vecteur est donc homogène à un champ électrique que multiplie un temps Le théorème d Ampère Le théorème En incorporant les relations dans la formule générale il vient immédiatement rot A = B, div A = 0, A = µ0 J rot rot A = grad div A A rot B = µ0 J (7.54) Cette dernière relation constitue la forme locale du théorème d Ampère, liant le champ magnétique à ses sources. Cette équation conduit ainsi à div J = 1 µ 0 div rot B = 0 (7.55) et n est donc pas en contradiction avec la loi de conservation de la charge, puisque dans le régime stationnaire considéré ici, la divergence du vecteur densité volumique de courants doit effectivement être nulle. On peut alors noter dès à présent qu elle devra certainement être remaniée dans le cas des régimes variables dans le temps, puisqu alors div J = ρ t 0 Le théorème d Ampère proprement dit est plutôt connu sous sa forme intégrale, qui résulte de l équation locale précédente par application du théorème de Stokes : C B dl = µ0 k I k (7.56) et qui s énonce ainsi : La circulation du champ magnétostatique le long d une courbe fermée est égale au produit par µ 0 de la somme algébrique des intensités des courants enlacés par cette courbe, ces intensités étant comptées positivement selon le sens donné par la règle du tire-bouchon, par rapport au sens de parcours de la courbe. Christian Carimalo 167 Cours d Electromagnétisme

16 I 1 I 3 C I Figure 7.10 Par exemple, pour le cas représenté dans la figure 7.10, la somme algébrique des intensités est égale à I 3 I 1 I Application du théorème Comme le théorème de Gauss en Electrostatique, le théorème d Ampère fournit une relation générale entre un champ et ses sources. Ici encore, il peut s avérer avantageux d utiliser ce théorème pour calculer le champ sans passer par la formule qui le donne sous forme intégrale. Mais on se doute bien qu un tel programme ne pourra être mené à bien que si la distribution de courants étudiée possède suffisamment de symétrie. Voyons comment procéder d une façon générale. La circulation fait intervenir un produit scalaire. Aussi, pour pouvoir en extraire l intégralité du champ, celui-ci doit être en tout point parallèle à la tangente à la courbe selon laquelle est évaluée la circulation. Mais une telle condition est aussi celle qui définit une ligne de champ. La question est donc de savoir si les lignes du champ magnétostatique sont fermées. Comme nous l avons déjà signalé, la réponse est oui. Dans un problème donné, la première étude à mener consiste à rechercher systématiquement les lignes de champ de B. Ceci fait, on considère la circulation du champ le long de la ligne de champ C(M) passant par le point M où l on souhaite déterminer ce champ : B dl B(P ) dl(p ) = µ 0 I k (7.57) C(M) C(M) où B(P ) représente la valeur algébrique du champ suivant la tangente à la courbe C(M), au signe près égale au module du champ, le sens de parcours de la courbe étant choisi arbitrairement. La dernière étape consisterait à extraire cette valeur algébrique de dessous le signe intégral, ce qui donnerait immédiatement B = µ 0 L k I k (7.58) où L est la longueur totale de la ligne de champ C(M). On se doute bien que, d une façon générale, ceci ne sera possible que si la distribution de courants possède suffisamment de symétrie. A nouveau, le maître mot est : symétrie. Par exemple, dans le cas du conducteur rectiligne infini, nous avons vu que ses symétries font que le champ qu il créé n a qu une seule composante orthoradiale et que celle-ci ne dépend que de la variable ρ. Nous en avons déduit que les lignes de champ sont des cercles axés sur le fil et nous observons que l intensité du champ reste constante le long d une ligne de champ. Toutes les conditions sont réunies pour appliquer fructueusement le théorème d Ampère en vue de calculer Christian Carimalo 168 Cours d Electromagnétisme k

17 le champ. En effet, la circulation de B le long de la ligne de champ passant par un point M à la distance ρ du fil, qui est donc un cercle axé sur le fil et de rayon ρ, vaut C(M) d où l expression déjà rencontrée B dl π 0 B φ (ρ) ρdφ = πρb φ (ρ) = µ 0 I (7.59) B φ (ρ) = µ 0 I πρ 7.8 Quelques calculs de champs magnétostatiques Spire de courant Soit un fil conducteur en forme de cercle de centre O et de rayon R, situé dans le plan xoy. Il transporte un courant d intensité I dans le sens indiqué par la figure Le plan contenant l axe de la spire et le point M où l on veut calculer le champ est manifestement un P. Ce plan contient donc le champ en ce point. En coordonnées cylindriques, cela signifie que la composante B φ est nulle en tout point. En outre, le potentiel vecteur en ce point doit être perpendiculaire à ce plan et n a donc qu une composante orthoradiale A φ. H ρ B B x O I M B ρ y φ Figure 7.11 On a également une invariance par rotation autour de l axe de la spire. L angle aimutal φ n est donc pas une variable sensible et les composantes restantes B ρ et B du champ magnétostatique ne doivent pas en dépendre. On peut retrouver cette propriété de la façon suivante. Comme on a affaire à un circuit filiforme, en tout point en dehors du cercle schématisant le conducteur, on doit avoir Avec B φ = 0, cela se traduit notamment par les équations rot B = 0 (7.60) B φ = 0, B ρ φ = 0 (7.61) qui rassurent dans le sens où l idée qu on se fait de l invariance par rotation n est pas en contradiction avec les équations fondamentales... Pour ce qui est du potentiel vecteur, le choix de la jauge de Coulomb conduit à l équation Christian Carimalo 169 Cours d Electromagnétisme

18 A φ φ = 0 (7.6) B B x B x O x x y Figure 7.1 Du fait de cette invariance, il est suffisant d étudier le champ uniquement pour les points du plan xo. De plus, comme, d une part, le plan xoy est un P + et que, d autre part, le plan yo est un P, on peut ramener cette étude dans le premier quadrant du plan xo, puisqu on aura les corrélations suivantes (x et sont choisis positifs) : B x ( x, ) = B x (x, ), B x (x, ) = B x (x, ) B ( x, ) = B (x, ), B (x, ) = B (x, ) (7.63) ce qui donne déjà une idée de la cartographie des lignes de champ (voir figure 7.1) et fait pressentir le fait déjà signalé que celles-ci sont fermées et qu elles enlacent le courant. En un point M de l axe, le champ est entièrement porté par cet axe. C est normal, puisque tout plan contenant cet axe est un P. Calculons le champ en M tel que OM = > 0 (figure 7.13). Il vient, avec dl = Rdφ P eφ (P ) où φ P est l angle aimutal du point P courant sur le cercle, B M() α x φ O P e R y Figure 7.13 Christian Carimalo 170 Cours d Electromagnétisme

19 B () = µ 0I π 0 ( ) e Rdφ e φ (P ) P M 3 = µ 0I R (R + ) 3/ π 0 ( e R ) dφ P soit B () = µ 0I R (R + ) 3/ = µ 0I R sin3 α (7.64) où α = OMP est l angle sous lequel est vue la spire depuis le point M. On note que pour R, on obtient l expression asymptotique B () µ 0I R 3 (7.65) qui donne une décroissance du champ comme l inverse du cube de la distance, typique de sources de nature dipolaire Le dipôle magnétique Reprenons l étude du champ de la spire dans le cas où r = OM R et cherchons-en une expression asymptotique pour un point en dehors de l axe. Pour faire ce calcul, il est préférable de commencer à chercher une expression asymptotique du potentiel vecteur et d en déduire le champ magnétique par dérivation. A(M) M r θ M y x Figure 7.14 Nous savons déjà que le potentiel vecteur n a qu une seule composante orthoradiale. Celle-ci peut être calculée comme (figure 7.14) A φ (r, θ) = µ 0I ey C dl (7.66) avec dl = Rdφ P eφ (P ). Mais e y e φ (P ) = cos φ P et = r + R rr sin θ cos φ P. Effectuant alors un développement limité au premier ordre en R/r, on a 1 1 r + R sin θ cos φ P r (7.67) Christian Carimalo 171 Cours d Electromagnétisme

20 d où et comme A φ (r, θ) µ 0IR [ 1 r π 0 cos φ P dφ P + R sin θ r π 0 cos φ P dφ P ] (7.68) on obtient π 0 cos φ P dφ P = 0, π 0 cos φ P dφ P = π (7.69) A φ (r, θ) µ 0IπR sin θ r (7.70) La grandeur M = IπR (7.71) est le moment magnétique de la spire, ou plutôt son intensité 15, car pour un circuit filiforme quelconque, son moment magnétique est défini vectoriellement comme M = S I N (P ) ds(p ) (7.7) S étant une surface s appuyant sur le contour du circuit, et N (P ) sa normale en un point P courant, celle-ci étant orientée à partir du sens du courant selon la règle du tire-bouchon (figure 7.15). Pour le circuit étudié ici, on a donc M = IπR e (7.73) Figure 7.15 En fonction du moment magnétique, le potentiel vecteur ci-dessus prend la forme ou, vectoriellement, A φ (r, θ) µ 0M sin θ r (7.74) Dans le système d unités S.I., elle s exprime en Ampère-m. La définition de l Ampère sera donnée au chapitre Christian Carimalo 17 Cours d Electromagnétisme

21 A (M) = µ 0 M OM r 3 (7.75) Ces deux dernières expressions, établies pour le cas particulier d une spire circulaire, sont en fait valables pour tout système de courants assimilable à un dipôle, et aussi bien pour de petits aimants (figure 7.16). Les composantes sphériques du champ magnétique se déduisent ainsi : B r = 1 r sin θ sin θa φ θ = µ 0M cos θ r 3, B θ = 1 ra φ = µ 0M sin θ r r r 3 B φ = 0 (7.76) On notera la similitude frappante entre ces formules-ci et celles établies pour le champ d un dipôle électrostatique : E r = P cos θ ɛ 0 r 3, E θ = P sin θ ɛ 0 r 3, E φ = 0 et que l on passe des unes aux autres par la substitution P ɛ 0 µ 0 M (7.77) Les lignes de champ du potentiel vecteur sont des cercles ayant pour axe celui portant le moment magnétique. Elles enlacent complètement les lignes du champ magnétique, dont les équations sont celles trouvées en Electrostatique pour le champ électrique d un dipôle électrostatique : r = K sin θ Dans le cadre du modèle ici présenté où le dipôle est assimilé à une petite spire de courant, on remarque à nouveau que ces lignes de champ sont fermées et enlacent à leur tour la ligne de courant 16. Figure Ce qui peut faire dire que le magnétisme est très convivial. Christian Carimalo 173 Cours d Electromagnétisme

22 7.8.3 Le solénoïde infini Considérons maintenant un empilement indéfini de spires circulaires identiques, telles que celle considérée précédemment. Un tel système est supposé modéliser un enroulement serré d un fil conducteur très mince sur un support isolant en forme de cylindre de rayon R. C est ce qu on appelle un solénoïde. Chaque tour de fil constitue une spire circulaire de courant dont l axe est celui du cylindre. Toutes les spires sont jointives. En outre, on étudie le champ loin des bords de l enroulement dont la longueur est supposée suffisamment longue pour qu on puisse la considérer comme infinie (figure 7.17). Figure 7.17 Sachant que les lignes de champ du champ magnétique doivent enlacer toutes les lignes de courant, on doit s attendre à ce qu elles soient des droites parallèles à l axe du solénoïde. Notons l axe du solénoïde. Pour tout point M, le plan perpendiculaire à et contenant M est un P +. Le champ en M doit lui être perpendiculaire et est donc parallèle à, comme attendu. D un autre côté, le plan contenant et M étant un P, le potentiel vecteur doit lui être perpendiculaire et n a donc qu une seule composante orthoradiale A φ. Le modèle de solénoïde présenté ici a la particularité de conduire à des valeurs constantes du champ magnétique. En effet, puisque les dimensions transversales du fil conducteur sont considérées comme nulles, le champ magnétique vérifie presque partout l équation rot B = 0 Comme B n a qu une seule composante B, on obtient ainsi, en coordonnées cartésiennes, [ ] [ ] rot B = 0, rot B De plus, x = B y y = B x = 0 div B = B = 0 B i I Figure 7.18 d où la conclusion d un B constant. Toutefois, cette constante peut être différente selon qu on se trouve à l intérieur ou à l extérieur du solénoïde. Soient B i et B e les valeurs du champ à l intérieur Christian Carimalo 174 Cours d Electromagnétisme

23 et à l extérieur du solénoïde, respectivement. On peut facilement établir une relation entre ces valeurs en appliquant le théorème d Ampère au contour fermé représenté à la figure Il vient [ B i B e ] l = µ0 nil (7.78) en notant n le nombre de spires par unité de longueur de solénoïde, dans le sens de sa longueur, bien évidemment. Pour obtenir une seconde équation afin de déterminer séparément B i et B e, on peut procéder de trois façons. La première ne s appuie sur aucune démonstration et repose uniquement sur une intime conviction. Elle consiste à dire que pour tout point infiniment éloigné de l axe du solénoïde, le champ magnétique doit être nul. Comme il est constant à l extérieur du solénoïde, il est donc nul dans cette région. On obtient ainsi B i = µ 0 ni, B e = 0 (7.79) La faiblesse de l argument vient de ce que la longueur du solénoïde est infinie, et que les grandes distances doivent a priori être comparées à celle-ci : l effet d extension infinie fait que même à distance infinie, on n est pas assuré de ne pas rencontrer d autres courants. d B M α d Figure 7.19 Une deuxième façon plus précautionneuse consiste à évaluer directement le champ en des points où il est facile de le faire (figure 7.19). Nous ferons ici le calcul pour des points situés sur l axe du solénoïde. Remarquons d abord qu une tranche de longueur d du solénoïde contient nd spires, produisant chacune sur son axe un champ sensiblement égal à (voir 7.64) B () = µ 0I R (R + ) 3/ où est la cote moyenne de la tranche par rapport au point considéré sur l axe. Posant encore = R cot α, où α varie de 0 à π lorsque la tranche est envisagée de = à = +, la contribution de la tranche considérée au champ total est d où db i = nd µ 0I R (R + ) = nµ 0I sin α dα (7.80) 3/ Christian Carimalo 175 Cours d Electromagnétisme

24 B i = nµ π 0I 0 sin α dα = µ 0 ni C est-à-dire qu on obtient le même résultat que précédemment, mais de manière plus rigoureuse. Enfin, une troisième façon s attache, en évaluant directement le champ à grande distance de l axe, à vérifier que celui-ci est bien nul (figure 7.0). d θ ρ r M d A Figure 7.0 Une méthode très directe consiste à calculer le potentiel vecteur dans cette région. Il est clair que pour ρ R (ρ étant la distance du point M considéré à l axe du solénoïde), chaque spire peut être assimilée à un dipôle. Dans ces conditions, une tranche de nd spires produit en M le potentiel vecteur (voir 7.70) da φ = nµ 0IπR sin θ r d Avec = ρ cot θ et faisant varier θ de 0 à π pour couvrir tout le solénoïde, on obtient soit A φ (M) = nµ 0IπR ρ π 0 sin θdθ A φ (M) = µ 0nIπR πρ (7.81) Appliquant alors la relation B = rot A en coordonnées cylindriques, on obtient B e = 1 (ρa φ ) ρ ρ = 0 ce qui confirme les résultats précédents. A titre de comparaison, la figure 7.1 montre la topographie des lignes du champ magnétique créé par une bobine de longueur finie. Montrons que l expression trouvée ci-dessus pour le potentiel vecteur est en fait valable en tout point à l extérieur du solénoïde. En effet, appliquons le théorème de Stokes au potentiel vecteur en prenant un cercle C d axe et de rayon ρ > R, qui est l une de ses lignes de champ. Compte-tenu du fait que B e = 0, on obtient Christian Carimalo 176 Cours d Electromagnétisme

25 C A dl = πρa e φ (ρ) = D B ds = πr B i = µ 0 niπr (7.8) D où le résultat plus haut. L application du même théorème pour ρ R conduit cette fois à soit πρa i φ(ρ) = πρ B i = µ 0 niπρ (7.83) A i φ(ρ) = µ 0nIρ (7.84) On observe que le potentiel vecteur est continu au passage à travers le solénoïde. Par contre, le champ magnétique subit une discontinuité : B i B e = µ 0 ni Une telle discontinuité s observe à chaque fois que l on a affaire à des courants superficiels, ce qui se démontre à l aide du théorème d Ampère. Figure Discontinuités du champ magnétostatique Considérons une distribution superficielle de courants sur une surface Σ. Au point M de Σ où la normale est N (M), la densité superficielle de courant est J s (M). Envisageons alors un contour fermé infinitésimal, de forme rectangulaire, dont deux côtés de longueur l sont de part et d autre de la surface et parallèles à celle-ci, les deux autres côtés de longueur ɛ traversant la surface, parallèlement à N (M). Nous supposerons que ɛ est lui-même beaucoup plus petit que l. En fait, nous ferons tendre ɛ vers éro tout en supposant l infinitésimal, mais fini (figure 7.). N t M n Js Figure 7. Christian Carimalo 177 Cours d Electromagnétisme

26 Notons n le vecteur normal à la surface ds du contour, orienté conformément à la règle du tirebouchon, selon le sens de parcours du petit contour. L intensité du courant traversant ds = lɛ est di = J s n l (7.85) tandis que la circulation du champ magnétique le long du contour en question est [ ] B> B < t l + O(ɛ) (7.86) où, premièrement, t = n N (7.87) où, deuxièmement, les symboles > et < veulent signifier, respectivement, au-dessus et au-dessous de la surface, et où, troisièmement, O(ɛ) représente la circulation du champ sur les deux côtés de longueur ɛ, quantité a priori proportionnelle à ɛ. Nous admettrons que le champ reste fini lorsqu on s approche de la surface et que, par conséquent, ce bout de circulation tend vers éro avec ɛ. Passant à cette limite, on obtient [ ] B> (M) B < (M) t = µ 0 Js n (7.88) où ici B > (M) et B < (M) sont les limites du champ lorsqu on se rapproche de M par dessus et par dessous de la surface, respectivement. Or, finalement, t est un vecteur tangent à la surface et la relation ci-dessus montre qu une composante tangentielle de B subit alors une discontinuité. Plus précisément, si t est pris parallèle à la ligne de courant en M, n est perpendiculaire à cette ligne, et J s n = 0. On trouve alors que la composante du champ tangentiellement à la surface et parallèlement à la ligne de courant est continue. Par contre, si t est perpendiculaire à la ligne de courant, n est orienté dans le même sens que Js. On trouve dans ce cas que la composante du champ tangentiellement à la surface et perpendiculairement à la ligne de courant subit une discontinuité, égale à B > (M) B < (M) = µ 0J s (7.89) Or, le solénoïde est un cas particulier de distribution superficielle de courant, dont la densité superficielle est bien égale à ni 17 et B est bien la composante perpendiculaire à la ligne de courant, d où la discontinuité observée. 17 A démontrer Christian Carimalo 178 Cours d Electromagnétisme

27 Quant à la composante du champ magnétique perpendiculairement à la surface (composante normale), nous montrerons plus loin qu elle est toujours continue. Pour compléter cette étude, on peut, comme nous l avons fait en Electrostatique, répertorier les singularités les plus classiques du champ magnétique en procédant à une analyse dimensionnelle. On s aperçoit alors que pour des circuits filiformes, la variation standard du champ est du type B I L (7.90) pour des courants superficiels, une variation standard du champ est du type et le champ peut dans ce cas subir des discontinuités. B constante (7.91) Ce n est que pour les distributions volumiques, et sous la condition que le vecteur densité volumique de courant (macroscopique) n ait pas lui-même de singularité, que le champ est partout continu. Selon la région, on peut alors trouver pour le champ des variations du type B J v L (7.9) Nappe épaisse et nappe mince de courant Cet exemple permet d illustrer les circonstances suivant lesquelles une distribution volumique est modélisable par une distribution superficielle. B A e/ e/ J x y B Figure 7.3 Considérons un conducteur ayant la forme d un parallélépipède rectangle de très grande longueur L, de largeur l, d épaisseur e et transportant un courant d intensité I, dans le sens de sa longueur. Supposons que nous voulions étudier le champ magnétique créé par ce conducteur dans une région suffisamment éloignée des bords et située soit à l intérieur du conducteur, soit à proximité immédiate de sa surface. Dans ces conditions, il est légitime, en première approximation, de faire comme si les dimensions transversale et longitudinale étaient infinies. Par contre, pour le moment, l épaisseur e est supposée non nulle. Nous supposerons aussi que dans la région du conducteur qui nous intéresse, le vecteur densité volumique de courant J est uniforme. Les axes de référence sont choisis comme indiqué dans la figure 7.3, de sorte que J = J ey Christian Carimalo 179 Cours d Electromagnétisme

28 Le conducteur est ainsi modélisé comme une nappe épaisse de courants. Comme les lignes du champ magnétique doivent enlacer les lignes de courant, on pressent, ici encore, qu elles sont constituées chacune de deux droites perpendiculaires à l axe longitudinal du conducteur, de part et d autre de ce dernier (figure 7.3). On peut en faire la démonstration comme suit. Comme pour tout point M, le plan contenant ce point et parallèle au plan yo est un P +, le champ doit lui être perpendiculaire et est donc orienté selon l axe x x, comme attendu. L équation div B = B x x = 0 (7.93) montre que B x ne dépend pas de x, ce qui, dans ce modèle, est en accord avec l invariance par translation parallèlement à l axe x x. Comme le vecteur densité de courant est, selon la région considérée, soit nul soit orienté selon y y, on a [ ] rot B = B x y = 0 (7.94) et B x ne dépend pas non plus de y qui, du fait de l invariance par translation parallèlement à y y ne devait pas être non plus une variable sensible. Le plan médiateur xoy étant aussi un P +, on a la relation B x ( ) = B x () (7.95) Comme on a affaire à une distribution volumique de courants, le champ est continu en tout point et la relation précédente conduit ainsi à la conclusion que Pour déterminer le champ, utilisons la relation locale [ rot B ] y B x (0) = 0 (7.96) = B x = µ 0 J, si e/ < < e/ [ rot B ] y = B x = 0, si > e/ (7.97) On trouve ainsi qu à l extérieur du conducteur le champ est uniforme. L intégration de la première équation ci-dessus pour 0 < < e/, conduit à B x () = µ 0 J + constante Mais puisque le champ doit être nul pour = 0, la constante d intégration est nulle aussi. D où B x () = µ 0 J, pour 0 e/ (7.98) La valeur du champ pour e/ s obtient simplement en imposant la continuité du champ pour = e/. Puisqu il est constant dans cette région, la valeur du champ y est donc égale à B x = µ 0 Je, pour e/ (7.99) Les valeurs du champ pour 0 s obtiennent ensuite par symétrie. Christian Carimalo 180 Cours d Electromagnétisme

29 On note que le produit J s = Je représente ce que pourrait être une densité superficielle de courants si l épaisseur du conducteur pouvait être considérée comme très petite. Si c est le cas, le conducteur est assimilable à une mince nappe de courants et la région intermédiaire à l intérieur du conducteur ne présente plus d intérêt. On observe alors une apparente discontinuité du champ, puisque, les valeurs du champ à l extérieur du conducteur étant seules prises en compte, on écrira B x = µ 0 J s, pour > 0 B x = +µ 0 J s, pour < 0 (7.100) Lorsqu on passe du dessous ( < 0) au dessus ( > 0) du conducteur, la discontinuité du champ est, comme prévu, égale à B x = µ 0 J s (7.101) Christian Carimalo 181 Cours d Electromagnétisme