10 Séries statistiques à une variable

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1 Leçon n o 10 Séries statistiques à une variable 9 Niveau Seconde, Première S Prérequis aucun Références [28], [29], [30] 10.1 Premières définitions et exemples Définition 10.1 Statistiques. La statistique étudie certaines caractéristiques : caractères ou variables d un ensemble fini qu on appelle population. Les éléments de cette population étudiée sont appelés individus. Définition 10.2 Type de variables. On peut classer en trois catégories les variables rencontrées : Qualitative numérique et fait l objet de calcul (par exemple : âge, taille, poids, notes...). Quantitative discrète si la variable prend qu un nombre fini de valeurs (on appelle modalités de telle valeur et on les notera x i ) Quantitative continue si la variable prend ses valeurs dans un intervalle (classe). Exemple 10.3 Voici une liste de 30 notes d un Devoir Surveillé de 2nde d un lycée parisien : On peut regrouper ces notes par ordre croissant et on les compte : Note Effectif et on peut regrouper ces notes par intervalle : Intervalle [0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ Total Effectif Définition 10.4 Représentation graphique de données statistiques. Si le caractère est quantitatif discret, on peut utiliser le diagramme en bâtons pour représenter graphiquement les données statistiques. Dans un repère orthogonal, pour chaque valeur de la série statistique, on trace un trait vertical dont la hauteur est proportionnelle. Si le caractère est quantitatif continue, on peut utiliser le diagramme en rectangles pour représenter graphiquement les données statistiques. Dans un repère orthogonal, la base des rectangles est proportionnelle à la longueur de l intervalle et la hauteur est proportionnelle à l effectif. Si le caractère est qualitatif, on utilise les diagrammes circulaires. Exemple 10.5 On donne en figure 10.1, la représentation graphique de la série statistique des classements de notes par ordre croissant et par intervalle de 5 notes.

2 10 Leçon n o 10 Séries statistiques à une variable (a) Représentation graphique du classement des notes par ordre croissant (b) Représentation graphique du classement par intervalles FIGURE Effectif et fréquence Définition 10.6 Effectif. L effectif d une classe ou d une modalité est le nombre d individu de cette classe ou de cette modalité. Généralement, on note n i l effectif de la classe numéro i (ou de la modalité x i ). L effectif total est la somme des effectifs de toutes les classes. On le note souvent N. Exemple 10.7 Dans l exemple précédent, 5 N = n i = n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = = 30. i=1 Définition 10.8 Effectif cumulé. L effectif cumulé d une modalité est la somme des effectifs des modalités qui lui sont inférieurs ou égales. Définition 10.9 Fréquence. La fréquence notée f i de la classe i (ou de la modalité x i ) est le rapport f i = n i N, la fréquence d une classe est un nombre de l intervalle [0, 1]. Définition La fréquence cumulée d une modalité est la somme des fréquences des modalités qui lui sont inférieures ou égales. Exemple Reprenons les données de l exemple précédent. On a : Note Effectif Effectif cumul (par exemple, 20 personnes ont une note inférieure ou égale à 12) et Intervalle [0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ Total Effectif Effectif cumul (par exemple 12 personnes ont en dessous de la moyenne).

3 10.3 Etendue et mode d une série statistique Etendue et mode d une série statistique Définition Etendue d une série statistique. L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande modalité du caractère et la plus grande modalité. Exemple Reprenons les données de l exemple précédent. On a : Note Effectif L étendue de cette série est 20 0 = 20. Définition Mode d une série statistique. Dans le cas continu, on dit qu une classe est modale si elle a le plus grand effectif parmi toutes les casses. Dans le cas discret, le mode est la valeur de plus grand effectif. Exemple Dans cette série statistique, on a : Intervalle [0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ Total Effectif La classe modale de cette série statistique est [10, 15[ Paramètre de position Moyenne Définition Moyenne. Dans le cas discret, on appelle moyenne d une série statistique d effectif total N, le réel x = n 1x 1 + n 2 x n k x k. N Exemple Reprenons les données de l exemple précédent. On a : Note Effectif La moyenne de la série statistique est : x = x = , 13. R Pour calculer la moyenne d une série statistique continu, on prend comme valeur de caractère le milieu de chaque classe. Propriétés Si on ajoute à toutes les valeurs d une série statistique le même nombre b, on augmente la moyenne de cette série par b. 2. Si les valeurs d une série statistique sont multipliées ou divisées par un même nombre a, la moyenne de cette série est aussi multipliée ou divisée par a. 3. Si une population d effectif N est composée d une partie d effectif N 1 et de moyenne x 1 et d une autre partie d effectif N 2 et de moyenne x 2 alors la moyenne x de la population totale est telle que : x = N 1x 1 + N 2 x 2. N

4 12 Leçon n o 10 Séries statistiques à une variable Exemple Si, dans une classe, les 15 garçons d une classe mesurent en moyenne 182 cm et si les 20 filles mesurent en moyenne 168 cm alors la taille moyenne d un élève de cette classe est égale à = 174 cm Médiane Définition La médiane est un paramètre de position qui permet de couper la population étudiée en deux groupes contenant le même nombre d individus. Exemple On reprend la liste des 30 notes d un Devoir Surveillé de 2nde d un lycée parisien : Pour trouver la médiane, on range les notes par ordre croissant Comme il y a 30 notes, la médiane correspond à la moyenne de la 15 e note et de la 16 e de cette liste, d où : , x = = 10,5. R En général, la moyenne et la médiane d une série statistique sont deux valeurs différentes Paramètre de dispersion Associé à la moyenne Définition Variance. On appelle variance d une série statistique d effectif total N, et de moyenne x, le réel : V = n 1(x 1 x) 2 + n 2 (x 2 x) n k (x k x) 2. N

5 10.5 Paramètre de dispersion 13 Définition Ecart-type. On appelle l écart-type de la série, le réel σ = V. Exemple Dans l exemple des notes, on peut montrer que : et V = ,115 σ = V = 32,115 5,66. Propriétés Si on ajoute à toutes les valeurs d une série statistique le même nombre b, l écart-type reste inchangé. 2. Si les valeurs d une série statistique sont multipliées ou divisées par un même nombre a, l écart-type est multiplié ou divisé par a Associé à la médiane Définition Soit une série statistique de médiane M dont la liste des valeurs est rangée dans l ordre croissant. En coupant la liste en deux sous-séries de même effectif, on appelle premier quartile le réel noté Q 1 égal à la médiane de la sous-série inférieure ; on appelle troisième quartile le réel noté Q 3 égal à la médiane de la sous-série supérieure. L écart-interquartile est égal à Q 3 Q 1. ]Q 1, Q 3 [ est appelé intervalle interquartile. R % de la population admet une valeur du caractère entre min et Q 1, 25% de la population admet une valeur du caractère entre Q 1 et M, 25% de la population admet une valeur du caractère entre M et Q 3, 25% de la population admet une valeur du caractère entre Q 3 et max. Définition Diagramme en boites. Le diagramme en boites d une série se construit de la manière suivante : min Q 1 M Q 3 max Exemple On reprend la liste ordonnée de l exemple précédent : On peut immédiatement voir que Q 1 = = 4,5 et Q 3 = = 13,5. Donc, on a la construction du diagramme en bâtons suivant (voir la figure 10.2) :

6 14 Leçon n o 10 Séries statistiques à une variable min = 0 Q 1 M Q 1 max = 20 FIGURE 10.2 Construction du diagramme en boîte

7 Bibliographie [1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l encyclopédie libre. [2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf. [3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, net/graphes-ancien/coloration/sommets.html [4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, fr/~olivier.garet/cours/graphes/graphes-documents_d_ accompagnement.pdf. [5] E. SIGWARD & al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, [6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité. graphe/f4_graphe.pdf [7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : bacamaths.net. [8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL : [9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : ~duvalp [10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Première S. URL : [11] M. LENZEN, Leçon n o 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications., 2011, URL : php?page=leconsnew [12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, , URL : http: //tehessin.tuxfamily.org [13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL : [14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, URL : univ-lille1.fr/~ipeis/ [15] L. LUBRANO & al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, [16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL : [17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, TS cours-loiscontinues.pdf. [18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-loi-uniforme. pdf [19] Loi uniforme sur [a; b], IREM de Toulouse. URL : spip/img/pdf_loi_uniforme.pdf [20] P. TAQUET & al., Mathématiques, BTS Groupement A, Hachette Technique, 2010.

8 16 BIBLIOGRAPHIE [21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, ~suquet/polys/is.pdf. [22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, URL : enpc.fr/~delmas/enseig/mod-stoch.pdf [23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP n o 503, URL : publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/aaa13018.htm [24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/ marche-aleatoire.pdf. [25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : pdf/proba/marchesz.pdf [26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l encyclopédie libre, [27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : actualites/m_toulouse2.html [28] R. NOEL, Statistiques descriptives, stats_desc_poly.pdf [29] J. LEVY, Séries statistiques, URL : [30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.