Module 4 : Diagonalisation d une matrice

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1 Math Stat Module : Diagonalisation d une matrice M Module : Diagonalisation d une matrice. Notion d espace vectoriel réel ) Lorsqu un ensemble E est muni d une opération de groupe commutatif (abba) et d une opération externe appelée homothétie aant comme propriétés : - l associativité ( βv) ( αβ)v α α, β réels ; v vecteur α β v αv βv ( ) - la distributivité α(v v ) αv αv - neutre pour l élément unité : v v on l appelle espace vectoriel réel et ses éléments sont appelés vecteurs. Exemple d espaces vectoriels : l ensemble des fonctions continues de R dans R, l ensemble des polnômes sur R ) On appelle sous-espace vectoriel d un espace vectoriel E toute partie de E qui constitue un espace vectoriel pour les «mêmes» opérations.. Vecteurs propres valeurs propres Soit A une matrice carrée. On appelle vecteur propre V, non nul, associé à la valeur propre solution de l équation : AV λv AV λv (A λι)v λ R de A la Il s agit d un sstème d équations linéaires homogènes (le second membre est nul.) Cette relation ne peut pas être vérifiée si la matrice A λι est régulière (ou inversible). C'est-à-dire, si la matrice A λι est régulière, ce sstème admet la solution unique V (solution triviale). Une valeur propre est donc une solution de l équation det ( A λi) ) de degré n en λ. dont le er membre est un polnôme Lorsque la solution de cette équation admet n valeurs propres distinctes, il leur correspond n vecteurs propres linéairement indépendants. On peut alors utiliser ces vecteurs pour construire une base. On peut aussi les normer pour avoir une base d un sstème orthonormée. Si l on représente une application linéaire d un espace vectoriel dans lui-même à l aide d une base de vecteurs propres ( V, V, K Vn ), la matrice obtenue est une matrice diagonale. Elle s écrit : λ D M λ K O K O K M λ n λ i étant la valeur propre associée au vecteur propre V i. Plus généralement, une application linéaire A est diagonalisable s il existe une base dans laquelle la matrice associée est une matrice diagonale. N.B. une application linéaire f de E dans F s écrit : L_MS_M /

2 Math Stat Module : Diagonalisation d une matrice M f : E F f(u v) f(u) f(v) f( αu) αf(u). Pratique de la diagonalisation.. Théorie Pour diagonaliser une matrice M, on cherche d abord les valeurs propres, en résolvant l équation : M λι qui est de degré n en général. (avec M λι det[ M λι] Cette équation est appelée équation caractéristique. Pour chaque racine λ j de cette équation, on cherche le sous-espace propre associé, c est-à-dire M λ j I X et une base de ce sous-espace. l ensemble des vecteurs non nuls X tels que [ ] Si la réunion de ces bases comporte moins de n vecteurs, M n est pas diagonalisable. Si elle en comporte n, elle constitue une base de vecteurs propres ; la matrice dont les colonnes sont ces vecteurs propres est appelée matrice de passage. M où D est la matrice diagonale des valeurs propres. D Le sous-espace vectoriel associé à une valeur propre simple est toujours de dimension... Exemples Exemple : Diagonaliser la matrice M : M ) Résoudre l équation caractéristique det [ M λι] λ λ En remplaçant la ième colonne par ième colone- ième colonne on ne changera pas le λ déterminant (Cf propriété des déterminants) on obtient : λ λ λ Puis en remplaçant la ième ligne par : ième ligne ième ligne on obtient : λ λ λ Comme il a deux dans la ième colonne, on calculera le déterminant à λ partir de cette ième colonne. Le calcul devient donc On appelle racine d une équation la (ou les) valeur(s) que résoud cette équation L_MS_M /

3 Math Stat Module : Diagonalisation d une matrice M λ λ λ ( λ )( λ 8 λ λ 8) ( λ λ λ ) λ ou λ λ ( λ ) (( λ)( λ ) 8) Rappel : Lorsque l on a une équation du second degré de tpe : factoriser ax bx c, on utilise, pour b ac Les solutions de cette équation (Si pour la seconde équation λ λ ) sont : ( x et x ) b ± a 8 8 ( λ λ ) ± λ λ L équation det [ M λi] ( λ )( λ ) s écrit donc : ( λ )( λ )( λ ) 8 Les valeurs propres obtenues sont donc λ λ λ ) Recherche des vecteurs propres associés aux différents λ i. D abord associés à λ λ λ λ x λ x x x Le sstème se réduit à l équation : x x Les vecteurs propres forment ici un plan vectoriel, dont on peut prendre une base formée de vecteurs (on dit un plan vectoriel de vecteurs directeurs), par exemple : (,,), (,,). Associés à λ L_MS_M /

4 Math Stat Module : Diagonalisation d une matrice M L_MS_M / λ λ λ x 5 x 5 x x x x x x 5 5 x On peut prendre une base de cette droite vectorielle, par exemple (,,). Donc on a obtenu vecteurs propres indépendants et donc une base de vecteurs propres : ) Matrice M : D M Calcul de ~

5 Math Stat Module : Diagonalisation d une matrice M M D M On peut aussi écrire : D M,5,5,75,75,5,5 Exemple : Diagonaliser la matrice M λ,5,75,5 ) ( )( )( ) λ λ λ Valeurs propres λ λ λ λ ) Recherche des vecteurs propres associés à : λ λ λ x λ 8x x x 8 x λ On peut prendre une base de cette droite vectorielle (,,). λ λ λ λ x λ x x 8 x Droite vectorielle de vecteur directeur (-,,). On a une matrice d ordre ; on n obtient que vecteurs propres indépendants. La matrice n est donc pas diagonalisable. Matrice orthogonale La matrice des vecteurs propres est une matrice orthogonale Si A est orthogonale alors : A A' Si A est orthogonale A (si A est orthogonale, sont déterminant est égal à ) L_MS_M 5/

6 Math Stat Module : Diagonalisation d une matrice M Si A est (orthogonale) les valeurs propres de A ± (si A est orthogonale, ses valeurs propres sont égales à ou -. Si A est et B est orthogonale) AB C C (le produit de deux matrices orthogonales est une matrice Si A est smétrique alors C C' AC Λ ou Λ est la matrice des vecteurs propres de A tra λ i (la trace de A est égale à la somme des valeurs propres) C alors tr [ C' AC] tr[ A] Si de A. Si C est orthogonale, alors la trace de la matrice [C AC] est égale à la trace Si A idempotente alors les valeurs propres de A sont ou à, rang (A) tr[ A] Si C AC est idempotente alors C est orthogonale ( C ) L_MS_M /