Exercice. [, points ] On réalise la section de la sphère de centre O et de rayon R = OA = 7, cm par un plan, représenté ci-contre. 1. Sans justificati

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1 Mathématiques DST des Troisièmes ( 01/2/// ) du mardi 2 octobre 2012 LE SUJET EST A RENDRE AVEC VOTRE COPIE Durée 2h00 Calculatrice autorisée. NOM : Prénom : prof : Exercice.1 [ points ] On considère les nombres suivants : A 12, 1 02 B 7 2 et C. Toutes les étapes des calculs devront figurer sur votre copie. 1. Donner l'écriture scientifique de A et donner l'écriture scientifique de B. A 2. On pose D. Donner l'écriture scientifique de D. B. Ecrire C sous forme de fraction irréductible. Exercice.2 [ points ] Jean est le petit frère de Sophie : dans ans, Sophie sera exactement deux fois plus âgée que son petit frère. De plus, on sait que Sophie avait ans lors de la naissance de son petit frère. On se propose de déterminer l'âge actuel de Jean et celui de Sophie par deux méthodes différentes : on ne pourra donc pas utiliser dans la deuxième méthode le résultat obtenu par la première méthode. Méthode 1 a. Sans justification, compléter sur la feuille de l'énoncé le tableau suivant: Age de Jean Age de Sophie 7 8 b. Indiquer par une flèche la colonne pour laquelle Sophie a le double de l'âge de Jean, puis conclure sur la copie. Méthode 2 On note x l'âge actuel de Jean ( en années bien sûr ). a. Exprimer à l'aide de x l'âge actuel de Sophie. b. Dans années, quels seront, exprimés à l'aide de x, l'âge de Jean et l'âge de Sophie? c. Justifier en quelques lignes que l'on a : ( x ) 2 ( x ). d. Résoudre l'équation précédente puis conclure. Exercice. [ points ] ABCDEFGH est un cube d arête AB = 12 cm. On note : I le milieu du segment [AB], J le milieu du segment [AE] et K le milieu de [AD] 1. Calculer l aire du triangle AIK. 2. Calculer le volume de la pyramide AIKJ.. Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la pyramide AIKJ? Écrire le résultat sous forme d une fraction de numérateur 1.. Tracer le patron de la pyramide AIKJ. 1/2

2 Exercice. [, points ] On réalise la section de la sphère de centre O et de rayon R = OA = 7, cm par un plan, représenté ci-contre. 1. Sans justification, indiquer la nature de cette section. 2. Calculer la valeur du rayon R' = HA de cette section sachant que OH =, cm.. Calculer le périmètre de cette section arrondi au mm. Exercice. [ 1, points ] Un parc de jeu à une forme triangulaire. Il est représenté sur la figure ci-contre où les proportions ne sont pas respectées. Les dimensions réelles de ce terrain sont : DE = 12 m, EF = 9 m, DF = 1 m. Montrer que ce terrain possède un angle droit. Exercice. [ points ] Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse fausse fait perdre 1 point. Un total négatif est ramené à zéro. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Ecrire dans la colonne "votre réponse", sur la feuille de l'énoncé, la réponse A,B,C ou D choisie. Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D Votre réponse IJK est un triangle rectangle en I tel que IK = 2,7 cm, et KJ =, cm. Quelle est la longueur du côté [IJ]? 12,9 cm, cm 1,8 cm,2 cm Formule : le volume d'une boule de rayon R est V R. 1, 2 7 7,91 Le volume exact en cm d'une balle de tennis de, cm de rayon est : losange carré rectangle Parallélépipède rectangle Dans le cube ABCDEFGH, le quadrilatère ADGF est un : 2/2

3 Exercice.1 On considère les nombres suivants : Corrigé A 12, 1 02 B 7 2 et C. 1. A A, A, A, 2 2 L'écriture scientifique de A est :, B 2 B ( 7) ( 2) B 2, B 2, B 2, L'écriture scientifique de B est : 2,. A,12 2. D, donc, en utilisant les écritures scientifiques de A et B, on obtient : D B 2, 2 2, D 2, L'écriture scientifique de D est. On a : ( ), soit : D 2, ou encore : 2 1. D 2 1., puis : C 1 C 12 1 C 12 ( suite du calcul de C ) 19 C 7 19 C 7 19 C 7 D'où finalement : 7 C Exercice.2 Méthode 1 a. Age de Jean Age de Sophie b. C'est lorsque Sophie aura 12 ans qu'elle aura le double de l'âge de Jean. Comme cela se produira dans ans, on en déduit immédiatement que Sophie a actuellement 8 ans ( = 12-) et Jean, qui a ans de moins, a donc aujourd'hui 2 ans.

4 Méthode 2 On appelle x l'âge actuel de Jean ( en années bien sûr ). a. Jean a actuellement x années et Sophie est de années plus âgée que lui, donc elle a ( x ) années. b. Dans années, Jean aura ( x ) années, et Sophie aura : ( x ) années. c. On sait que, dans quatre ans, Sophie aura le double de l'âge de Jean, donc, en utilisantt l'expression des âges de Sophie et Jean valables dans ans, on obtient : ( x ) 2 ( x ). d. Résolvons l'équation : ( x ) 2 ( x ). En développant, on obtient : x 2x 8, puis : 8 2x x, ou encore : 2 x. Donc Jean a actuellement 2 ans, et Sophie, qui est plus âgée de années, a actuellement 8 ans. Exercice. [ points ] 1. Le triangle AIK est rectangle en A donc son aire est donnée par la formule : produit des côtés del ' angledroit. 2 AI AK D'où : AAIK 18. Le triangle AIK a une aire de 18 cm². 2 2 aire dela base hauteur 2. Le volume d'une pyramide est donné par : V. Comme on peut choisir pour base de la aire de AIK AJ 18 pyramide AIKJ le triangle AIK, on obtientt : V. La pyramide AIKJ a un volume de cm.. Le volume d'un cube d'arête a est a, donc le volume du cube ABCDEFGH d'arête 12 cm est 12 cm = 1728 cm. 1. Le volume de la pyramide représente donc 1/8 du volume du cube

5 Exercice. [, points ] Rappel : R = 7, cm 1. La section de la sphère par un plan est un cercle. 2. La figure indique que l'on note H le centre du cercle de section. On sait que : H est le centre du cercle de section, A est un point du cercle de section, O le centre de la sphère, donc d'après une propriété du cours, on en déduit que le triangle OHA est rectangle en H; on peut donc écrire l'égalité de Pythagore HA² + HO² = OA², qui donne ensuite successivement : HA² +,² = 7,², HA² + 20,2 =,2, HA² =,2-20,2, HA² =, HA =, HA = Le cercle de section a un rayon R' = cm.. Le périmètre d'un cercle de rayon R' est p 2 R ' ; avec R' = cm, on obtient : p 2 12, soit environ 7,7 cm. Le périmètre du cercle de section est environ 7,7 cm arrondi au mm. Exercice. [ 1, points ] Rappel : DE = 12 m, EF = 9 m, DF = 1 m. Calculons séparément : EF² + ED² = 9² + 12² = =22 DF² = 1² =22 On constate que EF² + ED² = DF²; l'égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle DEF est rectangle en E. Le terrain possède un angle droit, en E. Exercice. [ points ] IJK est un triangle rectangle en I tel que IK = 2,7 cm, et KJ =, cm. Quelle est la longueur du côté [IJ]? Formule : le volume d'une boule de rayon R est V R. Le volume exact en cm d'une balle de tennis de, cm de rayon est : Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D Votre réponse 12,9 cm, cm 1,8 cm,2 cm B 1, 2 7 7,91 D losange carré rectangle Parallélépipède rectangle C Dans le cube ABCDEFGH, le quadrilatère ADGF est un :