Théorie des ensembles

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1 SUPINFO Academic Dept Séances LABS Théorie des ensembles Activités pratiques Version 10 Last update: 04/08/2014 Use: Students/Staff Author: Laurent GODEFROY

2 SOMMAIRE 1 PREAMBULE 4 11 OBJECTIFS DE CES SEANCES LABS 4 12 REMARQUES SUR CES SEANCES ET EXERCICES 4 2 LOGIQUE DES PROPOSITIONS ET DES PREDICATS TECHNIQUES DE PREUVES MATHEMATIQUES 4 21 DISTRIBUTIVITE DE LA CONJONCTION ET DE LA DISJONCTION 5 22 FORMULES DE DE MORGAN 5 23 REECRITURE DE L IMPLICATION 5 24 DEUX PREUVES D UN MEME RESULTAT 5 25 PRODUIT DE NOMBRES PAIRS 5 26 REELS DIFFERENTS 6 27 IL N Y A PAS DE PLUS PETIT RATIONNEL * 6 28 IRRATIONALITE DE 2 * 6 29 NOMBRES RATIONNELS ET IRRATIONNELS ** 6 3 OPERATIONS SUR LES ENSEMBLES APPLICATIONS 6 31 DISTRIBUTIVITE DE L INTERSECTION ET DE LA REUNION 6 32 FORMULES DE DE MORGAN 6 33 UN EXEMPLE DISCRET 7 34 UN EXEMPLE CONTINU 7 35 IMAGES ET ANTECEDENTS D UNE APPLICATION 7 36 INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS 8 4 PROBLEMES DE DENOMBREMENT 8 41 LOTO 8 42 EXAMEN DE MANAGEMENT 8 43 CAMP DE VACANCES 8 44 ORDRE DE PASSAGE A UNE SOE 8 45 CODE D ENTREE 9 46 ANAGRAMMES 9 47 PORTE MANTEAU 9 48 TIERCE 9 49 NUMEROS DE TELEPHONE BELOTE 9 Page 2 sur 15

3 411 DEPLACEMENTS DANS UNE VILLE * JEU DE CARTES * CHEVAUX ** 10 5 THEOREMES FONDAMENTAUX DES ALGEBRES DE BOOLE FORMES CANONIQUES IDEMPOTENCE ELEMENTS ABSORBANTS ABSORPTION UNICITE DU COMPLEMENTAIRE INVOLUTION FORMULES DE DE MORGAN * MULTIPLE DU COMPLEMENT * FORMES CANONIQUES (1) FORMES CANONIQUES (2) FORMES CANONIQUES (3) FORMES CANONIQUES (4) 12 6 ETUDE DES FONCTIONS BOOLEENNES BINAIRES FORMES CANONIQUES (1) FORMES CANONIQUES (2) SIMPLIFICATION DE FONCTION BOOLEENNE (1) SIMPLIFICATION DE FONCTION BOOLEENNE (2) SIMPLIFICATION DE FONCTION BOOLEENNE (3) SIMPLIFICATION DE FONCTIONS BOOLEENNES (4) LECTURE D UN DIAGRAMME DE KARNAUGH (1) LECTURE D UN DIAGRAMME DE KARNAUGH (2) ABATTAGE DE BOIS (D APRES SUJET DE BTS) PARC INFORMATIQUE (D APRES SUJET DE BTS) 15 Page 3 sur 15

4 1 PREAMBULE 11 OBJECTIFS DE CES SEANCES LABS Les activités pratiques de la matière se déroulent en 5 séances de deux heures Chaque séance correspond à une partie du présent document A l issue de ces 5 séances, un étudiant devra : Connaître les bases de la logique des propositions et des prédicats Etre capable de faire une preuve par contraposée et une preuve par l absurde Connaître les différentes opérations réalisables sur des ensembles, et savoir les manier en pratique Maîtriser les bases du dénombrement : formule de Poincaré, principe multiplicatif, arrangements, combinaisons, permutations Savoir démontrer les théorèmes fondamentaux des algèbres de Boole Savoir déterminer les formes canoniques d une fonction booléenne de façon algébrique ou en utilisant une table de vérité Etre capable de transformer une table de vérité en diagramme de Karnaugh, et utiliser ce dernier pour trouver une expression simplifiée d une fonction booléenne binaire 12 REMARQUES SUR CES SEANCES ET EXERCICES 1 Il y a dans ce document plus d exercices que l on ne peut réellement en faire lors des séances «en classe» Cela permet aux étudiants d avoirs des énoncés afin de s entrainer Il faut juste veiller pendant les séances à faire des exercices de tous types 2 Certains titres d exercices sont suivis d étoiles Une étoile signifie exercice difficile, et deux étoiles exercice très difficile Ces derniers sont destinés aux étudiants les plus à l aise en mathématiques et ayant déjà résolu les autres énoncés 2 LOGIQUE DES PROPOSITIONS ET DES PREDICATS TECHNIQUES DE PREUVES MATHEMATIQUES Page 4 sur 15

5 21 DISTRIBUTIVITE DE LA CONJONCTION ET DE LA DISJONCTION Démontrer à l aide de tables de vérité les propriétés de distributivité des opérations de conjonction et de disjonction : et P ( Q R) ( P Q) ( P R) P ( Q R) ( P Q) ( P R) 22 FORMULES DE DE MORGAN Démontrer à l aide de tables de vérité les formules de De Morgan : et ( P Q) ( P) ( Q) ( P Q) ( P) ( Q) 23 REECRITURE DE L IMPLICATION Démontrer à l aide de tables de vérités cette formule de réécriture de l implication : ( ) ( P Q) ( P) Q 24 DEUX PREUVES D UN MEME RESULTAT Démontrer par contraposée puis par l absurde que pour un entier naturel n, n 2 pair n pair Petit rappel utile : si n est un entier naturel pair, il existe un entier naturel k tel que n=2k Si n est un entier naturel impair, il existe un entier naturel k tel que n = 2k+1 25 PRODUIT DE NOMBRES PAIRS Soient a, b deux entiers naturels Démontrer par contraposée que si le produit ab est pair, alors au moins un des entiers a ou b est pair Page 5 sur 15

6 26 REELS DIFFERENTS ( ) ( ) ( x +1) ( y 1) ( x 1) ( y +1) Démontrer par contraposée que pour des réels x et y, x y 27 IL N Y A PAS DE PLUS PETIT RATIONNEL * Démontrer par l absurde la proposition «il n y a pas de plus petit nombre rationnel strictement positif» 28 IRRATIONALITE DE 2 * Démontrer par l absurde que la racine carrée de 2 est irrationnelle 29 NOMBRES RATIONNELS ET IRRATIONNELS ** Démontrer par disjonction des cas le résultat suivant : il existe des nombres irrationnels a et b tels que a b soit rationnel 3 OPERATIONS SUR LES ENSEMBLES APPLICATIONS 31 DISTRIBUTIVITE DE L INTERSECTION ET DE LA REUNION Démontrer par double inclusion les propriétés de distributivité des opérations d intersection et de réunion : et A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( B C) = ( A B) ( A C) 32 FORMULES DE DE MORGAN Page 6 sur 15

7 Démontrer par double inclusion les formules de De Morgan : et C E C E ( A B) = C E ( A) C E B ( ) ( A B) = C E ( A) C E B ( ) 33 UN EXEMPLE DISCRET Considérons l ensemble E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, et ses sous- ensembles A = {1,2,3,5,7,9,10}, et B = {1,3,6,7,8} Déterminer A B, A B, A \ B, AΔB, C E A ( ) 34 UN EXEMPLE CONTINU ] ] [ 2;+ [ et B = ] 4;3[ Soit E l ensemble des nombres réels Soit A = ; 2 Décrire les sous- ensembles de E suivants : A B, A B, C E ( A), A \ B, B \ A, AΔB 35 IMAGES ET ANTECEDENTS D UNE APPLICATION On considère la fonction f de IR dans IR dont la représentation graphique est donnée ci- dessous : Quelle est l image de 0 par f? Donner en fonction de y le nombre d antécédents de y par f L application f est- elle injective? surjective? Page 7 sur 15

8 36 INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS Soient g : N N f : N N n f n ( ) = 2n et n g n ( ) = n si n est pair 2 n si n est impair L application f est- elle injective? surjective? bijective? Mêmes questions pour l application g 4 PROBLEMES DE DENOMBREMENT 41 LOTO Au loto, vous pouvez choisir parmi 49 numéros Une grille est composée de 6 numéros Combien existe t- il de grilles différentes? 42 EXAMEN DE MANAGEMENT Un examen de management se déroule sous la forme d un QCM de 40 questions avec à chaque fois une seule bonne réponse parmi 4 propositions De combien de façons peut- on répondre à cet examen? 43 CAMP DE VACANCES Dans un camp de vacances hébergeant 80 personnes, 55 personnes pratiquent la natation, 33 le tennis et 16 ne pratiquent aucun de ces deux sports Combien de personnes pratiquent à la fois le tennis et la natation? 44 ORDRE DE PASSAGE A UNE SOE Page 8 sur 15

9 La classe de B1 de Tours est constituée de 20 étudiants Il faut établir une liste de passage pour l examen oral de mathématiques Combien de listes peut- on constituer? 45 CODE D ENTREE Un code d entrée à un immeuble comporte 3 lettres distinctes suivies d un chiffre non nul Combien de codes peut- on former? 46 ANAGRAMMES Combien y- a- t- il d anagrammes du nom POINCARE? Même question avec le mot MULTIPLICATIF 47 PORTE MANTEAU Un porte- manteau comporte 10 patères De combien de façons peut- on y accrocher 7 manteaux différents sachant qu une patère ne peut supporter au plus qu un manteau? 48 TIERCE Une course de tiercé comporte 22 chevaux Combien y- a- t- il de tiercés dans l ordre? Combien y- a- t- il de tiercés dans le désordre? 49 NUMEROS DE TELEPHONE Combien peut- on constituer de numéros de téléphone à 10 chiffres commençant par 06? 410 BELOTE De combien de façons peut- on distribuer 32 cartes entre 4 joueurs quand on en donne 8 à chacun? 411 DEPLACEMENTS DANS UNE VILLE * Les rues d une ville imaginaire sont toutes à angles droits comme sur le dessin ci dessous Déterminer le nombre de chemins différents que l on peut emprunter pour relier les points A et B en Page 9 sur 15

10 se déplaçant uniquement vers la droite et vers le haut Sur ce dessin vous verrez un exemple d un tel chemin tracé en rouge : Même question avec une ville faisant 9 cases de largeur et 5 cases de hauteur 412 JEU DE CARTES * Dans un jeu de 32 cartes, on tire une «main» de 8 cartes Combien y a t- il de façons d obtenir : Un as et un seul Exactement deux as Aucun as Au moins un as Exactement deux trèfles Exactement deux trèfles et un as Exactement trois trèfles et deux rois Un carré et un seul 413 CHEVAUX ** On répartit au hasard huit chevaux numérotés de 1 à 8 dans 8 boxes à une place, également numérotés de 1 à 8 Combien y a- t- il de répartitions possibles? Combien y a- t- il de répartitions possibles de telle manière qu aucun des chevaux ne soit dans le box qui porte le même numéro que lui? 5 THEOREMES FONDAMENTAUX DES ALGEBRES DE BOOLE FORMES CANONIQUES Page 10 sur 15

11 51 IDEMPOTENCE Démontrer les relations d idempotence : a + a = a et aa = a 52 ELEMENTS ABSORBANTS Démontrer les propriétés d éléments absorbants : a +1=1 et a0 = 0 53 ABSORPTION ( ) = a Démontrer les formules d absorption : a + ab = a et a a + b 54 UNICITE DU COMPLEMENTAIRE Démontrer que pour deux éléments quelconques x et y de l algèbre, on a y = x ( ) ( xy = 0) ( ) x + y =1 ( ) 55 INVOLUTION Démontrer que l application unaire l algèbre, on a a = a a a est involutive, c est à dire que pour tout élément a de 56 FORMULES DE DE MORGAN * Démontrer les formules de De Morgan : a + b = a b et ab = a + b On utilisera pour ce faire le résultat du quatrième exercice de cette séance 57 MULTIPLE DU COMPLEMENT * ( ) = ab Démontrer les formules de multiple du complément : a + ab = a + b et a a + b Page 11 sur 15

12 58 FORMES CANONIQUES (1) Déterminer de façon algébrique les formes canoniques conjonctives et disjonctives de la fonction booléenne f a, b,c ( ) = ab 59 FORMES CANONIQUES (2) Déterminer de façon algébrique les formes canoniques conjonctives et disjonctives de la fonction booléenne f ( a, b,c) = ( a + b)c 510 FORMES CANONIQUES (3) Déterminer de façon algébrique les formes canoniques conjonctives et disjonctives de la fonction ( ) ( ) = a + c a + b booléenne f a, b,c 511 FORMES CANONIQUES (4) Déterminer de façon algébrique les formes canoniques conjonctives et disjonctives de la fonction booléenne f ( a, b,c, d) = ( ab + c + bd )( b + c) 6 ETUDE DES FONCTIONS BOOLEENNES BINAIRES 61 FORMES CANONIQUES (1) Déterminer en utilisant une table de vérité les formes canoniques conjonctives et disjonctives de la fonction booléenne f ( a, b,c) = ( a + b)c 62 FORMES CANONIQUES (2) Page 12 sur 15

13 Déterminer en utilisant une table de vérité les formes canoniques conjonctives et disjonctives de ( ) ( ) = a + c a + b la fonction booléenne f a, b,c 63 SIMPLIFICATION DE FONCTION BOOLEENNE (1) Après avoir fait son diagramme de Karnaugh, simplifier la fonction booléenne suivante : f a, b, c ( ) = abc + abc + abc 64 SIMPLIFICATION DE FONCTION BOOLEENNE (2) Après avoir fait son diagramme de Karnaugh, simplifier la fonction booléenne suivante : f a, b, c ( ) = ab + abc + bc + abc 65 SIMPLIFICATION DE FONCTION BOOLEENNE (3) Après avoir fait son diagramme de Karnaugh, simplifier la fonction booléenne suivante : f a, b,c, d ( ) = bcd + abd + abcd 66 SIMPLIFICATION DE FONCTIONS BOOLEENNES (4) Après avoir fait son diagramme de Karnaugh, simplifier la fonction booléenne suivante : f a, b,c, d ( ) = a + ab + abc + abcd 67 LECTURE D UN DIAGRAMME DE KARNAUGH (1) Quelle est l expression simplifiée de la fonction booléenne dont le diagramme de Karnaugh est le suivant : ab \ cd Page 13 sur 15

14 LECTURE D UN DIAGRAMME DE KARNAUGH (2) Quelle est l expression simplifiée de la fonction booléenne dont le diagramme de Karnaugh est le suivant : ab \ cd ABATTAGE DE BOIS (D APRES SUJET DE BTS) La société Jurabois exploite des coupes constituées exclusivement de feuillus et de résineux Elle désire simplifier le règlement que ses salariés doivent appliquer pour la coupe du bois Actuellement le règlement dit qu un arbre est à abattre dans les quatre cas suivants : Si c est un résineux au tronc droit mesurant plus de 20m de hauteur Si c est un feuillu de 50 ans ou plus S il a moins de 50 ans et mesure plus de 20m de hauteur S il est tordu Pour un arbre quelconque, on définit les variables booléennes suivantes : a=1 si l arbre est un résineux b=1 si l arbre a moins de 50 ans c=1 si l arbre mesure plus de 20m de hauteur d=1 si l arbre est tordu Page 14 sur 15

15 1 Ecrire la fonction booléenne f(a,b,c,d) qui traduit le règlement actuel d abattage d un arbre Grâce à une bonne gestion des forêts que la société exploite, il n y a maintenant plus d arbres tordus 2 Montrer que le nouveau règlement d abattage se traduit par la fonction g a, b,c ( ) = ac + ab + bc 3 Donner le diagramme de Karnaugh de cette fonction 4 Simplifier l expression de cette fonction 5 Ecrire la nouvelle règle d abattage d un arbre sous la forme la plus simple possible 610 PARC INFORMATIQUE (D APRES SUJET DE BTS) Le responsable du parc informatique d une entreprise envisage l acquisition de nouveaux ordinateurs Pour s équiper ce responsable s adresse à une entreprise de vente de matériel informatique qui propose des configurations prédéfinies (ordinateur et périphériques) On définit les critères suivants : a : la configuration comprend un graveur de DVD b : La configuration comprend une imprimante c : la configuration comprend un scanner Les contraintes d équipement excluent les configurations avec graveur DVD mais sans scanner ainsi que les configurations sans graveur et sans imprimante 1 Donner la fonction booléenne f traduisant les conditions d exclusion d une configuration 2 Donner son diagramme de Karnaugh 3 Donner l expression simplifiée de la fonction traduisant l acceptation d une configuration puis la formuler en langage courant Page 15 sur 15