Segmentation et reconstruction de micro-organismes à partir d images
|
|
- Simone Gilbert
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Segmentation et reconstruction de micro-organismes à partir d images Romain Vavassori 8 mai 2012 Table des matières 1 Introduction Etat de l art Travail réalisé Calibration Reconstruction Résultats 6 4 Conclusion 8 1 Introduction Ce projet est réalisé dans l équipe Morpheo du laboratoire de l INRIA, sous la tutelle de Jean-Sébastien Franco. Cette équipe s intéresse à l acquisition ainsi que l analyse des formes en mouvement, celà à travers des systèmes de caméras hétérogènes. Le projet se situe dans le cadre d une collaboration avec Emmanuel Raynaud de l University College Dublin. Leur thème de recherche est l étude du fonctionnement de tissus dans un but d atteindre une connaissance complète sur les mécanismes de sécrétions de la simple bactérie jusqu aux tissus complexes. Ce laboratoire a développé une nouvelle technologie permettant d obtenir de multiples images d organismes microscopique. L objectif de ce projet et le but conjoint de l UCD et l équipe Morpheo est d etudier la possibilité d obtenir des reconstructions 3D d objets microscopiques à partir de ces images, technique inédite sous cette forme. De plus, du fait de la nouveauté de cette technique, le type de données en découlant est unique et aucun travail n a encore été fait sur leur analyse. Celà justifie que l on doive s intéresser à la conception de techniques spécifiquement adaptées. 1
2 Fig. 1 Deux exemples de jeux de données. A gauche un copépode et à droite un insecte. Nous avons en notre possession plusieurs jeux de données de natures différentes, comme on peut le voir sur la figure 1. Ces jeux de données contiennent des silhouettes de micro-organismes photographiés sous un grand nombre d angles de vue différents. 1.1 Etat de l art Il existe beaucoup de techniques de reconstruction 3D différentes. L objectif de ce projet est d examiner une méthode particulière de reconstruction : celle à partir de silhouettes, qui nécessite certaines étapes de calibration, d extraction de silhouettes et enfin de reconstruction. Nous en verrons les détails plus loin. Dans ce qui suit on parlera de caméra même si nos données sont des photoraphies, car la modélisation du comportement d une caméra est équivalente à celle d un appareil photo. L acquisition d une image par une caméra est représentée par une transformation qui projète une scène 3D sur un plan 2D. Plusieurs modèles de projections sont communément utilisés. D abord la projection perspective, qui transforme un point P de l espace en un point I dans le plan image. La relation entre ces deux points est donnée par l équation (1), où f correspond à la distance focale : ( ) ( ) Ix f P x P = z (1) I y f Py P z Dans ce modèle les équations de projection ne sont pas linéaires. Un deuxième modèle de projection commun est la projection affine. Contrairement à la précédente, cette projection effectue une transformation linéaire, qu on peut matérialiser par un produit matriciel avec A une matrice 2 3 : I = AP (2) Ce cas revient à prendre le modèle de caméra perspective dans lequel la position de la caméra est rejetée à l infini et la distance focale est beaucoup plus importante que la distance caméra à objet. 2
3 Fig. 2 Projection de l objet sur le plan image. Notre cas est propice à la reconstruction à partir de silhouettes. Cette méthode utilise la donnée des silhouettes ainsi que les informations de projection des caméras pour reconstruire l objet en 3D. Chaque silhouette définit une région de l espace dans laquelle l objet est certains d être inclus. Cette région correspond à la projection inverse de la silhouette depuis le point de vue V. Elle donne un cône pour une projection perspective ou un cylindre pour une projection orthogonale (zone hachurée sur la figure 2). Comme l objet est inclus dans la région de chaque silhouette, le calcul de l intersection de toutes les régions nous donne une approximation de celui-ci. Plus le nombre d images utilisées est grand, plus la forme de l objet devient précise, car à chaque nouvelle image l intersection enlève des morceaux d espace dont on sait qu ils n appartiennent pas à l objet. L intersection de chacune de ces régions forme ce qui est appelé l enveloppe visuelle de l objet [2]. Cette enveloppe est la meilleure approximation de la forme réelle de l objet que nous puissions atteindre avec une reconstruction à partir de silhouettes. Cependant elle omet inévitablement certaines parties de l objet, celles qui ne peuvent être visibles sur aucune silhouette. La reconstruction nous impose donc de récupérer les contour de l objet. Pour extraire le contour des silhouettes il existe plusieurs méthodes de segmentation telles que Intelligent Scissors [4]. Celle-ci propose à l utilisateur de tracer un contour approximatif de l objet puis calcule le chemin de coût minimal, coût évalué de façon à ce qu un chemin collant au plus près des contours de l objet ait un faible coût. Il existe aussi la méthode GrabCut [5] pour laquelle on définit une région contenant les pixel du fond et une autre contenant les pixels de l objet, le reste de l image contenant des pixels dont on ne sait pas s ils appartiennent au fond ou à l objet. A partir de ces données la méthode calcule un modèle statistique pour les couleurs du fond ainsi qu un autre pour celles de l objet. Il décide ensuite de manière récursive pour chaque pixel restants s il fait partie du fond ou de l objet en fonction de sa probabilité d appartenance à un des modèles précédents. 3
4 2 Travail réalisé Le pipeline mis en place se découpe en trois parties : premièrement les images doivent être segmentées pour extraire le contour de l objet. Ensuite on retrouve les informations de projection de la prise de vue pour chaques images afin de calculer les volumes projectifs correspondants, c est l étape de calibration. Enfin on calcule la reconstruction du modèle 3D, c est-à-dire l intersection des volumes projectifs de chaque image. Etant donnée la durée de ce projet nous nous sommes concentré sur les parties calibration et reconstruction. La segmentation des images est effectuée à la main, ainsi que le placement des points d intérêt. 2.1 Calibration Pour pouvoir reconstruire le modèle 3D, notre méthode s appuie sur les informations de projection de chaque image. Nous ne connaissons pas les paramètres avec lesquels ont été prises les photographies, comme la position de la caméra dans l espace, le type de caméra, etc. Nous devons donc les retrouver seulement à partir de l image. C est pour cette raison qu il y a une étape de calibration. Pour la calibration on fait l hypothèse que les caméras avec lesquelles ont été prises les photos sont affines. C est une hypothèse de travail que l on formule, pouvant être vérifiée a posteriori (voir section 3). Le modèle de caméra affine est plus propice à notre cas de figure car la distance focale est bien plus importante que la distance caméra / objet. Cette hypothèse nous permet de n avoir qu à résoudre un système linéaire. L équation (2) nous donne modèle de projection utilisé. Soit m images, il y a donc m matrice de projections A i i 1,m, une par image. Soit n points P j j 1,n de la scène ayant chacun m projections p ij = A i P j. Nous obtenons la matrice D de taille 2m n suivante : p p 1n A 1 D =..... = AP, A =., P = ( ) P 1... P n p m1... p mn A m (3) Le but est de retrouver la matrice de projection A i de chaque caméra à partir des images. On doit donc remonter à A et P depuis la matrice D. Pour celà on calcule D en identifiant et en appariant des points reconnaissables dans chacunes des différentes images. L idée de Kanade et Tomasi [6] est d utiliser la méthode de Singular Value Decomposition pour décomposer la matrice D. Cette méthode donne la décomposition D = UW V T avec U, V et W ayant les propriétés suivantes : U une matrice 2m n avec U T U = Id. 4
5 W une matrice n n diagonale dont les valeurs diagonales sont les valeurs propres de D triées par ordre décroissant. V une matrice n n avec V T V = V V T = Id. On choisi ensuite A = U 3 et P = W 3 V3 T, où U 3 et V 3 représentent les matrices des 3 colonnes les plus à gauche des matrice U et V, et W 3 la sousmatrice 3 3 correspondante de W. L avantage de cette méthode est qu elle donne la meilleure approximation des valeurs réelles de A et P dans le cas où le système est bruité. Le problème du modèle de caméra affine est que la projection ne préserve ni les distances ni les angles, ce qui a comme conséquence que les volumes que nous tentons de reconstruire puissent être déformés. Nous effectuons un passage d une structure affine à une structure euclidienne. Pour n importe quelle matrice C inversible on peut garder l équivalence D = AP = (AC)(C 1 P ). On cherche  = AC qui réponde aux contraintes suivante, avec at i1 et at i2 les lignes de la matrice A i : aˆ i1 aˆ i2 = 0 aˆ i1 2 = 1 aˆ i2 2 = 1 a T i1 CCT a i2 = 0 a T i1 CCT a i1 = 1 a T i2 CCT a i2 = 1 En pratique on résout ce système en prenant E = CC T qu on déduit par la méthode des moindres carrés linéaires, puis on effectue une décomposition de Cholesky pour retrouver C. Celà implique que E soit définie positive, ce qui n est pas forcément le cas en présence de bruit [1]. Pour ce qui est du copépode, nous n avons pas pu appliquer ce passage car la matrice E n était pas définie positive, ce qui a empéché la résolution des contraintes. Nous n en connaissons pas la raison, même s il se pourrait que ce soit dû au bruit. 2.2 Reconstruction A partir du moment ou nous avons les paramètres de projection ainsi que le contour de l objet pour chaque image, nous pouvons effectuer la transformation inverse qui nous donne le volume de l espace correspondant à la partie cachée dans la silhouette. Pour chaque image nous avons la matrice de projection A = ( a b c d e f ), a 1 = a b c, a 2 = Si on prend p 0 pour origine alors à chaque point ( ) xj p j = y j d e f (4) (5) (6) 5
6 (a) (b) Fig. 3 (a) Volume projectif calculé. (b) Réunion des volumes de plusieurs images. de l image correspond la droite d équation x j x 0 a 1 a 1 + y j y 0 a 2 a 2 + λa 1 a 2 (7) A partir de là on peut reconstruire le volume de chaque silhouette connaissant les points du contour. On peut voir un exemple de volume calculé sur la figure 3 (a). La figure 3 (b) montre les volumes tirés de 4 images différentes. Au final on retrouve l enveloppe visuelle de l objet en calculant l intersection de tous les volumes précédement calculés. 3 Résultats La solution mise en place fonctionne. Nous somme capable de reconstruire un modèle 3D à partir de plusieurs prise de vues. Les figures 4 et 5 montrent les résultats obtenus pour une reconstruction à partir de 4 images, pour deux jeux de données. Dans l état actuel des choses, notre méthode n est pas optimale. Nous ne pouvons pas utiliser beaucoup d images pour reconstruire car la reconstruction prend beaucoup de temps : il nous faut 30 minutes pour reconstruire un modèle à partir de 4 images. Une question subsiste, à savoir si on peut confirmer l hypothèse d affinité des caméras, hypothèse faite dans la section 2.1. On peut s appuyer pour celà sur les valeurs propres de la SVD calculées dans l étape de calibration. Dans le cas idéal la matrice D est de rang 3, seules les 3 premières valeurs propres de la SVD sont non-nulles [1]. En pratique chaque valeur propre de la SVD est non-nulle à cause des erreurs commises dues au bruit de l image. Le ratio entre la troisième et la quatrième valeur propre donne une bonne indication de l erreur commise. 6
7 Fig. 4 Reconstruction de l insecte à partir de 4 images. Fig. 5 Reconstruction du copépode à partir de 4 images. 7
8 Le ratio que nous obtenons pour l insecte est de 7.16 et celui pour le copépode est de Dans les deux cas l erreur commise ne dépasse pas les 15%, ce qui tend à confirmer notre hypothèse d affinité. 4 Conclusion Nous avons montré qu il est possible de reconstruire un modèle 3D à partir de différentes photos prises au microscope. Notre méthode consiste à segmenter les images afin d extraire le contour de l objet, puis on calcule les informations de projection de caméras pour la calibration, pour enfin reconstruire le modèle 3D comme l intersection des volumes projectifs. Le prototype mis en place montre la faisabilité de cette méthode. Il reste beaucoup d améliorations possibles comme l optimisation du temps de reconstruction, l automatisation de la segmentation du contour des objets ainsi que l automatisation de la recherche de points d intérêt pour la calibration. Pour cette dernière, une méthode pouvant être utilisée est l algorithme SIFT [3]. De plus, chaque point d intérêt n est en pratique visible que sur une fraction des images. Ce cas n est pas géré par notre méthode mais comme le montre [6] il peut faire l objet d une implémentation. Références [1] D. Forsyth and J. Ponce. Computer Vision : A Modern Approach. Prentice Hall Series in Artificial Intelligence. Prentice Hall, [2] A. Laurentini. The visual hull concept for silhouette-based image understanding. Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on, 16(2) : , [3] D.G. Lowe. Object recognition from local scale-invariant features. In Computer Vision, The Proceedings of the Seventh IEEE International Conference on, volume 2, pages Ieee, [4] E.N. Mortensen and W.A. Barrett. Intelligent scissors for image composition. In Proceedings of the 22nd annual conference on Computer graphics and interactive techniques, pages ACM, [5] C. Rother, V. Kolmogorov, and A. Blake. Grabcut : Interactive foreground extraction using iterated graph cuts. In ACM Transactions on Graphics (TOG), volume 23, pages ACM, [6] C. Tomasi and T. Kanade. Shape and motion from image streams under orthography : a factorization method. International Journal of Computer Vision, 9(2) : ,
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailProjet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies
Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Régis Boulet Charlie Demené Alexis Guyot Balthazar Neveu Guillaume Tartavel Sommaire Sommaire... 1 Structure
Plus en détailApprentissage Automatique
Apprentissage Automatique Introduction-I jean-francois.bonastre@univ-avignon.fr www.lia.univ-avignon.fr Définition? (Wikipedia) L'apprentissage automatique (machine-learning en anglais) est un des champs
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailL.T.Mohammedia CHAINE D ENERGIE - DESSIN TECHNIQUE S.CHARI
I. Introduction Pourquoi le dessin technique? Le Dessin Technique est une façon de représenter des pièces réelles (donc en 3 dimensions) sur une feuille de papier (donc en 2 dimensions) que l on appelle
Plus en détailPlus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
Plus en détailL analyse d images regroupe plusieurs disciplines que l on classe en deux catégories :
La vision nous permet de percevoir et d interpreter le monde qui nous entoure. La vision artificielle a pour but de reproduire certaines fonctionnalités de la vision humaine au travers de l analyse d images.
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailÉvaluation de la régression bornée
Thierry Foucart UMR 6086, Université de Poitiers, S P 2 M I, bd 3 téléport 2 BP 179, 86960 Futuroscope, Cedex FRANCE Résumé. le modèle linéaire est très fréquemment utilisé en statistique et particulièrement
Plus en détailReconnaissance de visages 2.5D par fusion des indices de texture et de profondeur ICI 12/12/12
Reconnaissance de visages 2.5D par fusion des indices de texture et de profondeur ICI 12/12/12 2 Discrimination Invariance Expressions faciales Age Pose Eclairage 11/12/2012 3 Personne Inconnue Identité
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailExercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain
Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 0 On considère un univers de titres constitué
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailChapitre 22 Optimisation pour diffusion à l'écran, pour le web
1 1 9 9 7 7 Optimisation pour diffusion à l'écran, pour le web Diffusion pour le web........................ 31 Les paramètres avant l exportation................. 31 Optimisation pour le web......................
Plus en détaildonnées en connaissance et en actions?
1 Partie 2 : Présentation de la plateforme SPSS Modeler : Comment transformer vos données en connaissance et en actions? SPSS Modeler : l atelier de data mining Large gamme de techniques d analyse (algorithmes)
Plus en détailAnalyse de la vidéo. Chapitre 4.1 - La modélisation pour le suivi d objet. 10 mars 2015. Chapitre 4.1 - La modélisation d objet 1 / 57
Analyse de la vidéo Chapitre 4.1 - La modélisation pour le suivi d objet 10 mars 2015 Chapitre 4.1 - La modélisation d objet 1 / 57 La représentation d objets Plan de la présentation 1 La représentation
Plus en détailTechniques d interaction dans la visualisation de l information Séminaire DIVA
Techniques d interaction dans la visualisation de l information Séminaire DIVA Zingg Luca, luca.zingg@unifr.ch 13 février 2007 Résumé Le but de cet article est d avoir une vision globale des techniques
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailOptimisation, traitement d image et éclipse de Soleil
Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement
Plus en détailEnjeux mathématiques et Statistiques du Big Data
Enjeux mathématiques et Statistiques du Big Data Mathilde Mougeot LPMA/Université Paris Diderot, mathilde.mougeot@univ-paris-diderot.fr Mathématique en Mouvements, Paris, IHP, 6 Juin 2015 M. Mougeot (Paris
Plus en détailIntroduction à MATLAB R
Introduction à MATLAB R Romain Tavenard 10 septembre 2009 MATLAB R est un environnement de calcul numérique propriétaire orienté vers le calcul matriciel. Il se compose d un langage de programmation, d
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailLa classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
Plus en détailMaster IAD Module PS. Reconnaissance de la parole (suite) Alignement temporel et Programmation dynamique. Gaël RICHARD Février 2008
Master IAD Module PS Reconnaissance de la parole (suite) Alignement temporel et Programmation dynamique Gaël RICHARD Février 2008 1 Reconnaissance de la parole Introduction Approches pour la reconnaissance
Plus en détailEncryptions, compression et partitionnement des données
Encryptions, compression et partitionnement des données Version 1.0 Grégory CASANOVA 2 Compression, encryption et partitionnement des données Sommaire 1 Introduction... 3 2 Encryption transparente des
Plus en détailExposition. VLR plongée e commission photo
Exposition VLR plongée e commission photo Agenda Définitions Exposition / analogie du verre d eau (de vin?) Ouverture Vitesse Sensibilité La notion d EV Pourquoi cela ne suffit pas? Dynamique des capteurs
Plus en détailFrancis BISSON (06 794 819) Kenny CÔTÉ (06 836 427) Pierre-Luc ROGER (06 801 883) IFT702 Planification en intelligence artificielle
Francis BISSON (06 794 819) Kenny CÔTÉ (06 836 427) Pierre-Luc ROGER (06 801 883) PLANIFICATION DE TÂCHES DANS MS PROJECT IFT702 Planification en intelligence artificielle Présenté à M. Froduald KABANZA
Plus en détailLE PROJOPHONE de Fresnel
LE PROJOPHONE de Fresnel Le principe général est assez simple : l'image de l écran est agrandie et projetée à l'aide de la lentille optique. Nous allons commencer par créer un élément dans lequel le téléphone
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailProgrammation Linéaire - Cours 1
Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.
Plus en détailLES OUTILS D ALIMENTATION DU REFERENTIEL DE DB-MAIN
LES OUTILS D ALIMENTATION DU REFERENTIEL DE DB-MAIN Les contenues de ce document sont la propriété exclusive de la société REVER. Ils ne sont transmis qu à titre d information et ne peuvent en aucun cas
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailLicence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
Plus en détailmodélisation solide et dessin technique
CHAPITRE 1 modélisation solide et dessin technique Les sciences graphiques regroupent un ensemble de techniques graphiques utilisées quotidiennement par les ingénieurs pour exprimer des idées, concevoir
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailAnalyse d images. Edmond.Boyer@imag.fr. Edmond Boyer UFRIMA 1
Analyse d images Edmond.Boyer@imag.fr Edmond Boyer UFRIMA 1 1 Généralités Analyse d images (Image Analysis) : utiliser un ordinateur pour interpréter le monde extérieur au travers d images. Images Objets
Plus en détailReconstruction de bâtiments en 3D à partir de nuages de points LIDAR
Reconstruction de bâtiments en 3D à partir de nuages de points LIDAR Mickaël Bergem 25 juin 2014 Maillages et applications 1 Table des matières Introduction 3 1 La modélisation numérique de milieux urbains
Plus en détailCalculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010
Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1
Plus en détailL exclusion mutuelle distribuée
L exclusion mutuelle distribuée L algorithme de L Amport L algorithme est basé sur 2 concepts : L estampillage des messages La distribution d une file d attente sur l ensemble des sites du système distribué
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailProblèmes de dénombrement.
Problèmes de dénombrement. 1. On se déplace dans le tableau suivant, pour aller de la case D (départ) à la case (arrivée). Les déplacements utilisés sont exclusivement les suivants : ller d une case vers
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailCommunications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes
Loris MARCHAL Laboratoire de l Informatique du Parallélisme Équipe Graal Communications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes Thèse réalisée sous la direction
Plus en détailLa baisse tendancielle des rentes réduitelle la demande d épargne retraite? Leçons tirées d une réforme des tables de mortalité
La baisse tendancielle des rentes réduitelle la demande d épargne retraite? Leçons tirées d une réforme des tables de mortalité Alexis DIRER LEO, Université d Orléans Co-écrit avec Rim Ennajar-Sayadi Journée
Plus en détailSynthèse d'images I. Venceslas BIRI IGM Université de Marne La
Synthèse d'images I Venceslas BIRI IGM Université de Marne La La synthèse d'images II. Rendu & Affichage 1. Introduction Venceslas BIRI IGM Université de Marne La Introduction Objectif Réaliser une image
Plus en détailIsadora. Photo jpeg qualité 50% %, 320X240. Prérequis
Isadora Format des vidéos Exporter vidéo et audio Photo jpeg qualité 50% %, 320X240 Prérequis Quick Time Player Installer version gratuite Isadora, sur le site Matrox Tronic, selon vos besoins PC / MAC
Plus en détailVérification audiovisuelle de l identité
Vérification audiovisuelle de l identité Rémi Landais, Hervé Bredin, Leila Zouari, et Gérard Chollet École Nationale Supérieure des Télécommunications, Département Traitement du Signal et des Images, Laboratoire
Plus en détailELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012
ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailConception d'un réseau de transport d'électricité
La Fédération Française des Jeux Mathématiques et la Société de Calcul Mathématique SA avec l'appui de Réseau de Transport d'electricité Conception d'un réseau de transport d'électricité Auteurs : Florian
Plus en détailNOEUD HERRINGBONE-PINEAPPLE STANDARD TYPE and PASS
CopyrightCharles HAMEL aka Nautile 2012 Oct16th page 1 on 10 NOEUD HERRINGBONE-PINEAPPLE STANDARD TYPE and PASS Le sujet PASS a été traité ailleurs par moi alors consultez les pdf et les pages appropriées
Plus en détailEvaluation des performances de programmes parallèles haut niveau à base de squelettes
Evaluation des performances de programmes parallèles haut niveau à base de squelettes Enhancing the Performance Predictability of Grid Applications with Patterns and Process Algebras A. Benoit, M. Cole,
Plus en détailPROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES
Leçon 11 PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Dans cette leçon, nous retrouvons le problème d ordonnancement déjà vu mais en ajoutant la prise en compte de contraintes portant sur les ressources.
Plus en détailProjet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR
Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Introduction En analyse d images, la segmentation est une étape essentielle, préliminaire à des traitements de haut niveau tels que la classification,
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailNotice d Utilisation du logiciel Finite Element Method Magnetics version 3.4 auteur: David Meeker
Notice d Utilisation du logiciel Finite Element Method Magnetics version 3.4 auteur: David Meeker DeCarvalho Adelino adelino.decarvalho@iutc.u-cergy.fr septembre 2005 Table des matières 1 Introduction
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailConsortium de recherche FOR@C. Value Stream Mapping Formation
Consortium de recherche FOR@C Value Stream Mapping Formation Table des matières Historique VSM: C est quoi? VSM: Ça inclut quoi? Exemple d un VSM Étape de réalisation du VSM 2 Historique Méthode développée
Plus en détail«Cours Statistique et logiciel R»
«Cours Statistique et logiciel R» Rémy Drouilhet (1), Adeline Leclercq-Samson (1), Frédérique Letué (1), Laurence Viry (2) (1) Laboratoire Jean Kuntzmann, Dép. Probabilites et Statistique, (2) Laboratoire
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailLaboratoire 4 Développement d un système intelligent
DÉPARTEMENT DE GÉNIE LOGICIEL ET DES TI LOG770 - SYSTÈMES INTELLIGENTS ÉTÉ 2012 Laboratoire 4 Développement d un système intelligent 1 Introduction Ce quatrième et dernier laboratoire porte sur le développement
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailPROJET DE DIPLÔME HACKING & DESIGN
PROJET DE DIPLÔME HACKING & DESIGN au service du design graphique GEOFFREY DORNE 2008-2009 THÉORIE HACKING DESIGNING LE HACKING C EST - BIDOUILLER - CRÉER DES MÉTA-OUTILS - DIFFUSER - CONNECTER - HACKER
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailIFO. Soleil. Antoine COUSYN 29/07/2012 08/02/2015. Vidéo. Manipur, Inde. Saturation du capteur CMOS. 19 Juin 2011. 15h11 heure locale.
Rapport d expertise IPACO Nom de l expert Antoine COUSYN Date du rapport 29/07/2012 Dernière mise à jour 08/02/2015 Type IFO Classe A Explication Saturation du capteur CMOS Complément Soleil Document Lieu
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailAnalyse dialectométrique des parlers berbères de Kabylie
Saïd GUERRAB Analyse dialectométrique des parlers berbères de Kabylie Résumé de la thèse (pour affichage) Il est difficile de parler du berbère sans parler de la variation. Il y a d abord une variation
Plus en détailUniversité du Québec à Chicoutimi. Département d informatique et de mathématique. Plan de cours. Titre : Élément de programmation.
Université du Québec à Chicoutimi Département d informatique et de mathématique Plan de cours Titre : Élément de programmation Sigle : 8inf 119 Session : Automne 2001 Professeur : Patrice Guérin Local
Plus en détailNON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX
NON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX Vêlayoudom MARIMOUTOU Laboratoire d Analyse et de Recherche Economiques Université de Bordeaux IV Avenue. Leon Duguit, 33608 PESSAC, France tel. 05 56 84 85 77 e-mail
Plus en détailTechnique opératoire de la division (1)
Unité 17 Technique opératoire de la division (1) Effectuer un calcul posé : division euclidienne de deux entiers. 1 Trois camarades jouent aux cartes. Manu fait la distribution en donnant à chaque joueur
Plus en détailI4 : Bases de Données
I4 : Bases de Données Passage de UML au modèle relationnel Georges LOUIS Département Réseaux et Télécommunications Université de La Rochelle Module I4 2008-2009 1 G.Louis Sommaire 1 Des classes aux tables
Plus en détailSimulation de point de vue pour la localisation d une caméra à partir d un modèle non structuré
Simulation de point de vue pour la localisation d une caméra à partir d un modèle non structuré Pierre Rolin Marie-Odile Berger Frédéric Sur LORIA, UMR CNRS 7503, Université de Lorraine INRIA Nancy Grand
Plus en détailTechniques de stockage. Techniques de stockage, P. Rigaux p.1/43
Techniques de stockage Techniques de stockage, P. Rigaux p.1/43 Techniques de stockage Contenu de ce cours : 1. Stockage de données. Supports, fonctionnement d un disque, technologie RAID 2. Organisation
Plus en détailNotes de lecture : Dan SPERBER & Deirdre WILSON, La pertinence
Notes de lecture : Dan SPERBER & Deirdre WILSON, La pertinence Gwenole Fortin To cite this version: Gwenole Fortin. Notes de lecture : Dan SPERBER & Deirdre WILSON, La pertinence. 2006.
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détail