1 ère S Exercices sur les angles orientés (2)

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1 1 ère S Exercices sur les angles orientés (2) Dans tous les exercices, le plan orienté P est muni d un repère orthonormé direct d origine et l on note le cercle trigonométrique n note,, ', ' les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1), ( 1 ; 0), (0 ; 1) 7 1 Soit l image de sur le cercle trigonométrique 1 ) Déterminer la mesure principale en radians de l angle orienté ; 2 ) onstruire au compas ême exercice que le 1 avec ême exercice que le 1 avec 127 Soit l image de sur le cercle 1 ) Quel est l ensemble des réels x de l intervalle ; dont l image appartient à l arc? 2 ) Quel est l ensemble des réels x de l intervalle ; dont l image appartient à l arc '? ) Quel est l ensemble des réels x de l intervalle 0 ; 2 dont l image appartient à l arc?

2 orrigé Dans les exercices 1 à, on donne les mesures principales en fonction de 1 est l image de 7 7 sur le cercle trigonométrique donc par définition on a : ; ' 2 est l image de x sur le cercle trigonométrique signifie que x est une mesure de l angle orienté ; 1 ) Déterminons la mesure principale en radians de l angle orienté ; n encadre 7 (au numérateur) par deux multiples entiers de (dénominateur) n va utiliser 2 car 2 est pair pour décomposer 7 n commence par tracer un cercle trigonométrique (assez gros, par exemple, en prenant un rayon de 5 cm ; le rayon du cercle trigonométrique sera alors de 1 en prenant 5 cm pour unité de longueur) n peut construire le point d un seul coup de compas n place la pointe sèche du compas au point ' n prend un écart de compas égal au rayon du cercle Le point est alors obtenu sur l arc ' (Il est inutile de refaire toutes les marques de compas à partir du point ) Sur la figure, on ne trace pas le tout le cercle de centre ' et de rayon 1 n se contente seulement d un petit arc de cercle qui permet d obtenir le point ; 12 Donc la mesure principale en radians de l angle orienté ; est 2 N : Il y a d autres méthodes pour obtenir le point : - en plusieurs coups de compas ; - en traçant la médiatrice du segment [ ' ] (en prenant la «moitié» de [ ' ]) Sur la figure, on marque l angle orienté ; 2 flèche) et l on écrit 7 n écrit (même notation qu un angle normal sauf que l on met une 2 ) onstruction du point La mesure principale de l angle orienté ; est une valeur remarquable donc on va pouvoir construire le point à la règle et au compas de manière très simple

3 Donc la mesure principale en radians de l angle orienté ; est 2 ) onstruction du point n peut construire le point d un seul coup de compas n place la pointe sèche du compas au point n prend un écart de compas égal au rayon du cercle Le point est alors obtenu sur l arc ' 2 7 ' 2 l image de 205 sur le cercle trigonométrique donc ; ) Déterminons la mesure principale en radians de l angle orienté ; n encadre 205 (au numérateur) par deux multiples entiers de (dénominateur) n va utiliser 8 car 8 est pair pour décomposer ; ' 205

4 127 l image de 127 sur le cercle trigonométrique donc ; 1 ) Déterminons la mesure principale en radians de l angle orienté ; Donc la mesure principale en radians de l angle orienté ; 5 est ' 2 ) onstruction du point n peut construire le point d un seul coup de compas n place la pointe sèche du compas au point n prend un écart de compas égal au rayon du cercle Le point est alors obtenu sur l arc ' N : Il y a d autres méthodes pour obtenir le point : - en plusieurs coups de compas ; - en traçant la médiatrice du segment [ ] ; en traçant un angle de puis en effectuant une construction de bissectrice : image de sur le cercle n fait une figure dans chaque cas (donc trois figures) 1 ) Déterminons l ensemble des réels x de l intervalle ; dont l image appartient à l arc Il s agit d un petit arc ' n part de ' ; on fait un tout complet dans le sens trigonométrique jusqu à se retrouver en ' Notre parcours se «divise» en 2 : petit arc ' ; 2 petit arc ' ; L ensemble des valeurs est : ; ; 2

5 ) Déterminons l ensemble des réels x de l intervalle 0 ; 2 dont l image appartient à l arc Il s agit d un grand arc n va de à en tournant dans le sens trigonométrique n parcourt un grand arc ' L ensemble des valeurs est : ; ) Déterminons l ensemble des réels x de l intervalle ; dont l image appartient à l arc ' ' Il s agit d un grand arc n va de à ' en tournant dans le sens trigonométrique n parcourt un grand arc 2 L ensemble des valeurs est : ; '