UNIVERSITE SAAD DAHLAB DE BLIDA

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1 Cours 3 : Interrétation géométrique de la rogrammation linéaire Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 27

2 On aelle " esace vectoriel V " un ensemble de vecteurs tel que la somme de vecteurs quelconques de V et le roduit d'un vecteur quelconque ar un scalaire aartiennent aussi à V ce qui s'exrime ar : (x, x') V 2, (λ,λ') 2, λ.x + λ'.x' V. On aelle " variété linéaire " V dans n un ensemble de vecteurs de n tel que (x, y) V 2, λ, λ.x + ( -λ).y V. Toute variété linéaire est de la forme V = x + M où M est un sous esace vectoriel de n. Si x est un vecteur fixé, inversement x + M est une variété linéaire de n. Si x = O n, V = M est un sous esace de n et dim V = dim M. Exemle. Dans 3, tout demi-lan et toute droite ne assant as ar l'origine sont des sous variétés linéaires. Tout demi-lan et toute demi-droite assant ar l'origine sont des sous esaces de n. Définition : On aelle ensemble convexe C un ensemble tels que Proositions : (x, x 2 ) C 2, λ, λ,, λ.x + ( -λ).x 2 C. Si C n est convexe et β alors l'ensemble β. C = { x / x = β.c, c C}est convexe. 2. Si C et D sont convexes alors C + D = { x / x = c + d, c C et d D} est convexe. 3. L'intersection d'une collection d'ensembles convexes est convexe. Définitions 2 : soit A n un sous ensemble quelconque de n. On aelle " enveloe convexe " de A notée <A>, l'intersection de tous les ensembles convexes contenant A. <A> = { λ.x, λ, x A } Définition 3 : On aelle " cône " C un ensemble de oints tel que x C, λ, λ, λ.x C. On aelle " cône convexe " C, un cône qui est un ensemble convexe. Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 28

3 Il se caractérise ar le fait qu'il soit un ensemble qui s'il contient un oint x, il contient aussi le rayon (demi-droite issue de l'origine) assant ar x. Définitions 3 : Un hyerlan est une variété linéaire de dimension (n-) (ou de codimension égale à un) Proosition 2 (Caractérisation d'un hyerlan) : Soit H un hyerlan dans n. Il existe un vecteur a n et une constante c tel que H = { x n / a. x = c }. Preuve : Soit x H, osons M = H - x. M est un sous esace vectoriel (s.e.v) de H et dim M = dim H ( à montrer!). Soit a = (a, a 2,.., a n ) un vecteur orthogonal à M x M, a. x =. Alors a. x = c car x H. x H, x - x M car M = H - x. a. (x - x ) = a. x = a. x = c. a. x = c H { x / a. x = c }. H est de dimension (n-) et contenu dans l'esace { x / a. x = c }alors forcément H = { x / a. x = c }. ( à la seule condition de montrer que {x / a. x = c } est de dimension (n-)!!!). En effet, la résolution de l'équation a. x = a. x + a. x a. x n = c admet comme solution x = c a - 2 a a λ - a3 λ2 - - a D'où H = { x / a. x = c }. a n a λ n-, si on fixe x 2 = λ, x 3 = λ 2,, x n = λ n-. Définitions 5 : Soient a = ( a,, a n ) un vecteur de n et c. On aelle : - demi esace ositif fermé l'ensemble H + = { x / a.x c} - demi esace négatif fermé l'ensemble H - = { x / a.x c} - demi esace négatif ouvert l'ensemble - demi esace ositif ouvert l'ensemble H = { x / a.x < c} H + = { x / a.x > c} H + H - = n Tout hyerlan et tout demi esace sont convexes. Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 29

4 Définition 6 : On aelle olytôe (ou tronçon) l'intersection d'un nombre fini de demi esaces fermés de n. Un olytôe est un ensemble convexe fermé. On aelle " olyèdre " un olytôe convexe borné (non vide). C'est un ensemble comact. On définit un roduit scalaire, une forme bilinéaire définie ositive ar : n a. x = <a, x> = a i x i Théorème : Soient C un ensemble convexe fermé et y un oint extérieur à C (y C) alors il existe un vecteur a n tel que <a, y> < inf < a, x > x C Preuve : Soit f(x) = x - y et suosons que C soit borné (un comact). F est continue sur C, atteint son minimum δ > en un oint x C. D'où, min x y = x y x C = δ. Soit a = x - y et montrons que " a " satisfait (). Soit x C et α, on a z = α x + ( - α ) x C d'où z = x + α ( x - x ) C. Calculons z- y x - y x + α ( x - x ) - y 2 x - y 2 < x - y + α ( x - x ), x - y + α ( x - x ) < x - y, x - y > α 2 < x - x, x - x > + 2 α < x - y, x - x >. < x - y, x - x > < x - y, x > < x - y, x > < x - y, x > = < x - y, x - y + y > = < x - y, y > +< x - y, x - y> < x - y, x > < x - y, y > + < x - y, x - y> inf x C < a, x > > <a, y>. 2. Soit C non borné. Considérons { f(x) = x - y, x C } borné inférieurement ar. Soit Inf x y = x y = δ et δ >. x C Si δ alors x - y = x = y. Ce qui est imossible car y C. Considérons une boule de centre y et de rayon 2δ. B = { z / x - y 2δ 2 } et l'ensemble C' = B C. C' est convexe fermé et borné et y C. D'arès le cas, on a inf < a, x > > <a, y>, C' C. x C' () Si x C - C' et x C' on a : x y = δ Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 3

5 x + α ( x - x ) - y 2 > x - y 2 inf x C C' < a, x > > <a, y> Ce théorème signifie que tout ensemble C convexe fermé et un oint y C, il existe un hyerlan assant ar y et tel que C soit contenu dans l'un des demi esaces ouvert qu'il définit. Remarque : On aelle rojection d'un oint y sur un ensemble C convexe fermé un oint x tel que x - y = inf x y = δ. x C Théorème 2 : " C " un ensemble convexe fermé et y un oint frontière de C alors il existe un hyerlan assant ar y et tel que C soit contenu dans l'un des demi esaces fermés qu'il définit. Définition 7 : Un hyerlan H assant ar un oint frontière de " C " convexe fermé et contenant C dans l'un des demi esaces fermés est aelé hyerlan de suort ou d'aui. S'il existe en y un hyerlan tangent alors il coïncide avec l'hyerlan d'aui et dans ce cas, l'hyerlan d'aui est unique! On a rerésenté le cas où il n'existe as de tangente bien que les droites assent ar ce oint. Définition 8 : Soit " C " un ensemble convexe fermé. On aelle extrême x (oint extrême, oint angulaire) tout oint x de C s'il n'existe as deux oints distincts de C, x et x 2 tels que x = α x + ( - α) x 2 ; < α <. Géométriquement, x est un sommet s'il ne eut être trouvé à l'intérieur d'un segment reliant deux oints distincts x et x 2 dans C. x 2 C x y H x x 3 Dans la figure ci dessus " x " n'est as un sommet. Par contre, x, x 2 et x 3 le sont. Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 3

6 Théorème 3 : La fonction objectif du roblème de la rogrammation linéaire définie sur le olyèdre K atteint son minimum(res. son maximum) en un oint extrême de K. Preuve : soit un PL sous forme standard Soient x,, (P) min z = cx Ax = d x x les oints extrêmes de Ket x une solution otimale de ()-(3). Suosons le contraire, que x n'est as un oint extrême de K. Alors x = λixi et où λ i =, avec λ i () (2) (3) Z(x )= Z( λi x i ) = λ i Z(xi ) (4) Déterminons la valeur minimale que rend la fonction objectif Z aux oints extrêmes, min Z(xi ) = Z(x r ). i {,...,} Remlaçons dans (4) chaque Z( x i ) ar Z( x r ). D'où Z(x )= Z( λi x i ) = λ i Z(xi ) Z(xr ) λ i Z(x r ) Ou Z( x ) Z(x ). Ce qui imlique que x n'est as une solution otimale. r D'où x est un sommet de K. Théorème 4 : si la fonction objectif rend sa valeur minimale (ou maximale) en aux lus d'un oint extrême alors toutes combinaison linéaire convexe de ces oints donne la même valeur à la fonction objectif. Preuve: Soient x,, x les oints extrêmes de Ket Z( x ) = = Z( x ) = α, la valeur minimale (res. maximale). Soit x = λixi et où λ i =, avec λ i Z( x )= Z( λi x i ) = α λ i = α = Z(xi ) Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 32

7 Remarque 2: Les roblèmes de la rogrammation linéaire sous forme canonique euvent être résolus grahiquement our n = 2 ou n = 3. Théorème 5 : x est un oint extrême si et seulement si il est une solution de base réalisable. Preuve : Soit x = ( x,, x m,,,, ) une solution de base réalisable. Montrons que x est un oint extrême. Raisonnons ar absurde. Suosons qu'il existent y et z deux sommets de K tel que : x = α y + ( - α) z; α. Du fait que x et α, les " n - m " dernières comosantes de y et z sont nulles. y = (y, y 2,, y m,,, ); et z = y = (z, z 2,, z m,,, ) Du fait que y et z sont des solutions réalisables alors y. a + y 2. a y m.a m = b, et z. a + z 2. a z m.a m = b D'où (y - z ) a + ( y 2 - z 2 ) a (y m - z m ) a m = (a i ) i =,,m sont L.I forment une base. Il en découlera y - z = y 2 - z 2 =. = y m - z m = y = z ; y 2 = z 2 ;. ; y m = z m. et donc x = y = z. soit x est un oint extrême, montrons qu'il est une solution de base réalisable de K. x = (x,, x m,,, ) est une solution de K. m x = xi ai = b. Si a, a 2,, a m sont L.I alors x est de base. Si a, a 2,, a m sont linéairements déendants, alors ils existent des scalaires y i non m m tous nuls tel que yi a i = (). Mais xi a i = b (2) m m Pour ε >, xi ai + ε yiai = b et m m xi ai ε yiai = b Nous avons trouvé deux solutions (as nécessairement réalisables) y = (x + ε y,, x m + ε y m,,, ) et z = (x - ε y,, x m - ε y m,,, ) Comme x i >, on eut choisir ε tel que y et z soient des solutions réalisables. Mais x = /2 y + /2 z. Absurde car x ne sera as un sommet. Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 33

8 Corollaire : si le olyèdre de réalisabilité K est non vide, alors il contient au moins une solution réalisable à artir de laquelle on eut construire une solution de base réalisable et donc il contient au moins un oint extrême. Remarques 2: a. Un oint extrême eut corresondre a lusieurs solutions de bases réalisables dégénérées. b. Les roblèmes de la rogrammation linéaire sous forme canonique euvent être résolus grahiquement our n = 2 ou n = 3. Il suffit de déterminer tous les sommets du olyèdre K, les solutions de base réalisable qui sont en nombre fini. Le minimum ou le maximum est atteint en un sommet de K. Exemle 2 : soit à résoudre Max Z = 3 x + 2 x 2-2 x + x 2 x + x 2 3 x 2 x ; x 2. Rerésentons dans le lan l'ensemble des solutions de ce système (l'intersection de tous les demi esaces définis ar ces équations). Considérons la famille d'hyerlan (de droites) 3 x + 2 x 2 = α. B () B2 Lorsqu'on la délace dans le sens du vecteur c = (3, 2), la valeur de la fonction objective croit. La valeur maximale Z de Z sera atteinte si l'hyerlan (la droite) 3 x + 2 x 2 = Z est un hyerlan d'aui (droit). Z atteint son maximum au oint A (2, ) et Max Z = 8. (3) A (2) Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 34

9 Ayant une solution sous la forme canonique, on eut avoir une solution maximale du roblème sous forme standard. En effet le roblème s'écrit: Max Z = 3 x + 2 x 2 + x 3 + x 4 + x 5-2 x + x 2 + x 3 = x + x 2 + x 4 = 3 x + x 5 = 2 x,.., x 5. D'où x 3 = + 2 x- x 2 = 4, x 4 = 3 - x - x 2 =, x 5 = 2 - x =. D'où x = (2,, 4,, ) est une solution de base réalisable non dégénérée. Exemle 3 : soit à résoudre Max Z = 3 x + 2 x 2 x - x 2 x 2 x + x 2 3 x ; x 2. C'est l'exemle 2 où on a ermuté les inéquations 2 et 3. () Le système x x 2 = x = 2 x + x 2 = 3 (2) A est redondant. Au moins un sous système de deux équations est régulier. La solution x = (2, ) est l'intersection de trois hyerlans. x x 2 =. x = 2 (3) Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 35

10 Sous forme standard le roblème est : Le rang de ce système est trois. Max Z = 3 x + 2 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 x - x 2 + x 3 = x + x 4 = 3 x + x 2 + x 5 = 2 x,.., x 5. D'où x 3 = - x+ x 2 = ; x 4 = 2 - x =, x 5 = 3 - x- x 2 =. D'où x = (2,,,, ) est une solution de base réalisable otimale dégénérée. x B = ( x B = ( x B = ( x, x 2, x 3 ) = (2,, ) est une autre solution de base réalisable. x, x 2, x 4 ) = (2,, ). x, x 2, x 5 ) = (2,, ). Remarque 3 : Un oint extrême eut corresondre à lusieurs solutions de base réalisables dégénérée si ce oint rerésente l'intersection de lus de " n " hyerlans. Exemle 4 : Soit à résoudre Max Z = 2 x + 2 x 2-2 x + x 2 () x 2 (2) x + x 2 3 (3) x ; x 2. Associons à ces inéquations (), (2) et (3), les droites qu'on numérotera de la même façon: - 2 x + x 2 = () ; x = 2 (2) et x + x 2 = 3 (3). Les droites 2 x + 2 x 2 = z ; x + x 2 = 3 sont arallèles. La droite x + x 2 = 3 est un hyerlan d'aui. A (2) B () (3) C Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 36

11 Le oint d'intersection de la droite () et la droite (3) est le oint A = (2/3, 7/3) Le oint d'intersection de la droite (2) et (3) nous fournisse B = (2, ). Z(A) = Z(B) = 6. Chaque oint C = α A + ( -α )B, α, oint du segment AB est une solution otimale mais non de base. Exemle 5 : Soit à résoudre Max Z = 3 x + 2 x 2 x - x 2 () x + x 2 3 (2) x ; x 2. Ce roblème n'a as de solutions otimale finie. C'est un roblème non borné et maxz = +. Exemle 6 : soit à résoudre le roblème à cinq variables. Il est résoluble géométriquement. Max Z = x - x 2 K 4 x - 3 x 2 - x 3 + x 4 + x 5 = 6 () (2) x + 4 x 2 + x 3 + x 5 = 5 2 x - 4 x 2 - x 3 + x 4 = 3 x,..., x 5. Echelonnons à la forme diagonale ar raort aux variables x 3, x 4 et x 5. En notant L, L 2 et L 3 les lignes, 2 et 3 de la matrice augmentée suivante de déart Utilisons les oérations élémentaires sur les lignes et notons 3 Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 37

12 L' = L + (-) L 3 la nouvelle remière ligne; L' 2 = L 2 la seconde nouvelle ligne inchangée et L' 3 = L 3 la troisième nouvelle ligne qui reste inchangée. On obtient la 2 nouvelle matrice Refaisons de nouvelles oérations 3 L" = L' ; L" 2 = L' - L' 2 et L" 3 = L' 3. On obtiendra la matrice augmentée suivante: Refaisons de nouvelles oérations 3 L"' = L'' ; L"' 2 = L" 2 et L"' 3 = L" 2 - L" 3. On obtiendra la matrice augmentée 2 suivante: Cette dernière matrice nous fournisse le système suivant : qui est équivalent à : Max Z = x - x 2 2 x - x 2 + x 5 = 3 x - 5 x 2 - x 3 = -2 - x - x 2 - x 4 = -5 2 x - x 2 3 x - 5 x x - x 2-5 x, x 2. On sait déterminer géométriquement une solution et arès on résout le système sous forme standard. Exercice 7 : résoudre géométriquement et montrer que le oint A = (, 5) est une solution de base otimale et Z(A) = -3. Min Z = 2 x - x 2 x - 2 x x + x 2-2 x + x 2 3 x ; x 2. Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 38

13 Définition 9 : On aelle " simlexe " un olyèdre convexe à (n+) sommets dans l'esace à n dimensions (exemle de n ), les (n+) sommets n'étant as dans la même variété linéaire à dimension (n-). Exemle 8 : H = { x = (x, x 2, x 3 ) 3 / x + x 2 + x 3, x ; x 2, x 3 }est un simlexe. Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 39

14 Cours 3 : Interrétation géométrique de la Programmation Linéaire 4