AC2 : Roue sur sol mobile Cette même roue roule sans glisser sur un tapis roulant se déplaçant à la vitesse e x

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1 CINEMATIQUE AC1 : Roue sur sol fie La roue, de centre C et de rayon a roule sans glisser sur le sol horizontal fie. Déterminer la relation liant θ, et a. Commenter le signe. y C C I θ AC2 : Roue sur sol mobile Cette même roue roule sans glisser sur un tapis roulant se déplaçant à la vitesse v 0 = v 0 e. Déterminer la relation liant v 0, θ, et a. Eercice 1 : Like an Egyptian Pour déplacer de gros blocs de pierre, les égyptiens utilisaient des troncs d arbre cylindriques de rayon R sur lesquels ils déposaient un bloc et le poussaient. En notant v la vitesse de déplacement d un bloc, déterminer la vitesse linéaire du centre de masse d un tronc ainsi que sa vitesse de rotation. n supposera pour cela que les troncs ne glissent ni sur le sol, ni sur le bloc. Eercice 2 : Sphère qui roule y Une sphère homogène de centre C, de masse m et de rayon a se déplace sur un support cylindrique de rayon R fie dans un référentiel galiléen. 1. Quelle est la nature du mouvement du centre C? Eprimer les vecteurs vitesse et accélération du point C dans la base polaire. 2. La sphère roule sans glisser sur le support cylindrique. En déduire la vitesse de rotation instantanée de la sphère. θ I C Eercice 3 : Chute d une échelle (partie 1) y n considère une échelle de longueur AB = 2l qui chute. n supposera qu à chaque instant les deu etrémités restent en contact avec le mur pour l une et le sol pour l autre. n suppose que la chute est paramétrée par l angle θ(t ) B G n appelle R le référentiel (,,y,z) lié au sol. 1. Montrer que le centre de masse G, milieu de [AB], a une trajectoire circulaire de centre. θ A

2 2. Eprimer la vitesse de G dans R. 3. Déterminer le vecteur rotation associé à la chute. 4. Déterminer les epressions de v(a/r) et de v(b/r). Eercice 4 : Principe simplifié du différentiel n va donner le principe d un différentiel de voiture qui permet, dans un virage, au deu roues motrices de tourner à des vitesses différentes. Un cylindre creu, d ae (z), de rayon R 2, tourne à la vitesse ω 2 d une roue et un cylindre coaial, de rayon R 1, à la vitesse angulaire ω 1 de l autre. n supposera R 1 < R 2. C R2 R1 La synchronisation entre les deu roues se fait par l intermédiaire d un troisième cylindre de diamètre D = R 2 - R 1, tangent au deu précédents : il est inclus dans le cylindre de rayon R 2 et roule sans glisser (en réalité il s agit de roues dentées : engrenages). 1. Ecrire les deu conditions de non-glissement dans le repère cylindrique d ae (z). 2. En déduire, en fonction de R 1, R 2, ω 1 et ω 2 et toujours dans le repère d ae (z): 2.a. la vitesse angulaire ω 3 du cylindre de rayon D 2 2.b. la vitesse linéaire v 3 de son «centre» C. AC3 : Roue sur sol fie CINETIQUE n reprend les conditions de AC1. Déterminer pour la roue, dans le référentiel du sol, en fonction de m, a et θ : - la résultante cinétique - les moments cinétiques L z et L Cz. - l énergie cinétique AC4 : Energie cinétique de la Terre Calculer l énergie cinétique de la terre dans le référentiel de Copernic.

3 Eercice 5: Chute d une échelle (partie 2) n reprend les conditions de l eercice 3 n donne J = m 2 le moment d inertie de l échelle par rapport à l ae (Gz) Eprimer la résultante cinétique de l échelle dans R. 2. Eprimer le moment cinétique LΔo de l échelle par rapport à l ae Δ = (z) dans le référentiel R. 3. Eprimer l énergie cinétique de l échelle dans le référentiel R. Eercice 6: Sphère qui roule, le retour Cette question reprend la situation de l eercice 2. Dans l hypothèse d un roulement sans glissement, déterminer : 1. La résultante cinétique de la sphère. 2. Le moment cinétique de la sphère par rapport à l ae z. 3. L énergie cinétique de la sphère. n rappelle le moment d inertie de la sphère par rapport à un ae passant par son centre : J = 2 5 ma2. ACTINS SUR UN SLIDE AC7 : Coefficient de frottement gomme / règle Déterminer un mode opératoire permettant de déterminer le coefficient de frottement gomme / règle. En déduire une valeur approchée de ce coefficient. AC6 : Yoyo horizontal n schématise un yoyo par deu disques identiques homogènes de rayon R et de masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un fil. Les deu disques et le tambour sont solidaires et ont même ae. Le Yoyo est posé sur un plan horizontal sur lequel il roule sans glisser. g α F n eerce sur le fil une force constante faisant un angle α avec l horizontale. n note f le coefficient de frottement solide yoyo/sol. n notera que le point d action de la force F se ramène au point du tambour tangent au fil tendu. 1. Faire le bilan des forces sur le yoyo 2. Faire le bilan des moments des forces au centre de masse G du yoyo. Utiliser si possible la notion de bras de levier.

4 DYNAMIQUE DU SLIDE AC8 : pendule pesant En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer l équation du mouvement de ce pendule pesant, en supposant que les liaisons en sont parfaites. n notera d = G, où G est le centre de masse du pendule et J y le moment d inertie selon l ae y. θ G z Eercice 7: Yoyo. n schématise un yoyo par deu disques identiques homogènes de rayon R et de masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un fil. Les deu disques et le tambour sont solidaires et ont même ae. Une etrémité du fil est attachée au tambour et l autre à un point fie. Le fil étant enroulé, on lâche le système sans vitesse initiale, l ae étant horizontal. En admettant que l ae reste horizontal au cours du mouvement, calculer l accélération linéaire du yoyo et la tension du fil à tout instant. g R a Eercice 8 : Un oscillateur Sur le schéma, ci-contre, le point A appartenant à la circonférence d une roue, disque homogène de rayon R et masse m, est attaché à deu ressorts identiques. n suppose que la roue ne glisse pas sur le sol, fie. ( ) n notera θ = Cz,CA n s intéresse au petites oscillations du système, c est à dire θ <<1, en supposant ainsi que les ressorts, attachés au point A, restent horizontau. 2 0 (k, 0 ) (k, 0 ) z roue (m,r) C

5 1. Déterminer la relation liant la vitesse v = ve la roue. du centre C et la vitesse de rotation de 2. Montrer que lorsque C avance de, le point A se déplace de 2 (approimation dans le cadre des petites oscillations). 3. Appliquer le théorème du moment barycentrique à la roue. En déduire la relation approchée J dω = TR 4kR où T = Te est la réaction tangentielle du sol. dt 4. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la roue. 5. Déduire des résultats précédents la pulsation des petites oscillations. Eercice 9 : Machine de Timochenko n considère le dispositif ci-dessous : y I 1 G I 2 C 1 d d C 2 Les deu cylindres de même rayon b tournent en sens inverse à vitesse angulaire de même norme ω. n note f le coefficient de frottement cylindre / planche, identique pour les deu cylindres. n note R 1 = N 1 e y + T 1 e et R 2 = N 2 e y + T 2 e les actions de contact des cylindres (1) et (2) sur la planche. A l instant initial, on pose une planche homogène de masse m d épaisseur négligeable, dans une position légèrement dissymétrique ; on constate que, sous certaines conditions, la planche oscille sinusoïdalement. n définit la position de la planche par la variable (t) = G, où est la position symétrique relativement au deu cylindres et G le centre de masse de la planche. Les conditions initiales sont alors : (0) = 0 et d (0) = v(0) = 0 dt 1. Donner les epressions des vitesses de glissement au points de contact I 1 et I 2 en fonction de v, b et ω. En déduire que la planche glisse sur chaque cylindre. 2. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la planche et en tirer deu relations scalaires

6 3. Appliquer le théorème du moment cinétique barycentrique. 4. Déduire des questions précédentes les epressions de N 1 et N 2 en fonction de m, g, et d. Donner alors une condition portant sur 0 assurant que la planche reste en contact des cylindres. 5. En déduire une équation différentielle en (t) et la résoudre avec les conditions initiales données en début d énoncé. n posera ω 0 = gf d. 6. Montrer qu il eiste une vitesse de rotation des cylindres minimale, notée ω m en dessous de laquelle le système ne peut plus osciller. Donner son epression. 7. Peut-on observer des oscillations si on inverse le sens de rotation de chaque cylindre? Eercice 10 : Fermeture d une portière Une voiture, initialement à vitesse nulle, démarre en ligne droite horizontale avec une accélération γ constante. Une porte de cette voiture est schématisée par un carré, homogène de masse m et de côté b et d'épaisseur négligeable. Cette porte est fiée à la voiture par un de ses côtés verticau et elle peut tourner librement (sans frottement) autour de ce côté. Soit θ l'angle que fait la porte avec la direction de déplacement de la voiture (voir figure). A Initialement θ = π/2. Voiture vue de dessus Le moment d'inertie de la porte par rapport à la charnière en A vaut J = 1 3 mb2. 1. Dans le référentiel de la voiture, quel est le point d'application de la force d'entraînement sur la porte? Justifiez votre réponse. 2. Déterminer la vitesse angulaire de la porte quand elle se ferme. 3. Déterminer le temps nécessaire à la fermeture de la portière. n donne pour cela π dθ 2 = 2,62 0 cosθ Eercice 11 : Moteur d ae fie n considère un moteur d ae horizontal fie qui eerce un couple constant C sur une poulie de rayon R. Une masse M est suspendue à la poulie, de moment d inertie J par rapport à son ae de révolution. n note ω(t) la vitesse angulaire de la poulie autour de son ae. 1. La poulie tourne sans frottements. 1.a. Quelle est la condition sur C pour que la masse puisse remonter?

7 Dans la suite, on suppose cette relation satisfaite. A t = 0, le mouvement démarre à partir d une vitesse angulaire initiale nulle pour la poulie ω(0) =0. 1.b. Trouver une relation cinématique entre ω et v, vitesse de M. 1.c. Appliquer le théorème du moment cinétique à la poulie. 1.d. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la masse M. 1.e. En déduire une équation différentielle sur ω(t) et la résoudre. 1.f. La solution vous semble-t-elle physiquement satisfaisante? 2. n cherche à modéliser les frottements propres au système {moteur + poulie} et pour cela on effectue des essais à vide, c est à dire qu aucune masse n est suspendue. La poulie est mise initialement en rotation avec une vitesse angulaire ω(0) = ω 0. A t = 0, le couple moteur C est arrêté. n observe qu au bout d un temps τ, la vitesse de rotation a diminué de moitié. 2.a. n suppose que les frottements sont de type fluide et eercent un couple résistant C f = αω. Déterminer le coefficient α en fonction des données du problème. Dépend-il des conditions initiales? 2.b. n observe un arrêt total de la rotation au bout d un temps τ = 2,5τ. Justifier que le modèle précédent ne convient pas totalement et proposer une loi corrective pour le frottement. L epression du coefficient α trouvée précédemment est-elle modifiée? Eercice 12 : Le patineur n s intéresse à un patineur effectuant des tours sur place (on appelle cette figure une pirouette) à la vitesse angulaire ω 0, les deu pieds au sol et les bras restant «collés» le long du corps. n néglige les frottements de pivotement des patins sur la glace. Il monte ses bras et les place «en croi» à l horizontale, tournant alors à la vitesse angulaire ω 1. Estimer le rapport ω 1 ω 0. n pourra se poser comme question préliminaire si le rapport doit être supérieur ou inférieur à 1.

8 Eercice 13 : Epérience de Cavendish En 1798 le physicien Henri Cavendish réalise une epérience lui permettant de «peser» la Terre et d obtenir la valeur de la constante de gravitation G. Au etrémités d une tige de bois de longueur l = 2m et de masse négligeable, il fie deu boules de plomb de masse m = 730g puis en suspendant le tout à un fil de torsion, il réalise un pendule de torsion. n rappelle qu un fil de torsion produit un couple de rappel, qui s oppose à la torsion, proportionnel à l angle de torsion θ : Le moment du couple par rapport à l ae du fil vaut Γ = Cθ où C désigne la constante de torsion. Δθ 1. Cavendish cherche d abord à mesurer la constante de torsion en faisant osciller le pendule de torsion. Montrer à l aide du théorème du moment cinétique que l angle de torsion vérifie l équation d un oscillateur de pulsation propre : ω 0 = 2C ml 2 2. Cavendish, mesure la période T des oscillations. Il trouve T = 7mn. En déduire la constante de torsion. 3. Il place ensuite à la distance r = 22,5 cm des deu masses, deu grosses boules de plomb de masse M = 158 kg, comme l indique la figure. Montrer que la position d équilibre est déviée d un angle Δθ (la déviation étant très faible on considèrera que r reste constant). 4. Cavendish trouve G = 6, N.m 2.kg 2. Calculer la déviation angulaire correspondante. Commentez.

9 ENERGIE DU SLIDE AC8 : Roue qui monte sur un plan incliné n suppose qu une roue, de rayon a, roule sans glisser sur un plan incliné d un angle α par rapport à l horizontale. n considère que la roue monte sous l action d un couple moteur constant Γ m. Déterminer la puissance totale des actions eercées sur la roue en fonction de θ, vitesse angulaire associée à la rotation de la roue. AC9 : pendule pesant n reprend les mêmes notations que pour AC8. Déterminer l équation du mouvement par application du TPC. Eercice 14 : Deu sphères qui roulent n dispose de deu sphères de même masse m, de même rayon R. La sphère n 1 est pleine (en aluminium) et la sphère n 2 est creuse (en plomb) dont on supposera la masse répartie en surface. n les fait rouler sur un plan incliné qui fait un angle α avec l horizontale en les lâchant sans vitesse initiale. n suppose que le roulement se fait sans glissement. 1. Comparer les moments d inertie des deu sphères, notés J 1 et J Pour chacune des deu sphères, donner : 2.a. la vitesse v i du centre en fonction de la vitesse angulaire ω i et de R. 2.b. l énergie cinétique en fonction de m, R, v i et J i. 3. Etude dynamique : 3.a. En appliquant le TPC, eprimer dv i dt en fonction de m, R, J i, α et g. 3.b. Conclure : quelle sphère descendra le plus rapidement la pente? Eercice 15 : Le seau qui plonge dans un puits ω Un treuil est constitué d un cylindre de révolution de rayon R et de moment d inertie J par rapport à son ae horizontal Δ. n suppose que le cylindre tourne sans frottement autour de son ae. Une corde, inetensible et dont on négligera l épaisseur et la masse, est enroulée sur le cylindre et retient un seau de masse M. En appliquant la conservation de l énergie, et en vérifiant au préalable qu elle se conserve bien, déterminer l accélération du seau si le système est laissé à lui-même.

10 Eercice 16 : Chute d une chaîne Une chaîne AB homogène et sans raideur, de masse m et de longueur d, est posée sur le bord d une table horizontale, sans vitesse initiale. L ae (z) est orienté vers le bas, se trouvant au bord de la table. La partie A de la chaîne pend dans le vide tandis que le reste B repose sur la table. n repère par z la position de A telle que A(t) = z(t). Initialement z(t = 0)= a. n néglige tout frottement interne à la chaîne d une part, et entre la table et la chaîne d autre part. 1. Donner l epression de l énergie mécanique de la chaîne. 2. En déduire l équation différentielle que vérifie z(t). 3. Déterminer alors la loi z(t). Eercice 17 : Chute d une échelle (partie 3) n reprend les conditions et résultats des eercices 3 et 5 n suppose que l échelle glisse en A avec un frottement de coefficient f et qu elle glisse en B sans frottement. Le référentiel d étude est supposé galiléen. 1. Définir le nombre de degrés de liberté ainsi que les actions inconnues. En déduire le nombre d équations nécessaires à l étude de la chute. 2. L échelle chute : appliquer le théorème des puissances cinétiques. 3. Utiliser une seconde équation tirée d un théorème de la dynamique pour lever l inconnue présente dans l équation de la question 2). En déduire l équation différentielle du mouvement en θ. 4. A quelle condition sur θ peut-on avoir le maintien en équilibre de l échelle? Eercice 18 : scillations d une roue lestée Un point matériel A de masse m est solidaire de la surface d une roue assimilé à un disque homogène de masse M de centre C de rayon R de moment d inertie J par rapport à son ae de révolution et qui roule sans glisser sur un sol horizontal. n note I le point de contact de la roue avec le sol. La rotation de la roue est repérée par l angle θ orienté entre la verticale descendante et le rayon CA. C θ Quel lien y a-t-il entre la vitesse du centre C et le vecteur rotation de la roue? En déduire en fonction de θ, de ses dérivées et des constantes du problème, l énergie cinétique de la roue lestée, son énergie potentielle de pesanteur. En déduire la période des petites oscillations. z A I

11 Eercice 19 : Freinage d une voiture : Une voiture, de masse totale M = 1,0 tonne est constituée d un châssis et de quatre roues de rayon R = 30 cm et de masse m = 20 kg chacune. Le moment d inertie d une roue par rapport à son ae de rotation s écrit J = mr2 2. La voiture commence à freiner alors que sa vitesse est v 0 = 130 km.h -1. n suppose que le mouvement est rectiligne horizontal et que les roues roulent sans glisser sur le sol. Le référentiel terrestre d étude est supposé galiléen. 1. Eprimer l énergie cinétique de la voiture à un instant t quelconque où la voiture se déplace à une vitesse v. 2. Déterminer la distance d arrêt d si chaque roue est soumise à un couple de freinage constant de norme C 0 = 350 Nm et que le couple moteur est stoppé. Eercice 20 : Mesure d un coefficient de frottements Deu objets M et M (masses m et m ) sont reliés par un fil inetensible, de masse négligeable, susceptible de glisser sans frottement sur une poulie fie, parfaite (pas de couple de frottements) et dont on négligera l inertie. Initialement, le fil est tendu et l objet M se trouve à une hauteur h du sol. A l instant t = 0, un opérateur enlève le support et l objet M se met à glisser sur un plan horizontal avec un coefficient de frottement f. 1. En considérant deu phases pour le mouvement de M, eprimer la distance D parcourue par M avant de s arrêter. 2. En déduire f en fonction de m, m, h et D. 3. Sans tout refaire, indiquer ce qui change dans la mise en place du problème si on suppose que la poulie possède un moment d inertie J par rapport à son ae central de rotation. M M h

12 EXERCICES «LIBRES» Eercice 21 : Yoyo horizontal n schématise un yoyo par deu disques identiques homogènes de rayon R et de masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un fil. Les deu disques et le tambour sont solidaires et ont même ae. g α F Le Yoyo est posé sur un plan horizontal sur lequel il roule sans glisser. n eerce sur le fil une force constante faisant un angle α avec l horizontale. n notera que le point d action de la force F se ramène au point du tambour tangent au fil tendu. 1. Déterminer l epression de l accélération du Yoyo et en déduire le sens de déplacement horizontal en fonction de l angle α. 2. n note f le coefficient de frottement entre le Yoyo et le sol. Quelle condition portant sur F, a, R, M et α, doit vérifier f pour que l hypothèse du roulement sans glissement soit validée? Eercice 22 : Chute d une tartine beurrée Une tartine parallélépipédique est posée en porte-à-fau sur le coin d une table (centre de gravité G, masse m, moment d inertie J par rapport à (Gy), d épaisseur négligeable (même si cela ne paraît pas évident sur le schéma), valeur du porte-à-fau a). L action de la table se décompose en une composante normale de module N et une tangentielle de module T, le coefficient de frottement est f. n note θ l angle dont tourne la tartine par rapport à sa position initiale horizontale supposée sans vitesse. z T θ N a G mg n étudie le mouvement de bascule de la tartine autour du coin de la table et on suppose que celui-ci s effectue sans glissement. 1. Dans ce mouvement, la tartine est-elle un système conservatif? 2. Déterminer dθ et d 2 θ en fonction de θ et des constantes du problème. 2 dt dt 3. Même question pour N et T. 4. Tracer l allure des graphes donnant N et T en fonction de θ. La tartine décolle-t-elle de la table avant de glisser ou l inverse?

13 Eercice 23 : Machine d Atwood Une poulie de rayon a, de moment d inertie J par rapport à son ae supporte, grâce à un fil inetensible de masse négligeable et non glissant, d un côté une masse M et de l autre une masse M et une surcharge m (cf figure). Calculer l accélération du système. (J, a) n utilisait cette machine en TP de physique en classe de terminale vers la fin des années 60 pour mesurer l accélération de la pesanteur. Quel intérêt par rapport à une mesure directe? M M+m La poulie n est pas vraiment un disque homogène et J est difficile à évaluer. n faisait deu mesures d accélération pour deu valeurs différentes de M. Epliquer le pourquoi e2le comment. Eercice 24 : Palan Calculer, en fonction du module V de la vitesse verticale de la masse M, l énergie cinétique du système formé par les masses M et m, les deu poulies identiques de masse µ, de rayon a et de moment d inertie J par rapport à l ae de révolution et le fil de masse négligeable, inetensible. Le fil ne glisse pas sur les poulies, celle du haut a un centre fie et celle du bas s élève. En déduire l accélération de la masse M. En profiter pour rappeler l intérêt du palan sur la poulie. (µ, a, J ) m (µ, a, J ) M Eercice 25 : Un oscillateur bis Déterminer la période des oscillations du système ci-contre, le fil étant inetensible et ne glissant pas sur la poulie. n négligera tout frottement.