Sur la figure ci-dessous, les cercles ont pour centres O et B, et pour rayon 4 cm. Reproduis cette figure sur une feuille à petits carreaux.

Transcription

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2 ctivité 1 : La carte au trésor Le pirate Long John Silver a laissé une carte indiquant l'emplacement de son trésor. 1. Sur du papier calque, reproduis la carte ci-contre. Recherche la position du trésor. «Mon trésor se trouve à 30 pas du palmier et à 40 pas du rocher.» 2. Les indications de Long John Silver suffisent-elles à localiser précisément le trésor? 3. u dos de la carte, Long John Silver a précisé : «Le trésor se situe à moins de 40 pas du cactus.» Peux-tu alors trouver la position exacte du trésor? 30 pas 40 pas ctivité 2 : onstruire et observer Sur la figure ci-dessous, les cercles ont pour centres O et, et pour rayon 4 cm. Reproduis cette figure sur une feuille à petits carreaux. O 1. Trace en rouge les segments [O], [O] et []. omment s'appelle la figure obtenue? Pour cette figure, comment s'appellent les points O, et? 2. Trace en bleu le triangle et en vert le triangle O. 3. Que peux-tu dire des côtés du triangle O? omment s'appelle un tel triangle? 4. Que peux-tu dire des côtés du triangle? omment s'appelle un tel triangle? 5. Que peux-tu dire des côtés du triangle O? omment s'appelle un tel triangle? 148 TRINLS T QURILTÈRS - PITR 3

3 2 ctivité 3 : es triangles rectangles et des rectangles 1. Un triangle rectangle vec un logiciel de géométrie dynamique, on veut tracer un triangle rectangle en. Pour cela : a. Trace un segment []. b. Trace la perpendiculaire (d) à la droite () passant par le point. c. Place un point sur la droite (d) distinct du point. d. Termine ta construction en reliant les points et en rendant les droites invisibles. 2. es quadrilatères particuliers onstruis un ou plusieurs exemples de quadrilatères correspondant aux consignes suivantes. a. Un quadrilatère ayant exactement un angle droit. b. Un quadrilatère ayant exactement deux angles droits. c. Un quadrilatère ayant exactement trois angles droits. Que remarques-tu? ctivité 4 : Puzzle de Sam Lloyd y 1. onstruction du puzzle a. onstruis deux demi-droites perpendiculaires [x) et [y), puis trace le cercle de centre et de rayon 7,5 cm. Il coupe la demi-droite [x) en et la demidroite [y) en. x b. Sur le segment [], place les points et tels que : 3 cm. c. Trace la perpendiculaire à () passant par le point et place les points et sur cette droite tels que : 3 cm. d. Trace la droite (), puis la perpendiculaire à la droite () passant par le point. lle coupe la droite () en J. e. Trace le segment []. f. Trace la droite (d 1) perpendiculaire à la droite () passant par le point, puis la perpendiculaire à la droite () passant par le point qui coupe le segment [] en I et la droite (d 1) en K. g. omme les traits de construction afin de ne conserver que ceux du modèle ci-dessus. écoupe les cinq pièces du puzzle. 2. Utilisation du puzzle Utilise toutes les pièces du puzzle pour former successivement un carré, un rectangle, un triangle rectangle et un parallélogramme. onstruis une solution sur ton cahier pour chacune des formes demandées. PITR 3 TRINLS T QURILTÈRS 149

4 I - Triangles ex 1 - énéralités éfinition Un triangle est un polygone à trois côtés. Vocabulaire Un triangle a trois sommets et trois côtés. xemple : ans un triangle, quel est le sommet opposé au côté []? t le côté opposé au sommet? - onstruction d'un triangle Le sommet opposé au côté [] est le point. Le côté opposé au sommet est le côté []. xemple : onstruis un triangle KLM tel que KL 6 cm ; LM 5 cm et KM 4,5 cm. K L On trace un segment [KL] de longueur 6 cm. Le point M est à 5 cm du point L : il appartient donc au cercle de centre L et de rayon 5 cm. Le point M est à 4,5 cm du point K : il appartient donc au cercle de centre K et de rayon 4,5 cm. Le point M est le point d'intersection des deux arcs. II - Triangles particuliers ex 2 à 4 - Triangle isocèle éfinition Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Vocabulaire Le sommet commun aux côtés de même longueur est appelé le sommet principal. Le côté opposé au sommet principal est appelé la base. xemple : Le triangle ISO est isocèle en S. Quel est son sommet principal et quelle est sa base? S Le triangle ISO est isocèle en S donc les longueurs IS et SO sont égales. S est le sommet principal du triangle ISO ; I O [IO] est la base du triangle ISO. - Triangle équilatéral éfinition Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur. 150 TRINLS T QURILTÈRS - PITR 3 Q U

5 - Triangle rectangle éfinition Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Vocabulaire Le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse. xemple : onstruis un triangle KI rectangle en K tel que KI 5 cm et I 7 cm. III - Quadrilatères éfinition Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Vocabulaire Un quadrilatère a quatre sommets, quatre côtés et deux diagonales. xemple : ans un quadrilatère, quel est le sommet opposé au sommet? t un côté consécutif au côté []? Quelles sont ses diagonales? Le sommet opposé au sommet est le sommet. Un côté consécutif au côté [] est le côté [] ou le côté []. Ses diagonales sont les segments [] et []. IV - Quadrilatères particuliers ex 5 et 6 - Losange éfinition Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. xemple : onstruis un losange tel que 6 cm et 4,2 cm. 4,2 cm 6 cm On trace un segment [] de longueur 4,2 cm. PITR 3 TRINLS T QURILTÈRS 151

6 - Rectangle éfinition Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. - arré éfinition Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits. Remarque : Un carré est à la fois un losange et un rectangle. 152 TRINLS T QURILTÈRS - PITR 3

7 Triangles 1 Recopie et complète les phrases en utilisant les mots : «côté», «sommet», «triangle» et «opposé». a. est un.... b. [] est un.... c. est un.... d. [] est le... au.... e. est le... au... []. 2 Recopie et complète les phrases suivantes. a. ans le triangle, est le côté opposé au sommet. b. ans le triangle, est le sommet opposé au côté []. c. ans le triangle, [] est le côté opposé au sommet.... d. ans le triangle, est le sommet opposé au côté []. 3 Recopie et complète le tableau. a. b. c. onsigne onstruis un triangle tel que : 6 cm, 5 cm et 3 cm. onstruis un triangle tel que : 2 cm, 3 cm et 4,5 cm. onstruis un triangle tel que :... cm,... cm et... cm. d.... igure à main levée... 4 cm cm 3 cm 9 cm 4,7 cm 5,5 cm 4 Les triangles sont tracés à main levée. onstruis-les en vraie grandeur. Tu laisseras les traits de construction apparents. 3 cm 5 Pour chaque question, dessine une figure à main levée puis une autre en vraie grandeur. a. onstruis un triangle tel que : 5,5 cm ; 4 cm et 2 cm. b. onstruis un triangle tel que : 3 cm ; 7 cm et 5 cm. c. onstruis un triangle I tel que : I 5,8 cm ; I 3,3 cm et 4,6 cm. 6 Même consigne qu'à l'exercice 5. a. onstruis un triangle JKL tel que : JL 4 cm ; KL 4,4 cm et KJ 2,3 cm. b. onstruis un triangle MNO tel que : MN 3,7 cm ; MO 7 cm et ON 5,3 cm. c. st-il possible de construire un triangle PQR tel que : PQ 9 cm ; PR 5 cm et QR 3 cm? xplique ta réponse. 7 Reproduis les figures en vraie grandeur. a. b. V 3,5 cm 4 cm 3,5 cm 2,5 cm T 4,2 cm 3 cm 4 cm 4,8 cm R 8 Triangle impossible? 4,2 cm 4 cm I a. Trace un segment [] tel que 10 cm. b. Trace le cercle de centre et de rayon 7 cm et le cercle de centre et de rayon 12 cm. c. ombien y a-t-il d'emplacements différents pour un point tel que le triangle ait pour dimensions : 10 cm, 7 cm et 12 cm? Justifie. d. Reprends les questions précédentes avec 20 cm. Que remarques-tu? e. Quelle longueur peut-on donner au segment [] pour qu'une telle construction reste possible? 5,3 cm R 6,2 cm 3,7 cm 6,5 cm O 7 cm 5 cm U PITR 3 TRINLS T QURILTÈRS 153

8 Triangles particuliers 9 Triangles particuliers J K I a. Quelle est la nature du triangle I? u triangle? u triangle JKL? Justifie tes réponses. b. ans le triangle, comment s'appelle le point? omment s'appelle le côté []? c. ans le triangle JLK, comment s'appelle le côté [JK]? L 13 Les triangles sont tracés à main levée. 4 cm L 48 mm K 36 mm J 6 cm 4,5 cm a. Écris une consigne de construction pour chaque triangle. b. onstruis chaque triangle en vraie grandeur. (Laisse les traits de construction apparents.) 14 ans chaque cas, trace un dessin à main levée puis construis une figure en vraie grandeur. I 6 cm 5 cm 10 vec le codage a. onstruis un triangle IN rectangle en tel que : I 5 cm et N 6 cm. a. Nomme les triangles isocèles tracés sur la figure. Précise, pour chacun, son sommet principal et sa base. b. onstruis un triangle STU isocèle en S tel que : ST 5,8 cm et TU 3,2 cm. c. onstruis un triangle MNO équilatéral de côté 5 cm. b. Nomme les triangles équilatéraux tracés sur la figure. c. Nomme les triangles isocèles que l'on peut tracer en joignant des sommets de la figure. 15 Même consigne qu'à l'exercice 14. a. onstruis un triangle isocèle XYZ de sommet principal Z tel que : XZ 3,5 cm et XY 6 cm. b. onstruis un triangle TRS rectangle en S tel que : TS 7,2 cm et SR 8,5 cm. 11 vec le codage (bis) a. Nomme les triangles rectangles tracés sur la figure. b. Précise, pour chacun, son hypoténuse. c. onstruis un triangle LU rectangle en L tel que : L 8 cm et U 10 cm. 16 vec un logiciel de géométrie dynamique a. onstruis un triangle isocèle. éplace les sommets pour vérifier que le triangle reste isocèle. Si ce n'est pas le cas, revois ta construction. 12 À main levée uniquement a. Trace à main levée un triangle isocèle en tel que 3 cm et 4 cm. b. Trace à main levée un triangle équilatéral tel que = 5 cm. c. Trace à main levée un triangle isocèle I de sommet principal I tel que 7 mm et I 15 cm. d. Trace à main levée un triangle JKL rectangle en J tel que JL 5 dm et JK 9 dm. e. Trace à main levée un triangle MNO rectangle en O tel que ON 45 mm et que son hypoténuse mesure 6,5 cm. b. éplace les sommets de ce triangle. Peut-il également être rectangle? 17 onstruis un triangle R à la fois rectangle et isocèle en tel que R 4,5 cm. 18 vec un logiciel de géométrie dynamique a. Place deux points et distincts. onstruis le cercle de diamètre []. Sur ce cercle, place un point distinct de et. onstruis le triangle. b. ais bouger le point. Quelle semble être la nature du triangle? 154 TRINLS T QURILTÈRS - PITR 3

9 2 cm 19 Reproduis chaque figure en vraie grandeur. a. S, T et W sont alignés. U 3,8 cm S 4,5 cm T W V 22 Écris un texte pour décrire les différentes étapes de cette construction. Étape 1 Étape 2 5,2 cm b. est rectangle en, est équilatéral et est isocèle en. 7,4 cm Étape 3 5 cm 20 onstruction d'un hexagone Observe attentivement le codage de la figure ci-contre. éduis-en une méthode pour construire un hexagone régulier de 4 cm de côté puis effectue la construction sur ton cahier. 21 Remets les consignes du programme de construction dans l'ordre. 23 scargot de Pythagore a. Écris un programme de construction de cette figure. b. onstruis-la en vraie grandeur. 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm O (d') 24 Même consigne qu'à l'exercice cm (d) 5 cm 7 cm 3 cm 6 cm Trace la droite (d') parallèle à la droite () passant par le point. Nomme O le point d'intersection des droites (d) et (d'). Trace un triangle rectangle en tel que : 8 cm et 6 cm. 25 onstruis une figure analogue à partir d'un triangle isocèle de sommet principal tel que : = 10 cm et = 14 cm. Trace la droite (d) perpendiculaire à la droite (d') passant par. PITR 3 TRINLS T QURILTÈRS 155

10 Quadrilatères Quadrilatères particuliers 26 Recopie et complète les phrases en utilisant les mots : «côtés», «sommets», «diagonales», «opposés» et «consécutifs». ans le quadrilatère, a. [] et [] sont des... ; b. et sont des... ; c. [] et [] sont des ; d. [] et [] sont les... ; e. et sont des ; f. [] et [] sont des Recopie et complète chaque phrase. a. ans le quadrilatère,... est le côté opposé au côté []. b. ans le quadrilatère..., [] et [] sont des côtés consécutifs. c. ans le quadrilatère, [] et [] sont des côtés... d. ans le quadrilatère, les côtés consécutifs au côté [] sont... et vec un logiciel de géométrie dynamique Le théorème de Varignon a. Trace un quadrilatère quelconque. Place I, J, K et L milieux respectifs des côtés [], [], [] et []. 29 onne le nom et la nature de chaque quadrilatère dessiné ci-dessous. J I K L M 30 ans un quadrillage, reproduis cette figure. N R O Q n utilisant le quadrillage et sans instrument, construis un rectangle OUR et un rectangle UM. 31 n observant la figure ci-dessous et sachant que le cercle a pour centre, nomme un carré, un rectangle et un losange. P U S T b. Trace les droites (IL) et (JK) en vert. éplace les sommets. Que remarques-tu? c. Trace les droites (IJ) et (LK) en rouge. éplace les sommets. Que remarques-tu? d. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL? Vérifie avec les fonctions du logiciel. 156 TRINLS T QURILTÈRS - PITR 3

11 32 Les quadrilatères sont tracés à main levée. 3 cm J 4,5 cm 7 cm 5 cm P K 3 cm 7 cm Q 37 ascade de losanges a. Trace un segment [] de longueur 10 cm. Sur ce segment, place les points,, et tels que : 2 cm. b. onstruis les losanges, KJ et ML dont les côtés mesurent 6 cm. c. Que remarques-tu? 38 vec un logiciel de géométrie dynamique a. Trace un segment []. M L S 4 cm a. onne la nature de chaque quadrilatère. Justifie. b. onstruis chacun de ces quadrilatères en vraie grandeur. R b. onstruis un carré. xplique comment tu procèdes. 33 ans chaque cas, trace une figure à main levée puis réalise la figure en vraie grandeur. a. onstruis un rectangle LOUP tel que : LO 8 cm et LP 6 cm. b. onstruis un rectangle RIS tel que : R 9 cm et I 12 cm. c. onstruis un carré LU de côté 4 cm. 34 Même consigne qu'à l'exercice 33. a. onstruis un rectangle NUIT tel que : UI 9,5 cm et IT 11,2 cm. b. onstruis un rectangle LUN tel que : LU 7,6 cm et LN 16 cm. c. onstruis un carré JOUR de côté 6,2 cm. 35 Triangle et losange a. onstruis un triangle isocèle de sommet principal tel que 3,5 cm et 4,2 cm. b. omplète la figure avec la construction du point de sorte que soit un losange. 36 Même consigne qu'à l'exercice 33. a. onstruis le losange RN tel que : 5 cm et R 6 cm. b. onstruis le losange PUR tel que : PU 7,2 cm et P 5,5 cm. c. onstruis le losange R tel que : R 8 cm et R 4,3 cm. 39 Écris une consigne de construction pour chaque quadrilatère de l'exercice Écris un texte pour décrire les différentes étapes de cette construction. 4 cm Étape 1 Étape 2 6 cm 41 Écris un programme de construction pour la figure suivante. (d') // (OM) LM MN 5 cm Étape 3 (d) PITR 3 TRINLS T QURILTÈRS L J O (d') M I N 157

12 42 Réponds à chaque question en expliquant ta réponse. a. Un triangle équilatéral peut-il être rectangle? b. Un losange peut-il être un rectangle? c. Un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles. st-ce forcément un rectangle? d. Un quadrilatère a ses côtés perpendiculaires deux à deux. st-ce forcément un rectangle? 46 ette figure est une figure fractale d'un triangle équilatéral. Sur ton cahier, reproduis-la sachant que le plus grand triangle mesure 12 cm de côté et que chaque triangle intérieur a ses sommets positionnés au quart de la longueur des côtés du triangle précédent. 43 Reproduis la figure en triplant ses dimensions. 47 onstruction d'un pentagone régulier a. Trace un segment [M] de longueur 10 cm. b. Trace le cercle ( ) de diamètre [M] et de centre le point O. c. Trace la médiatrice de [M]. lle coupe le cercle ( ) en N. M P N O R 44 Marcel a fait un croquis légendé à main levée de la figure intitulée «les lunules d'ippocrate». Reproduis-la en vraie grandeur sur ton cahier. d. onstruis le milieu P du segment [MO]. e. Trace le cercle de centre P passant par N. Il coupe le segment [M] en R. f. Trace la médiatrice de [OR]. lle coupe le cercle ( ) en deux points et. g. Le segment [] est un côté du pentagone. Reporte sa longueur à partir du point sur le cercle ( ) pour obtenir le point puis le point. h. onstruis le pentagone. i. ffectue cette construction avec un logiciel de géométrie dynamique. 45 Trace un rectangle de telle sorte que 4 cm et 9 cm. a. La médiatrice du segment [] coupe le segment [] en et [] en. b. La droite perpendiculaire à () passant par le point coupe [] en. c. La droite perpendiculaire à () passant par le point coupe [] en. d. Où semblent se couper les droites (), () et ()? 48 À partir d'un hexagone régulier : la rose a. Trace un cercle de centre O et de rayon 8 cm. b. Place un point sur le cercle puis trace l'hexagone régulier. c. Place le milieu de chacun des côtés de l'hexagone et joins les points : tu obtiens un nouvel hexagone. d. Recommence cinq fois en suivant le même principe puis colorie. 158 TRINLS T QURILTÈRS - PITR 3

13 49 On considère la figure suivante. I 51 vec un logiciel de géométrie dynamique Le théorème de Van ubel a. Trace un quadrilatère quelconque. R J a. Rédige un programme de construction de cette figure. b. Reproduis la figure sachant que 5 cm. 50 Sur la figure ci-dessous : les triangles verts sont équilatéraux ; le quadrilatère L est un losange ; M les points,, et sont alignés ainsi que les points, et et enfin les points, et. attention : les points P, et L ne sont pas b. À l'extérieur de ce quadrilatère et sur chaque côté de celui-ci, trace un carré. Le centre du carré de côté [] est le point P, celui du carré de côté [] est le point Q, celui du carré de côté [] est le point R et celui du carré de côté [] est le point S. Place chacun de ces points. c. Que peux-tu dire des segments [PR] et [QS]? 52 Une belle figure sur feuille blanche Trace un segment [] de longueur 13 cm. onstruis un triangle tel que : 12 cm et 14 cm. onstruis un triangle tel que : 14 cm et 12 cm. Les triangles et sont construits dans le demi-plan supérieur à (). onstruis les mêmes triangles dans le demiplan situé en dessous de (). Trace ensuite les hauteurs des triangles. d'après «L ÉOMÉTRI pour le plaisir» quadrilatère OP? b. Quelle est la nature du triangle O? c. Quelle est la nature du triangle? d. Reproduis cette figure sachant que : 2 5 cm. vec l'autorisation exceptionnelle de Jocelyne et Lysiane enière PITR 3 TRINLS T QURILTÈRS 159

14 R1 R2 R3 R4 1 Si N est un triangle isocèle en alors... N N N appartient au cercle de centre et de rayon [] N appartient au cercle de centre et de rayon [] 2 Si RST est un triangle rectangle en T alors... RS ST (ST) (RS) (ST) (TR) RS ST et RS RT 3 Sur la figure ci-dessous, R [] et [R] sont des côtés consécutifs le quadrilatère peut se nommer R [] et [R] sont des diagonales et sont des sommets opposés 4 Sur la figure ci-dessous, est un carré est un triangle isocèle rectangle en est un carré est un triangle équilatéral Si ROS est un losange alors... Si MNPQ est un rectangle alors... Sur la figure ci-dessous, Si est un rectangle et est un losange alors on a aussi le triangle ROS est isocèle en O [OS] est une diagonale [OS] est un côté [RS] est une diagonale (MN) (NP) (MN) (MP) (QP) // (NM) (MP) (NQ) triangle isocèle en triangle rectangle en trapèze triangle équilatéral rtistes en géométrie a. Recherche des informations sur le peintre Pietr Mondrian et notamment sur ses œuvres peintes à Paris. b. Quelles figures géométriques sont souvent visibles dans ses toiles? c. À la manière de Mondrian, sur une feuille blanche, trace un cadre avec, à l'intérieur, des droites parallèles verticales et horizontales. Puis colorie en t'inspirant des œuvres de cet artiste. d. L'artiste Vassily Kandinsky, lui aussi, a travaillé à partir de figures géométriques. ite le nom de certaines de ses œuvres. e. Recherche d'autres artistes ayant travaillé avec des figures géométriques. 160 TRINLS T QURILTÈRS - PITR 3