École Doctorale Mécanique, Physique et Modélisation Université de Provence, Marseille ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX

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1 DEA MÉCANIQUE ÉNERGÉTIQUE École Doctorale Mécanique, Physique et Modélisation Université de Provence, Marseille ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX Maxime NICOLAS Groupe Écoulements de Particules IUSTI 2003

2 2 Table des matières 1 Introduction 4 2 Quelques exemples de milieux poreux Milieux poreux naturels Milieux poreux artificiels Description géométrique La porosité Aire spécifique Autres paramètres La loi de Darcy Propriétés de l écoulement de Darcy La cellule de Hele Shaw Modèles de perméabilité Le réseau de capillaires parallèles Le modèle de Saffman Modèle des canaux tortueux Canaux à section variable Modèle de Carman-Kozeny Limites de ces modèles Conductivité éléctrique dans les poreux Facteur de formation des canaux à section variable Loi empirique d Archie Écoulements diphasiques non miscibles Approche classique Modèle de Buckley-Leverett Écoulements diphasiques miscibles Équations de base Détermination expérimentale des coefficients de diffusion Dispersion de Taylor Modèle de Saffman Validations expérimentales Écoulement à l interface d un poreux Références 30

3 3 11 Exercices Le perméamètre instationnaire Le barrage poreux Annexe 32

4 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 4 1 Introduction Dans le catalogue des milieux divisés, les milieux poreux désignent des matériaux pour lesquels la phase solide, fortement imbriquée avec la phase fluide, est fixe. On trouve de nombreux matériaux naturels dans cette catégorie : les sols, les couches sédimentaires, la plupart des roches, ainsi que certains matériaux vivants. Certains matériaux artificiels requièrent d être poreux soit dans le processus de fabrication soit dans leur finalité pour jouer un rôle de filtre ou apporter des propriétés macroscopiques particulières (conductivité thermique par exemple). D une manière générale, les milieux poreux sont définis par deux critères : (1) le matériau doit contenir de petits espaces vides, appelés pores, délimités par une matrice solide ; (2) le matériau doit être perméable à un écoulement de fluide (gaz ou liquide). Ces deux critères renvoient à deux caractéristiques essentielles d un milieu poreux : la porosité la fraction de vide et la perméabilité qui indique l aptitude d un milieu poreux à être traversé par un écoulement. Ces deux quantités sont des variables macroscopiques, c est-à-dire estimées sur un volume contenant de nombreuses entités microscopiques composant le matériau: les pores. Quelques exemples de matériaux poreux sont présentés dans la section suivante. La section 3 se rapporte aux propriétés géomètriques des milieux poreux. Les sections 4 à 6 sont consacrées aux écoulements monophasiques dans les milieux poreux. La section 7 est consacrée aux écoulements diphasiques non miscibles tandis que la section 8 est consacrée aux écoulements diphasiques miscibles. La section 9 s intéresse au problème de la condition d écoulement sur une paroi poreuse. Enfin des exercices sont proposés dans la section Quelques exemples de milieux poreux 2.1 Milieux poreux naturels Dans la nature, les roches et les sols sont certainement les milieux poreux les plus exploités. L étude géologique des sous-sols permet de classifier les différentes couches géologiques selon la perméabilité à un écoulement de fluide. Les couches d argile constituent en général les parois imperméables de réservoirs naturels d eau ou d hydrocarbures. On nomme aquifère un réservoir qui non seulement contient de l eau mais qui peut aussi être le lieu d écoulement, par gravité ou par pompage. Une schématisation d un aquifère est proposée sur la figure 1. Les roches poreuses peuvent contenir également des hydrocarbures. La figure 2 montre qu un tel réservoir peut contenir de l eau, du pétrole et du gaz, avec des couches de mélange intermédiaires. C est pourquoi la compréhension des écoulements multiphasiques est très importante pour l industrie de l extraction pétrolière. La porosité des roches est très variable selon les conditions de température et de pression lors de la formation et de l évolution géologique. Les roches denses

5 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 5 FIG. 1 Schéma d un aquifère (Bear, 1972). FIG. 2 Schéma d un réservoir naturel d hydrocarbures (Bear, 1972). FIG. 3 Coupes d échantillons de grès poreux obtenues à différentes profondeurs P : (a) ε = 27 %, P= m ; (b) ε = 23 %, P= m ; (c) ε = 18 %, P= m ; (d) ε = 16 %, P= m ; (e) ε = 13 %, P= m ; (f) ε = 10 %, P > 3000 m ;

6 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 6 comme le granit ont des porosités inférieures à 2 %. Au contraire, les roches volcaniques formées à la surface (faible pression) ont des porosités élevées à cause des processus de dégazage associés au refroidissement. Certaines roches atteignent ainsi une porosité de 60 %. Les roches sédimentaires se sont formées à partir d agglomération de grains cimentés entre eux. Les shistes argileux ont une porosités de l ordre de 10 à 25 %. Le grès, formé en général de grains de quartz, a une porosité qui dépend fortement du matériau de cimentation des grains (entre 10 et 45 %). De plus, la compaction géologique peut réduire considérablement la porosité : la figure 3 montre différentes coupes d échantillons de grès poreux prélevés dans un même forage mais à des profondeurs différentes. On remarque que la porosité diminue nettement avec la profondeur de forage. 2.2 Milieux poreux artificiels Lors de la fabrication des bétons et des ciments, une certaine porosité est nécessaire pour permettre un séchage lent et progressif et l obtention d un matériau robuste. Parfois, la porosité fine est complétée par un réseau de fractures qui fragilise le béton. La porosité d un bon béton est comprise entre 6 et 10 %. Le contrôle de la porosité et de la structure poreuse joue un grand rôle dans l industrie du papier. Selon les méthodes de fabrication, on peut obtenir un papier filtre très absorbant avec une porosité de 80 %, ou au contraire un papier très serré et transparent (le papier calque) avec une porosité proche de 0. On a alors des pores de diamètres compris entre 0,2 à 4 µm. Une méthode de réalisation de poreux de formes diverses est le frittage. Un empilement de grains en contact est chauffé de manière à ce que les contacts entre grains fondent et réalisent une soudure. Le frittage peut se réaliser avec des grains en métal (bronze, cuivre par exemple), en plastique ou en verre. 3 Description géométrique Les milieux poreux ont une géométrie complexe. Pour illustration, la figure 4 montre l espace des pores d un grès de la mer du Nord, obtenu par des mesures tomographiques. 3.1 La porosité Le paramètre principal décrivant un milieu poreux est la porosité définie par ε = V p volume des pores = V 0 volume total (1) qui varie donc entre 0 (solide plein) et 1 (volume complétement vide). Ce paramètre de porosité est complémentaire de la fraction volumique de solide φ telle que ε + φ = 1. (2)

7 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 7 FIG. 4 Espace des pores d un grès de la mer du Nord (données Statoil). La définition (1) de la porosité est une définition tridimensionnelle. Elle peut être transposée à un rapport de surfaces. En effet, une coupe d un échantillon poreux (un exemple est donné sur la figure 5) montre une surface composée de deux phases. On définit alors la porosité surfacique (à deux dimensions): ε S = A p surface des pores = A 0 surface totale Pour chaque section effectuée à la cote z, on peut mesurer l aire A p (z) occupée par les pores. Si le milieu est homogène (donc la porosité surfacique ne dépend pas de la cote z), on peut écrire que cette aire vaut ε S A 0, où A 0 est l aire totale de la section. À partir de ces mesures, on peut calculer le volume des pores de l échantillon par Z Z V p = A p (z)dz = A 0 ε S dz = ε S V 0. Par conséquent, on obtient une égalité entre la porosité volumique et la porosité surfacique : ε S = ε (4) La définition peut être appliquée à une dimension, en introduisant une porosité linéïque ε L, calculée par des mesures de longueurs de segments occupés par le solide ou le vide. Si le matériau est homogène et isotrope, on peut montrer que (3) ε = ε L = ε S. (5)

8 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 8 FIG. 5 Exemple de coupe d un poreux (grès). 3.2 Aire spécifique La grande surface interne de la matrice solide est une caractéristique des milieux poreux. À partir d un échantillon de volume V 0, on peut définir par S la surface interne des pores. L aire spécifique d un poreux est définie comme le rapport A S = S/V 0, avec une dimension de l inverse d une longueur. Les méthodes classiques de mesures d aire spécifique sont : adsorption d un gaz ; analyse de coupes. 3.3 Autres paramètres La porosité et l aire spécifique sont des propriétés macroscopiques pour le matériau poreux. Mais d autres paramètres peuvent être importants au niveau microscopique, en particulier quand un fluide circule dans l espace des pores. On peut citer la connectivité, qui caractérise le nombre de voisins pour un pore, la présence de bras morts (pores bouchés), ou encore la topologie du volume des pores. Le désordre géométrique est un caractère essentiel des milieux poreux. Cela empêche toute trajectoire en ligne droite incluse dans le volume des pores. On peut alors définir une tortuosité, qui représente le caractère non rectiligne des trajectoires. Cette notion sera précisée au paragraphe 5.3 lors de la modélisation des milieux poreux. 4 La loi de Darcy On considère dans cette section que le milieu poreux est totalement imbibé, c est-à-dire que le volume des pores est entièrement rempli de fluide. L étude fondatrice des écoulements dans les poreux a été réalisée par l ingénieur Darcy en 1856 avec un Mémoire sur les fontaines publiques de la ville de Dijon. Il a mis en évidence une relation linéaire entre la vitesse et le gradient de pression

9 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 9 PSfrag replacements L A FIG. 6 Bloc poreux soumis à un écoulement. appliqué de part et d autre du matériau poreux. La loi de Darcy s applique à un milieu poreux homogène et isotrope parcouru par un écoulement à faible vitesse. Avec ces hyptohèses, la vitesse moyenne de l écoulement est v f = k p η L, (6) avec η la viscosité dynamique du fluide, P/L le gradient de pression appliqué à un échantillon de longueur L (voir figure 6), et k la perméabilité du milieu poreux. Il est important de noter que ce paramètre est indépendant de la nature du fluide. Il ne dépend que de la structure du réseau de pores du matériau. Nous nous attacherons dans la suite à relier cette perméabilité aux propriétés géométriques du matériau. Il ne faut pas confondre la vitesse de filtre et la vitesse du fluide dans les pores. En effet, la vitesse de filtre est bien une vitesse moyenne de l écoulement, moyenne effectuée sur un volume comprenant une partie de solide immobile. Par conséquent, la vitesse du fluide dans les pores, appellée vitesse interstitielle est vitesse supérieure à la vitesse de filtre (car ε < 1). 4.1 Propriétés de l écoulement de Darcy v i = v f ε, (7) D une manière plus générale, on peut écrire la loi de Darcy sous forme vectorielle en tenant compte de la gravité : v f = k η ( p ρ g). (8) On peut remarquer que le champ de vitesse v f est irrotationnel. En effet, v f = k η ( p ρ g) = 0. On peut donc décrire ce champ de vitesse par un potentiel Φ = (k/η)(p + ρgz), avec v f = Φ. On a par conséquent Φ = 0 et le champ v f est celui d un fluide parfait, ce qui paraît surprenant. En effet, les détails de l écoulement microscopique dans chaque pore sont gommés par la loi de Darcy, qui ne prend en

10 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 10 PSfrag replacements z y L 2a x FIG. 7 Cellule de Hele Shaw. compte que la vitesse moyenne de l écoulement. Même si à petite échelle les effets visqueux sont dominants, l écoulement moyen à l échelle de l échantillon a les caractéristiques d un écoulement potentiel. Ceci peut de vérifier par une étude détaillée d un modèle de milieu poreux très courant ; la cellule de Hele Shaw. 4.2 La cellule de Hele Shaw Un écoulement en cellule de Hele Shaw prend place entre deux plaques parallèles de dimensions L séparées d un faible espacement 2a L (voir figure 7). En toute généralité, un écoulement stationnaire est décrit par un champ de vitesse tridimensionnel v(x,y,z). La connaissance du champ de vitesse est apportée par la résolution des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement : v = 0, (9) p + η v = 0 (10) La différence d échelle entre les directions z et (x,y) autorise à écrire d après (9) v z = a L (v x + v y ) 0, ce qui correspond à un écoulement parallèle bidimensionnel confiné par les deux plaques. La même analyse sur l équation (10) permet d écrire que l opérateur laplacien se limite au seul terme 2 / z 2, et cette équation devient : p + η 2 z 2 v = 0 (11) avec = ( / x, / y) et v = (v x,v y ). Les variations lentes de la vitesse selon les directions x et y par rapport aux variations rapides selon z permettent d écrire v (x,y,z) = v (x,y,0) f (z)

11 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 11 où f (z) est une fonction que l on détermine ci-dessous par intégration de l équation (11), en tenant compte des conditions aux limites v(x,y, a) = v(x,y,a) = 0. La fonction f (z) trouvée est le profil parabolique de Poiseuille, et on a finalement le champ de vitesse et une vitesse moyenne v = a2 2η (1 z2 a 2 ) p, (12) v m = 1 Z a v 2a dz = a2 a 3η p. (13) On retrouve dans cette expression la relation linéaire entre la vitesse et le gradient de pression. Si le champ de vitesse décrit par (12) n est pas irrotationnel, le champ moyen de vitesse décrit par (13) peut être dérivé d un potentiel. De plus, l équation (13) est analogue à l équation de Darcy, avec un facteur de perméabilité k = a 2 /3. 5 Modèles de perméabilité Les modèles de perméabilité cherchent à établir une expression pour le paramètre k en fonction de la géométrie du réseau de pores. Une modélisation classique consiste à considérer le milieu poreux comme un assemblage de canaux connectés les uns aux autres. La brique élémentaire est constituée de l écoulement d un fluide au travers d un canal cylindrique de rayon a soumis à un gradient de pression d p/dx. C est l écoulement de Poiseuille cylindrique, avec un profil de vitesse v(r) = a2 d p 4η dx (1 r2 a 2 ), (14) une vitesse moyenne et un débit volumique v m = a2 d p 8η dx, (15) q = πa4 d p 8η dx. (16) 5.1 Le réseau de capillaires parallèles Dans ce modèle, le milieu poreux est constitué d un assemblage de canaux cylindriques parallèles entre eux. Si n est la densité de canaux par unités de surface, on peut écrire en utilisant l égalité (5) que la porosité est ε = nπa 2.

12 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 12 PSfrag replacements L FIG. 8 Modèle de capillaires parallèles. PSfrag replacements z y n ϕ θ x FIG. 9 Définition des axes et des angles pour le modèle de Saffman. La vitesse moyenne (de filtre) au travers de ce réseau de canaux est et par identification, on trouve v f = nq = nπa4 8η d p dx = k d p η dx, k = a2 ε 8. (17) Ce premier modèle décrit la perméabilité comme une fonction linéaire de la porosité et une fonction quadratique de la taille des canaux, donc de la taille caractéristique des pores. Ce modèle est insatisfaisant car il n autorise qu un écoulement unidimensionnel. 5.2 Le modèle de Saffman Dans ce modèle, aucune restriction n est faite quant à l orientation des canaux. Le milieu poreux est considéré homogène et isotrope, avec une vitesse moyenne d écoulement alignée selon le gradient de pression macroscopique G e x = ( p/l) e x. Au sein de chaque pore, la pression est p = Gx + ˆp

13 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 13 où ˆp est une fluctuation aléatoire de valeur moyenne nulle (< ˆp >= 0). Le gradient de pression local est donc G e x + ˆp et la vitesse interstitielle dans chaque pore est v i = a2 8η G e x + < ˆp > = a2 8η (G e x + < ˆp >) n où n = (cosθ,sin θcos ϕ,sinθsin ϕ) est le vecteur directeur du pore. On écrit la vitesse sous la forme [( v i = a2 G + ˆp ) cosθ + p ] p sinθcos ϕ + sin θsinϕ 8η x y z = a2 G 8η [(1 + p 1)cos θ + p 2 sinθcos ϕ + +p 3 sinθsin ϕ] avec p 1 = (1/G)( ˆp/ x), p 2 = (1/G)( ˆp/ y) et p 3 = (1/G)( ˆp/ z). Les p i (i = 1,2,3) sont des variables aléatoires à moyenne nulle : < p i >= 0). Avec les conditions d homogénéité et d isotropie, on prend en compte des distributions gaussiennes pour le triplet des p i. La probabilité d avoir un triplet dont les valeurs sont comprises entre p i et p i + d p i est donc λ i π e λp2 i = ( ) λ 3/2 e λ(p2 1 +p2 2 +p2 3 ) d p 1 d p 2 d p 3, π où le paramètre λ (inverse de la variance de la distribution) ne dépend que de la structure du milieu poreux. La valeur λ = est associée à une probabilité unité d avoir des p i = 0. La probabilité de trouver un pore dans l angle solide compris entre (θ,ϕ) et (θ + dθ,ϕ + dϕ) est (1/4π)sin θdθdϕ. Par suite, la probabilité de trouver un pore orienté en (θ,ϕ) avec les fluctuations (p 1,p 2,p 3 ) est ( ) 1 λ 3/2 4π sinθ e λ(p2 1 +p2 2 +p2 3 ) dθdϕd p 1 d p 2 d p 3. π La vitesse moyenne dans un pore est v i = v i n, donc la vitesse moyenne dans la direction du gradient de pression macroscopique est < v i > x = < v i cosθ > θ,ϕ,p1,p 2,p 3 Z π Z 2π Z Z Z = θ=0 = a2 G 8η ϕ=0 1 4π ( λ π ) 3/2 I v i cosθ 1 4π sinθ ( ) λ 3/2 e λ(p2 1 +p2 2 +p2 3 ) dσ. π

14 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 14 L FIG. 10 Modèle de capillaire tortueux. La longueur effective L e du capillaire est repliée sur une longueur L (flèche). avec dσ = dθdϕd p 1 d p 2 d p 3 et Z I = cosθsin θ[(1 + p 1 cosθ + p 2 sinθcos ϕ + p 3 sinθsin ϕ)] e λ(p2 1 +p2 2 +p2 3 ) dσ Σ = 4π 3 ( ) λ 3/2 π Le calcul détaillé de l intégrale I est présenté en annexe ( 12). Finalement, on obtient < v i > x = a2 G 24η et on a donc une vitesse de filtre v f = ε < v i > x et par suite la perméabilité de ce modèle est k Sa f f man = a2 ε 24. (19) On peut vérifier que la vitesse moyenne interstitielle de l écoulement dans les directions y et z est nulle : < v i > y =< sinϕ > 2π = 0, et < v i > z =< cos ϕ > 2π = 0. On retrouve dans ce modèle la même loi d échelle pour la perméabilité que dans le modèle des capillaires parallèles ( 5.1). Seul le facteur numérique change, avec un rapport 1/3 par rapport à celui de l équation (17). En effet, dans le modèle des canaux parallèles, toute la porosité participe à l écoulement, alors que le modèle de Saffman prend en compte une porosité active sur une des trois directions de l espace. La perméabilité est donc trois fois moindre. 5.3 Modèle des canaux tortueux Ce modèle permet de corriger l approximation de canaux rectilignes fait jusque là. On peut en effet considérer que dans un échantillon de longueur L, un canal qui traverse l échantillon de part et d autre a une longueur effective L e > L du fait d une certaine tortuosité (voir figure 10). La tortuosité est définie comme le rapport entre ces deux longueurs : τ = L e L. (20) (18)

15 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 15 Muni de ce nouveau paramètre, on peut modéliser le milieu poreux comme un assemblage de ce genre de canaux tortueux. Reprenant la même démarche que pour les capillaires parallèles, on écrit la porosité sous la forme ε = nπa 2 τ, et le débit dans chaque pore est (d après la loi de Poiseuille) q = πa2 p 8ητ L. La vitesse de filtre est donc (en tenant compte d une porosité active ε/3) v f = nq = et la perméabilité associée à ce modèle est εa2 p 24ητ 2 L k tort = εa2 24τ 2 (21) On peut remarquer que la perméabilité d un réseau de canaux tortueux et toujours inférieure à celle d un réseau de canaux rectilignes, car τ > 1 par définition. On peut aisément critiquer le fait que les canaux décrivant la porosité sont tous de la même taille. Il est évident que ce n est pas le cas pour les matériaux poreux réels. Si on a accès à la distribution de taille des canaux β(a), il est est facile de calculer la perméabilité avec k = ε Z 24τ 2 a 2 β(a)da. Enfin, et c est peut-être la principale limite, la taille des pores n est pas une quantité facilement mesurable. La surface spécifique est une quantité plus aisée à mesurer, et il est nécessaire d établir un modèle incluant ce paramètre. Le modèle de Carman-Kozeny est de ceux là. 5.4 Canaux à section variable Dans ce modèle, le milieu poreux est constitué d un assemblage de cellules élémentaires identiques contenant chacune deux canaux coaxiaux contigus de deux diamètres différents. On note par a le rayon du gros canal, et αa le rayon du petit (avec α < 1). Les deux canaux ont une longueur égale L/2 (voir figure 11). Le volume du pore est V p = πa 2 L(1 + α 2 )/2 et la porosité est ε = V p L 3 = πa2 2L 2 (1 + α2 ). (22)

16 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 16 PSfrag replacements L/2 L/2 FIG. 11 Modèle de capillaire à section variable. Comme le débit est conservé dans chaque pore, on sépare le gradient de pression en deux parties p = p 1 + p 2, et le débit s écrit : q = πα4 a 4 8η Le gradient de pression global est donc p = 4qLη πa 4 p 1 L/2 = πa4 p 2 8η L/2. ( 1 + α 4 et par identification avec la loi de Darcy et grâce à la relation (22), on obtient une perméabilité k = a2 2 ε α 4 (1 + α 4 )(1 + α 2 ). (23) On retrouve bien que k = a 2 ε/8 pour α = 1, et que la perméabilité tend vers zéro quand α 0 (canaux obstrués). La situation α 1 correspond à des pores de grande taille connectés par des passages étroits, ce qui est représentatif de milieux poreux formés d assemblages de grains, naturels (grès) ou artificiels (frittés). 5.5 Modèle de Carman-Kozeny La description géomètrique du milieu poreux est identique à celle du modèle des tubes tortueux. Mais on va chercher à exprimer la perméabilité en fonction de l aire spécifique A S plutôt qu en fonction de la taille des pores a. Dans un échantillon de longueur L et de section A comprenant n pores tortueux par unité de surface (dans le plan perpendiculaire à l écoulement), la surface de contact solide/fluide est S = (na)(2πal e ), α 4 ), et l aire spécifique est Avec ces notations, la porosité est A S = 2πnaτ. ε = nπa 2 τ

17 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 17 PSfrag replacements zone morte FIG. 12 Illustration d un bras mort de l écoulement. et on a donc A S = 2ε a. En reprenant l expression de la perméabilité (21), on obtient k CK = ε3 KA 2. (24) Sτ2 avec K = 6. La constante 6 qui intervient dans cette formule provient des hypothèses sur la géomètrie du réseau. Cette constante K peut être mesurée expérimentalement. Pour des empilements de billes de verre (empilements aléatoires) de diamètre allant de 250 µm à 1 mm, la porosité est 0,35 ε 0,39, et on trouve 4,85 K 5,2. Il est d usage de considérer K 5 pour ces milieux. 5.6 Limites de ces modèles Un poreux réel comprend en général des canaux obturés, zones sans écoulement (fig. 12) qui ne peuvent participer à la perméabilité bien qu elles contribuent à la porosité. De plus, la condition d homogénéité requise n est pas toujours réalisée en pratique. En effet, des poreux naturels comme les roches sont parfois constitués de différentes échelles de réseaux de pores. À l échelle microscopique peut venir se superposer un réseau de fractures par lequel un écoulement préférentiel va s établir. Dans ce cas, les modèles décrits ci-dessus ne peuvent s appliquer. 6 Conductivité éléctrique dans les poreux Il existe une forte analogie entre les lois de la mécanique des fluides et celles de la conduction électrique. En effet, la différence de pression dans une conduite est l analogue d une différence de potentiel aux bornes d un conducteur, tandis que le débit de fluide est l analogue du courant électrique. Dans les deux cas, les relations entre différence de pression/débit et différence de potentiel/courant dépendent de la géométrie (forme et longueur) de la conduite ou du conducteur. Si le milieu poreux est imbibé d un fluide conducteur caractérisé par sa viscosité η et sa conductivité σ f, on est en présence de deux types de transport : le transport de fluide par la différence de pression, et le transport de charges électriques si une différence de potentiel est appliquée de part et d autre du poreux. Dans les deux cas, la géométrie interne du milieux poreux joue un rôle important. La mesure

18 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 18 de la conductivité équivalente σ p du milieu poreux apporte donc une information supplémentaire sur la structure. La conductivité électrique des milieux poreux est caractérisée par un nombre sans dimension appelé facteur de formation Pour un simple canal cylindrique, le courant électrique est F = σ f σ p. (25) δi = σ f πa 2 V L, ce qui correspond à une résistance ohmique R = L/(σ f πa 2 ). En reprenant le modèle des capillaires parallèles de section uniforme ( 5.1), on peut déterminer que le facteur de formation est F = 1/ε. D après le modèle des canaux tortueux ( 5.3), ce facteur vaut F = τ/ε. 6.1 Facteur de formation des canaux à section variable En appliquant l analogie électrique à la géométrie décrite au 5.4, on peut écrire que la différence de potentiel se répartit entre les deux canaux, avec une conservation de l intensité du courant I = πα 2 a 2 σ f V 1 L/2 = πa2 σ f V 2 L/2. La loi d Ohm appliquée à la cellule contenant les deux canaux donne V = V 1 + V 2 = Le facteur de formation σ f /σ p est donc F = L2 1 + α 2 2πa 2 α 2 I Lσ p. En utilisant l expression de la porosité (22), on obtient finalement F = 1 (1 + α 2 ) 2 4π α 2. (26) Avec l hypothèse d une grande différence de taille entre les deux canaux (α 1), on peut écrire, d après les relations (22), (23) et (26) : ε πa2 2L 2, F 1 4εα 2, k εa2 α 4. 2 En éliminant la variable porosité, on peut déterminer les deux échelles de longueur caractéristiques du milieu poreux : αa 2 2Fk, (27)

19 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 19 FIG. 13 Variation de la perméabilité en fonction du facteur de formation (a), et variation de la perméabilité normalisée par le carré du diamètre des grains (b). et L 4F πk (28) en fonction de paramètres mesurés k et F. Aux facteurs numériques près, on peut donc établir que L F k et αa Fk. Ces relations sont bien vérifiées expérimentalement pour des milieux poreux frittés formés par des assemblages de grains (voir figure 13). Ces relations sont valables pour des frittages modérés (porosité 0.1 < ε < 0.39). Pour des frittages plus importants (porosité moindre), des effets de porosité fermée modifient le résultat. 6.2 Loi empirique d Archie La loi empirique d Archie (1942) relie le facteur de formation à la porosité : F = ε m. (29) Ce type de relation est très utilisée en pratique mais n est valable que pour des types de roches voisines, qui ont une histoire géophysique commune. Pour une roche comme le grès, l exposant est m = 3/2. La validité de la loi d Archie peut être testée pour des empilements frittés de billes de verre. La figure 14 montre que cette loi est valide pour les fortes porosités. 7 Écoulements diphasiques non miscibles Les roches pétrolifères sont des milieux poreux saturés, en général avec deux types de fluides : de l eau et des hydrocarbures (huiles). L extraction de l huile nécessite de s intéresser au déplacement de l huile par l eau. En effet, il est courant d injecter de l eau sous pression pour faire remonter les hydrocarbures par un puits de forage. Un autre situation est celle des sols non saturés. Dans ce cas, il faut prendre en compte une interface eau/air pour comprendre l écoulement.

20 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 20 FIG. 14 Variation du facteur de formation avec la porosité pour des échantillons de billes de verre frittés. Dans ces deux exemples, les paramètres physiques d importance sont la tension interfaciale et la mouillabilité. La tension de surface entre deux fluides non miscibles est reliée à la forme de l interface par la loi de Laplace : ( 1 p = γ + 1 ), R 1 R 2 où p est la différence de presssion de part et d autre de l interface, et R 1 et R 2 sont les rayons de courbure principaux. La mouillabilité indique la capacité d un liquide à se répandre sur une surface solide. Ce critère résulte de la comparaison de la tension de surface solide/gaz et de la somme des tensions de surface solide/liquide et liquide/gaz. Si γ SL + γ LG < γ SG, alors le liquide a tendance à s étaler et à mouiller complétement le substrat solide (situation de mouillage total). Il faut noter que l état de surface du substrat (en particulier la rugosité) modifie considérablement la mouillabilité. Dans la configuration eau/huile, l eau mouille le solide tandis que l huile est non mouillante. 7.1 Approche classique On désigne par S w et S o les pourcentages respectifs des volumes occupés par l eau (w) et l huile (o) respectivement. La saturation complète du milieu poreux impose S w + S o = 1. On déplace l huile en injectant de l eau dans le milieu poreux (figure 15) L approche classique consiste à écrire une équation de Darcy pour chaque phase : Q w A = k k rw η w ( p w ρ w g), (30)

21 ÉCOULEMENTS DANS LES MILIEUX POREUX 21 PSfrag replacements Injection huile résiduelle FIG. 15 Schéma du déplacement non miscible. PSfrag replacements k ro k rw S w 0 S wi 1 S oi 1 FIG. 16 Variations des perméabilités relatives en fonction de la saturation en eau. Q o A = k k ro η o ( p o ρ o g), (31) en introduisant des perméabilités relatives k rw et k ro et des champs de pression différents pour chaque phase. En première hypothèse, on suppose que les perméabilités relatives ne dépendent que des saturations S w et S o. Les pressions p w et p o peuvent être différentes à cause de la différence de pression à l interface entre les deux liquides. C est le cas pour un écoulement quasistatique (à faible vitesse). À forte vitesse, la pression locale est dominée par les pertes de charge visqueuses. Il faut noter également que les équations (30) et (31) ne sont valables que pour des phases continues, c est-à-dire en l absence d huile résiduelle. Les variations typiques des perméabilités relatives sont tracées sur la figure 16. k rw s annule pour une valeur finie non nulle S wi de la saturation. En effet, une trop faible saturation ne permet pas de créer un chemin continu. L eau résiduelle est présente sous forme de goutelettes. De même, il faut une saturation minimum en huile (1 S oi ) pour créer un chemin et mettre l huile en mouvement.