1 Retour sur les angles

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1 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e Pour ce quatrième épisode, ta mission est de : Connaître le vocabulaire sur les angles : angles adjacents, angles opposés par le sommet, angles correspondants et angles supplémentaires. Reconnaître des angles alternes-internes et correspondants Déterminer deux angles à partir de deux droites parallèles Reconnaître des droites parallèles Connaître et utiliser la somme des angles d un triangle Connaître et utiliser les angles des triangles particuliers : équilatéral, isocèle et rectangle. 1 Retour sur les angles ctivité n 1 : Les deux font la paire ;-) Dans les figures 2 et 4, les angles bleu et rose sont dits adjacents. Ce n est pas le cas pour les autres figures. À partir de tes observations, essaie d expliquer à quelles conditions deux angles sont adjacents. Deux angles adjacents ont-ils forcément la même mesure? 2. Dans les figures 5 et 8, les angles vert et rose sont dits opposés par le sommet. Ce n est pas le cas pour les autres figures. À partir de tes observations, essaie d expliquer à quelles conditions deux angles sont opposés par le sommet. Deux angles opposés par le sommet ont-ils forcément la même mesure? Justifie ta réponse en utilisant une proriété de la symétrie centrale. ctivité n 2 : Un peu de vocabulaire Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90. Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à Trace un triangle C rectangle en. À l aide du rapporteur, mesure les anglesâc et C. Existe-t-il une relation entre les mesures de ces deux angles? Laquelle? 2. Trace une droite (d). Place un point O sur cette droite. Place un point E ne se trouvant pas sur la droite (d). Trace la demi-droite [OE) et mesure l angle aigu et l angle obtus ainsi définis. Existe-t-il une relation entre les mesures de ces deux angles? Laquelle? N. SNS Page 1 Lycée Français Jean Giono

2 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e ilan 1 ngles adjacents : Deux angles adjacents sont deux angles qui ont le même sommet, ont un côté commun et sont situés de part et d autre de ce côté commun. ngles opposés par le sommet : Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés de l un sont dans le prolongement des côtés de l autre. Pour des raisons de symétrie, deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. ngles complémentaires : Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90. ngles supplémentaires : Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180. Exercice n 1 : Calculs mentaux Les angles â et b sont complémentaires. Calcule mentalement la mesure de b dans les cas suivants : a) â = 45 b) â = 27 c) â = 3 d) â = 88,7 2. Les angles x et ŷ sont supplémentaires. Calcule mentalement la mesure de ŷ dans les cas suivants : a) x = 103 b) x = 95 c) x = 47 d) x = 101,5 Exercice n 2 : Du vocabulaire.... Indique si les angles proposés sont adjacents, complémentaires ou bien encore supplémentaires. Justifie tes réponses. Exercice n 3 : Par deux!... Nomme, en justifiant, deux angles de la figure, codés ou non : a) complémentaires et adjacents b) complémentaires et non adjacents c) supplémentaires et adjacents d) supplémentaires et non adjacents e) opposés par le sommet. Exercice n 4 : Un défi Trouve la mesure de deux angles complémentaires, sachant que l un des deux est 8 fois plus grand que l autre. 2. Trouve la mesure de deux angles supplémentaires, sachant que l un des deux est 9 fois plus petit que l autre. N. SNS Page 2 Lycée Français Jean Giono

3 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e 2 Encore des angles ctivité n 3 : Encore une définition Sur la figure ci-dessous, on a construit deux droites (d 1 ) et (d 2 ) coupées par une droite (d). (d) (d 1 ) (d 2 ) 1. Sur cette figure, marque d une même couleur deux angles qui n ont pas le même sommet et situés : entre les droites (d 1 ) et (d 2 ); et de part et d autre de la droite (d). Les deux angles coloriés sont appelés de angles alternes-internes 2. Parmi les figures suivantes, sur laquelle (ou lesquelles) sont représentées des angles alternes-internes? a) b) c) d) 3. Dans la question précédente, à la figure a), les angles sont dits correspondants. Dans la question précédente, existe-t-il une autre figure avec deux angles correspondants? Donne des critères de reconnaissance pour deux angles correspondants. Exercice n 5 : s-tu compris? Sur la figure suivante, colorie en vert deux angles alternes-internes. 2. Sur la figure suivante, colorie en bleu deux angles opposés par le sommet. 3. Sur la figure suivante, colorie en rouge deux angles correspondants. Exercice n 6 : s-tu compris bis?... On considère ci-contre deux droites(d 1 ) et(d 2 ) coupées par une troisième droite (d). Huit angles numérotés de 1 à 8 sont ainsi formés. Citer deux couples d angles alternes-internes. Citer quatre couples d angles correspondants. Y a-t-il des angles opposés par le sommet? N. SNS Page 3 Lycée Français Jean Giono

4 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e ilan 2 Soient deux droites (d 1 ) et (d 2 ) coupées par une sécante (d). Deux angles sont alternes-internes dans les deux cas suivants : (d 1 ) (d) (d 1 ) (d) (d 2 ) (d 2 ) sommets différents ; alternes signifie que les angles sont situés de chaque côté de la sécante (d); internes signfie que les angles sont situés entre les deux droites (d 1 ) et (d 2 ). Remarque : Il existe aussi des angles correspondants dans ce type de configuration. Sur les figures suivantes, les deux angles indiqués sont correspondants. (d 1 ) (d) (d 1 ) (d) (d 2 ) (d 2 ) Exercice n 7 On considère la figure ci-contre. : Figure complexe Donner le nom de l angle correspondant à l angle bleu pour les droites(d 1 ) et(d 2 ) coupées par la sécante(d 4 ). 2. Donner le nom de l angle opposé par le sommet à l angle orange. 3. Donner le nom de l angle alterne-interne à l angle orange pour les droites (d 1 ) et (d 2 ) coupées par la sécante (d 3 ). 4. Donner le nom de l angle alterne-interne à l angle bleu pour les droites(d 3 ) et(d 4 ) coupées par la sécante(d 2 ). Exercice n 8 : Et dans la réalité.... Les facades des maisons de la ville de Troyes sont faites de poutres en bois qui se croisent. Ces maisons font tout le charme de cette ville. Le schéma ci-contre reproduit l une de ces facades. 1. La famille Praz demande au charpentier que l angle correspondant à l angle GC mesure 130. Indiquer au charpentier de quel angle la famille Praz parle. 2. De même, la famille Praz souhaite que l angle alterne-interne à l angle ÊHG soit de même mesure que l angle ÊHG. Indiquer le nom de l angle de cet angle. N. SNS Page 4 Lycée Français Jean Giono

5 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e 3 ngles alternes-internes et droites parallèles ctivité n 4 : Une configuration clé... On se propose d étudier un portail en bois. Pour ce faire, nous allons le modéliser avec des droites. 1. Que peux-tu dire des droites (C) et (DE)? Pourquoi est-ce important? 2. vec les lettres disponibles, cite deux angles alternes internes puis mesure les avec ton rapporteur. Que remarques-tu? 3. Nous allons prouver que ta conjecture est vraie dans le cas de deux droites parallèles coupées par une sécante. Voici la figure d étude où I est le milieu de segment [D]. I D E (a) Comme I est le milieu de segement [D], que peux-tu dire des points et D? (b) Par la symétrie de centre I, quelle est la droite symétrique de ()? Justife! (c) Comment sont alors les angles alternes-internes ÂD et DE? 4. Complète la propriété suivante : Si deux droites...sont coupées par une....alors les angles...qu elles forment ont Une petite extension. Pour toi, comment sont les mesures de deux angles correspondants dans le cas de droites parallèles? À l aide de la figure suivante, prouve ta conjecture? D E 6. Déduis du travail précédent une nouvelle propriété. Exercice n 9 : s-tu compris? Les droites (xy) et (tz) sont parallèles. La droite (uv) coupe (xy) en et (tz) en. Dans chaque cas, donne la mesure de l angle tu en citant la propriété utilisée. a) b) u x u x t 37 y z v t 119 v z y N. SNS Page 5 Lycée Français Jean Giono

6 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e ilan 3 Pour déterminer un angle à partir de deux droites parallèles, la propriété suivante nous dit : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes internes qu elles forment ont même mesure. Nous avons le schéma déductif suivant : Données Conclusion Droites rouges parallèles coupées par une sécante D après cette propriété b â Donc, â = b Remarque : la propriété précédente est valable avec deux angles correspondants. Il suffit juste de remplacer dans les propriétés le mot «alternes internes»par «correspondants». Exercice n 10 : Un peu de mélange... La droite (lm) coupe les droites parallèles (xy), (zt) et (uv) respectivement en, et C. En citant les propriétés utilisées, donne les mesures des angles ẑm et lcv. Un défi : Es-tu capable en expliquant de déterminer la mesure de l angle ûcl? l u C t v x 51 z m y Exercice n 11 : Le tour des angles Sur la figure suivante, sans aucune justification, écris la mesure de tous les angles indiqués. 68 Exercice n 12 : Encore un portail Un ferronier souhaite connaître les mesures de certains angles pour construire la structure du portail ci-contre. Les droites de la même couleur sont parallèles. Détermine la mesure des angles noirs en justifiant tes réponses. L angle bleu clair mesure 74. N. SNS Page 6 Lycée Français Jean Giono

7 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e ctivité n 5 : Reconnaître des droites parallèles... Cette activité est à effectuer directement sur classroom. Il suffit juste de manipuler les curseurs et de répondre aux questions posées directement sur un ordinateur. α 1 = 39 β 1 = 61 β = 61 α = 39 Exercice n 13 : i-je compris Pour les deux situations suivantes, démontrer que les droites (C) et (DE) sont parallèles. a) b) D 59 E E G 124 D 59 C 124 C ilan 4 Pour déterminer deux droites parallèles à partir d angles alternes internes, la propriété suivante nous dit : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles Nous avons le schéma déductif suivant : Données Conclusion â = b b â D après cette propriété Donc les droites rouges sont parallèles Remarques : 1. la propriété précédente est valable avec deux angles correspondants. Il suffit juste de remplacer dans les propriétés le mot «alternes internes»par «correspondants». 2. Une démonstration peut être rédigée sous le format suivant : 1 - Je sais que... (on cite les données utiles). 2 - Or, une propriété me dit que :... (on récite la propriété utilisée). 3 - Donc, je conclus que... (on écrit la conclusion, souvent la réponse à la question posée). N. SNS Page 7 Lycée Français Jean Giono

8 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e Exercice n 14 : pplication directe Dans chacun des cas suivants, en justifiant rapidement (sans rédaction type), dis si les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont parallèles ou non. Exercice n 15 : vec un plan Voici le plan du projet d aménagement d une rue. D après le plan du géomètre, peut-on savoir si la rue Jean-Norbert et la rue Odille-Dussa se croisent? Justifie ta réponse. 4 Les angles dans un triangle ctivité n 6 : La somme des mesures des angles d un triangle... Partie : vec une feuille blanche et des ciseaux : 1. Construis un triangle dimension 10 cm, 8 cm et 7 cm. 2. Découpe ce triangle en trois morceaux comme sur la figure ci-contre. 3. ssemble ces trois angles afin de n en obtenir que un : la mesure de cet angle devra correspondre à la somme des trois angles colorés. 4. Que peux-tu dire du nouvel angle formé? Quelle semble être sa mesure? 5. Déduis-en une nouvelle propriété quant à la somme des mesures des angles d un triangle. Partie : Et si on démontrait la conjecture précédente. Soit C un triangle. On a tracé la droite parallèle à () passant par le sommet C. Les points D et E sont des points de cette droite parallèle. En utilisant tes connaissances, es-tu capable d expliquer le fait que la somme des mesures des angles d un triangle est de 180. D C E Partie C : Et pour certains triangles particuliers. 1. Que peux-tu dire de la mesure des angles aigus d un triangle rectangle? 2. Que peux-tu dire de la mesure des angles aigus d un triangle rectangle et isocèle? 3. Que peux-tu dire de la mesure des angles aigus d un triangle équilatéral? N. SNS Page 8 Lycée Français Jean Giono

9 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e ilan 5 1. Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires. 3. Si un triangle est rectangle et isocèle (demi-carré), alors ses deux angles aigus mesurent Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent 60. Exercice n 16 : pplication directe Pour chaque triangle, détermine la mesure des angles manquants. Remarque : la figure e) est optionnelle. Exercice n 17 : Un classique Construis un triangle C tel que C = 6 cm, ÂC = 58 et ÂC = Mesure la mesure de l angle C. 3. Calcule la vraie mesure de cet angle C. 4. Peux-tu expliquer la différence obtenue entre la mesure obtenue avec le rapporteur et celle obtenue avec le calcul? Exercice n 18 : vec du vent.... ujourd hui, il y a du vent à Quiberon. Julie voudrait construire un cerf-volant. Elle a trouvé un mode d emploi, mais il manque des données pour réussir à la construire entièrement. ide Julie à réaliser son cerf-volant en trouvant la mesure de l angle ÂD. N. SNS Page 9 Lycée Français Jean Giono

10 Épisode 4 - ngles ctivités mathématiques 5e Exercice n 19 : Un toit pour toi! On doit poser le toit d une maison. Ce toit est représenté par la figure ci-contre. On se demande si la surface formée par les points, et C est bien «plate». À l aide la figure, dis, en justifiant, si les points, et C sont alignés. 5 Les problèmes Problème n 1 : Le jardinier.... Julien souhaite savoir si le jardinier a planté ses arbres correctement. Pour ce faire, les arbres, et C doivent être alignés, tout comme les arbres D, et E. Les consignes de Tom ont-elles été respectées par le jardinier? Explique ta réponse. Problème n 2 : SSR (attestation scolaire de sécurité routière... Lors du passage de l SSR, Julie observe le schéma ci-contre. Détermine l angle mort, c est-à-dire la zone dont l observation, dans le rétroviseur, est inaccessible au conducteur d un véhicule. On sait que les droites () et (CD) sont parallèles, et que la droite (CD) est perpendiculaire à (FG). Problème n 3 : Une tâche complexe N. SNS Page 10 Lycée Français Jean Giono