1 Principe des tests statistiques

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1 CHU Amiens IFTLM 2 ème année Statistique Cours 5 1 Principe des tests statistiques Tests statistiques, tests de comparaison Les tests statistiques (ou tests d hypothèse) sont un outil des statistiques inductives : ils permettent d extrapoler à une population toute entière (ou deux populations) des résultats connus seulement sur un échantillon (ou deux échantillons) issu de cette (ou ces) population. Pour cela, un risque α (classiquement α = 0, 05) est fixé. Plaçons-nous dans le cas où l on compare les résultats observés d une certaine mesure X dans une même expérience sur deux échantillons notés respectivement 1 et 2, chacun d eux étant supposé représentatif de la population. A partir de ces résultats observés, diverses quantités peuvent être calculées, les moyennes sur les échantillons m 1 et m 1, les écart-types sur les échantillons s 1 et s 2 etc... Le problème est le suivant : on observe une différence entre les deux moyennes m 1 et m 2, cette différence est-elle statistiquement significative? Autrement dit, peut-on en déduire avec un certain risque que les moyennes sur les populations dont sont issus les échantillons, µ 1 et µ 2, sont différentes? Ou encore, les deux échantillons proviennent-ils de la même population? Exemple 1 Pour comparer deux médicaments en fonction de leur activité tachycardisante (accélératrice du rythme cardiaque), on effectue un sondage dans une population de malades de façon à grouper n 1 = 40 malades utilisant le premier médicament et n2 = 30 malades utilisant le second médicament. On évalue ensuite pour chaque malade la différence y entre la fréquence cardiaque une heure après la prise et la fréquence juste avant la prise. On obtient, pour des fréquences exprimées en battements par minute, les résultats suivants pour la moyenne et la variance corrigée groupe x s 2 1 7, , 6 6 Peut-on conclure avec une confiance de 98% qu il y a une différence entre les médicaments? 1. Hypothèse nulle H0 : c est l hypothèse principale, que l on va supposer vraie pour faire le test. C est toujours une hypothèse d égalité. Ici H0 : µ 1 = µ 2. Supposer cette hypothèse vraie implique que les deux échantillons se comportent de la même façon face à l expérience. 2. Hypothèse alternative H1 : c est une hypothèse incompatible avec H0. Cela peut être l hypothèse contraire µ 1 µ 2 en cas de test bilatéral, ou bien une hypothèse plus forte, µ 1 > µ 2 ou µ 1 < µ 2, dans le cas d un test unilatéral. 3. Erreur de première espèce α : c est le risque, qu on accepte de prendre, de conclure à tort à une différence significative, c est donc la probabilité d accepter H1 sachant que H0 est vraie. Elle est fixée à priori (en général à 0,05). 4. Erreur de deuxième espéce β : c est le risque de conclure à une absence de différence significative alors qu elle existe, c est donc la probabilité de ne pas rejeter H0 sachant que H1 est vraie. 5. Puissance du test π = 1 β : lorsque l on suppose que les deux populations d origine ne sont pas les mêmes (H1), on doit clairement s attendre à trouver une différence significative entre les résultats sur les échantillons, c est-à-dire à rejeter H0, avec une probabilité d autant plus grande que l étude est puissante. La puissance peut être fixée a priori et peut servir à calculer le nombre de sujets nécessaires pour avoir un test assez puissant.

2 6. Degré de signification du test : en cas de rejet de l hypothèse H0, ce paramètre mesure la "force du rejet". C est la probabilité que la différence observée sur les deux échantillons se produise, si H0 est vraie. C est aussi la plus petite valeur de α avec laquelle on accepte H1. Elle s obtient par lecture dans la table de l écart réduit a posteriori. Règle de décision du test : il s agit d une règle qui va nous pousser, en fonction des mesures sur les échantillons, à rejeter ou à ne pas rejeter H0. Pour cela, on utilise une "statistique", c est-à-dire une variable aléatoire dont on connaît la loi sous H0, et qui va mesurer la différence entre les deux échantillons. Le calcul de cette variable sur l échantillon donne une valeur u, que l on compare à une valeur u α, obtenue à partir du risque de première espèce α. Si cette différence u est assez grande u > u α, on est amené à rejeter H0 (RH0). Le raisonnement est le suivant : on suppose que H0 est vraie, on doit donc s attendre, si on tient compte seulement du hasard, à une différence u petite. Si c est le cas, on ne rejette pas H0 (NRH0). Si ce n est pas le cas, cela signifie que la différence n est pas seulement due au hasard mais qu elle est statistiquement significative. Il est à noter qu on ne dit jamais que H0 est vraie, même dans le cas où on ne la rejette pas. 2 Tests de comparaison On effectue ce type de tests lorsque l on compare les résultats d une certaine mesure X entre un échantillon et la population générale ou bien entre deux échantillons (tests quantitatifs), d une part, ou bien lorsque l on compare la proportion d individus qui possèdent une certaine qualité X (tests qualitatifs). Rappel des notations proportion moyenne variance écart-type variance corrigée écart-type corrigé population, théorique p µ σ 2 σ échantillon f n m s 2 s s 2 c s c u α tel que P(X > u α ) = α, où X suit une loi normale N (0; 1). 2 t α,n 1 tel que P(T > t α,n 1 ) = α, où T suit une loi de Student à n 1 degrés de liberté Comparaison de deux proportions Comparaison d une proportion observée à une proportion théorique Soit p pop la proportion dans la population dont est issu l échantillon. Les hypothèses du test sont H0 : p pop = p et H1 : p pop p (pour un test bilatéral). Conditions de validité du test : np 5, n(1 p) 5 u = f n p p(1 p) n u > u α = RH0 Exemple 2 Sur un échantillon de 400 naissances dans une population de rongeurs, on a observé 206 mâles, soit une fréquence de mâles de f n = 206 = 0, 515. On se demande s il y a autant de mâles que 400 de femelles dans la population, autrement dit, si la proportion de mâles dans la population est p = 0, 5. On peut effectuer le test statistique de H 0 : p = 0, 5 contre H 1 : p 0, 5. On calcule u = 0, 515 0, 5 0,5(1 0,5) 400 = 0, 6 Pour α = 0, 05, on a u α = 1, 96. Comme u ] u α, u α [, on ne peut pas rejeter H 0. Il est donc possible que p = 0, 5.

3 2.1.2 Comparaison de deux pourcentages observés, échantillons indépendants Soit p A,pop la proportion dans la population dont est issu l échantillon A (idem pour B). Les hypothèses du test sont H0 : p A,pop = p B,pop et H1 : p A,pop p B,pop (pour un test bilatéral). Conditions de validité du test : n A p A 5, n A q A 5, n B p B 5, n B q B 5. p = n Ap A + n B p B u = p A p B n A + n B pq n A + pq n B u > u α = RH0 Exemple 3 Dans une même catégorie sociale, un échantillon de 40 hommes a fourni 8 fumeurs et un échantillon de 60 femmes a fourni 18 fumeuses. On se demande si la proportion de fumeurs est la même pour les deux sexes. On peut considérer la situation suivante. Population 1 : hommes. Variable X 1 : être fumeur, représenté par une variable aléatoire X 1 de loi de Bernoulli B(p 1 ) où p 1 est la proportion d hommes fumeurs. Echantillon de taille n 1 = 40 Estimateur de p 1 : f 1 = 8 = 0, 2. Population 40 2 : femmes. Variable X 2 : être fumeuse, représenté par une variable aléatoire X 2 de loi de Bernoulli B(p 2 ) où p 2 est la proportion de femmes fumeuses. Echantillon de taille n 2 = 60. Estimateur de p 2 : estimation de p 2 : f 2 = = 0, 3. Les échantillons E 1 et E 2 sont indépendants. Test bilatéral de H 0 : p 1 = p 2 contre H 1 : p 1 p 2. On a n 1 f 1 = 8 > 5, n 1 (1 f 1 ) = 32 > 5, n 2 f 2 = 18 > 5 et n 2 (1 f 2 ) = 42 > 5. Sous l hypothèse H O, en regroupant les deux échantillons, on peut estimer p par f 1,2 = n 1f 1 + n 2 f 2 = n 1 + n = 0, 26. On calcule alors : , 2 0, 3 u = ( ) = 1, , 26(1 0, 26) Avec α = 0, 05, on obtient u α = 1, 96 et comme u ] u α, u α [, on ne peut rejeter H 0. La proportion de fumeurs ne diffère pas significativement entre les deux sexes. Pour cette décision de non-rejet, on ne connaît pas la probabilité de se tromper (erreur de deuxième espèce). 2.2 Comparaison de deux moyennes Comparaison d une moyenne observée m à une moyenne théorique µ, n 30 Soit µ pop la moyenne sur la population dont est issu l échantillon. Les hypothéses sont H0 : µ pop = µ et H1 : µ pop µ (pour un test bilatéral). La statistique utilisée est u = x µ σ n u > u α = RH0 si σ est inconnue, on l estime par s c. Exemple 4 Dans une usine du secteur de l agroalimentaire, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d eau et par une file d approvisionnement en bouteilles vides. Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine, on veut construire un test d hypothèse bilatéral qui sera mis en oeuvre toutes les heures. Pour une production d une heure, on suppose que la variable aléatoire X qui à toute bouteille, prise au hasard dans cette production, associe le volume d eau (en litres) qu elle contient, est une variable aléatoire d espérance µ et d écart-type σ inconnus. On considère que la machine est bien réglée lorsque le volume d eau moyen dans une bouteille est µ = 1, 5l. On a prélevé un échantillon de 100 bouteilles, et on a obtenu un volume d eau moyen de 1, 495l et un écart-type corrigé de 0, 01. Peut-on conclure, au risque 5%, que la machine est bien réglée? On peut considérer la situation suivante. Population : bouteilles produites. Variable X : volume d eau, variable aléatoire de moyenne µ et d écart-type σ = 0, 01. Echantillon E de taille n = 100.

4 Estimations ponctuelles x = 1, 495 et s c = 0, 01. On a un grand échantillon. On effectue un test bilatéral de H 0 : µ = 1, 5 contre H 1 : µ 1, 5. On calcule u = 1, 495 1, 5 0,01 = Pour α = 0, 05, on obtient u α = 1, 96. Comme u / ] u α, u α [, on rejette H 0 avec une probabilité de 5% de se tromper : la machine n est pas bien réglée Comparaison d une moyenne observée x à une moyenne théorique µ : n 30 et population de distribution normale t = x µ σ n t > t α,n 1 = RH0 si σ est inconnue, on l estime par s c Comparaison de deux moyennes observées x A et x B : échantillons indépendants, n A 30 et n B 30 Soit µ A la moyenne sur la population dont est issu l échantillon A (idem pour B). Les hypothèses sont H0 : µ A = µ B et H1 : µ A µ B (test bilatéral). u = x A x B s 2 c,a n A + s2 c,b n B u > u α = RH0 Exemple 5 Pour comparer deux médicaments en fonction de leur activité tachycardisante (accélératrice du rythme cardiaque), on effectue un sondage dans une population de malades de façon à grouper n 1 = 40 malades utilisant le premier médicament et n2 = 30 malades utilisant le second médicament. On évalue ensuite pour chaque malade la différence y entre la fréquence cardiaque une heure après la prise et la fréquence juste avant la prise. On obtient, pour des fréquences exprimées en battements par minute, les résultats suivants pour la moyenne et la variance corrigée groupe x s 2 1 7, , 6 6 Peut-on conclure avec une confiance de 98% qu il y a une différence entre les médicaments? Comparaison de deux moyennes observées x A et x B : échantillons indépendants, min(n A, n B ) < 30, distribution normale et égalité des variances s 2 A,B = (n A 1)s 2 c,a + (n B 1)s 2 c,b n A + n B 2 t = x A x B s 2 A,B n A + s2 A,B n B t > t α,na+nb 2 = RH0 Exemple 6 Le myélome se traduit par une prolifération des plasmocytes, ce qui provoque un accroissement des globulines (protéines du sang ayant fonction d anticorps). On veut tester cet accroissement chez des malades atteints de myélome à un stade précoce. A cet effet, on mesure en g/l les concentrations des globulines dans le sang dans un échantillon de tels malades, puis dans un échantillon de personnes en bonne santé. On suppose enfin que dans la population toute entière, le taux de globuline suit une loi normale. échantillon de malades : taille 20, moyenne 50 g/l, écart-type 14 g/l échantillon de personnes saines : taille 10, moyenne 40 g/l, écart-type 12 g/l

5 2.2.5 Comparaison de deux moyennes observées x A et x B : échantillons appariés, min(n A, n B ) < 30, distribution normale On forme les différences et on compare la moyenne des différences à 0. On est ainsi ramené à la comparaison d une moyenne observée à une norme qui est 0. Exemple 7 Chez un groupe de 10 malades, on expérimente les effets d un traitement destiné à diminuer la pression artérielle. On observe les résultats suivants (valeur de la tension artérielle systolique en cm Hg) : sujet no avant traitement après traitement On se demande si le traitement à une action significative. On peut considérer la situation suivante. Population 1 : malades avant traitement. Variable X 1 : la tension, variable aléatoire de moyenne µ 1 et de variance σ 2 1. Echantillon E 1 de taille n 1 = 10. Population 2 : malades après traitement. Variable X 2 : la tension, variable aléatoire de moyenne µ 2 et de variance σ 2 2. Echantillon E 2 de taille n 2 = 10. On a donc deux petits échantillons appariés extraitsde populations gaussiennes. On considère la variable aléatoire D = X 1 X 2. A partir de l observation de l échantillon (3, 2, 0, 2, 4, 3, 1, 1, 3, 2), on obtient les estimations d = 1, 5 et s c, d 2 = 1, 96. On fait un test unilatéral de H 0 : µ 1 = µ 2 contre H 1 : µ 1 > µ 2. On calcule : t = 1, 5 1,96 10 = 2, 42. on compare cette valeur à la valeur trouvée dans la table de la loi de Student pour α = 0, 05 et ν = n 1 = 9, soit t 0,05,9 = 1, 833. Comme t > t 0,05,9, on rejette H 0 avec une probabilité de 5% de se tromper. On conclut que la tension a diminué de manière significative après le traitement et donc que ce denier a une action significative. 2.3 Test bilatéral, test unilatéral Selon la manière dont la question est posée, on peut choisir de faire un test bilatéral (erreur coupée en deux) ou un test unilatéral (erreur entièrement du même côté). Si la question est "peut-on conclure que les deux moyennes diffèrent significativement au risque 5%?", le test sera bilatéral. Si la question est "peut-on conclure au risque 5% que la moyenne dans la population 2 est supérieure à la moyenne dans la population 1?", le test sera unilatéral. Pour un test bilatéral, l hypothèse H 1 est du type p p 0 ou µ µ 0 ou µ 1 µ 2. La définition de u α (ou t α ) est alors P( u α < u < u α ) = 1 α. Pour un test unilatéral, H 1 est du type p < p 0 ou p > p 0 ou µ 1 < µ 2 ou µ 1 > µ 2. La définition de u α devient alors P(u < u α ) = 1 α pour une hypothèse H 1 du type p > p 0 et P(u > u α ) = 1 α pour une hypothèse H 1 du type p < p 0. 3 Exercices Exercice 1 Pour traiter un certain type de tumeur, on a utilisé deux schémas thérapeutiques : sur 40 malades traités avec le schéma A, on a observé une mortalité à 5 ans de 15% ; sur 60 malades traités avec le schéma B, on a observé une mortalité à 5 ans de 25%. Si l on considère la mortalité à 5 ans, peut-on dire que les schémas A et B diffèrent significativement au risque 10%? au risque 5%?

6 Exercice 2 On suppose que chez les femmes non malades, la teneur en hémoglobine du sang (en g pour 100 ml) est une variable aléatoire de loi normale de moyenne 14,5 et d écart-type 1,1. Sur un échantillon de 20 femmes, on trouve une teneur moyenne en hémoglobine de 13,8 et un écart-type corrigé de 1,2. Au risque de 5%, peut-on conclure que la population de femmes dont est extrait cet échantillon présente une teneur en hémoglobine normale? trop faible? Exercice 3 On compare les effets d un même traitement dans deux hopitaux différents. Dans le premier hopital, 70 des 100 malades traités montrent des signes de guérison. Dans le deuxième hopital, c est le cas pour 100 des 150 malades traités. Quelle conclusion peut-on en tirer? Exercice 4 Des dosages de l acide aspartique total de l urine, en mg/24h, ont été effectués sur deux groupes d adultes à régime alimentaire normal. Les dosages ont donné les résultats suivants : Hommes Femmes Effectif du groupe Moyenne 91, , 9 Ecart-type 30, 49 48, Préciser la(les) population(s) et le(s) caractère(s) étudié(s), ainsi que la(les) taille(s) d échantillon. Indiquer le(s) estimations(s) mises en jeu dans la suite. 2. Peut-on considérer, au risque 5%, que les deux populations étudiées ont le même dosage d acide aspartique? Justifier votre réponse. 3. Si les deux groupes avaient les mêmes moyennes et écart-types que dans le tableau ci-dessus, mais n étaient constitués que de 12 hommes et 10 femmes, chacun, pourrait-on encore appliquer la méthode suivie au 2)? En cas de réponse négative, indiquer la démarche à suivre. Exercice 5 La durée de gestation humaine est en moyenne de 40,5 semaines. 1. Dans une maternité, on a noté l âge gestationnel de 100 nouveaux-nés successifs. On a observé une moyenne de 38,5 semaines et un écart-type de 5 semaines. On pense que cette maternité est spécialisée dans les accouchements prématurés. Tester cette hypothèse. 2. Dans cette même maternité, les mères des 100 nouveaux-nés suivants ont reçu un traitement inhibant les contractions utérines. Pour ces nouveaux-nés, on a observé une moyenne de 39,5 semaines et un écart-type de 4 semaines. Tester l égalité des moyennes des durées de gestation des 2 groupes au risque 2%.

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