Cours de mathématiques (Terminale S)

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1 Terminale Scientifique (S) : Cours de mathématiques (Terminale S) I. Chapitre 01 : Les suites 1. Etude globale d une suite A. Les suites majorées, minorées, bornées La suite ( ) est majorée si et seulement s'il existe un réel naturel : tel que, pour tout entier La suite ( ) est minorée si et seulement s'il existe un réel naturel : tel que, pour tout entier La suite ( ) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée. B. Le sens de variation La suite ( ) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel : La suite (un) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel : La suite ( ) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel : La suite ( ) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel : La suite ( ) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel : La suite ( ) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens). Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 1 sur 26

2 2. Limites A. Limite finie ou infinie un tend vers le réel L quand n tend vers l'on veut) contenant L contient tous les termes un à partir d'un certain rang. si et seulement si tout intervalle ouvert (aussi petit que Le réel L est appelé limite (finie) de la suite ( ) ; on note : THÉOREME Si elle existe, la limite de la suite ( ) est unique. un tend vers quand tend vers si et seulement si pour tout réel (aussi grand que l'on veut), tous les termes sont supérieurs à à partir d'un certain rang. On note : un tend vers quand tend vers si et seulement si pour tout réel (aussi petit que l'on veut), tous les termes un sont inférieurs à à partir d'un certain rang. On note : B. Les suites convergentes La suite ( ) est convergente si et seulement si elle admet une limite finie. RÉMARQUE La limite d'une suite ne peut être étudiée qu'en. EXEMPLE Soit ( ) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par : On a : Donc ( ) est convergente. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 2 sur 26

3 THÉOREME Toute suite convergente est bornée. La suite ( ) est divergente si et seulement si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si sa limite est ou si elle n'admet pas de limite. EXEMPLE Soit ( ) la suite définie pour tout entier naturel n par : La suite ( ) étant alternée (, etc.), elle n'admet pas de limite. THÉOREME Soit un réel différent de : * si, alors a pour limite ; * si, alors a pour limite ; * si, alors n'admet pas de limite. EXEMPLE THÉOREME Soient une fonction, une suite ( ), a et b deux réels ou ou, avec : la suite ( ) est telle que la fonction est telle que alors. PROPRIÉTÉS Les limites de fonctions usuelles ainsi que les opérations sur les limites de fonctions s'appliquent aux suites. C. Comparaison et encadrement THÉOREME Soit une suite ( ) convergente vers L et un réel m tels qu'à partir d'un certain rang, alors : THÉOREME Soit une suite ( ) convergente vers L et un réel M tels qu'à partir d'un certain rang, alors : Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 3 sur 26

4 THÉOREME Soient ( ) et ( ) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang,. Si ( ) converge vers le réel et ( ) converge vers le réel, alors : THÉOREME Soient ( ) et ( ) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, : * si, alors par théorème de comparaison,. * si, alors par théorème de comparaison,. THÉOREME Soient ( ), ( ) et ( ) trois suites telles qu'à partir d'un certain rang,. Si ( ) et ( ) convergent vers le même réel vers. D. Limite monotone THÉOREME D'après le théorème de la convergence (ou limite) monotone :, alors par théorème d'encadrement ( ) converge * si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente. * si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente. THÉOREME * Toute suite croissante et non majorée diverge vers. * Toute suite décroissante et non minorée diverge vers. 3. Le raisonnement par récurrence Pour démontrer par récurrence qu'une proposition est vraie, pour tout entier naturel à partir du rang : a. Initialisation : on vérifie que la proposition est vérifiée au premier rang ; b. Hérédité : on montre que si la proposition est vérifiée à un certain rang, elle est alors vérifiée au rang suivant ; c. Conclusion : la proposition est alors vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 4 sur 26

5 QUIZ Enoncé 1 A quelle condition ( ) est-elle majorée par M? ( ) est majorée par M si et seulement si. 2 Qu'est-ce qu'une suite bornée? Une suite bornée est une suite qui est à la fois majorée et minorée. 3. Que peut-on en conclure? Si croissante., alors ( ) est 4 Quelles sont les trois étapes d'une récurrence? Les trois étapes d'une récurrence sont l'initialisation, l'hérédité et la conclusion. 5 Vrai ou faux? Si est une fonction croissante, et que, alors on peut en conclure que la suite ( ) est croissante. Faux. Si, ce n'est pas parce que est croissante que (un) est croissante. Ce résultat n'est vrai que si. 6 A quelle condition une suite converge-t-elle? Une suite converge si et seulement si elle admet une limite finie. 7 A quelle condition une suite diverge-t-elle? Une suite diverge si sa limite est + ou ou si elle n'admet pas de limite. 8 On a Si. 9 A quelle condition a-t-on. 10 Citer le théorème d'encadrement. Si et si convergent vers une même limite, alors ( ) converge également vers. 11 Vrai ou faux? Si ( ) est croissante et minorée alors ( ) converge. 12 ( ) est croissante et non majorée. Que peut-on en déduire? Faux. En revanche si ( ) est croissante et majorée ou décroissante et minorée, alors ( ) converge. Si (un) est croissante et non majorée, alors (un) diverge vers +. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 5 sur 26

6 Méthode Démontrer une propriété par récurrence Méthode Description Pour démontrer des propriétés sur les suites, en particulier les suites définies par récurrence, on utilise la démonstration par récurrence. Si une propriété est vraie au premier rang et est héréditaire, alors elle est vraie pour tout. Etape 1Identifier la propriété à démontrer Exemple On a Montrer par récurrence que Montrons par récurrence que On précise que l'on va démontrer par récurrence que pour tout entier naturel (ou pour tout entier ), une propriété est vraie. Etape 2Initialisation On démontre que la propriété est vraie au premier rang demandé (en général ). Pour, montrons que : * (d'après l'énoncé) * On a bien. Etape 3Hérédité, on suppose que est vraie. On montre qu'alors est vraie." Pour cela on utilise : L'hypothèse de récurrence, on a supposé que est vraie. Une relation de récurrence : on a un lien entre l'expression au rang n et l'expression au rang. On a ainsi des informations sur l'expression au rang. Etape 4Conclusion "La propriété est initialisée et héréditaire donc est vraie." Soit, on suppose que. Montrons qu'alors. On a La propriété est initialisée et héréditaire donc. Cette phrase conclut la récurrence. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 6 sur 26

7 CONSEILS La rédaction est à respecter scrupuleusement dans un raisonnement par récurrence. Les étapes doivent clairement apparaître et les phrases entre guillemets doivent être mises. ASTUCE Si la propriété est complexe ou que l'on n'est pas à l'aise avec les indices, dans l'initialisation et l'hérédité, on écrit le détail de ce qu'on doit démontrer avant de commencer. On écrira par exemple : "Initialisation. Montrons que la propriété est vraie au rang 0 c'est à dire que...". Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 7 sur 26

8 Étudier la convergence d une suite Méthode Description La limite d'une suite se calcule uniquement lorsque n tend vers +. Exemple Une suite converge si elle admet une limite finie. Une suite diverge si elle admet une limite infinie ou si elle n'admet pas de limite. Il s'agit de déterminer si une suite converge ou diverge, et de calculer sa limite si elle existe. Méthode 1 : Calculer directement la limite Si la suite est définie de manière explicite, on peut déterminer directement la valeur de son éventuelle limite. Etape 1Déterminer la valeur de l'éventuelle limite On peut calculer la valeur de la limite de la suite de trois façons différentes : * en utilisant les limites usuelles et les règles d'opération sur les limites ; * en utilisant le théorème des gendarmes ; * en utilisant les théorèmes de comparaison. Etape 2Conclure sur la convergence de la suite Suivant le résultat précédent, on est en mesure de conclure sur la convergence ou la divergence de la suite. Méthode 2 : Utiliser les théorèmes de convergence monotone Si la suite est définie par récurrence, on ne peut en général pas calculer sa limite directement. Etape 1Etudier la monotonie de la suite On détermine si la suite est croissante ou décroissante. Etudier la convergence de la suite définie par : On a : On en déduit que : Et ainsi : La suite ( ) converge donc vers 5. On considère la suite définie par : Montrer que ( ) est décroissante et minorée. Que peut-on en déduire? Montrons par récurrence que : Initialisation On a bien.. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 8 sur 26

9 Hérédité Soit un entier quelconque. On suppose que. Montrons alors que. D'après l'hypothèse de récurrence : En composant par la fonction racine carrée, croissante sur : Soit : Conclusion La propriété est initialisée et héréditaire. Le principe de récurrence permet donc d en déduire que la propriété est vérifiée pour tout entier naturel. Etape 2Etudier la majoration ou la minoration de la suite * Si la suite est croissante, on détermine si elle est majorée. * Si la suite est décroissante, on détermine si elle est minorée. Etape 3Conclure à l'aide des théorèmes de convergence monotone La suite ( ) est donc décroissante. En reprenant la démonstration par récurrence précédente, on montre de même que la suite est positive. Elle est donc minorée par 0. La suite ( ) étant décroissante et minorée, elle est donc convergente. * Si la suite est croissante et majorée, elle est convergente. * Si la suite est décroissante et minorée, elle est convergente. * Si la suite est croissante et non majorée, elle est diverge vers +. * Si la suite est décroissante et non minorée, elle est diverge vers. PIÈGE Si une suite est croissante et majorée par M, cela signifie que la suite converge, mais pas nécessairement vers M. La limite reste ensuite à déterminer. CONSEILS Il faut en général repérer les informations concernant la monotonie, la majoration ou la minoration de la suite dans les questions précédentes de l'exercice. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 9 sur 26

10 Étudier la monotonie d une suite Méthode DESCRIPTION IL s'agit de déterminer si une suite (un) est monotone, c'est-à-dire si elle est croissante ou décroissante. Pour rappel : Exemple * ( ) est croissante si et seulement si n N, * ( ) est décroissante si et seulement si n N, Méthode 1 : Etudier le signe de Déterminer la monotonie de la suite définie par : Etape 1Calculer Pour tout entier naturel n, on calcule et réduit sous une forme permettant de déterminer son signe. Etape 2Déterminer le signe de * Si n N, alors ( ) est croissante. * Si n N, alors ( ) est décroissante. * Si n N, alors ( ) est constante. * Si change de signe, alors ( ) n'est pas monotone. Méthode 2 : Comparer à 1 Soit : La suite ( ) est donc croissante (strictement). Déterminer la monotonie de la suite définie par : (Cette méthode n'est valable que si la suite est strictement positive, pour tout entier naturel.) Etape 1Rappeler la stricte positivité de la suite On rappelle au préalable que : Etape 2Calculer Pour tout entier naturel, on calcule et on réduit sous une forme permettant de le comparer à 1 Etape 3Comparer à 1 * Si n N, alors (un) est croissante. * Si n N, alors (un) est décroissante. * Si n N, alors (un) est constante. * Si est supérieur ou inférieur à 1 suivant les valeurs de, alors ( ) n'est pas monotone. Méthode 3 : Etudier la fonction associée (Si la suite est définie de manière explicite : n N, =, on peut étudier les variations de la fonction.) Soit : La suite ( ) est donc croissante. Déterminer la monotonie de la suite définie par : Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 10 sur 26

11 Etape 1Identifier la fonction En remplaçant par, on obtient la fonction définie sur par : En remplaçant par, on obtient la fonction à étudier. Etape 2Etudier les variations de La fonction est dérivable sur en tant que polynôme : * Si est croissante sur alors ( ) est croissante. * Si est décroissante sur alors ( ) est décroissante. On reconnaît un trinôme du second degré : On en déduit que le trinôme est toujours du signe de a, c'est-à-dire négatif : La fonction est ainsi strictement décroissante sur. Méthode 4 : utiliser une démonstration par récurrence La suite ( ) est donc elle-même décroissante. Déterminer la monotonie de la suite définie par : Etape 1Conjecturer la monotonie de la suite On compare deux termes de la suite entre eux, en général les deux premiers, pour déterminer si la suite est a priori croissante ou décroissante. Etape 2Démontrer la conjecture par récurrence On calcule : * * Soit ; la suite semble donc décroissante. Montrons par récurrence que :. * Si la suite semble croissante, on montre alors par récurrence que,. * Si la suite semble décroissante, on montre alors par récurrence que, Initialisation On a bien. Hérédité Soit un entier p quelconque. On suppose que. Montrons alors que. D'après l'hypothèse de récurrence : En composant par la fonction racine carrée, croissante sur R+ : Soit : Conclusion La propriété est initialisée et héréditaire. Le principe de récurrence permet donc d en déduire que la propriété est vérifiée pour tout entier naturel. La suite ( ) est donc décroissante. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 11 sur 26

12 CONSEILS On détermine la méthode à utiliser suivant la façon dont est définie la suite : * Le plus souvent, on étudie le signe de * Si la suite est définie par récurrence et qu'on ne parvient pas à déterminer le signe de, on peut utiliser le raisonnement par récurrence. * Si la suite est définie de manière explicite, on peut utiliser les variations de la fonction associée. * On utilise plus rarement la méthode du quotient. En général, elle est utile lorsque la suite elle-même est définie comme un quotient. PIÈGE La méthode de la fonction associée ne peut pas être utilisée lorsque la suite est définie par récurrence à l'aide d'une fonction :,. ASTUCE Si la suite est arithmétique ou géométrique, sa monotonie dépend directement de sa raison. Il n'est donc pas nécessaire de recourir à ces méthodes. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 12 sur 26

13 Montrer qu une suite est arithmétique DESCRIPTION Méthode Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on demande souvent de montrer qu'une suite est arithmétique puis de déterminer son premier terme et sa raison. On considère la suite définie par : Exemple On pose : Montrer que ( ) est arithmétique. Etape 1Calculer Pour tout entier naturel n, on calcule et réduit. Pour que ce quotient ne fasse plus apparaître de termes en n, il faut pouvoir simplifier le numérateur et le dénominateur par une expression contenant tous les termes en question. En factorisant le numérateur par 2, on obtient : Soit, après simplification : Etape 2Identifier l'éventuelle raison de la suite Si pour tout entier naturel n, est égal à une constante r (un réel fixe, c'est-à-dire indépendant de la On a donc :. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 13 sur 26

14 variable n), alors cette constante est la raison de la suite. Etape 3Conclure sur la nature de la suite Si n N,, la suite (un) est alors arithmétique, de raison r et de premier terme u0. Sinon, la suite n'est pas arithmétique. PIÈGE La raison d'une suite arithmétique est un réel fixe. Si La suite ( ) est donc arithmétique, de raison 2 et de premier terme. dépend de n après simplification, la suite n'est pas arithmétique. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 14 sur 26

15 Montrer qu une suite est géométrique DESCRIPTION Méthode Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on demande souvent de montrer qu'une suite est géométrique puis de déterminer son premier terme et sa raison. Etape 1Exprimer en fonction de Pour tout entier naturel n, on factorise de manière à faire apparaître un, en simplifiant au maximum le facteur que multiplie. Exemple On considère la suite définie par : On pose : Montrer que ( ) est géométrique. Pour faire apparaître, on exprime en fonction de un : On remplaçant par cette expression, on obtient : Etape 2Identifier l'éventuelle raison de la suite S'il existe un réel q (fixe, c'est-à-dire indépendant de la variable n) tel que pour tout entier naturel n, alors ce réel q est la raison de la suite. Etape 3Conclure sur la nature de la suite S'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n,, la suite ( )est alors géométrique, de raison q et de premier terme. On a donc : Sinon, la suite n'est pas géométrique. PIÈGE La raison d'une suite géométrique est un réel fixe. Si après simplification, où est un terme dépendant de la variable n, la suite n'est pas géométrique. PIÈGE. La suite ( ) est donc géométrique, de raison 4 et de premier terme. Pour montrer que ( ) est géométrique, on peut aussi montrer qu'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n,. Mais il faut avoir préalablement montré qu'aucun terme de la suite n'est nul. ASTUCE La suite ( ) est souvent exprimée en fonction d'une suite auxiliaire ( ). Lors du calcul de apparaître en utilisant la relation qui le lie à., on peut en général faire Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 15 sur 26

16 Étudier une suite définie par une somme DESCRIPTION Méthode Exemple Certaines suites sont définies sous forme de somme. Il faut en général étudier leur monotonie et les calculer. Méthode 1 : Comprendre le symbole Σ Calculer l'expression suivante : S= L'expression est égale à la somme des termes de rang 0 à n de la suite ( ). C'est-à-dire : L'expression S est égale à la somme des termes pour les entiers k consécutifs de 1 à 3 : Méthode 2 : Etudier la monotonie d'une suite définie par une somme Etudier la monotonie de la suite ( ) définie par : Pour étudier la monotonie d'une suite (Sn) définie par une somme, on étudie le signe de On étudie le signe de : Les termes s'annulant deux à deux, il ne reste que : La suite ( ) est donc croissante. On en conclut : * Si, la suite ( ) est alors croissante. * Si, la suite ( ) est alors décroissante. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 16 sur 26

17 Méthode 3 : Montrer une propriété d'une somme par récurrence Montrer par récurrence que : Lors d'une démonstration par récurrence sur une somme de termes, on utilise en général les méthodes de calcul suivantes : Initialisation * Dans l'initialisation : * Dans l'hérédité : On a donc bien :. La propriété est donc vérifiée au premier rang. Hérédité Soit. Supposons que la propriété est vérifiée au rang p : Montrons alors que, c'est-à-dire que la propriété est vérifiée au rang suivant : En remplaçant par d'après l'hypothèse de récurrence : Conclusion La propriété est initialisée et héréditaire. Le principe de récurrence permet donc d en déduire que la propriété est vérifiée pour tout entier naturel. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 17 sur 26

18 Méthode 4 : Calculer une somme Sn en identifiant la nature des termes Soit n un entier naturel. Calculer en fonction de n : On sait uniquement calculer les sommes de termes d'une suite arithmétique ou géométrique. Lors du calcul d'une telle somme, il convient donc d'identifier : * s'il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique ; * s'il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique ; * s'il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique, auquel cas on scinde la somme en deux sommes que l'on sait calculer. Pour tout entier naturel n, on pose : et On remarque alors que : ( ) est une suite arithmétique, de raison 4 et de premier terme. ( ) est une suite géométrique, de raison et de premier terme. Or, on sait que : * * Sachant que : On en déduit que : CONSEILS L'étude d'une suite définie par une somme se fait à l'aide des mêmes méthodes que pour les autres types de suites. PIÈGE Veiller à ne pas mélanger les indices k et n. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 18 sur 26

19 Exercices Exercice 01 : Démontrer une égalité par récurrence On considère la suite ( ) définie par : Montrer que pour tout entier naturel,. Exercice 02 : Démontrer la divisibilité d une expression par récurrence Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, est divisible par 3. Exercice 03 : Démontrer par récurrence qu une suite est bornée On considère la suite ( ) définie par : Montrer que pour tout entier naturel n,. Exercice 04 : Démontrer par récurrence qu une suite est monotone On considère la suite ( ) à termes positifs définie par : Montrer que pour tout entier naturel,. Que peut-on en déduire quant à la monotonie de ( )? Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 19 sur 26

20 Exercice 05 : Déterminer une limite en factorisant par le terme de plus haut degré Calculer les limites de chacune des suites suivantes Exercice 06 : Utiliser la quantité conjuguée pour déterminer une limite Calculer les limites de chacune des suites suivantes. 1 2 Exercice 07 : Limites, théorème des gendarmes et comparaison Déterminer les limites suivantes. 1 2 Exercice 08 : Démontrer qu une suite est bornée en utilisant les variations de f On considère la fonction f définie sur par : et la suite ( ) définie par : 1 Etudier les variations de sur. 2 Montrer que :. 3 En déduire que :. Exercice 09 : Limite d une suite par factorisation et simplification Déterminer la limite de la suite ( ) définie pour tout entier naturel par : Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 20 sur 26

21 Exercice 10 : Limite d une suite par encadrement Soit la suite ( ) définie par : 1 Montrer que :. 2 Démontrer que 3 En déduire que 4 En déduire la limite de la suite. Exercice 11 : Limite de suite rationnelles et géométriques Calculer la limite de chacune des suites suivantes : 1 2 Exercice 12 : Divergence d une suite définie par récurrence Soit ( ) la suite définie par : 1 On suppose que ( ) converge vers un réel L. Quelle équation vérifie alors L? 2 En déduire que la suite ( ) est divergente. Exercice 13 : Démonstration par récurrence et somme des carrés consécutifs Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel : Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 21 sur 26

22 Exercice 14 : Limite monotone d une suite décroissante à partir d un certain rang Indications : on appelle factorielle ( non nul) le réel :. Par convention : On considère la suite définie pour tout entier naturel par : 1 Démontrer que ( ) est monotone à partir d'un rang à déterminer. 2 La suite ( ) est-elle convergente? Exercice 15 : Suites adjacentes et somme de factorielles Indications : deux suites ( ) et ( ) sont dites adjacentes si et seulement si l'une croît, l'autre décroît et leur différence ( ) tend vers 0. De plus, si ( ) et ( ) sont adjacentes, avec ( ) croissante, ( ) décroissante et L leur limite commune, alors pour tout entier naturel :. Enfin, on appelle factorielle ( non nul) le réel :. On considère les suites définies pour tout entier naturel n non nul : 1 Montrer que les suites ( ) et ( ) sont adjacentes. 2 Donner une valeur approchée à près des termes et à l'aide de la calculatrice. 3 On admet que la limite des suites ( ) et ( ) est égale à. En déduire une valeur approchée de e à près. Exercice 16 : Déterminer la limite d une suite géométrique Calculer les limites de chacune des suites suivantes. 1 2 Exercice 17 : Reconnaître une suite géométrique et donner son écriture explicite On considère la suite ( ) définie par : On pose :. 1 Montrer que ( ) est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison. 2 En déduire l'expression de en fonction de, puis celle de en fonction de. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 22 sur 26

23 Exercice 18 : Calculer la somme des termes de suites arithmétiques et géométrique 1 ( ) est une suite géométrique de premier terme et de raison. Calculer. 2 ( ) est une suite arithmétique de premier terme et de raison 3. Calculer. 3 Calculer. Exercice 19 : Déterminer la monotonie d une suite Déterminer la monotonie de chacune des suites suivantes. 1 On admet que ( ) est une suite à termes strictement positifs. 2 3 Exercice 20 : Tracer une suite définie de manière explicite On considère la suite ( ) définie par : 1 Déterminer la fonction telle que. 2 Tracer dans un repère orthonormal et placer les points pour. Exercice 21 : Tracer une suite définie par récurrence On considère la suite ( ) définie par : et la fonction définie sur par : 1 Tracer la courbe représentative de dans un repère orthonormal. Placer ensuite,, et sur l'axe des abscisses. 2 Que peut-on conjecturer quant au sens de variation et à la convergence de ( )? Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 23 sur 26

24 Exercice 22 : Lire et interpréter un algorithme sur le rang d une suite On considère la suite u telle que pour tout entier naturel non nul,. On sait que est une suite croissante et positive convergeant vers. Que calcule l'algorithme suivant? Variables : est un réel. est un entier naturel. Initialisation :.. Traitement : Tant que : ;. Sortie : Afficher C. Exercice 23 : Limite d une suite géométrique suivant sa raison Déterminer la limite de la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : Exercice 24 : Plusieurs expressions pour montrer qu une suite est bornée. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : 1 Montrer que la suite ( ) est minorée par. 2 Montrer qu'une autre expression de la suite est : 3 En déduire que la suite ( ) est bornée. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 24 sur 26

25 Problèmes Problème 01 : Suites imbriquées et suites adjacentes Enoncé Indications : deux suites ( ) et ( ) sont dites adjacentes si et seulement si l'une croît, l'autre décroît et leur différence ( ) tend vers. De plus, si ( ) et ( ) sont adjacentes, elles sont alors convergentes et ont même limite. On considère les deux suites ( ) et ( ) définies par, : 1 Calculer les premiers termes,, et. 2 Soit la suite ( ) définie par :,. Montrer que ( ) est géométrique de raison. 3 Exprimer ( ) en fonction de et préciser sa limite. 4 Après avoir étudié le sens de variation des suites ( ) et ( ), montrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire pour ces deux suites? Problème 02 : Détermination des limites potentielles d une suite convergente grâce à sa relation de récurrence Soit ( ) la suite définie : 1 A l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que ( ) est décroissante. 2 Résoudre l'équation 3 Si ( ) converge, quelle est alors sa limite? 4 Montrer que la suite ( ), définie pour tout entier naturel par :, est géométrique et exprimer en fonction de. 5 En déduire l'expression de un en fonction de. La suite ( ) est-elle convergente? Problème 03 : Étude d une suite définie par récurrence On définit la suite ( ) par et. 1 Tracer la fonction telle que. Placer en abscisse les points, et. 2 Montrer que. 3 En déduire que converge. Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 25 sur 26

26 Problème 04 : Étudier une diminution annuelle à l aide d une suite géométrique En 2000, le magazine historique de la ville ne comptait plus que 812 abonnés. Il est prévu que le nombre d'abonnés diminue de 4% par an au cours des vingt prochaines années. On appelle le nombre d'abonnés dans années ( entier naturel inférieur ou égal à 20). 1 Après avoir exprimé en fonction de, établir que ( ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 2 Donner alors l'expression de en fonction de. 3 Combien d'abonnés comptera le magazine en (à l'abonné près)? 4 Au bout de combien de temps le nombre d'abonnés aura-t-il diminué de moitié par rapport à l'année? Problème 05 : Sens de variation de la suite de Fibonacci On considère la suite ( ) définie par : 1 Calculer les cinq premiers termes de la suite ( ). 2 En admettant que est positif pour tout entier naturel non nul, déterminer le sens de variation de la suite ( ). Problème 06 : Exprimer une suite arithmético-géométrique à l aide d une suite géométrique Martin souhaite ouvrir un club de sport à Lyon. D'après les statistiques fournies par la ville, il peut prévoir que : 80% des membres reconduiront leur inscription d'une année sur l'autre ; 70 nouveaux membres rejoindront le club chaque année à partir de la deuxième année. Martin ouvre finalement son club le 1 er janvier 2010, et enregistre 240 inscriptions la première année. Pour tout entier naturel, on note le nombre de membres inscrits au club pour l'année. 1 Préciser les valeurs de et de. 2 Montrer que pour tout entier naturel : 3 Montrer que la suite ( ) définie pour tout entier par : est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. 4 Exprimer en fonction de. 5 En déduire l'expression de en fonction de. 6 A ce rythme, vers quel nombre peut tendre la base annuelle de membres du club? Par M. Mohamadou SINGARÉ ) Page 26 sur 26

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