Stabilité. Un sujet très important, une propriété globale. Systèmes rationnels. Stabilisation par feed-back. Placement de pôles. Théorie de Lyapunov

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1 Stabilité des systèmes Un sujet très important, une propriété globale Stabilité Systèmes rationnels Stabilisation par feed-back Placement de pôles Théorie de Lyapunov asymp

2 Stabilité Un système déplacé d un point d équilibre reconverge-t-il vers celui-ci ou diverge-t-il? Exemple : Un système stable Pulse Generator s+ Transfer Fcn Scope rat

3 Stabilité Un système déplacé d un point d équilibre reconverge-t-il vers celui-ci ou diverge-t-il? Exemple : Un système stable Pulse Generator s+ Transfer Fcn Scope Time offset: rat

4 Stabilité Un système déplacé d un point d équilibre reconverge-t-il vers celui-ci ou diverge-t-il? Exemple : Un système instable Pulse Generator s Transfer Fcn Scope rat

5 Stabilité rat Un système déplacé d un point d équilibre reconverge-t-il vers celui-ci ou diverge-t-il? Exemple : Un système instable Pulse Generator s Transfer Fcn Scope Time offset: Pourquoi? rat

6 Systèmes rationnels Il suffit de regarder les pôles (racines du dénominateur) de la fonction de transfert dans le complexe : Si les pôles sont tous à partie réelle négative le système est dit asymptotiquement stable en effet la réponse impulsionnelle sera une somme de termes de type kt n e λt avec λ à partie réelle négative. Tous ces termes tendent vers quand t tend vers l infini. Exemple : s + il y a un seul pôle de valeur réelle négative : le système est asymptotiquement stable feed

7 Stabilisation par feed-back Question : peut-on conduire sa voiture en ligne droite les yeux fermés? - Non - Pourquoi? - Parce le volant est un intégrateur : Pulse Generator volant system direction Scope volant s Integrator direction pol

8 Stabilisation par feed-back Question : peut-on conduire sa voiture en ligne droite les yeux fermés? - Non - Pourquoi? - Parce le volant est un intégrateur :.5 volant direction Pulse Generator system Scope 5 volant s Integrator direction Time offset: Le pôle vaut et n est pas à partie réelle négative pol

9 Stabilisation par feed-back Solution : Conduire les yeux ouverts Pulse Generator direction desiree volant direction reelle pilote volant systeme direction Scope direction desiree Gain volant 2 direction reelle pol

10 Stabilisation par feed-back Solution : Conduire les yeux ouverts Pulse Generator direction desiree volant direction reelle pilote volant systeme direction Scope direction desiree Gain volant direction reelle Time offset: Pourquoi et comment? pol

11 Stabilisation par feed-back Pourquoi et comment? Idée : calculer la fonction de transfert en boucle fermée E = DD DR V = E DR(s) = s V (s) DR(s) = s V (s) = (DD(s) DR(s)) s ( + s )DR(s) = s DD(s) DR(s) = s + DD(s) Le pôle vaut et est à partie réelle négative : le système piloté est stable pol

12 Généralisation Généralisons le schéma précédent : 2 bruit erreur commande commande sortie sortie desiree Pilote Systeme sortie reelle où le bruit (b) représente les perturbations et les erreurs de modélisation le pilote et le système sont supposés rationnels (P (s), S(s)) lya

13 Généralisation Généralisons le schéma précédent : 2 bruit erreur commande commande sortie sortie desiree Pilote Systeme sortie reelle Calculons symboliquement le système : Sr = S(P (Sd Sr) + B) ( + SP )Sr = S(P Sd + B) Sr = SP + SP Sd + S + SP B lya

14 Problème de la commande automatique Sr = SP + SP Sd + S + SP B étant donné S, trouver P tel que. SP + SP fidélité soit stable et proche de l identité 2. S + SP soit petit robustesse (rejet des perturbations) lya

15 Exemple : commande PID On considère le système S = s 2 (double intégrateur : on intègre la direction de la voiture pour avoir sa position dans l espace) Le pilote (proportionnel) P = a On calcule le dénominateur de D = s 2 + a SP + SP C est un polynôme du 2ème degré : les racines sont imaginaires pures pas stable!!! lya

16 Exemple : commande PID On considère le système S = s 2 (double intégrateur : on intègre la direction de la voiture pour avoir sa position dans l espace) Le pilote (proportionnel, différentiel)p = as + b cs + d SP On calcule le dénominateur de + SP D = s 2 (cs + d) + as + b = cs 3 + ds 2 + as + b C est un polynôme du 3ème degré : il y a trois racines que l on peut choisir librement On choisit des racines stables : (s + )(s e 3iπ 4 )(s e 5iπ 4 ) = (s + )(s 2 + 2s + ) = s s s + On identifie : c =, d = 2.4, a = 2.4, b = on essaie lya

17 Simulation Band Limited White Noise erreur commande commande sortie Pulse Generator Pilote Systeme Scope Time offset: lya

18 Simulation Avec perturbation Time offset: Pas terrible lya

19 Rejet de perturbations S On calcule + SP = cs + d cs 3 + ds 2 + as + b On calcule le Gain : valeur à l infini obtenue à partir d un échelon unité. Théorème de la valeur finale S G = lim s s( + SP s ) cs + d G = lim s cs 3 + ds 2 + as + b = d b Idée : diminuer d b On choisit des racines stables : (s + )(s 2e 3iπ 4 )(s 2e 5iπ 4 ) = (s + )(s s + 4) = s s s + 4 On identifie : c =, d = 3.8, a = 6.8, b = 4 on essaie lya

20 Sans perturbation Avant Time offset: lya

21 Sans perturbation Après Pareil Time offset: lya

22 Avec perturbation Avant Time offset: lya

23 Avec perturbation Après Meilleur On est content Time offset: lya

24 Conclusion La stabilité est une propriété globale, non préservée par composition : exemple : système instable + pilote stable système composé stable Tous les cas de figure sont possibles Il faut faire attention lya

25 Sinus et cosinus x = y y = x Gain s Integrator Scope Gain s Integrator

26 Sinus et cosinus x = y y = x Gain s Integrator Scope Gain s Integrator Time offset: Phénomème oscillatoire, intermédiaire entre stable et instable Peut être étudié par la méthode de Lyapunov

27 Méthode de Lyapunov Apparentée à la méthode d étude de la terminaison de programme en informatique : Comment démontrer qu une boucle while(c) I; termine? Trouver une fonction entière t de la mémoire du programe, telle que :. il existe un entier k avec {t < k} => {not c} 2. t décroît au cours de la boucle : [I] {t = n} => {t > n} (où [I] {t = n} est la plus faible pré-condition du prédicat {t = n} par le programme [I])

28 Méthode de Lyapunov Pour montrer que le système S : X = F (X) est stable, trouver une fonction d «énergie» E telle que. il existe un minimum e : X : E(X) > e 2. E décroît strictement le long des trajectoires de S : X : E (X).F (X) < X Pour un cycle limite : E décroît le long des trajectoires de S : X : E (X).F (X) X (S ne peut pas s échapper d une portion d espace délimitée par une courbe E(X) = Cste)

29 Méthode de Lyapunov : exemple sinus et cosinus : x = y y = x E(x, y) = x 2 + y 2 Condition de Lyapunov : E x x + E y y 2xy 2yx

30 Sinus et cosinus x = y y = x Gain s Integrator XY Graph Gain s Integrator

31 Sinus et cosinus x = y y = x Gain s Integrator XY Graph Gain s Integrator Phénomème oscillatoire, intermédiaire entre stable et instable Peut être étudié par la méthode de Lyapunov