Comparaison des anciens et des nouveaux programmes de PTSI

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1 Comparaison des anciens et des nouveaux programmes de PTSI Les plans des deux programmes étant sensiblement différents, nous avons choisi de présenter les modifications en suivant l ordre du nouveau programme. Programme de début d année C est une nouveauté par rapport aux anciens programmes. Il s agit à la fois d effectuer une transition plus souple avec l année de terminale et d introduire des notions de base utiles pour les disciplines scientifiques. En contrepartie il n existe plus de première ni de deuxième périodes. I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes. Apparaît un paragraphe entier consacré aux équations du second degré à coefficients complexes. On parle des racines n-ièmes de l unité mais pas du groupe qu elles constituent. ajout : interprétation du module et de l argument de 1 z Les deux paragraphes suivants sont repris ensuite dans le cadre plus général de la géométrie euclidienne. Nous signalons donc seulement ici les éventuels ajouts à faire en début d année. 2. Géométrie élémentaire du plan ajout : intersection de deux cercles. ajout : interprétation géométrique de Re(āb) et de Im(āb). 3. Géométrie élémentaire de l espace Pour les cordonnées sphériques, on convient de noter θ la colatitude, mesure dans [0, π] de l angle entre Oz et OM. ajout : intersection de deux sphères. II. Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires 1. Fonctions usuelles Ce paragraphe n est pas repris ensuite, mais des propriétés supplémentaires pour les fonctions usuelles sont données dans le paragraphe Intégration et dérivation. ajout : le principal ajout est l étude des fonctions hyperboliques réciproques. Par ailleurs on précise que les étudiants doivent connaître les croissances comparées des fonctions exponentielles, logarithmes et puissances, et savoir dériver une fonction de la forme x u(x) v(x). 2. Equations différentielles linéaires Ce paragraphe n est pas repris ensuite. Le nouveau programme cite explicitement le principe de superposition lorsque le second membre est de la forme b 1 +b 2. ajout : méthode d Euler de résolution approchée pour les équations différentielles linéaires du premier ordre. 3. Courbes paramétrées. Coniques Ce paragraphe est complété ensuite, dans le chapitre Géométrie différentielle, par l étude métrique des courbes planes. suppression : position locale de la courbe par rapport à la tangente, concavité, inflexions, rebroussements. suppression : position de la courbe par rapport à une asymptote. suppression : effet d une similitude sur une conique. ajout : étude des ensembles définis par une équation de la forme P(x, y) = 0, où P est un polynôme du second degré à deux variables. Equation réduite. Les étudiants doivent savoir distinguer la nature d une conique à l aide du discriminant. L ancien programme traitait uniquement le cas des équations sans terme en xy. 1

2 Les chapitres qui suivent reprennent en grande partie le plan des anciens programmes. On peut toutefois noter la disparition de la rubrique Travaux pratiques. Lorsque les activités de cette rubrique étaient clairement des illustrations directes du cours, nous n avons pas considéré leur disparition du texte des programmes comme une suppression. Un paragraphe nouveau intitulé Approximation regroupe une bonne partie des méthodes numériques et algorithmiques qui figuraient au programme des travaux pratiques. Certains paragraphes disparaissent mais leur contenu se retrouve dans le programme de début d année ou dans d autres paragraphes. C est en particulier le cas des fonctions à valeurs complexes pour lesquelles une brève extension est faite à plusieurs reprises (continuité, intégration, dérivation). Analyse et géométrie différentielle Les objectifs et commentaires généraux de cette partie sont inchangés. I. Nombres réels, suites et fonctions. 1. Suites de nombres réels La définition du groupe R + disparaît. ajouts : les notations de Landau, le théorème des segments emboîtés. Il est précisé que le théorème de Bolzano-Weierstrass est hors-programme. 2. Fonctions d une variable réelle à valeurs réelles a) Fonctions d une variable réelle à valeurs réelles ajout : définition d une fonction lipschitzienne. b) Etude locale d une fonction ajouts : espace vectoriel des fonctions tendant vers 0 en un point a, produit d une fonction bornée au voisinage de a par une fonction tendant vers 0, caractérisation séquentielle d une limite. c) Relations de comparaison ajout : les notations de Landau. II. Calcul différentiel et intégral 1. Dérivation des fonctions à valeurs réelles a) Dérivée en un point, fonction dérivée suppression : la dérivabilité à gauche et à droite n implique pas la dérivabilité. La démonstration de la dérivabilité d une fonction réciproque n est pas exigible, elle était hors programme auparavant. b) Etude globale des fonctions dérivables ajout : application de l inégalité des accroissements finis à l étude des suites définies par une relation de récurrence u n+1 = f(u n ), ce type de suite apparaissait dans l ancien programme uniquement au niveau des travaux pratiques. ajout : si f est continue sur [a, b], de classe C 1 sur ]a, b] et si f a une limite finie en a, alors f est de classe C 1 sur [a, b]. Extension au cas d une limite infinie. 2. Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles a) Fonctions continues par morceaux On parle de l ensemble des fonctions en escalier, de l ensemble des fonctions continues par morceaux. 2

3 L approximation des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier n est plus réservée aux étudiants se dirigeant vers la filière PSI (la démontration de ce résultat reste hors programme). a) Intégrale d une fonction continue par morceaux disparition : les démonstrations de ces résultats ne sont pas exigibles des étudiants. En revanche le produit scalaire intégral et l inégalité de Cauchy-Schwarz ne subsistent que pour les étudiants se dirigeant vers PSI. ajout : approximation de l intégrale par les sommes de Riemann. Cas particulier des fonctions k-lipschitziennes. ajout : approximation d une intégrale par la méthode des trapèzes (cela figurait auparavant dans la rubrique Travaux pratiques). 3. Intégration et dérivation a) Primitives et intégrale d une fonction continue Pas de changement. b) Calcul des primitives Il est précisé que, pour les fonctions rationnelles, on se limitera à des cas simples : aucune théorie de la décomposition en éléments simples n est au programme. c) Formules de Taylor La formule de Taylor avec reste intégral est maintenant au programme pour tous (elle était réservée aux étudiants se dirigeant vers PSI). suppression : l inégalité [a,b] f [a,b] f pour les fonctions à valeurs complexes. d) Développements limités ajout : exemples simples de développements asymptotiques. 4. Approximation Ce nouveau paragraphe regroupe un certain nombre de méthodes numériques et les algorithmes associés. III. Notions sur les fonctions de deux variables réelles 1. Espace R 2, fonctions continues suppression : on ne considère plus la norme sur R 2, mais uniquement la norme euclidienne. 2. Calcul différentiel a) Dérivées partielles premières On ne parle plus de l algèbre C 1 (U) mais de l ensemble C 1 (U). suppression : expression du gradient en coordonnées polaires. b) Dérivées partielles d ordre 2 ajout : exemples simples d équations aux dérivées partielles, équation des cordes vibrantes. 3. Calcul intégral 3

4 suppression : exemples d applications des intégrales simples et doubles au calcul d aires planes, de volumes, de masses, de centres et de moments d inertie. Le théorème de Fubini est cité expressément. IV. Géométrie différentielle L étude géométrique des courbes planes paramétrées est faite dans le programme de début d année. a) Etude métrique des courbes planes ajout : définition d un paramétrage admissible d un arc orienté. 2. Champs de vecteurs du plan et de l espace Le potentiel scalaire est maintenant défini sur un ouvert étoilé. suppression : rotationnel. I. Nombres et structures algébriques usuelles Algèbre et géométrie 1. Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications Les deux paragraphes de l ancien programme sont regroupés ici. ajout : ensemble E I des familles d éléments d un ensemble E indexées par I. ajout : relation d ordre, ordre total, ordre partiel, majorant, minorant, plus petit élément, plus grand élément. On explicite la composée de deux injections, de deux surjections, de deux bijections. 2. Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements a) Nombres entiers naturels Aucun changement. b) Ensembles finis changement : on admet dorénavant le résultat : s il existe une bijection de [1, p] sur [1, n] alors p = n. suppression : les étudiants n ont plus à connaître des exemples de parties strictes de N en bijection avec N. c) Opérations sur les ensembles finis, dénombrements suppression (: notion ) d arrangements. Pour les combinaisons la notation Cn p n uniquement. p n est plus au programme, on conserve 3. Structures algébriques usuelles a) Vocabulaire relatif aux groupes et aux anneaux Le noyau et l image d un morphisme de groupes sont maintenant au programme pour tous les étudiants (et plus seulement à celui des futurs élèves de PSI ). Tout ce qui concerne les anneaux et les corps est réservé aux futurs PSI. b) Arithmétique dans Z, calculs dans R ou C ajout : multiples et diviseurs d un entier. Division euclidienne dans Z, algorithme de la division euclidienne. 4

5 ajout : définition des nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition d un entier strictement positif en produit de facteurs premiers (sans démonstration). suppression : le paragraphe relatif aux algèbres est supprimé. 4. Polynômes a) polynôme à une indéterminée Comme dans les autres paragraphes on ne considère plus de structure d algèbre. On considère l ensemble K[X]. suppression : La définition et l étude du corps K(X) des fractions rationnelles ne sont plus au programme. b) Fonctions polynômiales ajout : isomorphisme entre polynômes et fonctions polynomiales. suppression : définition du polynôme dérivé et formule de Taylor. On conserve simplement la caractérisation d un zéro d ordre k par les dérivées successives. suppression : La définition et l étude des fonctions rationnelles ne sont plus au programme. c) Polynôme scindé ajout : définition d un polynôme scindé; II. Algèbre linéaire etv géométrie affine 1. Espaces vectoriels a) Espaces vectoriels ajout : la notion de sous-espaces supplémentaires concerne maintenant tous les étudiants. suppression : la notation E = F G (elle était seulement au programme des futurs PSI). b) Translations, sous-espaces affines Les translations d un espace vectoriel sont définies dans le cas général et l étude est centrée sur le plan et sur l espace. 2. Dimension des espaces vectoriels Le résultat étant donnée une application linéaire u de E dans F, u définit un isomorphisme de tout supplémentaire de Ker u sur Im u n est plus réservé aux futurs PSI. 3. Calcul matriciel ajout : interprétation des opérations élémentaires et termes de produits matriciels. ajout : algorithme du pivot (il figurait avant dans la rubrique Travaux pratiques) III. Espaces vectoriels euclidiens et géométrie euclidienne 1. Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens Ce chapitre est dorénavant réservé aux étudiants ayant choisi l option PSI. 2. Automorphismes orthogonaux du plan et de l espace a) Généralités Réservé aux étudiants ayant choisi l option PSI. b) c) Automorphismes orthogonaux du plan, de l espace ajout : définition du groupe orthogonal; matrice orthogonale. suppression : orientation de D induite par celle de D. 5

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