Quelques problèmes d optimisation

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1 Quelques problèmes d optimisation David Manceau & Gisella Croce Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre 11 mai 2011

2 Plan 1 Optimiser? 2 Le toboggan le plus rapide 3 Le problème isopérimétrique 4 Exemples industriels

3 Plan 1 Optimiser? 2 Le toboggan le plus rapide 3 Le problème isopérimétrique 4 Exemples industriels

4 Définition Optimiser signifie déterminer le meilleur élément d un ensemble suivant un critère donné.

5 Définition Optimiser signifie déterminer le meilleur élément d un ensemble suivant un critère donné. Par exemple, lorsque l on achète un billet de train on peut vouloir optimiser selon le temps de trajet (choisir le train le plus direct) ou suivant le tarif (billet de train le moins cher).

6 Définition Optimiser signifie déterminer le meilleur élément d un ensemble suivant un critère donné. Par exemple, lorsque l on achète un billet de train on peut vouloir optimiser selon le temps de trajet (choisir le train le plus direct) ou suivant le tarif (billet de train le moins cher). Exemple Parmi toutes les courbes qui relient deux points A et B dans le plan, le segment est la courbe qui minimise la longueur.

7 Définition Optimiser signifie déterminer le meilleur élément d un ensemble suivant un critère donné. Par exemple, lorsque l on achète un billet de train on peut vouloir optimiser selon le temps de trajet (choisir le train le plus direct) ou suivant le tarif (billet de train le moins cher). Exemple Parmi toutes les courbes qui relient deux points A et B dans le plan, le segment est la courbe qui minimise la longueur. A B

8 Question Si deux points A et B se trouvent sur une sphère, quelle est la courbe de longueur minimale qui les relie?

9 Question Si deux points A et B se trouvent sur une sphère, quelle est la courbe de longueur minimale qui les relie? C est la plus petite portion du grand cercle passant par A et B. A O B

10 Question Si deux points A et B se trouvent sur une sphère, quelle est la courbe de longueur minimale qui les relie? C est la plus petite portion du grand cercle passant par A et B. A O B Si A et B sont aux antipodes, il ya une infinité de solutions :

11 Plan 1 Optimiser? 2 Le toboggan le plus rapide 3 Le problème isopérimétrique 4 Exemples industriels

12 Question Étant donnés deux points A et B dans l espace, quelle est la forme de toboggan le plus rapide qui les relie?

13 Question Étant donnés deux points A et B dans l espace, quelle est la forme de toboggan le plus rapide qui les relie? Mathématiquement, il faut trouver la courbe reliant A et B telle qu un point glissant le long de cette courbe arrive en B en un temps minimal.

14 Question Étant donnés deux points A et B dans l espace, quelle est la forme de toboggan le plus rapide qui les relie? A B Mathématiquement, il faut trouver la courbe reliant A et B telle qu un point glissant le long de cette courbe arrive en B en un temps minimal.

15 On va modéliser le toboggan comme étant le graphe d une fonction f : [0, 1] R, f (0) = h, f (1) = 0 où h est la hauteur du toboggan (ici A = (0, h) et B = (1, 0)).

16 On va modéliser le toboggan comme étant le graphe d une fonction f : [0, 1] R, f (0) = h, f (1) = 0 où h est la hauteur du toboggan (ici A = (0, h) et B = (1, 0)). Les résultats de physique (conservation de l énergie) entraîne que le temps de descente du toboggan est alors f (x) 2 T = 2g(h f (x)) dx, où g est la constante gravitationnelle. Il faut alors trouver le f qui minimise cette quantité. 0

17 On va modéliser le toboggan comme étant le graphe d une fonction f : [0, 1] R, f (0) = h, f (1) = 0 où h est la hauteur du toboggan (ici A = (0, h) et B = (1, 0)). Les résultats de physique (conservation de l énergie) entraîne que le temps de descente du toboggan est alors f (x) 2 T = 2g(h f (x)) dx, 0 où g est la constante gravitationnelle. Il faut alors trouver le f qui minimise cette quantité. La solution est le brachistochrone (Bernoulli, 17ème siècle) 0 1

18 On va modéliser le toboggan comme étant le graphe d une fonction Un toboggan à bosses est plus long à descendre! f : [0, 1] R, f (0) = h, f (1) = 0 où h est la hauteur du toboggan (ici A = (0, h) et B = (1, 0)). Les résultats de physique (conservation de l énergie) entraîne que le temps de descente du toboggan est alors f (x) 2 T = 2g(h f (x)) dx, 0 où g est la constante gravitationnelle. Il faut alors trouver le f qui minimise cette quantité. La solution est le brachistochrone (Bernoulli, 17ème siècle) 0 1

19 Plan 1 Optimiser? 2 Le toboggan le plus rapide 3 Le problème isopérimétrique 4 Exemples industriels

20 Le problème de la Reine Didon Quel est le domaine de R 2, de périmètre donné, qui maximise l aire?

21 Le problème de la Reine Didon Quel est le domaine de R 2, de périmètre donné, qui maximise l aire? Théorème (Inégalité isopérimétrique) Soit D un domaine de R 2. Alors a(d) 1 4π p(d)2, où p(d) est le périmètre et a(d) est l aire du domaine D.

22 Le problème de la Reine Didon Quel est le domaine de R 2, de périmètre donné, qui maximise l aire? Théorème (Inégalité isopérimétrique) Soit D un domaine de R 2. Alors a(d) 1 4π p(d)2, où p(d) est le périmètre et a(d) est l aire du domaine D. Remarque Ce résultat signifie que, parmi tout les domaines de périmètre fixé, le cercle minimise l aire. En effet, pour un cercle D de rayon r, on a a(d) = πr 2 et p(d) 2 = (2πr) 2 = 4π 2 r 2 = 4π(πr 2 ).

23 Question Pourquoi les bulles de savon prennent une forme sphérique?

24 Question Pourquoi les bulles de savon prennent une forme sphérique? Une bulle est une fine pellicule d eau et savon, qui renferme un certain volume d air. À l équilibre, le savon doit minimiser sa surface, sous la contrainte de volume fixé pour minimiser l énergie.

25 Question Pourquoi les bulles de savon prennent une forme sphérique? Une bulle est une fine pellicule d eau et savon, qui renferme un certain volume d air. À l équilibre, le savon doit minimiser sa surface, sous la contrainte de volume fixé pour minimiser l énergie. On en déduit (a priori) que la sphère S est le domaine qui minimise la surface, à volume fixé.

26 C est l inverse, en dimension 3, du problème de Didon. Question Pourquoi les bulles de savon prennent une forme sphérique? Une bulle est une fine pellicule d eau et savon, qui renferme un certain volume d air. À l équilibre, le savon doit minimiser sa surface, sous la contrainte de volume fixé pour minimiser l énergie. On en déduit (a priori) que la sphère S est le domaine qui minimise la surface, à volume fixé.

27 L observation des bulles de savon donne une intuition du résultat, mais encore faut-il le prouver.

28 L observation des bulles de savon donne une intuition du résultat, mais encore faut-il le prouver. Théorème (Inégalité isopérimétrique 3d) Soit D un domaine de R 3. Alors V (D) π S(D)3, où V (D) est le volume et S(D) est la surface du domaine D.

29 L observation des bulles de savon donne une intuition du résultat, mais encore faut-il le prouver. Théorème (Inégalité isopérimétrique 3d) Soit D un domaine de R 3. Alors V (D) π S(D)3, où V (D) est le volume et S(D) est la surface du domaine D. Comme en dimension 2, on en déduit Théorème La sphère est le domaine qui minimise la surface, à volume fixé. De plus, la sphère est aussi le domaine qui minimise le volume, à surface fixée.

30 Plan 1 Optimiser? 2 Le toboggan le plus rapide 3 Le problème isopérimétrique 4 Exemples industriels

31 La chaise optimale Principe : Déterminer la structure d une chaise de poids minimal et de solidité maximale.

32 La chaise optimale Principe : Déterminer la structure d une chaise de poids minimal et de solidité maximale.

33 Ce type de problèmes fait intervenir des équations aux dérivées partielles.

34 Ce type de problèmes fait intervenir des équations aux dérivées partielles. Les principes mis en œuvre pour leurs résolution sont très complexes et il existe encore de nombreuses recherches actives dans ce domaine. En général, on ne sait résoudre ces problèmes que numériquement (i.e. obtenir des simulations)

35 Ce type de problèmes fait intervenir des équations aux dérivées partielles. Les principes mis en œuvre pour leurs résolution sont très complexes et il existe encore de nombreuses recherches actives dans ce domaine. En général, on ne sait résoudre ces problèmes que numériquement (i.e. obtenir des simulations) La simulation de la chaise a été obtenue par le groupe d optimisation de formes du Centre de Mathématiques Appliquées de l École Polytechnique (CMAP) : http :// optopo/

36 Le pont optimal La même équipe à considérer le cas d un pont

37 Le pont optimal La même équipe à considérer le cas d un pont

38 Le pont optimal La même équipe à considérer le cas d un pont Les logiciels ayant servi pour obtenir ces simulations sont utilisés, entre autre, par un architecte. Voir sa page web : http ://renouc.free.fr/

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40 Merci!