Chapitre n 6 : «Le parallélogramme»

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1 Chapitre n 6 : «Le parallélogramme» I. L'essentiel Rappels Un quadrilatère est une figure fermée constituée de quatre segments appelés côtés. Vocabulaire A, B, C et D sont les sommets. [ AB], [ BC ], [CD] et [ DA] sont les côtés. Noms possibles : ABCD, BADC, CDAB Côtés opposés : [ AD] et [ BC ] ; [ AB] et [ DC ] Côtés consécutifs : [ BA] et [ AD] ; [ DC ] et [CB ] Diagonales : [ AC ] et [ BD ]. Angles opposés : DAB et DCB. Définition Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Construction à la règle et à l'équerre On a construit deux paires de droites parallèles : d 1 // d 2 d 1 ' // d 2 ' Ces quatre droites forment quatre points : A, B, C et D. ABCD est un parallélogramme. Construction à la règle et au compas On suppose les points A, B et C déjà placés. On veut construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. On prend l'écartement entre A et B et on pointe sur C pour former un premier arc de cercle. On prend l'écartement entre B et C et on pointe sur A pour former un deuxième arc de cercle. On place le point D puis on trace le parallélogramme ABCD.

2 Autre exemple A, B et C sont trois points quelconques. Construis le point D tel que BACD soit un parallélogramme. II. Propriétés 1/ Sur les côtés Propriété Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. Figure pour illustrer. Les côtés opposés sont : [ IJ ] et [ LK ] [ LI ] et [ KJ ]. Donc IJ =LK et IL= JK. 2/ Sur les diagonales Rappels A et A' sont symétriques par rapport à un point O si O est le milieu du segment [ AA' ]. On rappelle aussi qu'un centre de symétrie est un point autour duquel la figure peut effectuer un demi-tour puis revenir à sa place initiale (voir page 156) Activité Il semble que les longueurs OB et OC soient égales. De même pour les DO et OA. Il semble donc que O soit le milieu des diagonales. Définition Le centre d'un parallélogramme est à l'intersection des diagonales

3 Propriétés Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le centre du parallélogramme est aussi le centre de symétrie. Exemple Les parallélogrammes sont : ABFE ; ADEC. Dans ABFE les longueurs égales sont : AB=EF AE=BF AH =HF EH =HB Dans ADEC les longueurs égales sont : DG=GC AG=EG AD=CE DE=CA 3/ Sur les angles Propriétés Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même mesure. Exemple Dans le parallélogramme cicontre, on a : CBA= CDA BCD= BAD (voir à la fin du chapitre pour l'autre propriété concernant les angles consécutifs)

4 III. Constructions de parallélogramme (exemples) Méthode générale On fait une figure à main levée la plus réaliste possible. On élabore une stratégie de construction. On fait la figure aux instruments. Exemple 1 Construire un parallélogramme ABCD tel que AD=4 cm et DAB=60. AB=5 cm Figure à main levée : C D 4 cm 60 5 cm B A Je trace AD=4 cm ; je fais un angle à 60 ; je trace AB=5 cm. Pour construire le point C, j'utilise le compas. (échelle 1/2) Exemple 2 Construire le parallélogramme IJKL tel que IJ =3,5 cm ; JK =4,7 cm et IK =2,8 cm A main levée I 3,5 cm J L Avec les instruments 2,8 cm K 4,7 cm

5 Exemple 3 Construire un parallélogramme EFGH tel que FH=9 cm et EG=5 cm. FOG =35 A main levée H E 9 cm 5 cm O 35 G F Aux instruments (échelle 1/2) IV. Propriétés réciproques Propriété caractéristique n 1 Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme. Application C'est la construction au compas vue au début du chapitre On a construit le parallélogramme ABCD tel que AB=CD et BC=AD

6 Propriété caractéristique n 2 Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure alors c'est un parallélogramme. Propriété caractéristique n 3 Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. Pour jeudi 4/02 Apprendre par cœur les propriétés caractéristiques n 58 p 216 Pour vendredi 4/02 Contrôle 1h!!!!!!!!!!! (dans le paragraphe II 3/ sur les angles) Propriété Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires. Exemple On a CBA BAD=145 35=180. Rappel Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme fait 180. Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme fait 90.

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