Optique 2 Les lentilles minces

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1 Optique 2 Les lentilles minces Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI Contenu du programme officiel : Notions et contenus Conditions de Gauss. Lentilles minces. L œil. L appareil photographique numérique. Capacités exigibles - Énoncer les conditions permettant un stigmatisme approché et les relier aux caractéristiques d un détecteur. - Utiliser les définitions et les propriétés du centre optique, des foyers principaux et secondaires, de la distance focale, de la vergence. - Construire l image d un objet situé à distance finie ou infinie à l aide des rayons lumineux. - Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement transversal fournies (Descartes uniquement). - Mettre en oeuvre expérimentalement à l aide de deux lentilles un dispositif optique d utilisation courante. - Modéliser l œil comme l association d une lentille de vergence variable et d un capteur fixe. - Citer les ordres de grandeur de la limite de résolution angulaire et de la plage d accommodation. - pproche documentaire : en comparant des images produites par un appareil photographique numérique, discuter l influence de la focale, de la durée d exposition, du diaphragme sur la formation de l image et le rôle du capteur sur la qualité de cette image En gras les points devant faire l objet d une approche expérimentale. Table des matières 1 Le stigmatisme Le stigmatisme rigoureux Les détecteurs de lumières et le stigmatisme approché Définition des lentilles minces Les conditions de Gauss Images et objets pour les lentilles minces Le centre optique d une lentille Point et plan focal image Point et plan focal objet Images et objets, caractère réel ou virtuel Règles de constructions des images Les relations algébriques des lentilles minces Point mathématique : les distances algébriques Distance focale et vergence La relation de conjugaison Le grandissement de Descartes Quelques applications ssociation de lentilles ou de miroirs L œil Les lentilles sont le système de base de toute l optique géométrique. Leur utilisation est très répandue. On peut citer par exemples les lunettes de vue, les objectifs des appareils photographiques, les lentilles des projecteurs... Leur étude est donc d une importance centrale pour tous les problèmes d optique /13

2 1 Le stigmatisme 1.1 Le stigmatisme rigoureux Définition. Le stigmatisme est une propriété des systèmes optiques. On dit d un système qu il est rigoureusement stigmatique s il donne de tout point objet un unique point objet. Le miroir plan est un système rigoureusement stigmatique mais c est quasiment le seul système optique qui respecte cette propriété. Par exemple, prenons un point objet vu à travers un dioptre, à travers l animation [1], on se rend compte que tous les rayons émergents ne se croisent pas en un seul point, ce qui signifie que l image de l objet ponctuel sera en une tâche plus ou moins grosse. Cela entraîne un effet de flou. 1.2 Les détecteurs de lumières et le stigmatisme approché La plupart des systèmes ne sont pas rigoureusement stigmatique, en particulier tous ceux comportant des dioptres. Toutefois, l effet de flou n est pas toujours visible. Les détecteurs de lumières sont composés de petits grains qui détectent la lumière, comme les pixels dans le cas numérique. Si la tâche image d un point est plus petite que le détecteur, l image sera vue comme ponctuelle, et donc l image globale sera nette. Définition. Un système optique vérifie un stigmatisme approché si la taille de la tâche image d un point objet est plus petite que le grain du détecteur. Cette propriété est très répandue, et recherchée, pour la plupart des systèmes optiques. 1.3 Définition des lentilles minces Définition. Une lentille est un bloc de verre (ou d un autre matériau transparent) servant à faire converger ou diverger la lumière. Une lentille est dite mince si toutes ses dimensions sont petites devant les rayons de courbures des parties arrondies. Fig. 1 Les différents types de lentilles minces : leurs épaisseur est toujours faible devant le rayon des parties circulaires. Définition. Une lentille est dite convergente si elle est à bord mince. Une lentille est dite divergente si elle est à bord épais. Une lentille est représentée comme dans la figure 2. On les représente toujours avec un axe en pointillée au centre. Cet axe, nommé axe optique, est orienté et représente l axe de symétrie de révolution du système optique et le sens de propagation de la lumière. Lentille convergente Lentille divergente Fig. 2 Représentation schématique des lentilles. 2/13

3 Expérience 1 : Manipulation de lentilles de démonstration. Fig. 3 Convergente : la lumière converge. Fig. 4 Divergente : la lumière diverge. 1.4 Les conditions de Gauss Une lentille mince est constituée d un dioptre air/verre puis d un dioptre verre/air. Or, comme nous l avons vu avec l animation [1], les dioptres ne sont pas rigoureusement stigmatiques. Pour avoir des images nettes, il faut chercher à se placer dans une situation de stigmatisme approché. Propriété. Les conditions de Gauss impliquent que les rayons lumineux traversant la lentille soient : peu inclinés par rapport à l axe optique ; peu éloignés de l axe optique lorsqu ils atteignent la lentille. Sous ces conditions, les lentilles minces vérifient un stigmatisme approché. Fig. 5 Le rayon est peu incliné et arrive sur la lentille proche de l axe optique, les conditions de Gauss sont vérifiées et l image sera nette. Fig. 6 Le rayon est très incliné et arrive sur la lentille loin de l axe optique, les conditions de Gauss ne sont pas vérifiées et l image sera floue. Dans toute notre étude, nous nous placerons toujours sous ces conditions expérimentales. Certains schémas, pour des raisons de praticité du dessin, sortiront de ces conditions mais elles ne doivent jamais être oubliées expérimentalement. 2 Images et objets pour les lentilles minces Pour construire les images d un object avec une lentille, nous avons besoin d utiliser et de définir trois points particuliers. 2.1 Le centre optique d une lentille Définition. Le centre optique d un lentille, généralement noté O, est situé l intersection de la lentille et de l axe optique. Tout rayon lumineux passant par le centre n est pas dévié. O O Fig. 7 Les rayons passant par le centre O d une lentille ne sont pas déviés. 3/13

4 2.2 Point et plan focal image Le point focal image Définition. Tout rayon incident parallèle à l axe optique émerge de la lentille en croisant l axe optique au point focal image, noté généralement F. Pour les lentilles convergentes, le point focal image est derrière la lentille. Pour les lentilles divergentes, le point focal image est devant la lentille. F F Fig. 8 Définition du point focal image F. Dans le cas de la lentille divergente, le rayon émergent semble provenir du point focal image même s il ne le traverse pas effectivement. Représentation d un objet à l infini Un objet est dit à l infini s il est situé «très loin» devant la lentille. Une définition plus rigoureuse sera donnée au paragraphe 3.2. Propriété. Un objet ponctuel situé à l infini devant la lentille est représenté par un faisceau de rayons parallèles. Le plan focal image Fig. 9 Un faisceau de rayons parallèles provenant d un objet situé à l infini. Définition. Le plan orthogonal à l axe optique passant par le point focal image est le plan focal image. F F Plan focal image Plan focal image Fig. 10 Les plans focaux images. Le point focal image est le foyer image principal alors que tous les points du plan focal image sont des foyers images secondaires. Propriété. Un faisceau de rayons parallèles converge sur le plan focal image. insi, le point focal image F est l image d un objet situé à l infini sur l axe optique. Pour trouver la position de l image d un faisceau quelconque, on commence par tracer le rayon non dévié passant par le centre optique, puis tous les autres rayons vont passer (ou sembler passer) par l intersection de ce rayon non dévié et du plan focal image. pplication 1 : Tracer les images pour les rayons parallèles suivants. F F 4/13

5 2.3 Point et plan focal objet Le point focal image Définition. Tout rayon passant par le point focal objet, noté généralement F, émerge de la lentille parallèlement à l axe optique. Pour les lentilles convergentes, le point focal objet est devant la lentille. Pour les lentilles divergentes, le point focal image est derrière la lentille. F F Fig. 11 Définition du point focal objet F. Dans le cas de la lentille divergente, le rayon incident se dirige vers le point objet image même s il ne le traverse pas effectivement. Représentation d une image à l infini Définition. Lorsque les rayons émergents d une lentille sont parallèles entre eux, l image est dite à l infini. Dans ce cas, les rayons émergents ne se croisent jamais. En réalité, ils vont se croiser très loin et une véritable image à l infini est quasiment impossible à faire concrètement. Toutefois, quoi qu il arrive, une image à l infini sera toujours visible dans le plan focal image d une lentille. C est ce qui se passe dans l œil, nous permettant ainsi de voir des objets très loin, comme nous le verrons au paragraphe 4.2. Le plan focal image Définition. Le plan orthogonal à l axe optique passant par le point focal objet est le plan focal objet. F F Plan focal objet Plan focal objet Fig. 12 Les plans focaux objets. Le point focal objet est le foyer objet principal alors que tous les points du plan focal objet sont des foyers objet secondaires. Propriété. Tout objet ponctuel placé dans le plan focal objet aura son image à l infini. insi, l image du point focal objet F est située à l infini sur l axe optique. Pour tracer les rayons émergents d un point quelconque du plan focal objet, on commence par tracer le rayon non dévié passant par ce point (ou semblant y passer) et par le centre optique. Ensuite, tous les rayons incidents passant par le point et arrivant sur la lentille émergeront parallèlement à ce rayon particulier. pplication 2 : Tracer les faisceaux de rayons émergents des points objets suivants. F F 5/13

6 Relation entre les deux points focaux Propriété. Les points focaux images et objets d une lentille mince sont symétriques l un de l autre par rapport au plan de la lentille. F F F F Fig. 13 Les points focaux : F est le point focal objet et F le point focal image, symétriques l un de l autre par rapport au plus de la lentille. 2.4 Images et objets, caractère réel ou virtuel L image Définition. Soit un objet et une lentille L. Sous les conditions de Gauss dans le cadre du stigmatisme approché, tous les rayons passant par et traversant la lentille L vont émerger de celle-ci en se croisant en un unique point. Ce point est l image de l objet à travers la lentille L. Pour un objet étendu, les lentilles conservent les angles. Un objet perpendiculaire à l axe optique a une image perpendiculaire à l axe optique. Remarque : On dit que le point est le conjugué du point à travers la lentille L et on peut le noter simplement L. F O F xe optique Objet Lentille Image Fig. 14 Les rayons incidents issus du point image se croisent en un unique point image. L objet est reconstruit car il est orthogonal à l axe optique. Caractère réel ou virtuel des images Définition. Une image sera qualifiée de réelle si les rayons lumineux qui la construisent se croisent réellement. Elle pourra être projetée sur un écran. Une image sera qualifiée de virtuelle si les rayons lumineux qui la construisent ne se croisent pas, seuls les traits de constructions se croisent. Cette image n est pas projetable sur un écran. Espace images virtuelles Espace images réelles Fig. 15 Dans le cas d une lentille unique, (divergente ou convergente) les images réelles sont derrière la lentille et les images virtuelles sont devant. Une image virtuelle est visible en regardant dans la lentille dans son axe. Elle se dessine en pointillé. 6/13

7 Caractère réel ou virtuel des objets Définition. Un objet sera qualifié de réel si les rayons lumineux passent réellement par ce point. Un objet sera qualifié de virtuel si les rayons lumineuse incidents semblent seulement y passer. Seuls les traits de construction y passent. Espace objets réels Espace objets virtuels Fig. 16 Dans le cas d une lentille unique, (divergente ou convergente) les objets réels sont derrière la lentille et les objets virtuels sont derrières. Un objet virtuel n existe pratiquement que dans les systèmes optiques multiples lorsqu un des objet intermédiaire est l image de la première partie du système optique. Il se dessine en pointillé. Exemple 1 : F F L L Fig. 17 Exemple d un montage conduisant à un objet virtuel. L objet initial a pour image à travers la lentille L. Pour la lentille L, l image est réelle. Or cette image est derrière la lentille L. insi, est un objet virtuel pour cette seconde lentille L. 2.5 Règles de constructions des images Propriété. Pour construire l image d un objet à distance finie, on construit 3 rayons : le rayon passant par le centre non dévié ; le rayon incident semblant passer par le foyer objet F qui émerge parallèlement à l axe optique ; le rayon incident parallèle à l axe optique qui émerge en semblant par le foyer image F. Cette trois rayons se croisent géométriquement en un unique point. pplication 3 : Construire les images dans les 10 cas indiqués ci-dessous et préciser le caractère réel ou virtuel est objets et images. 1. 7/13

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9 Pour considérer rapidement tous les cas, on pourra jouer avec l animation [2]. Expérience 2 : TP 04 - Formation d une image avec une lentille mince 3 Les relations algébriques des lentilles minces 3.1 Point mathématique : les distances algébriques On note la distance algébrique entre les points et. Cette distance s exprime en mètres et est négative si est devant par rapport à l orientation de l axe optique et positive dans le cas contraire. 9/13

10 > 0 < 0 De même, les distances sur des axes orthogonaux à l axe optique sont comptées positivement de haut en bas et négativement dans le cas contraire. Les grandeurs algébriques vérifient la relation = et, si, et C sont sur le même axe = C + C. 3.2 Distance focale et vergence Distance focale Définition. La distance focale f d une lentille vaut f = OF avec O le centre de la lentille et F le point focal image. Cette distance s exprime en mètres. On a par ailleurs OF = OF car les foyers sont symétriques l un de l autres. La distance focale est la grandeur qui permet de caractériser entièrement une lentille. Propriété. Une lentille convergente a une distance focale f positive. Une lentille divergente a une distance focale f négative. Remarque : Prenons un objet situé à la distance D de la lentille. Si D f, c est-à-dire si D > 100 f, l objet sera dit à l infini. En optique, la notion de distance infinie se comprend comme une distance très grande devant la distance focale. Vergence d une lentille Définition. La vergence v d une lentille est définie par v = 1 f. Sa dimension est l inverse d une distance, dont l unité est la dioptrie notée δ. Remarque : L unité dioptrie s utilise uniquement pour la vergence des lentille. C est une unité particulière à l optique. 3.3 La relation de conjugaison Considérons la construction géométrique de la figure 18. À partir de celle-ci, nous souhaitons établir la relation entre les distances O, O et la distance focale f. I F O F xe optique J Objet Lentille Fig. 18 Construction d une image par une lentille mince. Image 10/13

11 Les triangles O et O J sont des triangles semblables, le théorème de Thalès indique = O O. (3.1) On vérifie a posteriori que les signes algébriques correspondent. Les triangles F et OFJ sont des triangles semblables, le théorème de Thalès indique OJ = F OF = F f. (3.2) On a F = O + OF = O f. En utilisant ensuite la relation (3.2), on a Par ailleurs, OJ = et donc f = F OJ = O OJ f OJ. f = O f. Utilisons maintenant la relation (3.1) pour éliminer, il vient f = O O O f O O. On divise cette dernière relation par les trois distances, f et O et il vient f f O = O f O O O f f O Propriété. On définit la relation de conjugaison des lentilles minces par 1 O = 1 f + 1 O avec O le centre, l image de l objet et f la distance focale. O O. Remarque : Cette relation sera systématiquement fournie. Elle est par contre à savoir manipuler. Pour retrouver rapidement cette relation, et surtout pour savoir de quelle côté de l égalité est chaque terme, on peut remarquer que les définitions des points focaux implique que pour un objet à l infini, O =, d où 1 O = 0 et O = f ; pour une image à l infinie, O = +, d où 1 = 0 et O = f. O Remarque : Cette relation est purement géométrique. Si le dessin de l image est bien réalisé, la mesure des distances sur le schéma vérifie cette relation. Expérience 3 : TP 05 - Focométrie des lentilles minces pplication 4 : Une loupe est constituée d une lentille convergente de focale f = 5 cm. On observe un objet étendu de 1 cm situé à 3 cm. Faire une construction à l échelle. Déterminer graphiquement la position de l image, sa taille et sa nature. Retrouver sa position par le calcul. 11/13

12 3.4 Le grandissement de Descartes Définition. Le grandissement transversal est donné par la relation γ = = O O. Le grandissement permet de calculer directement la taille finale de l image en connaissant la taille de l objet et les différentes positions des images et objet. En général, les positions se déduisent de l application de la relation de conjugaison. pplication 5 : En reprenant l application précédente de la loupe, retrouver le grandissement par le dessin et par le calcul. 4 Quelques applications 4.1 ssociation de lentilles ou de miroirs Lors de problème mettant en jeu des lentilles ou des systèmes optiques successifs, il faut procéder par étape. Par exemple, dans le cas de deux lentilles L 1 et L 2 et un d objet, on note l image de par L 1 que l on calcule indépendamment de la suite, puis on calcule l image C de par L 2, sans tenir compte de ce qui précède. Pour l association de deux lentilles, on peut consulter l animation [3]. Expérience 4 : TP 06 - La lunette astronomique pplication 6 : Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment construire une image virtuelle dans le cadre d une réflexion sur un miroir. Proposez une configuration permettant d avoir une image réelle avec une lentille convergente et un miroir. Réaliser le schéma correspondant. pplication 7 : Soit deux lentilles de focales f 1 = 2 cm et f 2 = 4 cm, leurs centres étant séparées par une distance O 1 O 2. On considère un objet de taille 1 cm placé à 4 cm devant la première lentille. Faire un schéma à l échelle de la situation. Remarque : La plupart des systèmes optiques courants sont constitués d associations de lentilles et de miroirs, comme pour les télescopes, lunettes astronomiques, appareils photographiques L œil Description L œil est un système optique modélisable par une lentille de focale variable qui projette les images sur une surface photosensible située à distance fixe (figure 19). La lentille est double (cornée + cristallin). Le cristallin, par déformation, peut modifier sa focale. La surface photosensible est la rétine. Elle est composée de quatre types de capteurs, des bâtonnets et trois types de cônes. Les cônes mesurent chacun une couleur rouge, vert ou bleu. Les bâtonnets mesurent uniquement la luminosité, et sont les seuls actifs dans le noir. L iris, dont l ouverture forme la pupille. Repos et accommodation L œ au repos voit nette à l infini, c est-à-dire que la rétine est placé dans le plan focal de la lentille. Pour voir de près, il faut réaliser l accommodation. Le cristallin se déforme pour que l image de l objet à distance finie se forme sur la rétine. 12/13

13 Fig. 19 Un œil et ses différents éléments Pour un œil sain, ou corrigé, le point le plus proche visible (Punctum Proximum ou PP) est à environ 25 cm. Pour un œil myope ou hypermétrope, l œil au repos voit mal à l infini. Le point le plus loin visible est le PR (Punctum Remotum), et est à l infini pour un œil sain. Sur cette animation [4], on peut manipuler les différentes situations d accommodation ou de déformation de l œil. œil PR à l infini pour un œil sain ou corrigé PP 25 cm Résolution angulaire Fig. 20 Positions du Punctum Proximum et du Punctum Remotum. L œil est capable de distinguer une séparation angulaire d environ une minue de degré, soit rad. pplication 8 : La muraille Chine fait une épaisseur d environ 10 m et la distance Terre-Lune est d envrion km. Est-ce que la muraille est visible de puis la Lune? Références [1] dioptre_plan.php [2] lentille_mince.php [3] doublet.php [4] correction.php 13/13