Chapitre 2 - Arithmétique modulaire. 1 Division euclidienne. 1.1 Dénition, existence, unicité. 1.2 Comment faire une division euclidienne BTS SIO 1

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1 Lycée Maximilien Sorre Année BTS SIO 1 Chapitre 2 - Arithmétique modulaire 1 Division euclidienne 1.1 Dénition, existence, unicité Dénition. Soient deux entiers naturels a et b, avec b > 0. Eectuer la division euclidienne de a par b consiste à déterminer les deux entiers q et r tels que : a = b q + r et 0 r < b. a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient, et r est le reste. Exemple. Eectuons la division euclidienne de 23 par 4 : 23 = ( a ) Remarque. On a : q = E et r = a b q. b Théorème 1. Le quotient et le reste existent toujours et sont uniques : pour tous entiers naturels a et b, il existe un unique couple (q, r) d'entiers naturels tels que a = b q + r avec 0 r < b. 1.2 Comment faire une division euclidienne Méthode 1 - poser la division : Cette méthode consiste à calculer le quotient chire par chire en commençant par la gauche. Exemple. Eectuons la division euclidienne de 1790 par 3 : Exercice 1. a) Eectuer la division euclidienne de 932 par 7. b) Eectuer la division euclidienne de 3456 par 19. Méthode 2 - méthode naïve : Une manière naturelle de calculer le quotient est de se demander combien de fois peut-on mettre b dans a. Pour répondre à cette question, on commence par regarder si a est strictement inférieur à b. Si c'est le cas, alors q = 0 et r = a. Sinon, on soustrait b à a autant de fois que nécessaire pour que le résultat devienne strictement inférieur à b. Le nombre de soustractions eectuées est alors q, et le résultat obtenu après soustraction est r. Remarque. En algorithmique, on peut utiliser cette façon de procéder pour écrire un algorithme de division euclidienne. 1

2 2 Multiples et diviseurs 2.1 Dénitions, exemples Dénition. Soient a et b des entiers naturels. On dit que : a est un de b b est un de a si il existe un entier naturel q tel que : a = b q. a) 48 est un de 6. b) 7 est un de 56. c) Tout entier naturel est de 1. Remarque. Tout entier naturel n admet au moins comme diviseurs n et 1. Propriétés 2. Un nombre est multiple de 2 si : Un nombre est multiple de 3 si : Un nombre est multiple de 5 si : Exercice 2. a) Donner la liste des multiples de 0. b) Donner la liste des diviseurs de 56. c) Déterminer le chire x pour que le nombre 712x soit divisible par PGCD On note PGCD(a,b) le plus grand diviseur commun à a et à b. Exemple. Calculons le PGCD de 35 et de 49 : 35 a pour diviseurs 1, 5, 7 et a pour diviseurs On a donc : PGCD(35, 56) =. Exercice 3. Déterminer le PGCD de : a) 13 et 39, b) 30 et 42. Dénition. Deux entiers naturels sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1. Exemple. 21 et 8 sont premiers entre eux. Algorithme d'euclide : L'algorithme d'euclide permet de calculer le PGCD de deux entiers a et b. Pour cela, on eectue la division euclidienne de a par b, puis de b par le reste obtenu et ainsi de suite jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD de a et b. 2

3 Exemple. Calculons le PGCD de 48 et 56 (par les deux méthode) : Méthode 1 (liste des diviseurs) : Les diviseurs de 48 sont : Les diviseurs de 56 sont : PGCD(56, 48) = Méthode 2 (algorithme d'euclide) : Exercice 4. Calculer le PGCD de : a) 245 et 120, b) 336 et Nombres premiers 3.1 Dénition Dénition. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts positifs : 1 et lui même , 5, 7, 11, 13, 17 et 19 6 Remarque. Il existe une innité de nombres premiers. 3.2 Recherche de nombres premiers Remarque. Les nombres premiers jouent un rôle crucial, notamment en cryptographie. Par exemple, le système de cryptage RSA, très utilisé dans le commerce électronique, et plus généralement pour échanger des données condentielles sur Internet (protocoles d'identication SSL (Secure Sockets Layer), etc), repose sur les nombres premiers. Plus les nombres premiers utilisés pour le cryptage sont grands, plus le cryptage est sûr. C'est pour cela qu'on s'intéresse aux méthodes permettant d'identier les nombres premiers. Méthode par essais de division : La méthode repose sur le théorème suivant : Théorème 3. a) Tout entier naturel n 2 admet au moins un diviseur premier. b) Si n n'est pas premier, alors il admet un diviseur p premier tel que : 2 p n. 3

4 Conséquence : Pour savoir si un nombre est premier, on regarde si il est divisible par un nombre premier inférieur ou égal à sa racine. Si il n'est divisible par aucun de ces nombres, il est premier. Exemple. On cherche à savoir si 133 est premier Donc si 133 n'est pas premier, il est divisible par un nombre premier entre 2 et 11. Il sut alors d'essayer de diviser 133 par ces nombres. On trouve que : Exercice 5. Déterminer si les nombres suivants sont premiers : 119 ; 149 ; 209. Le crible d'ératosthène : Le crible d'ératosthène repose sur la même idée que la méthode ci-dessus et permet de déterminer la liste des premiers nombres premiers. Exemple. On souhaite déterminer tous les nombres premiers inférieurs à 50 : Décomposition en produit de facteurs premiers Théorème 4. Tout nombre entier n 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers : n = p n 1 1 p n 2 2 p n k k, où les p i sont tous premiers, et où les n i sont des entiers positifs. Cette écriture s'appelle la décomposition en produit de facteurs premiers. Exemple. 56 = Remarques. Pour casser un système de cryptage RSA (voir plus haut), il faut savoir décomposer un nombre (appelé clé) en un produit de facteurs premiers. C'est pour cette raison que de nombreux organismes s'intéressent à la factorisation en nombres premiers. Pour vérier la sécurité de leur système de cryptage, des organismes ont même proposé des récompenses (de plusieurs dizaines de milliers de dollars) à qui saurait factoriser un nombre donné (utilisé comme clé). La décomposition en facteurs premiers permet aussi de déterminer facilement des PGCD. On s'en sert également pour simplier les fractions, etc... Exercice 6. a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants : 160, 126. b) Donner les diviseurs de 126. c) Calculer PGCD(160,12). 4

5 4 Congruences 4.1 Dénition Dénition. Soient n un entier supérieur ou égal à 2, et a et b deux nombres entiers naturels. On dit que a et b sont congrus modulo n (ou que a est congru à b modulo n) si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. On note alors : 10 31[3]. 16 1[5]. a b[n]. pour tout entier naturel a, a 0[2] si et seulement si a est pair (c'est-à-dire si et seulement si 2 divise n). 4.2 Propriétés Propriété 5. Pour tout entier naturel a et tout entier naturel n 2, on a que : a 0[n] si et seulement si Théorème 6. Soient a, a, b, b et n des entiers naturels tels que : a a [n] et b b [n]. Alors : a) a + b a + b [n]. Exemple : b) a b a b [n]. Exemple : c) a k (a ) k [n]. Exemple : Exercice 7. a) Montrer que est un multiple de 12. b) Montrer que est un multiple de 7. Le mot de la n : 8, 9, 10, 11 et 12 font la course, qui gagne? 11, parce qu'il est premier. 5