Exposé 2 : Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l utilisation de graphes, orientés ou non.

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1 xposé : xemples de problèmes dont la résolution fait appel à l utilisation de graphes, orientés ou non. Prérequis : -Calcul matriciel (addition et multiplication) -Probabilitées conditionnelles Organisation d un tournoi Problème :. On organise un tournoi de sport, composé de 5 équipes. On veut que chaque équipes en rencontre différentes.. Même problème, où chaque équipe en rencontre différentes. Dans notre problème, le sommet correspond à une équipe, une arête correspond à un match. Définition : le degré d un sommet est le nombre d arête dont ce sommet est une extrémité. Reformulation du problème : chercher un graphe ayant 5 sommets de degré (puis ) Proposition : la somme des degrés des sommets d un graphe vaut deux fois le nombres d arêtes du graphe. insi () est donc possible (cf. dessin), mais () est impossible car la somme des degrés est.5=5, donc nombre arêtes*=5, ce qui est impossible. Problèmes d incompatibilité. exemple Soient{t, t, t, t, t 5 } des tâches,{m, m, m, m, m 5 } des machines, ne pouvant exécuter qu une tâche à la fois. La tâche t nécessite les machines m, m et m 5 (on a besoin de ces trois machines pour effectuer la tâche t ). L exposé a été présenté à Bordeaux() en octobre 00 par mandine, corrigée par M.., et a été réalisé par Gwendal Haudebourg. Mise à jour le /07/007

2 insi on a : t m, m, m 5 t m, m t m, m, m 5 t m, m t 5 m 5 Un sommet correspond à une tâche, une arête correspond à une incompatibilitée entre deux tâches. Quel est le nombre de tâches que l on peut effectuer en même temps?. application au nombre chromatique Vocabulaire : -Colorer un graphe, c est affecter une couleur à chacun de ses sommets de sorte que deux sommets adjacents ne pouvent pas avoir la même couleur. -Le nombre chromatique est le nombre minimal de couleurs nécessaires pour colorer un graphe. -Un graphe est dit complet si tous ses sommets sont adjacents deux à deux. -Un sous-graphe d un graphe G est composée de sommets de G et de toutes les arêtes qui relient ces sommets. Proposition (MINORTIONDUNOMBRCHROMTIQU) : soit g un sous graphe de G. lors g G. Dans notre exercice, G g. Il faut au moins trois couleurs : sous-graphe (i). De plus, couleurs sont suffisantes (dessin (ii) ) G =. (i) (ii) xistence d un chemin. Les ponts de Königsberg u XVIII eme siècle, les habitants de Königsberg (actuellement Kaliningrad, région de la Russie frontalière de la Pologne et de la Lituanie) aimaient se promener le dimanche. La ville comprenait 7 ponts, disposés selon le shéma ci-dessous (i). Le souhait des habitants de Königsberg était de faire un trajet passant une fois et une seule fois par chaque pont (et de revenir ou non au même endroit). Un tel circuit est-il possible? On schématise le problème par (ii) (les arêtes correspondent aux ponts, les sommets correspondent aux îles et aux rives).

3 (i) (ii) Vocabulaire : -Une Chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de la liste soit adjacent au suivant. -Une Chaîne fermée est une chaîne dont l origine et l extrémité sont confondus. -Une Chaîne ulérienne une chaîne qui contient une et une seule fois chaque arête du graphe. -Une Cycle est une chaîne fermée composée d arêtes toutes distinctes. -Un Cycle ulérien est une chaîne eulérienne dont l origine et l extrémité sont confondus (ie chaîne ulérienne fermée). -Un Graphe est dit connexe s il existe une chaîne entre deux sommets quelconques de ce graphe. Théorème (D ULR) : soit G un graphe connexe. lors les deux propositions suivantes sont équivalentes :. Tous les sommets de G sont de degré pair.. G admet un cycle ulérien. Théorème (D ULR,VRSION ) : soit G un graphe connexe. lors les deux propositions suivantes sont équivalentes :. Deux sommets (et deux seulement) et B de G sont de degré impair.. G admet une chaîne eulérienne d extrémités et B. Remarque : on déduit des deux théorèmes précédents qu un graphe connexe dont le nombre de sommets de degré impair n est égal ni à zéro ni à deux n admet aucune chaîne eulérienne. Grâce à ce théorème, on prouve donc qu il est donc impossible de satisfaire au souhait des habitants de Königsberg ( sommets de degré impair). Problème de probabilitées Chaque matin, l allumeur de réverbère du Petit Prince de Saint-xupéry change l état du réverbère avec une probabilité. u jour 0, le réverbère s éteint. On note p la probabilité que le réverbère soit éteint au premier matin (ici, p = ) et, plus généralement p n la probabilité que le réverbère soit éteint au n eme matin. On se propose d étudier le problème suivant : Quel est le comportement de la suite (p n ) quand n prend des valeurs de plus en plus grandes? Graphe associé au changement d état : considérons le graphe orienté ci-contre dont les deux sommets et correspondent aux deux états possibles. On observe que la somme des poids des arêtes issues d un sommet vaut (car cette somme est égale à la somme de la probabilité d un évènement et de la probabilité de l évènement contraire). un cycle ne contient pas forcément toutes les arêtes du graphe.

4 Vocabulaire : _ -Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont orientés. -Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré tel que la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet donné vaut. n numérotant et les sommets et, on vérifie que ( la matrice M=(m i j ) est de dimension ) définie par m i j =poids de l arête orienté (i j) est : M= Définition (MTRIC D TRNSITION) : la matrice de transition M d un graphe probabiliste a pour terme général m i j le poids de l arête orienté (i j) si cette arête existe, 0 sinon. _ p n p n Interprétation matricielle : notons, pour n, P n la matrice ligne (p n, p n ) et posons P 0 =(, 0). On vérifie facilement que P = P 0.M. n utilisant l arbre, on a : p n+ = p n. +( p n). (formule des probabilitées totales), ce qui nous donne sous forme matricielle : P n+ = P n.m _ D où P n+ = P 0.M n (par récurrence). Calcul de M n : on vérifie que M=N ( ) R où N= et R= ( De plus, on montre que N.R=R.N= 0 M et N n = N, R n = R, n N (récurrence). On vérifie ainsi que M n = N+ ( )n n.r Comportement de P n à l infini : d après ce qui précède, on a p n = + ( )n. D où n+ lim p n= n + = lim ( p n) n + remarque : il est important de connaître une autre preuve, via les suites arithmético-géométriques (p n+ = p n+ ). )

5 5 Compléments 5. Recherche d une plus courte chaîne Vocabulaire : Un graphe pondéré est un graphe dont les arêtes sont affectés de coefficients positifs. Le poids d une chaîne est la somme des poids des arêtes qui la composent. Une plus courte chaîne entre deux sommets est, parmi les chaînes qui les relient, une chaîne de poids minimium. 5.. algorithme de Dijkstra (recherche d une plus courte chaîne) On considère le graphe pondéré suivant. n utilisant l algorithme de Dijkstra, trouvez une plus courte chaîne entre et C, et précisez son poids (on pourra, pour introduire ce concept, dire que les point,b,c,d, et F représentent des villes, les chiffres sur les arêtes étant le prix des péages (en euros). Quelle est la chaîne qui minimise la somme dépensée?). F G D B C D F G Sommet selectionné 0 0() 0() 6() F 0() 0(F) 8(F) 9(F) 0() 9() 9(F) D 0() 0(D) 9(F) G 0() 0(D) B 0(D) C Méthode : -On affecte le coefficient 0 à l origine (ici : ), et le coefficient à tous les autres sommets. -On sélectionne le sommet de plus petit coefficient (ie pour commencer), et on raye toutes les autres cases de la colonne de ce point. -On regarde les sommets adjacents au sommet sélectionné (les sommets non adjacents au point sélectionné gardent leurs coefficients). -On calcule les coefficient des sommets adjacents au somet sélectionné : on prend le minimum entre leur ancien coefficient, et (coefficient du sommet sélectionné+poids de larrête entre les deux points). -On recommence en sélectionnant le point de plus petit poids. - la fin : la plus courte chaîne se lit dans le tableau (dans l exemple : -F--D-C) : dans la colonne de l arrivée, on repère le sommet écrit le plus en bas du tableau (ici : D). Puis dans la colonne de ce point (ici, la colonne du point D), on repère le point le plus bas (ici : ), etc... -Le poids de cette chaîne est le poids du coefficient de l extrémité (0 dans l exemple donné). B C Remarque : -Il est pratique d écrire par exemple 0() pour rappeler que le point précédement sélectionné est. -Cet algorithme permet d obtenir toutes les plus courtes chaînes cherchées entre deux sommets quelconques du graphe. -Cet algorithme est facilement programmable sur calculatrice. 5

6 5. Historique 75 : uler pose et résoud le problème des sept ponts. 8 : Publication du problème du voyageur de commerce qui doit effectuer une tournée de plusieurs villes, et chercher à minimiser les distances parcourues 856 : Hamilton examine les chemins sur un dodécaèdre, et on appelera certains graphes des graphes Hamiltoniens 87 :.B. Kampe donne une solution du problème de coloration d une carte par pays : quatre couleurs, dit-il, sont suffisantes de sortes que deux pays voisins n aient jamais la même couleur (problème posé en 85). 890 : P.J. Henwood signale une erreur dans la preuve de Kampe, et établit que cinq couleurs suffisent. 976 : K.ppel et W.Haken résolvent le problème des quatre couleurs et au final leur preuve doit travailler sur plus d un milier de graphes, ce qui est résolu par ordinateur (le nombre chromatique vaut bien pour le plan ou la sphère, 7 pour le tore, 8 pour le double tore, etc.). 5. algorithme Glouton (pour colorer un graphe) Il est toujours possible de colorer un graphe d ordre n en utilisant n couleurs distinctes. L algorithme glouton permet de colorer un graphe en réduisant le nombre de couleurs nécéssaires. Idée : on passe en revue successivement chacun des sommets et, à chaque étape, on utilise, lorsque c est possible, une couleur déjà utilisée. xemple : passons en revue les sommets rangés (par ordre alphabétique, ou mieux, par ordre décroissant de leurs degré).. sommet (de degré ) couleur noté. sommet B (de degré ) couleur (B non adjacent à, on réutilise donc cette couleur). sommet C (par exemple) couleur (car adjacent à B. sommet D couleur (car adjacent à C() et () ), etc. On obtient alors la coloration suivante : C() D() H() B() () () G() F() On voit tout de suite la limite de cet algorithme : il est évident ici que deux couleurs suffisent : C D H B G F 5. Démonstrations et sources -Transmath programme 00 Term S p.5 pour les preuves -p.60 et p.5 du Dictionnaire des mathématiques pour plus de précision sur le nombre chromatique (formule générale) 6