STMG - Maths - Correction du bac blanc 2016

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1 STMG - Maths - Correction du bac blanc février 2016 EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,75 une réponse fausse ou l absence de réponse n enlève pas de point. Les deux parties sont indépendantes. Partie A La courbe C ci-dessous est la représentation d une fonction f définie sur l intervalle [0 ; 36] B T B T D T A A D A est le point de la courbe C d abscisse 5, B celui d abscisse 12 et D celui d abscisse 33,5. T A est la tangente à la courbe C au point A, T B celle au point B et T D celle au point D. 1. L image de 12 par la fonction f est environ a. 0 b. 760 c d STMG - correction du bac blanc - Page 1/ 11

2 2. f (5) est environ égal à a. 30 b. 125 c. 125 d. 1,25 3. L une des quatre courbes suivantes représente la fonction dérivée de f. Laquelle? a. Courbe 1 b. Courbe c. Courbe 3 d. Courbe r Partie B Soit g la fonction définie sur [0 ; 36] par : g (x)=0,2x 3 14,4x ,2x+ 295,2. 1. La fonction dérivée g de g sur [0 ; 36] est définie par : a. g (x)=0,5x 2 28,8x+ 259,2 b. g (x)=0,6x 2 28,8x+ 259,2 c. g (x)=0,6x 2 28,8x+ 554,4 d. g (x)=0,2x 2 144x+ 554,4 2. Le maximum de g sur [0 ; 36] est : a. 295,2 b ,6 c. 12 d. 36 STMG - correction du bac blanc - Page 2/ 11

3 EXERCICE 2 5 points Une entreprise fabrique un modèle de meuble en bois. Elle peut produire au maximum 100 meubles par jour. Pour x meubles fabriqués et vendus, le coût de production journalier (exprimé en euros), noté C (x), est donné par : C (x)=2,25x 2 6x+ 20 Chaque meuble est vendu 299. L entreprise est ouverte cinq jours par semaine. Le chef d entreprise a réalisé la feuille de calcul suivante : A B C D 1 x Recette Coût Bénéfice a. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B2, permet d obtenir par recopie vers le bas, la recette en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour. La formule à saisir en B2 est : =299*A2. b. Donner une formule qui, saisie dans la cellule C2, permet d obtenir, par recopie vers le bas, le coût en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour. La formule à saisir en C2 est : =2,25*A2ˆ2-6*A2+20. c. Calculer les valeurs associées aux cellules B7, C7 et D7. On trouve B7= = , C 7=2, = et D7= = Montrer que le bénéfice journalier correspondant à la production et la vente de x meubles (x [0 ; 100]) est donné par B(x)= 2,25x x 20. Le bénéfice est égal à la recette (299x) moins le coût C (x). Ce qui donne : B(x)=299x (2,25x 2 6x+ 20)= 2,25x x 20. STMG - correction du bac blanc - Page 3/ 11

4 3. Calculer B (x) et donner le tableau de variations de B sur [0 ; 100]. B est dérivable sur [0 ; 100] comme polynôme : B (x)= 2,25 2x B (x)= 4,5x On étudie le signe : 4,5x+ 305> 0 305>4,5x 305 4,5 > x > x x B (x) + 0 B 4. Combien de meubles faut-il produire et vendre pour réaliser un bénéfice journalier maximal? D après le tableau il faut produire environ meubles pour réaliser un bénéfice journalier 9 maximal. Déterminer le bénéfice maximal que peut réaliser l entreprise sur une période de quatre semaines. Le bénéfice maximal sur quatre semaines, correspond au bénéfice sur 20 jours à vendre 68 meubles par jour : 20 B(68) = euros. STMG - correction du bac blanc - Page 4/ 11

5 EXERCICE 3 4 points Tous les ans, en août, Maïlys reçoit l échéancier (document indiquant le montant de sa cotisation annuelle) de sa mutuelle «complémentaire santé». Elle décide d étudier l évolution de sa cotisation de 2011 à Elle note dans une feuille automatisée de calcul le montant en euros de ses cotisations annuelles de 2011 à La ligne 4 est au format pourcentage à une décimale. A B C D E F G 1 2 Année Cotisation (en euros) Taux d évolution annuel (en %) 9,8 9, Calculer le taux d évolution global de sa cotisation entre 2011 et 2014, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1 %.. Le taux d évolution global de sa cotisation entre 2011 et 2014 est : ,6%. 2. Quelle formule Maïlys a-t-elle pu saisir dans la cellule C4 pour y obtenir le taux annuel d évolution de 2011 à 2012, puis par recopie vers la droite jusqu à la cellule E4, les taux d évolution annuels successifs jusqu en 2014? Maïlys a du saisir =(C3-B3)/B3. 3. Montrer que le taux d évolution moyen annuel de la cotisation de 2011 à 2014, arrondi à 0,1 %, est de 10,7 %. Le taux global de 2011 à 2014 est Le coefficient multiplicateur global est donc Le coefficient multiplicateur moyen annuel est alors ( ) 1/3. Le taux d évolution moyen annuel de la cotisation de 2011 à 2014 est ainsi : ( ) 1/3 1 10,7% 4. On fait l hypothèse que la cotisation annuelle augmentera chaque année de 10,7 % à partir de a. Estimer le montant, arrondi à l euro, de la cotisation annuelle prévue pour La cotisation annuelle prévue pour 2015 est alors environ , euros. b. Déterminer en quelle année la cotisation annuelle aura doublé par rapport à celle de Justifier la réponse. Pour doubler par rapport à 2011 il faut que la cotisation annuelle dépasse 868 2=1736 euros. On calcule : Pour 2016 : , euros. Pour 2017 : , euros. STMG - correction du bac blanc - Page 5/ 11

6 Pour 2018 : , euros. La cotisation annuelle aura doublé en STMG - correction du bac blanc - Page 6/ 11

7 EXERCICE 4 :RÉSERVÉ AUX ÉLÈVES DE TSMTG1 ET TSTMG2 UNIQUEMENT Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. 6 points D après l INSEE, l espérance de vie à la naissance est passée pour les hommes de 59,9 ans en 1946 à 78,5 ans en Pour les femmes, elle est passée de 65,2 ans à 84,9 ans durant la même période. Première partie On se propose ici de modéliser l évolution de l espérance de vie pour les hommes par la suite arithmétique (U n ) de premier terme U 0 = 59,9 et de raison r = 0, Calculer U 1,U 2 et U 3 qui correspondent aux années 1947, 1948 et On calcule : U 1 = U 0 + 0,25= 60,15, U 2 = U 1 + 0,25= 60,4 et U 3 = U 2 + 0,25= 60,65 2. Donner U n en fonction de n. Par théorème : U n = U 0 + r n= 59,9+0,25n 3. Déterminer U 66. On calcule : U 66 = 59,9+0,25 66= 76,4 4. Entre 1946 et 2012 les hommes ont-ils gagné, en réalité, plus de 3 mois d espérance de vie chaque année en moyenne? En réalité l espérance de vie des hommes est passée de 59,9 à 78,5, elle a donc augmenté de 78,5 59,9= 18,6 sur = 66 ans. En moyenne ils ont donc gagné 18,6 66 0,2818 années d espérance de vie par an. 3 mois représentant 0,25 années, ils ont gagné plus de 3 mois d espérance de vie chaque année en moyenne. Deuxième partie 1. Déterminer, à 10 2 près, le taux d évolution global de l espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à Le taux d évolution global de l espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012 est 78,5 59,9 31,05% 59,9 2. Des hommes ou des femmes, qui a le taux d évolution global le plus élevé durant cette période? Pour les femmes le même taux est 84,9 65,2 65,2 30, 2% : ce sont donc les hommes qui ont le taux d évolution global le plus élevé durant cette période. 3. Calculer pour les hommes le taux annuel moyen, pour cette période, exprimé en pourcentage à 10 2 près. Le coefficient multiplicateur global est 1+ 78,5 59,9 59,9. Le coefficient multiplicateur moyen est donc (1+ 78,5 59,9 59,9 ) 1/66. Le taux annuel moyen est donc (1+ 78,5 59,9 59,9 ) 1/66 1 0,41% Troisième partie Soit l algorithme suivant : STMG - correction du bac blanc - Page 7/ 11

8 1. Que calcule cet algorithme? VARIABLES n EST DU TYPE NOMBRE A EST DU TYPE NOMBRE B EST DU TYPE NOMBRE T EST DU TYPE NOMBRE DÉBUT ALGORITHME AFFICHER «Entrez la valeur initiale». ENTRER A AFFICHER «Entrer le nombre d années» ENTRER n AFFICHER «Entrez la valeur finale» ENTRER B T PREND LA VALEUR (B A)/A T PREND LA VALEUR (1+T ) 1 n T PREND LA VALEUR (T 1) 100 AFFICHER T FIN ALGORITHME Cet algorithme calcule le taux annuel moyen correspondant à une évolution sur n années, à partir de la valeur initiale, de la valeur finale et de ce nombre d années. 2. Si on choisit : A= 65,2; B = 84,9; n= 66, quel sera le résultat affiché à 10 2 près? Le résultat affiché est 0,40 environ. STMG - correction du bac blanc - Page 8/ 11

9 EXERCICE 4 : RÉSERVÉ AUX ÉLÈVES DE TSMTG3 UNIQUEMENT 6 points Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A Un restaurateur ne sert au déjeuner que des plats du jour. Il cherche à estimer l effet du prix de ce plat sur le nombre de ses clients à partir du tableau suivant : Prix du plat du jour en euros x Nombre de clients y Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement du nombre de clients y en fonction du prix x obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur exacte des coefficients. L équation de la droite d ajustement du nombre de clients y en fonction du prix x obtenue par la méthode des moindres carrés donnée par la calculatrice est y = 8, 05x + 145, Dans la suite du problème, on décide de modéliser le nombre y de clients en fonction du prix x par l expression y = 8x a. D après ce modèle, calculer le nombre de clients si le restaurateur fixe le prix du plat du jour à 12. D après ce modèle si le prix x du plat est à 12. le nombre y de clients est y = 8x+ 16= 50. b. D après ce modèle, à combien le restaurateur doit-il fixer le prix du plat du jour pour espérer attirer 100 clients? Pour espérer attirer y = 100 clients on cherche : 100= 8x = 8x 46 8 = x 5,75= x Le prix à fixer est donc 5,75 euros. Partie B On s intéresse à l évolution du nombre de licences sportives en France. Le tableau ci-dessous indique le nombre de licences sportives, toutes pratiques confondues, entre 2004 et Année Rang de l année x i Nombre de licences sportives (en millions) y i 15,23 15,78 15,91 16,25 16,78 17,27 17,42 Source : mission des études, de l observation et des statistiques (Meos) Le nuage de points de coordonnées ( x i ; y i ) pour i variant de 0 à 6 est représenté en annexe. STMG - correction du bac blanc - Page 9/ 11

10 1. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième). L équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés donnée par la calculatrice est y = 0, 372x + 15, On décide d ajuster le nuage avec la droite D d équation y = 0,37x+ 15,26. a. Tracer la droite D sur le graphique de l annexe à rendre avec la copie. Voir annexe. b. Calculer le nombre de licences sportives prévu par ce modèle d ajustement en Le nombre de licences sportives en 2013 correspond au rang x= 9, il serait donc suivant ce modèle égal à y = 0, ,26 18,59. c. Selon ce modèle, en quelle année le nombre de licences sportives sera-t-il pour la première fois supérieur à 20 millions? ON cherche quand le nombre y de licences va dépasser 20 : y > 20 0,37 x+ 15,26> 20 0,37 x> 20 15,26 x> 4,74 0,37 Ce qui donne x supérieur à environ 12,81. On dépassera donc les 20 millions de licences en STMG - correction du bac blanc - Page 10/ 11

11 Ý Ý Ý Ý Ý Annexe de l exercice 4 pour les TSTMG3 à rendre avec la copie Nombre de licences sportives en millions 18,6 18,4 18,2 18,0 17,8 17,6 17,4 17,2 Ý Ý 17,0 16,8 16,6 16,4 16,2 16,0 15,8 15,6 15,4 15, Rang de l année STMG - correction du bac blanc - Page 11/ 11