Mécanique du point matériel TRAVAUX DIRIGES Année

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1 Département STPI 1 ère année 1 er semestre UF Physique (I1ANPH21) Mécanique du point matériel TRAVAUX DIRIGES Année Plus d exercices? Pourquoi ne pas consulter des livres spécialisés à la Bib INSA. Mécanique 1 aux éditions DUNOD de J-P. Faroux et J. Renault Mécanique du point aux éditions DUNOD d A. Gibaud et M. Henry Mécanique fondements et applications aux éditions MASSON de J-P. Pérez

2 Exercice 1 : Analyse vectorielle On considère un espace à trois dimensions muni d'un repère d'observation cartésien R(0, e x, e y, e z, t). Le vecteur e r est unitaire et sa direction est définie par les angles θ et φ (voir schéma). Le vecteur r est colinéaire à e r. Le vecteur r = r e r est la projection de r dans le plan (0,x,y). 1) Exprimez le vecteur r selon les vecteurs de base e z et e r en fonction de r et θ. 2) Exprimez le vecteur r selon les vecteurs de base e x, e y, e z en fonction de r, θ et φ. 3) Calculez le produit scalaire e x. e r en utilisant une méthode géométrique. Retrouver ce résultat en utilisant les composantes des deux vecteurs impliqués. 4) On donne θ = π et φ = π Quel est 4 3 l'angle γ, en degrés, entre les vecteurs e x et e r? 5) Calculez les produits vectoriels suivants : e x e z ; e z e x ; e y e x ; e x r et r r 5) Nous considérons que l'angle φ est désormais fonction du temps avec φ = 2. t + 1. L'angle θ et la quantité r restent constantes. Calculez l'expression de r de manière analytique, c'est à dire en explicitant les coordonnées des vecteurs dans la base cartésienne. 6) Nous allons retrouver le résultat précédent de manière géométrique. A partir de la norme unitaire de e r, que peut-on dire déduire sur de r et e r? En déduire géométriquement l expression de de r. 7) Soit le vecteur ω = dφ e z. Calculez le produit vectoriel ω e r. Commentaires? 8) Calculez l'expression dr avec la méthode de votre choix 9) Soit le vecteur v = 3. f(t). e x + 5. g(t). t. e y k f(t). e z. Calculer la forme différentielle de v (c'est à dire dv ainsi que sa dérivée par rapport au temps dv, avec f(t) = 3. t et g(t) = 2. t et k = -2 ). 2

3 Exercice 2 : Le mouvement circulaire, repère cylindrique et repère de Frenet Nous nous intéressons au mouvement circulaire d un point M dans le référentiel R repéré par le repère d observation (O, e x, e y ). La position du point M est repérée sur son orbite grâce à l'angle θ(t) entre l'axe [Ox) et le vecteur OM (voir schéma). Le rayon du cercle est r. 1) Etablir l'expression du vecteur position OM dans la base e x, e y en fonction de r et θ(t) puis dans la base e ρ, e θ. de r, θ(t), dθ(t) et d2 θ(t) 2. Idem dans la base e ρ, e θ. 4) Déterminer la norme du vecteur vitesse en fonction de r et θ(t). 2) Nous étudions le mouvement dans R. Dériver le vecteur position OM par rapport au temps et établir l'expression du vecteur vitesse v M/R dans la base e x, e y, en fonction de r et θ(t) et dθ(t). Faite de même dans la base e ρ, e θ. 3) Etablir l'expression formelle du vecteur accélération a M/R dans la base e x, e y en fonction 5) Exprimer les vecteurs du repère de Frenet e T et e N en fonction de e ρ, e θ. 6) Déterminer les composantes de l accélération dans le repère de Frenet. Exercice 3 : La spirale Un point M décrit dans le plan (O,x,y) une spirale d'équations paramétriques : x = b. θ. cos(θ) et y = b. θ. sin(θ) avec b = Cste; θ = (O x, OM) et ω = dθ = Cste A l'origine du temps t = 0, nous avons θ = 0. Le repère (O, e x, e y ) constitue un repère d observation pour le référentiel R dans lequel est étudié le mouvement. On le note R(O, e x, e y ). 1) Déterminer l'expression formelle de (i) le vecteur position OM, (ii) le vecteur vitesse v M/R et (iii) le vecteur accélération a M/R dans le repère d espace polaire (O, e ρ, e θ ). 2) Calculer l'expression formelle du module du vecteur vitesse. 3

4 3) Montrer que les vecteurs unitaires parallèle e T et normal e N à la trajectoire sont donnés par 1 ωt ωt e T = e 1+(ωt) 2 ρ + e 1+(ωt) 2 θ et e N = e 1+(ωt) 2 ρ + e 1+(ωt) 2 θ 4) Calculer l'expression formelle du vecteur accélération a M/R dans le repère de Frenet e T, e N (c.a.d. trouver et a T et a N sachant que a = a T e T +a N e N ) 1 5) Trouver une méthode alternative pour déterminer a T et a N sans connaître au préalable les expressions de e T et e N? 6) Etablir, en utilisant deux méthodes différentes, l'expression du rayon de courbure R de la trajectoire à n'importe quel temps t. Exercice 4 : Le skieur de vitesse. Un skieur de masse m descend en ligne droite une piste de vitesse d inclinaison θ. Lors de sa descente il subit les frottements de la piste qu on négligera dans un premier temps et les frottements de l air caractérisés par le coefficient α. On assimile le skieur à une masse ponctuelle M. Le mouvement est étudié dans le Référentiel galiléen R de repère d observation (O, e x, e y ). A l instant t = 0 le skieur à une vitesse nulle et se trouve en (0, 0). 1) Déterminer dans le repère (O, e x, e y ) les expressions de la vitesse v M/R et de l accélération a M/R du skieur. 2) Faites le bilan des forces subies par le skieur dans le référentiel R et donner leurs expressions dans le repère (O, e x, e y ). 3) Quelle(s) force(s) exerce(nt) le skieur sur la piste? 4) En appliquant le PFD, déterminer les composantes de la vitesse du skieur en fonction du temps. Quelle autre informations tirez-vous du PFD? 5) Déterminer ses coordonnées x(t) et y(t). 6) Sur quels paramètres peut-on jouer pour augmenter la vitesse du skieur? 7) Que se passerait-il si les frottements étaient nul? 4

5 Rq : Le record du monde de vitesse de 252 km.h -1 est détenu par l Italien Simone Origone. Il a atteint cette vitesse sur une piste de 1km avec une pente moyenne de 52%. Exercice 5 : Le spectromètre de masse : mouvement d une particule chargée dans un champ électrique et dans un champ magnétique. On considère une particule de charge q = C et de masse m= kg se déplaçant dans un référentiel galiléen R(O, e x, e y, e z ). Nous allons étudier à tour de rôle l effet d un champ électrique E et l effet d un champ magnétique B sur la particule. Nous rappelons que la force de Lorentz s écrit F = q(e + v B ). On négligera le poids dans la suite de l exercice. 1 : Effet du champ électrique La particule M est située à l instant t = 0 en (0, y 0, 0). Sa vitesse initiale est nulle. Un champ électrique uniforme E = E 0 e x est appliqué dans la région x = 0, x = 50cm. 1) Appliquer le PFD dans le référentiel R pour déterminer les composantes de la vitesse de la particule. 2) Déterminer la position de la particule au cours du temps. 3) Calculer le travail effectué par le champ électrique entre x = 0 et 50cm. 4) Grâce au théorème de l énergie cinétique, déterminer la vitesse acquise par la particule en sortie de la zone où règne le champ électrique. 5) Quel est le bilan des forces dans la zone où x > 50cm. Comment évolue la vitesse de la particule dans la zone où x > 50cm? 2 : Effet du champ magnétique La particule M est située à l instant t = 0 en (0, y 0, 0). Sa vitesse initiale est v = v 0 e x. Un champ magnétique uniforme B = B 0 e z règne dans tout l espace. 1) Exprimer les composantes F x, F y, F z de la force subie par la particule à un instant t quelconque en fonction de E, B, q et des composantes de la vitesse v x et v y. 5

6 2) Montrer que le mouvement de la particule est inscrit dans le plan (x0y). 3) Grâce au PFD, déterminer les équations différentielles régissant l évolution temporelle des composantes de la vitesse. 4) On pose ω c = qb. Déterminer la dépendance temporelle des composantes de la vitesse puis m déterminer les équations horaires x(t) et y(t) de la particule. 5) Calculer la norme de la vitesse de la particule. Comment évolue-t-elle dans le temps? 6) Redémontrer le résultat précédent grâce au théorème de l énergie cinétique. 7) Quelle est la nature de la trajectoire? Utiliser l expression de l accélération dans le repère de Frenet pour retrouver la nature de la trajectoire. 3 : Spectrométrie La particule M est située à l instant t = 0 en (0, y 0, 0) avec y 0 = 5cm. Sa vitesse initiale est nulle. Un champ électrique uniforme E = E 0 e x (E 0 = V. m 1 ) est appliqué dans la région x = 0, x = 50cm. Puis un champ magnétique B = B 0 e z (B 0 = 10mT) règne à partir de x = 100cm. 1) Tracer qualitativement la trajectoire de la particule en vous aidant des parties 1 et 2. 2) En quoi peut-on dire que ce système constitue un spectromètre de masse (système capable de séparer les composants selon leur masse). Exercice 6 : Le pendule Un point matériel M est suspendu à un fil de longueur l sans masse. La position de M est définie par l'angle θ. u est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan du mouvement (voir figure). On écarte M de sa position d'équilibre d'un angle θ 0 puis on le lâche sans vitesse initiale. L'origine du temps est prise à cet instant. Le mouvement est étudié dans le référentiel galiléen R(O, e x, e y ). 1) Etablir l expression de OM, v M/R et a M/R dans le repère d espace (O, e ρ, e θ ). 2) Faire le bilan des forces subies par le point 6

7 matériel M dans le référentiel R et donner leurs expressions dans le repère d espace (O, e ρ, e θ ). 3) Etablir l'équation différentielle du mouvement en utilisant le théorème du moment cinétique. 4) Résoudre cette équation dans le cas des petites oscillations. 5) Utiliser le théorème de l énergie cinétique pour déterminer la vitesse en fonction de θ sans faire d hypothèse sur l amplitude des oscillations. Exercice 7 : Le skate-boarder Un skate-boarder souhaite réaliser une performance exceptionnelle : il envisage de s'élancer sans vitesse initiale depuis le haut d'une rampe à l'altitude h, de se laisser glisser, puis de terminer sa course par une grande boucle (un looping) de rayon fixe. Plus l'altitude h est petite, plus la performance sera remarquable! Cependant le skate-boarder n'est pas fou : il souhaite calculer au préalable l'altitude h minimum pour être certain de ne pas "décrocher" une fois dans le looping... Dans un premier temps, nous allons nous intéresser au mouvement du skate-boarder, assimilé un point matériel M de masse m évoluant à l'intérieur d'un cercle de rayon. Le mouvement se fait sans frottement. Le référentiel d'étude, dans lequel la rampe et le looping sont fixes, est supposé galiléen et sera noté R. 1) Etablir l'expression de l'accélération, exprimer la selon les vecteurs de base e ρ, e θ. 2) Montrer que le module de l'accélération tangentielle a θ peut se mettre sous la forme a θ = v d v ρ dθ 3) Lister et étudier le(s) force(s) appliqué(es) sur le skate-boarder. 4) Ecrire l'équation fondamentale de la dynamique. Que devient cette équation en la projetant sur les vecteurs de base e ρ, e θ? 7

8 5) Déterminer la vitesse v en un point quelconque de la trajectoire si v 0 est la vitesse en bas de la trajectoire 6) Quelle est la réaction normale de N la sphère sur le skate-boarder? 7) Finalement... quelle est l'altitude minimum h à partir de laquelle le skate-boarder peut s'élancer sur la rampe sans vitesse initiale, pour que ce dernier adhère à la sphère tout au long de sa trajectoire? Exercice 8 : Le Toboggan Les équations en coordonnées polaires d'une trajectoire hélicoïdale d'axe vertical [Oz) sont : ρ = a et z = hθ Un enfant s'élance sans vitesse initiale d'une altitude H = 2πh et glisse le long d'un toboggan hélicoïdal. Nous assimilons cet enfant à une particule matérielle mobile glissant sans frottement le long de l'hélicoïde. Le référentiel R(O, e x, e y, e z ) est galiléen. 1) Faite le bilan des forces appliquées au point matérielle M. Détailler leurs expressions dans la base e ρ, e θ, e z. 2) Grâce au théorème de l'énergie cinétique, donnez l'équation horaire de la variable θ. 3) Calculez le temps que met l'enfant pour atteindre le plan horizontal de base (z = 0). Exercice 9 : Vitesse de libération L'accélération de la pesanteur varie en fonction de l'altitude par rapport à la surface de la terre GM Terre suivant la loi : g = e (R Terre +r) 2 r où G est la constante universelle de gravitation, M Terre et R terre sont respectivement la masse et le rayon de la Terre. On appelle «vitesse de libération» v lib (r) à l'altitude r la vitesse minimale que doit avoir une particule pour échapper à l'attraction terrestre (et donc s'éloigner jusqu'à l'infini). On donne : G = m 3 kg 1 s 2, M Terre = kg, M une = kg, R Terre = 6400km et R Terre = 1700km. 1) Montrer que la force de gravitation dérive d'une énergie potentielle U que l'on calculera (on prendra U = 0 à l'infini). 2) En déduire le travail minimal qu'il faut fournir pour élever une masse m à l'altitude r'. 8

9 3) Etablir l'expression de v lib (r), quelle est sa valeur numérique au sol et à une altitude h de 300 km? 4) Quelle est la vitesse de libération à la surface de la Lune? Exercice 10 : Gyromètre Un anneau de masse m est enfiché dans une tige en rotation constante autour de l axe z et de vitesse angulaire constante ω. L anneau est maintenu par un ressort de constante de raideur k. La longueur au repos du ressort est ρ 0. Nous allons étudier le mouvement de l anneau assimilé à une masse ponctuelle dans le référentiel R non galiléen tournant à la vitesse ω autour de l axe z. L anneau est soumis à des frottements le long de la tige caractérisés par la force f = αv M/R. L axe z représente la verticale. 1) Déterminer la position OM, v M/R et a M/R dans la base e ρ, e θ. 2) Faire le bilan des forces subies par l anneau dans le référentiel R et donner leurs expressions dans la base e ρ, e θ. 3) Utiliser le PFD pour déterminer l équation différentielle régissant la position de l anneau sur la tige. 4) Trouver ρ(t) dans le cas où α m = 2 ( k m ω2 ) 5) Comment peut-on se servir de ce système pour mesurer une vitesse de rotation? 6) Déterminer le travail effectué par le ressort ainsi que le travail effectué par les forces d inertie entre la position initiale et une position ρ que vous choisirez de telle manière que vous puissiez calculer toute l énergie dissipée par les frottements grâce au théorème de l énergie cinétique (posez-vous la question : quand est ce que les frottements ont lieu?). 9

10 Exercice 11 : Force de Coriolis Un tireur d élite positionné au pôle nord s entraine en tirant sur une cible de 5cm à une distance de 750m. Il tire en direction de l ouest. On s intéresse à la trajectoire du projectile de masse m considéré comme une masse ponctuelle M. A l instant initial le projectile est en (0,0,z 0 ) et sa vitesse initiale est v M/R (0) = v 0 e y. On négligera les frottements. La vitesse d un projectile en sortie du canon est de l ordre de 900m.s -1. On fera l analyse du mouvement dans le référentiel Terrestre R (0, e x, e y, e z ) non galiléen en rotation dans le référentiel R(0, e x, e y, e z ), Galiléen. On note que e z = e z. La vitesse angulaire de rotation de la Terre est notée ω R /R. On prendra g = 9,8m.s -2 et z 0 = 3,4m. 1) Donner l expression de v M/R et a M/R après la sortie du canon dans le repère e x, e y, e z. 2) Faite le bilan des forces subies par le projectile après sa sortie du canon dans le référentiel R (0, e x, e y, e z ). Donner leurs expressions dans le repère e x, e y, e z. 3) Déterminer les équations différentielles régissant v M/R en appliquant le PFD dans le référentiel R. 2 4) On suppose que les termes en ω R /R x(t), y(t) et z(t). sont négligeables. Déterminer l équation v M/R (t) puis 5) On rappelle que sin(θ) θ et cos(θ) 1 θ2 lorsque θ est petit. Le tireur vise le centre de la cible situé à 750m. Est-ce qu il atteint sa cible? 6) Préciser la validité de l approximation faite au 4. Pour cela on s intéressera aux projections des forces sur l axe x. 2 10