Fractions, décimaux et proportionnalité

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1 Le statut de nombre des rationnels et décimaux Fractions, décimaux et proportionnalité Analyses didactiques des difficultés d apprentissage et d enseignement Les Grecs distinguaient Arithmétique et Géométrie L une pour ce qui est quantifiable en nombres (entiers) et l autre qui traite des rapports. Les mathématiciens arabes ont produit des avancées Au Xe siècle, les fractions décimales et les écritures sans dénominateur apparaissent. Au XIe siècle les rapports acquièrent le statut de nombres. Au XVIe siècle une théorie des fractions décimales et du calcul est rédigée. Mais elles ont tardé à gagner l occident Au XVIe siècle, Viète promeut l usage des fractions décimales plutôt que sexagésimales et Stevin publie «La Disme» théorie des fractions décimales et du calcul. La Révolution française de 1789 introduit le système métrique qui devient obligatoire en France en L unité du domaine numérique date du XIXe siècle La manière de considérer les nombres influe sur leur utilisation pour résoudre des problèmes numériques, notamment sur les opérations effectuées. 1 2 I. Conceptions des fractions et des décimaux 1. Conceptions des fractions, erreurs associées M.-J. Perrin (1984) a mené une recherche fondée pour une part sur des entretiens : les élèves du CM2 à la 4e devaient dire ce qu ils diraient et dessiner ce qu ils dessineraient à un camarade de CE2 pour expliquer 1/3, 3/4 et 2,3. La galette et la baguette La référence majoritaire et presque unique des rationnels est la «galette», la deuxième étant la «baguette» qui sont respectivement associées à des activités de partage ou de graduation. Le «partage équitable» n est pas toujours respecté Exemples de dessins pour 1/3 : I. Conceptions des fractions et des décimaux 1. Conceptions des fractions, erreurs associées Partie/tout ou partie/partie complémentaire Cette représentation montre une autre source de confusion entre 1/3 et 1/4. L élève a colorié une part sur quatre, mais il a aussi colorié une part et en a laissé trois blanches. Il confond une part coloriée pour trois blanches et une part coloriée pour trois parts. La conception «juxtaposition de deux entiers» Des réponses comme celle proposée ci-dessous témoignent d une telle conception. 3 4

2 I. Conceptions des fractions et des décimaux 2. Des liens fragiles entre fractions et décimaux Voici deux questions posées en fin de 6e (EVAPM) puis une troisième posée en début de 6e (MEN). Écris sous forme d une fraction les nombres : 0,1 = 0,6 = 3,7 = 0,03 = R = 43% et 60% des élèves font une faute au plus Donne l écriture décimale des fractions : 2/5 =... et 7/4 =... La réussite conjointe n est que de 15% malgré la simplicité des divisions à effectuer On retrouve parmi les erreurs celles qui ont été mentionnées par MJ Perrin : 2/5 = 2,5 ou 0,03 =0/03. I. Conceptions des fractions et des décimaux 2. Des liens fragiles entre fractions et décimaux Sur la graduation, à quels nombres correspondent les flèches? Ecris tes réponses à côté des flèches. 0 Résultats : Abstention : 11,5%. La valeur 0,8 est donnée dans 75% des réponses La valeur 1,6 est donnée pour 64% des réponses ,4 5 6 I. Conceptions des fractions et des décimaux 3. Conséquences sur la comparaison Exemples issus d évaluations à l entrée en 6e (MEN) 1) Réécris les quatre nombres, du plus petit au plus grand 19,9 19,19 1,991 9,191 Le pourcentage de réussite est 55,3% 24,4% des élèves répondent: 1,991 ; 9,191 ; 19,9 ; 19,19 2)Écrisunnombrecomprisentre: a) et b) 8,27 et 8,3 c) 82 et 83 70% de réussite conjointe pour les deux premières questions 75% de réussite pour la troisième 2% des élèves qui répondent 82 ou 83 ou 82,0 ou 83,0 I. Conceptions des fractions et des décimaux 3. Conséquences sur la comparaison Des règles implicites pour comparer les décimaux 1) Recopie le plus grand des deux nombres : a) 4,8 et 4,45 b) 7,615 et 7,24 c) 4,06 et 4,315 2) Écris, si possible, un nombre compris entre : a) 21,45 et 21,5 b) 6,34 et 6,2 c) 3 et 3,1 Réponses de trois élèves 1) Aline Bachir Cynthia a) 4,45 4,8 4,8 b) 7,615 7,24 7,24 c) 4,315 4,06 4,315 2) Aline Bachir Cynthia a) 21,6 21,46 21,46 b) 6,3 6,35 6,35 c) Impossible 3,10 3,01 7 8

3 I. Conceptions des fractions et des décimaux 4. Conséquences sur le calcul Les additions et les soustraction 7,24-4,3 = 50% de réussite et 8% des élèves répondent 3,21 8,73-5 = 67% de réussite et 16% des élèves répondent 8,23 ou 8,68 Les multiplications et divisions par 10, 100, etc. 35,2 x 100 Réussite 59,5% 9,7% répondent 3500,2 ou 35,200 15,7% répondent ,45 10 Réussite 63,8% 0, Réussite 30,5% I. Conceptions des fractions et des décimaux 4. Conséquences sur le calcul Multiplications de deux décimaux 11,4 x 5,3 Réussite 58%. Chiffres exacts mais faute de virgule : 21,1% 7,46 x 3,1 Réussite 52%. Chiffres exacts mais faute de virgule : 20,1% Nature des erreurs «Oubli» de la virgule Sens du comptage, confusion avant/après la virgule Alignement des virgules Et cela ne date pas des calculatrices en classe! Questions posées en CM2, 6e, 5e et 4e (publication 1978) 543 x 0,12 Réussite 64% 17,9 x 32 Réussite 61% 37,35 x 2,34 Réussite 43% 86,34 x 340 Réussite 35% Différentes situations pour enseigner les fractions a) Des situations de partage Fractionnement de l unité L écriture 1/n désigne l aire d une part lorsqu il en faut n pour paver la feuille 1. Différentes situations pour enseigner les fractions a) Des situations de partage Fractionnement de plusieurs unités Le fractionnement par pliage peut être effectué sur une feuille qui représente plusieurs unités d aire. et p/n désigne l aire de la part obtenue par juxtaposition de p parts d aire 1/n. Ainsi 1/n est la valeur de la sous-unité (n est le dénominateur) et p est le nombre de ces sous-unités (p est le numérateur). 3/4 = 3 x 1/4 1/4 de 3 unités En multipliant par le même nombre k le numérateur et le dénominateur d une fraction, on obtient k fois plus de parts qui sont chacune k fois plus petite : la quantité désignée n est pas changée. 11 Cette activité permet de donne un autre sens à la fraction p/n : l aire obtenue par le fractionnement d une surface qui mesure p unités en n parts de même mesure. 12

4 1. Différentes situations pour enseigner les fractions a) Des situations de partage Fractionnement de plusieurs unités Par superposition, on retrouve l égalité entre trois quarts de l unité et le quart de trois unités : 1. Différentes situations pour enseigner les fractions a) Des situations de partage Bilan des deux types de fractionnement Les situations de partage tissent le lien entre la division et le fractionnement : 3/4 = 3 x 1/4 et 3/4 = 1/4 de 3 Le fractionnement de plusieurs unités permet de retrouver aussi que 3/4 est la solution de l équation 4 x X = 3 En effet, 3/4 est le quart de trois unités, on obtient trois unités en prenant quatre fois 3/4. 3/4 est solution de l équation : 4 x X = 3 or 4xX=3 s écrit X=3 4 on obtient donc 3/4 = 3 4. Finalement : 3/4 = 3 x 1/4 = 3 4. Et on prolonge à 1/4 x Différentes situations pour enseigner les fractions b) Des situations de comparaison Comparer la partie et le tout en explicitant leur valeur Le budget du ministère de l Éducation nationale (France) est évalué à 77 milliards d'euros pour 2007 sur un budget total de 275 milliards d euros. Il est de 60,8 milliards en 2010 sur un budget total de 290 milliards. Comparer la partie et le tout sans expliciter leur valeur Environ 28% du budget de l'état a été consacré en 2007 au ministère de l Éducation nationale. En 2010 il est de 21%. Il a donc diminué de 7 points en trois ans, ou de 25%! Comparer les parties entre elles sans expliciter leur valeur Ratio hommes/femmes dans le recrutement des enseignants chercheurs (MC et PU) en 2007 : 1329 MC femmes et 1995 MC hommes soit 3 hommes pour 2 femmes ou taux de masculinité = 1,5 312 PU femmes et 877 PU hommes soit 14 hommes pour 5 femmes ou taux de masculinité = 2,8 1. Différentes situations pour enseigner les fractions c) Des situations d opération Les fractions peuvent encore être considérés comme des opérateurs appliqués à des grandeurs. Exemple Situation proposée par Guy Brousseau pour que les élèves apprennent que tout agrandissement ne se traduit pas par une addition. «Le segment qui mesure 4 cm sur le modèle doit mesurer 7 cm sur votre reproduction.»

5 a) Les décimaux pensés comme des nombres composés Extraits du programme du cours moyen de 1945 : «Les élèves ont presque tous entendu parler de prix exprimés en francs et centimes, de poids exprimés en kilogrammes et grammes ( ) Il importe de leur faire comprendre l équivalence des deux expressions d un nombre concret, soit avec deux unités, soit avec une virgule : 2 mètres et 15 centimètres = 2,15 m. (...) Il est bon que les chiffres décimaux, complétés au besoin par des zéros, correspondent à des unités pratiques. On est ainsi ramené à indiquer un nombre en francs avec deux décimales (c), un nombre en mètres avec deux ou trois décimales (cm ou mm)» a) Les décimaux pensés comme des nombres composés La présentation semble avantageuse En présentant les nombres décimaux comme composés de deux parties - l une entière et l autre décimale - et en associant ces parties à leur unité, on ramène les nombres décimaux à un couple de deux entiers. Mais certains effets sont négatifs 1.Partie décimale limitée à deux ou trois chiffres En enseignant les nombres décimaux comme des nombres composés, ils sont limités à la mesure de grandeurs et donc à leur usage social, ils sont aussi limités au rang des plus petites unités pratiquées couramment. 2. Ordre perturbé sur l ensemble des décimaux Les relations ressemblent plus aux relations sur l ensemble des entiers naturels qu à celles sur l ensemble des décimaux. 3. Calcul (mental) perturbé On rencontre fréquemment chez les élèves des égalités du type 2,3 x 2,3 = 4,9 ou 17,3 + 21,8 = 38, b) Les décimaux pensés indépendamment des fractions Conversion de mesure Durant la réforme de l enseignement des mathématique des années 1970, les nombres décimaux étaient introduits à partir des mesures et des conversions d unité. Certaines situations nécessitent d exprimer une grandeur avec une certaine unité mesure, voire de changer d unité. Un changement d unité s accompagne d un changement de nombre tel que le chiffre des unités du nombre correspond à l unité de mesure. b) Les décimaux pensés indépendamment des fractions Divisions successives de l unité de mesure On trouve aussi cette dernière présentation des décimaux dans nombreux manuels pour le CM1 et le CM2 ainsi que dans des brochures destinées aux enseignants. On doit mesurer un segment [AB], on dispose d une unité de longueur et d une graduation. La mesure de la longueur du segment [AB] est comprise entre les deux nombres entiers 6 et 7 ; ce qui n est pas très précis... Exemple : 25 cm = 0,25 m cm = 2,5 dm A B 19 20

6 b) Les décimaux pensés indépendamment des fractions Divisions successives de l unité de mesure Le professeur propose de mieux voir ce qui se passe entre 6 et 7 en agrandissant dix fois cet intervalle. On subdivise alors le segment compris entre 6 et 7 qui mesure une unité de longueur, en dix segments de longueur 1/10 On complète la graduation en marquant 6 + 1/10, 6 + 2/10, etc. On peut écrire 6 + 1/10 = 6,1 puis 6 + 2/10 = 6,2 etc. La mesure du segment [AB] est comprise entre 6,3 et 6,4. b) Les décimaux pensés indépendamment des fractions Divisions successives de l unité de mesure Le professeur propose de mieux voir ce qui se passe entre 6,3 et 6,4 en agrandissant dix fois cet intervalle. On subdivise alors le segment compris entre 6,3 et 6,4 qui mesure 1/10 unité de longueur, en dix segments de longueur 1/100. On complète la graduation par 6 + 3/10 + 1/100 etc. On peut écrire 6 + 3/10 + 1/100 = 6,31 etc. La mesure du segment [AB] est comprise entre 6,37 et 6, ,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7 6,3 6,31 6,32 6,33 6,34 6,35 6,36 6,37 6,38 6,39 6,4 B B Ce qui est plus précis mais Ce qui est plus précis mais b) Les décimaux pensés indépendamment des fractions Divisions successives de l unité de mesure Dans les manuels, le processus s arrête après trois ou quatre étapes : - soit parce que le point B est précisément situé sur une marque de graduation ; - soit parce que la précision de la mesure est jugée suffisante. b) Les décimaux pensés indépendamment des fractions Réflexions de Guy Brousseau (1988) Brousseau a beaucoup travaillé sur l enseignement et l apprentissage des nombres décimaux. Il remarque que de nombreuses difficultés que rencontrent les élèves sont liées à l enseignement lui-même qui ne prend pas suffisamment en charge l apprentissage des différences entre entiers et décimaux, voire entretient leur confusion. Sur le plan théorique, il se peut que ce processus de mesure ne s arrête jamais. Si le processus s arrête, la mesure du segment [AB] est exprimée par une écriture décimale limitée, sinon l écriture est illimitée. Cette activité repose sur un postulat selon lequel tout point de la droite numérique peut être associé à un nombre. Une conception unificatrice de la notion de nombre s en dégage : les nombres sont les représentants des points de la droite numérique. «Il sera donc presque impossible à un élève de donner un sens à l opération qui consiste à multiplier quelque chose par un décimal ( ) Dans ces conditions, les décimaux restent munis d un ordre discret, celui des naturels (...) Souvent les comparaisons et les sommes de décimaux ne seront correctes que si ces derniers sont écrits avec le même nombre de chiffres après la virgule (...) et donc s ils s interprètent comme des naturels.» 23 24

7 3. Les décimaux entre syntaxique et sémantique a) L enseignement privilégie les traitements syntaxiques Lorsque les parties entières sont identiques, classer les parties décimales dans l ordre alphabétique. 3,14 < 3,5 car 14 précède 5 Lorsque les parties entières sont identiques, comparer les chiffres des dixièmes: s ils sont différents alors le nombre le plus petit est celui dont le chiffre des dixièmes est le plus petit, sinon poursuivre de même avec les chiffres des centièmes, des millièmes, etc. 3. Les décimaux entre syntaxique et sémantique b) Mais l appréhension des nombres ne pas que syntaxique Expérience menée par Hinrichs, Yurko et Hu (1981) Il s agit d une épreuve chronométrée de comparaison de nombres entiers avec le nombre fixe 55 (compris entre 10 et 99) proposée à des adultes américains. 3,14 < 3,5 car 1 < 5 Lorsque les parties entières sont identiques, mettre les parties décimales au même format (même nombre de chiffres) en complétant éventuellement par des zéros, les nombres sont alors rangés dans le même ordre que leurs parties décimales. 3,14 < 3,5 car 3,5 = 3,50 et 14 < Les décimaux entre syntaxique et sémantique b) Mais l appréhension des nombres ne pas que syntaxique Expérience analogue sur des décimaux (2007) Comparaison de décimaux avec 0,56 (compris entre 0 et 99) proposée à des adultes français Les décimaux entre syntaxique et sémantique b) Mais l appréhension des nombres ne pas que syntaxique Expérience analogue sur des décimaux (2007) L expérience montre un traitement syntaxique conjugué à un traitement sémantique : le traitement est plus rapide lorsque les nombres décimaux à comparer ont la même partie entière et le même nombre de décimales : 14 temps (dixièmes de seconde) ,0001 0,001 0,01 0, nombres (échelle logarithmique) 27 Les comparaisons sont mieux réussies quand les nombres sont liés à un contexte (2007): Lors d'une épreuve de saut en longueur, Pablo a sauté 3,3 m et Bixente a sauté 3,04 m. Qui a sauté le plus loin? La moyenne en 6eA est 11,38. La moyenne en 6eB est 11,478. Quelle classe a la meilleure moyenne? 28

8 III. Les opérations : des entiers aux décimaux 1. Sens et technique de l addition et de la soustraction Prolongement en référence aux situations Dans les situations, la référence aux unités de mesure permet de déterminer la somme en passant par l addition (ou la soustraction) de deux entiers. Exemple Julien a passé une visite médicale, il mesurait 1,52 m, il a grandi de 0,2 m, quelle est sa taille actuelle? On conserve l opération : c est une addition. On convertit en cm : = 172 On convertit en m : 1,72 m On en déduit : 1,52 + 0,2 = 1,72 III. Les opérations : des entiers aux décimaux 1. Sens et technique de l addition et de la soustraction Prolongement sans référence aux situations Avec référence aux fractions décimales 1,52 + 0,2 = 152/ /10 = 152/ /100 = 172 / 100 =1,72 1,52 + 0,2 = 1 + 5/10 + 2/ /10 = 1 + 7/10 + 2/100 =1,72 Avec référence à l écriture décimale 1, , 2 1, III. Les opérations : des entiers aux décimaux 2. Sens et technique de la multiplication Prolongement en référence aux situations Exemple en référence à une situation de proportionnalité Guy a agrandi deux fois de suite une photographie, d abord avec coefficient d agrandissement de 1,5 puis avec un coefficient de 2,4. Quel est le coefficient de l agrandissement qui en résulte? III. Les opérations : des entiers aux décimaux 2. Sens et technique de la multiplication Prolongement en référence aux situations Exemple en référence à une situation de composition Aire d un rectangle de côtés 3,4 et 2,3 1,5 3,6 2, ,4 x 2,3 = 6 + 9/10 + 8/ /100 = 7,

9 III. Les opérations : des entiers aux décimaux 2. Sens et technique de la multiplication Prolongement sans référence aux situations Référence aux fractions décimales 3,4 x 4,75 = 34 / 10 x 475 / 100 = / = 16,15 3,4 x 4,75 = (34 x 0,1) x (475 x 0,01) = x 0,001 = 16,15 En utilisant des opérateurs 3,4 x 4,75 =? III. Les opérations : des entiers aux décimaux 2. Sens et technique de la multiplication Prolongement sans référence aux situations Avec l écriture décimale 4, 7 5 x 3, 4 1, , , En utilisant des ordres de grandeur 3,4 x 4,75 = 16, 150 x 10 x 100 x 1000 : x 475 = x 5 = III. Les opérations : des entiers aux décimaux 3. Difficultés dans ce passage des entiers aux décimaux En lien avec la conception des nombres La conception «juxtaposition de deux entiers» des nombres conduit à traiter séparément partie entière et partie décimale dans les opérations. La conception des fractions en lien avec le partage, la comparaison ou les opérateurs, conduit à des situations complexes pour penser les opérations, et différentes entre addition-soustraction et multiplication-division En lien avec la conception des opérations L addition réitérée ne modélise pas la multiplication par un décimal. Les propriétés de la multiplication évoluent : cas de la multiplication par un nombre inférieur à 1. Dans un problème numérique, les élèves ne peuvent plus repérer l opération à choisir en fonction de l effet attendu sur les nombres : pour «faire plus», on peut ajouter, multiplier et même diviser 1. Structure générale Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l une s obtiennent en multipliant celles de l autre par un même nombre. Cette relation vient d une convention sociale, d une loi physique, d une relation mathématique, etc. Prix des croissants Déplacement à vitesse constante Périmètre d un carré Périmètre d un rectangle de largeur 7 cm (contre-exemple) 35 36

10 2. Analyse d une situation proposée à l école Dans une situation d agrandissement ou de réduction, les valeurs d origine et les valeurs obtenues sont proportionnelles. Exemple tiré d un manuel de CM2 3. Difficultés d apprentissage Les difficultés d apprentissage tiennent à la fois à la méconnaissance des fractions et des décimaux, à une conception trop souvent additive de la multiplication, à une quantité souvent importante des informations qui peuvent être prises sur les situations, et au nombre de méthodes différentes pour résoudre les problèmes dont certaines restent souvent implicites en classe. a) Reconnaissance partir d un tableau de valeurs (5e) Tableau de valeurs décontextualisées 2 cm 8 cm 37 Réponse exacte : 42% Difficultés d apprentissage a) Reconnaissance partir d un tableau de valeurs (5e) Tableau de valeurs contextualisées 3. Difficultés d apprentissage b) Reconnaissance d une situation par sa description 1re question. Réponse exacte : en 6e 51% ; en 3e 96% 2e question. Réponse exacte : en 6e 33% ; en 3e 87% Réponse exacte 46% (pas de différence avec les valeurs décontextualisées) 39 40

11 Élèven 1 3. Difficultés d apprentissage c) Résolution d un problème de proportionnalité Énoncé : Pour faire une purée pour quatre personnes, il faut 800 g de pommes de terre, 30 cl de lait et 40 g de beurre. Complète le tableau suivant en inscrivant les quantités pour 20 personnes et pour 10 personnes. Élèven 2 Élèven 3 Voici les réponses de quatre élèves à analyser en émettant des hypothèses sur les démarches mises en œuvre Méthodes de résolution des problèmes Sachant que 4 stylos coûtent 2,42, combien coûtent 14 stylos? a) Méthodes analogiques La méthode analogique permet de raisonner sur une grandeur et d appliquer les mêmes opérations sur l autre. Exemple 1 : 2 c est la moitié de 4, donc 2 stylos coûtent la moitié : 1,21 14 = 2 x 7 donc 14 stylos coûtent 1,21 x 7 = 8,47 Exemple 2 : 2 c est la moitié de 4, donc 2 stylos coûtent la moitié : 1,21 12 = 4 x 3 donc 12 stylos coûtent 2,42 x 3 = 7,26 14 = donc 14 stylos coûtent 7,26 + 1,21 = 8,47 Exemple 3 : La règle de trois On connaît le prix de 4 stylos : 2,42 On calcule le prix de 1 stylo : 2,42 / 4 = 0,605 On multiplie le prix de 1 stylo par 14 : 0,605 x 14 = 8,47 4. Méthodes de résolution des problèmes Sachant que 4 stylos coûtent 2,42, combien coûtent 14 stylos. b) Méthodes analytiques La méthode analytique permet de raisonner en mettant en relation les grandeurs proportionnelles grâce au coefficient de proportionnalité. Exemple : Le coefficient de proportionnalité est le prix unitaire des stylos_: 0,605 /stylo Le prix de 14 stylos est le nombre de stylos multiplié par le prix unitaire : 14 stylos x 0,605 /stylo = 8,47 c) Méthode des «produits en croix» On pose les valeurs en carré, on calcule la quatrième proportionnelle en égalisant les produits en croix : , 42? 4 x? = 2,42 x 14 et donc? = 2,

12 4. Méthodes de résolution des problèmes d) Méthode graphique Le graphique associé à une situation de proportionnalité est celui de la fonction (programme de 3 e ) qui associe la seconde variableàlapremière. Une telle fonction est linéaire, son graphique est une droite qui passe par l origine du repère (l alignement des points est lié au théorème de Thalès). Dès l enseignement primaire, les situations de proportionnalité sont représentées par des graphiques, on fait remarquer aux élèves l alignement des points et le passage de la droite par l origine du repère («méthode ostensive») Différentes tâches sont proposées aux élèves : - représenter un tableau par un graphique ; - compléter un graphique à l aide d un tableau ; - compléter un tableau à l aide d un graphique. 4. Méthodes de résolution des problèmes d) Méthode graphique Méthodes de résolution des problèmes d) Méthode graphique Réussite = 56% en 6 e. Erreurs : graduation (de 10km en 10km au lieu de 20) et inversion des axes dans la lecture, 47 Conclusion 1. Sur les fractions et décimaux La compréhension des nombres Difficultés à comprendre ces nombres à cause de leur écriture complexe, des opérations incorporées à leur désignation (multiplications, divisions et additions), et d appréhension de la valeur (approximation et comparaison). Les opérations sur les nombres Certaines propriétés ou représentation des opérations changent : addition réitérée et multiplication, multiplication/ division et agrandissement/réduction, etc. 2. Sur la proportionnalité La notion, les situations et les problèmes Notion mathématique très riche : situations de références, méthodes de traitement, nombres en jeu, représentations. Les difficultés d apprentissage Les difficultés d apprentissage ont été constatées depuis longtemps, elles persistent malgré les réformes. 48