1 Etude d un guide d onde

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1 Projet C7-1, c Patrick Ciarlet Etude d un guide d onde Dans un milieu hétérogène, le champ électromagnétique (E,B) est solution des équations de Maxwell : ε E t rot (µ 1 B) = J, B t + rot E = 0, div εe = ρ, div B = 0. (1) Physiquement, E est le champ électrique, et B l induction magnétique. Les données J et ρ sont les densités de courant et de charges. Dans la suite, on s intéresse à la propagation d une onde électromagnétique dans un domaine Ω entouré d un conducteur parfait. Ainsi, la trace tangentielle de E, et la trace normale de B, s annulent sur la frontière Ω. Si on appelle n la normale unitaire sortante à Ω, ceci correspond à : E n Ω = 0, B n Ω = 0. (2) Un guide d onde peut être vu comme un domaine cylindrique Ω R 3, par exemple Ω = Ω R, où Ω est la section transverse bidimensionnelle du guide. D après le choix du domaine, une onde électromagnétique se propage dans le guide parallèlement à la troisième direction (l axe x 3 ). Lorsqu elles se propagent sans atténuation, ces ondes vérifient (1) avec J = 0 et ρ = 0, et nous verrons que ce sont des solutions d un problème aux valeurs propres. Si nous considérons une dépendance harmonique en temps (i.e. exp( ıωt)), ainsi que la nature cylidrique de la géométrie du guide, nous recherchons des solutions qui s écrivent E(t,x) = R {e(x )exp(ı(k 3 x 3 ωt))}, (3) B(t,x) = R {b(x )exp(ı(k 3 x 3 ωt))}, (4) où k 3 > 0 définit le nombre d onde, ω la pulsation, et x = (x 1,x 2 ) sont les coordonnées transverses. D après la géométrie du guide, on peut décomposer le vecteur normal unitaire à Ω selon n = n + 0e 3, où n est le vecteur normal unitaire à Ω dans le plan (x 1,x 2 ). Nous définissons le vecteur unitaire t tangent à Ω, tel que (t,n ) soit direct. Dans la suite, nous faisons l hypothèse que ε et µ sont uniquement fonctions des coordonnées transverses x.

2 Projet C7-1, c Patrick Ciarlet Modélisation 1. Montrer que les équations (1) peuvent être réécrites sous la forme du système ci-dessous posé dans Ω : rot k3 (µ 1 b) = ıωεe, (5) rot k3 e = ıωb, (6) div k3 (εe) = 0, (7) div k3 b = 0. (8) Pour un champ de vecteurs v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, les opérateurs rot k3 et div k3 sont définis par rot k3 v = v 3 ık 3 v 2 v 3 + ık 3 v 1 v 2 v 1, div k3 v = v 1 + v 2 + ık 3 v Exprimer les conditions aux limites satisfaites par e et b, et montrer qu elles peuvent être réécrites sous la forme : e t = 0, e 3 = 0, b n = 0, où l on a posé e = e + e 3 e 3 et b = b + b 3 e Pour quelle(s) composante(s) du champ électromagnétique manque-t-il une condition aux limites? En considérant la trace de la loi d Ampère (5) sur la frontière, retrouver la/les condition(s) manquante(s). 4. Pour l instant, les diverses inconnues sont liées entre elles. Le but de cette question est de construire des systèmes d équations ne les reliant plus toutes. En partant de (5)-(8), éliminer le champ électrique pour déterminer un système où seule l induction magnétique b apparaît. 5. De façon similaire, déterminer un système où seul le champ électrique e apparaît.

3 Projet C7-1, c Patrick Ciarlet Fréquence de coupure On suppose à partir de maintenant que le milieu est homogène, c est-à-dire que ε(x ) = ε 1 et µ(x ) = µ 1, pour tout x dans Ω. Soit c 1 = 1/ ε 1 µ Reformuler les systèmes précédents sous la forme de problèmes aux valeurs propres de l opérateur ( 2 / / 2 ) (& conditions aux limites) indépendant de ω et de k 3. Soient (λ i ) i 1 les valeurs propres associées. 2. Quelle est la relation liant k 3, ω et les valeurs propres? 3. Déterminer la pulsation de coupure ω c sous laquelle les ondes ne peuvent pas se propager. 1.3 Problème en e On se concentre maintenant sur le champ électrique e et ses composantes e et e 3. Introduisons d autres opérateurs bidimensionnels, définis sur Ω. Pour v = v 1 e 1 + v 2 e 2 et v fonctions de x, soient donc rot v = v 2 v 1, div v = v 1 + v 2, v v rot v =, grad v =, v v v = div (grad v). 1. Vérifier que le système d équations en e 3 et e est e = (k 2 3 ω2 /c 2 1 )e, (c.l. e t = 0), (9) e 3 = (k 2 3 ω2 /c 2 1 )e 3, (c.l. e 3 = 0), (10) div e = ık 3 e 3. (11) 2. Bien sûr, on peut décomposer l ensemble des solutions en e avec e 3 0, ou avec e 3 = 0! Dans le premier cas, vérifier qu il existe α C tel que e = αgrad e 3 + e 3 e 3 est une solution de (9)-(11). En d autres termes, pour déterminer e : soit on résout le problème (10) en e 3, et l on aura une solution e globale en raisonnant comme à la question précédente;

4 Projet C7-1, c Patrick Ciarlet soit on résout le problème (9) en e, avec la condition de divergence nulle div e = 0, et on aura une solution globale e = e + 0e 3. Dans le second cas, on parle d ondes guidées électriques transverses (mode TE). 1.4 Formulations variationnelles Nous allons finalement procéder à la résolution du problème en e en deux temps : en e 3, puis en mode TE e. 1. A quel espace fonctionnel e 3 appartient-il? 2. Ecrire la formulation variationnelle dont e 3 est solution. 3. A quel espace fonctionnel e appartient-il (mode TE)? 4. Quelle difficulté rencontre-t-on lorsqu on veut écrire la formulation variationnelle? Utiliser un potentiel scalaire pour contourner celleci, ie. e = rot u, avec u un potentiel scalaire. 1.5 Discrétisation Pour approcher e 3 et u, on choisit dans la suite une approche de type éléments finis. On discrétise les problèmes aux valeurs propres à l aide de l élément fini de Lagrange P 1, conforme dans H 1 (Ω ), sur des maillages triangulaires (T h ) h (h est le pas du maillage). 1. Quelle vitesse de convergence peut-on espérer pour les valeurs propres et les modes propres, en fonction de h? 2. Ecrire les formulations variationnelles discrètes, ainsi que les problèmes aux valeurs propres matriciels correspondants. 3. Pour reconstruire une approximation numérique de e à partir de celle calculée pour e 3, il suffit d approcher g = grad e 3. Ecrite dans L 2 (Ω ) 2, cette identité est équivalente à g λdω = grad e 3 λdω, λ L 2 (Ω ) 2. (12) Ω Ω Comment utiliser (12) en pratique? 4. Reprendre le raisonnement pour construire une approximation numérique pour le mode TE e = rot u.

5 Projet C7-1, c Patrick Ciarlet Mise en œuvre Pour chaque problème (en e 3 et en u), on se propose de calculer les 10 premières valeurs propres, ainsi que les 10 premiers modes propres associés, sur deux exemples de guides d onde. Le but est donc de calculer des approximations de (λ i (e 3 )) 1 i 10 et de (λ i (u)) 1 i 10, et des modes propres (e i ) i associés Cas d un guide de section rectangulaire On suppose que Ω est le rectangle ]0,5[ ]0,1[. 1. Problème en e 3 : Réaliser la mise en œuvre des schémas numériques précédemment construits, à l aide des logiciels emc2 (génération de maillage) et matlab (construction et résolution des schémas numériques ; visualisation des solutions). Réaliser les simulations numériques sur quelques maillages (respectivement formés de 500, ou triangles environ.) Analyser les résultats. 2. Reprendre la question précédente pour le problème en u Cas d un guide en H On suppose que Ω a pour sommets consécutifs (0,0), (3,0), (3,2), (6,2), (6,0), (9,0), (9,7), (6,7), (6,4), (3,4), (3,7) et (0,7). Reprendre Outils numériques et de programmation 2.1 Intégration numérique dans un triangle Soit T un triangle de sommets S 1 (x 1,y 1 ), S 2 (x 2,y 2 ), et S 3 (x 3,y 3 ). Les coordonnées barycentriques λ 1, λ 2 et λ 3 d un point (x,y) du triangle sont données par les formules suivantes : λ 1 (x,y) = 1 D (y 23(x x 3 ) x 23 (y y 3 )) λ 2 (x,y) = 1 D (y 31(x x 1 ) x 31 (y y 1 )) λ 3 (x,y) = 1 D (y 12(x x 2 ) x 12 (y y 2 ))

6 Projet C7-1, c Patrick Ciarlet où on a posé x ij = x i x j, y ij = y i y j pour i et j différents entre 1 et 3, et D = x 23 y 31 x 31 y 23. Notons que D est égal, au signe près, à deux fois la surface du triangle. On rappelle que, pour (k 1,k 2,k 3 ) N 3, λ k 1 1 λk 2 2 λk 3 3 dω = 2 k 1!k 2!k 3! (k 1 + k 2 + k 3 + 2)! aire(t). T 2.2 Lecture d un maillage Un maillage généré par emc2 au format amdba est de la forme suivante : nbs,nbt E E E E E E E E La première ligne contient le nombre de sommets Nbpt ainsi que le nombre de triangles Nbtri. Les lignes suivantes contiennent (par colonne) les coordonnées de tous les sommets Coorneu(Nbpt,2) et leurs numéros de réference Refneu(Nbpt). Enfin les lignes suivantes correspondent la numérotation des sommets de chaque triangle Numtri(Nbtri,3) ainsi que des numéros de référence des triangles Reftri(Nbtri). Les sommets situés sur la frontière ont 1 pour numéro de référence. Pour lire un maillage de type.amdba on utilisera la procédure matlab : function [Nbpt,Nbtri,Coorneu,Refneu,Numtri,Reftri]=Lectur lage(nomfile) fid = fopen(nomfile, r ) ; N = fscanf(fid, %i ) ; Nbpt = N(1) ; Nbtri = N(2) ; line = fgets(fid) ;

7 Projet C7-1, c Patrick Ciarlet tmp = fscanf(fid, %f,[4,nbpt]) ; Coorneu = tmp(2:3,:) ; Refneu = tmp(4,:) ; tmp = fscanf(fid, %i,[5,nbtri]) ; Numtri=tmp(2:4,:) ; Reftri=tmp(5,:) ; Pour éliminer dans la matrice Amat les lignes et les colonnes correspondants aux sommets situés sur la frontière (si nécessaire), écrire par exemple : Sint = find(refneu==0) ; Amat = Amat(Sint,Sint) ;