Modélisation mathématique et finance des produits dérivés

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1 Modélisation mathématique et finance des produits dérivés Ecole Polytechnique Paris Académie Européenne Interdisciplinaire des Sciences Paris, 28 novembre 2011

2 Outline Introduction 1 Introduction 2 3

3 Qu est-ce qu un produit dérivé? Définition Contrat entre acheteur et vendeur définissant une structure de paiements contingents aux états de la nature Les plus classiques (Vanille) Contrats à terme : promesse de vente à un prix K fixé aujourd hui, la transaction ayant lieu à l échéance T. Structure de paiements : Aujourd hui : 0, A l échéance : S T K Option d achat (European call) : donne à l acheteur le droit (sans obligation) d acheter un actif risqué à une date d échéance T à un prix d exercice K fixé aujourd hui. Structure de paiements : Aujourd hui : p, A l échéance : (S T K) +

4 A quoi ça sert? Contrats à terme ont apparu très tôt dans les marchés agricoles Provisionnement d Air France en Kérosène par des contrats à terme par des options d achat Options de change pour un exportateur Intérêt : Transfert des risques vers les intitutions financières afin de mieux se concentrer sur l activité spécifique de l entreprise Mais est-ce que les institutions financières sont capables de porter ces risques?

5 A quoi ça sert? Contrats à terme ont apparu très tôt dans les marchés agricoles Provisionnement d Air France en Kérosène par des contrats à terme par des options d achat Options de change pour un exportateur Intérêt : Transfert des risques vers les intitutions financières afin de mieux se concentrer sur l activité spécifique de l entreprise Mais est-ce que les institutions financières sont capables de porter ces risques?

6 Dérivés de taux Swap de taux d intérêt : Echange d un taux variable contre un taux fixe Indispensable pour mettre en place des crédits... Cap / Floors Succession d options d achat / de vente sur le taux d intérêt Permet de se garantir un taux de placement / d emprunt pour des flux futurs

7 Produits exotiques et structuration Des contrats spécifiques sont proposés pour couvrir des risques spécifiques, les paiements sont très divers : dépendant de la trajectoire des prix (exemple des options asiatiques dans les marchés d énergie, ou options barrière) dépendant de plusieurs sous-jacents (basket options) laissant au détenteur le choix de la date d exercice (options américaines) Les produits structurés sont conçus en accord avec le client pour subvenir à un certain besoin spécifique L imagination des marchés est sans limite...

8 Risques climatiques, naturels et environnementaux Catastrophe bonds Marché des quotas d émissions EU ETS Dérivés de longévité

9 Couverture des risques et innovation financière Comment font les institutions financières pour porter ces risques? Couverture à partir de produits élémentaires (Vanilles). Possible si des marchés liquides existent pour ces produits élémentaires... Décomposition des risques, impliquant l apparition de produits dérivés apparamment déconnectés de la réalité économique (exemple des options sur variance) L industrie financière est-elle réellement capables de gérer ces risques?

10 Couverture des risques et innovation financière Comment font les institutions financières pour porter ces risques? Couverture à partir de produits élémentaires (Vanilles). Possible si des marchés liquides existent pour ces produits élémentaires... Décomposition des risques, impliquant l apparition de produits dérivés apparamment déconnectés de la réalité économique (exemple des options sur variance) L industrie financière est-elle réellement capables de gérer ces risques?

11 Spéculation et finance déconnectée du monde réel... Les marchés se renouvellent sans arrêt, et certains risques non pris en compte finissent par se révéler importants, surtout en situation de manque de confiance... nouveaux contextes créés par des avancées technologiques (communication, vitesse de calcul), exemple du trading haute fréquence : près de 60 % des transactions aux US, % en Europe Gros problèmes des incitations... Nécessité de la régulation

13 Principe de non arbitrage Il s agit de l unique loi fondamentale en mathématiques financières : Principe de domination Deux portefeuilles de rendements aléatoires à la même date d échéance ordonnés, A(ω) B(ω) pour (presque) tout ω, ont des prix vérifiant a b X T (ω) : valeur à une date T d une stratégie de portfeuille de coût initial nul Principe de non arbitrage Si X T 0 pour (presque tout) ω, alors X T = 0

14 Principe de non arbitrage Il s agit de l unique loi fondamentale en mathématiques financières : Principe de domination Deux portefeuilles de rendements aléatoires à la même date d échéance ordonnés, A(ω) B(ω) pour (presque) tout ω, ont des prix vérifiant a b X T (ω) : valeur à une date T d une stratégie de portfeuille de coût initial nul Principe de non arbitrage Si X T 0 pour (presque tout) ω, alors X T = 0

15 Deuxième Principe Fondamental Tous les modèles sont faux! Le rôle de la modélisation mathématique est d isoler certains phénomènes pour mieux apprécier leurs effets proposer des modèles approchés avec, autant que possible, un contrôle de l erreur Le choix du modèle approché est automatiquement adapté à sa finalité Bien comprendre la réalité du marché afin d adapter la modélisation à la réalité (débat traditionnel opposant l estimation statistique à la calibration)

19 Modèle de Black-Scholes Marché financier réduit à 1 actif sans risque, taux d intérêt constant r 1 actif risqué régi par ds t = S t (bdt + σdw t ) Non arbitrage = prix de marché d une option d achat européenne de prix d exercice K et de maturité T est C(0, S 0 ) = S 0 N(d + ) Ke rt N(d ), d ± = ln(s t/ke rt ) σ T Le risque est parfaitement Couvrable : en constituant un portefeuille autofinancé contenant la quantité t = s C(t, S t ) dee l actif S à toute date t ± σ T 2

22 Caractérisation du modèle de Black-Scholes La fonction C(t, s) est l unique solution de l EDP de la chaleur : t C + rs s C σ2 s 2 ss C rc = 0, C(T, s) = (s K) + Représentation probabiliste : C(0, S 0 ) = e rt E Q [(S T K) + ] avec Q la probabilité sous laquelle {S t e rt, t 0} est martingale ds t S t = rdt + σdb t

23 Caractérisation du modèle de Black-Scholes La fonction C(t, s) est l unique solution de l EDP de la chaleur : t C + rs s C σ2 s 2 ss C rc = 0, C(T, s) = (s K) + Représentation probabiliste : C(0, S 0 ) = e rt E Q [(S T K) + ] avec Q la probabilité sous laquelle {S t e rt, t 0} est martingale ds t S t = rdt + σdb t

24 Utilisation du modèle de Black-Scholes Volatilité implicite : paramètre σ(k, T ) implicité des prix de marché des calls(k, T ) Figure: Le smile : surface de volatilité implicite le modèle de BS est bien sûr très faux

25 Autour du smile La calibration aux prix des options Vanille garantit l absence d arbitrage statique, et est prioritaire sur l estimation statistique Toute surface de volatilité induit un unique modèle de prix régi par une EDS markovienne (B. Dupire) En vocabulaire de la théorie des processus : pour toute famille de lois (µ t ) t 0, il existe un unique processus stochastique régi par une EDS markovienne (...) (S t ) t 0 tel que S t µ t pour tout t 0. Des résultats théoriques expliquent les asymptotiques du smile à la monnaie (autour de S 0 = Ke rt ) ainsi qu aux extrémités Modèle de diffusion du smile : problème difficile et essentiellement encore ouvert

26 Imperfection du modèle de base Nombreux effets ne sont pas pris en compte par le modèle : illiquidité défaut, collatéral interactions

28 Problème des déblais et des remblais Monge-Kantorovitch Gaspard Monge ( ) a formulé en 1781 le problème d ingénierie suivant : Transport de masse au coût le plus bas, étant données les distributions initiale et finale

29 Formulation analytique Distribution initiale : mesure de probabilité µ 0 Distribution finale : mesure de probabilité µ 1 Problème : min T T (µ 0,µ 1 ) c ( x, T (x) ) µ 0 (dx) où T (µ 0, µ 1 ) ensemble des applications T : x T (x) telles que µ 1 = µ 0 T 1

30 Formulation probabibliste Leonid Vitaliyevich Kantorovich ( ) a donné en 1942 une formulation qui n évoque pas le schémas de transport T : inf c(x, y)π(dx, dy) π Π(µ 0,µ 1 ) où Π(µ 0, µ 1 ) est l ensemble de toutes les mesures de probabilité jointe avec marginales µ 0 et µ 1 Exemple : c(x, y) = x y 2 = maximisation des correlations : sup π Π(µ0,µ 1 )E π [XY ]

31 Dualité de Kantorovich Dualité en programmation linéaire... sup ψ(y)µ 1 (dy) ϕ(x)µ 0 (dx) s.c. ψ(y) ϕ(x) c(x, y) Interprétation économique : ϕ(x) prix d achat à la position x ψ(y) prix de vente à la position y

32 Un problème de transport optimal de martingales Dans un marché financier sans arbitrage à taux d intérêt nul, le prix d un produit dérivé dépendant du chemin est : E Q [ξ(s. )] où Q M(S), i.e. S est une martingale sous Q Prix de marchés E Q[ (S Ti K) +], K = distributions marginales S Ti Q µ i, pour tout i = 1,..., n Il est alors naturel de s intéresser aux bornes L(ξ, µ) = inf E Q [ξ(s. )] et U(ξ, µ) = sup E Q [ξ(s. )] s.c. Q M(S) et S Ti Q µ i, i n

35 Quelques résultats Formulation duale [ L(ξ, µ) = sup λ inf E Q ξ(s. ) + ] n i=1 λ i(s Ti ) µ i (λ i ) s.c. Q M(S) = Optimisation de valeurs de problèmes de contrôle stochastique = Cas Markovien : optimisation de solution d EDP nonlinéaires Lien étroit avec le Problème d Embedding de Skorohod Besoin de développer des outils numériques adaptés