Mécanique du solide - Chapitre 1 : Décrire et caractériser le mouvement d un solide

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1 Mécanique du solide - Chapitre 1 : Décrire et caractériser le mouvement d un solide Problématique : Quelles sont les grandeurs cinématiques et cinétiques associées à un solide en mouvement? Comment les définit-on et les calcule-ton? I. Notion de solide en mécanique 1. Définition 2. Centre de masse d un solide ou d un ensemble de solides 3. Exercices : Détermination de centres de masse Exercice 1 : 1/ On considère un demi-disque (D) homogène de rayon R, d épaisseur h et de masse volumique ρ. Déterminer la position du centre de masse G du demi-disque (D). 2/ Un système de vibration pour téléphone mobile consiste à faire tourner à grande vitesse un solide (S), d épaisseur constante h, formé de deux demi-disques de rayons R et r kr avec k 1, accolés comme représenté sur la figure ci-contre. (S) et (D) présentent les mêmes plans de symétrie et (S) est un solide homogène de masse volumique ρ. Déterminer la position du centre de masse G du solide (S). Exercice 2 : Soit un cône homogène, de hauteur H et dont le rayon de la base est R. Déterminer la position de son centre de masse G. Cours de mécanique du solide /2014

2 II. Description cinématique du mouvement d un solide 1. Degrés de liberté d un solide Illustration : les six degrés de liberté d un voilier assimilé à un solide 2. Vecteur rotation instantané 3. Exercice 3 : Vecteur rotation instantané d une échelle Une échelle, assimilée à une barre de longueur 2l, glisse en restant en contact à la fois avec le sol horizontal et un mur vertical. Soit G le centre de la barre et O le point d intersection du sol et du mur dans le plan de la barre (plan Oxy). 1/ Montrer que OG l. 2/ Déterminer le vecteur rotation instantané de l échelle dans le référentiel du sol en fonction de l angle α que forme l échelle avec l horizontale. 4. Champ des vitesses d un solide 5. Mouvements particuliers Cours de mécanique du solide /2014

3 6. Exercices Exercice 4 : Gouttière demi-cylindrique Une gouttière homogène, en forme de demi-cylindre creux, de rayon b, de masse m, roule sans glisser sur un plan horizontal. La ligne de contact entre la gouttière est le plan est une droite parallèle à l axe de la gouttière. Soit C le centre du cylindre complet correspondant au demi-cylindre de la gouttière. Soit G le centre de masse de la gouttière et θ l angle entre la verticale et le vecteur CG. 2b 1/ Montrer que CG. 2/ En admettant provisoirement que la vitesse du point de contact I avec le support est nulle dans le référentiel du laboratoire, exprimer la vitesse du point G dans ce même référentiel. Exercice 5 : Barre roulant sur un cylindre Une barre homogène (1) de centre de gravité G, de longueur a et de masse M roule sans glisser sur le cylindre (0) tout en restant dans le plan vertical Ox0y 0. Le cylindre (0), de centre O et de rayon R, est fixe dans le référentiel du laboratoire, auquel on associe le repère O, x 0, y 0, z 0. Le repère O, x 1, y1, z 0 se déduit à chaque instant de O, x0, y0, z 0 par une rotation d angle θ autour de l axe Oz 0. On note I le point de contact instantané entre la barre (1) et le cylindre (0). On admet provisoirement que la vitesse du point I est nulle dans le référentiel du laboratoire. Pour 0, le point G est en contact avec le point S du cylindre (0), défini par OS Ry0. Déterminer la vitesse du point G dans le référentiel du laboratoire. Cours de mécanique du solide /2014

4 III. Grandeurs cinétiques associées au mouvement d un solide dans un référentiel R 1. Quantité de mouvement 2. Moment cinétique par rapport à un point de référence 3. Moment cinétique par rapport à un axe 4. Energie cinétique 5. Exercices Exercice 6 : Energie cinétique d une balançoire Une balançoire est formée de deux tiges rigides identiques AB et A B, homogènes, de masse m et de longueur l, qui tournent d un angle θ par rapport à l axe AA horizontal, ainsi que d un siège assimilé à une tige BB de masse m. Calculer l énergie cinétique totale de la balançoire dans le référentiel du laboratoire. Exercice 7 : Moment cinétique d un pendule articulé On considère un pendule constitué d une tige homogène OC, de masse m et de longueur a. Cette tige est fixée en O et astreinte à rester dans le plan vertical Oxy. En C, elle est articulée à une seconde tige AB, de masse négligeable et de longueur l, C étant le milieu de [AB]. Aux extrémités A et B de cette seconde tige se trouvent deux boules identiques, de masse m, assimilées à deux points matériels. 1/ Paramétrer le problème. 2/ Calculer le moment cinétique en O, dans le référentiel du laboratoire, du système complet. IV. Un référentiel sympathique : le référentiel barycentrique 1. Présentation 2. Propriétés des grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique 3. Théorèmes de Koënig 4. Exercice 8 : Cerceau roulant sur un plan horizontal Un cerceau homogène, de rayon R et de masse m, roule sur un plan horizontal confondu avec le plan Oxz, supposé fixe dans le référentiel du laboratoire. 1/ Paramétrer le problème. 2/ Calculer la quantité de mouvement, le moment cinétique par rapport au point O ainsi que l énergie cinétique du cerceau dans le référentiel du laboratoire. Cours de mécanique du solide /2014

5 V. Cas particulier d un solide en rotation autour d un axe fixe 1. Moment d inertie Moment cinétique 2. Energie cinétique 3. Exercice 9 : Retour sur l exercice de la balançoire Calculer le moment cinétique de la balançoire par rapport à l axe AA dans le référentiel du laboratoire. 4. Exercice 10 : Retour sur l exercice de la barre roulant sur un cylindre Déterminer l énergie cinétique de la barre dans le référentiel du laboratoire. 5. Exercice 11 : Eléments cinétiques d une porte Une porte, assimilable à un solide rectangulaire OABC d épaisseur négligeable, homogène de masse M, de largeur 2a et de hauteur 2b, peut tourner autour de son axe vertical OC (confondu avec l axe Oz du référentiel d étude). La position de la porte est repérée par l angle θ défini sur le schéma ci-contre. On raisonne dans le référentiel du laboratoire. 1/ Calculer la résultante cinétique de la porte. 2/ Calculer le moment d inertie J de la porte. En déduire le moment cinétique L Oz de la porte par rapport à l axe Oz. 3/ Montrer que le moment cinétique en O L O de la porte se met sous la forme : LO J ez I er. Exprimer I en fonction de M, a et b. 4/ Exprimer l énergie cinétique de la porte. Cours de mécanique du solide /2014

6 VI. Un dernier exercice pour la route Une voiture se déplace rectilignement dans la direction Ox avec une accélération constante positive). Initialement, la voiture roule à la vitesse v 0 dans le référentiel lié au sol. t (α est une Une tige CD, de longueur 2l et de masse négligeable, est fixée en B, milieu de CD, sur un axe fixe de la voiture. La tige CD tourne dans le plan Oxy autour de son centre B à la vitesse angulaire 0 constante. Deux masses ponctuelles m 1 et m 2 ( m1 m2 m ) sont fixées à la tige CD en C et D. 1/ Déterminer dans le référentiel lié au sol les quantités suivantes : Vitesse et accélération du point C ; Moment cinétique au point O du solide composé de la tige CD et des deux masses. 2/ Le système { m 1, m 2,tige CD} est remplacé par une barre de masse M 2m homogène de même longueur. Déterminer le moment cinétique de la barre par rapport à O dans le référentiel lié au sol. Cours de mécanique du solide /2014