CHAPITRE 1 : FONCTION

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1 CHAPITRE : FONCTION Ensemble de nombres et intervalles.. Ensemble de nombre. N est l ensemble des entiers naturels :,,,... Z est l ensemble des entiers relatifs :...,,,,,,... D est l ensemble des nombres décimaux qui peuvent s écrire sous la forme a avec a et n n entiers relatifs ; ces nombres s écrivent avec un nombre fini de chiffre après la virgule : exemples :,,, =, =, =,. Q est l ensemble des rationnels qui peuvent s écrire sous la forme d une fraction a b avec a et b entiers relatifs R est l ensemble des réels. Il ne faut pas oublier qu un nombre peut avoir plusieurs formes, exemple :, =. Appartenance, inclusion. signifie appartient, signifie n appartient pas Exercice : compléter avec les signes et le tableau suivant : N Z D Q R,, Soit A et B deux ensembles, on dit que A est inclus dans B et on note A B si chaque élément de A est un élément de B

2 Propriété : On a : N Z D Q R Soit A et B deux ensemble A B l intersection de A et de B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B. A B la réunion ou la union de A et de B est l ensemble des éléments qui appartiennent soit à A soit à B, soit à A et B. Exemple : Si A = {;;;4;;6;7} et B = {;4;6;8} Alors : A B = {;4;6} A B = {;;;4;;6;7;8}. Intervalle de R Soit a et b deux nombres réels : [ a ; b [ est l ensemble des nombres compris entre a et b (a inclus, b exclus ). C est donc l ensemble des nombres x tels que a x < b [ a ; b ] est l ensemble nombres x tels que a x b ] ; a[ est l ensemble nombres x tels que x < a ] ; a] est l ensemble nombres x tels que x a ]a; ] est l ensemble nombres x tels que x > a [a; [ est l ensemble nombres x tels que x a Le symbole signifie "moins infini", signifie "plus infini". Exemple : L ensemble des nombres compris entre exclus et 7 exclus est l intervalle ];7[. L ensemble des nombres inférieur ou égal à est l intervalle ] ;]. L ensemble des nombres strictement inférieurs à est l intervalle ] ;[. Il est équivalent de dire : x ou x [; ]. Exercice : Compléter avec les signes et le tableau suivant : [ ;] [ 4;[ [,;7] ] ; [ [;,] 4, π 7

3 Notion de fonction.. Activités. Activité et page 4. Définitions. Sur un ensemble D une fonction f fait correspondre à tout nombre x de D un unique nombre f (x). D est l ensemble de définition de f. On dit que f (x) est l image de x par f. Si y = f (x) on dit que x est un antécédent de y. x est appelé variable. A l activité page 4 à chaque heure h de l intervalle [ ; 4 ] on fait correspondre une hauteur. Si on appelle h cette fonction on peut dire que : L ensemble de définition de h est [ ; 4 ]. La variable est l heure. La hauteur d eau à 6 heures est, on peut dire que : h(6) = ou l image de 6 par h est. La hauteur d eau à est m à 6 heure et 8 heures, on dira que h(6) = et h(8) = ou que a deux antécédents par h 6 et 8. Exercice : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x L image de est f () = =. L image de est f ( ) = ( ) = 7. Cherchons le ou les antécédents de. On cherche les nombres vérifiant : f (x) = soit : x = ou : x = 9 donc x = 9. Conclusion : admet un seul antécédent par f qui est :x = 9. Exercice : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x. Déterminer les images de ;de et les antécédent de ; et - par f.. Représentation graphique. Définition. La courbe représentative C f de f est l ensemble des points de coordonnées (x; y) où x appartient à D f et y = f (x) y = f (x) x

4 Lecture d image, d antécédent. Pour lire f (a) l image de a on part de l axe des abscisses. y = f (a) Lecture d image a axe des abscisses Pour lire les antécédents on part de l axe des ordonnées. axe des ordonnées b Lecture d antécédent x x x Sur cet exemple le nombre b a trois antécédents x, x etx. Construction d une courbe. Pour construire une courbe on fait un tableau de valeurs. Exemple :Considérons la fonction f définie sur R par f (x) = 4 x. Des calculs simples ou la calculatrice permettent de dresser le tableau de valeur suivant : x,,., f (x), 7 4, 7.7. ( On remarque avec cette fonction que f (,) = f (,) on ne fait pas le tableau entier)

5 4 O 4 On relie les points obtenus 4 O 4.4 Variation de fonction. Une fonction croissante sur I conserve l ordre : Pour tout a et b de I si a b alors f (a) f (b) Exemple en classe. Une fonction décroissante sur I change l ordre : Pour touta et b de I si a b alors f (a) f (b) Exemple en classe. Maximum : on dit que f admet un maximum en a sur I ssi pour tout x de I f (x) f (a) Maximum : on dit que f admet un minimum en a sur I ssi pour tout x de I f (x) f (a) Exemple en classe, avec des tableaux de variation.

6 Exercice : On considère la fonction f dont une représentation graphique est donné ci dessous.. Dresser son tableau de variation.. Comparer les nombres f (,) et f (,6). Justifier.. Comparer f (,) et.justifier Fonction et algorithmique On considère l algorithme suivant : Exercice : Variables : Entrée : x est un nombre réel a est un nombre réel b est un nombre réel y est un nombre réel lire la valeur x Traitement : a prend la valeur x b prend la valeur a y prend la valeur b Sortie : Afficher y. Si l on donne à x la valeur que fait l algorithme?. Compléter letableau de valeur suivant : x y. Quelle est la fonction associée à cet algorithme. 4. Réécrire cet algorithme en utilisant que deux variables x ety.. Écrire un algorithme pour lequel l utilisateur entrerait une valeur x et qui afficherait l image de x par la fonction f définie par f (x) = x x