Les nombres en écriture fractionnaire

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1 Classe de 5ème Chapitre Les nomres en écriture fractionnaire. Vocaulaire a) Quotient exact Définition : Le quotient exact de la division du nomre a par le nomre non nul s écrit sous forme fractionnaire : a Définition : Si a et sont des entiers naturels ( non nul), alors on dit que a est une fraction, a est le numérateur et est le dénominateur de la fraction. Exemples : 8 5 et 4, sont des fractions, mais n est pas une fraction, mais un nomre 7 6 en écriture fractionnaire. ) Écriture décimale. Quotient approché Lorsque la division de a par s arrête, le quotient exact a une écriture décimale limitée ; c est un nomre décimal. Par exemple, 8, 6 5 = Lorsque la division de a par ne s arrête pas, le quotient exact a une écriture décimale illimitée ; ce n est pas un nomre décimal. Par exemple, 4 = 0, Donc le quotient exact n a pas d écriture 7 48 décimale (limitée). On garde l écriture fractionnaire pour désigner le quotient exact. Le quotient approché de 4 par 7 arrondi au centième près est 4 0,57 7. On otient un encadrement du quotient approché de 4 par 7 au centième près : 4 0,57 < < 0,58 7. Egalité des quotients a) Egalité des quotients Règle fondamentale : On ne change pas un quotient lorsqu on multiplie (ou on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nomre non nul. Autrement dit, pour tout nomre relatif a et tous nomres relatifs et k non nuls, on a : a a k k = et a = a k k

2 Chapitre N Classe de 5ème Ceci nous permet d otenir eaucoup d écritures fractionnaires différentes d un même nomre. On cherche alors la fraction la plus simple Exemple : A = = = = =.,5, On dit que 8 est une fraction simple ou une fraction irréductile. 7 ) Cas particuliers très importants a Pour tout nomre a différent de 0, on a les égalités suivantes : a = et a Exemple : 5 5 = 5 : 5 = et 5 = 5 : = 5 = a ) Conséquence : division par un nomre décimal Pour effectuer à la main la division par un nomre décimal, on commence par transformer le diviseur en un nomre entier : Pour cela, on multiplie le diviseur et le dividende par 0, par 00 ou par 000, Exemple : 5,68 :,4 = ) Dénominateur commun 5, 68 5, 68 0 = = 56,8 = 6,5 qu on peut tronquer au 00 e., 4, Pour trouver un dénominateur commun aux deux fractions et 5 on cherche un nomre entier multiple commun des deux dénominateurs. Or, est déjà un multiple de. Donc 4 8 = = 4 est une fraction qui a le même dénominateur que 5.. Comparaison des fractions Avec un même dénominateur Comparer 5 8 et 8. On voit que : 5 > 8 8 Règle : Si deux nomres fractionnaires ont le même dénominateur, alors le plus petit des deux est celui qui a le plus petit numérateur. Autrement dit : si deux nomres fractionnaires ont le même dénominateur, alors on peut les ranger dans le même ordre que leurs numérateurs.

3 Chapitre N Classe de 5ème Donc, pour tous nomres décimaux a et et tout nomre d 0, on a : Exemple : Comparer 5 8 et 8. a < équivaut à a< d d Ces deux fractions ont le même dénominateur. Comme 5 >, on a 5 > 8 8 ) Avec des dénominateurs différents Règle is : Si deux nomres fractionnaires n ont pas le même dénominateur, alors on commence par les écrire avec un dénominateur commun, puis on les range dans le même ordre que leurs (nouveaux) numérateurs. Exemple : Comparer 5 8 et 4. 8 est un multiple de 4. Donc 8 est un dénominateur commun possile. = = Comme 5 < 6, on a : <. Donc 5 <. 8 4 c) Avec le même numérateur Règle : Si deux nomres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, alors ils sont rangés dans l'ordre inverse de leurs dénominateurs. Exemple : Comparer 5 7 et 5 4. Ces deux fractions ont le même dénominateur et 7 > 4. Donc 5 < d) Comparaison à l unité a On sait déjà que Pour tout nomre a 0, on a les égalités : a = et a = a Donc si on veut comparer un nomre en écriture fractionnaire a =. Ce qui revient à comparer le numérateur et le dénominateur. avec, il suffit d écrire Règle 4 : Une fraction est plus petite que si son numérateur est plus petit que son dénominateur. Une fraction est plus grande que si son numérateur est plus grand que dénominateur. Exemple : Comparer 5 57 et puis 6 48 et.

4 Chapitre N Classe de 5ème 4 = Comme 5 < 57, on a : 5 48 <. De même, = Comme 6 > 48, on a : 6 48 >. e) Sur une droite graduée. Règle de transitivité. Règle 5 : Si a, et c sont trois nomres tels que : a < et < c, alors a < c. O a c x Exemple : Comparer 5 57, On remarque que 5 57 < et 6 48 > qu on peut aussi écrire 6 <. 48 Donc, d après la règle de transitivité : 5 6 < <. Par conséquent : < f ) Comparaison à la calculatrice Exemple : Comparer 5 57, A la calculatrice, on a : 5 57 = 0,8947 et 6 48 =,5. En comparant les partie entières, on constate que : 5 6 < Opérations sur les nomres fractionnaires a) Addition et soustraction er cas : Avec un même dénominateur Règle 6. Pour additionner (ou soustraire) deux nomres en écriture fractionnaire de même dénominateur : On additionne (ou on soustrait) les numérateurs ; On conserve le dénominateur commun ; Puis on simplifie le résultat. Pour tous nomres décimaux a et et tout nomre d différent de 0, on a : a a+ a a + = et = d d d d d d

5 Chapitre N Classe de 5ème 5 ème cas : Avec des dénominateurs différents Règle 6is. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs différents, il faut chercher d aord un dénominateur commun, puis appliquer le er cas. Exemple : Calculer A = 7 + et donner le résultat sou la forme de fraction simple. On est dans le er cas. Les deux fractions ont le même dénominateur. On a alors : A = = = 0. Puis, il faut simplifier le résultat : A = 0 0 = = 5 6 Exemple : Calculer B = 7 et donner le résultat sou la forme de fraction simple. On est dans le ème cas. est un multiple de. Donc est un dénominateur commun. On a alors A = = = = =. Puis, on simplifie : A = = = 4 4 Exemple : Calculer C = et donner le résultat sou la forme de fraction simple. 5 5 Ici, aucun des deux dénominateurs n est multiple de l autre. Mais, je peux simplifier chaque fraction = = et = =. Donc C = + = 7 + = = = ) Multiplication des fractions Règle 7 : Pour multiplier deux nomres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respectant la règle des signes. a c ac = d d Remarque : Attention! Il est vivement conseillé de décomposer le numérateur et le dénominateur pour simplifier AVANT d effectuer les calculs.

6 Chapitre N Classe de 5ème 6 Exemple : Calculer A = 4 et donner le résultat sous la forme d une fraction simple. 7 A = 4 = 4 = 8 est une fraction simple. 7 7 Exemple : Calculer B = 5 9 et donner le résultat sous la forme d une fraction simple. 9 Attention! Ne pas oulier d écrire 9 =. On a alors B = = = = = = Exemple : Calculer C = 9 4 et donner le résultat sous la forme d une fraction simple. 5 7 Attention, ici, il faut décomposer le numérateur et le dénominateur pour simplifier AVANT d effectuer les calculs! C = = = = 5 Donc : C = 5 c) Règles de priorité des opérations et fractions Rappel : Dans une suite de calculs sur les nomres en écriture fractionnaires, on applique les mêmes règles de priorité des opérations. Autrement dit, on effectue dans l ordre : ) Les opérations entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus «intérieures» ; ) Les multiplications et les divisions dans l ordre où elles se présentent ; ) Et enfin les additions et les soustractions dans l ordre où elles se présentent. Exemple : Calculer A = puis B = 5 5 forme de fractions simples et donner les résultats sous la Dans le calcul de A, la multiplication est prioritaire. A = = + = = + = = Dans le calcul de B, l opération entre parenthèses est prioritaire. B = = + = + = = = = 5

7 Chapitre N Classe de 5ème 7 d) Fraction d une quantité Pour calculer une fraction 5 du nomre 50, on multiplie 50 par 5. 5 de 50 = 5 x 50 = 5 x = = = = = Plus généralement : Règle 8 : Pour calculer une fraction a du nomre N, on multiplie N par a. a de N = a x N = a N x d) Fraction d une fraction Exemple : Deux cents candidats se sont présentés à un examen qui se déroulait en deux parties. Les trois-quarts des candidats étaient admissiles, c est-à-dire ils ont réussi la première partie (l écrit) de cet examen. Le tiers de ceux-ci sont admis, c est-à-dire ils ont réussi la seconde partie (l oral) de cet examen. ) Quelle fraction de l ensemle des candidats représente ceux qui ont été définitivement reçus? ) Comien y a-t-il eu de candidats définitivement reçus? ) Les 4des candidats sont admissiles. Et le Donc la fraction des candidats admis est : des candidats admissiles sont admis. 4 de = 5 x = 5 Un cinquième des candidats sont admis. = 5 ) Je n utilise pas la réponse à la ère question Je calcule directement : de 00 = 00 = = = x50 = Donc, il y a 50 candidats admissiles. Puis je calcule : de 50 = 50 = = = 50. Conclusion : 50 candidats sont admis.