Symétries. Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre.

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1 Symétries C H P I T R E 4 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. Construire une figure géométrique qui a deux centres de symétrie. Construire le symétrique (axiale) d une droite. Construire le symétrique (centrale) d un point, d un segment, d une droite, d un cercle. Construire le symétrique d une demidroite. Construire ou compléter à l aide des instruments usuels la figure symétrique d une figure donnée.

2 I/ Rappel : symétrie axiale ctivité. Rappel sur la symétrie axiale 1. À vue d œil, dans chaque cas, quels sont les figures qui sont symétriques par rapport à la droite (d)? 2. Tracer le symétrique du triangle et du cercle par rapport à la droite (d). Méthode On rappelle la méthode pour construire le symétrique d un point par rapport à une droite avec le compas.

3 Propriété Le symétrique d une droite par rapport à un axe est une droite. La symétrie axiale conserve l alignement. Méthode (Droite symétrique par rapport à un axe) Pour construire le symétrique d une droite (d ) par rapport à un axe (d), on prend deux points sur (d ), on place deux points et distincts sur la droite (d ), on construit (resp. ) le symétrique du point (resp. ) par rapport à (d ) et on trace la droite ( ). Remarque Si les droites (d) et (d ) ne sont pas parallèles, on peut prendre K l intersection des droites (d) et (d ) et on utilise la prorpiété suivant : «le symétrique d un point de la droite (d) par rapport à l axe (d) est lui-même.» Faire les exercices 1 2 3

4 II/ Introduction de la symétrie centrale ctivité. Deux symétries axiales = une symétrie centrale (d 1) Partie : 1. Reproduire, sur un quadrillage, la figure F 1 et les droites (d 1 ) et (d 2 ) comme indiqué ci-contre. F 1 (d 2) 2. Tracer F 2 la figure symétrique de F 1, par rapport à la droite (d 1 ). 3. Tracer F 3 la figure symétrique de F 2 par rapport à la droite (d 2 ). 4. Trouver un moyen pour tracer F 3 en utilisant uniuement le point d intersection des droites (d 1 ) et (d 2 ). Partie : 1. Reproduire la figure F 1 sur un quadrillage. F 1 2. Décalquer la figure F 1. O 3. Sans déplacer la feuille de calque, piquer la point de votre compas sur le point O, puis tourne la feuille de calque d un demitour. Comparer la figure obtenue avec la figure F 3 de la partie. Définition Deux figures F et F sont symétriques par rapport à un point O si F et F se superposent parfaitement par demi-tour autour de ce point. Exemple Les triangles C et C sont symétriques par rapport au point O car les triangles C et C se superposent parfaitement par demi-tour autour de ce point. O C C

5 Propriété Deux figures symétriques par rapport à un point ont la même forme, les mêmes dimensions et donc la même aire. Exemple Soit RECT un rectangle de longueur 6 cm et de largueur 4 cm. L aire du rectangle RECT est égale à 24 cm 2. Soit O un point et R E C T le symétrique du rectangle RECT par rapport au point O. La longueur de R E C T est de 6 cm, sa largueur 4 cm et son aire est égale à 24 cm 2 Faire les exercices 4 5 6

6 III/ Construction du symétrique 1) Symétrique d un point ctivité C. Cinq points sur une droite Partie : 1. Tracer une droite d et un point I n appartenant pas à d. 2. Placer cinq points sur la droite d, puis, en vous inspirant de la technique de l activité, construire leurs symétriques par rapport au point I. 3. Faire le plus possible de remarques sur les points obtenus. Partie : 1. Placer trois points R, S et non alignés. vec une règle et un compas, construire le symétrique du segment [RS] par rapport au point. 2. Recopier et compléter : «Deux segments par rapport à un point ont la même et sont » Définition Le symétrique d un point M par rapport à un point I est le point N tel que le point I est le milieu du segment [MN]. M I N Remarque Le point I est symétrique du point I par rapport au point I. Méthode On veut tracer le point, symétrique du point par rapport à O.

7 2) Symétrique d une droite, d un segment Méthode (Symétrique d une droite) Pour construire la symétrique d une droite d par rapport à un point I, on construit les symétriques de deux points de la droite : I (d) (d ) Propriété Une droite et sa symétrique par rapport à un point sont parallèles. Méthode (Symétrique d un segment) Pour construire le symétrique d un segment [] par rapport à un point I, on construit les symétriques des extrémités et du segment : I Propriété Un segment et son symétrique par rapport à un point ont la même longueur et sont parallèles. Faire les exercices 7 8 9

8 IV/ Propriétés de la symétrie centrale ctivité D. Propriétés de la symétrie centrale (TICE-GeoGebra) Partie : Longueur du symétrique d un segment 1. Placer les points, et C avec l outil «Nouveau point» 2. Transformer les points et par la symétrie de centre le point C en utilisant l outil «Symétrie centrale» 3. Tracer le segment [] et le segment [ ] à l aide de l outil «Segment entre deux points», puis faire afficher leur mesure à l aide de l outil «distance ou longueur». 4. Que remarquez-vous? Faire bouger les points et à l aide de l outil «Déplacer». Que peut-on dire des longueurs et? 5. Compléter la phrase suivante : «Le symétrique d un segment est un segment de même ». Partie : Mesure du symétrique d un angle

9 1. jouter un point D et son symétrique D par rapport au point C. Tracer [D] et [ D ]. 2. Faire apparaître la mesure de l angle D et la mesure de l angle D à l aide de l outil «ngle». 3. Que remarquez-vous? Faire bouger le point D, que peut-on dire des mesures des angles D et D? 4. Compléter la phrase suivante : «Le symétrique d un angle est un angle de même......» Partie C : Comparaison avec la symétrie axiale Reprenez les parties et en remplaçant le point C par une droite (d) et en utilisant l outil «Symétrie axiale». 1) Propriétés de la symétrie centrale Propriété La symétrie centrale conserve les distances, l alignement des points, les angles et les aires. Exemple C D C Le symétrique d un angle est un angle de même mesure. 2) Symétrique d une figure Définition Le symétrique d une figure par rapport à un point s obtient par un demi-tour autour de ce point. On obtient donc une figure qui lui est superposable. Méthode (Construire le symétrique d une figure) On construit le symétrique de la figure CD par rapport au point O.

10 Faire les exercices 10 3) Symétrique d un cercle, d une demi-droite Propriété Le symétrique d un cercle C de centre O et de rayon r par rapport à un point M est le cercle de centre O (symétrique du point par rapport à M) et de rayon r. Méthode (Symétrique d un cercle) Soit (C) un cercle de centre O, tracer le cercle (C ) symétrique de (C) par rapport au point M. *** Propriété Une demi-droite et sa symétrique par rapport à un point sont parallèles et de sens contraires. Méthode (Symétrique d une demi-droite) Soit [) une demi-droite et I un point. On trace le symétrique du point par rapport à I et le symétrique du point par rapport à I. Ensuite, on trace la demi-droite [ ) qui est le symétrique de la demi-droite [) par rapport à I.

11 I Faire les exercices

12 V/ Centre de symétrie d une figure ctivité E. Des sigles et des panneaux Dabs chaque cas, dire si la figure admet un centre de symétrie, un ou des axes de symétries. S il en existe, les placer ou les tracer Définition Un point est un centre de symétrie d une figure si cette figure se superpose à elle-même par un demi-tour autour de ce point. Exemples (Centre et axes de symétrie de figure usuelles) Rectangle Deux axes de symétrie. Un centre de symétrie O. D C O Losange Deux axes de symétrie. Un centre de symétrie O.

13 O C D Carré Quatre axes de symétrie. Un centre de symétrie O. D C O Cercle Toute droite passant par le centre est un axe de symétrie. Un centre de symétrie O. O Faire les exercices

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