Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 8.

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1 Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 8. Exercice (3 points) Rafael habite à km de son lycée. On note T la variable alétoire égale à la durée, exprimée en minutes, du trajet que Rafael emprunte pour se rendre au lycée. On suppose que T suit la loi uniforme sur [5;0].. (a) Donner une fonction de densité de la loi suivie par T. b a = 0 5 = 5. La fonction constante f définie sur l intervalle [5;0] par f(t) = 5 est la fonction de densité de la loi de T. (b) Quel est le temps moyen du trajet de Rafael? E(T) = a+b = 5+0 = 7,5. Le trajet dure en moyenne 7,5 minutes, soit 7 minutes et 30 secontes. (c) Quelle est la probabilité qu il mette moins de 7 minutes pour se rendre au lycée? P(T < 7) = = 5 = 0,4. La probabilité que le trajet dure moins de 7 minutes et de 0,4.. On suppose que la durée d un trajet est indépendante de celle des autres trajets. Sur une semaine, Rafael se rend au lycée tous les jours du lundi au vendredi. Quelle est la probabilité pour qu au moins un trajet dure plus de 9 minutes? P(T > 9) = = 5 = 0,. Il y a 5 jours du lundi au vendredi. On répète donc 5 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, de paramètre p = P(T > 9) = 0,(si on désigne comme succès l événement (T > 9)). La variable aléatoire X égale au nombre de jours où le trajet dure plus de 9 minutes suit donc la loi binomiale B(5;0,). P(X ) = P(X = 0) = ( p) 5 = 0,8 5 = 0,673. La probabilité qu au moins un trajet dure plus de 9 minutes est de 0,6733. Exercice (5 points) La durée de vie, exprimée en années, d un appareil électroménager avant sa première panne est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ. Une étude statistique montre qu environ % des appareils tombent en panne avant la fin de la deuxième année. On pourra arrondir les probabilités à 0 près, on donnera les durées au mois près.. Déterminer la valeur de λ. D après l énoncé, P(T < ) = 0,. e λ = 0, e λ = 0,78 Donc λ = ln(0,78), soit environ 0,. λ = ln(0,78) λ = ln(0,78)

2 . Pour la suite de l exercice, on prend λ = 0,. Quelle est la durée de vie moyenne de ces appareils? E(T) = λ = 0, 8,33. En moyenne, les appareils durent 8 ans et 4 mois. 3. Calculer la probabilité qu un appareil fonctionne entre 5 et 5 ans. P(5 < T < 5) = e 5λ e 5λ = e 5 0, e 5 0, 0,38 La probabilité qu un appareil fonctionne entre 5 et 5 ans est de 0,38 environ. 4. Au bout de quelle durée aura-t-on 0 % des appareils en panne? On cherche la durée t telle que P(T < t) = 0,. e λt = 0, e λt = 0,9 0,t = ln(0,9) t = ln(0,9) 0, t 0,88 0,87 = 0,44. Donc 0,87 année correspond à environ 0 mois. Au bout de 0 mois environ, 0% des appareils sont en panne. 5. Montrer que la probabilité qu un appareil fonctionne correctement pendant au moins 3 ans est d environ 0, (en arrondissant à 0 ). P(T > 3) = e 3λ = e 3 0, 0,. La probabilité qu un appareil fonctionne correctement pendant au moins 3 ans est d environ 0,. 6. On considère que la durée de vie d un appareil est indépendante de celle des autres. (a) Un magasin a acheté 0 de ces appareils. Quelle est la probabilité pour qu au moins un de ces appareils ait une durée de vie supérieure à 3 ans? Le nombre X d appareils dont la durée de vie dépasse 3 ans est une variable aléatoire quit suit la loi binomiale B(0; 0, ). P(X ) = P(X = 0) = ( 0,) 0 0,9. La probabilité pour qu au moins un appareil sur les dix ait une durée de vie supérieure à 3 ans est environ 0,9. (b) Question bonus ( point) Déterminer le nombre minimal d appareils que le magasin doit acheter pour que la probabilité qu au moins l un d entre eux fonctionne correctement pendant plus de 3 ans soit supérieure à 0,999. Soit n le nombre d appareils achetés par le magasin. X suit la loi binomiale B(n;0,). On cherche la plus petite valeur de n

3 telle que P(X ) > 0,999. P(X ) > 0,999 P(X = 0) > 0,999 ( 0,) n > 0,999 0,79 n < 0,00 ln(0,79 n ) < ln(0,00) nln(0,79) < ln(0,00) n > ln(0,00) ln(0, 79) Or, ln(0,00) ln(0,79) 9,3. Le plus petit entier n qui convienne est donc 30. Le magasin doit acheter au moins 30 appareils. Exercice 3 (7 points) L espace est muni d un repère (O; i ; j ; k ).. On note (d) la droite passant par A(; ; ) et B(3; 5; ). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d). x B x A AB y B y A. Donc AB 3. z B z A La droite (d) passe par A(; ; ) et est dirigée par le vecteur AB. x = +t Donc (AB) : y = 3t, t R z = t. Soit (d ) la droite ayant pour représentation paramétrique x = k y = +k, k R z = k Montrer que les droites (d) et (d ) ne sont pas coplanaires. Montrons que (d) et (d ) ne sont pas parallèles. (d ) est dirigée par le vecteur v. Les vecteurs AB 3 et v ne sont pas colinéaires (car 3 ). Les droites (d) et (d ) ont des vecteurs directeurs non colinéaires. Donc (d) et (d ) ne sont pas paralléles. Montrons que (d) et (d ) ne sont pas sécantes (intersection vide). On cherche des réels t et k tels que : +t = k k = t 3t = +k, soit +t = ( t). t = k 3t = +( t)

4 k = t t = t = Ce système n a pas de solution. Donc (d) et (d ) ne sont ni parallèles, ni sécantes : elles ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan P passant par le point A et dirigé par les vecteurs u et 0 v 5. (a) Donner une représentation paramétrique du plan P. Une représentation paramétrique de P est : x = +a y = +a+5b, a R, b R. z = a b (b) Montrer que la droite (d) est incluse dans le plan P. Par définition, A P. Comme (d) est la droite (AB), il suffit de vérifier que B(3; 5; ) P. On cherche donc des réels a et b tel que : 3 = +a a = { 5 = +a+5b, 5 = 5b, et donc = a b = b Donc B P. La droite (AB) est donc entièrement incluse dans P. (d) P. a = b =. (c) Montrer que le plan P et la droite (d ) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. On cherche des réels a, b etk tels que : k = +a k = a b +k = +a+5b, ( a b) = +a, k = a b +( a b) = +a+5b k = a b k = a b 3+a+b = +a,donc b = a b = +a+5b a ( ) = +a+5 ( ) k = a b a = 5 Ainsi, b =, soit b = a+3 = +a k = 4 En remplaçant k par ( 4) dans l équation paramétrique de (d ), on a C(6; 7; 4). La droite (d ) et la plan P se coupent au point C(6; 7; 4). 4. Soit la droite passant pas C et dirigée par u. Montrer que (d) et sont sécantes en un point E dont on précisera les coordonnées. On sait que C P et que u est un vecteur directeur de P. La droite est donc incluse dans P. Les droites et (d) sont donc coplanaires (dans P)..

5 Comme u et AB 3 ne sont pascolinéaires, les deux droites sont sécantes. On détermine leur intersection à l aide de représentations paramétriques. x = 6+l a pour équation paramétrique y = 7+l, l R z = 4 l On cherche donc des réels t et l tels que : +t = 6+l l = t 5 3t = 7+l, 3t = 7+t 5 t = 4 l t = 4 t+5 l = t 5 { l = 5t = 0, et donc t = t = + Enremplaçanttpardansl équationde(d),onendéduitlepointe(5; 8; 3). Les droites (d) et se coupent en E(5; 8; 3). Exercice 4 (5 points) f et g sont les fonctions définies sur ]0;+ [ par f(x) = lnx et g(x) = a x où a > 0.. Déterminer le nombre a tel que les courbes de f et g se coupent au point d abscisse a. On résout l équation f(a ) = g(a ). Comme a > 0, a = a = a. ln(a ) = a a ln(a) = a a ln(a) = a = e Les courbes de f et g se coupent au point d abscisse e (lorsque a = e).. Désormais, g(x) = x. Justifier que les courbes de f et de g sont tangentes e en ce point. Indication : deux courbes de fonctions sont tangentes en un point M si elles ont la même tangente au point M. Il suffit de montrer que f (e ) = g (e ). Les fonctions f et g sont dérivables sur ]0;+ [. Pour tout x > 0, f (x) = x, et g (x) = e x = e x. Donc f (e ) = e. g (e ) = e e = e. f(e ) = ln(e ) =. Ainsi, la droite passant par le point A(e ;) et de coefficient directeur e est

6 tangente à la fois à C f et à C g. Les courbes de f et de g sont tangentes au point A(e ;). 3. (a) Montrer que les fonctions F : x xln(x) x et G : x 4 3e x x sont respectivement des primitives de f et de g sur ]0;+ [. Les fonctions ln et x x sont dérivables sur ]0;+. Par produit et somme, G est dérivable sur ]0;+. La fonction x est dérivable sur ]0; + [. Par produit de fonctions dérivables, G est dérivable sur ]0; + [. Pour tout x > 0, F (x) = ln(x)+x x F (x) = ln(x) F (x) = f(x) G (x) = 4 3e ( x+x x ) = 4 3e ( x+ x) = 4 3e 3 x = e x (b) Calculer l aire A, en unités d aire, de la partie colorée (on admettra que C g est toujours au-dessus de C f comme on peut le constater sur le graphique). f() = ln() = 0. La courbe de f coupe l axe des abscisses au point I(;0). A = = = 0 0 e 0 g(x) dx+ g(x) dx+ g(x) dx e e e [g(x) f(x)] dx g(x) dx f(x) dx = G(e ) G(0) [F(e ) F()] e f(x) dx = 4 3e e e 0 [e ln(e ) e (ln() )] = 4 3e e3 [e e (0 )] = 4e 3 (e +) = e 3,46 L aire colorée mesure e 3 unités d aire.

7 y C g C f e x -