circuits linéaires Table des matières

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1 circuits linéaires Table des matières méthodes d étude en régime permanent 2. Méthodologie générale Premier exemple : circuit simple à sept éléments simplifications de la résolution Théorème de superposition (ou th. d Helmholtz) (Hors programme) Equivalence triangle-étoile - Théorème de Kennely (Hors programme) Théorème de Millman utilisation des symétries circuit RC série soumis à un échelon de tension 6 2. charge et décharge du condensateur cas général mise en fonction de la source extinction de la source (régime libre) étude énergétique circuit RL série soumis à un échelon de tension 9 3. évolution de l intensité du courant électrique cas général établissement du courant extinction de la source (régime libre) étude énergétique circuit RLC série soumis à un échelon de tension 4. cas général régime libre du circuit RLC série régime pseudo-périodique régime critique régime apériodique mise sous tension du circuit RLC

2 Un circuit linéaire est un circuit constitué uniquement de composants linéaires c est-à-dire de composants pour lesquels tension et intensité sont reliées soit par une relation affine soit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants, du type d n u a n dt n + a d n u n dt n a du dt + a d n i 0u + b n dt n + b d n i n dt n b di dt + b 0i = 0 n est l ordre du circuit. Nous étudierons les circuit d ordre et d ordre 2. On appelle : - réponse libre ou régime libre d un circuit, l évolution de celui-ci en l absence de tout générateur. - le régime du circuit est dit continu (ou stationnaire) lorsque toutes les grandeurs électriques du circuit (intensités, tensions) sont indépendantes du temps. - régime transitoire le régime s établissant entre le moment où toutes les sources sont éteintes et celui où le régime continu est établi. méthodes d étude en régime permanent Connaissant les f.e.m. des générateurs et les composants du réseau, résoudre celui-ci c est déterminer l intensité du courant qui circule dans chacune des branches.. Méthodologie générale Pour effectuer la mise en équation puis la résolution d un circuit électrique, on peut utiliser la démarche suivante : - dans un premier temps, numéroter les noeuds et les branches ; - dans chaque branche du circuit, noter les courants (flèche pour le sens conventionnel et nom) ; - pour chaque élément, noter la tension à ses bornes (flèche et nom) ; - mettre en équation en utilisant deux groupes de relations : - un pour les aspects topologiques (organisation du réseau) : (n-) lois des noeuds sont nécessaires pour n noeuds recensés et (m-) lois de mailles sont nécessaires pour m mailles indépendantes recensées (une maille est indépendante si elle n est pas une combinaison des autres), - un second pour les relations attachées à chaque élément utilisé. - poser les hypothèses simplificatrices (courants ou tensions identiques, contraintes imposées par les éléments, etc.) ; - simplifier les relations en tenant compte des hypothèses à ce stade on dispose d un système d équations ; - résoudre le système pour en extraire les grandeurs inconnues..2 Premier exemple : circuit simple à sept éléments Dans le circuit, toutes les grandeurs électriques sont permanentes. Les éléments (résistances et sources) sont complètement connus. On cherche à évaluer l expression du courant I dans la dernière résistance R. 2

3 - Identification des différentes grandeurs (tensions et courants) - Courants : I (t), I 2 (t), I 3 (t) et I(t) invariants, on peut donc écrire I, I 2, I 3 et I. - Tensions : E, E 2, U, U, U 2, U 3 (notées sans la variable t car elles sont constantes). - Identification de la topologie du réseau - Quatre branches : celles de E, E 2, I 3 et U. - Trois mailles indépendantes : (E, R, R), (E 2, R 2, R) et (I 3, R 3, R). - Deux noeuds donc une seule loi des noeuds. - Mise en équation - loi des noeuds : I + I 2 + I 3 = I ; - 3 lois des mailles : U = E R I ; U = E 2 R 2 I 2 ; U = E 3 R 3 I 3 (E 3 libre). - U=RI - Résolution : Le courant est exprimé dans chaque branche à l aide des trois lois des mailles puis son expression est intégrée dans la loi des noeuds : I = RI + E R I 2 = RI + E 2 R 2 RI + E + RI + E 2 + I 3 = I R R 2 ()I = (R 2 E + R E 2 + R R 2 I 3 ) I = R 2E + R E 2 + R R 2 I 3 - vérification de l homogénéité.3 simplifications de la résolution La résolution du réseau pécédent peut être simplifiée à l aide de - l équivalence Thévenin-Norton : le circuit est équivalent à un générateur idéal de courant d intensité I 3 + E + E 2 R R 2 en parallèle avec la résistance R et une résistance. R R 2 R + R 2 On remarquera que la résistance R 3 n a aucun interêt dans le circuit. E - du pont diviseur de courant : I = + R (I + R E 2 ). 2 R R 2 R R 2 On retrouve bien le résultat précédent. exercices 7 bis -.4 Théorème de superposition (ou th. d Helmholtz) (Hors programme) Un circuit électrique ou électronique linéaire est régi par un système différentiel linéaire à coefficients constants puisque ce circuit peut être modélisé par un réseau électrique constitué uniquement de dipôles linéaires et que les lois de Kirchhoff se traduisent par des équations linéaires. Les seconds membres de ces équations ne font intervenir que des combinaisons linéaires et homogènes des forces électromotrices et des courants électromoteurs des sources idéales indépendantes de courant et de tension du réseau. 3

4 Dans un circuit électrique ou électronique linéaire comportant plusieurs sources idéales indépendantes agissant simultanément, l expression de la solution générale donnant l intensité du courant traversant une branche quelconque (ou la tension à ses bornes) est égale à la somme algébrique des intensités des courants traversant cette branche (ou des tensions à ses bornes) produits par chacune des sources indépendantes agissant séparément, les autres sources indépendantes étant "éteintes" et la configuration du réseau restant inchangée. Autre énoncé : La "réponse" d un réseau linéaire à une distribution de sources indépendantes peut être considéré comme la superposition des réponses à chacune des sources, les autres étant "éteintes". Dans le cas précédent, - si I 3 est éteinte, elle est équivalente à un interrupteur ouvert. Si E 2 est éteinte, elle est équivalente à un fil. On a alors, avec l équivalence Thévenin-Norton et le diviseur de courant, I /all = (E /R ) = E R 2 - si E est éteinte de même que I 3, elle est équivalente à un fil. On a alors, en changeant les indices et 2 dans la relation précédente, I /2all = (E 2 /R 2 ) = E 2 R - si E et E 2 sont éteintes, elle sont équivalentes à des fils. On a alors, avec le diviseur de courant, R 2 R I 3 I /3all = I 3 = La solution finale est I = I /all + I /2all + I /3all I = R 2E + R E 2 + R R 2 I 3.5 Equivalence triangle-étoile - Théorème de Kennely (Hors programme) On cherche les conditions sur les résistances afin que les deux montages ci-dessus soient équivalents. Les relations de passage du triangle vers l étoile sont : r A = R AB R AC R AB + R AC + R BC 4

5 et les autres par permutations circulaires. exemple : On considère le circuit représenté sur la figure ci-dessus. L objectif est de calculer la valeur du courant I et du courant I. Il est difficile de résoudre rapidement ce problème. On peeut transformer le traingle ABC en étoile, chacune des résistances de l étoile valant = 33, 3Ω. On obtient alors le circuit suivant : On calcule la résistance équivalente au circuit : R eq = 33, 33 + (233, 33.33, 33/( ) = 8, 7Ω. I = E R eq =84,6 ma. Ensuite on calcule V =7,7 V. Et on en déduit : I = =53,87 ma exercice 9 V 33, 33.6 Théorème de Millman Ce théorème permet la détermination directe de potentiel de noeud d un réseau de résistances par rapport à un potentiel de référence, à partir de la loi des noeuds. On considère un noeud A auquel aboutissent k branches ; les potentiels V i des extrémités 5

6 des branches sont tous définis par rapport à un même potentiel de référence Vref ; R i est la résistance de la branche i et G i sa conductance. La loi des noeuds s écrit k i= I i = 0 V V A R + V 2 V A R = 0 (V V A )G + (V 2 V A )G (V k V A )G k = 0 V A = k i= V ig i k i= G i Dans le cas où une branche (par exemple la branche k) fait intervenir un générateur de courant idéal, il faut conserver l intensité de ce courant dans le calcul. Le théorème de Millman prend alors la forme suivante : V A = k i= V ig i + I k k i= G i exemple : En remarquant qu on peut inverser les positions de la résistance et de la source de tension dans la branche NB, exercices 0, 2,3 V N =.7 utilisation des symétries exercice 5 I η + V C + E + V A R R R + r + R + V B e r 6