PROBABILITES CONDITIONNELLES, THEOREME DE BAYES INDEPENDANCE EN PROBABILITE

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1 UE4-IOSTTISTIQUES Tutorat PROILITES CONDITIONNELLES THEOREME DE YES INDEPENDNCE EN PROILITE I. Probabilité conditionnelle :. Définitions : Soit et deux événements quelconques d'un ensemble fondamental Ω. Cet ensemble est muni d'une loi de probabilité P sur P(Ω). On s'intéresse ici à P() une fois l'évènement réalisé. insi on restreint l'ensemble des résultats Ω possibles à. P ( sachant ) P () P ( / ) Ω / Exemple d application : Soit l événement «voir un cancer des poumons» et l événement «Etre fumeur régulier». P () Probabilité d avoir un cancer des poumons dans la population générale (Fumeur + non fumeur). P () 003 P Probabilité de compter parmi les fumeurs réguliers dans la population générale. P 01 Probabilité par rapport à l ensemble de la population Ω d être à la fois fumeur régulier ET de développer un cancer des poumons. P ( ) 002 P ( / ) Probabilité chez les fumeurs de développer un cancer des poumons. P ( / ) 02 soit 20% de risque pour un fumeur de développer un cancer des poumons.. Théorème de la multiplication : Si on reprend la relation : P ( / ) et P ( / ) on peut en déduire que : P( ) P( ) P ( / ) x P P ( / ) x P() 1

2 UE4-IOSTTISTIQUES Tutorat Exemple concret : Un jeu de 32 cartes. Je tire 3 cartes successivement sans les remettre dans le paquet. Je souhaite connaître la probabilité pour tirer 3 s. Probabilité (1 er tirage S 2 e tirage s 3 e tirage s) Probabilité (1 er S 2 e s 3 e s). P (1 er s) ; P(2e s / 1er s) ; P(3e s / 1er s 2e s) On déduit: P (1 er S 2 e s 3 e s ) Remarque: P (1 er S 2 e s 3 e s) se dit aussi P(1 er S ET 2 e s ET 3 e s ). Dans ce cas on multiplie les probabilités conditionnelles entre elles : Du théorème de la multiplication découle la formule de ayes II. Formules et Théorème de ayes :. Formule de ayes : Soient et deux événements quelconques d'un ensemble fondamental Ω muni d'une loi de probabilité P sur P( Ω). On se place dans le cas d'une probabilité conditionnelle P( / ). Du théorème de la multiplication on peut en déduire la formule de ayes : Théorème de la multiplication : P( ) P( ) P ( / ) x P P ( / ) x P() Formule de ayes : P ( / ) ) ( ) Exemple d application (suite) : P ( / ) ( ) ( ) On rappelle l événement «voir un cancer des poumons» et l événement «Etre fumeur régulier». P () Probabilité d avoir un cancer des poumons dans la population générale (Fumeur + non fumeur). P () 003 P Probabilité de compter parmi les fumeurs réguliers dans la population générale. P 01 P( ) Probabilité par rapport à l ensemble de la population Ω d être à la fois fumeur régulier ET de développer un cancer des poumons. P ( ) 002 P ( /) Probabilité chez les fumeurs de développer un cancer des poumons. P ( / ) ( ) 02 soit 20% de risque pour un fumeur de développer un cancer des ( ) poumons. On cherche désormais à déterminer la probabilité pour une personne atteinte d un cancer des poumons d être un fumeur régulier P ( / ). 2

3 UE4-IOSTTISTIQUES Tutorat /" P ( / ) 067 soit 67% de fumeurs réguliers parmi les personnes atteintes d un cancer des poumons.. Théorème de ayes : 1 Les événements 1 2 et 3 forment une partition de l ensemble fondamentale Ω. 1 2 et 3 sont forcément disjoints! U 2 U 3 Ω Soit l événement quelconque inclus dans Ω. Théorème des probabilités totales appliqué à : pplication du Théorème de la multiplication: P P( 1 ) + P( 2 ) + P( 3 ) P P(/ 1 ) x P( 1 ) + P(/ 2 ) x P( 2 ) + P(/ 3 ) x P( 3 ) pplication de la formule de ayes pour 1 par exemple (l application pourrait être pour 2 ou 3 également): # # P ( 1 / ) # Il en découle le Théorème de ayes: On remplace simplement P par P(/1) x P(1) + P(/2) x P(2) + P(/3) x P(3) P ( 1 / ) # # /# # $ /% % $ /& & III. Diagramme en arbre : Soit une séquence finie d'expériences avec un nombre fini de résultats. On considère que les résultats possibles de l'expérience n dépendent de l'expérience n-1. On parle de probabilités conditionnelles comme vu précédemment. La manière la plus simple de représenter ce genre de séries d'expériences est un diagramme en arbre. Pour calculer la probabilité de «chaque feuille» on utilisera le théorème de la multiplication. Exemple : On considère un échantillon de 100 personnes tirées au sort. Parmi cet échantillon 40 ont été vaccinées contre la grippe soit 40%. Les 60 personnes restantes n ont pas reçu cette prévention soit 60%. Parmi les patients vaccinés 10 ont tout de même contracté la grippe soit 25% d entre eux. 30 des 60 personnes non vaccinées ont également eu la grippe soit 50% d entre elles. 3

4 UE4-IOSTTISTIQUES Tutorat Soit «V» l évènement «être vacciné» «V» l événement «Non vacciné» «G» l événement «voir la grippe» et «G» l événement «Ne pas avoir la grippe». Probabilités directement issues de l énoncé : P (V) 04 P ( V ) 06 P(G / V) 025 P(G / V ) 05 Construction de l arbre : V V X V G V G V G V G P(G) P(G V) + P(G V) La probabilité qu'un chemin particulier de l'arbre se réalise est d'après le théorème de la multiplication le produit des probabilités de chaque branche du chemin. Ici par exemple cela signifie que la probabilité qu'une personne soit à la fois vaccinée et déclare la grippe (V G) est de Les chemins s'excluent mutuellement. Ici par exemple le fait d être vacciné exclue totalement la partie de l'arbre concernant les personnes non vaccinées. 3. La somme de toutes les probabilités finales obtenues doit être de 1. Probabilités calculées à partir de l énoncé : P ( G / V) 1- P (G / V) P ( G / V ) 1- P (G / V ) P (V G) P (G / V ) x P (V) 025 x P (V G ) P ( G / v ) x P (V) 075 x P ( V G) P (G / V ) x P ( V ) 05 x P ( V G ) P ( G / V ) x P ( V ) 05 x TTENTION Ne pas confondre : Probabilité conditionnelle : Proportion de sujet présentant PRMI la population : P ( / ) Probabilité d une intersection : Proportion de tous les sujets qui présentent à la fois ET : P ( ) 4

5 UE4-IOSTTISTIQUES Tutorat IV. Les évènements indépendants :. Définition : Deux évènements et sont dits indépendants si et seulement si : P( ) P() x P Exemple : L événement «réussir le concours de médecine» et l événement «voir eu la varicelle étant enfant» sont objectivement deux événements totalement indépendants. Donc la probabilité de réussir la PES ET d avoir eu la varicelle soit P( ) est bien P () x P. Le contre-exemple: L évènement «Etre un fumeur régulier» et l événement «développer un cancer du poumon». Développer un cancer du poumon pouvant être une conséquence du tabagisme les événements et ne sont donc pas indépendants. Dans ce cas P( ) P () x P insi pour deux événements indépendants et la probabilité pour que se produise ne sera pas influencée par la probabilité que se produise et inversement. D'où :. Indépendance et inclusion : P( / ) P P( / ) P() Soient deux évènements et tels que C. On a alors et P( ) P(). On a: P( / ) P ( / ) 1 insi lorsque est inclus dans les deux évènements ne peuvent pas être indépendants. C. Independence et exclusion Soient deux évènements et disjoints. lors P( ) 0 d'où P( / ) P( / ) 0 Ω Lorsque deux évènements sont disjoints ils ne sont pas indépendants. TTENTION Ne pas confondre : Incompatibles : P(U) P() + P Indépendants : P( ) P() x P 5