INF1500 : Logique des systèmes numériques

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1 INF5 : Logique des systèmes numériques Cours 2: Table de vérité, simplification des expressions booléennes, logique mixte Sylvain Martel - INF5

2 Table de vérité Une table de vérité nous fait connaître la réaction d'un circuit logique (sa valeur de sortie) aux diverses combinaisons de niveaux logiques appliqués aux entrées (2 n ). Table 4-4 General truth table structure for a 3-variable logic function, F(X,Y, Z). Row X Y Z F F(,,) F(,,) 2 F(,,) Row X Y Z F 2 Table 4-5 Truth table for a particular 3-variable logic function, F(X,Y, Z). 3 F(,,) 3 4 F(,,) 4 5 F(,,) 5 6 F(,,) 6 7 F(,,) 7 Sylvain Martel - INF5 2

3 Table de vérité d un circuit. F A B C F Sylvain Martel - INF5 3

4 EXERCICES Sylvain Martel - INF5 4

5 EXERCICES Sylvain Martel - INF5 5

6 Formes canoniques et expansions en mintermes et maxtermes formes canoniques À partir d une table de vérité, on peut facilement donner la valeur de la fonction logique correspondante par l une des deux formes canoniques : une somme de produits ou un produit de sommes. Pour obtenir la somme de produits, on énumère les termes de la fonction qui correspondent à une valeur de de celle-ci. Chaque terme est composé d un produit (ET logique) de chaque variable de la fonction. Une variable ayant la valeur dans la rangée correspondante est complémentée. Pour obtenir le produit des sommes, on énumère les termes de la fonction qui correspondent à une valeur de de celle-ci. Chaque terme est composé d une somme (OU logique) de chaque variable de la fonction. Une variable ayant la valeur dans la rangée correspondante est complémentée. Sylvain Martel - INF5 6

7 Sylvain Martel - INF5 7 Exemples F C B A # somme de produits : F = A B C + A BC + A BC + ABC produit de sommes : F = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C )(A + B + C )

8 Sylvain Martel - INF5 8 Exemples F C B A # somme de produits : F = A B C + A BC + A BC + ABC produit de sommes : F = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C )(A + B + C )

9 Sylvain Martel - INF5 9 Exemples F C B A # Somme de produits : F = A B C + A BC + A BC + ABC Produit de sommes : F = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C )(A + B + C )

10 Le tableau suivant donne l expression des mintermes et maxtermes pour une fonction à trois variables Minterme - Maxterme # A B C mi m =A B C m = A B C 2 m 2 = A B C 3 m 3 = A B C 4 m 4 = A B C 5 m 5 = A B C 6 m 6 = A B C 7 m 7 = A B C Pour l exemple précédent, on a alors : F = m + m 2 + m 3 + m 6 = ( m, m 2, m 3, m 6 ) = M M 4 M 5 M 7 = ( M, M 4, M 5, M ) 7 M i M = A + B + C M = A + B + C M 2 = A + B + C M 3 = A + B + C M 4 = A + B + C M 5 = A + B + C M 6 = A + B + C M 7 = A + B + C Sylvain Martel - INF5

11 Minterme - Maxterme Table 4-6 Minterms and maxterms for a 3-variable logic function, F(X,Y, Z). Row X Y Z F Minterm Maxterm F(,,) X Y Z X + Y + Z F(,,) X Y Z X + Y + Z 2 F(,,) X Y Z X + Y + Z 3 F(,,) X Y Z X + Y + Z 4 F(,,) X Y Z X + Y + Z 5 F(,,) X Y Z X + Y + Z 6 F(,,) X Y Z X + Y + Z 7 F(,,) X Y Z X + Y + Z Sylvain Martel - INF5

12 Observations On observe que mi = Mi. Résumé : Pour obtenir une fonction, on prend la somme des mintermes où la fonction vaut, ou le produit des maxtermes où la fonction vaut. Pour obtenir l inverse d une fonction, on prend la somme des mintermes où la fonction vaut, ou le produit des maxtermes où la fonction vaut. Sylvain Martel - INF5 2

13 Simplification des expressions booléennes avec les théorèmes de Boole Table 4- Switching-algebra theorems with one variable. (T) X + = X (T ) X = X (Identities) (T2) X + = (T2 ) X = (Null elements) (T3) X + X = X (T3 ) X X = X (Idempotency) (T4) (X ) = X (Involution) (T5) X + X = (T5 ) X X = (Complements) X + X Y = X + Y Ou exclusif = X Y + X Y Non-Ou ex = X Y + X Y Table 4-2 Switching-algebra theorems with two or three variables. (T6) X + Y = Y + X (T6 ) X Y = Y X (Commutativity) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7 ) (X Y) Z = X (Y Z) (Associativity) (T8) X Y + X Z = X (Y + Z) (T8 ) (X + Y) (X + Z) = X + Y Z (Distributivity) (T9) X + X Y = X (T9 ) X (X + Y) = X (Covering) (T) X Y + X Y = X (T ) (X + Y) (X + Y') = X (Combining) (T) X Y + X Z + Y Z = X Y + X Z (Consensus) (T ) (X + Y) (X + Z) (Y + Z) = (X + Y) (X + Z) (T2) (T2 ) (T3) (T3 ) Table 4-3 Switching-algebra theorems with n variables. X + X + + X = X X X X = X (X X 2 X n ) = X + X X n (X + X X n ) = X X 2 X n (Generalized idempotency) (DeMorgan's theorems) (T4) [F(X, X 2,, X n, +, )] = F(X, X 2,, X n,, +) (Generalized DeMorgan's theorem) (T5) (T5 ) F(X, X 2,, X n ) = X F(, X 2,, X n ) + X F(,X 2,, X n ) F(X, X 2,, X n ) = [X + F(,X 2,,X n )] [X + F(, X 2,, X n )] (Shannon's expansion theorems) Sylvain Martel - INF5 3

14 Fonctions logiques et portes équivalentes Bien que ce soit moins utilisé, on peut aussi placer le symbole d inversion à l une ou aux deux entrées de la porte logique (ainsi qu à sa sortie). On obtient alors plusieurs combinaisons possibles, dont en voici quatre exemples. On verra plus tard les équivalences résultantes. Sylvain Martel - INF5 4

15 Fonctions logiques et portes équivalentes Conséquence immédiate des théorèmes de De Morgan - Ces transformations sont à la base de la logique mixte (Fonction ET) a) 748 porte AND b) 74 porte NAND c) 742 porte NOR d) 7432 porte OR (Fonction OU) Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e (a) (b) (c) (d) Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e a) 7432 porte OR b) 742 porte NOR c) 74 porte NAND d) 748 porte AND (a) (b) (c) (d) (Fonction INV) a) b) Inverseur c) d) Suiveur (buffer) Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e (a) (b) (c) (d) Sylvain Martel - INF5 5

16 Fonctions logiques et portes équivalentes - Suite (a) (b) Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e Figure a (Fonction XOR) 74x86 porte XOR Figure b (Fonction XNOR) 74x266 porte XOR Sylvain Martel - INF5 6

17 Logique Mixte - Niveaux logiques Table 5- Each line shows a different naming convention for active levels. Active Low READY ERROR.L ADDR5(L) RESET* ENABLE~ Active High READY+ ERROR.H ADDR5(H) RESET ENABLE DO ENABLE MY... THING ~GO GO /RECEIVE TRANSMIT_L RECEIVE TRANSMIT (a) Copyright 2 by Prentice Ha Digital Design Principles and Pract ENABLE DO MY THING ENABLE DO MY THING (a) Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e (b) Sylvain Martel - INF5 7

18 Logique Mixte: Exemples de choix de signaux READY REQUEST GO READY REQUEST GO_L (a) Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e (b) READY_L REQUEST_L GO READY_L REQUEST_L GO_L (c) (d) READY_L READY GO READY_L ADY_L READY Remarquez la forme de l inverseur GO READY_L REQUEST Porte NOR plus rapide (a) GO REQUEST Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e QUEST REQUEST REQUEST_L (a) Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e (b) Sylvain Martel - INF5 8

19 Logique Mixte: Exemples de circuits (a) A SEL a) Schéma habituel b) Schéma en logique mixte DATA Copyright 2 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e B (b) A ASEL BSEL ADATA_L BDATA_L DATA = ASEL A + ASEL B B Représente la fonction logique OU Porte NAND 74 Sylvain Martel - INF5 9

20 Autre exemple de transformation x x 2 L y y 2 P P 2 L 2 F x x 2 P L L 2 y y 2 P 2 F Avant transformation Car: X X 2 X i X X 2 X i Après transformation (X + X 2 + X n ) = (X X 2 X n ) Sylvain Martel - INF5 2

21 Exercices Donner la table de vérité ainsi que le diagramme de portes logiques pour les équations booléennes suivantes: F = A + B' F = A'B F = A(B + C) F = AB + C F = A + B'C F = AB + B'C + ABC+C Sylvain Martel - INF5 2

22 Exercices Pour chacun des circuits, donner l expression logique correspondant à la fonction logique F. Sylvain Martel - INF5 22

23 Exercices Sylvain Martel - INF5 23

26 Exercices Dans chaque cas, donner : le produit de sommes de la fonction F la somme de produits de la fonction F le produit de sommes de la fonction F' la somme de produits de la fonction F' Sylvain Martel - INF5 26

29 Exercices Prouver les théorèmes, 2, 3, 4 et 5.. X + = X D. X = X 2. X + = 2D. X = 3. X + X = X 3D. X X = X 4. (X')' = X 5. X + X' = 5D. X X' = Sylvain Martel - INF5 29

30 Exercices Commutativité, associativité et distributivité 6 : (Commutativité) X + Y = Y + X 6D : (Commutativité) XY = YX Sylvain Martel - INF5 3

31 Exercices 7 : (Associativité) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) 7 D: (Associativité) (XY)Z = X(YZ) Sylvain Martel - INF5 3

32 8 : (Distributivité) X(Y + Z) = XY + XZ Exercices 8D : (Distributivité) X + YZ = (X + Y)(X + Z) Sylvain Martel - INF5 32

33 Exercices Prouver les théorèmes 9,,, 4 et 5 (théorème du consensus). 9. XY + XY' = X 9D. (X + Y)(X + Y') = X. X + XY = X D. X(X + Y) = X. (X + Y')Y = XY D. XY' + Y = X + Y 4. (X + Y)(X' + Z) = XZ + X'Y 4D. XY + X'Z = (X + Z)(X' + Y) 5. XY + YZ + X'Z = XY + X'Z 5D. (X + Y)(Y + Z)(X' + Z) = (X + Y)(X' + Z) Inversion et lois de De Morgan 2. (X + Y + Z +...)' = X'Y'Z'... 2D. (XYZ...)' = X' + Y' + Z' +... La forme inverse d une expression booléenne est obtenue en faisant les substitutions suivantes: chaque variable son complément, ET OU, OU ET,, Prouver le théorème 2 pour deux variables. Sylvain Martel - INF5 33

34 Exercices Convertir chaque circuit pour n utiliser que des portes NON-ET ou bien NON-OU. Sylvain Martel - INF5 34

38 Sylvain Martel - INF5 38