GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Codes cycliques Notes de cours

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Codes cycliques Notes de cours"

Transcription

1 linéaires GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Notes de cours Département de génie électrique et de génie informatique Université Laval jean-yves.chouinard@gel.ulaval.ca 12 février 2013

2 linéaires Plan de la présentation 1 linéaires Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals 2 3 4

3 linéaires Définition des codes cycliques linéaires Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Définition (code cyclique linéaire) : Un code bloc linéaire C(n, k) est dit code cyclique linéaire si pour tout mot-code c = (c 0, c 1,...,c n 1 ), il existe un motcode c = (c n 1, c 0,...,c n 2 ). Dans un code cyclique linéaire C, toutes les permutations (circulaires) cycliques d un mot-code sont aussi des mot-codes. Par exemple, si le vecteur x = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0) est un mot-code dans C, alors toutes ses versions décalées sont aussi des mot-codes du code cyclique linéaire : (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0),(0, 0, 0, 1, 1, 0, 1),(0, 0, 1, 1, 0, 1, 0),...,(0, 1, 0, 0, 0, 1, 1) C

4 linéaires Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Soit f(x) = a 0 a 1 x a 2 x 2...a n 1 x n 1 a n x n où les coefficients a i sont des éléments (scalaires) d un corps fini. Le degré du polynôme f(x) est la plus grande valeur de n telle que a n 0. Un polynôme de degré n est appelé polynôme monique si le coefficient a n = 1 : f(x) = a 0 a 1 x a 2 x 2...a n 1 x n 1 x n Les éléments des mot-codes peuvent être exprimés comme les coefficients d un polynôme mot-code : c(x) = c 0 c 1 x c 2 x 2...c n 2 x n 2 c n 1 x n 1 où l exposant i de x i indique la position de l élément dans le mot-code c(x), i.e. c.

5 linéaires Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires En utilisant cette notation polynômiale, les décalages circulaires (ou cycliques) d un mot-code c, peuvent s exprimer en multipliant le polynôme mot-code c(x) par x i où i indique le nombre de décalages circulaires vers la droite, et en réduisant le polynôme résultant modulo x n 1. décalage circulaire mot-code polynôme mot-code i c c(x) 0 (c 0, c 1, c 2,...,c n 1 ) c(x) = c 0 c 1 x c 2 x 2...c n 1 x n 1 1 (c n 1, c 0, c 1,...,c n 2 ) x c(x) = c n 1 c 0 x c 1 x 2...c n 2 x n 1 2 (c n 2, c n 1, c 0,...,c n 3 ) x 2 c(x) = c n 2 c n 1 x c 0 x 2...c n 3 x n 1... n 1 (c 1, c 2, c 3,...,c 0 ) x n 1 c(x) = c 1 c 2 x c 3 x 2...c 0 x n 1

6 linéaires Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Considérons un autre polynôme de la forme : a(x) = a 0 a 1 x...a n 1 x n 1 CG(q)[x]/x n 1 (La notation CG(q)[x]/f(x) dénote un anneau de polynômes CG(q)[x] réduits modulo f(x).) En multipliant le polynôme mot-code c(x) par ce polynôme a(x) : a(x) c(x) = a 0 c(x)a 1 x c(x)...a n 1 x n 1 c(x) on obtient une combinaison linéaire des versions décalées (cycliques) du polynôme mot-code original c(x). Le polynôme produit a(x)c(x) est donc un autre polynôme du code, ou mot-code valide, du code linéaire cyclique C, c est-à-dire : a(x)c(x) C où a(x) CG(q)[x]/x n 1 et c(x) CG(q)[x]/x n 1

7 Idéals linéaires Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Un anneau R est un ensemble d éléments tels que : 1 R est un groupe commutatif sous l addition, c est-à-dire : 1 (ab)c = a(b c), a, b, c R (associativité), 2 a0 = 0a = a, 0 R (élément identité), 3 a R, il existe un élément unique a 1 R tel que aa 1 = a 1 a = 0 : (inverse unique), 4 a R, b R : ab = b a (commutativité). 2 L opération de multiplication est associative : (a b) c = a (b c), a, b, c R. 3 L opération de multiplication est distributive sur l addition : a (b c) = (a b)(a c), a, b, c R.

8 Idéals linéaires Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Si l opération de multiplication est commutative, i.e. a b = b a, a, b R, et qu elle possède un élément identité, 1, alors l anneau R est un anneau commutatif avec identité. L ensemble de tous les polynômes q-aires CG(q)[x] forme un anneau commutatif avec identité.

9 linéaires Définition d un idéal Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Définition (idéal) : Un sous-ensemble non vide I R, où R est un anneau, est un idéal si : 1 le sous-ensemble I forme un groupe sous l addition dans l anneau R, et 2 a r = b I pour tous les a I et r R. Par exemple, l ensemble I = {0, 4, 8, 12} est un idéal dans l anneau R = {0, 1, 2, 3,...,15} sous les opérations addition et multiplication modulo 16.

10 linéaires Définition d un idéal principal Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Définition (idéal principal) : Un idéal I R est un idéal principal si il existe un élément g I tel que chaque élément c I peut s exprimer par : c = mg pour m R.

11 linéaires Exemple (idéal principal) Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Considérons les éléments du corps de Galois CG(8) et les polynômes minimaux dans CG(2)[x]. On peut construire le corps de Galois CG(8) à l aide du polynôme primitif : p(α) = α 3 α1 = 0 α 3 = α1 représentation exponentielle représentation polynômiale α α α 2 α 2 α 3 α 1 α 4 α 2 α α 5 α 2 α 1 α 6 α 2 1

12 linéaires Exemple (idéal principal) Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Les classes de conjugués sont : β = 0 : = {0} β = 1 : 1, 1 2 = 1 = {1} β = α : α,α 2,α 22 = α 4,α 23 = αα = {α,α 2,α 4 } β = α 3 : α 3,(α 3 ) 2 = α 6,(α 3 ) 4 = α 12 = α 5 = {α 3,α 5,α 6 } et les polynômes minimaux correspondants sont : classes de conjugués polynômes minimaux {0} M (x) = x {1} M 0 (x) = x 1 {α,α 2,α 4 } M 1 (x) = (x α)(x α 2 )(x α 4 ) M 1 (x) = x 3 x 1 {α 3,α 5,α 6 } M 3 (x) = (x α 3 )(x α 5 )(x α 6 ) M 3 (x) = x 3 x 2 1

13 linéaires Exemple (idéal principal) Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Le polynôme x 7 1 = x 7 1 peut être factorisé par l ensemble des polynômes minimaux : x 7 1 = M 0 (x) M 1 (x) M 3 (x) x 7 1 = (x 1) (x 3 x 1) (x 3 x 2 1) Les idéaux principaux dans CG(2)[x]/x 7 1 sont : 0, x 1, x 3 x 1, x 3 x 2 1, (x 1)(x 3 x 1), (x 1)(x 3 x 2 1), (x 3 x 1)(x 3 x 2 1), (x 1)(x 3 x 1)(x 3 x 2 1) Il y a donc 8 idéaux principaux incluant les deux idéaux triviaux : 0 et x 7 1 (i.e. (x 1)(x 3 x 1)(x 3 x 2 1) ).

14 linéaires Théorème (idéal) Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires Idéals Théorème (idéals dans CG(q)[x]/x n 1) : Si I est un idéal dans CG(q)[x]/x n 1, alors : 1 Il existe un polynôme unique monique g(x) I de degré minimal, 2 I est un idéal principal ayant un polynôme générateur g(x), 3 le polynôme générateur g(x) divise le polynôme x n 1 dans CG(q)[x].

15 linéaires 1 Dans l ensemble des polynômes mot-codes {c(x)} C, il existe un polynôme unique g(x) : g(x) = g 0 g 1 x g 2 x 2...g r 1 x r 1 x r de degré minimal r < n. Ce polynôme g(x) est le polynôme générateur du code C. 2 Tout polynôme mot-code {c(x)} C peut être exprimé de manière unique par : c(x) = m(x)g(x) où m(x) est un polynôme de degré inférieur à (n r) dans CG(q)[x]. 3 Le polynôme générateur g(x) C est un facteur de (x n 1) dans CG(q)[x]

16 linéaires Le polynôme m(x) représente le message, un bloc d information, de degré plus petit ou égal à n r 1, c est-à-dire de (n r) éléments. Le choix des polynômes générateurs des codes cycliques linéaires est limité aux polynômes diviseurs du polynôme x n 1.

17 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) Supposons que l on désire trouver les polynômes générateurs pour un code linéaire cyclique binaire de longueur n = 15. Alors g(x) doit diviser x Nous avons vu que le polynôme x 15 1 est le produit de polynômes minimaux, obtenus des classes de conjugués, c est-à-dire : avec q = 2, m = 4 pour x qm 1 1. β,β q,β q2,β q3,β q4,...

18 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) Les classes de conjugués sont : β = 1 : 1, 1 2 = 1 = {1} β = α : α,α 2,α 22 = α 4,α 23 = α 8,α 24 = α 16 = α = {α,α 2,α 4,α 8 } β = α 3 : α 3,(α 3 ) 2 = α 6,(α 3 ) 4 = α 12,(α 3 ) 8 = α 24 = α 9,(α 3 ) 16 = α 48 = α 3 = {α 3,α 6,α 9,α 12 } β = α 5 : α 5,(α 5 ) 2 = α 10,(α 5 ) 4 = α 20 = α 5 = {α 5,α 10 } β = α 7 : α 7,(α 7 ) 2 = α 14,(α 7 ) 4 = α 28 = α 13,(α 7 ) 8 = α 56 = α 11,(α 7 ) 16 = α 112 = α 7 = {α 7,α 11,α 13,α 14 }

19 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) Les polynômes minimaux sont obtenus des classes de conjugués : classes de conjugués polynômes minimaux {1} M 0(x) = x 1 {α,α 2,α 4,α 8 } M 1(x) = (x α)(x α 2 )(x α 4 )(x α 8 ) M 1(x) = x 4 x 1 {α 3,α 6,α 9,α 12 } M 3(x) = (x α 3 )(x α 6 )(x α 9 )(x α 12 ) M 3(x) = x 4 x 3 x 2 x 1 {α 5,α 10 } M 5(x) = (x α 5 )(x α 10 ) M 5(x) = x 2 x 1 {α 7,α 11,α 13,α 14 } M 7(x) = (x α 7 )(x α 11 )(x α 13 )(x α 14 ) M 7(x) = x 4 x 3 1

20 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) Donc le polynôme x 15 1 = x 15 1 peut de décomposer en produit des polynômes minimaux suivants : x 15 1 = M 0 (x) M 1 (x) M 3 (x) M 5 (x) M 7 (x) x 15 1 = (x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 2 x 1) (x 4 x 3 1) Maintenant, à l aide des facteurs du polynôme x 15 1, c est-à-dire l ensemble des polynômes minimaux, on peut construire des polynômes générateurs de codes cycliques, g(x), de n importe quel degré.

21 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) degré polynômes générateurs 1 g(x) = M 0 (x) g(x) = x 1 2 g(x) = M 5 (x) g(x) = x 2 x 1 3 g(x) = M 0 (x) M 5 (x) g(x) = (x 1) (x 2 x 1) g(x) = x g(x) = M 1 (x) g(x) = x 4 x 1 g(x) = M 3 (x) g(x) = x 4 x 3 x 2 x 1 g(x) = M 7 (x) g(x) = x 4 x 3 1

22 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) degré polynômes générateurs 5 g(x) = M 0 (x) M 1 (x) g(x) = (x 1) (x 4 x 1) g(x) = x 5 x 4 x 2 1 g(x) = M 0 (x) M 3 (x) g(x) = (x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) g(x) = x 5 1 g(x) = M 0 (x) M 7 (x) g(x) = (x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 5 x 3 x 1 6 g(x) = M 5 (x) M 1 (x) g(x) = (x 2 x 1) (x 4 x 1) g(x) = x 6 x 5 x 4 x 3 1 g(x) = M 5 (x) M 3 (x) g(x) = (x 2 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) g(x) = x 6 x 4 x 3 x 2 1 g(x) = M 5 (x) M 7 (x) g(x) = (x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 6 x 3 x 2 x 1

23 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) degré polynômes générateurs 7 g(x) = M 0 (x) M 5 (x) M 1 (x) g(x) = (x 1) (x 2 x 1) (x 4 x 1) g(x) = x 7 x 3 x 1 g(x) = M 0 (x) M 5 (x) M 3 (x) g(x) = (x 1) (x 2 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) g(x) = x 7 x 6 x 5 x 2 x 1 g(x) = M 0 (x) M 5 (x) M 7 (x) g(x) = (x 1) (x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 7 x 6 x g(x) = M 1 (x) M 3 (x) g(x) = (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) g(x) = x 8 x 7 x 6 x 4 1 g(x) = M 1 (x) M 7 (x) g(x) = (x 4 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 8 x 7 x 5 x 4 x 3 x 1 g(x) = M 3 (x) M 7 (x) g(x) = (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 8 x 4 x 2 x 1

24 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) degré polynômes générateurs 9 g(x) = M 0 (x) M 1 (x) M 3 (x) g(x) = (x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) g(x) = x 9 x 6 x 5 x 4 x 1 g(x) = M 0 (x) M 1 (x) M 7 (x) g(x) = (x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 9 x 7 x 6 x 3 x 2 1 g(x) = M 0 (x) M 3 (x) M 7 (x) g(x) = (x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 9 x 8 x 5 x 4 x g(x) = M 5 (x) M 1 (x) M 3 (x) g(x) = (x 2 x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) g(x) = x 10 x 8 x 5 x 4 x 2 x 1 g(x) = M 5 (x) M 1 (x) M 7 (x) g(x) = (x 2 x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 10 x 5 1 g(x) = M 5 (x) M 3 (x) M 7 (x) g(x) = (x 2 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 10 x 9 x 8 x 6 x 5 x 2 1

25 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) degré polynômes générateurs 11 g(x) = M 0 (x) M 5 (x) M 1 (x) M 3 (x) g(x) = (x 1) (x 2 x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) g(x) = x 11 x 10 x 9 x 8 x 6 x 4 x 3 1 g(x) = M 0 (x) M 5 (x) M 1 (x) M 7 (x) g(x) = (x 1) (x 2 x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 11 x 10 x 6 x 5 x 1 g(x) = M 0 (x) M 5 (x) M 3 (x) M 7 (x) g(x) = (x 1) (x 2 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 11 x 8 x 7 x 5 x 3 x 2 x 1 12 g(x) = M 1 (x) M 3 (x) M 7 (x) g(x) = (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 12 x 9 x 6 x g(x) = M 0 (x) M 1 (x) M 3 (x) M 7 (x) g(x) = (x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 13 x 12 x 10 x 9 x 7 x 6 x 4 x 3 x 1

26 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) degré polynômes générateurs 14 g(x) = M 5 (x) M 1 (x) M 3 (x) M 7 (x) g(x) = (x 2 x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 15 g(x) = M 0 (x) M 5 (x) M 1 (x) M 3 (x) M 7 (x) g(x) = (x 1) (x 2 x 1) (x 4 x 1) (x 4 x 3 x 2 x 1) (x 4 x 3 1) g(x) = x 15 1

27 linéaires Exemple (sélection des polynômes générateurs) À partir de ces tableaux, on peut construire un code linéaire cyclique de degré r = 1 avec le polynôme générateur g(x) = x 1. L ensemble des messages possibles {m(x)} comprends tous les 2 14 = vecteurs binaires de 14 bits. Chacun de ces message est codé par un mot-code de 15 bits : c(x) = m(x)g(x) De la même manière, si on choisit le polynôme générateur g(x) = x 2 x 1, on peut coder 2 13 = messages distincts de 13 bits en mot-codes de 15 bits, et ainsi de suite. À la limite, on peut coder de courts messages d un seul bit en l un de deux mot-codes de 15 bits en utilisant le polynôme générateur g(x) de degré 14 : g(x) = x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 Il s agit d un simple code de répétition C(n, k) = C(15, 1).

28 linéaires Le processus de codage à l aide de codes cycliques linéaires est effectué en multipliant le polynôme message m(x) de degré (n r 1) avec le polynôme générateur du code g(x) de degré r conduisant ainsi à un polynôme mot-code c(x) de degré (n 1)

29 linéaires Message : Générateur du code : Mot-code : m(x) = m 0 m 1 x m 2 x 2...m n r 1 x n r 1 g(x) = g 0 g 1 x g 2 x 2...g rx r c(x) = c 0 c 1 x c 2 x 2...c n 1 x n 1 c(x) = m(x) g(x) c(x) = (m 0 m 1 x m 2 x 2...m n r 1 x n r 1 ) g(x) c(x) = m 0 g(x)m 1 xg(x)m 2 x 2 g(x)...m n r 1 x n r 1 g(x) g(x) xg(x) x 2 g(x) c(x) = [ m 0 m 1 m 2... m n r 1 ]. x n r 1 g(x)

30 linéaires En remplaçant les polynômes par des vecteurs et une matrice génératrice : m = [ m 0 m 1 m 2... m n r 1 ] c = [ c 0 c 1 c 2... c n 1 ] on représente le codage cyclique par : c [ ] c0 c 1... c n 1 = m G = [ m 0 m 1... m n r 1 ] g 0 g 1 g 2 g r g 0 g 1 g r 1 g r g 0 g r 2 g r g r g r 1 g r

31 linéaires La matrice génératrice du code cyclique est donc : G = g 0 g 1 g 2 g r g 0 g 1 g r 1 g r g 0 g r 2 g r g r g r 1 g r

32 linéaires La figure ci-dessous montre un codeur cyclique non systématique c c c c c

33 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique Dans cet exemple, on veut former un code cyclique binaire de longueur n = 7. Le polynôme générateur du code g(x) doit être un facteur de x 7 1 dans l ensemble CG(2)[x]. Reprenons le polynôme primitif p(x) = x 3 x 1. α 3 = α1 est racine du polynôme primitif. On obtient le corps de Galois CG(8) = {0, 1,α,α 2,α 3,α 4,α 5,α 6 }. Les classes de conjugués sont : {0}, {1}, {α,α 2,α 4 } et {α 3,α 5,α 6 }. Les polynômes minimaux correspondants sont : M 0 (x) = x 1, M 1 (x) = x 3 x 1 et M 3 (x) = x 3 x 2 1. Ils factorisent x 7 1 : x 7 1 = (x 1) (x 3 x 1) (x 3 x 2 1)

34 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique Choisissons, par exemple le polynôme générateur : g(x) = M 0 (x) M 1 (x) = (x 1) (x 3 x 1) = x 4 x 3 x 2 1 Le degré maximal du polynôme message, m(x), est le degré maximal du polynôme mot-code moins le degré du polynôme générateur, c.-à-d. 6-4=2. Le code cyclique comprendra donc 8 messages de 3 bits. Choisissons le message m(x) = x 2 1, ou [101] sous forme de vecteur. La matrice génératrice correspondant au polynôme générateur g(x) = x 4 x 3 x 2 1 est donc : G =

35 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique La figure montre le codeur cyclique (non-systématique) résultant. m 0 m 1 m 2 r 0 r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 La séquence de codage est illustrée aux figures suivantes.

36 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6

37 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6

38 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6

39 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6

40 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c

41 linéaires Exemple de codage avec un code cyclique La séquence codée est [ ] ou encore : On vérifie que : c(x) = x 6 x 5 x 3 1 c(x) = m(x) g(x) c(x) = ( x 2 1 ) (x 4 x 3 x 2 1 ) c(x) = x 6 x 5 x 3 1

42 linéaires Au décodeur, un polynôme de contrôle h(x) est employé pour décoder les mot-codes reçus (et possiblement corrompus par le canal). Pour tout polynôme générateur g(x) de degré r, il existe un polynôme de contrôle h(x) de degré k = (n r) tel que : ou encore : g(x)h(x) = x n 1 g(x)h(x) = 0 modulo (x n 1) Le polynôme mot-code c(x) étant un multiple du polynôme générateur g(x), i.e. c(x) = m(x)g(x), alors : c(x)h(x) = m(x)g(x)h(x) c(x)h(x) = m(x) 0 modulo (x n 1) c(x)h(x) = 0 modulo (x n 1)

43 linéaires Un mot-code c(x) transmis dans un canal de transmission bruité sera vraisemblablement affecté par celui-ci et le polynôme reçu, r(x), sera différent, i.e. r(x) c(x). r(x)h(x) = s(x) modulo (x n 1) Le polynôme s(x) = s 0 s 1 x s 2 x 2...s n k 1 x n k 1 est le polynôme syndrôme de degré (n k 1). Ce polynôme syndrôme s(x) est obtenu en divisant le polynôme reçu r(x) par le polynôme générateur du code cyclique, g(x). Le reste de la division est le polynôme syndrôme : r(x) = a(x)g(x)s(x) où le degré du polynôme syndrôme est plus petit que le degré du polynôme générateur : deg[s(x)] < deg[g(x)].

44 linéaires Si r(x) = c(x), alors : r(x) = c(x) = a(x)g(x) et le message décodé est : ˆm(x) = a(x). La figure montre le circuit de division cyclique. g 0 g r-1 g 1 a 0 a 1... a n-1... q 0 q 1... q j-1 d 0 d r- d 1 d r-2 1

45 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division Reprenons l exemple du code cyclique binaire de longueur n = 7 de polynôme générateur du code g(x) = x 4 x 3 x 2 1. Le circuit de division cyclique est donné à la figure ci-dessous. g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 =1 a 0 a 1 a 3 a 4 a 5 a 6 a 2 r 0 r 1 r 2 r 3 d 0 d 1 d 2 d 3 Supposons que la séquence codée reçue du canal est r(x) = x 6 x 5 x 3 1.

46 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 =1 a 0 a 1 a 3 a 4 a 5 a 6 a 2 r 0 r 1 r 2 r 3 d 0 d 1 d 2 d 3

47 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 = d 0 d 1 d 2 d 3

48 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 = d 0 d 1 d 2 d 3

49 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 = d 0 d 1 d 2 d 3

50 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 = d 0 d 1 d 2 d 3

51 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 = d 0 d 1 d 2 d 3

52 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 = d 0 d 1 d 2 d 3

53 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division 1 g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 = d 0 d 1 d 2 d 3

54 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 = d 0 d 1 d 2 d 3

55 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division g 0 =1 g 1 =0 g 2 =1 g 3 =

56 linéaires Exemple de décodage avec circuit de division Le résultat de la division du mot-code reçu, r(x), par le polynôme générateur g(x) est donc : r(x) = a(x)g(x)s(x) r(x) = ( x 2 1 ) (x 4 x 3 x 2 1 ) 0 Le syndrome s(x) = 0 indique donc que le mot-code reçu r(x) est un mot-code valide et le message est : m(x) = a(x) = ( x 2 1 ).

57 linéaires En général, le codage cyclique résultant du produit des polynômes message et générateur c(x) = m(x)g(x) ne conduit pas à des codes systématiques. Un code systématique C est de la forme : c = (c 0, c 1,...,c n k 1, c n k,...,c n 1 ) c = (c 0, c 1,...,c n k 1, m 0,...,m } {{ k 1 ) } message où m = (m 0,...,m k 1 ) est le message de longueur k. Sous forme polynômiale, on a : c(x) = c 0 c 1x c 2x 2...c n k 1 x n k 1 c n k x n k...c n 1x n 1 c(x) = c 0 c 1x c 2x 2...c n k 1 x n k 1 m 0x n k...m k 1 x n 1

58 linéaires Le vecteur mot-code c peut être représenté par une somme de deux vecteurs : c = (c 0, c 1,...,c n k 1, c n k,...,c n 1 ) c = (0, 0,...,0, m 0,...,m k 1 )( d 0, d 1,..., d n k 1, 0,...,0) ou encore sous forme polynômiale : c(x) = x n k m(x) d(x) où d(x) = d 0 d 1 x...d n k 1 x n k 1.

59 linéaires La figure ci-dessous montre le circuit de multiplication cyclique m m

60 linéaires Or le polynôme mot-code c(x) doit aussi être un multiple du polynôme générateur g(x) de degré r : avec c(x) = q(x)g(x) g(x) = g 0 g 1 x...g r x r et q(x) = q 0 q 1 x...q n r 1 x n r 1 Étant donné que c(x) = x n k m(x) d(x) et que c(x) = q(x)g(x), alors : x n k m(x) = q(x)g(x)d(x)

61 linéaires Le polynôme d(x) est donc le reste de la division du polynôme x n k m(x) par le polynôme générateur g(x). On peut donc former le mot-code c(x) avec les polynômes m(x) et d(x) : c(x) = d 0 d 1 x... d n k 1 x n k 1 m 0 x n k...m k 1 x n 1 g 0 g r-1 g 1 a 0 a 1... a n-1... q 0 q 1... q j-1 d 0 d r- d 1 d r-2 1

62 linéaires Algorithme de codage cyclique systématique : Multiplication : x n k m(x). Division par g(x) : x n k m(x) = q(x)g(x)d(x). Soustraction : c(x) = x n k m(x) d(x).

63 linéaires La figure ci-dessous montre un codeur cyclique systématique. g 0 g r-1 - g m 0 m 1... m k d 0 -d 1 -d n-k-1 c 0 c 1 c n-k m 0 m 1 m k-1 c n-k c n-k1 c n-1

64 linéaires Circuit de multiplication (entrée inversée) Circuit de multiplication de deux polynômes avec les entrées inversées. /( 0) 1! " -(.) 1 (()) = ( $ (%) (#)#, (&)& *()) = * $ *%) *#) #, *' ) ' ()) = (()) * ()) ( ) $ % # # & ' % & ' % & ' & ) = ) ), ' ) ) ()) (( $ * $ ) ((%* $ ( $ *% )) ((#* $ (%*% ( $ *# ))# ((&*' % (& %*' ))& ' ((&*' ))& =, '

65 linéaires Circuit de multiplication (entrée non inversée) Circuit de multiplication de deux polynômes avec entrées non inversées. J( K) L = < ; : H( I) 2 2 L 2 2 C( D) = C? C@ D C> D> G CADA E( D) = E? E@ D E> D > G EB D B F( D) = C( D) E( D) ( > > A A A B A F D = F F D F D G F B D F D F( D) ( C? E? ) ( C@ E? C? E@ ) D ( C> E? C@ E@ C? E> ) D> ( EB ) DA B ( CAEB ) DA = G B

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Université Montpellier II Sciences et Techniques du Languedoc MÉMOIRE DE STAGE DE MASTER M2

Université Montpellier II Sciences et Techniques du Languedoc MÉMOIRE DE STAGE DE MASTER M2 Académie de Montpellier Université Montpellier II Sciences et Techniques du Languedoc MÉMOIRE DE STAGE DE MASTER M2 effectué au Laboratoire d Informatique de Robotique et de Micro-électronique de Montpellier

Plus en détail

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34 Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Cryptographie et fonctions à sens unique

Cryptographie et fonctions à sens unique Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France

Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Transmission d informations sur le réseau électrique

Transmission d informations sur le réseau électrique Transmission d informations sur le réseau électrique Introduction Remarques Toutes les questions en italique devront être préparées par écrit avant la séance du TP. Les préparations seront ramassées en

Plus en détail

ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D

ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE

Plus en détail

I. TRANSMISSION DE DONNEES

I. TRANSMISSION DE DONNEES TD I. TRANSMISSION DE DONNEES 1. QU'EST-CE QU'UN CANAL DE TRANSMISSION? 1.1 Rappels Une ligne de transmission est une liaison entre les deux machines. On désigne généralement par le terme émetteur la machine

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Représentation des Nombres

Représentation des Nombres Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008) Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Chapitre 7. Récurrences

Chapitre 7. Récurrences Chapitre 7 Récurrences 333 Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et comparaisons Lectures conseillées : I MCS, chapitre 20. I Rosen,

Plus en détail

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais... Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement

Plus en détail

Système binaire. Algèbre booléenne

Système binaire. Algèbre booléenne Algèbre booléenne Système binaire Système digital qui emploie des signaux à deux valeurs uniques En général, les digits employés sont 0 et 1, qu'on appelle bits (binary digits) Avantages: on peut utiliser

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Architecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits

Architecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits Architecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits 1 Rappel : un peu de logique Exercice 1.1 Remplir la table de vérité suivante : a b a + b ab a + b ab a b 0 0 0 1 1 0 1 1 Exercice

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Représentation d un entier en base b

Représentation d un entier en base b Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII

ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE 1 2 Comment choisir entre différents algorithmes pour résoudre un même problème? Plusieurs critères de choix : Exactitude Simplicité Efficacité (but de ce chapitre)

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3 8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant

Plus en détail

Codage hiérarchique et multirésolution (JPEG 2000) Codage Vidéo. Représentation de la couleur. Codage canal et codes correcteurs d erreur

Codage hiérarchique et multirésolution (JPEG 2000) Codage Vidéo. Représentation de la couleur. Codage canal et codes correcteurs d erreur Codage hiérarchique et multirésolution (JPEG 000) Codage Vidéo Représentation de la couleur Codage canal et codes correcteurs d erreur Format vectoriel (SVG - Scalable Vector Graphics) Organisation de

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux

Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux Damien Stehlé LIP CNRS/ENSL/INRIA/UCBL/U. Lyon Perpignan, Février 2011 Damien Stehlé Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Conversion d un entier. Méthode par soustraction

Conversion d un entier. Méthode par soustraction Conversion entre bases Pour passer d un nombre en base b à un nombre en base 10, on utilise l écriture polynomiale décrite précédemment. Pour passer d un nombre en base 10 à un nombre en base b, on peut

Plus en détail

Du Premier au Second Degré

Du Premier au Second Degré Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse

Plus en détail

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

J AUVRAY Systèmes Electroniques TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMERIQUES : SIGNAUX EN BANDE DE BASE

J AUVRAY Systèmes Electroniques TRANSMISSION DES SIGNAUX NUMERIQUES : SIGNAUX EN BANDE DE BASE RANSMISSION DES SIGNAUX NUMERIQUES : SIGNAUX EN BANDE DE BASE Un message numérique est une suite de nombres que l on considérera dans un premier temps comme indépendants.ils sont codés le plus souvent

Plus en détail

INF 4420: Sécurité Informatique Cryptographie II

INF 4420: Sécurité Informatique Cryptographie II : Cryptographie II José M. Fernandez M-3106 340-4711 poste 5433 Aperçu Crypto II Types de chiffrement Par bloc vs. par flux Symétrique vs. asymétrique Algorithmes symétriques modernes DES AES Masque jetable

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

IFT2880 Organisation des ordinateurs et systèmes

IFT2880 Organisation des ordinateurs et systèmes Représentation des nombres flottants Notation exponentielle Représentations équivalentes dans la base 10 de 1,234 1 2 3, 4 0 0. 0 x 1 0-2 1 2, 3 4 0. 0 x 1 0-1 1, 2 3 4. 0 x 1 0 1 2 3. 4 x 1 0 1 2. 3 4

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

6. Hachage. Accès aux données d'une table avec un temps constant Utilisation d'une fonction pour le calcul d'adresses

6. Hachage. Accès aux données d'une table avec un temps constant Utilisation d'une fonction pour le calcul d'adresses 6. Hachage Accès aux données d'une table avec un temps constant Utilisation d'une fonction pour le calcul d'adresses PLAN Définition Fonctions de Hachage Méthodes de résolution de collisions Estimation

Plus en détail

1 Introduction au codage

1 Introduction au codage CélestineOscarDésiréAnatoleGastonEugène 1 Introduction au codage 1.1 Les ensembles L ensemble de tout les ensembles est Dieu lui-même. Kantor Ensemble des parties d un ensemble désigne l ensemble des sous-ensembles

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

IFT1215 Introduction aux systèmes informatiques

IFT1215 Introduction aux systèmes informatiques Introduction aux circuits logiques de base IFT25 Architecture en couches Niveau 5 Niveau 4 Niveau 3 Niveau 2 Niveau Niveau Couche des langages d application Traduction (compilateur) Couche du langage d

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Université de La Rochelle. Réseaux TD n 6

Université de La Rochelle. Réseaux TD n 6 Réseaux TD n 6 Rappels : Théorème de Nyquist (ligne non bruitée) : Dmax = 2H log 2 V Théorème de Shannon (ligne bruitée) : C = H log 2 (1+ S/B) Relation entre débit binaire et rapidité de modulation :

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Quelques tests de primalité

Quelques tests de primalité Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars

Plus en détail

VIII- Circuits séquentiels. Mémoires

VIII- Circuits séquentiels. Mémoires 1 VIII- Circuits séquentiels. Mémoires Maintenant le temps va intervenir. Nous avions déjà indiqué que la traversée d une porte ne se faisait pas instantanément et qu il fallait en tenir compte, notamment

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Signalisation, codage, contrôle d'erreurs

Signalisation, codage, contrôle d'erreurs Signalisation, codage, contrôle d'erreurs Objectifs: Plan Comprendre les mécanismes utilisés pour transmettre des informations sur un support physique Comprendre la nécessité de regrouper les informations

Plus en détail

Équations d amorçage d intégrales premières formelles

Équations d amorçage d intégrales premières formelles Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Définitions. Numéro à préciser. (Durée : )

Définitions. Numéro à préciser. (Durée : ) Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE Michel Rigo http://www.discmath.ulg.ac.be/ Année 2007 2008 CRYPTOGRAPHIE. N. F. Art d écrire en chiffres ou d une façon secrète quelconque. Ensemble

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail